图形的相似和比例线段--知识讲解(基础)

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初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解33 相似形(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题33相似形【知识要点】考点知识一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

考点知识二相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。

相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”，读作“相似于”。

相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。

考点知识三位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。

2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。

位似中心的位置：形内、形外、形上。

27.1.1相似图形及成比例的线段名师课件

知2－练
1 在比例尺为1:10 000 000的地图上，量的甲乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离. 解： 3000km.
知2－练
2 在1 : 1 000 000的地图上，A，B两点之间的距离
是5 cm，则A，B两地的实际距离是( B )
A．5 km
B．50 km
C．500 km
D．5 000 km
C. 10
3
D．5
知4－练
4 【中考·兰州】如果 a ＝ c ＝ e ＝k (b＋d＋f≠0)，
bd f
且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝____3____.
1 知识小结
1. 相似图形的定义； 2. 判断是否是成比例线段：
一排(排顺序)、二算(算比值或乘积、三判断； 3. 比例的基本性质： a c ⇔ad＝bc；
的是( A )
A. x 3
y2
C. x 2
y3
B. x 2
3y
D. x y
23
知4－练
2
(中考·东营)若
y x

3 4
，则
x x
y
的值为(
D)
A．1
4
B. 7
5
7
C. 4
D. 4
3 【中考·牡丹江】若x：y＝1：3，2y＝3z，
则
2 x＋y z－y
的值是(
)
A．－5
B． 10
3
知1－练
4 下列和如图所示的图形形状相同的是( A )
知识点 2 两条线段的比
知2－导
绳子的出现最早可以追溯到数万年前．在人类开始有最简单工具的时候，他们会用草或细小的树枝绞合搓捻成绳子．不通过测量，运用所学知识，快速地把一长为 50cm 的细线分成两部分，使两部分之比为 2︰3 ，该如何分？

比例线段(基础) 知识讲解

比例线段（基础）知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；3、会运用比例线段解决简单的实际问题；4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、相似形1.相似的图形在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.要点诠释：(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形.2.相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．要点二、比例线段1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作a b或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a c a b c d b d==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项.3．比例的性质：（1）基本性质如果a c b d=，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即如果ad bc =，那么a cb d =（,b d ≠0）. （2）合比性质如果++==.ac a b cd b d b d，那么（,b d ≠0）（3）等比性质如果1212=nnaa ab b b==…，12++nb b b且…≠0，那么121121++++++nna a a ab b b b=…….要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点三、黄金分割1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值512-叫做黄金数. 要点诠释：512-≈0.618.2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似形1. 指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型二、比例线段2. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．3. （2014•甘肃模拟）若==（abc ≠0），求的值．【思路点拨】先设===k ，可得a=2k ，b=3k ，c=5k ，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．【答案与解析】解：设===k ，则a=2k ，b=3k ，c=5k ，所以===．【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型三、黄金分割4.（2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6，根据题意得：x ：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形．（2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可．【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。

相似图形的知识点总结(16篇)

相似图形的知识点总结（16篇）篇1：相似图形的知识点总结相似图形的知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理篇2：相似图形相似图形教学交流课教案:第四章相似图形教学目标：1、知道线段比的概念。

北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解

九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0）根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=．（4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．（4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

相似形及比例线段(基础) 知识讲解

相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果++ ==.a c abc db d b d，那么如果--==.a c abc db d b d，那么（3）等比性质：如果+c c=====k.+da c a ab d b d bk，那么（4）比例中项：若a:b=b:c，则2b =ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。

要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.12AP AB=≈).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一. 类型三、比例线段4. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；AC米；③1)④=10(31)BC-米或米．A.①②③④B.①②③C.①③D.④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.。

图形的相似知识点总结及练习

图形的相似知识点总结及练习1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m：n例：已知线段AB=2、5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。

2、比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。

）例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。

（2）比例性质1、基本性质: （两外项的积等于两内项积）2、反比性质：(把比的前项、后项交换)3、更比性质(交换比例的内项或外项)：4、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变、）如果，那么、注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法、 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零、 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立、例：已知5、合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）、知识点二：平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

用符号语言表示：∵AD//BE//CF,∴ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF2、推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。

（1）是“A”字型（2）是“8”字型经常考，关键在于找几何语言：由DE∥BC可得：、此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行、例：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,AGGC=23，则DFDC=_______。

知识点三：相似形多边形1、定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。

2、相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。

(完整版)比例线段及相似知识点讲解

【知识点讲解】一、比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．二、比例的性质：(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且１、判断下列四条线段是否成比例.① a=2，b=5,c=15，d=32；② a=2，b=3, c=2，d=3；③ a=4，b=6, c=5，d=10；④ a=12，b=8, c=15，d=10.2、已知：ad=bc .（1）将其改写成比例式；（2）写出所有以a ，d 为内项的比例式；（3）写出使b 作为第四项比例项的比例式；（4）若d bc a=；写出以c 作第四比例项的比例式；3 、计算.(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?5、EF BE AD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。

北师大版初中数学九年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料)：第18讲《图形的相似》全章复习与巩固(基础)

《图形的相似》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，已知，那么下列结论正确的是( ).A．B． C．D．2. 在和中，，如果的周长是16，面积是12，那么的周长、面积依次为( ).A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，63．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是( ).4.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x 轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是，则点B的横坐标是（）.A．B． C．D．5．（2019•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A ．1：2B ．1：4C ．1：5D ．1：6 6. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的点，下列条件中不能推出△ABP 与以点E 、C 、P 为顶点的三角形相似的是( ).A ．∠APB=∠EPCB ．∠APE=90°C ．P 是BC 的中点D ．BP ：BC=2：37. 如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，,，S 四边形BCFE =8，则S △ABC =（）.A ．9B ．10C ．12D ．138.如图，六边形ABCDEF ∽六边形GHIJKL ，相似比为2：1，则下列结论正确的是（）.A ．∠E=2∠KB ．BC=2HIC ．六边形ABCDEF 的周长=六边形GHIJKL 的周长D ．S 六边形ABCDEF =2S 六边形GHIJKL二、填空题 9. 在□ABCD 中，在上，若，则___________.10. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 中点，F 是BC 延长线上一点，DF 平分CE 于点G ，CF=1，则BC=_______，△ADE•与△ABC•的面积之比为_______，•△CFG 与△BFD 的面积之比为________.12AEEB11. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB=1:9，则S△DOC:S△BOC=_______.12. 在相同时刻的物高与影长成比例.小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在面上的影长为40米，则古塔高为________.13.（2019•金华）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．14．如图，在△ABC中，MN∥BC，若∠C=68°，AM：MB＝1：2，则∠MNA=_______度，AN：NC＝_____________.15.如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。

专题图形的相似第一讲：成比例线段与平行线分线段成比例

专题图形的相似第一讲：成比例线段与平行线分线段成比例一、成比例线段知识点1、相似的图形相似的图形一般而言，一般而言，一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是相似图形。

相似图形。

注意：形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因此可以看做的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。

的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。

知识点2、两条线段的比、两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们的长度之比，比就是它们的长度之比，即即AB:CD=m:n,AB:CD=m:n,或写成或写成nmCD AB =，其中，其中，线段线段AB AB，，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。

如果把n m 表示成比值k ，那么k CD AB=，或者AB=k AB=k··CD CD。

注意：1、求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一，当长度单位不统一时，要先化成同一单位长度；化成同一单位长度；2 2、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同的长度单位即可。

的长度单位即可。

★知识点3、成比例线段、成比例线段对于四条线段对于四条线段a,b,c,d a,b,c,d，，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

段是成比例线段，简称比例线段。

注意：1、如果cbb a =，那么b 叫做a 和c 的比例中项；的比例中项；2 2、在比例式、在比例式a:b=c:d 中，中，d d 叫做a ，b ，c 的第四比例项；的第四比例项；3 3、成比例线段是有顺序的，即、成比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d 知识点4、比例的性质、比例的性质1 1、比例的基本性质：如果、比例的基本性质：如果dcb a =，那么ad=bc ad=bc；；如果如果ad=bc ad=bc（（a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d cb a = 2 2、等比性质：如果、等比性质：如果)0...(...¹+++===n d b nmd c b a ，那么b a n d b m c a =++++++......3 3、合比性质：如果、合比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a +=+4 4、分比性质：如果、分比性质：如果d c b a =，那么dd c b b a -=- 【例题解析】例1、观察下列图形，指出、观察下列图形，指出是相似图形是相似图形是相似图形. .例2、线段AB 被点M 分成32=BM AM ,则=MB AB ,=AM MB 例3、如果的值。

