动点问题专题复习

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(完整word版)初中数学动点问题专题复习及答案

初中数学动点问题练习题1、佇夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B 时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒.1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t .求四边形MNQP的面C积S随运动时间t变化的函数关系式，并写岀自变量t的取值范围.QPAM N B2、如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AD 3，DC 5，AB 4. 2，Z B 45 .动点M 从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D运动•设运动的时间为t秒.（1）求BC的长.（2）当MN // AB时，求t的值.（3）试探究：t为何值时，△ MNC为等腰三角形.3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA// BC,点A的坐标为（6，0），点B 的坐标为（4，3），点C在y轴的正半轴上.动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点.两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）.（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN // OC?⑵设△ CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式, 并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？x(3)连接AC,那么是否存在这样的 t ，使MN 与AC 互相垂直? 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由.4、(河北卷)如图，在 Rt A ABC 中，/ C = 90°, AC = 12, BC = 16，动点P 从点A 出发沿 AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动.P, Q 分别从点A , C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.在运动过程中，△ PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△ PDQ.设运动时间为t (秒). (1 )设四边形PCQD 的面积为y ,求y 与t 的函数关系式； (2) t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？(3) 是否存在时刻t ，使得PD // AB ?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； (4) 通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD 丄AB ?若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内( O W t < 1 ； 1 v t w 2 ； 2v t w 3； 3 v t < 4)；若不存在，请简要说明理由.5、(山东济宁)如图， A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。

中考数学复习之动点问题专项训练卷

中考数学复习之动点问题专项训练卷一．选择题1．如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C＝∠F＝90°，AB＝2，DE＝4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿D⇒E方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则准确反映y与x之间对应关系的图象是（）A．B．C．D．2．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t 的大致图象为（）A．B．C．D．3．如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，设S△DPB＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图（2）所示，则△ABC的面积为（）A．4B．6C．12D．144．如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径（点C与点A不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E，G为半圆中点，当点C在上运动时，设的长为x，CF+DE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题5．过反比例函数图象上一点P0（1，2n）作图象的切线（与图象只有一个交点的直线），交x轴于点A1，过A1作x轴的垂线交反比例函数图象于点P1，过点P1作图象的切线交x 轴于点A2，过A2作x轴的垂线交反比例函数图象于点P2，以此类推，可以找到无数个P 点．（1）当n＝5时，属于整点（横纵坐标均为整数的点的点P有个；（2）当n＝2011时，属于整点的点P有个，最后一个整点P的坐标是．6．如图所示，点P（a，﹣2a）是反比例函数图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为5π，则k的值为．三．解答题7．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．（1）求证：AE＝EF；（2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否成立呢？若成立请证明，若不成立说明理由．8．问题提出：（1）如图，四边形ABCD是正方形，E是DC上一点，连接AE，过点A作AE的垂线交CB的延长线于点F，连接EF，则∠AEF＝；问题探究：（2）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD．∠ABC＝∠ADC＝90°，连接BD，若BD＝m，求四边形ABCD的面积；（用含m的代数式表示）问题解决：（3）如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，AC与BD交于点E，且DE＝4，BE＝2，求四边形ABCD的面积．9．A是直线x＝1上一个动点，以A为顶点的抛物线y1＝a（x﹣1）2+t和抛物线y2＝ax2交于点B（A，B不重合，a是常数），直线AB和抛物线y2＝ax2交于点B，C，直线x＝1和抛物线y2＝ax2交于点D．（如图仅供参考）（1）求点B的坐标（用含有a，t的式子表示）；（2）若a＜0，且点A向上移动时，点B也向上移动，求的范围；（3）当B，C重合时，求的值；（4）当a＞0，且△BCD的面积恰好为3a时，求的值．10．在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点B、A，动点C以每秒2个单位长度的速度从点B向终点O运动，过点C作∠BCD＝∠ABO，交直线AB于点D．设∠BDC＝α°，将CD绕点C顺时针旋转α°得到线段CE，连接DE．设四边形BCED与△ABO的重叠部分面积为S（平方单位），S＞0，点C的运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）求证：四边形BCED是平行四边形；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围．11．【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG 和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM的高度为米．12．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，点B的坐标是（4，0），点C的坐标是（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E 点的坐标．13．如图甲所示，已知直线y1＝﹣x+与x轴和y轴分别相交于点A，B，直线y2＝kx+3﹣2k（k≠0）与y轴相交于点C，两直线交于点P．（1）求△AOB的面积；（2）如图乙所示，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，若点B，C关于直线DP对称，求点C的坐标；（3）当△BCP是以BC为腰的等腰三角形，求直线y2的函数解析式．14．如图，矩形ABCD中，AD＝10，AB＝20，点P在边CD上，且与点C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，PQ的中点为M．（1）求证：△ADP∽△ABQ；（2）若△PCQ的面积为100，求DP长；（3）若BM的长为3，求DP长．。

动点问题专项复习

动点问题专项复习案【专项说明】所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.【重、难点】：将运动问题转化为静止问题，动中取静。

热身训练：1.如图，扇形OAB 动点P 从点A 出发，沿AB 线段BO 、OA 匀速运动到点A ，则OP 的长度y 与运动时间t 之间的函数图像大致为( )2.如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从点A 出发，按照Ａ→Ｂ→Ｃ的方向在ＡＢ和ＢＣ上移动，记ＰＡ＝ｘ，点Ｄ到直线ＰＡ的距离为ｙ，则ｙ关于ｘ的函数图像大致是（）３．如图，在平面直角坐标系中，ＲＴ△ＯＡＢ的顶点Ａ在Ｘ轴的正半轴上，顶点Ｂ的坐标为（３，3），点Ｃ的坐标为（0,21），点Ｐ为斜边ＯＢ上的一动点，则ＰＡ＋ＰＣ的最小值为（）C B PD A Q ４.如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为＿＿＿＿＿５．如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米/秒的速度移动。

