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基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)PPT
不等式两边同乘一个正数， 所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，
所得不等式与原不等式反向.
高中数学
二、 不等式性质
性 质 1 : 如 果a=b, 那么b=a. 性 质 2 : 如 果a >b, b>c, 那么a >c.
性质3:如果a >b,那么a+c> b+c.
性 质 4 : 如 果 a>b,c> 0, 那么 ac>bc;
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
性质3:如果a>b, 那么a+ c>b+c 追问2:两个实数大小关系还可以形象地在 数轴上表达出来，你能从几何意义的角度 对这个性质进行解释吗?
高中数学
二、不等式性质
追问3:你能从性质3中得到什么结论吗? 由性质3可得
a+b>c→a+b+(-b)>c+(-b)
→a >c-b
如果a>b>0, 那么 a²>b²
性质7:如果 a>b>0, 那么a”>b”
(n∈N*,n≥2)
高中数学
三、 不等式的简单应用
例：已知a>b>0,c<0, 求证
不等式及其性质ppt课件
1+
0,求证：
3+
>
1
.
3
证明：因 > 0,所以3 + > 0,从而
1+m 1
>
3+m 3
3(1 + m)
> 3+m
又因为已知 > 0,所以结论成立.
m>0
跟踪训练.已知, , 都是正数， >
+
,求证：
+
>
.
证明：因 > 0,所以 + > 0, + > 0从而
的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出
综合法
+ > ⟹ + + (−) > + (−) ⟹ > −
推论1：如果 + > ,那么 > −.（移向法则）
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到
结论的方法，在数学中通常称为综合法. 由因导果：顺推法
的实数大.
a
b
思考3：对任意两实数和，它们可能有怎样的不等关系？如何
来判断这种不等关系呢？
数轴上两点A，B的位置关系有下列三种：
点A和点B重合、点A在点B右侧、点A在点B左侧
两实数,的大小有下列三种关系：
= ， > ， <
− <0⇔ <
− =0⇔ =
− >0⇔ >
不等式是刻画不等关系的工具.这节课我们一起来
学习一下吧.
1.会用不等式表示不等关系.（重点）
2.会用作差法比较大小.（重点）
人教版七年级数学下册全册9.1《不等式》PPT课件
问题1 已知苹果的价格是a元/kg，梨的价格是b元/kg， 且a > b. 小李各买了3kg苹果和梨，则买哪种水果花钱 较多？
用不等号填空： 3a > 3b.
问题2 在某次知识抢答赛中，甲、乙两队的总得分分 别为a，b，其中a>b. 已知每队人员均为3名，则哪队 的平均得分高？
用不等号填空： a÷3 > b÷3.
根据路程与速度、时 间之间的关系可得：
s>60x，且s<100x.
观察由上述问题得到的关系式：x＞1 ， x＜100， x>50，s>60x，s<100x ，它们有什么共同的特点？
左右不相等
总结归纳 一般地，用不等号“>”，“<”连接而成的式
子叫做不等式.像a≠2这样的式子也叫做不等式.
练一练 判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0；
（1）
-4 0
解：（1）x＜－4；
（2） 04
（2）x＞4．
变式2：直接写出不等式2x＞8的解集，并在数轴上表 示出来．
解：x＞4． 这个解集在数轴上表示为：
04 变式3：直接写出不等式－2x＞8的解集．
解：x＜－4．
当堂练习
1. 用不等式表示下列数量关系： （1）a是正数； a > 0. （2）x比-3小； x <-3.
(5)a2___＞__0; (6)a3__＜____0; (7)a-1_＜____0； (8)|a|__＞____0．
思考: 等式有对称性及传递性，那么不等式具有对 称性和传递性吗?
已知x>5,那么5<x吗? x>5 5<x
性质4（对称性）:如果a>b,那么b<a. 由8<x,x<y,可以得到8<y吗? 如：8<10，10<15 ，8 < 15.
用不等号填空： 3a > 3b.