九年级秋季班-第1讲相似性与比例线段-教师版

相似形与比例线段内容分析放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要讲解比例线段的有关概念和性质，以及三角形一边的平行线的相关性质和判定．比例线段的知识点，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．对比例线段的学习之后，我们进一步学习三角形一边的平行线分线段成比例的相关性质和判定．三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论和三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理．重点是掌握这两个定理及其推论，分清两个定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A ”字型和“X ”字形这两个基本图形，最后灵活运用本节的三个定理及两个推论，理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备．知识结构模块一：放缩与相似形知识精讲1、相似形的概念相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为 1．例题解析【例1】下列说法中错误的是（）A．同一底片先后两次冲印出的照片是相似形B．同一颗树在太阳光下先后两次形成的影子是相似形C．放在投影仪上的图片及其在屏幕上显示的图片是相似形D．放在复印件上的图片及其复印后得到的图片是相似形【难度】★【答案】B【解析】不同的时刻下，阳光与树射入的夹角不同，形成的影子大小不同，即不是相似形．【总结】考查相似形的定义，抓住相似形的基本定义即形状完全相同才是相似形．【例2】有以下命题：1 邻边之比为2 : 3 的两个平行四边形相似；2 有一个角是40°的两个菱形相似；3 两个矩形相似；4 两个正方形相似，其中正确的是（）A．1和2 B．2和4 C．3 和4 D．1 和3【难度】★★【答案】B【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，①错误；矩形每个角都是90 度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，③错误；故选B．【总结】考查相似形的定义，根据相似形的性质可知对应角相等，对应边成比例才是相似形．b 甲乙ba 甲b 乙【例3】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm 和4 cm，另一边矩形的边长为6 cm，则另一边长为．【难度】★★【答案】4.8cm 或7.5cm ．【解析】设矩形另一边长为xcm ，根据相似形的定义，对应边成比例，可知5=4或5=4，6 x x 6解得：x = 4.8 或x = 7.5 ．【总结】考查相似图形的性质，对应边成比例，但要注意好对应关系，题目未指明的要进行分类讨论．【例4】在平面内，两个形状相同、大小不一定相同的图形称作相似形．我们可以把这一概念推广到空间：如果两个几何体的形状完全相同，大小不一定相同，我们称它们为相似体．如图，甲乙两个不同的正方体，它们是相似体．若两个正方体的棱长分别为a 和b，则称这两个相似体的相似比为a : b．我们不难发现它们的一些基本性质：设S甲、S乙分别表示这两个正方体的表面积，则S甲=S乙6a26b2⎛a ⎫2= ⎪；⎝⎭设V甲、V乙分别表示这两个正方体的体积，则V=a3=V b3⎛a ⎫3⎪．⎝⎭（1）下列几何体中，一定属于相似体的是（）A．两个圆柱体B．两个圆锥体C．两个球体D．两个长方体（2）请归纳出相似体的三条主要性质：①两个相似体的对应线段或对应弧长的比等于；②两个相似体表面积的比等于；③两个相似体体积的比等于．（3）某海岛周围海域出产一种鱼，在体长10 厘米之后的生长过程中，体型可以近似地看作相似体．若体长20 厘米的鱼质量为0.2 千克，则体长为60 厘米的鱼质量为多少？当地市场上出售这种鱼价格与体长成正比，购买哪种鱼更划算？60【难度】★★★【答案】（1）C ；（2）相似比，相似比的平方，相似比的立方；（3） 5.4kg ， 60cm 划算【解析】（1）和圆一样，球只有一个基本量，即半径，所有球体都是相似体，类似所有圆都是相似形，其它的几何体都是至少两个基本量，不能确定相似；（2）表面积是进行平方运算，体积是进行立方运算，由正方体相似进行归纳总结，由此可得相似体对应线段比是相似比，表面积比是相似比的平方，体积比是相似比的立方；（3）鱼的体型可看作相似体，可知其体积比即为相应相似比的立方，即鱼体长比的立方，设60cm 长鱼体重mkg ，则有0.2 m ⎛ 20 ⎫3= ⎪ ，解得m = 5.4 ，这种鱼的价格与体长成正比，⎝ ⎭可知体型越大，这种鱼的单价越低，由此可知60cm 体长的鱼划算．【总结】阅读题，主要考查归纳总结的能力，要用题目中的条件分析清楚，进行类比，即可解决问题．知识精讲1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作a : b （或表示为a）；b如果a : b = c : d （或 a = c），那么就说a 、b 、c 、 d 成比例．b d 2、比例的性质（1）基本性质：如果 a = c，那么ad = bc ；b d 如果 a =c ，那么 b =d ， a = b ， c = d．b d （2）合比性质： ac cd a b 如果 a = c ，那么 a + b = c + d；b d b d 如果 a =c ，那么 a - b = c - d．b d b d（3）等比性质：如果 a = c = k ，那么 a + c = a = c= k （如果是实数运算，要注意强调b + d ≠ 0 ）．b d 3、比例线段的概念b + d b d对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果 a : b = c : d （或表示为 a = c ），那么a 、b 、c 、db d叫做成比例线段，简称比例线段． 4、黄金分割如果点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB （ AP > PB ）两段（如下图），其中 AP 是 AB 和 PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点 P 称为线段 AB 的黄金分割点．其中， AP = AB5 - 1 ≈ 0.618 ，称为黄金分割数，简称黄金数． 2 模块二：比例线段APB2 ⎩ ⎩【例 5】把ab = 1cd 写成比例式，不正确的写法是（）2A ． a = dB ． a = dC ． 2a = dD ． c =2ac 2b 2c b c b b d【难度】★ 【答案】B【解析】应用比例的基本性质，可知 B 选项即为ab = 2cd ，与原条件不符，故选 B ．【总结】考查比例式的变形，应用比例的基本性质转化为等积式，看能不能得到原本题目条件乘积式即可．【例 6】已知线段 x 、y 满足(x + y ): (x - y ) = 3 :1 ，那么 x : y 等于（）A ．3 : 1B ．2 : 3C ．2 : 1D ．3 : 2【难度】★ 【答案】C⎧x + y = 3k 【解析】令⎨x - y = k ⎧x = 2k ，可解得⎨ y = k ，即得 x : y = 2k : k = 2 :1 ．【总结】比例运算中，可应用设“ k ”法计算相应字母比例关系．【例 7】等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是．【难度】★【答案】 2 : 2 ．【解析】设三角形直角边长为 a ，根据勾股定理可知斜边长为 2a ，直角边与斜边比为a : 2a = 1: = 2 : 2 ．【总结】考查应用勾股定理解决等腰直角三角形三边比，注意结果要进行化简．例题解析5【例 8】已知 a = c，则下列式子中正确的是（）b d A ． a : b =c 2 :d 2C ．a :b = (a +c ): (b +d ) B ． a : d = c : bD ．a :b = (a - d ): (b - d )【难度】★★ 【答案】C【解析】根据比例的合比性，可知 C 正确．【总结】考查比例的性质的变形应用，本题根据合比性即可很快得出答案．【例 9】若 a = 8 cm ，b = 6 cm ，c = 4cm ，则 a 、b 、c 的第四比例项 d =cm ；a 、c 的比例中项 x = cm ．【难度】★★【答案】3， 4 2 ．【解析】根据第四比例项和比例中项的基本定义，可得 a = c ， a = x，代入即可分别求得d = 3cm ， x = 4 2cm ．【总结】考查比例定义中的相关基本概念．【例10】已知点C 是线段AB 的黄金分割点，AC = 5 b d x c - 5 ，且AC > BC ，则线段AB = ，BC = ．【难度】★★【答案】10，15 - 5 5 ．【解析】根据黄金分割点的概念，且 AC > BC ，可知 AC=AB5 - 1， AC = 5 2- 5 代入可得AB = 10 ，则 BC = AB - AC = 15 - 5 ．【总结】考查黄金分割点的概念，以及相关的黄金比．5 53【例 11】已知三个数 2、 3 、5，填一个数，使这四个数能组成比例，这个数可能是．【难度】★★★【答案】 5 3 或10 3 或 2 3 ．2 3 5【解析】设这个数是 x ，根据比例的基本性质，转化后，可以得到三种情况，即2x = 5 ，3x = 5 ⨯ 2 ， 5x = 2 ，分别解得 x =5 3， x = 10 3 ， x = 2 3． 2 3 5【总结】考查对比例基本性质的应用，一定要注意题目条件的说明是否需要进行分类讨论的情况，通过转换为乘积的形式，可以做到不重不漏．【例 12】已知实数 a 、b 、c 满足 b + c = c + a = a + b ，求 b + c的值．a b c a 【难度】★★★ 【答案】2 或-1【解析】当 a + b + c ≠ 0 时，根据比例的等比性质，可得b +c = b + c + c + a + a + b= 2 ； a a + b + c当 a + b + c = 0 时，则有b + c = -a ，由此 b + c = -a= -1 ．a a故 b + c 的值为 2 或-1 ．a【总结】考查比例的等比性质，注意等比性质在实数运算中运用的条件，要根据分母是否为 0 进行分类讨论．3AlDEBCAD E BC1、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例．如图，已知∆ABC ，直线 l // BC ，且与 AB 、AC 所在直线交于点 D 和点 E ，那么 AD = AE．DB EC2、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，点 D 、 E 分别在∆ABC 的边 AB 、 AC 上，DE // BC ，那么 DE = AD = AE．BC AB AC3、三角形的重心定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心．性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．5、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．如图，在∆ABC 中，直线l 与 AB 、 AC 所在直线交于点 D 和点 E ，如果 AD = AE ，那DB EC 么l // BC ．模块三：三角形一边的平行线知识精讲AlEDBCAl DEB C6、平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．如图，直线l // l // l ，直线m 与直线 n 被直线l 、l 、l 所截，那么 DF= EG．1 2 3 1 2 3FB GC7、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等．【例 13】如图，DE // BC ，AD = 5，BD = 2，AE = 3，BC = 8，求线段 AC 、DE 的长．【难度】★ 【答案】 AC =21 ， DE = 40 ． 5 7【解析】AD = 5，BD = 2，可得 AB = AD + BD = 7 ，由 DE // BC ，根据三角形一边平行线性质定理的推论，可得 AE = DE = AD，AC BC AB即 3 = DE = 5 ，可求得： AC = 21 ， DE = 40 ． AC 8 7 5 7【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意解题中适当应用边的关系和相关比例的性质．