北师大八年级上《一次函数解析式》常见题型总结
求一次函数解析式的常见题型
，
励“ 和谐家庭 ” ， 欲购买 个人 票 １ ０ ０张 ， 其 中 种票 的张 Ｃ种票 张数 为 ｙ ． 票 的
直线为 ） ， ＝一 ２ （ 一 ２ ） ＋ ４， 即 ｙ＝一２ ＋ ８ ．
七、 面 积 型
解析
（ １ ） 由 Ａ、 Ｂ 、 ｃ三种 票 张数 的和为 ｌ ０ ０ ， 得
＋ ３ ＋ ８＋ ｙ＝１ ０ ０ ， 即 ｙ＝ － ４ ｘ ＋９ ２ ．
（ ２ ） 因为总费用 ＝ Ａ种票费用 ＋ 种 票费用 ＋ｃ种
０ ’ ． ． ． 埘随 的增大而减少 ，
． ．Biblioteka 当 ＝２ ２时 ， 叫最小． 即当购买购 Ａ种票 ２ ２张时 ，
常数 和 ｂ的值有正 、 负两种情 况．
八、 实 际应 用 型
购票总费用最少． 故 购票 总费用最 少时 ， 购买 Ａ、 Ｂ、 Ｃ三
种票的张数分别为 ２ ２ ， ７ ４ ， ４ ．
ｒ ≥ ２ 。 ‘ （ ３ ） 由 题 意 得｛ 【 － ４ ｘ ＋ ９ ２ ≥ １ 解 得２ ０ ≤ ≤ ２ ２ ÷．
３ ＋８≥ ｌ
・ ． ’
为正 整数 ＇ ． ． ． ＝２ ０ 、 ２ １ 、 ２ ２ ， 因此共 有三种 购票
方案．
在一次 函数 ＝ 一２ ４ ０ Ｘ＋１ ４ ６ ０ ０中， 。 ． ‘ ｋ： 一２ ４ ０＜
点拨
（ １ ） 因为 四边形 ＭＮ Ｃ Ｄ是梯形 ， 所 以运用 梯
北师大版八年级上册第四章-一次函数知识点题型总结
第四章 一次函数知识点1：函数1. 下列图形中的图象不表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有__________3 在函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ≠1D ．x=14. 函数y=中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣5B ．x ≤﹣5C ．x ≥5D ．x ≤55. 在函数x 的取值范围是___________.知识点2：正比例函数和一次函数1. 下列说法正确的是（ ）．A ．一次函数是正比例函数B ．正比例函数不是一次函数C ．不是正比例函数就不是一次函数D ．正比例函数是一次函数2. 下列函数中，是一次函数的有（ ）（1）y=πx （2）y=2x ﹣1 （3）y=x1 （4）y=2﹣3x （5）y=x 2﹣1．3 若y=x+2-b 是正比例函数，则b 的值是（）A.0B.-2C.2D.-0.54. 若y=x+2-b 是正比例函数，则b 的值是（）A.0B.-2C.2D.-0.55 若函数y =(m +1)x |m |+2是一次函数，则m 的值为( ) A.m =±1 B.m =-1 C.m =1 D.m ≠-16. y=2x |m|+3表示一次函数，则m 等于（ ） A ．1B ．﹣1C ．0或﹣1D ．1或﹣17. 一个正比例函数的图象经过点（－2，4），它的表达式为 （ ） A ．B ．C ．D ．8. 若点（m ，m ＋3）在函数y=－21x ＋2的图象上，则m=____9 将一次函数y ＝2x －3的图象沿y 轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（ ） A ．y ＝2x －5 B ．y ＝2x ＋5 C ．y ＝2x ＋8 D ．y ＝2x －810. 与正比例函数y=x 相同的函数是A.2xy = B.y=()2x C.y=x212D.y=33x知识点3：正比例函数和一次函数的图像性质1. 已知函数y =（m +1）x 是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m 的值是（ ）A.2B.-2C.±2D.-2. 一次函数y=（2m ﹣6）x+4中，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是_____．3. 已知正比例函数y=kx （k ＜0）的图象上两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），且x 1＜x 2，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．y 1+y 2＞0 B ．y 1+y 2＜0 C ．y 1﹣y 2＞0D ．y 1﹣y 2＜04. 已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在直线y=﹣3x+2上，则y1，y2，y3的值的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2B．y1＜y2＜y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y35. 函数y＝kx＋b的图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是____________．6.如图，直线y＝x＋b与直线y＝kx＋6交于点P(1，3)，则关于x的不等式x＋b＞kx＋6的解集是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x＞3 D．x＜27.如图，直线y＝kx和y＝ax＋4交于A（1，k），则不等式ax＋4＜kx的解集为____________．8.已知点（2，-4）在正比例函数y=kx的图象上。
求一次函数解析式的常见题型
求一次函数解析式的常见题型以部分中考题为例，归类介绍几种常见题型如下：一、点斜型．例1 已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点(6，－1)，求这个函数的解析式．解：∵一次函数y＝kx＋3的图象经过点(6，－1)，二、两点型．例2 某个一次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是(－1，0)和(0，2)，则这个一次函数的解析式是______．解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b．∵直线y＝kx＋b经过(－1，0)和(0，2)两点，故这个一次函数的解析式是y＝2x＋2．三、斜截型．例3 已知函数y＝kx＋b的图象平行于直线y＝3x，并且在y式．3四、平移型．为______．解；设一次函数的解析式为y＝kx＋b，因为y＝kx＋b的图象五、定义型．例5 已知函数y＝(m2－m)x2m2－m＋3是一次函数，试求其解析式．解：根据一次函数的定义知六、应用型．例6 甲、乙两人分别从相距18公里的A、B两地同时相向而行，甲以4公里／时的平均速度步行，乙以每小时比甲快1公里的平均速度步行，相遇而止．求甲、乙两人相距的距离y(公里)和所用的时间x(小时)的函数关系式．解：y与x之间的函数关系式为y＝－9x＋18，(0≤x≤2)．七、对称型．例7 已知点A′与点A(－2，3)关于y轴对称，直线y＝kx－5经过点A′，求该直线的解析式．解：∵A′点与A(－2，3)点关于y轴对称，∴A′点的坐标为(2，3)．又直线y ＝kx－5经过A′点，∴3＝2k－5，∴k＝4．故直线的解析式为y＝4x－5．八、几何型．以AB为边在第一象限内作正三角形ABC．⊙O′为△ABC的外接圆，与x轴交于另一点E．(1)求C点坐标；(2)求过点C与AB中点D的一次函数的解析式；∴∠BAO＝30°．又∵△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2，∠BAC＝60°，(2)过D作DF∥OB交OA于F．∵D是AB的中点，则DF＝两点的一次函数解析式为y＝kx＋b，有九、方程型．例9 △ABC中，AB＝AC，点A、C在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上．若此三角形腰长和腰上的高线的长分别是关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2－5＝0的两个实数根，且△ABC的面积等于10，求经过B、C两点的直线的解析式．0可化为x2－9x＋20＝0．解之得x1＝5，x2＝4．注意题给条件，可知腰长大于腰上的高线长，则△ABC三个顶点为A(3，0)、B(0，4)、C(8，0)．十、综合型．例10 已知抛物线y＝(9－m2)x2－2(m－3)x＋3m的使y随x的增大而减小．a，b满足方程组求这条直线的解析式．解：由抛物线y＝(9－m2)x2－2(m－3)·x＋3m的顶点析式为y1＝－7x2＋14x－12，顶点D1(1，－5)及y2＝－27x2＋即C1(2，1)、C2(－2，－1)．直线经过C、D两点，由经过C2、D2的直线是y＝－6x－13．附思考题：1．在直角坐标系内，一次函数y＝kx＋b的图象经过三点A(2，0)、B(0，2)、C(m，3)，求这个一次函数解析式并求m的值．(y＝－x＋2，m＝－1)2．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0，1)和点B(a，解析式．(y＝－2x＋1)3．在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx＋b(kb＞0，b＜0)的图象分别与x轴、y轴和直线x＝4交于点A、B、C，直线x＝4与x轴交于点D，四边形OBCD(O 为坐标原点)的面积为10，若A4．已知一次函数y＝kx＋b过点(－2．5)且它的图象与y轴的解析式是______．(y＝－4x－3)。
北师大版八年级上册数学第18讲《一次函数全章》知识点梳理
北师大版八年级上册数学第 18 讲《一次函数全章》知识点梳理【学习目标】1.了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.2.理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.3.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.4.通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.【知识网络】选择方案要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.y 是x 的函数，如果当x ＝a 时y ＝b ，那么b 叫做当自变量为a 时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为y =kx +b ，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0 时，一次函数y =kx +b 即y =kx （k ≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：直线y =kx +b 可以看作由直线y =kx 平移| b |个单位长度而得到（当b ＞0 时，向上平移；当b ＜0 时，向下平移）.说明通过平移，函数y =kx +b 与函数y =kx 的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）要点诠释：理解k 、b 对一次函数y =kx +b 的图象和性质的影响：（1）k 决定直线y =kx +b 从左向右的趋势（及倾斜角α的大小——倾斜程度），b 决定它与y轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y =kx +b 经过的象限．（2） 两条直线l 1 ： y = k 1 x + b 1 和l 2 ： y = k 2 x + b 2 的位置关系可由其系数确定： k 1 ≠ k 2 ⇔ l 1 与l 2 相交；k 1 = k 2 ，且b 1 ≠ b 2 ⇔ l 1 与l 2 平行； k 1 = k 2 ，且b 1 = b 2 ⇔ l 1 与l 2 重合； （3） 直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线 x = a 、直线 y = b 不是一次函数的图象. 要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式【典型例题】 类型一、函数的概念1、下列说法正确的是：（ ）Ａ.变量 x , y 满足2x + y = 3 ，则 y 是 x 的函数； Ｂ.变量 x , y 满足| y |= x ，则 y 是 x 的函数； Ｃ.变量 x , Ｄ.变量 x , 【答案】A ；y 满足 y 2 = x ，则 y 是 x 的函数； y 满足 y 2 - x 2 = 1，则 y 是 x 的函数. 【解析】B 、C 、D 三个选项，对于一个确定的 x 的值，都有两个 y 值和它对应，不满足单值对应的条2x - 3 x ⎩⎩ 件，所以不是函数.【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 举一反三：【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）【答案】B ；2、求函数 的自变量的取值范围.【思路点拨】要使函数有意义，需 或 解这个不等式组即可.【答案与解析】 解：要使函数 有意义，则 x 要符合： 即：或2x -1 ≥ 0x -1解方程组得自变量取值是或.【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的 x 的集合. 举一反三：【变式】求出下列函数中自变量 x 的取值范围（1） y = x +1 【答案】（2） y =x3x + 2|x -2| （3） y = +⎧x ≠ 0 解：（1）要使 y = x +1 有意义，需⎨x +1 ≠ 0 ，解得 x ≠0 且 x ≠－1；（2）要使 y = 3x + 2有意义，需⎧3x + 2 ≥ 0 ，解得 x ≥ - 2 且x ≠ 2 ；|x -2|⎨x - 2 ≠ 03 3 - 2x（3）要使y = +有意义，需⎧2x - 3 ≥ 0 ，解得x =3 .2x - 33 - 2x ⎨⎩3 - 2x ≥ 0 2类型二、一次函数的解析式3、已知y 与x - 2 成正比例关系，且其图象过点(3，3)，试确定y 与x 的函数关系，并画出其图象．【思路点拨】y 与x - 2 成正比例关系，即y =k (x - 2) ，将点(3，3)代入求得函数关系式.【答案与解析】解：设y =k (x - 2) ，由于图象过点(3，3)知k = 3 ，故y = 3(x - 2) = 3x - 6 ．其图象为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．【总结升华】y 与x 成正比例满足关系式y =kx ，y 与x －2 成正比例满足关系式y =k (x - 2) ，注意区别.举一反三：【变式】直线y =kx +b 平行于直线y = 2x -1，且与x轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 【答案】解：∵直线y =kx +b 平行于直线y = 2x -1∴k = 2∵与x 轴交于点（2，0）∴①将k ＝2 代入①，得b =-4∴此直线解析式为y = 2x - 4 .类型三、一次函数的图象和性质4、已知正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是图中的（）．【答案】B；【解析】∵ y 随x 的增大而减小，∴k ＜0．