问题2 在某次知识抢答赛中，甲、乙两队的总得分分 别为a，b，其中a>b. 已知每队人员均为3名，则哪队 的平均得分高？
用不等号填空： a÷3 > b÷3.
根据路程与速度、时 间之间的关系可得：
s>60x，且s<100x.
观察由上述问题得到的关系式：x＞1 ， x＜100， x>50，s>60x，s<100x ，它们有什么共同的特点？
左右不相等
总结归纳 一般地，用不等号“>”，“<”连接而成的式
子叫做不等式.像a≠2这样的式子也叫做不等式.
练一练 判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0；
（1）
-4 0
解：（1）x＜－4；
（2） 04
（2）x＞4．
变式2：直接写出不等式2x＞8的解集，并在数轴上表 示出来．
解：x＞4． 这个解集在数轴上表示为：
04 变式3：直接写出不等式－2x＞8的解集．
解：x＜－4．
当堂练习
1. 用不等式表示下列数量关系： （1）a是正数； a > 0. （2）x比-3小； x <-3.
(5)a2___＞__0; (6)a3__＜____0; (7)a-1_＜____0； (8)|a|__＞____0．
思考: 等式有对称性及传递性，那么不等式具有对 称性和传递性吗?
已知x>5,那么5<x吗? x>5 5<x
性质4（对称性）:如果a>b,那么b<a. 由8<x,x<y,可以得到8<y吗? 如：8<10，10<15 ，8 < 15.
不等式完整PPT课件
学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
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• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
返回
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• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．
基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。
人教版七年级数学下册《不等式》PPT课件(4篇)
使不等式成立的未知数的 取值范围叫做不等式的解集
不等式解集的表示方法
第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如 x>a或x<a)来表示.
第二种:利用数轴表示不等式的解集.
例3. 用数轴表示下列不等式的解集: ⑴ x>－1; ⑵ x< 9
解:
○
-1 0
⑴
总结: 用数轴表示不等式的解集的步骤:
巩固练习：
1、下列各式中，哪些是一元一次不等式？
（1）-3＞-5
（2）x＞1
（3）2x+y＜6 （5）3x+1=0
（4）2-x＜3x+5
（6） 50 2 x3
2.不等式的解:
我们曾经学过“使方程两边相等的未知数 的值就是方程的解”，同样, 能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.
判断下列数中哪些是不等式 2x >50的解: 70,60,-5,0,10,20，25. 你还能找出这个不等式的其他解吗?这个不等 式有多少个解?
01 2 x(＜A)2
01 2 x≤(C2)
01 2 x＞(B2)
01 2 x(≥D2)
4、图中红色部分所表示的是哪些数？你能用不等式 表示这个区域吗？
-１ ０ １
X＜１
5、请说出一个不等式，使得3是它的一个解，而4不 是它的解。
6、请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示。
（1） 2x＜８
（2）x-2＞0
3.不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等 式的解集.
注意:不等式的解和不等式的解集是一样的吗?
练习:下列说法正确的是( A ) A. x=3是2x>1的解 B. x=3是2x>1的唯一解 C. x=3不是2x>1的解 D. x=3是2x>1的解集
不等式解集的表示方法
第一种:用式子(如x>3),即用最简形式的不等式(如 x>a或x<a)来表示.
第二种:利用数轴表示不等式的解集.
例3. 用数轴表示下列不等式的解集: ⑴ x>－1; ⑵ x< 9
解:
○
-1 0
⑴
总结: 用数轴表示不等式的解集的步骤:
巩固练习：
1、下列各式中，哪些是一元一次不等式？
（1）-3＞-5
（2）x＞1
（3）2x+y＜6 （5）3x+1=0
（4）2-x＜3x+5
（6） 50 2 x3
2.不等式的解:
我们曾经学过“使方程两边相等的未知数 的值就是方程的解”，同样, 能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解.
判断下列数中哪些是不等式 2x >50的解: 70,60,-5,0,10,20，25. 你还能找出这个不等式的其他解吗?这个不等 式有多少个解?