D EFGBC例题解析AEDBC ADEB CADEB CC EADB3 【例 14】如图， ∆ABC 中，DE // BC ，AD = EC ，BD =4 cm ，AE = 3 cm ，则 AB = ．【难度】★★【答案】(4 + 2 3)cm ．【解析】设 AD = xcm ，由 DE // BC ，可得 AD = AE ，又 A D E C = ，AB ACADE 则该式即为 x = 3，整理得 x 2 = 12 ，由此得 x = 2 ，x + 4 3 + x BCAB = AD + BD = (4 + 2 3)cm ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意好题目中对相关条件的应用，改写成比例式解决问题．【例 15】∆ABC 中，∠A = 90︒ ，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，若 DE = BD，那么 DEAC BA平行于 AC ．（填“一定”、“不一定”或者“一定不”）【难度】★★ 【答案】不一定．【解析】根据三角形一边平行线的判定定理，可知一条直线截三角形两边所得的线段对应成比例，可判定平行，本题中对应成比例的并不是截三角形两边所得线段对应成比例，即不可判定平行，在 AB 上固定一点 D ，作 E D ⊥A B 交 BC 于点 E ，以点 D 为圆心，ED 长为半径画圆，与边 AB 还会有另外一个交点，即不一定能判定平行．【总结】考查三角形一边平行线判定定理的条件，只能根据所截得的两边线段对应成比例判定平行，而不能根据这条直线对应成比例关系判定平行．【例 16】如图，两条相交于点 O 的直线被另外三条直线所截，交点分别为 A 、B 、C 和 D 、 E 、F ，则下列说法中正确的有（）（1）若 AD // BE // FC ，则 AB = BC；DE EF OF AC（2）若 AD // BE // FC ，则 =； OC DF（3）若 AB = DE，则 AD // FC ；BC EF （4）若 BC = BO，则 BE // FC ；EF EO （5）若 BE = BO，则 BE // FC ．FC OCA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【难度】★★ 【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，知（1）正确；同时 OF = OD = OF + OD = DF，OC OA OC + OA AC知（2）错误；根据平行线分线段成比例定理，由于题目中没有给出有直线与 BE 平行的条件，则不能证明平行，（3）错误；根据三角形一边平行线的判定定理，BC = BO，EF EO根据比例的基本性质变形可得 BO = OE，即可证平行，可知（4）正确，（5）错误．OC OF 【总结】考查平行线分线段成比例相关的性质定理和判定，注意前提条件再进行判断．【例 17】如图， ∆ABC ，DE // BC ，若 AD = 2，则 S : S =（）DB 3∆CDE ∆BDCA ．2 : 3B ．2 : 5C ．4 : 15D ．6:15【难度】★★ 【答案】B【解析】根据 DE // BC ，可得 AE = AD = 2，三角形为同EC DB 3高三角形，则有 S ∆ADE = AE = 2，可设 S = 2a ，则S ∆CDE EC 3∆ADE有 S = 3a ， S= 5a ，同理 S ∆ACD = AD = 2 ， ∆CDE ∆ACDS ∆BCD BD 3可得 S ∆BCD = 15 a ，则有 S 2∆CDE : S ∆BDC = 3a : 15 a = 2 : 5 ． 2【总结】结合三角形一边平行线性质定理，考查三角形中的同高三角形，面积比即为其底边长度之比．ADB E O FCA DEB C【例 18】如图，DF // AC ，DE // BC ，下列各式正确的是（）A ． AD = BE BC CF 【难度】★★ 【答案】DB ． AE = CE DE BC C ． AE = BD CE AD D ． AD =AB DE BC 【解析】由 DE // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 AD =DE ，变形即为 AB BC AD = AB，D 正确． DE BC 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，利用比例变形可以将对应边成比例转化为一个三角形中对应边的比例关系，利用相关性质等积转化即可进行判断．【例 19】如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下 2.7 米宽的亮区 DE ，如果亮区一边到窗下墙脚的距离 CE = 8.7，窗口高 AB = 1.8 米，那么窗口底边离地面的高度 BC = ．【难度】★★ 【答案】4m ．【解析】射入的光线平行，则有 AB = DE ，代入可求得AC CEA C = 5 . 8m ， BC = AC - AB = 4m ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，在路灯、太阳光线中经常用到．【例 20】如图，AD // EG // BC ，AF = 12，FC =3，BC = 10，AD = 5，那么 EG 的长是．【难度】★★ 【答案】9【解析】由 AD // EG // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 AF = EF ，AC BC CF = FG ，代入即为AC ADEF = 12 ， FG = 3 ，求得 EF = 8 ， FG = 1， 10 15 5 15 即得： EG = EF + FG = 9 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．AD EBFCA BE DCC G FD B EAD C EOFA B【例 21】如图，已知 ABCD 是梯形，其中 AB // CD ，对角线 AC 与 BD 交于 O ，过 O 作 AB的平行线交 AD 于点 E ，交 BC 于点 F ，若 AO : OC = 2 : 1，且 CD = 1.8，CF = 0.8，那么 AB = ，BC = ．【难度】★★ 【答案】3.6 ， 2.4 ．【解析】由 AB / /CD / /EF ，根据三角形一边平行线的性质定理及推论，可得 AB = AO = OB = BF= 2 ，由此可CD OC OD CF求得：AB = 3.6 ，BF = 1.6 ，故 BC =BF +C F = 2.4 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例 22】如图，已知梯形 ABCD 中，AD // BC ，MN // BC ，且交对角线 BD 于 O ，AD = DO =p ，BC = BO = q ，则 MN 为（）A ． pq p + q C ．p + q pqB ．2 pq p + q D ．p + q 2 pq【难度】★★ 【答案】B【解析】由 AD // MN // BC ，根据三角形一边平行线的性质定理的推论，可得 MO = BO，AD BDON = DO ，由 AD = DO = p ，BC = BO = q ，代入即为 MO = q ， ON = p ， BC BDp p + q q p + q 求得： MO =pq p + q ， ON = pqp + q，即得： MN = MO + ON =2 pq ． p + q 【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．A D MONB CAC 2 + BC 2 【例 23】如图，直角∆ABC 中两条直角边 CA = 4，CB = 3，点 E 为斜边 AB 上的一个动点，ED ⊥ BC 于 D ，设 AE = x ，BD = y ，则 y 关于 x 的函数解析式为．【难度】★★ 【答案】 y = 3 - 3x ．5【解析】由勾股定理，可得 AB = = 5 ，AE = x ，则 BE = 5 - x ，由 ED ⊥ BC ， ∠C = 90︒ ，可得 DE / / AC ，根据三角形一边平行线性质定理，则有 BD = BE，BC AB即 y = 5 - x ，即可得 y = 3 - 3 x ． 3 5 5【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的综合应用，通过比例转化解决问题．【例 24】如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，求证：（1） AE = AB ；（2） GD 2 = GF GE ．AD CF 【难度】★★ 【答案】略【解析】证明：（1）四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB / /CD ， AD / /BC ， AB = CD∴ DC = GC =CF AE AG AD ∴AB = CF AE AD即得 AE =AB AD CF（2）同样地，由 AD / /CF ， DC / / AE ，可得： GD = AG = GE ．GF GC GD∴ GD 2 = GF GE ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的基本应用，考查在有平行线的图形中的基本图形， “A ”字型和“8”字型，“A ”字型和“8”字型有叠合的时候可进行等比例转化．D CGFAB EA EB DC【例 25】如图，在∆ABC 中，AB > AC ，AD ⊥ BC 于 D ，点 F 是 BC 中点，过点 F 作 BC 垂线交 AB 于点 E ，BD : DC = 3 : 2，则 BE : EA = ．【难度】★★★ 【答案】5 :1．【解析】由 BD : DC = 3 : 2，F 为 BC 中点，即可得B F + B F - F D = 3 ，则 B F F D 2= 5F D ，由 EF ⊥BC ，AD ⊥ BC ，可得： EF / / AD ，根据三角形一边平行线性质定理，即可得： BE : EA = BF : FD = 5 :1 ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的综合应用，过程中注意比例转化．【例 26】如图，在∆ABC 中，E 、F 分别是 BC 、AC 的中点，AE 、BF 交于点 G ，过 G 作GD // AC 交 BC 于点 D ，若 ED = 5，则 BC 的长为．【难度】★★★ 【答案】30．【解析】∵E 、F 分别是 BC 、AC 的中点，∴G 是∆ABC 的重心．GE 1 ∴ = ． AE 3 ∵GD // AC ，∴可得 ED = GE = 1，EC AE 3由此 EC = 3ED = 15 ， BC = 2EC = 30 ．【总结】考查重心性质的证明，构造平行线，结合三角形一边平行线性质定理即可解决问题．A EB F D CAFG BE DC1 【例 27】如图，AD // OM // BC ，AC 、BD 相交于点 O ．求证： 1 + 1 = 1．AD BC OM 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明： AD / /OM / /BC ，O M B M OM AM ∴ = ， A D A B = ． BC AB ∴ O M + O M = B M + A M =． A D B C A B A B即得： 1 + 1 = 1．AD BC OM【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，尤其图形中“A ”字型等基本图形有部分叠加图形的情况下可进行等比例转化．【例 28】如图，已知：在∆ABC 中， BD = 1 ， AF = 2 ，求 AE的值．CD 3 DF AC 【难度】★★★1【答案】．3【解析】过点 D 作 DG / / BE 交 AC 于点G ，根据三角形一边平行线的性质定理，可得 EG = BD = 1 ， AE = AF = 2 ，GC CD 3 EG DF 则有 AE = 2 ，则有 AE= 2 = 1 ，GC 3 EC 1 + 3 2根据比例的合比性，则有 AE = 1．AC 3【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，构造平行线，构造出“A ”字型等相关基本图形进行等比例转化解决问题．CDOAM BAEFG BDC【例 29】如图，已知 AM 是 ∆ABC 的中线，P 是 BC 边上的一个动点，过点 P 作 AM 的平行线分别交 AB 、AC 所在直线与点 Q 、R ，求证：PQ + PR 为定值．【难度】★★★ 【答案】略．