如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t 秒表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么：（1）当t 为何值时，三角形QAP 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？例１：如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为(﹣3，0)． (1)求点B 的坐标；(2)已知a=1，C 为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC ．求点P 的坐标； ②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．MN D CB A１.如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t 秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）２.如图，已知抛物线l y=ax2+bx+c 与x轴的一个交点A的坐标为（-1,0），对称轴为直线 x = 2.（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点。

动点问题专题复习PPT课件

或三角比法题都能用三角比法，且用三角比法针对性
更强，更省时间。
三.尝试练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm, 点P由点A出发，沿AC向C匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B匀速运动，速度为1cm/s，
连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) （1）当t为何值时，PQ∥BC?
(2)设△ APQ的面积为y，求y与t之间的函数关系。
A
D
P
Q
B
C
1.2)解：过Q作QN垂直AC于N
相似法
A
D
P
Q
∟
N
B
C
QN4 4t 5
∵△AQN∽ △ABC
QN AQ
BC
AB
QN 5t
8
10
QN 4 4t 5
y 1 2t 4 4 t 2 5
y 4 t 2 4t 5
1.2)另解：
(锐角)
D
C
4
∟
30°
A
7
B 23 E
P
E4
A
7
B
P
当CB=CP时当t=3或11或 7 4 3
或
7 4 3 3
当PB=PC时时， PBC是等腰三角形。
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
脑创新再探新知如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段 DP将线段BC三等分？
D
C
E
A
Hale Waihona Puke tBPD
C
E
A
Bt
P

中考数学专题复习之几何图形动点问题

12，∴AB＝ 12 ＝2 3 ，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2 3，即PD＋ PE的最小值为2 3 .
专题二几何图形动点问题
类型3 同侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B， P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
2 AN
－PN＝PM′－PN≤M′N＝2，延长M′N交BD于点P′，连接P′M，∴
例4题图
当点P运动到P′时，即点M′、N、P′共线时，M′N＝P′M′－P′N＝2，
∴PM－PN的最大值为2.
例4题解图
专题二几何图形动点问题
模型二 “一点两线”型(两动点＋一定点)
【问题】点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．【解决思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．
专题二几何图形动点问题
例5 如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分 ∠AOB，且OP＝6，则△PMN的周长最小值为( C )
213.∴PM－PO的最大值为
13
2.
例3题解图
专题二几何图形动点问题
类型4 异侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．【解决思路】将异侧点转化为同侧点，同类型3即可解决．
专题二几何图形动点问题
例4 (2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的

初中数学动点问题专题复习及答案

7 （杭州）在直角梯形ABCD 中，C 9° ,高CD 6cm （如图1）。

动点P,Q 同时从点B 出发，点P 沿B 代AD,DC 运动到点(3)连接AC,那么是否存在这样的 t ，使MN 与AC 互相垂直? 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由.4、(河北卷)如图，在 Rt A ABC 中，/ C = 90°, AC = 12, BC = 16，动点P 从点A 出发沿 AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点 Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动.P, Q 分别从点A , C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.在运动过程中，△ PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△ PDQ.设运动时间为t (秒).(1 )设四边形PCQD 的面积为y ,求y 与t 的函数关系式；(2) t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？(3) 是否存在时刻t ，使得PD // AB ?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD 丄AB ?若存在，请估计 t 的值在括号中的哪个时间段内( O W t < 1 ； 1 v t w 2 ； 2v t w 3； 3 v t < 4)；若不存在，请简5、(山东济宁)如图， A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。

初一数学行程动点问题复习

行程动点类问题专题复习知识储备1：分类讨论思想例1：数轴上的A点与表示-3的点距离4个单位长度，则A点表示的数为.变1：数轴上的A点表示的数为2，若AB=3，则B点表示的数为.知识储备2：绝对值方程例2：（1）|t-14|=8（2）|(2+t)-(10-2t)|=|t-6|变2：（1）|t+1|=2|t-5|（2）|3t-(-1+t)|=|t-5|知识储备3：动点三要素①起点：最初的位置②方向：向右加（+），向左减（-）③速度：运动距离（s）=速度（v）×时间（t）例3：点A在数轴上对应的数为1，沿数轴向右以每秒2单位速度运动，则7秒后A点对应的数为.变3：若数轴上的点A距离原点3个单位长度，若一个点从点A出发向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时终点所表示的数是.知识储备4：距离表示（要和中点公式区分开）①相对位置确定（已知大小）：距离=大—小相对位置确定（已知左右）：距离=右—左②相对位置不确定（未知大小或左右）：距离=|右—左|=|左—右|例4：点A在数轴上对应数为1，点B在数轴上对应数为3，则A、B之间的距离为.变4：点A在数轴上对应数为-1，点B在数轴上对应数为x，则A、B之间的距离为.知识储备5：中点公式（要和距离公式区分开）A点表示的数为x，B点表示的数为y，则A、B的中点为2yx+.例5：点A在数轴上对应数为3，点B在数轴上对应数为-7，则A、B中点对应的数为.变5：点A在数轴上对应数为3，A、B中点对应的数为-7，则点B在数轴上对应数为.知识储备6：解题步骤①画图：在数轴上表示出点的运动情况，运动方向和速度。

