元高次方程求解方法

一元高次方程的漫漫求解路若有人问你：“你会解一元二次方程吗？”你会很轻松地告诉他：会的，而且非常熟练！任给一个一元二次方程20,0,ax bx c a ++=≠ ①由韦达定理，①的根可以表示为x =. 若进一步问你，会解一元三次方程或更高次数的方程吗？你可能要犹豫一会儿说，只会一些简单的方程.于是你就会想：一元三次方程或更高次数的方程，是否也像一元二次方程的情形一样，有一个公式，它可以用方程的系数，经过反复使用加减乘除和开方运算，把方程的根表示出来？数学家们当然应当给出完美的理论来解决高次方程的求解问题.有关理论至少应当包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？n 次方程的一般表达式是101100,0,n n n n a x a x a x a a --++⋅⋅⋅++=≠而1011()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++称为n 次多项式，其中00a ≠.当系数01,,a a 1,,n n a a -⋅⋅⋅都是实数时，称()f x 是n 次实多项式，当系数中至少有一个为复数时，称()f x 为n 次复系数多项式.如果存在复数α，使得()0f α=，就称α是n 次方程()0f x =的一 个根，或称为n 次多项式()f x 的一个根.1799年，年仅22岁的德国数学家高斯在他的博士论文中首先证明了“代数基本定理”：复数域上任一个次数大于零的多项式，至少有一个复数根.根据代数基本定理可以推出：复数域上n 次多项式恰有n 个复数根，其中k 重根以k 个根计算.这一结论也可以用多项式的因式分解语言来叙述：“复数域上任何n 次多项式都可以分解成n 个一次式的乘积.”代数基本定理是一个纯粹的多项式根的存在定理，它没有给出求根的具体方法. 要求得n 次方程的根，一般是希望得到n 次方程1011()0n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++= ②的求解公式，如二次方程①的求根公式那样.众所周知，方程①的解早在古代的巴比伦、埃及、中国、印度、希腊等国的数学著作中，都有不同的表述方式.一个n 次方程②的求根公式是指，②的根通过其系数经由加、减、乘、除以及乘方、开方的表示式，也称这种情况为方程有根式解.三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是说，是否有求根公式？经过漫长的研究之路，直到16世纪，意大利数学家卡当（Candano ）及其助手才先后给出了三次和四次方程的根式解.这里我们向读者介绍卡当关于三次方程解的公式，从中可看出他所作的极富技巧的变换.另一方面，这个与二次方程仅仅相差一次方的三次方程，是中学时代爱好数学的青少年向往着解决的问题，看看前人是如何解决的，自己又能得到什么启示？不失一般性，可以设三次方程中3x 的系数为1，则三次方程为 320x ax bx c +++= ③ 其中,,a b c 是任意复数.若令3a x y =-，则三次方程简化为 30y py q ++= ④ 其中33a pb =-，32327ab a q c =-+， 设123,,y y y 表示简化方程④的根，则据根与方程系数的关系，得1230y y y ++=.若令3242712u p q v ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩，2112322123z y v y vy z y vy v y ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩.对于适当确定的立方根，卡当公式是1z =2z = 求解线性方程组12321231212320y y y y v y vy z y vy v y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得到11221212123121()31()31()3y z z y v z v z y v z v z ----⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩，于是，原三次方程的三个根为1y =2y ω=，3y ω=其中23427q p ∆=+，12ω=-（i =是虚数单位）.对于四次方程求根，就更加复杂了.但数学家们还是找到了一个解四次方程的办法.与三次情形类似，用一个平移，消去方程3x 的这一项，于是可假定四次方程为420x ax bx c +++= ⑤然后构造方程的预解式224()(4)0b u a u c ---= ⑥这是u 的三次方程.通过这个三次方程解出u ，把得到的u 代入，可以把原方程化为两个二次方程来求根.因而可以说，对于次数不超过4的方程，都可以找到根的计算公式，使得方程的每个根可以用方程的系数经过加减乘除和开方运算表示出来.做这件事就叫做根式求解.由四次方程根式可解的突破，使当时许多著名的数学家几乎都相信任意的五次方程也一定可以根式求解，并以极大的热情和自信寻找五次或更高次数方程的求根公式.从16世纪中叶到19世纪初，为了获得五次方程解的类似结果，最杰出的数学家，如欧拉、拉格朗日，都曾做过一些尝度，但都没有成功.1771年，拉格朗日，才开始怀疑这种求根公式的存在性.他通过分析发现，次数低于5的代数方程求根，都可以经过变量替换，先解一个次数较低的预解式，再代入求原方程的解.到了五次方程，情况完全变了，预解式的次数不是降低了，而是升高了.1801年，高斯也意识到这个问题也许是不能解决的.直到1813年，拉格朗日的学生鲁非尼（Ruffini ）终于证明了，通过找预解式的办法来求解五次方程是行不通的.鲁非尼的结果只是说用拉格朗日的办法解五次方程是不可能的，并不能说不存在其他的解决办法.1826年阿贝尔发表了《五次方程代数解法不可能存在》一文，第一个正式从否定的角度来谈求根公式的存在.他证明了“具有未定系数的、高于4次的方程是不能用根式求解的”.