【解析】证明： PR / / AM ，∴ PQ = BP ， PR = PC ． AM BM BM = CM ，AM MC∴ PQ + PR = BP + PC = BC AM BM BM= 2 ．即得： PQ + PR = 2AM ，即证 PQ + PR 为定值．【总结】考查三角形一边平行线性质定理推论的应用，注意观察图形中的基本图形，本题中即用到两个“A ”字型．【例 30】如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O ，直线 l 平行于 BD ，且与 AB 、DC 、BC 、AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、N 、R 、S 和 P ．求证： PM 【难度】★★★ 【答案】略【解析】证明：．BD / /MS∴ BO = AO ， DO = AO MP AP ∴ BO = DO PM PS PS AP∴ PS = DO PM BO同时由OB / /PR ， OD / /PN ， ∴ OB = OC ， OD = OC PR CP ∴ OB = OD PR PN ∴PN = DO =PN CP PSPR BO PM即证 PM 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，找准图形中的“A ”字型和“8”字型等基本图形进行等比例转化即可．AB O DMC N PR SPN = PR PS PN = PR PSR AQBP MCDEM N PFQ【例 31】（1）如图 1，在∆ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、AC 上满足 DE // BC ，点 P 为 BC上的任意一点，AP 交 DE 于点 Q ，求证： DQ = BP．QE PC （2）试参考（1）的方法解决下列问题：如图 2，M 、N 为边 BC 上的两点，且满足 BM = MN= NC ，一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、AM 和 AN 的延长线于点 D 、E 和 F ．求 EF : DE 的值．ABC【难度】★★★【答案】（1）略；（2） 3 :1 ．【解析】（1）证明： DE / /BC ，∴ DQ = AQ ， QE = AQ ． BP AP ∴ DQ = QE ．BP PC ∴ DQ = BP ． QE PCPC AP（2）过点 B 作 BQ / /DF 交 AF 延长线于点Q ，交 AM 延长线于点 P ，则有 BQ / /DF / / AC ，BM = MN = NC ，∴ BP = BM = 1 ， BQ = BN = 2 ． AC MC 2 AC NC ∴ BP = 1 ，即得： BP = 1 ． BQ 4 PQ 3由（1）的结论即可得 EF : DE = PQ : BP = 3:1．【总结】考查三角形一边平行线的应用，“8”字型的叠合，可以进行相应等量转化确定相关线段之间的比例关系解决问题．图 1图 2AD QE BP C⎩⎩【习题 1】如果图形 A 与图形 B 相似，图形 B 与图形 C 相似，那么图形 A 与图形 C相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）【难度】★ 【答案】一定．【解析】根据相似形定义，可知图形 A 与图形 B 形状相同，图形 B 与图形 C 形状相同，则必有图形 A 与图形 C 形状相同，即两图形相似．【总结】考查相似形具有传递性．【习题 2】若(x + y ): y = 8 : 3 ，则 x : y =．【难度】★ 【答案】5 : 3 ．⎧x + y = 8k【解析】令⎨ y = 3k⎧x = 5k ，可解得： ⎨ y = 3k ，即得 x : y = 5k : 3k = 5 : 3 ．【总结】比例运算中，可应用设“ k ”法计算相应字母比例关系，也可直接利用比例的合比性质进行求解．【习题 3】如图，DE // BC ，下列比例式成立的是（）A ． AD = AC AB AE 【难度】★ 【答案】CB ． DE = DA BC AB C ． EA =DA AB AC D ． DA =AE AB AC【解析】根据三角形一边平行线性质定理的推论，由 DE // BC ，可得： DA = EA，可知 C 正确．AC AB 【总结】考查三角形一边平行线的性质定理．随堂检测DEAB C5 5 【习题 4】有以下命题，其中正确的判断有（）个（1）如果线段 d 是线段 a 、b 、c 的第四比例项，则有 a = c ；b d （2）如果点 C 是线段 AB 的中点，那么 AC 是 AB 、BC 的比例中项；（3）如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC > BC ，那么 AC 是 AB 与 BC 的比例中项；（4）如果点 C 是线段 AB 的黄金分割点，AC > BC ，且 AB = 2，则 AC = -1 ．A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★★ 【答案】C【解析】根据比例相关定义，可知（1）正确； C 是 AB 中点时，则有 AC = BC = 1AB ，此2时 AB ≠ AC ，（2）错误；根据黄金分割点的基本定义，可知（3）正确，同时黄金比 AC BC 为 5 - 1 ，即 AC = 5 - 1 ，可得 AC = -1，（4）正确；（1）（3）（4）正确． 2 AB 2综上所述，故选 C ．【总结】考查比例中的相关概念，以及黄金分割等基本知识．【习题 5】如图，已知菱形 BEDF 内接于∆ABC ，点 E 、D 、F 分别在 AB 、AC 和 BC 上，若AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，则菱形边长为．【难度】★★【答案】 20cm ．3【解析】根据三角形一边平行线的性质定理，则有 DE = AE，BC AB则有 BE + AE = BE + DE= 1 ，由 AB = 15 cm ，BC = 12 cm ，AB AB AB BCDE = BE ，即为 DE + DE = 1 ，解得： DE = 20，即菱形边长．15 12 3 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用．AEDB FC【习题 6】如图，在∆ABC 中，DE // BC ，EF // CD ，AF = 3，FD = 2，求 AB 的长．【难度】★★【答案】 25．3【解析】AF = 3，FD = 2，可得 AD = AF + FD = 5 ，由 DE // BC ，EF // CD ，可得 AF = AE = AD ，即得 3 = 5 ，求得 AB = 25．AD AC AB 5 AB 3 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意利用基本“A ”字型，尤其有叠合的图形进行等比例转化．【习题 7】如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 24，X 、Y 是对角线 AC 上的三等分点，联结 DX 并延长，交 AB 于 P ，再联结 PY 并延长，交 DC 于 Q ，则 CQ 的长为【难度】★★ 【答案】6．【解析】由四边形 A B C D 是平行四边形，可知AB / /CD ，根据三角形一边平行线的性质定理，可得 DC = XC = 2 ， CQ = CY = 1 ，由此可得 AP AX AP AY 2 CQ = 1 ，即得CQ = 1 CD = 1AB = 6 ． CD 4 4 4【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找到图形中的“X ”字型．AF DE BCDQC YXAP B矩形DEFC 【习题 8】如图，在矩形 ABCD 中，截去一个矩形 ABFE （图中阴影部分），余下的矩形 DEFC与原矩形 ABCD 相似．（1）设 AB = 6 cm ，BC = 8 cm ，求矩形 DEFC 的面积；（2）若截去的矩形 ABFE 是正方形，求 AB的值．BC 【难度】★★【答案】（1） 27cm 2 ；（2）5 - 1 ．2【解析】（1）余下矩形与原矩形相似，根据相似形的性质，则有 DE = EF ，代入即为 DE = 6 ，求得 DE = 4.5cm ， AB BC 6 8则有 S = DE ⋅ EF = 27cm 2；（2）同（1）有 D E =E F ，设原矩形宽为 a ，则有 AE = EF = BF = a ，代入即为 BC - a = a，A B B C⎛ a ⎫2a a BC整理得： a 2 + aBC - BC 2 = 0 ，两边同除以 BC 2，即得 ⎪ ⎝ BC ⎭ +- 1 = 0 ，解方程得 BCa = 5 - 1 ，即 AB = 5 - 1 ，此时为黄金比． BC 2 BC 2 【总结】考查相似形的基本性质的应用．【习题 9】如图，平行四边形 ABCD 中，对角线交点为 O ，E 为 AD 延长线上一点，OE 交CD 于 F ，交 AB 于 G ，交 CB 的延长线与 H ，试求 AB - AD的值．DF DE【难度】★★★ 【答案】2．【解析】由平行四边形的性质，则有 DO = OB ，由此可得DF = GB ，又 DC / / AB ，则有 AG = AE，则有DF DEEDF COA B A D A +G G B -A E ⎛D E⎫A G ⎛ ⎫ A E AGBD F - = - = + 1⎪ - - 1⎪ = ． DE DF D E ⎝ D ⎭F ⎝ D ⎭ EH【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，注意找准图形中的“A ”字型和“8”字型等基本图形进行比例转化，同时应用好平行四边形的相关性质．AE DF C33 5 - 2 3【习题 10】如图，已知在∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，以 BC 为边向外作正方形 BCDE ，联结 AE 交 BC 于 F ，作 FG // AC ，交 AB 于 G ．（1）试判断∆FCG 的形状，并加以证明；（2）若正方形 BCDE 边长为 1， ∠AEB = 30︒ ，求 AB 的长．【难度】★★★【答案】（1）等腰直角三角形；（2） 5 - 2 3 ．【解析】（1） ∆FCG 是等腰直角三角形．证明四边形 BCDE 是正方形，∴ BC / /DE ， BE / /CD / /FG ．∴ CF = AF ， DE AE ∴ CF = FG ． DE BE ∴CF = FG ． FG / / AC ，FG = AF ． BE AE ∴∠CFG = ∠ACB = 90︒ ．即证∆FCG 是等腰直角三角形．（2） BE = BC = 1 ， ∠AEB = 30︒ ，∴ BF =BE =3 ．3∴ FG = CF = 1 - 3．3由 FG / / AC ，可得 FG = BF = AC BC根据勾股定理，即可得 AB = 3，则 AC = 3=3FG = -1，= ．【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，结合归纳猜想进行解题．AC 2+ BC 2( 3 - 1)2+ 12 DECFAGB【作业 1】下列说法正确的是（）A ．边数相同的多边形相似B ．对应边成比例的多边形相似C ．对应角相等的多边形相似D ．全等的多边形相似【难度】★ 【答案】D【解析】根据相似形的概念和性质，形状大小完全相同，即对应角相等，对应边对应成比例同时满足，可知 ABC 错误，全等的图形是特殊的相似形，可知 D 正确．【总结】考查相似形的基本概念和性质．【作业 2】已知 x - y = y，则 x + y 的值为．13 7y【难度】★【答案】 27．7【解析】由 x - y = y ，则有 x - y = 13 ，根据比例的合比性， x + y = 13 + 7 + 7 = 27．13 7 y 7 x 7 7【总结】考查相关比例的转化，可利用比例的性质进行求解．【作业 3】如图，已知 AD // BE // CF ，下列比例式成立的有（）（1） AB = AC ；（2） AB = DE ；（3） AC = DF ；（4） BC = EF ．DE DF EF BC EF BC AC DFA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【难度】★ 【答案】B【解析】根据平行线分线段成比例定理，可得 AB = DE，BC EF结合比例的合比性，即得 AB = DE ， BC = EF，AC DF AC DF（1）正确，（2）错误，（3）错误，（4）正确，综上所述，故选 B ．【总结】考查平行线分线段成比例定理，结合比例基本性质进行等比例转化．课后作业ADB EO FC。