②写点：先表示出动点运动的距离【运动距离（s）=速度（v）×时间（t）】，再表示出动点运动后所对应的数。

【向右运动用“+”表示，向左运动用“—”表示】③表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值。

④列式求解：根据条件列方程和代数式，求值。

中考数学动点问题复习

中考数学动点问题复习中考数学复习（一）动点型问题一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.例1 如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．对应训练1．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．考点二：动态几何型题目（一）点动问题．例2 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．对应训练2．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A． B．C． D．（二）线动问题例3 如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（）A． B．C． D．对应训练3．如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A． B．C．D．（三）面动问题例4 如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．对应训练4．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）考点三：动点综合题动态问题是近几年来中考数学的热点题型，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.（一）因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB 上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图例2 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA 或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例 6如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP ＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图3例1 如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．例4设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．（1）已知直线①122y x=-+；②2y x=+；③22y x=+；④24y x=+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．图1例5 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1例6 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，，，．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图14=MN 1=MA 1>MB x AB=例 7如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1例8 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1课后练习（一）一、选择题1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.52．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C 点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EM B．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大 D．当y增大时，BE•DF的值不变3．如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD 与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P 为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．7.如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为(2，2 3 )，∠BCO＝60°，OH⊥BC于点H。

中考专题复习-动点问题

如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．2.（吉林）如图所示，菱形ABCD 的边长为6厘米，60B ∠=°．从初始时刻开始，点P 、Q 同时从A 点出发，点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动，点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动，当点Q 运动到D 点时，P 、Q 两点同时停止运动，设P 、Q 运动的时间为x 秒时，APQ △与ABC △重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为O 的三角形），解答下列问题：（1）点P 、Q 从出发到相遇所用时间是秒；（2）点P 、Q 从开始运动到停止的过程中，当APQ △是等边三角形时x 的值是秒；（3）求y 与x 之间的函数关系式．C（第23题图）（第28题）如图16，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，AD = 6，BC = 8，33=AB ，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）．（2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积．（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．4..如图，在矩形ABCD 中，BC=20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm （0x ≠），则AP=2xcm ，CM=3xcm ，DN=x2cm ．（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．ABDCPQMNP Q图16（备用图）答案1.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KH AD ==．················································································ 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒== ·························································· 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ················································· 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形∵MN AB ∥∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= ············································································· 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△∴CN CMCD CG =··················································································· 5分即10257t t -=解得，5017t = ································································· 6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t = ·························································································· 7分（第23题图①） A D C B K H （第23题图②） A D C B G MNADCB MN（第23题图③）（第23题图④）AD CBM NH E②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t =······································································· 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠，∴NEC DHC △∽△∴NC EC DC HC =即553t t -=∴258t = ··················· 8分 ③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC =即1102235tt -=∴6017t = 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 9分2．解：（1）6． ······················································································ （1分）（2）8． ································································································· （3分）（3）①当03x <≤时，（第23题图⑤）A DCBH N MF Q 1A B C D Q 2 P 3 Q 3 EP 2 P 1 O2111sin 60222APQ y S AP AQ x x x ==︒==13△1····． ······························ （5分） ②当3x <≤6时，1222222121sin 6021(12-2)2APQ y S AP P Q AP CQ x x ==︒=△=?···=2.2x -+ ···················································································· （7分） ③当69x ≤≤时，设33P Q 与AC 交于点O ．(解法一) 过3Q 作3,Q E CB ∥则3CQ E △为等边三角形．33333212..Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∴===-∴∥△∽△3361,212211(212),33CP OC x OE EQ x OC CE x -∴===-∴==-3333311sin 60sin 6022AQP ACP COP y S S CP AC OC CP ===-△△△-S ··°··°111(6)(212)(6)223x x x =-⨯--·6．2x x =-． ··································································· （10分）（解法二）如右图，过点O 作3OF CP ⊥于点F ，3OG CQ ⊥，于点,G 过点3P 作3P H DC ⊥交DC 延长线于点H ．,.ACB ACD OF OG ∠=∠∴=又33,6,2122(6),CP x CQ x x =-=-=-3312CQP COQ S S ∴=△△3333321,3113211(212)(6)32(6).6COP CP Q S S CQ P H x x x ∴==⨯=⨯--=-△△··又331sin 602ACP S CP AC =△··°1(6)626).x x =-⨯=- 3AOP y S ∴=△3326)6)ACP OCP S S x x =-=--△△262x x =-+- （10分）3．解：（1）y = 2t ；（2）当BP = 1时，有两种情形：①如图6，若点P 从点M 向点B 运动，有 MB = BC 21= 4，MP = MQ = 3，∴PQ = 6．连接EM ，∵△EPQ 是等边三角形，∴EM ⊥PQ ．∴33=EM ．∵AB = 33，∴点E 在AD 上．∴△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分就是△EPQ ，其面积为39．②若点P 从点B 向点M 运动，由题意得 5=t ．P 3OABC DQ 3G H F图6PQ = BM + M Q -BP = 8，PC = 7．设PE 与AD 交于点F ，Q E 与AD 或AD 的延长线交于点G ，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，则 HP = 33，AH = 1．在Rt △HPF 中，∠HPF = 30°， ∴HF = 3，PF = 6．∴FG = FE = 2．又∵FD = 2， ∴点G 与点D 重合，如图7．此时△EPQ 与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG ，其面积为3227．（3）能．4≤t ≤5． 4.解：（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P 与点N 重合时，21222011x x x x +===由，得，（舍去）．1分因为BQ +CM=31)20x x +=<，此时点Q 与点M 不重合．所以1x =符合题意．2分②当点Q 与点M 重合时， 320,5x x x +==由得．此时22520DN x ==>，不符合题意．故点Q 与点M 不能重合．所以所求x1．3分（2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧， ①当点P 在点N 的左侧时，由220(3)20(2)x x x x -+=-+，解得120()2x x ==舍去，．当x =2时四边形PQMN 是平行四边形．5分 ②当点P 在点N 的右侧时，由220(3)(2)20x x x x -+=+-，解得1210()4x x =-=舍去，．当x =4时四边形NQMP 是平行四边形．所以当24x x ==或时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．7分（3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ．由于2x >x ，所以点E 一定在点P 的左侧．若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点F 一定在点N 的右侧，且PE =NF ，8分即223x x x x -=-．解得120()4x x ==舍去，．由于当x =4时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形．10分图7。