01 2 x(＜A)2
01 2 x≤(C2)
01 2 x＞(B2)
01 2 x(≥D2)
4、图中红色部分所表示的是哪些数？你能用不等式 表示这个区域吗？
-１ ０ １
X＜１
5、请说出一个不等式，使得3是它的一个解，而4不 是它的解。
6、请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示。
（1） 2x＜８
（2）x-2＞0
3.不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等 式的解集.
注意:不等式的解和不等式的解集是一样的吗?
练习:下列说法正确的是( A ) A. x=3是2x>1的解 B. x=3是2x>1的唯一解 C. x=3不是2x>1的解 D. x=3是2x>1的解集
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
〔人教版〕不等式教学PPT课件
毛泽东 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处） 51、错误和挫折教训了我们，使我们 比较地 聪明起 来了， 我们的 情就办 得好一 些。任 何政党 ，任何 个人， 错误总 是难免 的，我 们要求 犯得少 一点。 犯了错 误则要 求改正 ，改正 得越迅 速，越 彻底， 越好。
40、人生的旅途，前途很远，也很暗 。然而 不要怕 ，不怕 的人的 面前才 有路。 —— 鲁 迅 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处）
41、人生像攀登一座山，而找寻出路 ，却是 一种学 习的过 程，我 们应当 在这过 程中， 学习稳 定、冷 静，学 习如何 从慌乱 中找到 生机。 席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能 醉生梦 死，枉 度人生 ，要有 所作为 。 —— 方志敏
章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集 9.1.2不等式的性质
9.1.1不等式及其解集
一、不等式：
• 问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什 么条件？
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶
例2、下列说法中正确的是： （1）-7是x+3<-3的一个解。 （2）-40是不等式4x<-4的解 （3）不等式x<-3的整数解有有限个 （4）不等式x<3的正整数解有有限个
例3、在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x ＞-3；（2）x ≤ -3；（3） x ＜-3；（4）x≥ -3
三、解不等式及一元一次不等式
40、对人不尊敬，首先就是对自己的 不尊敬 。 —— 惠特曼
41、一个人的真正伟大之处就在于他 能够认 识到自 己的渺 小。 —— 保 罗
40、人生的旅途，前途很远，也很暗 。然而 不要怕 ，不怕 的人的 面前才 有路。 —— 鲁 迅 名人名言激励励志名言名语名句100句 （励志 古诗词 篇，附 出处）
41、人生像攀登一座山，而找寻出路 ，却是 一种学 习的过 程，我 们应当 在这过 程中， 学习稳 定、冷 静，学 习如何 从慌乱 中找到 生机。 席慕蓉 42、我们活着不能与草木同腐，不能 醉生梦 死，枉 度人生 ，要有 所作为 。 —— 方志敏
章不等式与不等式组
9.1不等式
9.1.1不等式及其解集 9.1.2不等式的性质
9.1.1不等式及其解集
一、不等式：
• 问题：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 千米，要在12：00之前驶过A地，车速应满足什 么条件？
分析：设车速是x千米/时
从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶
例2、下列说法中正确的是： （1）-7是x+3<-3的一个解。 （2）-40是不等式4x<-4的解 （3）不等式x<-3的整数解有有限个 （4）不等式x<3的正整数解有有限个
例3、在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x ＞-3；（2）x ≤ -3；（3） x ＜-3；（4）x≥ -3
三、解不等式及一元一次不等式
40、对人不尊敬，首先就是对自己的 不尊敬 。 —— 惠特曼
41、一个人的真正伟大之处就在于他 能够认 识到自 己的渺 小。 —— 保 罗
人教版七年级数学下册全册9.1《不等式》PPT课件
三 利用不等式的性质解简单的不等式
例4 利用不等式的性质解下列不等式：
第二种:用数轴,一般标出数轴上某一区间,其中的 点对应的数值都是不等式的解. 用数轴表示不等式的解集的步骤: 第一步:画数轴; 第二步:定界点; 第三步:定方向.