∵y =x +k 中x 的系数为1＞0，k ＜0，∴经过一、三、四象限，故选B．【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，k ＞0 时，函数值随自变量x 的增大而增大．举一反三：【变式】已知正比例函数y =(2m -1)x 的图象上两点A( x1,y1), B( x2, y2)，当x1<x2时, 有y 1 >y2, 那么m 的取值范围是( )A．m <1B．m >1C．m < 2D．m > 0 2 2【答案】A；提示：由题意y 随着x 的增大而减小，所以2m -1 < 0 ，选A 答案.类型四、一次函数与方程（组）、不等式5、如图，平面直角坐标系中画出了函数y =kx +b 的图象．（1）根据图象，求k 和b 的值．（2）在图中画出函数y =-2x + 2 的图象．（3）求x 的取值范围，使函数y =kx +b 的函数值大于函数y =-2x + 2 的函数值．【思路点拨】（3）画出函数图象后比较，要使函数y =kx +b 的函数值大于函数y =-2x + 2 的函数值，需y =kx +b 的图象在y =-2x + 2 图象的上方.【答案与解析】解：（1）∵直线y =kx +b 经过点（－2，0），（0，2）．∴解得∴y =x + 2 ．（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图象如图所示．（3）当y =kx +b 的函数值大于y =-2x + 2 的函数值时，也就是x + 2 >-2x + 2 ，解得x ＞0，即x 的取值范围为x ＞0．【总结升华】函数图象在上方函数值比函数图象在下方函数值大.举一反三：【变式】（2015•武汉校级模拟）已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（3，5）与（﹣4，﹣9）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x 的不等式kx+b≤5 的解集．【答案】解：∵一次函数y=kx+b 的图象经过点点（3，5）与（﹣4，﹣9），∴，解得∴函数解析式为：y=2x﹣1；（2）∵k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，把y=5 代入y=2x﹣1 解得，x=3，∴当x≤3 时，函数y≤5，故不等式kx+b≤5 的解集为x≤3．类型五、一次函数的应用6、（2015•黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12 吨（含12 吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12 吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1 月份用水24 吨，交水费42 元．2 月份用水20 吨，交水费32 元．（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；（2）设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；（3）小黄家3 月份用水26 吨，他家应交水费多少元？【答案与解析】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a 元，市场调节价为b 元．根据题意得，解得：．答：每吨水的政府补贴优惠价为1 元，市场调节价为2.5 元．（2）∵当0≤x≤12 时，y=x；当x＞12 时，y=12+（x﹣12）×2.5=2.5x﹣18，∴所求函数关系式为：y= ．（3）∵x=26＞12，∴把 x=26 代入 y=2.5x ﹣18，得：y=2.5×26﹣18=47（元）．答：小英家三月份应交水费 47 元．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围． 举一反三：【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份 0.7 元，销售价是每份 1 元，卖不掉的报纸还可以以 0.20 元的价格返回报社，在一个月内（以 30 天计算），有 20 天每天可卖出 100 份，其余 10 天，每天可卖出 60 份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为 ，每月所获得的利润为 ．（1） 写出 与 之间的函数关系式，并指出自变量 的取值范围；（2） 报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】解：（1）．类型六、一次函数综合7、如图所示，直线l 1 的解析表达式为 y = -3x + 3 ，且l 1 与 x 轴交于点 D ，直线l 2 经过 A 、B 两点， 直线l 1 、l 2 交于点 C ．(1) 求点 D 的坐标； (2) 求直线l 2 的解析表达式； (3) 求△ADC 的面积；(4) 在直线l 2 上存在异于点 C 的另一点 P ，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．⎨ ⎪ ⎨ ⎨ y = -3.【答案与解析】解： (1)由 y = -3x + 3 ，当 y ＝0，得-3x + 3 ＝0，得 x ＝l ．∴ D(1，0)．(2) 设直线l 2 的解析表达式为 y = kx + b ，由图象知， x = 4 ， y = 0 ； x = 3 ， y = - 3．2⎧4k + b = 0, 将这两组值代入，得方程组⎪33k + b = - . ⎩ 2⎧k = 3 ,解得⎪2⎪⎩b = -6. ∴ 直线l 2 的解析表达式为 y = 3x - 6 ．2⎧y = -3x + 3, (3) ∵ 点 C 是直线l 与l 的交点，于是有⎪312⎨ y = ⎩ x - 6. 2解得⎧x = 2,⎩ ∴ C(2，－3)． ∴ △ADC 的 AD 边上的高为 3． ∵ OD ＝1，OA ＝4， ∴ AD ＝3． ∴ S= 1 ⨯ 3⨯ | -3 |= 9． △ADC2 2(4)P(6，3)．【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．。
北师大版八年级数学上册 一次函数知识点总结和常考题
()()()32100.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b 一次函数所有知识点总结和常考题知识点：1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不变的是常量。
2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 自变量，y 是x 的函数。
3.函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。
4.描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。
5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线：依次用平滑曲线连接各点。
6．正比列函数：形如y=kx （k ≠0）的函数，k 是比例系数。
7．正比列函数的图像性质：⑴ y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，8．一次函数：形如y=kx+b (k ≠0)的函数,则称y 是x 的一次函数。
当b=0时,称y 是x 的正比例函数。
9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当k>0时， y 随x 的增大而增大；②当k<0时， y 随x 的增大而减小。
10．待定系数法求函数解析式：⑴设函数解析式为一般式；（2）把两点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；（3）把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11．一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）常考题：一．选择题（共14小题）1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=2．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．3．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣5．下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A．B．C．D．6．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜07．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较8．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞29．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）10．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处 C．Q处D．M处11．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．12．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）13．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二．填空题（共13小题）15．函数y=中自变量x的取值范围是．16．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为．17．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第象限．18．一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是．19．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟．20．已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．21．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）22．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．23．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．24．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．25．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为．26．把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为．27．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为．三．解答题28．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．29．如图：在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三点坐标．（1）若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；（2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．30．如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．D．2．C．3．A．4．D．5．A．6．D．7．A．8．C．9．A．10．C．11．C．12．B．13．C．14．A．二．填空题（共13小题）15．x≥﹣且x≠1．16．﹣．17．一．18．﹣2＜b＜3．19．80．20．7≤a≤9．21．①③④．22．y=6+0.3x．23．224．PM=．25．（0，﹣3）．26．y=﹣x+1．27．S△ABC=S△ACD﹣S△BCD=CD•AO﹣CD•BE=×4×4﹣×4×2=4．三．解答题28．解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，，代入表达式y=kx+b，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），=×3×|﹣3|=；∵AD=3，∴S△ADC（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，则P到AD距离=3，∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，∵y=1.5x﹣6，y=3，∴1.5x﹣6=3x=6，所以P（6，3）．【点评】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，难度中等．29．解：（1）符合条件的点D的坐标分别是D1（2，1），D2（﹣2，1），D3（0，﹣1）．（2）①选择点D1（2，1）时，设直线BD1的解析式为y=kx+b，由题意得，解得．∴直线BD1的解析式为．②选择点D2（﹣2，1）时，类似①的求法，可得直线BD2的解析式为y=﹣x﹣1．③选择点D3（0，﹣1）时，类似①的求法，可得直线BD3的解析式为y=﹣x﹣1．30．解：（1）直线y=﹣x+b交y轴于点P（0，b），由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．当t=3时，b=4，故y=﹣x+4．（2）当直线y=﹣x+b过点M（3，2）时，2=﹣3+b，解得：b=5，5=1+t，解得t=4．当直线y=﹣x+b过点N（4，4）时，4=﹣4+b，解得：b=8，8=1+t，解得t=7．故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．（3）如右图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F 为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E（1，0），F（0，﹣1）．∵M（3，2），F（0，﹣1），∴线段MF中点坐标为（，）．直线y=﹣x+b过点（，），则=﹣+b，解得：b=2，2=1+t，解得t=1．∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME中点坐标为（2，1）．直线y=﹣x+b过点（2，1），则1=﹣2+b，解得：b=3，3=1+t，解得t=2．故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．。
北师大版八年级上册数学 一次函数的图象和性质题型总结1(详细!!!)