初中数学动点问题专项训练复习资料经典例题带解析答案

初中数学动点问题专项训练复习资料经典例题带解析答案1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？1.解：（1）①∵1t=秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ··························· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443QCQ v t ===厘米/秒．······················· （7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒．∴点P 共运动了803803⨯=厘米． ∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ·············· （12分）2、直线364yx =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．2.解（1）A （8，0）B （0，6） ····· 1分（2）86OA OB ==，10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） 1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ···································· 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，,如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ·········· 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ························ 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ································ 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ·················· 3分5、在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．5.解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC =，得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP =90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=，即335t t -=．解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=，即353t t -=．解得158t =．（4）52t =或4514t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．图16P图4图5由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．6.解（1）①30，1；②60，1.5； ……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC. ∴AO =12AC. ……………………8分在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分（备用图）7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形∴3KHAD ==．···························· 1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 454242BK AB =︒== ···················· 2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ················· 3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= ··························· 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△ ∴CN CMCD CG = ····························· 5分即10257t t -= 解得，5017t = ····························· 6分（3）分三种情况讨论：CM（图①）A DCB K H（图②）A DCBG MN①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t =······························· 7分 ②当MNNC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ······························ 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△∴NC ECDC HC =即553t t -= ∴258t = ······························· 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC= ADCBMN（图③）（图④）AD CBM NH E（图⑤）ADCBH N MF即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ······ 9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．10.解：（1）正确． ················· （1分）证明：在AB 上取一点M ，使AMEC =，连接ME ．（2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ························ （5分） AE EF ∴=．······························· （6分）（2）正确． ·················· （7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使ANCE =，连接NE ．············ （8分） BN BE ∴=．45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形，ADFC GE B图1ADFC G E B 图2ADFGB图3AD F C G B M ADFNAD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ······················· （10分） AE EF ∴=．（11分）11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合，则ACD BCD △≌△. 设点C 的坐标为()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，. ···························· 4分（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128yx =-+ ································ 6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤.························ 7分（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. ······················ 9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016.······················· 10分12如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当CE/CD=1/2时，求AM/BN 的值．方法指导：为了求得AMBN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（1）A BCDEFMN类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AMBN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN 的值等于．（用含m n ，的式子表示）12解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．∴MN 垂直平分BE ．∴BMEM BN EN ==，．············ 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221xx =-+．解得54x =，即54BN =． ·············· 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+． ···················· 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ························ 6分∴15AM BN =． ····························· 7分图（2）ABCD EFMN 图（1-1）A BCEFM方法二：同方法一，54BN =． ······················ 3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==． ∵90MNBE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，．在BCE △与NGM △中90E B C M N G B C N G C N G M ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ········ ５分∵114AMAG MG AM =--=5，=．4 ·················· 6分 ∴15AM BN =． ····························· 7分12..如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠A ＝90°，AB ＝12，BC ＝21，AD=16。

中考一轮复习--专题三动点(面)问题

∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.
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1.(2019·江苏苏州)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点
O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当
点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为( C )
A.6
B.8
C.10
D.12
由折叠知△A1DE≌△ADE,
所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1.
故 A1B 长的最小值是 5-1.
类型一
类型二
类型三
类型二图形中的动点问题
例2如图(1),已知正方形ABCD,E是线段BC上一点,N是线段BC延
长线上一点,以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG.
∴在线段 BC 上点 H 的左右两边各有一个点 P 使 PE+PF=9,同理在
线段 AB,AD,CD 上都存在两个点使 PE+PF=9.即共有 8 个点 P 满足
PE+PF=9.
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5.(2019·辽宁锦州)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,M是AD边的中
点,N是AB边上的动点,将△AMN沿MN所在直线折叠,得到△A'MN,连
AC的中点,连接BD,点F是BC边上的动点(不与点B、C重合),过点B
作BE⊥BD交DF延长线于点E,连接CE,下列结论:
①若BF=CF,则CE2+AD2=DE2;
15
②若∠BDE=∠BAC,AB=4,则CE= 8 ;

初中数学专题复习(动点问题)