6成比例线段及相似图形(讲义及答案)

成比例线段及相似图形（讲义）➢ 课前预习1. 读一读，想一想：①两个数相除又叫做两个数的比，比如a ÷b ，又可以写作ab，a :b ；在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项．比的前项除以后项所得的商，叫做比值．②比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．③表示两个比相等的式子叫做比例，比如a :b =c :d ，又可以写作a cb d=；组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．④在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． ⑤能够完全重合的两个图形称为全等图形． ⑥全等图形的形状和大小都相同． 2. 填空：①若a :b =2:3，b :c =2:3，则a :b :c =_________． ②若x :y =2:5，x :z =5:9，则y :z =________． ③若2a =3b =4c ，则a :b :c =________．④若△ABC 三边::6:4:3a b c =，三边上的高分别为123h h h ，，，则123::h h h =________． 3. 求解下列各式中的x ．412::32x = 100602020x x=+-342x xx x --= 11x x x-=（其中x >0）➢知识点睛一、成比例线段1.四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺．注意：①比例对应；②单位换算；③实际验证．2.比例的性质①基本性质：若_______________，则__________________；若ad=bc（a，b，c，d都不等于0），则_________________．*②合（分）比性质：若_______________，则______________．③等比性质：如果_________________，（_________________）那么______________________．3.平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的______________成比例．推论：_____________________________________________．4.黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_____________，那么称线段AB被点C_________，点C叫做线段AB的黄金分割点．ACAB=________≈_______，称为黄金比．一条线段有______个黄金分割点．二、相似图形1.形状相同的图形称为相似图形．利用“∽”来表述两个图形间的相似关系时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．2.相似多边形：_______________、_________的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，周长比等于________．3.相似三角形：_____________、___________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；面积的比等于_____________．➢精讲精练1.已知线段a=3，b=2，c=4，若a，b，c，d是成比例线段，则线段d=__________．2.若438324x y z+++==，且x+y+z=12，则x zy z-+=__________．FEDCBA3. 若34a b =，则a b b +=______，a b a =+______，ab a =-______． 4. 若273a b b +=，则a b =________，b ab -=________；若23a b a =-，则a b =________，ab a =+________． 5. 若43===f e d c b a ，则a c e b d f +-+-=_____，2=2a c e b d f+-4+-4_____．（b +d -f ≠0，2b +d -4f ≠0） 6. 已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值．7. 如图，DE ∥BC ，且DB =AE ，若AB =5，AC =10，则AE =______．8. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD :DB =3:5，那么CF :CB =（） A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:59. 如图，在△ABC 中，D ，F 分别为BC ，AC 上一点，BD :DC =3:2，连接BF ，AD ，两线段相交于点E 且AE :AD =1:2，过点D 作DG ∥AC 交BF 于点G ，则BE :EF =________．G FD BE DC BA第9题图第10题图10. 顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB =4，则CD =________．11. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高160 cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿高跟鞋的高度约为_________．（精确到0.1 cm ）F E Q NH M BPAEBACDF ECA D12. 如图，P 为线段AB 的黄金分割点（PB ＞P A ），四边形AMNB 、四边形PBFE都为正方形，且面积分别为S 1，S 2．四边形APHM 、四边形APEQ 都为矩形，且面积分别为S 3，S 4，下列说法正确的是（） A．2112S S =B ．23S S = C．34S S = D．4112S S =13. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形；⑧等腰梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形．其中，一定相似的有_____________（填写序号）．14. 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的等腰直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．15. 四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，其中AB =4，A 1B 1=6，CD =8，∠A =77°，∠B =83°，∠C =85°，则四边形A 1B 1C 1D 1中的∠D 1=____，其最大角是__________，C 1D 1的长为_________，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的相似比为_____________；若它们周长的差是15，则较大四边形的周长为___________．16. 已知△ABC ∽△DEF ，AB =6 cm ，BC =4 cm ，AC =9 cm ，且△DEF 的最短边边长为8 cm ，则最长边边长为（） A ．16 cmB ．18 cmC ．4.5 cmD ．13 cm17. 如图，线段AD ，BC 相交于点O ，连接AB ，CD ，其中AO =1，AD =3.5，BO =2，且△AOB ∽△COD ，则△AOB 与△COD 的相似比为_______，它们的对应高比为________，它们的面积比为_________；若△AOB COD 的面积为________．18. 某种三角形架子由钢条焊接而成.在这种三角形架子的设计图上，其三边长分别为4 cm ，3 cm ，5 cm .现有两根钢条，一根长60 cm ，另一根长180 cm ，OC BDA若用其中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有________种不同的做法.（焊接用料忽略不计）19. 某小区有一矩形草坪，如图所示，其长为30米，宽为10米，若想沿草坪四周修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，请求出这一宽度；若不能，请说明理由．成比例线段及相似图形（随堂测试）➢ 要点回顾1. 两条直线被一组平行线所截，所得的______________成比例．2. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；面积的比等于_____________．➢ 典型题测试1. 若0234x y z ==≠，则23x yz+=______；若223x y y -=，则x y =________． 2. 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =5，BD =10，AE =3，则CE 的值为（）A ．9B ．6C ．3D ．43. 如图，已知△ABC ∽△AED ，其中AD =1，AE =2，AC =4，∠1=36°，则∠B =_______，△ABC 与△AED 的相似比为___________，它们的对应高比为________，它们的面积比为___________；若△ADE的面积为ABC 的面积为________．A CDE1E DCBA成比例线段及相似图形（习题）➢ 要点回顾1. 四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于___________，即__________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段．备注：利用成比例线段的比例关系进行计算要注意：①四条线段的排列顺序；②单位统一． 2. 比例性质①基本性质：若_______________，则__________________；若ad =bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），则_________________．②等比性质：如果_________________，（_________________）那么______________________．备注：设k 法能解决和比例相关的大部分计算． 3. 平行线分线段成比例：____条直线被一组______所截，所得的____________成比例．推论：_____________________________________________． 4. 相似多边形：_______________、_________的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做_______，周长比等于________． 5. 相似三角形：_________________、_________________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应______的比、对应_______的比、对应_______的比、_____的比都等于_____；面积的比等于_____________．➢ 例题示范例1：如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ，若AD =2BD ，则CFBF=________． FE D CBA解：如图， ∵DE ∥BC ，2ADBD=∴2AE ADEC BD == ∵EF ∥AB∴12CF EC BF AE ==例2：一木匠要用一根长6米的木材做一个矩形窗框，要想给人带来的视觉最美，则窗框的长和宽分别是________________（精确到0.01 米）．解：设矩形长为x m ，由题意，宽应为)x m ．12()62x x += 解得：x=1)1.852≈ 3-1.85=1.15 m∴窗框的长为1.85 m ，宽为1.15 m ．➢ 巩固练习1. 在比例尺为1:6 000 000的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7厘米，则海口与三亚的实际距离约为_______千米． 2. 若x :y :z =3:4:7，且2x -y +z =18，则x +2y -z =______．3. 若273562x y z +++==，且x +y +z =14，则y zx z -+=______．4. 若3103x y y +=，则xy =______；若35a b a =-，则a b =______． 5. 若x :y =4:5，x :z =5:3，则y :z =______． 6. 已知b c a c a bk a b c+++===，求k 的值．7. 若2a =3b =4c ，则a :b :c =________．8. 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，AC =4，CE =6，BD =3，则BF =（） A ．7 B ．7.5C ．8D ．8.5cba n m F EDC BA9. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，．1410. 如图，在△ABC 中，BD :DC =5:3，E 为AD 的中点，连接BE并延长，交AC 于点F ．过点D 作DG ∥AC 交BF 于点G ，则BE :EF =_______．11. 如图，在正五角星中，C ，D 两点都是AB 的黄金分割点，已知AB =1，求CD 的长．12. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．已知某女士身高165 cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿多高的高跟鞋？（结果精确到0.1 cm ）13. 已知线段AB ，按照如下方法作图（保留作图痕迹）：①经过点B 作BD ⊥AB ，使12BD AB =； ②连接AD ，在DA 上截取DE =DB ； ③在AB 上截取AC =AE ．根据上述作图回答下列问题：（1）如果AB =2，那么BD =_____，AD =_____，AC =______，BC =____；（2）点C ___（填“是”或“不是”）线段AB 的黄金分割点．GEF D CBADAEBC D A14. 下列说法：①有一个角相等的两个平行四边形相似；②有一组邻边对应成比例的两个平行四边形相似； ③有一个角相等的两个菱形相似； ④邻边之比是2:1的两个矩形相似； ⑤所有的正方形都相似；⑥有一个角相等的两个等腰梯形相似．其中正确的是_____________．15. 两个四边形相似，其中一个四边形的三个内角分别是80°，60°，70°，那么另一个四边形的最大内角是_____________，最小内角是_________． 16. 在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x =______，y =______，m =______，n =______．（2）（1） m°50°60°y 3a n °1070°50°4a 4830332022x17. 如图，△ADE ∽△ABC ，AD =3BD ，S △ABC =48，则S △ADE =_____．ABCD E➢ 思考小结1. 请回顾全等图形和相似图形的相关概念，并填空．全等图形:能够完全重合的两个图形称为全等图形.全等图形的形状和大小都相同.相似图形:形状相同的图形叫做相似图形.各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.全等图形和相似图形都满足______相同；当大小相同时，这两个图形就是________；________图形可以看做是________图形中的一种特殊情况．2.如果比例的左右两端都只含有同一个未知数，则这个比例可以看成是_________；在几何问题中，既可以借助线段间比例关系列方程求解，也可以借助线段间比例关系来表达线段长．3.请类比全等三角形的性质梳理相似三角形的性质．。

