2014年广州市数学“一模”分析
2014年广州一模数学试题及答案
试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2014.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． ()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A ．2-B ．2±C ．D ．22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则c b为 A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C 3．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++=4．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为A ．()2,2-B ．()(),22,-∞-+∞C ．(][),22,-∞-+∞D ．[]2,2-5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制２成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[]80,100范围内的数据16个， 则其中分数在[]90,100范围内的样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个 6．已知集合32A x x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z 且，则集合A 中的元素个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．57．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是A ．=a bB ．⊥a bC ．λ=a b ()0λ>D ．ab8．设a ，b ，m 为整数（0m >），若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅，()mod10a b ≡，则b 的值可以是A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．若不等式1x a -<的解集为{}13x x <<，则实数a 的值为 ． 10．执行如图2的程序框图，若输出7S =，则输入k ()*k ∈N 的值为 ． 11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 ．12．设α为锐角，若cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 侧（左）视图图3俯视图爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ３13．在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a +=-+，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB =3a 的值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图4，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （1）求实数a 的值；（2）设[]2()()2g x f x =-，求函数()g x 的最小正周期与单调递增区间．17．（本小题满分12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立． （1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）．18．（本小题满分14分）如图5，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的PEABCD 图4O 1C 1D DE1A 1B４中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =． （1）求证：11EF A C ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ， 使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；（3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值． 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n c a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ． （注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 20．（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为35，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上． 21．（本小题满分14分）已知函数()()221e x f x x x =-+（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()1,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可C爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ５根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．题号 1 23 4 5 6 7 8答案 A B A D B C D A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 9 10 11 12131415答案23421020112-1-或5- 23三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即302a+=． 解得3a =（2）方法1：由（1）得()sin 3f x x x =．所以2()[()]2g x f x =-()2sin 32x x=+-22sin 23cos 3cos 2x x x x =++-６2cos 2x x =+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 2cos cos 2sin 66x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()g x 的最小正周期为22π=π． 因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π22π262k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增， 即ππππ36k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ． 方法2：由（1）得()sin f x x x =+2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以2()[()]2g x f x =-2π2sin 23x ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2π4sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2π2cos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭分所以函数()g x 的最小正周期为22π=π分 因为函数cos y x =的单调递减区间为[]2,2k k ππ+π()k ∈Z ， 所以当22223k x k ππ≤+≤π+π()k ∈Z 时，函数()g x 单调递增．爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ７即ππππ36k x k -≤≤+（k ∈Z ）时，函数()g x 单调递增．所以函数()g x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ．17．（本小题满分1）（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） 解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ，由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足()()()()()113232,5611,253.10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎡⎤⎡⎤⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎪=⎪⎩解得()212P A =，()335P A =． 所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． （2）ξ的可能取值为1，3．因为()()()1231233P P A A A P A A A ξ==+()()()()()()123123111P A P A P A P A P A P A =+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦213312525525=⨯⨯+⨯⨯625=． 所以()()113P P ξξ==-=61912525=-=． 所以ξ的分布列为所以19613252525E ξ=⨯+⨯=．ξ 1 3P1925625８18．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：（1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111A C B D ⊥． 在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11A C ⊂平面1111A B C D ，所以111A C DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11A C ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF A C ⊥． （2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BHAE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FGBH ，则FGAE ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面．因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===， 所以1C G 116C C CH HG a =--=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）延长EF ，DB ，设EFDB M =，连结AM ，则AM 是平面AEF 与平面ABCD 的交线．过点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，连结FN ， 因为FB AM ⊥，FB BN B =， 所以AM ⊥平面BNF ．因为FN ⊂平面BNF ，所以AM ⊥FN ． 所以FNB ∠为平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的平面角．因为123132aMB BF MD DE a ===，23=，1D ABCD EF 1A1B1C MN1D ABCD EF 1A1B1C 1DABCDE F 1A1B 1C G H爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C ９所以22MB a =．在△ABM 中，AB a =，135ABM ∠=， 所以2222cos135AM AB MB AB MB =+-⨯⨯⨯ ()222222222a aa a ⎛=+-⨯⨯⨯- ⎝⎭213a =． 即13AM a =． 因为11sin13522AM BN AB MB ⨯=⨯⨯， 所以222sin13521321313a a AB MB BN a AMa⨯⨯⨯===．所以2222121371331339FN BF BN a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以6cos 7BN FNB FN ∠==．故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．空间向量法：（1）证明：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，()1,0,A a a ，()10,,C a a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()11,,0AC a a =-，1,,6EF a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 因为221100AC EF a a =-++=， 所以11AC EF ⊥．1D ABC D EF 1A1B1C xyz１０所以11EF A C ⊥．（2）解：设()0,,G a h ，因为平面11ADD A 平面11BCC B ，平面11ADD A 平面AEGF AE =，平面11BCC B 平面AEGF FG =，所以FGAE ．所以存在实数λ，使得FG AE λ=． 因为1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1,0,3FG a h a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以11,0,,0,32a h a a a λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以1λ=，56h a =． 所以1C G 15166CC CG a a a =-=-=． 故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面． （3）解：由（1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １１()()2220302667326a a⨯+⨯-+⨯==+-+⨯． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67．第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法： （1）、（2）给分同推理论证法． （3）解：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系， 则(),0,0A a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．设(),,x y z =n 是平面AEF 的法向量，则0,0.AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即10,210.3ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-．所以()3,2,6=-n 是平面AEF 的一个法向量． 而()10,0,DD a =是平面ABCD 的一个法向量， 设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ， 则11cos DD DD θ=n n (1)()()2220302667326a a⨯+⨯-+⨯==+-+⨯． 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67． 19．（本小题满分1）（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）1D ABC DEF 1A1B1C xyz１２解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯， 即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯， 即12n n b -=．（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616232b -==620268a >=⨯+=，不等式显然成立．②假设当n k =()6k ≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有()()()()122222821826218kk k k k k -=⨯>+=++++>++．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立． 所以当6n ≥时，n n b a >． 方法2：因为当6n ≥时()()()112281128n n n n b a n n ---=-+=+-+()()01211111C C C C 28n n n n n n -----=++++-+()()012321111111C C C C C C 28n n n n n n n n n n ---------≥+++++-+ ()()0121112C C C 28n n n n ---=++-+()()236460n n n n n =--=-+->，所以当6n ≥时，n n b a >．所以{}min ,n n n c a b =12,5,28,5.n n n n -⎧≤=⎨+>⎩爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １３则()22222,5,44, 5.n n n c n n -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩当5n ≤时，2222123n n S c c c c =++++ 2222123n b b b b =++++024222222n -=++++1414n -=-()1413n=-．当5n >时，2222123n n S c c c c =++++()()22222212567n b b b a a a =+++++++()51413=-()()()222464744n ⎡⎤+++++++⎣⎦()()()222341467867165n n n ⎡⎤=+++++++++-⎣⎦ ()()()()2222223414121253267645n n n ⎡⎤=++++-++++++++-⎣⎦()()()()()121653414553264562n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-． 综上可知，n S ()32141,5,3424218679, 5.33nn n n n n ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得22354.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得5a =．