不过他的思想当时是有很多人（包括高斯在内）表示不理解，而且他的证明也还不很清楚，有一些漏洞.他也没有给出一个准则来判定一个给定的高次代数方程是否可以根式求解.阿贝尔的结论具有广泛性，但并不排除对一些特殊的5次和5次以上方程具有根式解，例如，50x a -=就有根式解.于是更深刻的问题被提出了：一个方程有根式解的充要条件是什么？这个在代数方程中至关重要的问题被法国青年数学家伽罗华（Galois ）彻底解决（但伽罗华理论在他死后约15年，1846年才发表）.伽罗华的天才思想促使了今天我们称之为抽象代数这门学科的蓬勃发展.要了解伽罗华的理论，需要群、环和域等抽象代数的理论知识.伽罗华的思想就是把方程()0f x =的求解问题转化为确定对应的伽罗华群是否为所谓的可解群的问题.当对应的伽罗华群是可解群，则方程就是可以根式求解的，否则就不可以根式求解.可解群是群的理论中一个重要内容，也有许多方法来确定一个群是否为可解群.曾经有一个著名的猜测，叫做伯恩赛（Burnside ）猜测，它说有奇数个元素的有限群是可解群.这个问题在1963年已被数学家费特(Feit)与汤卜松（Thompson ）解决，证明很长，太平洋数学杂志用了整整一期来发表他们的研究结果，不可解群也有很多，例如5n ≥时，n 个文字的对称群就是不可解群.对5n ≥，我们完全可以构造一个n 次多项式，使得它所对应的伽罗华群不是可解群.因此对每个5n ≥，都存在一个不是根式可解的n 次多项式.这样就彻底解决了一般五次以上方程的根式不可解性.4n ≤，根式可解，5n ≥一般就不可解了，真是“一步之遥，天壤之别”.下篇 怎样得到高次方程的近似根盛松柏伽罗华找到了一个一元高次方程能否根式求解的判别方法，但是他还是没有给出高次程的具体求解方法.那么，如何求得高次方程的根呢？在一般情况下，求出精确根是很困难的，而且科学研究、工程技术季实际应用中，也没有必要求出精确根，只要求出根的近似值.那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？设*x 是()f x 的一个精确根，即*()0f x =，假设问题所要求的精确度为ε，也就是满足*x x ε-<的x ，或满足**x x x ε-<的x ，称为*x 的一个近似根. 下面我们介绍一下求近似根的几个常用方法：方法一：牛顿切线法取一个初始值0x x =，然后使用下述迭代公式1'()()k k k k f x x x f x +=-，0,1,2,,k =⋅⋅⋅ 其中'()f x 是()f x 的一阶导数.牛顿切线法有明显的几何意义，如右图，因为()f x 的根*x 满足*()0f x =，在直角坐标平面中，点*(,0)x 恰是()y f x = 的曲线与O x 轴的交点，于是每次迭代所得的点k x 正好是曲线上点(,())k k x f x 的横坐标.牛顿切线法其实就是过曲线上的一列点所作曲线的切线与O x 轴的交点.方法二：牛顿割线法在方法一中，只要给定一个初始点0x .而方法二中，我们给定两个初始点01,x x .然后 在每次迭代时，把1,k k x x -作为下一次迭代的始值. 111(),1,2,3,()()k k k k k k k x x x x f x k f x f x -+--=-=⋅⋅⋅- 这类方法都是从已知的点通过相同的计算公式，求得下一个新点.数学上称为迭代法.迭代法很适合于计算.只要初始值选取得好，以上两种方法产生的无穷数列.01{,,,,}n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅均能收敛于()f x 的根*x .方法三：二分法先将[,]a b 分成N 等份，得到N 个等长的小区间，显然每个小区间的长度b a h N -=.记第一个小区间为11[,]a b ，其中1a a =，1b a h =+，第i 个小区间为[,]i i a b ，则i a = (1)a i h +-，1i i b a ih a +=+=，1,2,,.i N =⋅⋅⋅若对其中某些i ，有()()0i i f a f b ⋅<，则在(,)i i a b 中必有()f x 的一个根.然后对这些 (,)i i a b 再分别用二分法，便能求出()f x 的一个近似根.二分法很简便，是工程师们喜欢的一种求全部相异近似单实根的方法.问题在于如何合适地确定N ，因为N 太大，则工作量也会太大，而N 太小时，会出现某个小区间内包含多个根，从而二分法会将这个小区间的根漏掉.方法四：劈因子法先用求单实根的方法，求出()f x 的一个根1x ，利用因式分解有11()()()f x x x f x =-， 其中1()f x 是（1n -）次多项式.然后求1()f x 的一个根2x ，依次计算下去就有可能求出 ()f x 的所有实根.这里所说的有可能求出()f x 的所有实根，而不是一定，是因为在一般情况下，我们只能求得12,x x 等的近似值，所以有可能会影响到后面所得根的精确性. 方法五：林士谔—赵访熊法林士谔与赵访熊是我国两位著名的数学家，在计算数学方面都有卓越的贡献.林士谔—赵访熊法是求()f x 的复数根的一种好方法.我们知道，二次多项式20,0,ax bx c a ++=≠的根由2b x a -=给出，林士谔—赵访熊法就是求()f x 的二次因式2()u x x px q =++的方法.该方法建立了一套求p 和q 的迭代方法，且可以避免复数运算.一旦求得p 和q 之后，就得到了()f x 的两个根，且当240p q -<时，可得到()f x 的一对共轭复根，然后再利用21()()()f x x px q f x =++，其中1()f x 是（2n -）次多项式，继续用同样的方法求1()f x 的实根或复根.该法也是一种劈因子法.求高次方程的根的近似值，除了以上几种方法外，还有施斗姆（Stome ）法等，这里不再详说.这些方法各有优点，又不是万能的.另外，牛顿法和二分法可以用来求超越方程的根，牛顿法及其改进可以用来求非线性方程组的根.（柯正摘自《数形思辩》，江苏科学技术出版社，2000年9月）。