初中数学专题复习（动点问题）一．一次函数动点问题1．（2020•南宁）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；（2）s关于t的函数解析式为s＝，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，连接AG，当t＝2时，A（﹣2，2），设B（x，x+1），在y＝x+1中，当x＝0时，y＝1，∴G（0，1），∵AB⊥l1，∴∠ABG＝90°，∴AB2+BG2＝AG2，即（x+2）2+（x+1﹣2）2+x2+（x+1﹣1）2＝（﹣2）2+（2﹣1）2，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣，∴B（﹣，）；（2）如图2可知：当t＝7时，s＝4，把（7，4）代入s＝中得：+7b﹣＝4，解得：b＝﹣1，如图3，过B作BH∥y轴，交AC于H，由（1）知：当t＝2时，A（﹣2，2），B（﹣，），∵C（0，3），设AC的解析式为：y＝kx+n，则，解得，∴AC的解析式为：y＝x+3，∴H（﹣，），∴BH＝﹣＝，∴s＝＝＝，把（2，）代入s＝a（t+1）（t﹣5）得：a（2+1）（2﹣5）＝，解得：a＝﹣；（3）存在，设B（x，x+1），分两种情况：①当∠CAB＝90°时，如图4，∵AB⊥l1，∴AC∥l1，∵l1：y＝x+1，C（0，3），∴AC：y＝x+3，∴A（﹣2，1），∵D（﹣2，﹣1），在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，即（x+2）2+（x+1﹣1）2+（x+2）2+（x+1+1）2＝22，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2（舍），∴B（﹣1，0），即B在x轴上，∴AB＝＝，AC＝＝2，∴S△ABC＝＝＝2；②当∠ACB＝90°时，如图5，∵∠ABD＝90°，∠ADB＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝BD，∵A（﹣2，t），D（﹣2，﹣1），∴（x+2）2+（x+1﹣t）2＝（x+2）2+（x+1+1）2，（x+1﹣t）2＝（x+2）2，x+1﹣t＝x+2或x+1﹣t＝﹣x﹣2，解得：t＝﹣1（舍）或t＝2x+3，Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即（﹣2）2+（t﹣3）2+x2+（x+1﹣3）2＝（x+2）2+（x+1﹣t）2，把t＝2x+3代入得：x2﹣3x＝0，解得：x＝0或3，当x＝3时，如图5，则t＝2×3+3＝9，∴A（﹣2，9），B（3，4），∴AC＝＝2，BC＝＝，∴S△ABC＝＝＝10；当x＝0时，如图6，此时，A（﹣2，3），AC＝2，BC＝2，∴S△ABC＝＝＝2．2．（2020•中山区二模）在平面直角坐标系中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点B、A，动点C以每秒2个单位长度的速度从点B向终点O运动，过点C作∠BCD＝∠ABO，交直线AB于点D．设∠BDC＝α°，将CD 绕点C顺时针旋转α°得到线段CE，连接DE．设四边形BCED与△ABO的重叠部分面积为S（平方单位），S ＞0，点C的运动时间为t秒．（1）求AB的长；（2）求证：四边形BCED是平行四边形；（3）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量取值范围．解：（1）∵直线与x轴、y轴分．别交于点B、A，∴A（0，3），B（﹣6，0）．∴OA＝3，OB＝6．∴．（2）证明：∵∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC．由旋转知CD＝CE，∠BDC＝∠DCE．∴BD∥CE，BD＝CE．∴四边形ABCD是平行四边形．（3）∵直线与x轴、y轴分别交于点B、A，∴A（0，3），B（﹣6，0）．∴．如图1，过点D作DH⊥BC于点H，∵BD＝CD，∴．∴．∴当0＜t≤2时，；如图2，当2＜t≤3时，∵，∴．∵DE∥OB，∴∠ADE＝∠ABC．∴．∴．∴DM＝6﹣t．∴EM＝2t﹣（6﹣t）＝3t﹣6．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠E．∴．∴．∴．∴．综上所述，．3．（2020•铁西区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B （0，3），点C是直线y2＝﹣x+5上的一个动点，连接BC，过点C作CD⊥AB于点D．（1）求直线y1＝kx+b的函数表达式；（2）当BC∥x轴时，求BD的长；（3）点E在线段OA上，OE＝OA，当点D在第一象限，且△BCD中有一个角等于∠OEB时，请直接写出点C的横坐标．解：（1）把A（4，0），B（0，3）代入y1＝kx+b，得到，解得：，∴y1＝﹣x+3．（2）∵BC∥x轴，∴点C的纵坐标为3，当y＝3时，3＝﹣x+5，解得x＝，∴C（，3），∵CD⊥AB，∴直线CD的解析式为y＝x+，由，解得，∴D（，），∴BD＝＝．（3）如图，当∠BCD＝∠BEO时，过点A作AM⊥AB交BC的延长线于M，点M作MN⊥x轴于N．∵OB＝3，OE＝OA＝，∴tan∠BEO＝＝2，∵CD⊥AB，AM⊥AB，∴CD∥AM，∴∠AMB＝∠BCD＝∠BEO，∴tan∠AMB＝＝2，∵AB＝＝＝5，∴AM＝AB＝，∵∠AOB＝∠ANM＝∠BAM＝90°，∴∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠MAN＝90°，∴∠MAN＝∠ABO，∴△ABO∽△MAN，∴＝＝，∴＝＝，∴AN＝，MN＝2，∴M（，2），∴直线BM的解析式为y＝﹣x+3，由，解得x＝，∴点C的横坐标为，当∠CBD＝∠BEO时，同法可得点C的横坐标为．4．（2020•大东区二模）如图，Rt△OAB的直角边OA在x轴上，边OB在y轴上，A的坐标为（6，0），B的坐标为（0，3），在第一象限有一点C的坐标为（3，4）．（1）求直线AB的函数表达式；（2）P是x轴上一动点，点P在运动过程中，是否存在某个位置，使得∠PBO＝∠BOC？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若动点P在x轴上从点（﹣6，0）出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，过点P作直线l垂直于x轴，设运动时间为t．请直接写出当t为何值时，在直线l上存在点M，在直线AB上存在点Q．使得以OC 为一边，O，C，M，Q为顶点的四边形为菱形．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵点A（6，0），B（0，3）在直线AB上，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；（2）如图1，当点P在x轴负半轴上时，∵点C（3，4），∴直线OC的解析式为y＝x，∵∠PBO＝∠BOC，∴BP∥CO，∵B（0，3），∴直线BP的解析式为y＝x+3，令y＝0，则x+3＝0，∴x＝﹣，∴P（﹣，0），当点P在x轴正半轴上时，由对称性知，P'（，0），即点P的坐标为（﹣，0）或（，0）；（3）如图3，由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+3，∵C（3，4），∴OC＝5，设Q（m，﹣m+3），①以OC与CQ为邻边时，CQ＝OC＝5，∴CQ＝＝5，∴m＝﹣2或m＝6，∴Q1（﹣2，4），Q3（6，0），∵点C（3，4）向左平移3﹣（﹣2）＝5个单位到点Q，∵（﹣2，4），∴点O也向左平移5个单位得到点M1（﹣5，0），∴t＝﹣5﹣（﹣6）＝1，∵点C（3，4）向右平移6﹣3＝3个单位，再向下平移4﹣0＝4个单位到点Q3，∴点O也向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到点M3（3，﹣4），∴t＝3﹣（﹣6）＝9，②以OC与OQ为邻边时，OQ＝OC＝5，∴＝5，∴m＝或m＝，∴Q2（，），Q4（，），∵点O向左平移个单位，再向上平移个单位到点Q2（，），∴点C（3，4）也向左平移个单位，再向上平移个单位到点M2（，），∴t＝﹣（﹣6）＝，∵点O向右平移个单位，再向上个单位到Q4，∴点C（3，4）也向右平移个单位，再向上平移个单位到点M4（，），∴t＝﹣（﹣6）＝，即t的值为1或9或或．5．