1O OO O 一次函数图象和性质1重点：１. 一次函数关系式：y=kx+b (b ≠0) ２. K 决定走向。
趋势两直线平行则k 值相等，反之也成立两直线关于X 或Y 轴对称则K 互为相反数 两直线互相垂直则K 值互为负倒数。
３. B 决定上下平移的方向和距离B 是直线与Y 轴交点的纵坐标４. 直线Y=KX+B(K ≠０)与X 轴Y 轴交点坐标公式（０.b ） (－b/k .０)要点一 待定系数1、 若点()y ,3-在一次函数231-=x y 的图像上，则y= 。
2、 若一次函数y=（2-m ）x+m 的图像经过第一、•二、•四象限，•则m•的取值范围是______．3、 函数1+=kx y 的图像过点()1,2--，则_________=k 。
4、 一次函数图像平行于直线x y 2=，且与x 轴交于点()0,3-，则这个函数的解析式是 。
5、 一次函数b x y +-=32中，y 随着x 的增大而 ，当______=b 时，函数图像经过原点。
6、 将直线121--=x y 向上平移2个单位，所得直线的解析式是 ，平移后的直线不经过第 象限。
7、 已知一次函数4+-=k kx y 的图像经过原点，则_______=k 。
8、 如果直线b kx y +=经过二、三、四象限，则_______k ，________b 。
9、 一次函数b ax y -=中，0,0><b a ，则它的图像可能是（ ）111b x k y +=不过第三象限。
则K___ B__ 11、 如图，线段AB 对应的函数表达式为（ ） A ．y=-32x+2 B ．y=-23x+2C ．y=-23x+2（0≤x ≤3）D ．y=-23x+20（0<x<3）要点二 与坐标轴交点12、 函数23-=x y 在y 轴上的截距是 。
13、 直线32-=x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 。
一次函数(全章知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.24一次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】函数及相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量.（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．（3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法.（4）自变量的取值范围：整式函数的自变量取值范围是全体实数；分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数；二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数.易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.例：函数5y x =-中自变量的取值范围是35x x ≥-≠且.（5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象.（6）画图象的步骤：取值、描点、连线.【知识点2】一次函数的概念一次函数：如果(0)y kx b k b k =+≠、是常数，，那么y 叫做x 的一次函数．正比例函数：当0b =时，一次函数y kx b =+变成称(0)y kx k k =≠为常数，，y 叫做x 的正比例函数．【知识点3】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条恒经过点(0,)b 和(,0)bk-的直线.正比例函数的图象：正比例函数(0)y kx k =≠的图象是一条恒经过原点(0,0)和(1,)k 直线.【知识点4】一次函数的性质（1）正比例函数的图象与性质y =kx图像经过象限升降趋势增减性k ＞0一、三源：学*科*网X从左向右上升y 随着x 的增大而增大k ＜0二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小（2）一次函数的图象与性质y =kx +b图像经过象限升降趋势增减性k ＞0，b ＞0一、二、三从左向右上升[来源：学科网ZXXK]y 随着x 的增大而增大k ＞0，b ＜0一、三、四k ＜0，b ＞0一、二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小k ＜0，b ＜0二、三、四【知识点5】一次函数的图象与k、b 之间的联系①b 决定直线与y 轴的交点位置0b >时，直线交y 轴于正半轴；0b <时，直线交y 轴于负半轴；0b =时，直线经过原点.②0k >⇔直线上坡，y 随x 的增大而增大；0k <⇔直线下坡，y 随x 的增大而减小.③k 越大，直线越陡.【知识点6】确定一次函数表达式（1）待定系数法步骤：设：设函数表达式为(0)y kx b k =+≠；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k 与b 的值，得到函数表达式．（2）常见类型①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y =2x +b ，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点7】图象的平移一次函数y kx b =+向左平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =++；一次函数y kx b =+向右平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =-+；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =++；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =+-.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点8】两条直线间的位置关系设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+.(1)12k k ≠⇔相交；（2)1212k k b b =⎧⇔⎨≠⎩平行；（3)121k k =-⇔ 垂直.补充：若直线y kx b =+经过11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x ≠两点，则1212y y k x x -=-.【知识点9】一次函数与方程（组）（1）一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应.（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解就是两个一次函数11y k x b =+和22y k x b =+图象的交点坐标.（3）一元一次方程0kx b +=的根就是一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图象与x 轴交点的横坐标.【知识点10】一次函数与不等式（1）一次函数y kx b =+的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式0kx b +>的解集（2）一次函数y kx b =+的函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式0kx b +<的解集【考点一】函数的认识➼➻函数概念★自变量的取值范围★函数值【例1】（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x 小时后剩余油量y 升．（1）写出一次加满油后剩余油量y 与时间x 的函数关系式．（2）求出自变量的取值范围．【答案】(1)540y x =-+；(2)08x ≤≤；【分析】（1）根据剩余油量＝总油量－耗油量列函数关系式即可；（2）根据一次加满油40升可得540x ≤，然后可求出自变量的取值范围．（1）解：由题意得：405540y x x =-=-+；（2）解：∵一次加满油40升，∴540x ≤，解得：8x ≤，∴自变量的取值范围为08x ≤≤．【点拨】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出函数关系式．【举一反三】【变式1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．21y x =+【答案】B【分析】根据函数的定义，一个x 只能对应一个y ，函数的表示方法有图象法，列表法和关系式法，根据定义判断即可．解：A 选项是列表法表示的函数，一个x 只对应了一个y ，所以y 是x 的函数，故本选项不符合题意；B 选项从图象上看，一个x 对应了两个y ，不符合函数定义，故本选项符合题意；C 选项从图象上看，一个x 对应了一个y ，符合函数定义，故本选项不符合题意；D 选项是关系式法表示的函数，一个x 对应了一个y ，符合函数定义，故本选项不符合题意．故选：B ．【点拨】本题考查了函数的定义，掌握函数的概念是解题关键．【变式2】（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）正方形边长为9，若边长增加x ，则面积增加y ．y 关于x 的函数解析式为．【答案】218y x x=+【分析】根据正方形的面积公式即可得．解：由题意得：()2229918y x x x =+-=+，故答案为：218y x x =+．【点拨】本题考查了函数解析式，利用正方形的面积公式正确列出式子是解题关键．【考点二】函数的认识➼➻从函数图象中读取信息【例2】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）周末，小明坐公交车到碧沙岗公园，他出发后0.8小时到郑州购书中心，逗留一段时间后继续坐公交车到碧沙岗公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往碧沙岗公园，如图是他们离家路程(km)s 与小明离家时间(h)t 的关系图，请根据图回答下列问题．（1）小明家到碧沙岗公园的路程为______km ，小明出发______小时后爸爸驾车出发；（2）图中A 点表示的实际意义是______；（3）小明从中心书城到碧沙岗公园的平均速度为______km/h ，小明爸爸驾车的平均速度为______km/h ；（4）爸爸驾车经过______h 追上小明．【答案】(1)30，2.5；(2)2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园；(3)12；30；(4)23【分析】（1）根据图象中数据即可得出结论；（2）根据点A 的坐标即可得到点A 的实际意义；（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；（4）设爸爸驾车经t 小时追上小明，根据爸爸的路程=小明的路程列出方程，解方程即可．（1）由图可得，小明家到碧沙岗公园的路程是30km ；小明出发2.5小时后爸爸驾车出发，故答案为：30，2.5；（2）由图可得，A 点表示2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园，故答案为：2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园；（3）小明从中心书城到碧沙岗公园的平均速度为()301212km/h 4 2.5-=-，小明爸爸驾车的平均速度为()3030km/h 3.5 2.5=-，故答案为：12；30；（4）设爸爸驾车经x 小时追上小明，则121230x x +=，解得23x =，∴爸爸驾车经23小时追上小明，故答案为：23．【点拨】本题考查了从函数图象获取信息，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理清函数图象的意义是解答此题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图1，在ABC 中，90B Ð=°，动点P 从点A 出发，沿折线A B C --方向匀速运动，速度为1cm /s ，连接PC ，图2表示APC △的面积(y 单位：cm²)与运动时间(x 单位：)s 之间的关系图象，则图2中a 表示的数为．【答案】24【分析】先由函数的图象得6cm AB =，8cm BC =，当点P 到达点B 时面积为最大，最大面积为a 的值，从而可得出答案．解：由函数的图象可知：点P 从A B -的路程6cm ，从B C -的路程为8cm ，当点P 到达点B 时，面积为最大值，最大值为ABC 的面积．∴6cm AB =，8cm BC =，90B ∠=︒ ，()211682422ABC S AB BC cm ∴=⋅=⨯⨯= ，24a ∴=．故答案为：24．【点拨】此题主要考查了函数的图象，解答此题的关键是理解题意，读懂函数的图象，准确的从函数的图象中提取解决问题的性质【变式2】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】先根据点H 的运动，得出当点H 在不同边上时HAF △的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．解：当点H 在AB 上时，如图所示，(cm)AH xt =，()214cm 2HAF S AF AH xt =⨯⨯= ，此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，当点H 在BC 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，且HP AB =，∴12HAF S AF AB =⨯⨯ ，此时三角形面积不变，当点H 在CD 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，C ，D ，P 三点共线，12HAF S AF HP =⨯⨯ ，点H 从点C 点D 运动，HP 逐渐减小，故三角形面积不断减小，当点H 在DE 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，且HP EF =，12HAF S AF EF =⨯⨯ ，此时三角形面积不变，当点H 在EF 时，如图所示，12HAF S AF HF =⨯⨯ ，点H 从点E 向点F 运动，HF 逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，对照图2可得05t ≤≤时，点H 在AB 上，∴2x =，2510(cm)AB ⨯==，∴动点H 的速度是2cm /s ，故①正确，58t ≤≤时，点H 在BC 上，此时三角形面积不变，∴动点H 由点B 运动到点C 共用时()853s -=，∴236(cm)BC ⨯==，故②错误，12t b ≤≤，点H 在DE 上，862(cm)DE AF BC =-=-=，∴动点H 由点D 运动到点E 共用时()221s ÷=，∴12113b =+=，故③错误．当HAF △的面积是230cm 时，点H 在AB 上或CD 上，点H 在AB 上时，()24830cm AAF S xt t === ，解得 3.75(s)t =，点H 在CD 上时，()211830cm 22HAF S AF HP HP =⨯⨯=⨯⨯= ，解得7.5(cm)HP =，∴107.5 2.5(cm)CH AB HP =-=-=，∴从点C 运动到点H 共用时2.52 1.25(s)=÷，由点A 到点C 共用时8s ，∴此时共用时8 1.259.25(s)+=，故④错误．故选：A ．【点拨】本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．【考点三】一次函数定义➼➻正比例函数、一次函数的定义【例3】（2023春·湖南岳阳·八年级校考期末）已知函数()211y m x m =-+-．（1）当m 为何值时，y 是x 的一次函数？（2）当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？【答案】(1)1m ≠；(2)1m =-【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可；（2）利用正比例函数定义进行解答．（1）解：由题意得：10m -≠，解得：1m ≠；（2）解：由题意得：210m -=且10m -≠，解得：1m =-．【点拨】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如(y kx k =是常数，且0)k ≠的函数叫做正比例函数；形如(y kx b k b =+、是常数，且0)k ≠的函数叫做一次例函数．【举一反三】【变式1】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点(),P a b 在直线21y x =+上，则代数式142a b -+的值为（）A ．