１４（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ， 因为220PF QF =，所以()0053,3,03t x y ⎛⎫----= ⎪⎝⎭． 所以()00433ty x =-． 因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即()2200455y x =-． 所以20000200005533PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即()2211455y x =-，()2222455y x =-． 设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １５得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦ 将⑤代入⑦，得443y x =-． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在． 设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=． 因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--． 整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．1 将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④①② ③１６因为点H 在直线l 上，所以513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．） 21．（本小题满分1）（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为()()221e x f x x x =-+，所以2()(22)e (21)e x x f x x x x '=-+-+()21e xx =-(1)(1)e x x x =+-． 当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞． 当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为()1,1-．所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-． （2）假设函数()f x 在()1,+∞上存在“域同区间”[,](1)s t s t <<，由（1）知函数()f x 在()1,+∞上是增函数，所以(),().f s s f t t =⎧⎨=⎩ 即22(1)e ,(1)e .s ts s t t ⎧-⋅=⎨-⋅=⎩也就是方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根． 设2()(1)e (1)xg x x x x =-->，则2()(1)e 1xg x x '=--． 设()h x =2()(1)e 1xg x x '=--，则()()221e x h x x x '=+-．因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增． 因为()110h =-<，()223e 10h =->，即存在唯一的()01,2x ∈，使得()00h x =．当()01,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在()01,x 上是减函数； 当()0,x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在()0,x +∞上是增函数．因为()110g =-<，0()(1)0g x g <<，2(2)e 20g =->，爱迪教育 D 爱迪个性化教育发展中心D Idea Personalized Education Development C １７所以函数()g x 在区间()1,+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e xx x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在()1,+∞上不存在“域同区间”．。
2014广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(含解析)
2014年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i 是虚数单位，若2(i)34i m +=-，则实数m 的值为（ ）．A ．2-B ．2±C ．D ．2【答案】A【解答】解：∵2(i)34i m +=-， ∴222i i 34i m m ++=-， 即22i 134i m m +-=-， ∴22413m m =-⎧⎨-=⎩，解得2m =-，故选A ．2．（5分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为（ ）． A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C【答案】B【解答】解：在ABC △中， ∵2C B =，∴sin sin 22sin cos C B B B ==， 即2cos c b B =，则2cos cB b=． 故选B ．3．（5分）圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）．A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．22(1)(2)1x y ++-=C ．22(2)(1)1x y ++-=D ．22(1)(2)1x y -++=【答案】A【解答】解：∵点(,)P x y 关于直线y x =对称的点为(,)P y x '， ∴(1,2)关于直线y x =对称的点为(2,1)，∴圆22(1)(2)1x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为22(2)(1)1x y -+-=． 故选A ．4．（5分）若函数()f x R ，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．(2,2)-B ．(,2)(2,)-∞-+∞UC ．]([,22,)-∞-+∞UD ．[]2,2-【答案】D【解答】解：函数()f x R ， 则210x ax ++≥恒成立，即240a ∆=-≤，解得22a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]2,2-，故选D ． 5．（5分）某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图的频率分布直方图．样本数据分组为[5060)，，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80,100]范围内的数据16个，则其中分数在[90,100]范围内的样本数据有（ ）．A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个【答案】B【解答】解：由频率分布直方图知：抽取分数在[80,100]范围内的频率为(0.0250.015)100.4+⨯=， 又在[80,100]范围内的数据有16个，∴样本容量16400.4==个， ∵分数在[90,100]范围内的频率为0.015100.15⨯=， ∴在[90,100]范围内的频数为0.15406⨯=个． 故选B ．6．（5分）已知集合{|A x x =∈Z 且3}2x∈-Z ，则集合A 中的元素个数为（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解答】解：∵{|A x x =∈Z 且{}3}=1,1,3,52x∈--Z ， ∴集合A 中的元素有4个． 答案C ．7．（5分）设a r ，b r 是两个非零向量，则使||||a b a b ⋅=r r r r成立的一个必要非充分条件是（ ）．A ．a b =r rB ．a b r r ⊥C ．(0)a b λλ=>r rD ．a b r r ∥【答案】D【解答】解：∵a r ，b r 是两个非零向量，则||||a b a b ⋅=r r r r ， ∴||||cos ,||||a b a b a b a b ⋅==r r r r r r r r ，∴cos ,1a b =r r，∴,0a b =r r． ∴a b r r ∥． a r ，b r 是两个非零向量，则使||||a b a b ⋅=r r r r成立的一个必要非充分条件是a b r r ∥．故选D ． 8．（5分）设a ，b ，m 为整数(0)m >，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．若0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅L ，(mod10)a b ≡，则b 的值可以是（ ）． A ．2011 B ．2012 C ．2013 D ．2014【答案】A【解答】解：∵0122202020202020C C 2C 2C 2a =+⋅+⋅++⋅L ，2020122202020202012312C 2C 2C +==++++L （），∴203a =．∵13个位是3，23个位是9，33个位是7，43个位是1，53个位是3，L ∴203个位是1，若(mod10)a b ≡，则b 的个位也是1．故选A ．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题） 9．（5分）若不等式||1x a -<的解集为{}3|1x x <<，则实数a 的值为__________． 【答案】2【解答】解：∵||1x a -<， ∴11x a -<-<， ∴11a x a -<<+，∴不等式||1x a -<的解集为{}1|1x a x a -<<+， ∵不等式||1x a -<的解集为{}3|1x x <<， ∴11a -=且13a +=， 解得：2a =． 故答案为：2．10．（5分）执行如图的程序框图，若输出7S =，则输入*()k k ∈N 的值为__________．【答案】3【解答】解：由程序框图知，程序第一次运行1n =，11021S -=+=； 第二次运行112n =+=，1123S =+=； 第三次运行3n =，121227S =++=． ∵输出7S =，∴程序运行终止时3n =， 又不满足条件n k <时输出S ， ∴3k =，故答案为：3． 11．（5分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是__________．正主()视图侧左()视图俯视图【答案】4【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面， 3， ∵底面为菱形，对角线互相垂直平分，∴底面面积124142S =⨯⨯⨯=，∴几何体的体积14343V =⨯⨯=．故答案为：4．12．（5分）设α为锐角，若π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ __________．【解答】解：∵α为锐角，π3cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭为正数，∴π6α+是锐角，π4sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴πππsin sin 1264αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππsin cos cos sin 6464αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4355=-=，．13．（5分）在数列{}n a 中，已知11a =，111n n a a ++=-，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =__________． 【答案】20112-【解答】解：∵11a =，111n n a a ++=-， ∴212a =-，312112a =-=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，411(2)1a =-=-+，512a =-，L∴数列{}n a 是以3为周期的数列， 又3123131222S a a a =++=--=-，∴20142013201432013201167111222S S a ⎛⎫=+=⨯-+=-+=- ⎪⎝⎭．故答案为：20112-．三、选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题） 14．（5分）在极坐标系中，直线(sin cos )a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若||AB =a 的值为__________． 【答案】1-或5-【解答】解：直线(sin cos )a ρθθ-=即0x y a -+=；曲线2cos 4sin ρθθ=-即22cos 4sin ρρθρθ=-，即22 240x y x y ++=-，即22(1)(2)5x y -++=，表示以(1,2)C -设圆心到直线的距离为d ，则d再根据点到直线的距离公式可得d解得1a =-，或5a =-， 故答案为：1-或5-．（几何证明选讲选做题）15．如图，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为__________．【答案】2 3【解答】解：作直线CF，连结BF，∴CF PC⊥，∴90PCB BCF∠+∠=︒，∵CF是直径，∴90BCF F∠+∠=︒，∴PCB F∠=∠，∵F A∠=∠，∴PCB A∠=∠，∴PCB PAC△∽△，∴23 PC PBPA PC==，∵PCE PCB A∠=∠=∠，CPE APD∠=∠，∴PCE PAD△∽△，∴23 PE PCPD PA==．故答案为：23．四、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数()sin cosf x x a x=+的图象经过点π,03⎛⎫-⎪⎝⎭．（1）求实数a的值．（2）设2()()2[]g x f x=-，求函数()g x的最小正周期与单调递增区间．【答案】见解析．【解答】解：（1）∵函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴π03f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即02a =，解得a（2）由（1）得()sin f x x x =． ∴2()()2[]g x f x =-2(sin )2x x =-22sin cos 3cos 2x x x x =++-2cos2x x +122cos22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ ππ2sin 2cos cos2sin 66x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∴函数的最小正周期为2ππ2=． ∵函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，令πππ2π22π262k x k -++≤≤，k ∈Z ，求得ππππ36k x k -+≤≤，∴函数的单调递增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．17．（12分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙，丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率．（2）设ξ表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值（数学期望）． 【答案】见解析．【解答】解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为1A ，2A ，3A ， 由已知1A ，2A ，3A 相互独立，且满足113232()56[1()][1()]253()()10P A P A P A P A P A ⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪=⎪⎩解得21()2P A =，33()5P A =． ∴乙，丙各自能被聘用的概率分别为12，35． （2）ξ的可能取值为1，3． ∵123123(3)()()P P A A A P ξ==+，123123)))[)][)][)(((1(1(1(]P A P A P A P A P A P A =+---213312525525=⨯⨯+⨯⨯ 625=． ∴619(1)1(3)12525P P ξξ==-==-=． ∴ξ的分布列为∵1963713252525E ξ=⨯+⨯=．18．（14分）如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =． （1）求证：11EF AC ⊥．（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长． （3）求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．D ABCE F A 1B 1D 1C 1【答案】见解析．【解答】（1）证明：连结11B D ，BD ， ∵四边形1111A B C D 是正方形，∴1111B D AC ⊥．在正方体1111ABCD A B C D -中，∵1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ， ∴111AC DD ⊥．∵1111B D DD D =I ，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ， ∴11AC ⊥平面11BB D D ． ∵EF ⊂平面11BB D D ， ∴11EF AC ⊥．（2）解：以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图的空间直角坐标系，则(,0,0)A a ，1,(0,)A a a ，10,(,)C a a ，10,0,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,3F a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴11(,,0)AC a a =-u u u u r ，1,,6EF a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ． 设(0,,)G a h ，∵平面11ADD A ∥平面11BCC B ，平面11ADD A I 平面AEGF AE =， 平面11BCC B I 平面AEGF FG =，∴存在实数λ，使得FG AE λ=u u u r u u u r． ∵1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，1,0,3FG a h a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，∴11,0,,0,32a h a a a λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴1λ=，56h a =．∴115166C G CC CG a a a =-=-=．∴当116C G a =时，A ，E ，G ，F 四点共面．