画一画: 利用数轴来表示下列不等式的解集.
空心圆圈表 (1)x＞-1 ；
示不含此点
(2)
x＜
1 2
.
表示
1 2
的点
-1 0
表示-1的点
方向向右
观察由上述问题得到的关系式：x＞1 ， x＜100， x>50，s>60x，s<100x ，它们有什么共同的特点？
左右不相等
总结归纳 一般地，用不等号“>”，“<”连接而成的式
子叫做不等式.像a≠2这样的式子也叫做不等式.
练一练 判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0；
则都点点大表因不A于示此等右2的可式，边数以的而所都像解点有小图集A的于左那x点>2边样2表. 所表示有示的的数 先在数轴上标出表示2的点A
把表示2 的点Ａ
画成空心圆圈，表 示解集不包括2.
A -1 0 1 2 3 4 5 6
解集的表示方法： 第一种:用式子(如x>2),即用最简形式的不等式 (如x>a或x<a)来表示.
不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或 式子），不等号的方向不变.
如果a>b,那么a+c>b+c，a－c>b－c.
典例精析 例1 用“>”或“<”填空： （1）已知 a>b，则a+3 > b+3 解： 因为 a>b，两边都加上3，
不等式的应用教学课件ppt
判断电路稳定性
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
利用不等式可以表示电路中电压和电流的关系，通过比较这些不等式，可以判断 电路的稳定性。
05
不等式在化学中的应用
利用不等式解决化学平衡问题
总结词
化学平衡常数是表示化学反应限度的一个重要指标，利用不 等式可以解决与化学平衡常数相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学平衡常数的 计算、化学反应平衡移动的方向和大小等问题，以及如何利 用不等式进行反应条件的优化和控制。
利用不等式解决生物多样性保护问题
总结词
物种多样性、生态系统稳定性、环境变化、保护措施
详细描述
生物多样性是地球生态系统的重要组成部分，但人类 活动对生物多样性造成了严重威胁。为了保护生物多 样性，需要采取一系列措施。其中之一是通过建立不 等式来分析物种多样性的作用和生态系统稳定性之间 的关系。例如，物种多样性与生态系统稳定性呈正相 关关系，因为物种之间的相互作用可以调节生态系统 中的物质循环和能量流动
不等式在经济生活中的应用
价格比较
在购物时，人们经常需要比较不同商品的价格，通过不等式 的性质可以判断出性价比更高的商品。
投资决策
在投资领域，投资者需要分析不同项目的风险和收益，通过 不等式可以判断出最优的投资方案。
不等式在生产生活中的应用
资源分配
在生产过程中，经常需要将有限的资源分配给不同的部门或环节，通过不等 式可以确定资源分配的最优比例。
总结词
化学反应速率是化学反应快慢的一个重要指标，利用不等式可以解决与化学反应 速率相关的计算和分析问题。
详细描述
通过具体的案例，讲解如何利用不等式解决化学反应速率的计算、反应速率常数 的确定、反应速率方程的建立等问题，以及如何利用不等式进行反应条件的优化 和控制。
人教版七年级数学下册全册9.1《不等式》PPT课件
导入新课
情境引入 摩拜单车在2017年3月推出了红包车的运动.用
户扫码解锁后有效骑行红包车超过10分钟，锁车后 即可获得1个现金红包；骑行红包车次数及领取红包 次数不限.红包金额随机，高于1元，且低于100元. 你能用关系式表示可获红包金额的大小吗？
x＞1 且 x＜100
讲授新课
一 不等式的概念
合作与交流
如图所示，托盘天平的右盘放上一质量为bg的
立体木块，左盘放上一质量为ag的立体木块，天平
向左倾斜.
用不等号填一填：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1.a
2.2a 3.2a
2
> b;
> 2b;
>
2b .
2
ag
bg
ag
你发现了什么？
bg
总结归纳
不等式基本性质2 不等式的两边都乘（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变.
即，如果a
根据路程与速度、时 间之间的关系可得：
s>60x，且s<100x.