3B ．1-C ．2D ．0【答案】A【分析】把点(),P a b 代入21y x =+，得出21a b -=-，将其代入142a b -+进行计算即可．解：把点(),P a b 代入21y x =+得21b a =+，整理得：21a b -=-，∴()()1421221213a b a b -+=--=-⨯-=，故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．【变式2】（2023春·河北承德·八年级统考期末）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到如下图表中的数据：摄氏温度值/x ℃010********华氏温度值/y F32506886104122（1）分析两种温标计量值的对应关系是否是一次函数？（填“是”或“否”）（2）请你根据数据推算0F 时的摄氏温度为C【答案】是1609-【分析】（1）根据表格中的数据，判断y 与x 的函数关系是一次函数即可；（2）设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，最后代入求解即可．（1）由表格可知，x 每增加10，y 就增加18，则两种温标计量值的对应关系是一次函数，故答案为：是（2）设华氏温度y 与摄氏温度x 之间的函数关系式为y kx b =+，由表中的数据，得321050b k b =⎧⎨+=⎩，解得 1.832k b =⎧⎨=⎩，1.832y x ∴=+，∴华氏温度y 与摄氏温度x 之间的函数关系式为 1.832y x =+，当0y =时，0 1.832x =+，解得1609x =-，∴当华氏温度为0F 时，摄氏温度是1609-C ，故答案为：1609-【点拨】本题考查了一次函数关系的判断、待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，求出函数的解析式是解题的关键．【考点四】一次函数➼➻一次函数的图像与位置【例4】（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m ，n 为常数，且0mn ≠）的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．【举一反三】【变式1】（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y kx =-与y x k =+的图象大致应为（）A.B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图象分别确定k 的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．解：根据图象知：A 、0k <，则0k ->，正比例函数的图象不对，不符合题意；B 、0k >，则0k -<．图象正确，符合题意；C 、当0k >，y x k =+过一、二、三象限，不符合题意；D 、正比例函数的图象不对，不符合题意；故选：B ．【点拨】一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当0k >，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限；②当0k >，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限；③当0k <，0b >时，函数y kx b=+的图象经过第一、二、四象限；④当0k <，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．【变式2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知：一次函数()35y m x m =-+-．（1）若一次函数的图象过原点，求实数m 的值；（2）当一次函数的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（3）当一次函数的图象不经过第一象限时，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5m =；(2)5m >；(3)35m <≤【分析】（1）把()0,0代入()35y m x m =-+-可得50m -=，再解方程并检验即可；（2）由一次函数()35y m x m =-+-的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，再建立不等式组3050m m -<⎧⎨->⎩求解即可；（3）由一次函数()35y m x m =-+-的图象不经过第一象限，再建立不等式组3050m m -<⎧⎨-≤⎩求解即可．（1）解：∵一次函数()35y m x m =-+-的图象过原点，∴50m -=，解得：5m =，经检验符合题意；（2）∵一次函数()35y m x m =-+-的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，∴3050m m -<⎧⎨->⎩，解得：5m >；（3）∵一次函数()35y m x m =-+-的图象不经过第一象限，∴3050m m -<⎧⎨-≤⎩，解得：35m <≤．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象所经过的象限是解本题的关键．【考点五】一次函数图象➼➻一次函数的增减性【例5】（2021春·广东江门·八年级校考期中）已知正比例函数y kx =的图象经过点()4,8-．（1）求这个函数解析式；（2）判断点()2,5A -是否在这个函数图象上；（3）图象上的两点()11,C x y ，()22,D x y ，且12x x <，比较1y ，2y 的大小．【答案】(1)2y x =-；（2）点()2,5A -不在这个函数图象上；(3)12y y >【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）将点A 横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A 是否在这个函数图象上；（3）根据正比例函数的增减性，即可比较1y ，2y 的大小．（1）解：将点()4,8-代入y kx =，得48k =-，解得2k =-，∴这个函数解析式为2y x =-；（2）解：当2x =-时，()()2245y =-⨯-=≠，∴点()2,5A -不在这个函数图象上；（3）解：∵20k =-<，∴y 随着x 增大而减小，∵图象上的两点()11,C x y ，()22,D x y ，且12x x <，∴12y y >．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系法求解析式，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）已知点()14,y -，()22,y ，()32,y -都在直线2y x b =-上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】B 【分析】根据比例系数，20k =>，根据一次函数的性质y 随x 的增大而增大即可判断．解：根据2y x b =-，20k ∴=>，y 随x 的增大而增大，由于1(4,)y -，2(2,)y ，3(2,)y -都在直线2y x b =-上，422-<-< ，231y y y ∴>>，故选：B ．【点拨】本题考查一次函数的增减性与k 的正负有关，进而判断即可．【考点六】一次函数➼➻待定系数法求一次函数的解析式【例6】（2023春·甘肃定西·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)．（1）求出y 与x 的函数解析式；（2）设点(2,)a 在这个函数的图象上，求a 的值．【答案】(1)3y x =-+；(2)1a =【分析】（1）设一次函数解析式为(0)y kxb k =+≠，根据一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)得230k b k b +=⎧⎨+=⎩，进行计算即可得；（2）将点(2,)a 代入函数解析式中即可得．（1）解：设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠，∵一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)∴230k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数解析式为：3y x =-+；（2）解：∵点(2,)a 在函数3y x =-+的图象上，∴231a =-+=．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．【举一反三】【变式1】（2023春·新疆阿克苏·八年级校考阶段练习）设一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠），图象过()()2,7,0,3A B ．（1）求该一次函数的解析式；（2）判断点()1,2P -是否在该一次函数图象上．【答案】(1)23y x =+；(2)不在【分析】（1）把()()2,7,0,3A B 分别代入y kx b =+，利用待定系数法求解即可；（2）把=1x -代入解析式，求得1y =，即可判断．（1）把()()2,7,0,3A B 分别代入y kx b =+得：273k b b +=⎧⎨=⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为23y x =+；（2）当=1x -时，231y =-+=，∴点()1,2P -不在该一次函数图象上．【点拨】本题考查了求一次函数解析式及一次函数图象上的点，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式2】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）已知y 是x 的一次函数，且当0x =时，3y =；当2x =时，1y =-．（1）求一次函数的解析式，（2）若3y <-，求自变量x 的取值范围．【答案】(1)23y x =-+；(2)3x >【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）根据3y <-即可列出不等式即可求解．（1）解：设()0y kx b k =+≠，根据题意得：312b k b =⎧⎨-=+⎩，解得：23k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是：23y x =-+；（2）解：3y <- ，233x ∴-+<-，解得：3x >，∴自变量x 的取值范围：3x >．【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式和解一元一次不等式，正确解方程组求得k 和b 的值是解题的关键．【考点七】一次函数➼➻一次函数的平移【例7】（2023春·江西赣州·八年级校联考期末）已知一次函数的图象过点()3,5与()4,9--．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若将这个一次函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x 轴的交点坐标．【答案】(1)一次函数解析式为21y x =-；(2)平移后的图象与x 轴的交点坐标为()1,0-【分析】（1）设出一次函数的解析式是y kx b =+，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k 、b 的值即可得解；（2）根据平移的方向和距离得到平移后的解析式，然后令0y =，即可求得x 的值，从而得到图象与x 轴的交点坐标．（1）解：设一次函数的解析式是y kx b =+，将点()3,5与()4,9--的坐标代入得：3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解21k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数解析式为21y x =-；（2）将21y x =-沿y 轴向上平移3个单位，所得直线的解析式为22y x =+，令0y =得；220x +=，所以=1x -．∴平移后的图象与x 轴的交点坐标为()1,0-．【点拨】本题主要考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，求出一次函数解析式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线()40y kx k =+≠向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则k 的值为（）A ．2-B ．1-C ．2D ．1【答案】C【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为()24y k x =-+，将()00，代入得，()0024k =-+，计算求解即可．解：由题意得，平移后的直线的解析式为()24y k x =-+，将()00，代入得，()0024k =-+，解得2k =，故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式2】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点()0,2P ，则这个一次函数的解析式为．【答案】22y x =+【分析】根据互相平行的两直线解析式的k 值相等，得到一次函数的解析式为2y x b =+，再把点()0,2P 代入解析式求解即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行，∴2k =，∴一次函数为2y x b =+，∵一次函数过点()0,2P ，∴20b =+，∴2b =，∴一次函数的解析式为：22y x =+，故答案为：22y x =+．【点拨】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式，解题的关键是熟知：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．【考点八】一次函数➼➻一次函数图象与直线交点坐标【例8】（2023春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，直线26y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线112y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，两直线交于点E．（1）求出A ，E 两点的坐标；（2）求四边形AODE 的面积．【答案】(1）点A 坐标为()3,0-，点E 坐标为()2,2-；(2)4【分析】（1）对于26y x =+，当0y =时求出x ，即可得到点A 的坐标，联立两个函数的解析式，求出方程组的解即可得出点E 的坐标；（2）先求出点D 、C 的坐标，再利用面积的和差解答即可．（1）对于26y x =+，当0y =时，260x +=，解得3x =-，∴点A 坐标为()3,0-，联立26112y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，∴点E 坐标为()2,2-；（2）对于112y x =-+，当0y =时，1102x -+=，解得2x =，∴点C 坐标为()2,0，∴235AC =+=，当0x =时，1y =，∴点D 坐标为()0,1，∴1OD =，∴115221422AEC ODC AODE S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 四边形．【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两个函数的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．【举一反三】【变式】（2023春·江西新余·八年级统考期末）一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论：①0k <；②0a >；③关于x 的方程kx x a b -=-的解是3x =；④当3x <时，12y y <中．则正确的序号有（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B 【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当3x <时，一次函数1y kx b =+在直线2y x a =+的上方，则可对④进行判断．