（2020•沈河区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B（2，3），点C（3，）．（1）求直线AB的解析式；（2）点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作直线PM∥y轴，交直线AB于点M，交直线BC于点N（P，M，N三点中任意两点都不重合），当MN＝MP时，求点M的坐标；（3）如图2，取点D（4，0），动点E在射线BC上，连接DE，另一动点P从点D出发，沿线段DE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段EB以每秒个单位的速度运动到终点B，当点E的坐标是多少时，点P 在整个运动过程中用时最少？请直接写出此时点E的坐标．解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A的坐标是（﹣1，0），点B（2，3），∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）∵点B（2，3），点C（3，），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∵点P（m，0），PM∥y轴，交直线AB于点M，交直线BC于点N，∴M（m，m+1），N（m，﹣m+4），∵MN＝MP，∴m+1＝（﹣m+4）﹣（m+1），解得：m＝，∴M（，）；（3）如图2中，作BT∥AD，过点E作EK⊥BT于K．设直线BC交x轴于J．∵直线BC的解析式为y＝﹣x+4，∴tan∠BJO＝，∵BT∥OJ，∴∠BJO＝∠TBJ，∴tan∠TBJ＝tan∠BJO＝，∴＝，设EK＝m，BK＝2m，则BE＝m，∴EK＝BE，∵点P在整个运动过程中的运动时间t＝+＝DE+BE＝DE+EK，∴当D，E，K共线，DE+EK的值最小，此时DE＝DJ＝2，EK＝BK＝1，∴点P在整个运动过程中的运动时间的最小值为2+1＝3秒，此时E（4，2）．二．反比例函数动点问题6．（2020•五华县模拟）如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为y＝﹣（x＜0）．解：连接OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，设A点坐标为（a，），∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y＝的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE＝90°，∵∠DOC+∠DCO＝90°，∴∠DCO＝∠AOE，∵在△COD和△OAE中∴△COD≌△OAE（AAS），∴OD＝AE＝，CD＝OE＝a，∴C点坐标为（﹣，a），∵﹣•a＝﹣4，∴点C在反比例函数y＝﹣图象上．故答案为y＝﹣（x＜0）．7．（2020•金华二模）如图，反比例函数y＝（x＞0），点A（a，0）是x轴上的动点．B（0，4），以AB为边在AB右侧作正方形ABCD．（1）当a＝4时，判断点D是否在反比例函数图象上？请说明理由；（2）当点D落在反比例函数y＝（x＞0）图象上时，求a的值；（3）在（2）的条件下，沿水平方向平移正方形，使正方形的一个顶点落在反比例函数图象上时，求点A的平移距离．解：（1）如图1，过点D作DE⊥x轴于E，∴∠AED＝90°＝∠BOA，∵a＝4，∴A（4，0），∴OA＝4，∵B（0，4），∴OB＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠OAB+∠DAE＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠OBA＝EAD，∴△AOB≌△DEA（AAS），∴DE＝OA＝a＝4，AE＝OB＝4，∴OE＝OA+AE＝8，∴D（8，4），当x＝8时，y＝≠4，∴点D不在反比例函数y＝（x＞0）的图象上；（2）由（1）知，△AOB≌△DEA（AAS），∴DE＝OA＝a，AE＝OB＝4，∴OE＝OA+AE＝a+4，∴D（a+4，a），∵点D落在反比例函数y＝（x＞0）图象上，∴a（a+4）＝5，∴a＝﹣5或a＝1，∵点D在双曲线上，∴a＞0，即a＝1；（3）∵点B（0，4），当y＝4时，x＝，∴正方形ABCD向右平移个单位，∴点A向右平移个单位，即点A的平移距离为．同（2）的方法得，C（4，5），当y＝5时，x＝＝1，而4﹣1＝3，∴正方形ABCD向左平移3个单位，∴点A向左平移3个单位，即点A的平移距离为3．即点A的平移距离为3或．8．（2020•历下区三模）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于A、B两点，点A的坐标为（1，2），点C为反比例函数图象第一象限上的一动点，连接OC、AC、BC．（1）求正比例函数与反比例函数的表达式；（2）作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，且OA＝OC时，求直线BC的函数表达式；（3）当△AOC是以OA为直角边的直角三角形时，求点C的坐标．解：（1）将点A的坐标分别代入y＝kx和y＝并解得：k＝2，m＝2，故正比例函数与反比例函数的表达式分别为：y＝2x，y＝①；（2）∵反比例函数的图象关于原点成中心对称，故点B（﹣1，﹣2），∵反比例函数的图象关于直线y＝x对称且OA＝OC，∴点A、C关于直线y＝x对称，过点C（2，1），设直线BC的表达式为：y＝tx+s，则，解得，故直线BC的表达式为：y＝x﹣1；（3）如下图，延长AC交x、y轴于点M、N，直线AB的表达式为：y＝2x，则tan∠AOC＝2，当△AOC是以OA为直角边的直角三角形时，即∠OAC＝90°，则tan∠ANO＝，故设直线AC的表达式为：y＝﹣x+r，将点A的坐标代入上式并解得：r＝，故直线AC的表达式为：y＝﹣x+②，联立①②并解得：x＝1（舍去）或4，故点C（4，）．9．（2021•禹州市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（1，0），顶点C的坐标为（4，2），对角线AC∥x轴，边AB所在直线y1＝ax+b与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A，E 两点．（1）求y1和y2的函数解析式；（2）当y1＞y2时，求x的取值范围；（3）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请直接写出点P的坐标．解：（1）连接BD，∵四边形ABCD为菱形，AC∥x轴，由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，则点A的坐标为（﹣2，2），将点A、B的坐标代入直线的表达式得，解得，故y1＝﹣x+①；将点A的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝﹣4，则y2＝﹣②；（2）联立①②得：﹣x+＝﹣，解得x＝﹣2（舍去）或3，则点E（3，），观察函数图象知，当y1＞y2时，则x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜3；（3）设点P的坐标为（x，0），由点P、A、C的坐标得：AC2＝（4+2）2＝36，PA2＝（x+2）2+4，PC2＝（x﹣4）2+4，由题意得：AC2＝PA2+PC2，即36＝（x+2）2+4+（x﹣4）2+4，解得x＝1±，故点P的坐标为（1+，0）或（1﹣，0）．10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．解：（1）由消去x得到，x2﹣2ax+k＝0，由题意△＝0，∴4a2﹣4k＝0，∴k＝a2，解方程组得到，，∴B（a，a）．（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO＝∠QPA，设Q（m，），∵B（1，1），B′（1，﹣1），∴PB+PQ＝PB′+PQ＝B′Q＝＝＝＝，∵1＞0，∴当m﹣＝1时，PB+PQ的值最小，最小值为．②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．