观察由上述问题得到的关系式：x＞1 ， x＜100， x>50，s>60x，s<100x ，它们有什么共同的特点？
左右不相等
总结归纳 一般地，用不等号“>”，“<”连接而成的式
子叫做不等式.像a≠2这样的式子也叫做不等式.
练一练 判断下列式子是不是不等式： （1）-3>0; （2）4x+3y<0；
实用的方法.
练一练 判断下列数中哪些是不等式 2 x > 50 的解：60，73，
3
74.9，75.1，76，79，80，90.你还能找出这个不等式
的其他解吗？这个不等式有多少个解？ 无数个
不等式PPT课件
如：156 ＞ 155或155 ＜ 156.
155cm
156cm
知识要点
CONTENTS
2
知识要点
不等式
问题1 小明与小亮进行百米训练，小明先到达终点.小明到达终点所用 的时间为15.2 s.如果小亮所用的时间为a s，请回答下列问题： (1)a 与15.2是同一类量吗？ (2)都是表示什么的量？单位一致吗？ (3)小明先到达终点说明谁用的时间短？
320 400 480
┆
大卡车行驶的路程／km 120 180 240
300 360 420
┆
知识要点
不等式
试一试：下列各数中，那些能使不等式x－2＞1成立？ －4，－1，0，3，5，8，8.2，9.5，12。 解：使不等式x－2＞1成立的数有： 5，8，8.2，9.5，12.
知识要点
不等式
归纳： 1.对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的
定义
“=”
“＞”“＜”
“≥”“≤” “≠”
知识要点
不等式
问题3 用不等式表示：
(1) y的3倍小于8；
3y＜8
(2) m与10的和不小于m的一半；
m＋10
≥－
1 2
m
(3)某湖汛前水位是340 cm，警戒水位是400 cm.汛期，湖水平
均每天上涨8 cm，x天后湖水将超过警戒水位.
8x＋340＞400
左右两边符合不等式所表示的大小关系，我们就说不等式成 立；当未知数取某些值时，不等式的左右两边不符合不等式 所表示的大小关系，我们就说不等式不成立； 2.使一个含有未知数的不等式成立的数不止一个，是某一范围 内的所有数.
知识要点
CONTENTS
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初中数学不等式ppt
探究 用“>”或“<”填空，你有什么发现？
>
>
<
<
>
<
<
>
初中数学不等式ppt
一、不等式的性质 性质一 不等式两边加（或减）同一个数（或 式子），不等号的方向不变。 用式子表示为：如果a>b，那么a±c>b±c 性质二 不等式两边都乘以（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变。
初中数学不等式ppt
初中数学不等式ppt
例题
利用不等式的性质解下列不等式
⑴x－7>26 ⑶2/3x>50
⑵3x<2x＋1 ⑷-4x>3
解 ⑴x－7>26 x－7+7>26+7 x>33 ⑵3x<2x＋1 3x-2x<2x＋1-2x x<1
可以看出，⑴ ⑵ 的求解过程，相当于由x－7>26得x>26+7 ，由3x<2x＋1 得3x-2x<1。这就是说解不等式时也可以移项，即把不等式的一边的某项变 号后移到另一边，而不改变不等号方向。
D．1个
A．2x>7的解集是x=4 B．x=4不是2x>7的解 C．x<－4是2x>7的解集 D．x>3.5是2x>7的解集
初中数学不等式ppt
4、不等式解集在数轴上的表示方法 (1)x>3 (2)x<-1
v -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
初中数学不等式ppt
5、解不等式 求不等式的解或解集的过程叫做解不等式。 解未知数为x的不等式，就是要是不等式逐步化 为x>a或x<a的形式。
初中数学不等式ppt
新的符号
表示“大于或等于”，即 “不小于”
表示“小于或等于”即 “不大于”
初中数学不等式ppt
例题 用不等式表示下列各语句
x+1>0
初中数学不等式ppt
探究
当x=78时 当x=75时 当x=72时
初中数学不等式ppt
二、不等式的解与解集
1、概念
使不等式成立的未知数的值叫做不等 式的解；
一般地，一个含有未知数的不等式的所有 的解组成的这个不等式的解的集合，叫做
不等式的解集。
初中数学不等式ppt
2、解集需要满足的条件
⑴解集中的每一个数值都能使不等式成立；
⑵能够使不等式成立的所有解集都在不等式中； 例如：若一个不等式的解集为{2，5，7}， 则{5,7}就不能叫不等式的解集 3、联系与区别 联系：解集包括所有解，所有解组成了解集。