解：∵一次函数1y kx b =+经过第一、二、四象限，∴00k b <>，，所以①正确；∵直线2y x a =+的图象与y 轴的交点在x 轴下方，∴a<0，所以②错误；∵一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象的交点的横坐标为3，∴3x =时，kx b x a +=+，整理得kx x a b -=-，则关于x 的方程kx x a b -=-的解是3x =，所以③正确；当3x <时，1y kx b =+图像在2y x a =+图像的上方，∴12y y >，所以④错误．故选：B ．【点拨】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．【考点九】一次函数➼➻一次函数图象与二元一次不等式组【例9】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象．（1）方程0kx b +=的解为______，不等式4kx b +<的解集为______；（2）若正比例函数y mx =（m 为常数，且0m ≠）与一次函数y kx b =+相交于点P （如图2），则不等式组00mx kx b >⎧⎨+>⎩的解集为______；（3）比较mx 与+kx b 的大小（根据图象直接写出结果）．【答案】(1)2x =，0x >；(2)02x <<；(3)当1x <时，mx kx b <+；当1x =时，mx kx b =+；当1x >时，mx kx b >+【分析】（1）根据点A 的坐标即可方程0kx b +=的解，再根据点B 的坐标即可得不等式4kx b +<的解集；（2）根据函数图象分别求出不等式0mx >和不等式0kx b +>的解集，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集；（3）根据点P 的横坐标，分1x <、1x =、1x >三种情况，结合函数图象即可．（1）解：由函数图象可知，方程0kx b +=的解为2x =，不等式4kx b +<的解集为0x >，故答案为：2x =，0x >；（2）解：由函数图象可知，不等式0mx >的解集为0x >，不等式0kx b +>的解集为2x <，则这个不等式组的解集为02x <<，故答案为：02x <<；（3）解：由函数图像可知，当1x <时，mx kx b <+，当1x =时，mx kx b =+，当1x >时，mx kx b >+．【点拨】本题考查一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，有下列结论：①图象经过点()2,3；②关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；③当1x >时，0y <．其是正确的是．【答案】②③【分析】待定系数法求出函数解析式，根据图象法解方程，增减性判断函数值的变化情况，逐一进行判断即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，∴02k b b=+⎧⎨=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩，∴22y x =-+，当2x =时，222y =-⨯+，=2y -；∴图象不经过点()2,3；故①错误；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()1,0，∴关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；故②正确；由图象可知，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，0y <；故③正确；故答案为：②③【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，利用函数的性质和图象法求解，是解题的关键．【变式2】（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考开学考试）如图，直线11l y kx =+：与x 轴交于点D ，直线2l y x b =-+：与x 轴交于点A ，且经过定点()1,5B -，直线1l 与2l 交于点()2,C m ．（1）求的值；（2）求ADC 的面积；【答案】(1)12k =；(2)6【分析】（1）将点()1,5B -，代入直线2l ：y x b =-+得出4b =，进而得出直线2l ：4y x =-+，然后得出()2,2C ，代入1y kx =+，即可求解；（2）先求得A ，D 的坐标，进而根据三角形面积公式，即可求解．（1）解： 直线2l ：y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点()1,5B -，51b ∴=+，4b ∴=，∴直线2l ：4y x =-+，直线2l ：4y x =-+经过点()2,C m ，242m ∴=-+=，()2,2C ∴，把()2,2C 代入1y kx =+，得12k =．∴12k =，4b =，2m =；（2）对于直线1l ：y =121x +，令0y =，得到2x =-，()2,0D ∴-，2OD ∴=，。
例谈求一次函数解析式的常见题型
例谈求一次函数解析式的常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是中考的重点考查内容。
求一次函数的解析式，是学习一次函数最基本也是最重要的内容之一。
中考单独命题考查者不多，但许多综合性题目中都要用到它。
本文略举几例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。
希望对同学们的学习有所帮助。
一. 定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。
解：由一次函数定义知，故一次函数的解析式为注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。
如本例中应保证二. 点斜型例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
解：一次函数的图像过点（2，－1），即故这个一次函数的解析式为变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。
三. 两点型例3、一次函数经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴相交于C点。
（1）求这个一次函数的解析式；（2）求的面积。
解：（1）据题意，得说明：求一次函数解析式必须知道两个独立的条件。
待定系数法是最基本的方法，其他方法也是由此演化而来。
四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
解：设一次函数解析式为由图可知一次函数的图像过点（1，0）、（0，2）有故这个一次函数的解析式为说明：已知图象求解析式要注意图形中的细节部分，例如空心点或实心点，这也决定一次函数的定义域，往往同学们不注意。
五. 斜截型例5. 已知直线与直线平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。
解析：两条直线：；：。
当，时，直线与直线平行，。
又直线在y轴上的截距为2，故直线的解析式为说明：与已知直线平行的直线斜率相同，即如果已知直线y=kx+b,则平行直线为y=kx+c;与已知直线垂直的直线斜率成负倒数，即如果已知直线y=kx+b,则垂直直线为y=- x+c.六. 平移型例6. 把直线向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
北师大版八年级数学上册第四章一次函数知识点总结
第四章一次函数学问点总结4.1.1 变量和函数1、变量：在一个改变过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个改变过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个改变过程中，假如有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。
例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。
对于不同的自变量x的取值，y的值可以一样，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是13、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际状况相符合，使之有意义4.1.2 函数的表示法1、三种表示方法列表法：一目了然，运用起来便利，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
公式法：即函数解析式，简洁明了，可以精确地反映整个改变过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
一般状况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。
用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。
4、函数的图像一般来说，对于一个函数，假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（根据横坐标由小到大的依次把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
八年级数学一次函数解析式的常见题型
一次函数解析式的常见题型一. 定义型例1. 已知函数是一次函数，求其解析式。
注意：利用定义求一次函数解析式时，要保证。
如本例中应保证二. 点斜型例2. 已知一次函数的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
变式问法：已知一次函数，当时，y＝－1，求这个函数的解析式。
三. 两点型例3.已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
四. 图像型例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
五. 实际应用型例5. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为___________。
注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。
六. 面积型 例6. 已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。
【检测练习】一、选择1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）A ．．． D ．2．下面哪个点在函数y=12x+1的图象上（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，0） D ．（-2，0） 3．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=2x-1 B ．y=3xC ．y=2x 2D ．y=-2x+1 4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A ．一、二、三 B ．二、三、四 C ．一、二、四 D ．一、三、四5．若函数y=（2m+1）x 2+（1-2m ）x （m 为常数）是正比例函数，则m 的值为（ ） A ．m>12 B ．m=12 C ．m<12 D ．m=-126．若一次函数y=（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．k>3B ．0<k ≤3C ．0≤k<3D ．0<k<3 7．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）A ．y=-x-2B ．y=-x-6C ．y=-x+10D ．y=-x-18．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y （升）与行驶时间t （时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ）9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t （小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）10．一次函数y=kx+b 的图象经过点（2，-1）和（0，3），•那么这个一次函数的解析式为（ ） A ．y=-2x+3 B ．y=-3x+2 C ．y=3x-2 D ．y=12x-3 二、填空11．已知自变量为x 的函数y=mx+2-m 是正比例函数，则m=________，•该函数的解析式为_________．12．若点（1，3）在正比例函数y=kx 的图象上，则此函数的解析式为________． 13．已知一次函数y=kx+b 的图象经过点A （1，3）和B （-1，-1），则此函数的解析式为_________． 14．若解方程x+2=3x-2得x=2，则当x_________时直线y=x+•2•上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．15．已知一次函数y=-x+a 与y=x+b 的图象相交于点（m ，8），则a+b=_________．16．若一次函数y=kx+b 交于y•轴的负半轴，•且y•的值随x•的增大而减少，•则k____0，b______0．（填“>”、“<”或“＝”） 17．已知直线y=x-3与y=2x+2的交点为（-5，-8），则方程组30220x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解是________．18．已知一次函数y=-3x+1的图象经过点（a ，1）和点（-2，b ），则a=________，b=______．19．如果直线y=-2x+k 与两坐标轴所围成的三角形面积是9，则k 的值为_____．20．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，与x 轴交于点C ，则此一次函数的解析式为__________，△AOC 的面积为_________． 三、解答题21．根据下列条件，确定函数关系式：（1）y 与x 成正比，且当x=9时，y=16；（2）y=kx+b 的图象经过点（3，2）和点（-2，1）．22．一次函数y=kx+b 的图象如图所示：（1）求出该一次函数的表达式；（2）当x=10时，y 的值是多少？（3）当y=12时，•x 的值是多少？23．一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）农民自带的零钱是多少？（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？24．如图所示的折线ABC•表示从甲地向乙地打长途电话所需的电话费y （元）与通话时间t （分钟）之间的函数关系的图象．（1）写出y 与t•之间的函数关系式．（2）通话2分钟应付通话费多少元？通话7分钟呢？25．已知雅美服装厂现有A 种布料70米，B 种布料52米，•现计划用这两种布料生产M 、N 两种型号的时装共80套．已知做一套M 型号的时装需用A 种布料1.•1米，B 种布料0.4米，可获利50元；做一套N 型号的时装需用A 种布料0.6米，B 种布料0.•9米，可获利45元．设生产M 型号的时装套数为x ，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y 元． ①求y （元）与x （套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②当M 型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？。