（3）解：由（1）知1,0,2AE a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，10,,3AF a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ．设(,,)n x y z =r是平面AEF 的法向量，则00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即102103ax az ay az ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取6z =，则3x =，2y =-． 所以(3,2,6)n =-r是平面AEF 的一个法向量． 而1(0,0,)DD a =u u u u r是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则6cos 7θ==．故平面AEF 与平面PQ 所成二面角的余弦值为67．C 1D 1B 1A 1F EC B AD19．（14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式．（2）设第n 个正方形的边长为{}min ,n n n C a b =，求前n 个正方形的面积之和n S ．（注：{}min ,a b 表示a 与b 的最小值．） 【答案】见解析．【解答】解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以10(1)2n a n =+-⨯，即28n a n =+．因为等比数列{}n b 的首项为1，公比为2，所以112n n b -=⨯，即12n n b -=．（2）因为110a =，212a =，314a =，416a =，518a =，620a =，11b =，22b =，34b =，48b =，516b =，632b =．易知当5n ≤时，n n a b >．下面证明当6n ≥时，不等式n n b a >成立．方法1：①当6n =时，616623220268b a -==>=⨯+=，不等式显然成立．②假设当(6)n k k =≥时，不等式成立，即1228k k ->+．则有12222(28)2(1)8(26)2(1)8k k k k k k -=⨯+=++++>++>．这说明当1n k =+时，不等式也成立．综合①②可知，不等式对6n ≥的所有整数都成立．所以当6n ≥时，n n b a >．方法2：因为当6n ≥时112(28)(11)(28)n n n n b a n n ---=-+=+-+ 01211111(C C C C )(28)n n n n n n -----=++++-+L 012321111111(C C C C C C )(28)n n n n n n n n n n ---------+++++-+≥ 0121112(C C C )(28)n n n n ---=++-+ 236(4)(6)0n n n n n =-=-+->-， 所以当6n ≥时，n n b a >．所以5n ≤时，22222222123123n n nS c c c c b b b b =++++=++++L L 024222222n -=++++L1414n-=-1(41)3n =-． 当5n >时，2222123n nS c c c c =++++L ， 22222212567()()n b b b a a a =+++++++L L 52221(41)464)(74()3[(])4n =-+++++++L 2223414678(67)1[(6(5))]n n n =+++++++++-L L222222[()(34141212532(67)64(]5))n n n =++++++++++++--L L L(1)(21)(6)(5)3414553264(5)62n n n n n n +++-⎡⎤=+-+⨯+-⎢⎥⎣⎦3242421867933n n n =++-． 综上可知，321(41),53424218679,533n n n S n n n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪++->⎪⎩≤．20．（14分）已知双曲线222:1(0)4x y E a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF ⋅=u u u u r u u u u r ． （1）求实数a 的值．（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值．（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足||||||||PM MH PN HN =，证明点H 恒在一条定直线上． 【答案】见解析．【解答】（1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得224c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得a（2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点2)(3,0F ． 设点5,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，00)(,Q x y ， 因为220PF QF ⋅=u u u u r u u u u r ，所以0053,(3,)03t x y ⎛⎫--⋅--= ⎪⎝⎭， 所以004(3)3ty x =-． 因为点00)(,Q x y 在双曲线E 上，所以2200154x y -=，即22004(5)5y x =-． 所以220000002200000044(5)(3)4535555333PQ OQ x x y t y y ty k k x x x x x x -----⋅=⋅===---． 所以直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值45． （3）证明：设点(,)H x y ，且过点5,13P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点11)(,M x y ，22)(,N x y ，则22114520x y -=，22224520x y -=，即22114(5)5y x =-，22224(5)5y x =-． 设||||||||PM MH PN HN λ==，则PM PN MH HNλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r u u u r u u u u r u u u u r ． 即1122112255,1,133(,)(,)x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩， 整理，得121212125(1)31(1)(1)x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得2221222212x x y y λλ⎧-=⎪⎨⎪-⎩将22114(5)5y x =-，22224(5)5y x =-代入⑥， 得2221224451x x y λλ-=⨯--．⑦ 将⑤代入⑦，得443y x =-． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．21．（14分）已知函数2()(21)e x f x x x -=+（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）定义：若函数()h x 在区间[](,)s t s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在(1,)+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解答】解：（1）因为2()(21)e x f x x x -=+，所以22()(22)e (21)e (1)e (1)(1)e x x x x f x x x x x x x '=-++==+---． 当1x <-或1x >时，()0f x '>，即函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞． 当11x -<<时，()0f x '<，即函数()f x 的单调递减区间为(1,1)-． 所以函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-． （2）假设函数()f x 在(1,)+∞上存在“域同区间”,1)[](s t s t <<， 由（1）知函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，所以()()f s s f t t =⎧⎨=⎩即22(1)e (1)e s t s s t t ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩， 也就是方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根．设2()(1)e (1)x g x x x x --=>，则2()(1)e 1x g x x -'=-． 设2()()(1)e 1x h x g x x '==--，则2()(21)e x h x x x '=+-． 因为在(1,)+∞上有()0h x '>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增． 因为(1)10h =-<，2(2)3e 10h =->，即存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0)(0h x =．当0)(1,x x ∈时，()()0h x g x '=<，即函数()g x 在0(1,)x 上是减函数； 当0(),x x ∈+∞时，()()0h x g x '=>，即函数()g x 在0(),x +∞上是增函数． 因为(1)10g =-<，0)((1)0g x g <<，2(2)e 20g =->， 所以函数()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点．这与方程2(1)e x x x -=有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在(1,)+∞上不存在“域同区间”．故答案为：（1）函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-． （2）函数()f x 在(1,)+∞上不存在“域同区间”．。
2014年越秀区数学一模含答案解析详细
第8题图BA ＇AB ＇O第6题图广州市越秀区2014届九年级下学期期中检测（一模）数学试题第一部分 选择题(共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．4的平方根为（ * ）． A ．2B ．±2C ．4D ．±42. 对于样本数据1，2，3，2，2，以下判断：①平均数为5；②中位数为2；③众数为2；④极差为2．正确的有（ * ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.如图所示的几何体的主视图是（ * ）．4．如果代数式1-x x有意义，那么x 的取值范围是（ * ）． A ．x ≥0B ．x ≠1C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠15. 已知一个圆锥的底面半径为3cm ，母线长为10cm ，则这个圆锥的侧面积为（ * ）． A ．30πcm 2B ．50πcm 2C ．60πcm 2D ．391πcm 26．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ＇OB ＇，若∠AOB=15°，则∠AOB ＇的度数是（ * ）． A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°7．一次函数32-=x y 的大致图像为（ * ）．A ．B ．C ．D ．8．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是 小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小 正方形内，则∠APB 等于（ * ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．关于x的二次函数2(1)2y x =--+，下列说法正确的是（ * ）．A ．B ．C ．D ．第3题图第13题图 C O D E F A B第10题图A ．图象的开口向上B ．图象与y 轴的交点坐标为（0，2）C ．当1x >时，y 随x 的增大而减小D ．图象的顶点坐标是（-1,2）10．如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交与点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将纸片折叠，使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3；…；如此类推，则AP 6的长为（ * ）．A ．512532⨯B ．69352⨯C ．614532⨯D ．711352⨯第二部分 非选择题(共120分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)11．点A （0,3）向右平移2个单位长度后所得的点A ’的坐标为 * ．12．已知空气的单位体积质量为0.00124克/厘米3，将0.00124用科学记数法表示为 * ． 13．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，相似比为2∶3，已知AB ＝4，则DE 的长为 * ．14．化简：=+-+1112a a a * ． 15．如图，防水堤坝的轴截面是等腰梯形ABCD ，DA CB =，DC AB ∥，5=DA ，4=DC ，9=AB ，则斜坡DA 的坡角为 * __ 度．16．已知α ，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m +3）x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足βα11+=﹣1，则m 的值是 * ．三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分9分）解方程：xx 332=-．A B C D 第15题图18．（本小题满分9分）如图，已知□ABCD .（1）作图：延长BC ，并在BC 的延长线上截取线段CE ，使得CE =BC （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连结AE ，交CD 于点F ， 求证:△AFD ≌ △EFC . 19．（本小题满分10分）已知1=-b a 且2=ab ，求代数式32232ab b a b a +-的值．20．（本小题满分10分）小强对自己所在班级的48名学生平均每周参加课外活动的时间进行了调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题： （1）求m 的值；（2）从参加课外活动时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，请你用列表或画树状图的方法，求其中至少有1人课外活动时间在8～10小时的概率．21．（本小题满分12分）为支持失学儿童，某中学计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A,B 两种型号的学习用品共1000件，已知A 型学习用品的单价为20元，B 型学习用品的单价为30元.（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A,B 两种学习用品各多少件？ （2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多能购买B 型学习用品多少件？ 22．（本小题满分12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠BAD ＝60º，AC 交BD 于点O ，以点D 为圆心的⊙D 与边AB 相切于点E ． （1）求AC 的长；（2）求证：⊙D 与边BC 也相切．第18题图第20题图23．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形．点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（0，﹣3），反比例函数xky =)0(≠k 的图象经过点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 是反比例函数图象上的一点，△P AD 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求点P 的坐标．第23题图九年级数学参考答案与评分标准（一、选择题（本大题共有10小题，二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）11．（2,3） 12．1.24×10－3 13．6 14．a ﹣1 15．60 16．3 （说明：此题写出“3或-1”作为答案，给2分）三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分9分） 解：方程两边同乘以()3-x x ，得()332-=x x ………………4分 解得9=x ．………………8分检验： 当 x = 9时，()3-x x 0≠所以x = 9是原方程的解．………………9分 18．（本小题满分9分） 解：（1）如图所示，线段CE 为所求； ………………3分 （2）证明：在□ABCD 中，A D ∥BC ，AD =BC .∴∠DAF =∠CEF ………………5分 ∵CE =BC ， ∴AD =CE , ………………7分 又∵∠DFA =∠CFE ， ………………8分 ∴△AFD ≌ △EFC . ………………9分（说明：第（2）小题的解法较多，只要过程合理，同样给满分） 19．（本小题满分10分）解法一：∵1=-b a 且2=ab∴32232ab b a b a +-)2(22b ab a ab +-=………………3分 2)(b a ab -= ………………6分212⨯=………………8分2= ………………10分解法二：由1=-b a 且2=ab解得⎩⎨⎧==12b a 或⎩⎨⎧-=-=21b a………………4分当⎩⎨⎧==12b a 时，32232ab b a b a +-2=；………………7分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，32232ab b a b a +-2= ………………10分（说明：解法二只算出一种情况共给5分）20. （本小题满分10分） 解：（1）m =48﹣6﹣25﹣3﹣2=12； ………………3分（2）记6～8小时的3名学生为A 1、A 2、A 3，8～10小时的两名学生为B 1、B 2，…8分（说明：列表法的评分标准与画树状图法一样） P （至少1人时间在8～10小时）=1072014=． ………………10分21．（本小题满分12分） 解：（1）解法一：设购买A 型学习用品x 件，则B 型学习用品为(1000)x -．根据题意，得2030(1000)26000x x +-=………3分解方程，得x =400 ………5分 则10001000400600x -=-=答：购买A 型学习用品400件，购买B 型学习用品600件．………6分解法二：设购买A 型学习用品x 件， B 型学习用品y 件．根据题意，得⎩⎨⎧=+=+2600030201000y x y x………3分解方程组，得⎩⎨⎧==600400y x………5分答：购买A 型学习用品400件，购买B 型学习用品600件．………6分（2）设最多购买B 型学习用品z 件，则购买A 型学习用品为)1000(z -件．根据题意，得2800030)1000(20≤+-z z ………9分 解不等式，得800≤z………11分 答：最多购买B 型学习用品800件．………12分22．（本小题满分12分）解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60º ∴∠BAO ＝30º，∠AOB ＝90º，AC =2AO ………3分 ∴330cos 32cos =︒⨯=∠⋅=BAO AB AO ………5分∴AC =6.………6分（说明：第（1）小题的解法较多，只要过程合理、答案正确，同样给满分） （2）证明： 连接DE ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ………7分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴BD 平分∠ABC ………9分∵⊙D 与边AB 相切于点E ，∴DE ⊥AB∵DF ⊥BC ∴DF =DE………11分 ∴⊙D 与边BC 也相切.………12分 23．（本小题满分12分） 解：（1）∵点A 的坐标为（0，2），点B 的坐标为（0，﹣3）， ∴AB =5， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴点C 的坐标为（5，﹣3）． ………………2分 ∵反比例函数xky =的图象经过点C ， ∴53k=-，解得k =﹣15， ∴反比例函数的解析式为xy 15-=； ………………4分（2）设点P 到AD 的距离为h ． ∵△P AD 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，∴25521=⨯⨯h ，解得h =10． ………………6分① 当点P 在第二象限时，122=+=h y P ………………7分 此时，451215-=-=P x ∴点P 的坐标为（45-，12） ………………9分 ②当点P 在第四象限时，8)2(-=--=h y P ………………10分 此时，815815=--=P x ∴点P 的坐标为（815，﹣8） ………………12分综上所述，点P 的坐标为（45-，12）或（815，﹣8）． 24．（本小题满分14分）解：（1）∵点O 是圆心，OD ⊥BC ，BC =1，∴BD =12BC =12。