由题意，B（a，a），A（2a，0），∴OH＝BH＝AH＝2a，∵OM⊥PB，BH⊥OA，∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，∵∠OJH＝∠BJK，∴∠HOJ＝∠HBP，∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，∴△OHJ≌△BHP（ASA），∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，AP＝BJ，∵∠AHB＝90°，HB＝HA，∴∠PAM＝∠JBM＝45°，∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，∴∠BJM＝∠APM，∴△BJM≌△APM（ASA），∴JM＝PM，∴OM﹣PB＝OJ+JM﹣BP＝JM＝PM，∴＝1．三．二次函数动点问题11．（2020•广西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，∴0＝x2﹣2x﹣3，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴点A（﹣1，0），∴AB＝4，设点P（p，p2﹣2p﹣3），∵△PAB的面积为8，∴×4×|p2﹣2p﹣3|＝8，∴p2﹣2p﹣3＝4或p2﹣2p﹣3＝﹣4，∴p1＝2+1，p2＝﹣2+1，p3＝1，∴点P坐标为（2+1，4）或（﹣2+1，4）或（1，﹣4）；（3）如图1，过点P作PE⊥x轴，交BC于E，∵点B（3，0），C（0，﹣3），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设点P（a，a2﹣2a﹣3），则点E（a，a﹣3），∴PE＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴S△BCP＝×（﹣a2+3a）×3＝﹣（a﹣）2+，∴当a＝时，S△BCP有最大值，即点P到直线BC的距离最大，此时点P（，﹣），设点N（1，n），点Q（m，m2﹣2m﹣3），若CP为边，CN为边时，则CQ与NP互相平分，∴，∴m＝，∴点Q（，﹣），若CP为边，CQ为边时，则CN与PQ互相平分，∴＝，∴m＝﹣，∴点Q（﹣，﹣），若CP为对角线，则CP与NQ互相平分，∴，∴m＝，∴点Q（，﹣），综上所述：点Q坐标为（，﹣）或（﹣，﹣）或（，﹣）．12．（2020•兰州）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；（2）判断△ABD的形状，并说明理由；（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），点C（0，﹣4），∴，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣4．（2）△ABD是直角三角形，理由：∵B（﹣2，m）在y＝x2﹣x﹣4，∴B（﹣2，﹣1），∴直线OB的解析式为y＝x，由，解得（即点B）或，∴D（8，4），∵A（4，﹣4），∴AB＝＝3，AD＝＝4，BD＝＝5，∴BD2＝AB2+AD2，∴∠BAD＝90°，∴△ABD是直角三角形．（3）结论AG＝BD．理由：如图1中，连接AG，交EF于H．∵四边形AEGF是矩形，∴AH＝HG，EH＝FH，∵EF∥BD，∴＝＝1，∴AE＝BE，∴E（1，﹣），∵＝＝，EH＝FH，∴BG＝GD，∵∠BAD＝90°，∴AG＝BD．（4）如图2中，设EF的中点为K，P（x，y），连接PK．∵E（1，﹣），F（6，0），∴K（，﹣），EF＝＝，∵∠EPF＝90°，∴点P在以EF为直径的⊙K上运动，∵△PQH是等腰直角三角形，∠PQH＝90°，∴∠QHP＝45°，∵抛物线的顶点H（2，﹣5），∴直线PH的解析式为y＝x﹣7，∵PK＝EF，∴（x﹣）2+（y+）2＝（）2，（y+7﹣）2+（y+）2＝（）2，解得y＝﹣4或﹣，∴Q（2，﹣4）或（2，﹣）．13．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，解得，∴y＝x2+2x﹣3．（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，解得，∴y＝﹣x﹣3，∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵a＝﹣1＜0，∴此函数有最大值．又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，∴当m＝﹣时，MN有最大值．②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，∴﹣m2﹣3m＝﹣m，解得m＝﹣3+或0（舍弃）∴MN＝3﹣2，∴CQ＝MN＝3﹣2，∴OQ＝3+1，∴Q（0，﹣3﹣1）．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3m＝﹣m，解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），∴MN＝CQ＝3+2，∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，∴Q（0，3﹣1）．当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．14．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．（1）求抛物线的解析式；（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，∴B（4，0），A（0，﹣4），把B（4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）如图1中，当点M在线段DF的上方时，由题意得，D（t，t﹣4），则M（t，﹣t2+t+4），∴DM＝﹣t2+8，在Rt△MEF中，tan∠EMF＝＝＝，∴MF＝3，∵DF＝EF＝4，∴DM＝7，∴﹣t2+8＝7，∴t＝或﹣（舍弃）．当点F在点M上方时，可得DM＝1，即﹣t2+8＝1，∴t＝或﹣（舍弃），综上所述，t的值为或．（3）如图2中，过点N作NT∥y轴于T．由题意得D（t，t﹣4），则M（t，﹣t2+t+4），N（t，﹣t2+t+4），T（t，﹣t2+t+2），F（t，t）∵NT∥FM，∴∠PNT＝∠PFM，∵∠NPT＝∠MPF，PN＝PF，∴△NPT≌△FPM（ASA），∴NT＝MF，∴﹣t2+t+4﹣（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4﹣t，解得t＝或﹣（舍弃），∴t的值为．15．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解：（1）如图1，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∵△ABC的面积为2，即，∴，∴OC＝1，∴C（0，1），将C（0，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a＝1，∴a＝﹣，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+1；（2）分两种情况：①当PQ在x轴的上方时，如图2，设点P的纵坐标为m，当y＝m时，﹣x2+x+1＝m，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），∵矩形PGHQ为正方形，∴1+﹣（1﹣）＝m，解得：m1＝﹣6﹣2（舍），m2＝﹣6+2；②当PQ在x轴的下方时，m＜0，同理可得m＝﹣6﹣2；∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，∵A（﹣1，0），设AD的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴AD的解析式为：y＝（﹣）x﹣，当x＝2时，y＝﹣n+2﹣n+1＝﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN＝3﹣n，同理得直线BD的解析式为：y＝（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK＝n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK＝3EN，∴3EN+FN＝OK+FN＝n+1+3﹣n＝4，∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．。