一次函数关系式的常见类型(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.22一次函数关系式的常见类型（知识梳理与考点分类讲解）一次函数关系式常见类型目录：【类型1】定义型【类型2】一点型【类型3】两点型【类型4】图象型【类型5】斜截型【类型6】应用型【类型7】面积型【类型8】平移型【类型9】对称型【考点一】定义型【例1】（2023秋·八年级课时练习）已知函数()2324my m x n -=-++．（1）当,m n 为何值时，y 是x 的一次函数，并写出关系式；（2）当,m n 为何值时，y 是x 的正比例函数，并写出关系式．【答案】（1）当m=-2，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数，关系式为44y x n =-++；（2）当m=-2，n=-4时，y 是x 的正比例函数，关系式为4y x=-【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．解：（1）由题意可得23120m m ⎧-=⎨-≠⎩，n 可以取任意实数解得：m=-2∴44y x n=-++∴当m=-2，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数，关系式为44y x n =-++；（2）由题意可得2312040m m n ⎧-=⎪-≠⎨⎪+=⎩，解得：24m n =-⎧⎨=-⎩∴4y x=-∴当m=-2，n=-4时，y 是x 的正比例函数，关系式为4y x =-．【点拨】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A （5，b ），B （a ，4）两点，则a ，b 一定满足的关系式为（）A ．a ﹣b ＝1B ．a ＋b ＝9C ．a •b ＝20D ．a b ＝34【答案】C【分析】设该正比例函数是y ＝kx （k ≠0），将A 、B 两点的坐标分别代入，通过整理求得a ，b 一定满足的关系式．解：设该正比例函数是y ＝kx （k ≠0），则b ＝5k ，4＝ak ．∴4b ＝5a ，∴ab ＝20.故选：C ．【点拨】本题考查了正比例函数的概念，关键是清楚图象经过点，则点的坐标满足函数解析式．【变式2】（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考阶段练习）已知2y -与3x +成正比,且当1x =时,y =-6，则y 与x 的关系式是.【答案】y=-2x-4【分析】由2y -与3x +成正比例可设2y -=k （3x +）（k≠0），代入1x =时,y =-6即可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出结论．解：∵2y -与3x +成正比，∴设2y -=k 3x +（）（k≠0）．∵当1x =时,y =-6，∴-6-2=k （1+3），解得：2k =-，∴22(3)y x -=-+∴y 与x 的关系式为y=-2x-4故答案为y=-2x-4.【点拨】本题考查了正比例的意义，根据正比例的定义正确设未知数是解题关键．【考点二】一点型【例2】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）已知直线上l ：1y kx =-经过点()2,3A ．（1）求直线l 的解析式；（2）判断点(1,23)P m m --是否在直线l 上，请说明理由．【答案】（1）21y x =-；（2）在直线l 上，理由见详解【分析】（1）根据待定系数法可求解函数解析式；（2）把1x m =-代入（1）中解析式进行求解即可．（1）解：把点()2,3A 代入解析式1y kx =-得：213k -=，解得：2k =，∴直线l 的解析式为21y x =-；（2）解：由题意可把1x m =-代入21y x =-得：()21123m m --=-，∴点(1,23)P m m --在直线l 上．【点拨】本题主要考一次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2021秋·广西梧州·八年级统考期中）已知一次函数5y kx =+的图象经过()12M -，，则k 的值是（）A ．3B ．3-C ．6D ．6-【答案】A【分析】把()12M -，代入一次函数5y kx =+求出k 的值即可．解：把()12M -，代入一次函数5y kx =+得：25k =-+，解得：3k =，故A 正确．故选：A ．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．【变式2】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过()2,0A ，且与y 轴分别交于B ，C ，则ABC 的面积为．【答案】6【分析】利用待定系数法求得a 、b 的值，求得点B ，C 的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．解：∵一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过()2,0A ，把()2,0A 代入2y x a =+得，40a +=，∴4a =-，∴一次函数解析式为24y x =-，∴()0,4B -，把()2,0A y x b =-+得，20b -+=，∴2b =，∴一次函数解析式为2y x =-+，∴()0,2C ，∴=42=6BC --，∴12662ABC S =⨯⨯= ，故答案为：6．【点拨】本题考查两直线的交点问题、一次函数的图象上点的特征，通过已知点的坐标求函数解析式是解题的关键．【考点三】两点型【例3】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）已知某一次函数y kx b =+的图像经过点(1,3)，(1,7)-，求这个一次函数的解析式．【答案】25y x =-+【分析】将(1,3)，(1,7)-代入y kx b =+求出k 、b 的值，再将k 、b 的值反回代入y kx b =+中，即可得到一次函数的解析式．解：将(1,3)，(1,7)-代入y kx b =+，得37k b k b=+⎧⎨=-+⎩，解得25k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为25y x =-+．【点拨】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）若弹簧的总长度()cm y 是所挂重物x （千克）的一次函数图象如图，则不挂重物时，弹簧的长度是（）A ．5cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【答案】B 【分析】先利用待定系数法求一次函数解析式，再令0x =，进行求解即可．解：设一次函数解析式为()0y kx b k =+≠，∵点()4,10、点()20,18在一次函数图象上，∴4102018k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得128k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为182y x =+，当0x =时，1=08=82y ⨯+，∴不挂重物时，弹簧的长度是8cm ，故选：B ．【点拨】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式、求函数值，熟练利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．【变式2】（2023春·安徽宿州·八年级校考开学考试）如图，直线24y x =+与x 轴、y 轴交于点A 、B ，M 、N 分别是AB 、OA 的中点，点P 是y 轴上一个动点，则PM PN +的最小值为，此时点P 的坐标为．【答案】()0,1【分析】如图，作点M 关于y 轴对称的点M '，连接M N '，由PM PN PM PN '+=+，可知当点P 在M N '上时，PM PN +的值最小，当0x =时，2044y =⨯+=，即B ()0,4；当0y =时，240x +=，解得2x =-，即A ()2,0-，由M 、N 分别是AB 、OA 的中点，可得M ()1,2-，N ()1,0-，M '()1,2，即M N ='，进而可得PM PN +的最小值，待定系数法求得直线M N '的表达式为1y x =+，当0x =时，011y =+=，即点P 的坐标为()0,1．解：如图，作点M 关于y 轴对称的点M '，连接M N '，∵PM PN PM PN '+=+，∴当点P 在M N '上时，PM PN +的值最小，当0x =时，2044y =⨯+=，即B ()0,4；当0y =时，240x +=，解得2x =-，即A ()2,0-，∵M 、N 分别是AB 、OA 的中点，∴M ()1,2-，N ()1,0-，∴M '()1,2，∴MN ='∴PM PN +的最小值为设直线M N '的表达式为()0y kx b k =+≠，将()1,2M '，()1,0N -代入得20k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线M N '的表达式为1y x =+，当0x =时，011y =+=，∴点P 的坐标为()0,1，故答案为：()0,1．【点拨】本题考查了一次函数解析式，对称的性质，勾股定理求两点之间的距离．解题的关键在于明确线段和最小的情况．【考点四】图像型【例4】（2023秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）如图，直线1l 的解析式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．（1）求ADC △的面积；（2）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请求出点P 的坐标．【答案】（1）92；（2）()6,3【分析】（1）已知1l 的解析式，令0y =求出x 的值即可求出()1,0D ，设2l 的解析式为y kx b =+，由图联立方程组求出k ，b 的值，即可得直线2l 的解析表达式为362y x =-；联立方程组，求出交点C 的坐标，继而可求出ADC S △；（2）ADP △与ADC △底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC △高就是点C 到AD 的距离．解：（1）由33y x =-+，令0y =，得330x -+=，∴1x =，∴()1,0D ；设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：403x y x ===，；，32y =-，代入表达式y kx b =+，∴40332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线2l 的解析表达式为362y x =-；由33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，∴()2,3C -，∵3AD =，∴193322ADC S =⨯⨯-=△；（2）ADP △与ADC △底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC △高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值33=-=，则P 到AD 距离3=，∴P 纵坐标的绝对值3=，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∵ 1.563y x y =-=，，，1.563x ∴-=，6x =，即()6,3P ．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，二元一次方程组，以及三角形面积的计算等有关知识，难度中等．掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图是y 关于x 的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（）A ．该函数的最小值为3-B ．当0x ≥时，y 随x 的增大而增大C ．当0x =时，对应的函数值12y =D ．当12x =和32x =时，对应的函数值相等【答案】C 【分析】分别求出1x ≥和1x ≤时的函数解析式，结合图象，逐一进行判断即可．解：A 、由图象可知，函数的最小值为2-；故该选项错误；B 、当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，故该选项错误；C 、设1x ≤时，函数的解析式为y kx b =+，由图可知，点()()1,3,1,2--，在直线上，∴32k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：5212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴5122y x =-+，∴当0x =时，12y =，故该选项正确；D 、当12x =时，51132224y =-⨯+=-，设1x ≥时，函数的解析式为y mx n =+，由图可知，点()()3,1,1,2-在直线上，∴132m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得：3272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴3722y x =-，∴当32x =时，975424y =-=-；∴当12x =和32x =时，对应的函数值不相等；故该选项错误；故选C ．【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解．【变式2】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，有下列结论：①图象经过点()2,3；②关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；③当1x >时，0y <．其是正确的是．【答案】②③【分析】待定系数法求出函数解析式，根据图象法解方程，增减性判断函数值的变化情况，逐一进行判断即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，∴02k b b =+⎧⎨=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩，∴22y x =-+，当2x =时，222y =-⨯+，=2y -；∴图象不经过点()2,3；故①错误；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()1,0，∴关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；故②正确；由图象可知，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，0y <；故③正确；故答案为：②③【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，利用函数的性质和图象法求解，是解题的关键．【考点五】斜截型【例5】（2019秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）已知一次函数的图象平行于y ＝﹣13x ，且截距为1．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点P （﹣2，13）是否在这个函数的图象上．【答案】（1）y ＝﹣13x +1；（2）不在．【分析】（1）根据两平行直线的解析式的k 值相等可求出k ，再由截距为1求出b 值，即可得解；（2）把点1(2,3P -代入函数解析式检验即可.解：（1）设这个函数的解析式为y kx b =+，∵一次函数的图象平行于13y x =-，且截距为1，1,13k b ∴=-=∴这个函数的解析式为113y x =-+；（2）当2x =-时，151((2)1333y =-⨯-+=≠，故点1(2,)3P -不在这个函数的图象上.【点拨】本题考查了一次函数的定义和性质，如果两条直线平行，则他们的函数解析式的k 值相等，这条性质常常用来解题，需熟记.【举一反三】【变式1】（2021秋·安徽六安·八年级校考阶段练习）若y 关于x 的一次函数y =（2m +1）x -m +3，y 随x 的增大而增大，且截距不大于1，则m 的取值范围是（）A ．m >-12B ．m ≥4C ．-12＜m ≤2D ．m ≥2【答案】D 【分析】根据题意，可得一次函数的0k >，1b ≤，据此列出不等式组，即可求得m 的取值范围．解：依题意，21031m m +>⎧⎨-+≤⎩解得2m ≥故选D ．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式2】（2023春·上海闵行·八年级统考期末）直线y kx b =+在y 轴上的截距为3-，且平行于l ：y x =-，那么直线的表达式为．【答案】3y x =--/3y x=--【分析】根据互相平行的直线的解析式k 的值相等确定出k ，根据“在y 轴上的截距是3-”求出b 值，即可得解．解：∵直线y kx b =+平行于直线y x =-，∴1k =-．又∵直线y kx b =+在y 轴上的截距是3-，∴3b =-，∴这条直线的解析式是3y x =--．故答案为：3y x =--．【点拨】本题考查了两直线平行的问题，熟记并利用平行直线的解析式的k 值相等是解题的关键．【考点六】应用型【例6】（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）一辆轿车在高速公路上匀速行驶，油箱存油量Q （升）与行驶的路程S （km ）成一次函数关系．