2014广州一模高三理科数学答题情况分析
顺德区广州一模高三理科数学答题情况分析顺德区数学中心教研组第一部分：基本情况一、平均分：全区平均分84.13，其中一卷（选择题）平均28.73，二卷平均分55.4，各校平均分如下：班级、学校总人数参加人数平均分排名最高分国华纪念中学113 113 117.47 1 144顺德一中685 685 104.81 2 138李兆基中学369 369 100.67 3 134郑裕彤中学329 328 96.16 4 131省实顺德学校96 96 93.52 5 141华侨中学288 288 92.94 6 125罗定邦中学443 443 90.62 7 124碧桂园学校53 53 90.02 8 120伦教中学288 288 81.6 9 117容山中学472 472 80.79 10 125杏坛中学371 371 77.98 11 120乐从中学453 453 77.48 12 131均安中学284 284 76.19 13 118青云中学256 256 75.34 14 115北滘中学222 222 75.09 15 123龙江中学292 291 73.68 16 117勒流中学297 297 71.57 17 119一中实验学校114 114 66 18 112莘村中学272 271 62.98 19 137桂洲中学260 259 61.19 20 121全体5957 5953 84.13 144从平均分来看，区属中学基本正常，每位学校都发挥出自己应有的水平；镇属中学除罗定邦一枝独秀外（均分超过90分），伦教、容山均分超过80，大部分学校的均分位于70—80之间，差距不大。
和上学期期末考试相比变化不大，其中北滘进步最大。
二、理数分数段分布情况总人数：5953 最高分：144 最低分：5 平均分：84分数段人数比例累计人数累计比例>=145 0 0.00% 0 0.00%140-145 3 0.05% 3 0.05%135-140 6 0.10% 9 0.15%130-135 31 0.52% 40 0.67%125-130 56 0.94% 96 1.61%120-125 116 1.95% 212 3.56%115-120 207 3.48% 419 7.04%110-115 275 4.62% 694 11.66%105-110 415 6.97% 1109 18.63%100-105 496 8.33% 1605 26.96%95-100 585 9.83% 2190 36.79%90-95 552 9.27% 2742 46.06%85-90 489 8.21% 3231 54.28%80-85 527 8.85% 3758 63.13%75-80 399 6.70% 4157 69.83%70-75 365 6.13% 4522 75.96%65-70 316 5.31% 4838 81.27%60-65 250 4.20% 5088 85.47%55-60 177 2.97% 5265 88.44%50-55 158 2.65% 5423 91.10%45-50 133 2.23% 5556 93.33%40-45 101 1.70% 5657 95.03%35-40 92 1.55% 5749 96.57%30-35 63 1.06% 5812 97.63%<30 141 2.37% 5953 100.00%三、全区前十名：姓名班级学校理数名次孙鹏程 1 国华纪念中学144 1高雅玉洁 5 省实顺德学校141 2张逸凡 1 国华纪念中学140 3王健 3 国华纪念中学138 4钟秋宇 3 顺德一中138 5康国强 1 国华纪念中学137 6王鹤燃 1 国华纪念中学137 7罗泳妍12 莘村中学137 8吴文灿 1 国华纪念中学135 9张闳一 1 国华纪念中学134 10 前十名中，国华有7人，一中、省实、莘村各1人第二部分：学生答题情况一、选择题：题号答案平均分得分率选A率% 选B率% 选C率% 选D率%单选1 A 4.77 95.35 95.35 1.62 0.44 2.54 单选2 B 4.37 87.46 4.85 87.46 5.16 2.43 单选3 A 4.67 93.5 93.5 2.48 1.79 2.11 单选4 D 3.44 68.74 5.95 3.15 22.09 68.74 单选5 B 4.83 96.7 0.54 96.7 1.08 1.63 单选6 C 2.68 53.67 22.41 18.86 53.67 4.92单选7 D 2.24 44.73 17.9 8.21 28.99 44.73 单选8A 1.81 36.27 36.27 8.53 23.49 31.31从上表可以看出，选择题中第4、6、7、8得分率较低。
广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试理科数学试卷(解析版)
广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1B =R （）ð ）A. B.} C.【答案】B【解析】试题分析：x x ，，}1，故()R A C B =考点：一元二次不等式的解法、集合的交集、补集运算2，则3f ⎛⎫=⎪ ⎪（ ）【答案】D 【解析】试题分析：1333=，且g x，12132-=-. 考点：指数与对数运算3 ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：若直线与直线平行，则有即是“直.考点：两直线的位置关系、充分必要条件4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（）A.12πD.24π【答案】D【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个圆锥，且圆锥的底面直径为表示圆锥的底面半径，考点：三视图、圆锥的表面积5．在△ABC ABC的面积为（）【答案】A【解析】AB AC=⋅⋅AB AC>3⎛⋅=，，AB AC⋅⋅AB AC考点：平面向量的数量积、同角三角函数之间的关系、三角形的面积6（）【答案】C【解析】试题分析：由于函数的图象在上是连续的，且，即；考点：零点存在定理7心率为（）C.2【答案】B【解析】考点：双曲线的渐近线、直线与圆的位置关系、点到直线的距离8）A.2B.3C.2【答案】A【解析】，故曲线上的点的切线方程为，即（1（2）令，解得，将代入得即切点坐标入切线方程得考点：函数图象的切线方程二、填空题9的实部是 .【答案】1【解析】考点：复数的概念与四则运算10的展开式中的常数项是 .（用数字作答）【解析】试题分析：的展开式的第项为-2x考点：二项式定理11．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是 .【解析】出循环体，输出的19300==考点：算法与程序框图、等差数列求和12的最大值是.【解析】不等，不等为由图可知，考点：线性规划13有实根的概率是 .【解析】试题分析：因为关于的方程有实根，示的平面区域如下图的阴影部分所示，该区域为一个等腰直角三角形，其面积为考点：一元二次方程根的个数的判断、几何概型三、解答题141，最小（1（2ABC【答案】（1（2【解析】试题分析：（1解析式；（2值转化和角的三角函数求解，具体转化思路为以及两角和的余弦公式进行求值.试题解析：（1（2）由（1ABC考点：三角函数的基本性质、两角和的余弦函数、同角三角函数之间的关系15．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物（1（2（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2分钟的概率.【答案】（1（2）详见解析；（3【解析】试题分析：（1）先根据“这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80％”这一条件求（2）先确定一次购物时间所对应的顾客数，并计算出相应的概率，然后再列出随机变量的分布列并计算数学期望；（3）先确定2位顾客需结算时间总和不超过2分钟的不同组合，并结合独立事件的概率进行计算即可.试题解析：（1）（2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，由于各顾客的结算相互独立，所以为所求.考点：离散型随机变量及其分布列、独立事件的概率=164BD O的中点，DM（1）求证：//OM平面ABD；（2）求证：平面DOM⊥平面ABC；（3）求二面角D A B O--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）21 7.【解析】面ABDABD（2）因为在菱形ABCD在菱形ABCD中，AB＝AD＝4BD＝4.因为O为BD的中点，因为O为AC的中点，M为BCABC ABCOM O=ABC.DOM ABC.（3DE.由（2ABCOE O＝，所以ODE.ODE，DEO是二面角.在Rt △DOE所以二面余弦值考点：直线与平面平行、平面与平面平行、二面角 17（1（2{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n. 【答案】（1（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1（2学归纳法结合二项式定理进行放缩达到证明不等式的目的.试题解析：（1（2）由（1..考点：累加法、错位相减法、二项式定理18P为椭（1（2A、B、C、D形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.【答案】（1（2ABCD【解析】试题分析：（1）（2.试题解析：（1）因为P.所以椭圆C（2ABCD24.ABCD 考点：椭圆的定义、余弦定理、二次函数 19（1P 关于点M 对称的点Q M 的坐标；若不存在，请说明理由；（2（3）在（2.【答案】（1（2（3【解析】试题分析：（1（2）利用（1）中条件的条件，并注意到定义n⎝中第项与倒数第项的和（3.试题解析：（1P 关于点M 对称的点QM.（2）由（1由①+（3）由（2.考点：函数的对称性、倒序相加法、导数。
2014广州高三第一次模拟考试理数
广州市2014届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：01．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
02．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
03．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
04．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
05．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A ，B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P •=•.线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式x b y ax x y yx x b ni ini ii-=---=∑∑==ˆ,)())((ˆ121， 其中y x ,表示样本均值。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．01．设全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}4,2{=B ，则A.B A U ⋃=B.B A C U U ⋃=)(C.)(B C A U U ⋃=D.)()(B C A C U U U ⋃=02．已知bi ia+=-11，其中a,b 是实数，i 是虚数单位，则a+bi=A.1+2iB.2+iC.2-iD.1-2i03．已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥+.01,1,12y y x y x ，则y x z 2-=的最大值为A.-3 B .0 C.1 D.3 04．直线03==y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是A.6B.3C.2D.305．某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是A.2B.1C.32 D.3106．函数)cos )(sin cos (sin x x x x y -+=是A.奇函数且在]2,0[π上单调递增B.奇函数且在],2[ππ上单调递增C.偶函数且在]2,0[π上单调递增D.偶函数且在],2[ππ上单调递增07．已知e 是自然对数的底数，函数2)(-+=x e x f x的零点为a ，函数2ln )(-+=x x x g 的零点为b ，则下列不等式中成立的是A.)()1()(b f f a f <<B.)1()()(f b f a f <<C.)()()1(b f a f f <<D.)()1()(a f f b f <<08．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知km AB 1=，水流速度为2km/h ，若客船行驶完航程所用最短时间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为 A.8km/h B.h km /26C.h km /342D.10km/h二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9-13题）09．不等式x x ≤-1的解集是_________.10．⎰=1._______cos xdx11．某工厂的某种型号机器的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有下表的统计资料：x 2 3 4 5 6y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归方程a x yˆ23.1ˆ+=，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.12．已知1,0≠>a a ，函数⎩⎨⎧>+-≤=1,1,)(x a x x a x f x ，若函数)(x f 在区间[0,2]上的最大值比最小值大25，则a 的值为________.13．已知经过同一点的)3*,(≥∈n N n n 个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n 个平面将空间分成)(n f 个部分，则.________)(______,)3(n f f =（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点)23,2(πA ，点B 在直线0sin 3cos =+θρθρ上 运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为______. 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 与⊙O交于点D ，若BC=3，516=AD ，则AB 的长为______.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函)4sin()(πω+=x A x f （其中0,0,>>∈ωA R x ）的最大值为2，最小正周期为8．(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若函数)(x f 图象上的两点P ，Q 的横坐标依次为2，4，O 坐标原点，求POQ ∆的面积.17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：ξ0 1 2 3P41 ab241 (1)求至少有一位学生做对该题的概率； (2)求m,n 的值； (3)求ξ的数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC ∆是边长为2的等 边三角形，⊥1AA 平面ABC ，D ，E 分别是CC 1，AB 的中点. (1)求证：CE//平面A 1BD ；(2)若H 为A 1B 上的动点，当CH 为平面A 1AB 所成最大角的正切值为215时，求平面A 1BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且n na a a a ++++Λ32132*)(2)1(N n n S n n ∈+-=.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若p,q,r 是三个互不相等的正整数，且p,q,r 成等差数列，试判断1,1,1---r q p a a a 是否成等比数列？并说明理由.20．C 121．参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、其09．13．三、16．∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===………8分 ∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===.