区别：解集是能使不等式成立的未知数的取 值 范围，是所有解的集合，而不等式的解是使 不等式成立的未知数的值。
初中数学不等式ppt
例题
A 1．满足－3＜x≤4的正整数个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．不等式2x+3≤9的非负整数解的个数是 （
）
A．4个
B．3个 C．2个
D 3．下列说法正确的是 （ ）
(3) 3(y 2) 1 8 2(y 1)
(4) 2 x
2
2x 1
3
初中数学不等式ppt
练习
1．设a>b，且c为有理数，则（D ）
A．ac＞bc C．ac2＞bc2
B．ac＜bc D．ac2≥bc2
2．如果a<b<0，那么下列不等式中成立的是
（C）
3．下列不等式中，一定ห้องสมุดไป่ตู้立的是( B )
初中数学不等式ppt
初中数学不等式ppt
2、解不等式 求不等式的解或解集的过程叫做解不等式。
解未知数为x的不等式，就是要是不等式逐步化 为x>a或x<a的形式。
方法①去分母：不等式两边同时乘以分母的最小公倍数；
②去括号：注意括号前的符号，若为负要变号；
③移项 : 移项要变号，不等号方向不发生改变；
初中数学不等式ppt
思考
一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米，需要在 12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
设车速是x千米/时。
时间上：
①
路程上：
初中数学不等式ppt
一、不等式定义
注：⑴有些不等式中不含未知数，例如3<4,-1>-2; ⑵有些不等式中含有未知数，如3x>5中的字母x;
初中数学不等式ppt
6、一元一次不等式 类似于一元一次方程，含有一个未知数，未
知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等 式。（注：不等式两边必须是整式）
例题 下列各式中，是一元一次不等式是 ( D )
初中数学不等式ppt
初中数学不等式ppt
等式的性质 性质一：等式两边加上（减去）同一个数（或 式子），等式不变。用式子表示为如果a=b， 那么a±c=b±c.
④合并同类项：找同类项；
⑤系数化为一：不等号两边同时乘以未知数系数的
倒数；
初中数学不等式ppt
例题 解3(2x+1)-12>2x+6 6x+3-12>2x+6 6x-2x>6-3+12 4x>15
初中数学不等式ppt
练习 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来
(1)3x 2 2x 8
(2) 3 2x 9 4x
初中数学不等式ppt
4.利用不等式性质解不等式
(1)
3x
3
2
9
2x
3
5x 1
2
(2)
1 [x
2
1 (x
2
1)]
2 (x
5
1)
(3)代数式 整数解。
3x 14 7
与
9x 7
2
的差大于6又小于8，求x的
初中数学不等式ppt
探究 用“>”或“<”填空，你有什么发现？
>
>
<
<
>
<
<
>
初中数学不等式ppt
一、不等式的性质 性质一 不等式两边加（或减）同一个数（或 式子），不等号的方向不变。 用式子表示为：如果a>b，那么a±c>b±c 性质二 不等式两边都乘以（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变。
初中数学不等式ppt
初中数学不等式ppt
例题
利用不等式的性质解下列不等式
⑴x－7>26 ⑶2/3x>50
⑵3x<2x＋1 ⑷-4x>3
解 ⑴x－7>26 x－7+7>26+7 x>33 ⑵3x<2x＋1 3x-2x<2x＋1-2x x<1
可以看出，⑴ ⑵ 的求解过程，相当于由x－7>26得x>26+7 ，由3x<2x＋1 得3x-2x<1。这就是说解不等式时也可以移项，即把不等式的一边的某项变 号后移到另一边，而不改变不等号方向。
D．1个
A．2x>7的解集是x=4 B．x=4不是2x>7的解 C．x<－4是2x>7的解集 D．x>3.5是2x>7的解集
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4、不等式解集在数轴上的表示方法 (1)x>3 (2)x<-1
v -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
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5、解不等式 求不等式的解或解集的过程叫做解不等式。 解未知数为x的不等式，就是要是不等式逐步化 为x>a或x<a的形式。