若行驶100km 时，油箱存油43.5升，当行驶300km 时，油箱存油30.5升，请求出这个一次函数关系式，并写出自变量S 的取值范围．【答案】1350200Q S =-+，自变量S 的取值范围为3076913S ≤≤【分析】根据题目意思设出函数关系式，根据已知条件用待定系数法解出函数关系式中的参数，可得函数关系式，当0Q =时，此时的S 为最大值，最小值为0，即可写出S 的取值范围．解：设：Q mS n =+，根据题意的方程组43.510030.5300m n m n=⨯+⎧⎨=⨯+⎩，解得1320050m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则该一次函数解析式为：1350200Q S =-+，当0Q =时，13500200S -+=，∴3769km 13S =，∴自变量S 的取值范围为3076913S ≤≤．【点拨】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式，注意函数自变量的取值范围应符合实际问题有意义是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x 件（x ＞2），则应付货款y （元）与商品件数x 的函数关系式是（）A ．y ＝54x （x ＞2）B ．y ＝54x ＋10（x ＞2）C ．y ＝54x ＋90（x ＞2）D ．y ＝54x ＋100（x ＞2）【答案】B【分析】由题意得2x >，则销售价超过100元，超过的部分为60x −100，即可得．解：∵2x >，∴销售价超过100元，超过部分为60x ﹣100，∴y ＝100+（60x ﹣100）×0.9＝54x +10（2x >，且x 为整数），故选：B ．【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．【变式2】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）小胜参加2023年的高考，到达考点时发现没有带身份证，求助交警后，交警驱车载小胜迅速回到离考点2千米的家取身份证，并立即返回考场，小胜离考点行驶路程y （米）与时间x （分钟）之间的变化关系如右图所示，根据图像中的数据，写出y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式．【答案】()1000306y x x =≤≤【分析】根据待定系数法求解析式即可求解．解：设y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式为y kx =，将点()6,2000代入得，20006k =，解得：10003k =，∴y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式为()1000306y x x =≤≤，故答案为：()1000306y x x =≤≤．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．【考点七】面积型【例7】（2023春·八年级单元测试）如图1，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，AD BC ∥，4AB =，6AD =．若动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿着BC CD DA →→的路线向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，图2是点P 出发t 秒后，ABP 的面积S 与t 的函数图像．（1）a =______，b =______；（2）求MN 所在直线对应的函数表达式；（3）运动几秒后，ABP 的面积为14？【答案】（1）92，7；（2）1214455S t =-+；（3）72秒或376秒【分析】（1）结合四边形ABCD 的形状、S 与t 的函数图像，判断出t a =，t b =，10t =时，点P 的位置，利用时间、速度、路程的关系即可求解；（2）求出点M ，N 的坐标，利用待定系数法求解；（3）ABP 的面积为14时，对应的点在线段OM 或MN 上，将14S =代入对应直线的函数解析式即可求解．（1）解：由图可知，当t a =时，点P 运动到点C ，当t b =时，点P 运动到点D ，当10t =时，点P 运动到点A ，∴2BC a =，()210CD DA a +=-由图可知，点P 运动到点C 时，18ABP S = ，∴1141822BC AB BC ⋅=⋅=，解得9BC =，∴922BC a ==，∴9210112CD DA ⎛⎫+=⨯-= ⎪⎝⎭，∴111165CD DA =-=-=，∴957222CD b a =+=+=，故答案为：92，7；（2）解：由（1）知点M 的坐标为9,182⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当t b =时，点P 运动到点D ，∴当t b =时，11461222ABP S AB AD =⋅=⨯⨯= ，∴点M 的坐标为()7,12，设MN 所在直线对应的函数表达式为S mt n =+，将9,182M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()7,12N 代入，得：9182127m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得1251445m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214455S t =-+；（3）解：由题意知，ABP 的面积为14时，对应的点在线段OM 或MN 上，当对应的点在线段OM 上时，设OM 的函数解析式为=S kt ，将9,182M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得：9182k =，解得4k =，∴OM 的函数解析式为4S t =，当14S =时，14742t ==；当对应的点在线段MN 上时，当14S =时，121441455t =-+，解得376t =，综上可知，运动72秒或376秒后，ABP 的面积为14．【点拨】本题考查一次函数的实际应用，涉及三角形面积公式、求一次函数解析式及自变量的值等，解题的关键是根据图形判断出不同时间段内点P 的位置．【举一反三】【变式1】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，已知直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，那么过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式为（）A ．y x=B ．2y x =C ．3y x =D ． 1.5y x=【答案】B 【分析】根据直线与坐标轴的交点坐标求法得到A 、B 两点坐标，再由AOB 的面积被中线平分得到AB 中点坐标，利用待定系数法即可求出过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式．解： 直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，∴当0x =时，4y =，即()0,4B ；当0y =时，024x =-+，解得2x =，即()2,0A ；由三角形中线平分三角形面积可知，过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 过AB 中点，∴AB 中点为0240,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,2，设直线2l 的解析式为2:l y kx =，将()1,2代入2:l y kx =得到2k =，则2y x =，故选：B ．【点拨】本题考查待定系数法求直线解析式，涉及求直线与坐标轴交点坐标、中线平分三角形面积、中点坐标求法等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．【变式2】（2023春·上海·八年级专题练习）已知直线()0y kx b k =+≠与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过()2,0，则这条直线的表达式是．【答案】36y x =-+或36y x =-【分析】先根据面积求出三角形在y 轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．解：根据题意，设与y 轴交点坐标为()0b ，则1262b ⨯⨯=，解得6b =，6b ∴=±，①当6b =时，与y 轴交点为()06，∴206k b b +=⎧⎨=⎩，解得36k b =-⎧⎨=⎩，∴函数解析式为36y x =-+；②当6b =-时，与y 轴的交点为()06-，∴206k b b +=⎧⎨=-⎩解得36k b =⎧⎨=-⎩，∴函数解析式为36y x =-．∴这个一次函数的解析式是36y x =-+或36y x =-．故答案为：36y x =-+或36y x =-．【点拨】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y 轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．【考点八】平移型【例8】（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知直线1l 经过()0,3A -、()2,0B ．（1）求直线1l 的解析式及1l 与坐标轴围成的图形的面积；（2）将1l 向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到直线2l ，直接写出2l 的解析式______．【答案】（1）332y x =-；3；（2）3922y x =-【分析】（1）用待定系数法求出直线1l 的解析式，根据三角形面积公式求出与坐标轴围成的图形的面积即可；（2）根据平移的规律求出直线2l 的解析式即可．（1）解：设直线1l 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()0,3A -、()2,0B 代入得：320b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线1l 的解析式为332y x =-；直线1l 与坐标轴围成的图形的面积为13232S =创=．（2）解：将1l 向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度后得出的直线2l 的解析式为：()31332y x =+--，即3922y x =-，故答案为：3922y x =-．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的图形面积，一次函数的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平移规律．【举一反三】【变式1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）把直线6y x =向上平移后得到直线AB ，若直线AB 经过点(),m n ，且64n m -=，则直线AB 的表达式为（）A ．64y x =-+B ．64y x =--C ．64y x =-D ．64y x =+【答案】D【分析】设向上平移d 个单位，则平移后的直线AB 的解析式为6y x d =+，根据题意直线AB 经过点(),m n ，得出6d n m =-，结合已知条件，即可求解．解：设向上平移d 个单位，则平移后的直线AB 的解析式为6y x d =+，∵直线AB 经过点(),m n ，∴6n m d =+，即6d n m =-，又64n m -=，∴4d =，∴直线AB 的解析式为64y x =+，故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．【变式2】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，已知()1,6A 为直线:2l y x b =-+上一点，先将点A 向下平移a 个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B ，再将点B 向下平移a 个单位长度至点C ．若点C 恰好落在直线l 上，则a 的值为．【答案】4【分析】先将点A 代入y =-2x +b 求得b 的值，得到直线的解析式，然后用含有a 的式子表示点C ，再将点C 的坐标代入直线的解析式求得a 的值．解：点A （1，6）代入y =-2x +b 得，-2×1+b =6，解得：b =8，∴直线l 的解析式为y =-2x +8，∵点A 向下平移a 个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B ，再将点B 向下平移a 个单位长度至点C ，∴点C 的坐标为（5，6-2a ），将点C 的坐标代入直线的解析式y =-2x +8得，-2×5+8=6-2a ，解得：a =4，故答案为：4．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键用待定系数法求得一次函数的解析式．【考点九】对称型【例9】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在矩形ABCO 中，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，点B 的坐标是(68)，，ABD △与EBD △关于直线BF 对称，且点E 在对角线OB 上．（1）求线段OB 的长；（2）求点D 的坐标及直线BF 的函数表达式．【答案】（1）10；；（2）13(0,3，1113183y x =+．【分析】（1）根据点B 的坐标，利用勾股定理直接计算出OB 长；（2）设DE x =，则AD x =，8=-OD x ，4OE =，利用勾股定理可求出OD 长，点的坐标可求，根据B 、D 坐标，待定系数法可求直线BF 解析式．解：（1）∵点B 的坐标是(68)，，∴6OC =，8BC =，在Rt BOC 中，由勾股定理得：10OB ===；（2）∵ABD △与EBD △关于直线BF 对称，∴90DEO DEB BAO ∠=∠=∠=︒，AD DE =，6AB BE ==，在Rt DEO △中，设DE x =，则AD x =，8=-OD x ，4OE OB BE =-=，由勾股定理得222DE OE OD +=得，()22246x x +=-，解得53x =，∴513633OD =-=，∴1303D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设BF 的解析式为133y kx =+，∵(68)B ，在直线BF 上，∴13863k =+，∴1118k =，∴BF 的解析式为1113183y x =+．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线3y x b =-+与直线1y kx =-关于直线2x =对称，则k ，b 的值分别为（）A ．3k =-，11b =B ．3k =，11b =C ．13k =，1b =D ．13k =-，1b =【答案】B【分析】根据直线y =－3x ＋b 与直线y =kx －1关于直线x =2对称，可知这两条直线上的点也关于直线x =2对称，然后根据直线y =kx －1上的定点（0，－1）关于直线x =2的对称点（4，－1）可以求出b 的值，然后根据直线y =－3x ＋11与直线x =2的交点为：（2，5）也在直线y =kx －1，即可求出k 的值．解：∵直线y =－3x ＋b 与直线y =kx －1关于直线x =2对称，∴这两条直线上的点也关于直线x =2对称，∵直线y =kx －1必过点（0，－1），∴点（0，－1）关于直线x =2的对称点（4，－1）在直线y =－3x ＋b 上，∴－1=－3×4＋b ，解得：b =11，∴直线y =－3x ＋b 即为：y =－3x ＋11，∵直线y =－3x ＋11与直线x =2的交点为：（2，5），∴点（2，5）一定在直线y =kx －1上，∴5=2k －1，解得：k =3．故选：B ．【点拨】本题主要考查用待定系数法一次函数的解析式和轴对称的性质，熟练掌握一次函数的图像、轴对称的性质以及利用数形结合思想是解题关键．【变式2】（2021·山东临沂·统考一模）定义：若两个函数的图象关于直线y =x 对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y =-2x +1的反函数的解析式．【答案】y =-12x +12【分析】首先可求得函数y =-2x +1与x 轴和y 轴的交点坐标，再求得它们关于直线y =x 对称点的坐标，据此即可求得函数y =-2x +1的反函数的解析式．解：在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，当y =0时，x =12，即函数和x 轴的交点为（12,0），和y 轴的交点坐标为（0,1），所以两点关于直线y =x 对称的点的坐标分别为（0,12）和（1,0），设函数y =-2x +1的反函数的解析式为y =kx +b （k ≠0），把（0,12）和（1,0）代入，可得：120b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：1212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴函数y =-2x +1的反函数的解析式为y =-12x +12，故答案为：y =-12x +12．【点拨】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，理解新定义，求出已知点关于直线y =x 对称点的坐标是解决本题的关键．。