…10分 ∴POQ sin ∠==………11分∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ………5分分17．（解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12P A P B m P C n ,,===. ………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.……3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ………4分()()113224P P ABC mn ξ====， ………5分 整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++12分18．（∴CE ⊥平面1A AB . ………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. ………7分∵CE =Rt△CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ………8分 ∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大.此时，tan CE EHC EH EH∠===.∴EH =. ………9分∵CE∥BF，CE⊥平面1A AB，∴BF⊥平面1A AB. ………10分∵AB⊂平面1A AB，1A B⊂平面1A AB，∴BF⊥AB，BF⊥1A B. (11)分∴1ABA∠为平面1A BD与平面ABC所成二面角（锐角）. ………12分在Rt△EHB中，BH==cos1ABA∠BHEB==分1此时，tanCEEHCEH EH∠===. ∴EH=. ………9分在Rt△EHB中，5BH==.∵Rt△EHB～Rt△1A AB，∴1EH BHAA AB=，即1552AA=.∴14AA =. ………10分以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -. 则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =u u u r ()004,,，1A B =u u ur )14,-，1A D =u u u u r()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，19．（ 1n n +∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++， 得12n n a S +=+. ④ ………4分 当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ………6分 由12224a a S +=+，得24a =， ∴212a a =. ………7分n20．（∵2c =， ∴22212b a c =-=. ………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ………3分 (2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x BC --=，)413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //u u u r u u u r. ………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ………5分 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②.∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x y -=. ① ………6分同理， 20202y x xy -=. ② ………7分综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ………10分∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ………14分 解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为，分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211f x m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+，∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x mx m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--.).,则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m mx x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞. ∴()1x ϕ'=-mk()221x k x k m -++-+. ………3分 且至11220>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ………8分综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .…9分 (其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭ 112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L 122412n n n nC x C x C x ----=+++L . ………10分⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ………11分()22k ≥⋅-+………12分 122k +=-. ………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ……14分。
广东省广州市花都区2014中考数学一模试题(含答案)
2014年九年级综合测试（一）数 学 试 题第一部分选择题(共30分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1、2-的相反数是（ ） A. 2 B.21 C. 12- D. 2-2、民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）3、下列运算正确的是（ ）A ．2x+3y=5xyB ．5m 2·m 3=5m 5C ．（a —b ）2=a 2—b 2D ．m 2·m 3=m 64234a （a ＞0）的结果是（ ）A ．23aB 3aC 3aD 3a 5、下列命题中是假命题的是（ ）A ．平行四边形的对边相等B ．菱形的四条边相等C ．矩形的对边平行且相等D ．等腰梯形的对边相等 6、下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（ ） A ．210x += B ．210x x ++= C ．210x x -+= D ．210x x --=7、如果单项式132a xy +-与212b x y 是同类项，那么a 、b 的值分别为（ ）A ．1a =，3b =B ．1a =，2b =C ．2a =，3b =D ．2a =，2b =8、如图,将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ,则四边形ABFD 的周长为（ ）A ．6B .8 C.10 D .12A B C DFA ．B ．C ．D ．9、某人驾车从A 地上高速公路前往B 地,中途在服务区休息了一段时间. 出发时油箱中存油40升,到B 地后发现油箱中还剩油4升,则从A 地到B 地过程中，油箱所剩油量y (升)与时间t (小时)之间函数大致图形是( )10、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个 小正方形的面积分别为S 1、S 2，则S 1 + S 2的值为（ ） A. 16 B. 17 C. 18 D. 19第二部分 非选择题(共120分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分。
广东省广州市2014届高三1月调研测试数学(理)试题及参考答案
试卷类型：A广州市2014届高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准16．（本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．所以coscos 22A C B π+-= (2)分sin 2B ==． 所以2cos 12sin2B B =-……5分13=．………7分 （2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，……9分得2210c c -+=．……11分 解得1c =．……12分 17．（本小题满分12分） 解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．…………………………………………………………………………………………………1分 所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分 （2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===5分()11510215C C 101C 21P X ===，…7分()20510215C C 22C 21P X ===9分 所以X 的分布列为：所以数学期望321221170=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明1：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得BC AC 3=．……………………………………………………2分 所以222AC BC AB +=．所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分……………………10分因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分证明2：因为60ABC ︒∠=，设BAC α∠=()0120α<<，则120ACB α∠=-．在△ABC 中，由正弦定理，得()sin sin 120BC ABαα=-．…………………………………………1分 因为BC AB 2=，所以()sin 1202sin αα-=．整理得tan 3α=，所以30α=．…………………………………………………………………2分 所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分 因为AC FB ⊥，BF BC B =，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分取AB 的中点M ，连结MD ，ME ，因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60DAM ∠=， 所以MD MA AD ==．所以△MAD 是等边三角形，且MEBF ．…………………………7分取AD 的中点N ，连结MN ，NE ，则MN AD ⊥．………8分 因为MN ⊂平面ABCD ，ED FC ，所以ED MN ⊥．因为ADED D =，所以MN ⊥平面ADE ． ……………9分所以MEN ∠为直线BF 与平面ADE 所成角． ……………10分 因为NE ⊂平面ADE ，所以MN ⊥NE ．…………………11分因为MN AD =，ME ，…………………………………………12分 在Rt △MNE中，sin 4MN MEN ME ∠==．……………………………………………………13分 所以直线BF 与平面ADE所成角的正弦值为4．………………………………………………14分 解法2：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C =，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分所以CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系xyz C -．………………………7分因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60ABC ︒∠=所以CB CD CF ==．不妨设1BC =，则()0,1,0B ，()0,0,1F，)A，1,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，1,12E ⎫-⎪⎪⎝⎭， 所以()0,1,1BF =-，31,02DA ⎛⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,0,1DE =．………………………………………9分 设平面ADE 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.DA DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.y x z +=⎪=⎩取1x =，得=n ()1,是平面ADE 的一个法向量．………………………………………11分 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ， 则)()1,11,3,0sincos ,22BF BF BF -⋅θ=〈〉===n n n13分 所以直线BF 与平面ADE ………………………………………………14分 19．（本小题满分14分） 解：（1）因为1321n n n a a a +=+，所以111233n n a a +=+．…………………………………………………1分所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．………3分因为135a =，则11213a -=．……4分所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为31的等比数列．…………………………………………5分（2）由（1）知，112121333n n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，所以332nn na =+．……………………………………7分 假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩…………9分由332n n na =+与()()()2111s m t a a a -=--， 得2333111323232s m t sm t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………10分 即232323343m tm t s s ++⨯+⨯=+⨯．……………………………………………………………11分因为2m t s +=，所以3323m t s+=⨯．……………………………………………………………12分因为3323m t s +≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．……………………………………………………………………13分 所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．……………………………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：（1）因为()313f x x ax =-，()221g x bx b =+-， 所以()2f x x a '=-，()2g x bx '=.…………………………………………………………………1分因为曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同切线, 所以()()11g f =,且()()11g f '='。
2014广州一模(文数)【含答案--全WORD--精心排版】
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：1．函数()()ln 1f x x =+的定义域为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()1,+∞ 2．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为（ ） A ．2- B ．2±C ．D ．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则cb为（ ） A ．2sin C B ．2cos B C ．2sin B D ．2cos C4．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为（ ）A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++= 5．已知1x >-，则函数11y x x =++的最小值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 6．函数()21xf x x =+的图象大致是（ ）7．已知非空集合M 和N ，规定{}M N x x M x N -=∈∉且，那么()M M N --等于（ ） A ．MN B ．M N C ．M D ．N8．任取实数a ，b ∈[]1,1-，则a ，b 满足22a b -≤的概率为（ ） A ．18 B ．14 C ．34 D ．789．设a ，b 是两个非零向量，则使a b =a b 成立的一个必要非充分条件是（ ） A ．=a b B ．ab C ．⊥a b D ．λ=a b ()0λ>10．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin2n n n a a ++π-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =（ ）（一）必做题（11～13题）11．执行如图1的程序框图，若输入=3k ，则输出S 的值为 ．12．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是 ．13．由空间向量()1,2,3=a ，()1,1,1=-b 构成的向量集合{},A k k ==+∈Z x x a b ，则向量x 的模x 的最小 值为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若AB =a 的值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA与圆O 交于A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过保质期． （1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率．侧（左）视图图2俯视图P图317．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （1）求实数a 的值；（2）求函数()x f 的最小正周期与单调递增区间．18．（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =．（1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长；（3）求几何体ABFED 的体积． 1D ABCDEF1A1B1C 图419．（本小题满分14分） 已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足62n n nb a n =-，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．（注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值．）20．（本小题满分14分） 已知函数()32693f x x x x =-+-．（1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知双曲线E ：()222104x y a a -=>的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，离，点P 是直线23a x =上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =．（1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=，证明点H 恒在一条定直线上．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：CABAC ABDBC二、填空题：11. 7 12. 4 13.14. 1-或5- 15.2316．解：记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件A ，从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法．因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件A 包含4种情形．则()4263P A ==． 所以从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料的概率为23． （2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 表示第一瓶抽到的是x ，第二瓶抽到的是y ，则),(y x 是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ，则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,1，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ，()3,1，()3,2，()3,4，()3,a ，()3,b ，()4,1，()4,2，()4,3，()4,a ，()4,b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),a b ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),b a ．共30种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),a b ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),b a ．共18种基本事件．则183()305P B ==．所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为35． 解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ，则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ，()3,4，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共15种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共9种基本事件．则93()155P B ==． 所以从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料的概率为35． 17．解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点π03⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．即ππsin cos 033a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即022a +=．解得a =（2）由（1）得，()sin f x x x =12sin 2x x ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭2sin cos cos sin 33x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 3x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以函数()x f 的最小正周期为2π．因为函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ， 所以当πππ2π2π232k x k -≤+≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增，即5ππ2π2π66k x k -≤≤+()k ∈Z 时，函数()x f 单调递增．所以函数()x f 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ． 18．（1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111AC B D ⊥． 在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ， 所以111AC DD ⊥．因为1111B D DD D =，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ，所以11AC ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF AC ⊥．（2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BH AE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FG BH ，则FGAE ．连结EG ，则A ，E ，G ，F 四点共面． 因为11122CH C C a ==，11133HG BF C C a ===，所以 1C G 116C C CH HG a =--=．故当1C G 16a =时，A ，E ，G ，F 四点共面． （3）解：因为四边形EFBD 是直角梯形，所以几何体ABFED 为四棱锥A EFBD -．因为()211322212EFBDa a BF DE BD S a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===，点A 到平面EFBD的距离为122h AC a ==，所以231153336A EFBD EFBD V S h a -===．故几何体ABFED 的体积为3536a ．19．解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯，即28n a n =+． 所以62n n nb a n =-22n n =-． （2）由（1）知()()2228n n b a n n n -=--+()(24822n n n n ⎡⎤⎡⎤=--=+-+⎣⎦⎣⎦，因为526<+<，所以当5n ≤时，n n a b >，当5n >时，n n b a >．所以{}max ,n n n c a b =228,5,2, 5.n n n n n +≤⎧=⎨->⎩当5n ≤时，123n n S c c c c =++++123n a a a a =++++()10121428n =+++++()10282n n ++=⨯29n n =+．1DABCDEF 1A1B1C 1DABCD EF 1A1B 1C G H当5n >时，123n n S c c c c =++++()()12567n a a a b b b =+++++++()()()()()222225956267278282n n ⎡⎤=+⨯+-⨯+-⨯+-⨯++-⨯⎣⎦()()2222706782678n n ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦()()()()22222222265701231234522n n n +-⎡⎤=+++++-++++-⎢⎥⎣⎦()()()()1217055656n n n n n ++⎡⎤=+--+-⎢⎥⎣⎦3211545326n n n =--+．综上可知，n S 2329,5,11545,5.326n n n n n n n ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩20．解：（1）因为()32693f x x x x =-+-，所以()23129f x x x '=-+()()313x x =--． 令'()0f x =，可得1x =或3x =．则'(),()f x f x 在R 上的变化情况为：所以当1x =时，函数()f x 有极大值为1，当3x =时，函数()f x 有极小值为3-．（2）假设函数()f x 在()3,+∞上存在“域同区间”[],s t ()3s t <<，由（1）知函数()f x 在()3,+∞上单调递增．所以()(),.f s s f t t =⎧⎪⎨=⎪⎩即3232693,693.s s s s t t t t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩也就是方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根．设32()683g x x x x =-+-()3x >，则2()3128g x x x '=-+．令()g x '0=，解得123x =-，223x =>．当23x x <<时，()g x '0<，当2x x >时，()g x '0>，所以函数()g x 在区间()23,x 上单调递减，在区间()2,x+∞上单调递增．因为()3 60g =-<，()()230g x g <<，()5120g =>，所以函数()g x 在区间()3,+∞上只有一个零点．这与方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立．所以函数()f x 在()3,+∞上不存在“域同区间”．21．（1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，由题意可得22 4.c a c a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得a =． （2）证明：由（1）可知，直线2533a x ==，点()23,0F ．设点5,3P t ⎛⎫⎪⎝⎭,()00,Q x y ，220PF QF =，5⎛⎫422x y 4∴2000020*******PQ OQy t y y ty k k x x x x --⋅=⋅=--()()2002004453453553x x x x ---==-．∴直线PQ 与直线OQ 斜率之积是定值45．（3）证法1：设点(),H x y ，且过点5,13P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，由（2）知()2211455y x =-，()2222455y x =-．设PM MH PN HN λ==，则,.PM PN MH HN λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩．即()()1122112255,1,1,33,,.x y x y x x y y x x y y λλ⎧⎛⎫⎛⎫--=--⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪--=--⎩整理，得()()()1212121251,31,1,1.x x y y x x x y y y λλλλλλλλ⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪+=+⎪+=+⎪⎩①②③④由①×③，②×④得()()22221222221251,31.x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨⎪-=-⎩⑤⑥将()2211455y x =-，()2222455y x =-代入⑥，得2221224451x x y λλ-=⨯--． ⑦，将⑤代入⑦，得443y x =-．所以点H 恒在定直线43120x y --=上． 证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在．设直线l 的方程为513y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，由2251,31.54y k x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩ 消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=．因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，则有()()()()()()()22222122212290053900455690,3053,95425569.954k k k k k k k x x k k k x x k ⎧⎪∆=-+--+>⎪⎪-⎪+=⎨-⎪⎪-+⎪=⎪-⎩ 设点(),H x y ，由PM MH PN HN =，得112125353x x x x x x --=--．整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．将②③代入上式得()()()()()2222150569303553100954954k k x k k x k k -++--+=--．整理得()354150x k x --+=． ④，因为点H 在直线5⎛⎫ ①② ③。
2014年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(文科)
试卷类型：A2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）2014.3本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数()()ln 1f x x =+的定义域为A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,-+∞D ．()1,+∞2．已知i 是虚数单位，若()2i 34i m +=-，则实数m 的值为A．2-B ．2±CD ．23．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C B =，则A ．2sin CB ．2cos BC ．2sin BD ．2cos C 4．圆()()22121x y -+-=关于直线y x =对称的圆的方程为A ．()()22211x y -+-= B ．()()22121x y ++-= C ．()()22211x y ++-= D ．()()22121x y -++= 5．已知1x >-，则函数 B ．0 C ．1 D ．26 7．已知非空集合M 和N ，规定，那么()M M N --等于A ．M NB ．M NC ．MD ．N8．任取实数a ，b ∈[]1,1-，则a ，b 满足 A B C D 9．设a ，b 是两个非零向量，则使 A ．=a b B ．a b C ．⊥a b D ．λ=a b ()0λ>10．在数列{}n a 中，已知11a =，，记nS为数列{}n a 的前n 项和，则2014S =A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．执行如图1的程序框图，若输入=3k ，则输出S 的值为 ．12．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图2所示，则这个四棱锥的体积是 ．13．由空间向量()1,2,3=a ，()1,1,1=-b 构成的向量集合，则向量x 的模值为 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ-=与曲线2cos 4sin ρθθ=-相交于A ，B 两点，若，则实数a 的值为 ．15．（几何证明选讲选做题）如图3，PC 是圆O 的切线，切点为C ，直线PA 与圆O 交于 A ，B 两点，APC ∠的平分线分别交弦CA ，CB 于D ，E两点，已知3PC =，2PB =，则的值为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知某种同型号的6瓶饮料中有2瓶已过保质期．（1）从6瓶饮料中任意抽取1瓶，求抽到没过保质期的饮料的概率； （2）从6瓶饮料中随机抽取2瓶，求抽到已过保质期的饮料的概率． 17．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点 （1）求实数a 的值；（2）求函数()x f 的最小正周期与单调递增区间．P图318．（本小题满分14分）如图4，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是 棱1D D 的中点，点F 在棱1B B 上，且满足12B F FB =． （1）求证：11EF AC ⊥；（2）在棱1C C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时1C G 的长； （3）求几何体ABFED 的体积． 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，数列{}n b 满足，*n ∈N ． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）记{}max ,n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． （注：{}max ,a b 表示a 与b 的最大值．） 20．（本小题满分14分）已知函数()32693f x x x x =-+-．（1）求函数()f x 的极值；（2）定义：若函数()h x 在区间[],s t ()s t <上的取值范围为[],s t ，则称区间[],s t 为函数()h x 的“域同区间”．试问函数()f x 在()3,+∞上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知双曲线E ：的中心为原点O ，左，右焦点分别为1F ，2F ，点P 是1D ABCD EF1A1B1C 图4上任意一点，点Q 在双曲线E 上，且满足220PF QF =． （1）求实数a 的值；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与双曲线右支交于不同两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足，证明点H 恒在一条定直线上．