《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学

专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。

相似形与比例线段(考点清单,知识导图+5个考点清单+6种题型解读)解析版25学年九年级上学期期中考点

相似形与比例线段（考点清单，知识导图+5个考点清单+6种题型解读）【清单01】相似形ìïíïî定义：的两个图形；性质：若两个多边形是相似形，则这两个多边形，对应边同形状相对应角相等例.长度成的比【清单02】比例线段2,,,;,,.P AB ;0.61:8:AP a b c d a c b d a c b d a c k b a b c d ad bc a B b c c b d a c a c k b d b d PB AB d AP P AB AP ìíîì=Ûïïï=íïï==ïîìï×í==»==±±=+===+=两条线段的比：两条线段的的比；概念比例线段：若，则叫成比例线段；基本性质：性质合比性质：若则；等比性质：若则定义：点分线段成且黄金分割金分割数：长度黄ìïïïïïïïïíïïïïïïïïïîî相似形相似形定义比例线段相似三角形性质定义性质黄金分割三角形一边的平行线性质定理判定定理推论推论平行线分线段成比例定理特例基本性质、合比、等比性质【清单03】三角形一边的平行线.ììïïïïíïïïïïîíìïïíïïî平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的；性对应线段成比例截得的三角形原三角形对形应成比例平行于三角质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，与的三边截形的第三边同若一直线截三角的两边所得的对应线段成比例，则这条直线；判定定理推论：若一直线三角形的两边的延长线（在第三边）所得的对应线段成比例，则这条；侧平行于直线三角形的第三边ïïïïïî【清单04】三角形的重心ìïíïî定义：三角形三条的交点；定理：三角形的重心的距离，它中线到一个顶点等于到的顶距离的两个倍点.这点对边中【清单05】平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例；平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.【考点题型一】相似图形（共5小题）【例1】（2023秋•金山区校级期中）下列两个图形一定相似的是( )A ．两个菱形B ．两个矩形C ．两个正方形D ．两个等腰梯形【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．【解答】解：A 、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；B 、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；C 、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；D 、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．【变式1-1】（2023秋•长宁区校级期中）下列说法中，正确的是( )A．两个矩形必相似B．两个含45°角的等腰三角形必相似C．两个菱形必相似D．两个含30°角的直角三角形必相似【分析】直接利用相似图形的判定方法得出答案．【解答】解：A、两个矩形对应边不一定成比例，故此选项错误；B、两个含45°角的等腰三角形，45°不一定是对应角，故不一定相似，故此选项错误；C、两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故此选项错误；D、两个含30°角的直角三角形必相似，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了相似图形，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．【变式1-2】（2023秋•虹口区期中）下列各组图形中，一定相似的是( )A．两个矩形B．两个菱形C．两个等腰三角形D．两个正方形【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；CD、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．【变式1-3】（2023秋•闵行区期中）将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是( )A．边的长度B．图形的周长C．图形的面积D．角的度数【分析】根据相似图形的性质解答．【解答】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数，故选：D．【点评】本题考查了相似图形，熟记相似图形的性质是解题的关键．【变式1-4】（2023秋•松江区期中）下列说法正确的个数有( )①所有正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据形状相同的图形称为相似图形，对于相似多边形的对应边成比例，对应角相等，分别判断得出答案．【解答】解：①所有正方形都相似，故此选项符合题意；②所有的矩形都相似，矩形对应边不一定成比例，故此选项不合题意；③所有的菱形都相似，菱形对应角不一定相等，故此选项不合题意；④所有的等腰三角形都相似，等腰对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故此选项不合题意．故选：A ．【点评】此题主要考查了相似多边形的判定，正确掌握相似多边形的判定方法是解题关键．【考点题型二】比例的性质（共5小题）【例2】（2023秋•普陀区期中）已知45x y =，则():()x y x y +-的值是( )A ．19B ．9-C ．9D ．12-【分析】根据比例的性质得45x =【解答】解：Q 45x y =，45x y \=，44():()():()955x y x y y y y y \+-=+-=-．故选：B ．【点评】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．【变式2-1】（2023秋•闵行区期中）如果53a b =，那么a b b -的值是 23　．【分析】先把a b b -化成1a b -，再把53a b =代入计算即可．【解答】解：Q53a b =，\521133a b a b b -=-=-=．故答案为：23．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，较简单．【变式2-2】（2023秋•金山区校级期中）已知23x y =，那么x y y +的值等于 53　．【分析】把x y y +化成1xy+，再进行计算即可得出答案．【解答】解：Q23x y =，\251133x y x y y +=+=+=．故答案为：53．【点评】此题考查了比例的性质，把x y y +化成1xy+是解题的关键．【变式2-3】（2023秋•崇明区期中）已知：0245x y z==¹，求223x y z x y z +--+的值．【分析】根据：0245x y z==¹，可以设2x k =，则4y k =，5z k =．代入所求解析式即可求解．【解答】解：设2x k =，则4y k =，5z k =（2分）原式2854415k k kk k k+-=-+（2分）515kk =（2分）13=（1分）【点评】本题运用的设未知数的方法是解题过程中经常用到的，需要熟练掌握．【变式2-4】（2023秋•松江区校级月考）若235x y z==，且3214x y z +-=，求x ，y ，z 的值．【分析】设比值为k ，然后用k 表示出x 、y 、z ，再代入等式求出k 的值，从而得解．【解答】解：设(0)235x y zk k ===¹，则2x k =，3y k =，5z k =，代入3214x y z +-=得，66514k k k +-=，解得2k =，所以，224x =´=，326y =´=，5210z =´=．【点评】本题考查了比例的性质，此类题目，利用“设k 法”求解更简便．【考点题型三】比例线段（共5小题）【例3】（2023秋•浦东新区校级期中）下列各组中的四条线段成比例的是( )A ．1a =，2b =，3c =，4d =B ．1a =，2b =，2c =，4d =C ．4a =，6b =，5c =，10d =D ．a =3b =，2c =，d =【分析】根据成比例线段的性质，即可求得答案．注意排除法的应用．【解答】解：A 、1a =Q ，2b =，3c =，4d =，\12a b =，34c d =，a cb d¹，故本选项错误，不符合题意；B 、1a =Q ，2b =，2c =，4d =，\12a cb d ==，故本选项正确，符合题意；C 、4a =Q ，6b =，5c =，10d =，\4263a b ==，12c d =，a cb d¹，故本选项错误，不符合题意；D 、a =Q ，3b =，2c =，d =\a b =c d =，a cb d¹，故本选项错误，不符合题意．故选：B ．【点评】此题考查了比例线段的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记定理．【变式3-1】（2023秋•松江区期中）已知(ac bd a =、b 、c 、d 都不为0)，则下列各式一定成立的是( )A ．a cb d=B ．c d b a=C ．11c d b a++=D ．b cd a=【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断后利用排除法求．【解答】解：A 、由a cb d=，得ad bc =，故本选项不符合题意；B 、由c db a=，得ac bd =，故本选项符合题意；C 、由11c d b a ++=，得ac a bd b +=+，故本选项不符合题意；D 、由b cd a=，得ab cd =，故本选项不符合题意．故选：B ．【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键．【变式3-2】（2023秋•长宁区校级期中）已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，如果4a =，5b =，那么c =　【分析】由比例中项的定义，得到2c ab =，即可求出线段c 的长．【解答】解：Q 线段c 是线段a 、b 的比例中项，2c ab \=，4a =Q ，5b =，c \=（舍去负值）．故答案为：．【点评】本题考查比例线段，关键是掌握比例中项的概念．【变式3-3】（2023秋•崇明区期中）在比例尺为1:500000的地图上，某两地图距为2厘米，那么这两地的实际距离是　10　千米．【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．【解答】解：设这两地的实际距离是x 厘米，则：1:5000002:x =，解得1000000x =．1000000厘米10=千米．故答案为10．【点评】本题考查了比例线段，比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算．【变式3-4】．（2023秋•松江区月考）已知：线段x ，y 、z ，且345x y z==．（1）求23x yy x+-的值；（2）如果线段x 、y 、z 满足34554x y z -+=，求2x y z -+的值．【分析】（1）设3x k =，4y k =，5z k =，代入化简即可；（2）根据题意求出k 的值代入求解即可．【解答】解：Q345x y z==．\设3x k =，4y k =，5z k =，（1）23241134335x y k k y x k k ++´==---´；（2）34554x y z -+=Q ，9162554k k k \-+=，3k \=，2924150x y z \-+=-+=．【点评】本题考查了代数式求值，运用设k 法求解是解题的关键．【考点题型四】黄金分割（共5小题）【例4】（2023秋•浦东新区校级期中）如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点()AD BD >，8AB =，则AD 的长度是( )A ．5B ．4-C ．2+D ．4+【分析】根据点D 是线段AB 的黄金分割点()AD BD >，可得AD AB =，进一步求解即可．【解答】解：Q 点D 是线段AB 的黄金分割点()AD BD >，\AD AB =，8AB =Q ，4AD \=，故选：B ．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金比是解题的关键．【变式4-1】（2023秋•宝山区期中）已知线段AB 的长为4，点P 为线段AB 上的一点，且2AP PB AB =×．那么线段AP =　2-　．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段，代入数据即可得出AP 的长．【解答】解：P Q 是线段AB 上的一点，且满足2AP AB BP =×，P \为线段AB 的黄金分割点，且AP 是较长线段，42AP AB \===，故答案为：2-．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．【变式4-2】（2023秋•闵行区期中）如图，点D 是ABC D 的AB 边的黄金分割点，AD BD >，作//DE BC交AC 边于点E ，那么DEBC【分析】先利用黄金分割的定义得到AD AB =，再证明ADE ABC D D ∽，然后利用相似比得到DEBC的比值．【解答】解：Q 点D 是ABC D 的AB 边的黄金分割点，AD BD >，AD AB \=，//DE BC Q ，ADE ABC \D D ∽，\DE BC =．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把线段AB 分成两条线段AC 和()BC AC BC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即::)AB AC AC BC =，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中0.618AC AB AB =»，并且线段AB 的黄金分割点有两个．【变式4-3】（2022秋•嘉定区期中）已知点A 、B 、C 在一条直线上，1AB =，且2AC BC AB =×，求AC 的长．