求一次函数解析式常见题型解析
求一次函数解析式常见题型解析一次函数解析式的求法在初中数学内容中占有举足轻重的作用，如何把这一部分内容学得扎实有效呢，整理了一下材料，给大家提供一些题型及解题方法，期望对同学们有所帮助。
第一种情况：直接或间接已知函数是一次函数，采用待定系数法。
（已知是一次函数或已知解析式形式y kx b =+或已知函数图象是直线都是已知了一次函数）一、定义型 一次函数的定义：形如y kx b =+，k 、b 为常数，且k ≠0。
例1. 已知函数()2833m y m x-=-+是一次函数，求其解析式。
解析：由一次函数定义知3m =-，故一次函数的解析式为33y x =-+注意：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0。
如本例中应保证30m -≠。
例2. 已知y -1与x ＋1成正比例,且当x =1时,y =5.求y 与x 的函数关系式; 解析： ∵y -1与x ＋1成正比例，∴可假设y -1=k （x ＋1）又当x =1时,y =5，代入求出k =2， 所以y -1=2（x ＋1），变形为y =2x ＋3注意：“两个量成正比例”和“两个量是正比例函数关系”是完全一致的，题目中已知y -1与x ＋1成正比例就可以假设y -1=k （x ＋1）。
二. 平移型 两条直线1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+。
当12k k =，12b b ≠时，1l ∥2l ，解决问题时要抓住平行的直线k 值相同这一特征。
例1 . 把直线21y x =+向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
解析：直线21y x =+向下平移得到的直线与直线21y x =+平行∴可设把直线21y x =+向下平移2个单位得到的图像解析式为b x y +=2直线21y x =+与y 轴交点为（0，1）向下平移2个单位得到的点为（0，-1）∴可代入b x y +=2求出b =-1 ∴所求解析式为12-=x y例2 . 已知直线y kx b =+与直线2y x =-平行，且与x 轴交点横坐标为1，则直线的解析式为___________。
求一次函数解析式的常见题型
求一次函数解析式的常见题型例1. 已知函数y m x m =-+-()3328是一次函数，求其解析式。
例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
例3.已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。
例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。
例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴交点为（0，2），则直线的解析式为______。
例6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为___________。
例8. 已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。
例9. 若直线l 与直线y x =-21关于y 轴对称，则直线l 的解析式为____________。
例10.直线L 与直线y=2x+1交点横坐标为2，与y= -x+7交点纵坐标为1，求Ｌ解析式。
练习题：1. 已知直线y=3x －2, 当x=1时，y=2. 已知直线经过点A （2,3），B （-1，-3），则直线解析式为________________3. 点（-1，2）在直线y=2x ＋4上吗？ （填在或不在）4. 当m 时，函数y=(m-2)32-m x +5是一次函数，此时函数解析式为 。
5. 已知直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则函数的解析式为 .6. 已知变量y 和x 成正比例，且x=2时，y=－21,则y 和x 的函数关系式为 。
7. 直线y=kx ＋2与x 轴交于点（－1，0），则k= 。
8. 直线y=2x －1与x 轴的交点坐标为 与y 轴的交点坐标 。
[中考数学]求一次函数解析式常见题型解析
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求一次函数解析式常见题型解析一次函数解析式的求法在初中数学内容中占有举足轻重的作用，如何把这一部分内容学得扎实有效呢，整理了一下材料，给大家提供一些题型及解题方法，期望对同学们有所帮助。
第一种情况：直接或间接已知函数是一次函数，采用待定系数法。
（已知是一次函数或已知解析式形式y kx b =+或已知函数图象是直线都是已知了一次函数）一、定义型 一次函数的定义：形如y kx b =+，k 、b 为常数，且k ≠0。
例1. 已知函数()2833m y m x-=-+是一次函数，求其解析式。
解析：由一次函数定义知3m =-，故一次函数的解析式为33y x =-+注意：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0。
如本例中应保证30m -≠。
例2. 已知y -1与x ＋1成正比例,且当x =1时,y =5.求y 与x 的函数关系式; 解析： ∵y -1与x ＋1成正比例，∴可假设y -1=k （x ＋1）又当x =1时,y =5，代入求出k =2， 所以y -1=2（x ＋1），变形为y =2x ＋3注意：“两个量成正比例”和“两个量是正比例函数关系”是完全一致的，题目中已知y -1与x ＋1成正比例就可以假设y -1=k （x ＋1）。
二. 平移型 两条直线1l ：11y k x b =+；2l ：22y k x b =+。
当12k k =，12b b ≠时，1l ∥2l ，解决问题时要抓住平行的直线k 值相同这一特征。
例1 . 把直线21y x =+向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。
解析：直线21y x =+向下平移得到的直线与直线21y x =+平行∴可设把直线21y x =+向下平移2个单位得到的图像解析式为b x y +=2直线21y x =+与y 轴交点为（0，1）向下平移2个单位得到的点为（0，-1）∴可代入b x y +=2求出b =-1 ∴所求解析式为12-=x y例2 . 已知直线y kx b =+与直线2y x =-平行，且与x 轴交点横坐标为1，则直线的解析式为___________。
第4章一次函数 题型全解5 一次函数图像及行程问题结合题型-北师大版八年级数学上册
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯《一次函数》题型解读5 一次函数图像及行程问题结合题型【知识解读】解题关键：数形结合，能结果题目条件理解清楚图形中：横轴、纵轴、各线段、各折点所代表的意义解题方法：（1）从行程问题的角度思考解题，所涉及的公式有：①单一物体的运动：路程=速度×时间；②两人的相遇问题：路程和=速度和×相遇时间；③两人的追及问题：路程差=速度差×追及时间；④注：路程差为速度快的物体比速度慢的物体多走的路程，若是同时到达出发，则路程差指的是出发时两物体相距的距离；如果在圆周上相遇或追及，每相遇一次，路程和即一个周长；每追上一次，路程差也是一个周长。
（2）从一次函数解析式及交点坐标的角度思考解题----求出图中重要线段的解析式及重要交点的坐标，结合这些点的坐标的现实意义解题。
【典型例题解读】例1.甲、乙两人从学校出发,沿相同的线路跑向体育馆,甲先跑一段路程后,乙开始出发,当乙超过甲150米时,乙停在此地等候甲,两人相遇后,乙和甲一起以甲原来的速度跑向体育馆,如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y(米)与甲出发的时间x(秒)的函数图象,请根据题意解答下列问题:(1)在跑步的全过程中,甲共跑了_____米,甲的速度为_______米秒；(2)乙最早出发时跑步的速度为_______米秒,乙在途中等候甲的时间为_______秒；(3)乙出发______秒后与甲第一次相遇.解析：解决函数应用的题型，最关键是要理解和明确图形中横、纵轴表示的意义、图中线段、线段间的折点表示的意义或线段的解析式。
此图中，横轴表示甲出发的时间、纵轴表示甲乙行走的路程，点A表示乙出发的时间，线段OD表示甲的距离与时间关系线、线段AB、BC、CD表示乙的路程与时间关系、线段BC表示乙等候甲、线段CD表示两人相遇后,乙和甲一起以甲原来的速度跑向体育馆, 点O出甲出发点，点A为乙出发点，时间为甲出发后的100秒、线段AB与OD的交点E表示乙追上甲， B点为乙领先甲150米开始等甲的点方、点C与他们第二次相遇的地方，时间为甲出发后的500秒、点D为终点体育馆，距离出发点900米，时间为甲出发后的600秒。
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求一次函数解析式的常见题型
一次函数及其图像是初中代数的重要容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查容。
其中求一次函数解析式就是一类常见题型。
一、定义型
例1、已知函数y m x m =-+-()332
8
是一次函数，求其解析式。
知识巩固
1、已知函数y=(n-1)x n 2
+2是一次函数，求其解析式。
2、已知函数y=(n-2)x n 2-3+2是一次函数，求其解析式。
二、点截型点斜型
例1、 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。
知识巩固
1、已知一次函数y kx =-3，当x=1时，y ＝1，求这个函数的解析式。
2、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。
3、已知一次函数 y=kx+2,当x=5时，y的值为4，求k的值。
三、两点型
例1、已知一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），求这个函数的解析式。
知识巩固
1、已知一次函数的图像经过（1,2）和（3,1）两点，求一次函数的解析式。
2、直线y=kx+b的图像经过A（3，4）和点B（2，7），求一次函数的解析式。
3、已知一次函数的图象经过（2，5）和（-1，-1）两点，求一次函数的解析式。
4、一次函数的图象经过点(2,1)和(1,5)，求一次函数的解释式。
四、图像型
例1.、已知某个一次函数的图像如图所示，求该函数的解析式。
y
2
O 1 x
知识巩固
1、已知某个一次函数的图像如图所示，求该函数的解析式。
2已知某个一次函数的图像如图所示，求该函数的解析式。
3已知某个一次函数的图像如图所示，求该函数的解析式。
两直线平行，斜率相等，两直垂直，斜率互为负倒数
例1、已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且过点（0，2），求该直线的解析式。
知识巩固
1、已知直线y kx b =+与直线y=2x+1平行，且在x 轴上的截距为2，求直线的解析式
2、已知直线y kx b =+与直线y=3x+4垂直，且与y 轴相交于点（0,2），求该直线的解析式。
3、已知直线y kx b =+与直线y=3x-5垂直，且在y 轴上的截距为2，求该直线的解析式。
六. 平移型 上加下减，左加又减
例1、把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为______ _____。
知识巩固
1、把直线y x =+21向上平移2个单位得到的图像解析式为_______ ____。
2、把直线y x =+21向左平移2个单位得到的图像解析式为______ _____。
3、把直线y x =+21向右平移2个单位得到的图像解析式为________ ___。
七 面积型
例1、已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求该直线解析式。
1、已知直线y=kx+4与两坐标轴所围成的三角形面积等于8，求该直线解析式。
2、已知直线y=kx-3与两坐标轴所围成的三角形面积等于6，求该直线解析式。
3、一次函数经过A （2，4）、B （0，2）两点，与x 轴相交于C 点。
（1）求这个一次函数的解析式； （2）求该直线与坐标轴围成的的面积。
八. 对称型
若直线l 与直线y kx b =+关于
（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-- （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-+
（3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为y k x b
k =-1 （4）直线y x =-对称，则直线l 的解析式为y k x b
k
=+1
（5）原点对称，则直线l 的解析式为y kx b =- 知识巩固
1、若直线l 与直线y=2x+1关于x 轴对称，求直线l 的解析式。
2、若直线l 与直线y=2x+1关于y 轴对称，求直线l 的解析式。
3、若直线l 与直线y=2x+1关于y=x 轴对称，求直线l 的解析式。
4、若直线l 与直线y=2x+1关于y=-x 轴对称，求直线l 的解析式。
5、若直线l 与直线y=2x+1关于原点对称，求直线l 的解析式。
九. 实际应用型
例1、某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为______ _____。
知识巩固
1、某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途，按通话时间收费，3分钟收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是。
2、某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表
由上表得y与x之间的关系式是。
3、地表以下岩层的温度t（℃）随着所处的深度h（千米）•的变化而变化．t与h之间在一定围近似地成一次函数关系．
（1）根据下表，求t（℃）与h（千米）之间的函数关系式；
（2）求当岩层温度达到1770℃时，岩层所处的深度为多少千米？
练习题：
1. 已知直线y=3x －2, 当x=1时，y=
2. 已知直线经过点A （2,3），B （-1，-3），则直线解析式为________________
3. 点（-1，2）在直线y=2x ＋4上吗？ （填在或不在）
4. 当m 时，函数y=(m-2)3
2
m x
+5是一次函数，此时函数解析式
为 。
5. 已知变量y 和x 成正比例，且x=2时，y=－
2
1
,则y 和x 的函数关系式为 。
6. 点(2,5)关于原点的对称点的坐标为 ；关于x 轴对称的点的坐标为 ；关
于y 轴对称的点的坐标为 。
7. 直线y=kx ＋2与x 轴交于点（－1，0），则k= 。
8. 直线y=2x －1与x 轴的交点坐标为 与y 轴的交点坐标 。
9. 若直线y=kx ＋b 平行直线y=3x ＋4，且过点（1，-2），则k= . 10. 已知A(-1,2), B(1,-1), C(5,1), D(2,4), E(2,2),其中在直线y=-x+6上的点有
__ _______,在直线y=3x-4上的点有_____ __ 11. 已知:一次函数的图象与正比例函数Y=-3
2
X 平行,且通过点(0,4), (1)求一次函数的解析式.
(2)若点M(-8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n 的值
12. 已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数y= 1
2
x 的图象相交于点
(2,a),求 (1)a 的值 (2)k,b 的值
(3)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积.。