2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分）（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）（1）解：记“从6瓶饮料中任意抽取1瓶，抽到没过保质期的饮料”为事件A ，从6瓶饮料中中任意抽取1瓶，共有6种不同的抽法．因为6瓶饮料中有2瓶已过保质期，所以事件A 包含4种情形．所以从6瓶饮料中任意抽取1 （2）解法1：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ，随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 表示第一瓶抽到的是x ，第二瓶抽到的是y ，则),(y x 是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ，则从6瓶饮料中依次随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,1，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ， ()3,1，()3,2，()3,4，()3,a ，()3,b ，()4,1，()4,2，()4,3，()4,a ，()4,b ， (),1a ，(),2a ，(),3a ，(),4a ，(),a b ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),b a ．共30种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),1a ，(),2a ， (),3a ，(),4a ，(),a b ，(),1b ，(),2b ，(),3b ，(),4b ，(),b a ．共18种基本事件．所以从6瓶饮料中随机抽取2 解法2：记“从6瓶饮料中随机抽取2瓶，抽到已过保质期的饮料”为事件B ， 随机抽取2瓶饮料，抽到的饮料分别记为x ，y ，则),(y x 是一个基本事件．由于是随机抽取，所以抽取到的任何基本事件的概率相等．不妨设没过保质期的饮料为1，2，3，4， 已过保质期的饮料为a ，b ，则从6瓶饮料中随机抽取2瓶的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()1,a ，()1,b ，()2,3，()2,4，()2,a ，()2,b ，()3,4， ()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共15种基本事件．由于2瓶饮料中有1瓶已过保质期就表示抽到已过保质期的饮料，所以事件B 包含的基本事件有：()1,a ，()1,b ，()2,a ，()2,b ，()3,a ，()3,b ，()4,a ，()4,b ，(),a b ．共9种基本事件．所以从6瓶饮料中随机抽取2 17．（本小题满分）（本小题主要考查三角函数图象的周期性与单调性、同角三角函数的基本关系、三角函数的化简等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为函数()sin cos f x x a x =+的图象经过点（2）由（1）得，所以函数()x f 的最小正周期为2π．因为函数sin y x =的单调递增区间为 时，函数()x f 单调递增， 时，函数()x f 单调递增．所以函数()x f 的单调递增区间为18．（本小题满分）（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：连结11B D ，BD ，因为四边形1111A B C D 是正方形，所以1111AC B D ⊥． 在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111A B C D ，11AC ⊂平面1111A B C D ，所以111AC DD ⊥．因为1111B D DD D = ，11B D ，1DD ⊂平面11BB D D ， 所以11AC ⊥平面11BB D D ．因为EF ⊂平面11BB D D ，所以11EF AC ⊥． （2）解：取1C C 的中点H ，连结BH ，则BH AE ．在平面11BB C C 中，过点F 作FG BH ，则FG AE ．（3）解：因为四边形EFBD 是直角梯形，1D ABCDEF 1A1B1C 1D ABCD EF 1A1B 1CG H所以几何体ABFED 为四棱锥A EFBD -．点A 到平面EFBD 的距离为故几何体ABFED 的体积为19．（本小题满分）（本小题主要考查等差数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）解：（1）因为等差数列{}n a 的首项为10，公差为2，所以()1012n a n =+-⨯， 即28n a n =+． （2）由（1）知()()2228n n b a n n n -=--+，所以当5n ≤时，n n a b >，当5n >时，n n b a >．所以{}max ,n n n c a b =228,5,2, 5.n n n n n +≤⎧=⎨->⎩当5n ≤时，123n n S c c c c =++++ 123n a a a a =++++()10121428n =+++++当5n >时，123n n S c c c c =++++()()12567n a a a b b b =+++++++()()()()()222225956267278282n n ⎡⎤=+⨯+-⨯+-⨯+-⨯++-⨯⎣⎦ ()()2222706782678n n ⎡⎤=+++++-++++⎣⎦20．（本小题满分）（本小题主要考查函数的极值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） 解：（1）因为()32693f x x x x =-+-，所以()23129f x x x '=-+()()313x x =--．令'()0f x =，可得1x =或3x = 则'(),()f x f x 在R 上的变化情况为：所以当1x =时，函数()f x 有极大值为1，当3x =时，函数()f x 有极小值为3-． （2）假设函数()f x 在()3,+∞上存在“域同区间”[],s t ()3s t <<，由（1）知函数()f x 在()3,+∞上单调递增．所以()(),.f s s f t t =⎧⎪⎨=⎪⎩即3232693,693.s s s s t t t t ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 也就是方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根． 设32()683g x x x x =-+-()3x >，则2()3128g x x x '=-+． 令()g x '0=，解得当23x x <<时，()g x '0<，当2x x >时，()g x '0>，所以函数()g x 在区间()23,x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增． 因为()3 60g =-<，()()230g x g <<，()5120g =>， 所以函数()g x 在区间()3,+∞上只有一个零点．这与方程32693x x x x -+-=有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数()f x 在()3,+∞上不存在“域同区间”．21．（本小题满分）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E 的半焦距为c ，（2）证明：由（1）可知，直线x ，点()23,0F ．设点,()00,Q x y ， 因为220PF QF = ，所以因为点()00,Q x y 在双曲线E 上，所以（3）证法1：设点(),H x y 的直线l与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，由（2⑦ 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．证法2：依题意，直线l 的斜率k 存在． 设直线l 的方程为消去y 得()()()22229453053255690k x k k x k k -+---+=． 因为直线l 与双曲线E 的右支交于不同两点()11,M x y ，()22,N x y ，设点(),H x y，由 整理得()()1212635100x x x x x x -+++=．整理得()354150x k x --+=． ④ 因为点H 在直线l 上，所以 ⑤ 联立④⑤消去k 得43120x y --=． 所以点H 恒在定直线43120x y --=上．（本题（3）只要求证明点H 恒在定直线43120x y --=上，无需求出x 或y 的范围．）①② ③。
广东省广州市天河区2014年中考一模数学(附答案)
广东省广州市天河区2014年中考一模数 学本试卷分选择题和非选择题两部分,共三大题25小题,共4页,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答卷前,考生务必在答题卡第1面､第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的班级､姓名､座位号;填写考号,再用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,涉及作图的题目,用2B 铅笔画图.答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;改动的答案也不能超出指定的区域.不准使用铅笔､圆珠笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分 选择题(共30分)一､选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.) 1. -4的绝对值是( ) .A . 41-B . 4C .-4D .41 2. 如右图,给出的三视图表示的几何体是( ). A .圆锥 B .正三棱柱 C .正三棱锥 D .圆柱 3. 下列运算正确的是( ).A .236·a a a = B .34a a a =- C .b a b a +-=--)( D .a a a 632=⋅ 4. 若1x ,2x 是一元二次方程0232=+-x x 的两个根,则1x +2x 的值是( ).A .-2B .2C .3D .-35. 如图,在菱形ABCD 中,AB =3,∠ABC =60°,则对角线AC =( ). A .12 B . 9 C . 6 D . 36. 圆的位置关系有很多种,如图中不存在位置关系的是( ).第2题A.内含B.相交C.外离D.外切7. 如图,一小型水库堤坝的横断面为直角梯形,坝顶BC宽6m,坝高14m,斜坡CD的坡度i=1:2,则坝底AD的长为( ).A.13mB.34mC.(m D.40m8. 一个三角形的两边长分别为3和6,第三边的边长是方程0862=+-xx的根,则这个三角形的周长是( ).A.11B. 13C. 11或13D.无法确定9. 华润万家超市某服装专柜在销售中发现:进货价为每件50元,销售价为每件90元的某品牌童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利.经调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件,要想平均每天销售这种童装盈利1200元,同时又要使顾客得到较多的实惠,设降价x元,根据题意列方程得( ).A.1200)220)(40(=+-xx B.1200)20)(40(=+-xxC.1200)220)(50(=+-xx D.1200)220)(90(=+-xx10. Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于E,OD⊥BC交⊙O于D,DE交BC于F,点P为CB延长线上的一点,PE延长交AC于G,PE=PF.小华得出3个结论:①GE=GC;②AG=GE;③OG∥BE.其中正确的是( ).A.①②B. ①③C. ②③D . ①②③第二部分非选择题(共120分)二､填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.)11. 方程组⎩⎨⎧=-=+2yxyx的解是.12. 世界文化遗产长城总长约为6700 000米,用科学计数法表示为米.13. 在一次数学测验中,某学习小组的六位同学的分数分别是54,85,92,73,61,85.这组数据的平均数是,众数是,中位数是 .14. 一个多边形的每个外角都等于60°,这个多边形的内角和为.第6题第10题第5题第7题15. 观察表一,寻找规律.表二､表三分别是从表一中选取的一部分,则a +b 的值为 . 16. 如图,直线434-=x y 与x 轴､y 轴分别交于A ､B 两点,把△AOB 以x 轴为对称轴翻折,再将翻折后的三角形绕点A 顺时针旋转90°,得到△AO ′B ″,则点B ″的坐标是 .三､解答题(本大题共9小题,共102 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分9分)解方程:104(3)21x x +-=-. 18.(本小题满分9分)已知,如图,E ､F 分别为矩形ABCD 的边AD 和BC 上的点,AE =CF . 求证:BE =DF .19. (本小题满分10分)先化简,再求值:11122-+--m m ,其中2m =-. 20. (本小题满分10分)如图的正方形网格中,每个小正方形边长均为1,点A 固定在格点(即小正方形的顶点)上,请按步骤要求作图并解答:步骤①:在网格中画一条线段 AB=5,使点B 落在格点上;再在格点上取一点C ,画一个 △ABC ,使得AB=BC ,且∠B=90°.(均只画一个即可) 步骤②: 以点A 为原点,建立平面直角坐标系,求出直线BC 的解析式.21.(本小题满分12分)在-2,-3,4这三个数中抽取2个数分别作为点P (1)求P 点的横纵坐标之积为负数的概率;ABCDEF 第18题第15题第16题表1表2表3(2)求过点P 的所有正比例函数中,出现函数y 随自变量x 的增大而增大的概率为多少? 22.(本小题满分12分)甲､乙两车间计划一起用一批原材料制作同一种零件9000个.(1)列出原材料重量y (千克)与平均每千克原材料生产零件x (个)之间的函数关系式,若已知这批原材料重量超过990千克且不超过1010千克,请求出x 的可能取值;(2)乙车间比甲车间平均每小时多生产30个,甲车间生产600个零件与乙车间生产900个零件所用的时间相等,若设甲车间平均每小时生产a 个零件,求a 的值. 23.(本小题满分12分)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,D 是AB 边上一点,以BD 为直径的⊙O 与AC 交于点E ,连接DE 并延长,与BC 的延长线交于点F ,BD =BF .(1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)若BC =12,AD =8,求DE 的长.24.(本小题满分14分)已知四边形OABC 的一边OA 在x 轴上,O 为原点,B 点坐标为(4,2).(1)如图①,若四边形OABC 的顶点C (1,4),A (5,0),直线CD 平分该四边形的面积且交x 轴于点D ,试求出△OAC 的面积和D 点坐标;(2)如图②,四边形OABC 是平行四边形,顶点C 在第一象限,直线1-=kx y 平分该四边形的面积,若关于x 的函数k m x k m mx y +++-=2)3(225.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,A 点坐标为(0,4),C 点坐标为(10,0).(1)如图25-①,若直线AB ∥OC ,AB 上有一动点P ,当PO =PC 时,请直接写出P 点坐标;第24题图①第23题 F(2)如图25-②,若直线AB 与OC 不平行,在过点A 的直线4y x =-+上是否存在点P ,使 ∠OPC =90°,若有这样的点P ,求出它的坐标,若没有,请简要说明理由;(3)若点P 在直线4y kx =+上移动时,只存在一个点P 使∠OPC =90°,试求出此时4y kx =+中的k 值.数学参考答案第25题说明:1､本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,各题组可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.2､对于计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3､解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.一､选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)二､填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)三､解答题(本题有9个小题, 共102分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17.(本题满分9分)解: 10+4x -12=2x -1-------3分4x -2x =-1-10+12 -------5分 2x =1 -------7分 21=x -------9分 18.(本题满分9分)解:证法1:在矩形ABCD 中 证法2:在矩形ABCD 中 AB =CD ,∠A =∠C =90°-------3分 AD =BC ,AD ∥BC∵AE =CF ∴ED ∥BF -------3分 ∴△ABE ≌△CDF (SAS ) -------7分 ∵AE =CF ∴BE =DF -------9分 ∴AD -AE =BC -CF ∴ED =BF -------6分∴四边形EBFD 是平行四边形 ∴BE =DF -----9分 证法3:在RT △ABE 中,∠B =90°据勾股定理有:222AE AB BE += -------3分 同理:222CF CD DF += -------6分 ∵AB =CD ,AE =CF∴BE =DF -------9分19.(本题满分10分) 解: 11122-+--m m =)1)(1(1)1)(1(2-+++-+-m m m m m ----------3分 =)1)(1(1-+-m m m ----------6分=11+m ----------8分 当m =-2时, 11+m =1121-=+-----------10分20.(本题满分10分)解:(1)如图 ,画AB 和△ABC (注意标记直角符号)--------6分(各3分) (2)以A 为原点建立直角坐标系,则有B (2, -1),C (1,-3) 设直线BC 解析式为b kx y +=,则:⎩⎨⎧+=-+=-b k b k 321---------8分解得:⎩⎨⎧-==52b k ∴直线BC 解析式为52-=x y -------10分根据画法不同,答案也相应不同｡或2521--=x y 或52+-=x y 或2521+=x y ｡ 21.(本题满分12分) 解:(1)树形图:----------5分 共有6种等可能的结果,横纵坐标之积为负数的4种 ∴ P =46= 32----------7分用列举法或列表法正确列出(-2,-3),(-2,4),(-3,-2),(-3,4),(4,-2),(4,-3)6种等可能的结果来计算相应给分｡(2)∵正比例函数y kx =中, y 随x 增大而增大, ∴k >0 即点P 横纵坐标之积为正数 ----------10分 ∴P =26=31 (或P =1-23=31) ----------12分22.(本题满分12分) 解:(1)9000y x=, ----------3分 由于8.919.09x ≤< ,且x 为整数,所以x =9 ----------5分 (2)根据题意,得60090030a a =+, ----------10分 解得 60a =.