【分析】分三种情况：当点C 在线段AB 上，当点C 在线段AB 的延长线时，当点C 在线段BA 的延长线时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分三种情况：当点C 在线段AB 上，如图：2AC BC AB =×Q ，\点C1AC AB \===；当点C 在线段AB 的延长线时，如图：设AC x =，则1BC AC AB x =-=-，2AC BC AB =×Q ，2(1)1x x \=-×，整理得：210x x -+=，\原方程没有实数根；当点C 在线段BA 的延长线时，如图：设AC x =，则1BC AC AB x =+=+，2AC BC AB =×Q ，2(1)1x x \=+×，整理得：20x ，解得：1x =2x =，AC \综上所述，AC 【点评】本题考查了黄金分割，分三种情况讨论是解题的关键．【变式4-4】（2022秋•宝山区校级月考）已知点C 在线段AB 上，且满足2AC AB BC =×．（1）若1AB =，求AC 的长；（2）若AC 比BC 大2，求AB 的长．【分析】（1）根据已知可得点C 是线段AB 的黄金分割点，从而可得AC AB =，然后进行计算即可解答；（2）根据已知可设AC x =，则2BC x =-，从而可得22AB x =-，然后根据2AC AB BC =×，可得2(22)(2)x x x =--，从而进行计算即可解答．【解答】解：（1）Q 点C 在线段AB 上，且满足2AC AB BC =×，\点CAC \=AC \（2）AC Q 比BC 大2，\设AC x =，则2BC x =-，22AB AC BC x \=+=-，2AC AB BC =×Q ，2(22)(2)x x x \=--，解得：13x =+，23x =（舍去），224AB x \=-=，AB \的长为4+．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．【考点题型五】三角形的重心（共5小题）【例5】（2023秋•普陀区期中）已知在ABC D 中，AD 是中线，G 是重心，如果3GD cm =，那么AG =　6　cm ．【分析】根据三角形重心的性质即可求出AG 的长．【解答】解：G Q 是ABC D 的重心，且AD 是中线，26AG GD cm \==．故答案为：6．【点评】此题考查了三角形重心性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．【变式5-1】（2023秋•黄浦区期中）已知点G 是等腰直角三角形ABC 的重心，6AC BC ==，那么AG 的长为【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍解答即可．【解答】解：G Q 是等腰直角ABC D 的重心，6AC BC ==，132CD BC \==，由勾股定理得：AD ==23AG \=´=，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．【变式5-2】（2023秋•金山区校级期中）在ABC D 中，点G 是重心，90BGC Ð=°，8BC =，那么AG 的长为　8　．【分析】根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．进而可得AG 的长．【解答】解：如图所示：Q 点G 是ABC D 重心，\点D 是BC 的中点，:2:1AG DG =，90BGC Ð=°Q ，8BC =，142DG BC \==，8AG \=，答：AG 的长为8．故答案为：8．【点评】本题考查了三角形的重心，解决本题的关键是掌握三角形的重心定义和性质．【变式5-3】（2023秋•闵行区期中）边长为2的等边三角形的重心到边的距离是【分析】根据等边三角形的性质、勾股定理求出高AD ，根据重心的性质计算即可．【解答】解：如图，ABC D A 作AD BC ^，交BC 于点D ，则112BD AB ==，2AB =，在Rt ABD D 中，由勾股定理可得：AD ==，则重心到边的距离是为：13=，．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念、等边三角形的性质，掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解题的关键．【变式5-4】（2022秋•青浦区校级月考）如图，G 为ABC D 的重心，2DEG S D =，求ABC S D 的值．【分析】G 为ABC D 的重心，判断出点D 是BC 边的中点，即可判断出12ABD ACD ABC S S S D D D ==；即可得出2133ABG ABD ABC S S S D D D ==，求出48ABG DEG S S D D ==即可得出结论．【解答】解：G Q 点为ABC D 的重心，:2:1AG GD \=，:2:1BG GE =\2AG BG GG GE==AGB DGE Ð=ÐQ ，ABG DEG \D D ∽，48ABG DEG S S D D \==G Q 点为ABC D 的重心，\点D 是BC 边的中点，\12ABD ACD ABC S S S D D D ==；G Q 点为ABC D 的重心，:2:1AG GD \=，\23AG AD =，\2133ABG ABD ABC S S S D D D ==，324ABC ABG S S D D \==．【点评】此题主要考查了三角形的重心的性质和应用以及相似，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：重心就是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1．【考点题型六】平行线分线段成比例（共9小题）【例6】（2023秋•普陀区期中）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BA 延长线一点，CE 交AD 于点F ，下列各式中可能错误的是( )A ．AE FE AB FC =B ．AE AF AB DF =C ．AE AF BE AD =D ．BE CF BC DF=【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【解答】解：//AD BC Q ，\AE FE AB FC=，所以选项A 不符合题意；//CD BE Q ，\AE AF CD DF=，AB CD =Q ，\AE AF AB DF=，所以选项B 不符合题意；//AD BC Q ，AEF EBC \D D ∽，\AE AF BE BC=，AD BC =Q ，\AE AF BE AD=，所以选项C 不符合题意；//CD BE Q ，CDF EBC \D D ∽，\BE CD BC DF=，所以选项D 符合题意．故选：D ．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质，熟练利用相似三角形的性质是解答本题的关键．【变式6-1】（2023秋•浦东新区校级期中）已知线段a 、b ，求作线段x ，使22b x a=，正确的作法是( )A ．B ．C ．D ．【分析】对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a 、b 和2b ，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x ．【解答】解：由题意，22b x a=\2a b b x=，Q 线段x 没法先作出，B \选项错误，根据平行线分线段成比例定理，只有C 符合．故选：C ．【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意找准线段的对应关系．需要注意选项B 看似正确，实际上前面的线段x 没法作出，应该先作出已知线段，所以很多学生容易误选B 导致出错．【变式6-2】（2023秋•崇明区期中）如图，已知，AD 是ABC D 的中线，E 是AD 的中点，则:AF FC =　1:2　．【分析】过点D 作//DH BF ，交AC 于H ，根据平行线分线段成比例定理得到CD CH DB HF =，AF AE FH ED =，根据线段中点的性质得到BD DC =，AE ED =，得到CH HF =，AF FH =，计算即可．【解答】解：过点D 作//DH BF ，交AC 于H ，则CD CH DB HF =，AF AE FH ED=，AD Q 是ABC D 的中线，E 是AD 的中点，BD DC \=，AE ED =，CH HF \=，AF FH =，:1:2AF FC \=，故答案为：1:2．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【变式6-3】（2023秋•宝山区期中）如图，点A 、B 、C 和点D 、E 、F 分别位于同一条直线上，如果////AD BE CF ，且:2:3DE EF =，10AC =，那么BC =　6　．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解答】解：////AD BE CF Q ，\AB DE BC EF=，:2:3DE EF =Q ，10AC =，\1023BC BC -=，解得：6BC =，故答案为：6．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【变式6-4】（2023秋•长宁区校级期中）如图，已知在ABC D 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，//DE BC ，//EF AB ，且:3:5AD DB =，那么:CF CB 等于 5:8　．【分析】根据平行线分线段成比例定理，由//DE BC 得到::3:5AE EC AD DB ==，则利用比例性质得到:5:8CE CA =，然后利用//EF AB 可得到:5:8CF CB =．【解答】解：//DE BC Q ，::3:5AE EC AD DB \==，:5:8CE CA \=，//EF AB Q ，::5:8CF CB CE CA \==．故答案为5:8．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．【变式6-5】（2023秋•松江区校级月考）已知，如图，在ABC D 中，M 为AC 的中点，点E 是AB 上一点，且13AE EB =，联结EM 并延长交BC 的延长线于点D ，求BC CD的值．【分析】过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，得出BC BF CD EF =，AE AM EF MC=，推出AE EF =即可得出结果．【解答】解：如图，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，则BC BF CD EF =，AE AM EF MC=，M Q 为AC 的中点，AM CM \=，AE EF \=，Q13AE EB =，\13EF EB =，\3121BF EF -==，\2BC CD=．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题的关键．【变式6-6】（2023秋•松江区月考）已知：如图，////a b c ，3AG =，2GD =，4DF =，6BG =，求CG ，EC 的长．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【解答】解：////a b c Q ，\AG BG DG CG =，AD BC FD EC=，3AG =Q ，2GD =，4DF =，6BG =，5AD AG GD \=+=，\362CG =，564CG EC+=，4CG \=，\5644EC+=，8EC \=，4CG \=，8EC =．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．【变式6-7】（2023秋•长宁区校级月考）如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，60BAC Ð=°，6AC =，AD 平分BAC Ð，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．【解答】解：（1）AD Q 平分BAC Ð，60BAC Ð=°，30DAC \Ð=°，在Rt ACD D 中，90ACD Ð=°，30DAC Ð=°，6AC =，CD \=在Rt ACB D 中，90ACB Ð=°，60BAC Ð=°，6AC =，BC \=，BD BC CD \=-=，//DE CA Q ，\23DE BD CA BC ==，4DE \=；（2）如图，Q 点M 是线段AD 的中点，DM AM \=，//DE CA Q ，\DF DM AG AM=，DF AG \=，//DE CA Q ，\,EF BF BF BD AG BG BG BC ==，\EF BD AG BC=，BD =Q BC =，DF AG =，\23EF DF =．【点评】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．【变式6-8】（2023秋•浦东新区校级月考）如图：已知在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE 与BD 相交于点O ，CE 与BA 的延长线相交于点G ，已知2DE AE =，10CE =．求GE 、CO 的长．【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，即可得//BG CD ，根据平行线分线段成比例定理，即可得GE AE CE ED =，又由2DE AE =，10CE =，即可求得GE 的长；又由AD BC =，DE EO BC OC=，即可求得CO 的长．【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，//BG CD \．（1分）\GE AE CE ED=．（1分）2DE AE =Q ，10CE =，\102GE AE AE =．（1分）5GE \=．（2分）由题意知：AD BC =．2DE AE =Q ，\23DE BC =．（1分）又//BC DE ，\DE EO BC OC=．（1分）又10EO EC OC OC =-=-，\2103OC OC -=．（1分）6OC \=．（2分）【点评】此题考查了平行四边形的性质与平行线分线段成比例定理．此题图形较复杂，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．。