初中数学不等式ppt
新的符号
表示“大于或等于”，即 “不小于”
表示“小于或等于”即 “不大于”
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例题 用不等式表示下列各语句
x+1>0
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探究
当x=78时 当x=75时 当x=72时
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二、不等式的解与解集
1、概念
使不等式成立的未知数的值叫做不等 式的解；
一般地，一个含有未知数的不等式的所有 的解组成的这个不等式的解的集合，叫做
不等式的解集。
初中数学不等式ppt
2、解集需要满足的条件
⑴解集中的每一个数值都能使不等式成立；
⑵能够使不等式成立的所有解集都在不等式中； 例如：若一个不等式的解集为{2，5，7}， 则{5,7}就不能叫不等式的解集 3、联系与区别 联系：解集包括所有解，所有解组成了解集。
区别：解集是能使不等式成立的未知数的取 值 范围，是所有解的集合，而不等式的解是使 不等式成立的未知数的值。
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例题
A 1．满足－3＜x≤4的正整数个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
2．不等式2x+3≤9的非负整数解的个数是 （
）
A．4个
B．3个 C．2个
D 3．下列说法正确的是 （ ）
(3) 3(y 2) 1 8 2(y 1)
(4) 2 x
2
2x 1
3
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练习
1．设a>b，且c为有理数，则（D ）
A．ac＞bc C．ac2＞bc2
B．ac＜bc D．ac2≥bc2
2．如果a<b<0，那么下列不等式中成立的是
（C）
3．下列不等式中，一定ห้องสมุดไป่ตู้立的是( B )
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2、解不等式 求不等式的解或解集的过程叫做解不等式。
解未知数为x的不等式，就是要是不等式逐步化 为x>a或x<a的形式。
方法①去分母：不等式两边同时乘以分母的最小公倍数；
②去括号：注意括号前的符号，若为负要变号；
③移项 : 移项要变号，不等号方向不发生改变；
初中数学不等式ppt
思考
一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50千米，需要在 12：00之前驶过A地，车速应满足什么条件？
设车速是x千米/时。
时间上：
①
路程上：
初中数学不等式ppt
一、不等式定义
注：⑴有些不等式中不含未知数，例如3<4,-1>-2; ⑵有些不等式中含有未知数，如3x>5中的字母x;
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6、一元一次不等式 类似于一元一次方程，含有一个未知数，未
知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等 式。（注：不等式两边必须是整式）
例题 下列各式中，是一元一次不等式是 ( D )
初中数学不等式ppt
初中数学不等式ppt
等式的性质 性质一：等式两边加上（减去）同一个数（或 式子），等式不变。用式子表示为如果a=b， 那么a±c=b±c.
④合并同类项：找同类项；
⑤系数化为一：不等号两边同时乘以未知数系数的
倒数；
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例题 解3(2x+1)-12>2x+6 6x+3-12>2x+6 6x-2x>6-3+12 4x>15
初中数学不等式ppt
练习 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来
(1)3x 2 2x 8
(2) 3 2x 9 4x
初中数学不等式ppt
4.利用不等式性质解不等式
(1)
3x
3
2
9
2x
3
5x 1
2
(2)
1 [x
2
1 (x
2
1)]
2 (x
5
1)
(3)代数式 整数解。
3x 14 7
与
9x 7
2
的差大于6又小于8，求x的
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