经检验60a =是原方程的解,且都符合题意.｡----------12分23.(本题满分12分)横坐标 -2 -3 4纵坐标 -3 4 -2 4 -2 -3(1)证法1:连接OE - ---------1分 证法2:连接OE ----------1分 ∵BD =BF ∵BD =BF∴∠BDF =∠F ∴∠BDF =∠F ∵OD =OE ∵OD =OE∴∠ODE =∠0ED ∴∠ODE =∠0ED ∴∠OED =∠F ----------3分 ∴∠OED =∠F ----------3分 ∴OE ∥BF ∵∠BCA =90° ∴∠OEA =∠BCA =90° ∴∠F +∠FEC =90°∴AC 是⊙O 的切线 ----------5分 ∵∠FEC =∠AED , ∠OED =∠F ∴∠OED +∠AED =90° ∴AC 是⊙O 的切线 --------5分此题证明思路很多,学生可能会绕弯,按照踩分点相应给分｡ (2)设⊙O 的半径为r ,∵OE ∥BF ∴△AOE ∽△ABC ----------6分 ∴BCOEAB AO = ∵AB =12,AD =8 ∴12288rr r =++解得:r =8 r =-6(舍去) -------9分 ∴AD =OD =8 ∵△AOE 是Rt △ ∴DE =OD =8 ∴DE =OD =OE ∴∠DOE =60° ∴60881803l ππ⨯⨯== ---------12分24.解:(1)114541022OAC S OC =⨯⨯=⨯⨯=△--------------------2分 D 点坐标给出三种解法: 解法1:如图1,分别过C ､B 作CE ⊥OA ,BF ⊥OA ,垂足分别为E ,F ,设点D (a ,0)则有---3分11422OCE S =⨯⨯=△1(54)212ABF S =⨯-⨯=△ 1(24)(41)92EFBC S =⨯+⨯-=四边形∴21912OABC S =++=四边形 ----------6分 ∵12OCD OABCS S =△四边形, ∴142a ⨯⨯11262=⨯= ∴a =3,即点D 坐标为(3,0)----------8分 解法2:延长CB 交x 轴于点E ,如图2,先求出直线BC 的解析式为21433y x =-+,令y =0,得7x =,得D (7,0)得OE =7,AE =2, 1174221222OCE BAE OABC S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=△△四边形,----------6分 设E (a ,0),由1462OCD S a =⨯⨯=△,求得D (3,0). ----------8分 解法3:如图3,连接AC ,过B 作BE ∥AC 交x 轴于E ,则有OCE OABC S S =△四边形,直线AD 平分四边形面积,则D 为OE 中点.易求直线AC 解析式为y =-x +5, 则可设直图1图3图2线BD 解析式为y =-x +b ,把B (4,2)代入求得b =6,所以点E (6,0),求得D (3,0).(2)∵设P 为平行四边形OABC 的对称中心,则过P 点的直线平分四边形的面积. ∵P 为OB 的中点,而B (4,2)∴P 点坐标为(2,1)把P (2,1)代入y =kx -1得∴2k -1=1, ∴k =1----------------9分 又∵k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象与坐标轴只有两个交点,故 ① 当m =0时,y =-x +1,其图象与坐标轴有两个交点(0,1),(1,0)------10分 ②当m ≠0时,函数k m x k m mx y +++-=2)3(2的图象为抛物线,且与y 轴总有一个交点(0,2m +1) 若抛物线过原点时,2m +1=0,即m =21-,此时△=(3m +1)2-4m (2m +1)=41>0 ∴抛物线与x 轴有两个交点且过原点,符合题意. ---------------------12分若抛物线不过原点,且与x 轴只有一个交点,也合题意, 此时△′=(3m +1)2-4m (2m +1)=0,解之得:m 1=m 2=-1综上所述,m 的值为m =0或21-或-1.-----------------14分25.解:(1)54（，） ------------2分(2) 设P (x ,-x +4),如图,连接OP ,PC ,过P 作PQ ⊥OC ,垂足为Q ,则 解法1:222(4)OP x x =+-+,222(4)(10)PC x x =-++-,222OP PC OC +=---------------4分∴22(4)x x +-++222(4)(10)=10x x -++- 解得:12=1=8x x ，∴点P 的坐标为(1,3)或(8,-4)------------7分 解法2:在Rt △OPC 中,PQ ⊥OC , ∴ △OPQ ∽△PCQ ∴QCPQPQ OQ =---------------4分 ∴xx x x -+-=+-1044 ,解得:12=1=8x x ，∴点P 的坐标为(1,3)或(8,-4)------------7分(3) 当直线AB 经过点O 时,∠OPC 不存在｡当直线AB 经过点C 时,过点O 作AB 的垂线有且只有一条,即满足∠OPC =90°成立的点P 是唯一的,将点C (10,0)代入4y kx =+中,解得2-5k = -----------------9分 当直线AB 不经过点C 时,由于点P 唯一,所以k >0. 如图,给出两种解法:解法1:设P (x ,kx +4),显然0<x <10,连接OP ,PC ,过P 作PQ ⊥OC ,垂足为Q , 若∠OPC =90°,由△OPQ ∽△PCQ,则有2PQ OQ CQ =, ∴2(4)(10)kx x x +=---------------11分 整理得:22(1)(810)160k x k x ++-+=, ∵只存在一个点P ∴该方程有唯一解,即22=(810)-4(1)160k k -+⨯=△解得:940k =------------------------14分解法2:直线4y kx =+过定点(0,4),若∠OPC =90°,则点P 可以看作是以OC 为直径的圆与直线4y kx =+的交点(圆心为M ),如图,若只存在一个点P ,则直线与圆相切｡ 连接PM ,过P 作PQ ⊥OC ,垂足为Q 设P (x ,kx +4),Rt △PQM 中,222QM PQ PM +=即222)5()4(5x kx -++=整理得:016)108()1(22=+-++x k x k(以下同解法1)。
广州育才实验学校2014年中考数学一模试题与参考答案
广州市育才实验学校2014年初中毕业班综合测试（一）数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间为120分钟．第一部分 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算－（－5）的结果是（ ）． A.5 B.－5 C.15 D.－152．如右图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A ．(34)-，B ． (46)--，C ．(63)-，D ． (52)，3、三沙市是由中国国务院于2012年6月批准设立的地级市，管辖位于中国南海的海南省下的西沙、南沙、中沙三个群岛及周围海洋，面积2600000平方公里，相当于中国领土的四分之一，请用科学记数法表示三沙市面积是（ ）A ．2.6×710平方公里B ．26×610平方公里 C ．2.6×610平方公里 D ．0.26×710平方公里4．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后“建” 字对面是（ ） A ．和B ．谐C ．广D ．州5．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形 6．如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm7．为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如下表：则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别为（ ） A ．3，3 B ．2，3 C ．2，2 D ．3，58．酒店厨房的桌子上摆放着若干碟子，分别从三个方向上看，其三视图如图所示，则桌子上共有碟子（ ） Ａ．17个 Ｂ．12个 Ｃ．10个Ｄ．7个（第2题图）yxOABCD（第6题图） E建 设和 谐 广州 （第4题图）侧视图 左视图9、在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径6cm OB =，高8cm OC =．则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ） A ．230cm B ．230cm π C ．260cm π D ．2120cm10．如图，在Rt ABC △中，9068C AC BC O ∠===°，，，⊙为ABC △的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则tan ODA ∠=（ ）A ．2 BC．3 D．2第二部分 非选择题 （共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为5，那么这两圆的位置关系是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
命题背景分析
二、考查内容分布
“一模”数学试卷考查的知识点涉及集合与常用逻辑用语，函数、导数与不等式（含指定选考 内容） ，数列、推理与证明，平面向量与三角函数，概率与统计，立体几何，解析几何，复数，计数 原理（理科）等必考知识板块，以及坐标系与参数方程、几何证明选讲等选考内容．具体分值分布 与得分情况见表 1、2． 表 1：广州市 2014 年“一模”文科数学试卷考点分布及得分情况 内容 集合与常用逻辑用语 题号 7 9 1 函数、导数与不等式 5 6 20 题型 选择题 选择题 选择题 选择题 选择题 解答题 分值 5 5 5 5 5 14
5 14 5 5 12 5 5 12 5 14 5 5 14 5 5 150 分
2.17 2.73 3.38 1.66 8.35 2.2 3.79 10.54 3.02 4.96 3.90 0.56 1.85 4.14 1.97 72.7
周期数列的前 n 项和 等差数列、分组求和 正弦定理、二倍角的正弦 平面向量与充要条件 特殊角的三角函数、三角函数的图象 与性质 几何概型 程序框图 古典概型 三视图、几何体的体积 线线垂直、共面问题、几何体的体积 圆关于直线对称 空间向量、模的最值 双曲线的几何性质、直线与圆锥曲线 的位置关系、定值问题 复数相等的条件 极坐标下直线与圆的位置关系 圆中切割线定理、相似比
2
立体几何
11 18 3
填空题 解答题 选择题 解答题 选择题 填空题 填空题
5 14 5 14 5 5 150 分
3.95 9.71 4.67 3.39 4.71 2.48 85.4
三视图、几何体的体积 线线垂直、共面问题、二面角的计算 圆关于直线对称 双曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的 位置关系、定值问题 复数相等的条件 极坐标下直线与圆的位置关系 圆中切割线定理、相似比
2014年广州市数学“一模”理科分数分段分布 3500 3000 2500
人数
2000 1500 1000 500 0
1 >= 45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -9 -6 -8 5-7 -5 5-4 5-3 -2 12 11 -10 14 -13 5 5 5 5 5 8 7 6 5 4 3 2 1 5 5 5 5 95 13 12 11 10 10 5-
第二部分
一、数据分析
试卷分析
表 3：广州市 2014 年“一模”数学考试基本数据 考生数 文科 理科 表 3 的说明： ①两次考试的难度基本介于 0.5～0.6 之间，与选拔性考试的难度要求相吻合． ②“一模”数学的标准差 15 ，区分度 0.3 （区分度在 0.4 以上属于优秀试卷） ，符合选拔性 考试命题的基本要求． ③从考生数可以看出， 广州报考理科考生数比文科考生数逐年增加， 由 2102 年及以前的文科考 生数多于理科考生数， 到 2013 年理科考生数约比文科考生数多 3000 人， 到 2014 年理科考生数比文 科考生数多 7000 多人，考生报考更加趋于理性． 调研测试 一模 调研测试 一模 20624 24354 30429 31428 平均分 82.21 72.7 91.46 85.4 难度 0.55 0.48 0.61 0.57 24.25 0.42 24.5 0.42 标准差 区分度
解析几何 20 复数 坐标系与参数方程 几何证明选讲 合计 表 1、表 2 的说明： 1 14 15
①由于有些试题涵盖的知识点较多，一般以最主要的知识点统计． ②从统计表可以看出，本次考查的覆盖面广，每个模块的内容都有涉及，且基本与教学课时的 比例相当． ③本分析报告中的数据为广州市所有区（县级市）考生的统计数据，其中文科人数为 24685 人， 理科人数为 31620 人． ④由以上两表可知，文科试卷的难度为 0.48，容易的题目（难度系数为 0.7～1.0）共 8 道，占 题量的 38.1％；中等难度的题目（难度系数为 0.31～0.69）共 9 道，占题量的 42.9％；偏难的题 目（难度系数为 0.0～0.30）共 4 道，占题量的 19％；理科试卷的难度为 0.57，容易的题目共 9 道， 占题量的 42.9％；中等难度的题目共 8 道，占题量的 38.1％；偏难的题目共 4 道，占题量的 19％．
表 6：广州市 2014 年“一模”文科各分数段人数统计 指标 人数 指标 人数 140~150 14 60~69 3233 130~139 104 50~59 2492 120~129 325 40~49 1997 110~119 918 30~39 1371 100~109 1916 20~29 815 90~99 3116 10~19 313 80~89 3864 0~9 51 70~79 3838
平面向量与三角函数
概率与统计
Байду номын сангаас
11 16 12 18 4 13 21
立体几何
解析几何
复数 坐标系与参数方程 几何证明选讲 合计
2 14 15
表 2：广州市 2014 年“一模”理科数学试卷考点分布及得分情况 内容 集合与常用逻辑用语 题号 6 7 4 函数、导数与不等式 9 20 8 数列、推理与证明 13 19 2 7 平面向量与三角函数 12 16 5 概率与统计 10 17 题型 选择题 选择题 选择题 填空题 解答题 选择题 填空题 解答题 选择题 选择题 填空题 解答题 选择题 填空题 解答题 分值 5 5 5 5 14 5 5 14 5 5 5 12 5 5 12 得分 2.87 2.3 3.37 4.57 3.39 1.52 2.17 3.31 4.34 2.3 3.25 8.64 4.82 4.44 8.59 知识点与交汇点 集合的元素、合情推理 充要条件与平面向量 函数的定义域 绝对值不等式的解法 函数的极值、导数的应用 二项式定理、同余的概念 周期数列的前 n 项和 等差数列、等比数列的通项、分组求和 正弦定理、二倍角的正弦 平面向量与充要条件 同角三角函数的运算 特殊角的三角函数、三角函数的图象与 性质 频率分布直方图 程序框图 古典概型、随机变量的分布列与均值 （数学期望）
2014 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学学科分析报告
第一部分
一、命题指导思想
1．2014 年是广东省实施《普通高中数学课程标准（实验） 》 （以下简称《课程标准》 ）考试的第 八年，广州市普通高中毕业班综合测试（一） （以下简称“一模” ）数学命题的主要依据是《2014 年 普通高等学校招生全国统一考试数学（文、理科）考试大纲》 （以下简称《考试大纲》 ）和《2014 年 普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）考试大纲的说明－数学（文、理科） 》 （以下简称《考试 说明》 ） ． 《2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）考试大纲的说明－数学（文、理科） 》和 《2013 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）考试大纲的说明－数学（文、理科） 》对比， 在内容，能力要求，时间（分值） ，题型，题量，包括考试说明后面的题型示例等都没有发生变化， 不用注意知识点的增减．值得注意的是，在题型示例中，文理科相同的题目主要在复数、统计与框 图、三角、解析几何、函数与导数等． 2． 研究 2007~2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学 （广东卷） 的命题特点， 是广州市 “一 模”数学卷命题的另一依据，主要考查学生的基础知识、基本技能和基本数学思想方法，考查学生 的空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创 新意识，考查学生对新增知识点的掌握情况，体现《课程标准》的基本理念． 3．命题遵循“以能力立意”的指导思想，将知识、能力和素养融为一体，全面检测考生的数学 素养，力争体现“多考点思维，少考点运算”的命题原则，试题注重通性通法，淡化特殊技巧，解 答题基本设置了多个台阶，形成了入口宽、层次分明、有序递进的特点． 4．命题既注重基础知识又突出能力要求，既注重覆盖范围又突出主干知识，既注重传统知识又 突出新增内容，既注重常规教学又突出考试功能．
4
2014年广州市数学“一模”文科分数分段分布 2500 2000
人数
1500 1000 500 0
>= 14 5 1 35 14 0 1 25 13 0 1 15 12 0 00 90 20 -10 10 80 70 60 50 40 30 5 -1 5-1 85- 75- 65- 55- 45- 35- 25- 155 9 10
分数段
表 7：广州市 2014 年“一模”理科各分数段人数统计 指标 人数 指标 人数 140~150 40 60~69 2635 130~139 346 50~59 1812 120~129 1324 40~49 1271 110~119 3069 30~39 859 100~109 4784 20~29 593 90~99 5652 10~19 207 80~89 5015 0~9 39 70~79 3882
3
表 4：广州市 2014 年“一模”各组文、理科数学成绩统计 文 组别 人数 A组 B组 C组 D组 E组 F组 其他 2118 3793 3938 3288 3876 6270 1071 平均分 40.3 37.8 33.4 31.2 29.4 24.6 29.3 31.3 科 人数 6010 6459 5852 3914 3545 4374 1274 31428 平均分 33.1 31.0 28.5 27.1 25.8 22.6 28.4 28.6 理 选择题 非选择题 平均分 71.1 65.3 57.1 52.8 47.6 35.8 55.5 56.8 科 全卷 104.2 96.4 85.6 79.9 73.4 58.4 83.9 85.4 调研测试 108.58 101.14 91.58 86.27 77.81 64.72 90.62 91.46 平均分 全卷均分 选择题 非选择题 全卷 调研测试 平均分 平均分 全卷均分 59.4 53.8 46.1 42.4 37.7 27.6 36.1 41.4 99.7 91.5 79.5 73.6 67.1 52.2 65.4 72.7 106.79 98.88 85.40 79.81 72.68 60.34 85.03 82.21