人教版七年级上册数学教案：图形的相似与等比例线段

本文介绍人教版七年级上册数学教案中有关图形的相似与等比例线段的知识。

一、图形的相似相似是指两个图形形状相同但大小不同的情况。

图形的相似可以通过比例系数来表达，即比较相似图形的对应边长的比值。

在七年级数学教学中，我们需要掌握如下知识点：1. 相似三角形的判定方法1）AAA判定法：两个三角形的对角分别相等，它们就是相似三角形。

2）AA判定法：两个三角形的两角分别相等，它们也是相似三角形。

3）SAS判定法：两个三角形的一个角和两边分别与另一个三角形的一个角和两边成比例，它们是相似三角形。

2. 相似三角形中的比例系数相似三角形中，对应边长的比值称为比例系数。

比例系数可用三角形的任意一对相似边长来表示。

例如：在下图中，ΔABC∽ΔDEF，则有：$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=k$其中，k表示比例系数。

3. 相似三角形的性质1）相似三角形对应角相等。

2）相似三角形对应边成比例。

3）相似三角形的相似比例是确定的。

4）相似三角形的面积之比等于边长比的平方。

二、等比例线段等比例线段是指两条线段长度之比与第三条线段长度之比相等。

等比例线段的比可以表示为：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$在七年级数学教学中，我们还需要了解如下知识点：1. 等比例线段的性质1）等比例线段的比是固定的。

2）等比例线段对应角相等。

3）等比例线段的对边成比例。

2. 等比例线段的判定方法等比例线段的判定方法主要有以下两种：1）共线判定法：判断三个点是否共线，如果共线，则它们的线段成比例。

例如：下图中，点A、点B、点C三点共线，有：$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$2）相似判定法：如果两个三角形相似，且他们对应的边成比例，则可以得出边的长度成比例。

三、图形的应用1. 相似三角形在日常生活中广泛应用，如测量高塔、测量远距离、对远距离物体进行显示或摄影等。

北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形．知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项）（2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。