七年级数学上册《动点问题》专项练习带解析,给孩子期末复习!

七年级数学上册《动点问题》专项练习带解析，给孩子期末复习！1．已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B之间的距离记作AB，定义：AB=|a﹣b|．（1）求线段AB的长．（2）设点P在数轴上对应的数x，当PA﹣PB=2时，求x的值．（3）M、N分别是PA、PB的中点，当P移动时，指出当下列结论分别成立时，x的取值范围，并说明理由：①PM÷PN的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．解：（1）∵|2b﹣6|+（a+1）2=0，∴a=﹣1，b=3，∴AB=|a﹣b|=4，即线段AB的长度为4．（2）当P在点A左侧时，|PA|﹣|PB|=﹣（|PB|﹣|PA|）=﹣|AB|=﹣4≠2．当P在点B右侧时，|PA|﹣|PB|=|AB|=4≠2．∴上述两种情况的点P不存在．当P在A、B之间时，﹣1≤x≤3，∵|PA|=|x+1|=x+1，|PB|=|x﹣3|=3﹣x，∴|PA|﹣|PB|=2，∴x+1﹣（3﹣x）=2．∴解得：x=2；（3）由已知可得出：PM=1/2PA，PN=1/2PB，当①PM÷PN的值不变时，PM÷PN=PA÷PB．②|PM﹣PN|的值不变成立．故当P在线段AB上时，PM+PN=1/2（PA+PB）=1/2AB=2，当P在AB延长线上或BA延长线上时，|PM﹣PN|=1/2|PA﹣PB|=1/2|AB|=2．2．如图1，已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．（1）PA=|x+1|；PB=|x﹣3|（用含x的式子表示）（2）在数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P以1个单位/s的速度从点D向右运动，同时点A以5个单位/s的速度向左运动，点B以20个单位/s的速度向右运动，在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，问：AB-OP/MN的值是否发生变化？请说明理由．解：（1）∵数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x，∴PA=|x+1|；PB=|x﹣3|（用含x的式子表示）；故答案为：|x+1|，|x﹣3|；（2）分三种情况：①当点P在A、B之间时，PA+PB=4，故舍去．②当点P在B点右边时，PA=x+1，PB=x﹣3，∴（x+1）（x﹣3）=5，∴x=3.5；③当点P在A点左边时，PA=﹣x﹣1，PB=3﹣x，∴（﹣x﹣1）+（3﹣x）=5，∴x=﹣1.5；（3）AB-OP/MN的值不发生变化．理由：设运动时间为t分钟．则OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，AB=OA+OB=25t+4，AP=OA+OP=6t+1，AM=1/2AP=1/2+3t，OM=OA﹣AM=5t+1﹣（1/2+3t）=2t+1/2，ON=1/2OB=10t+3/2，∴MN=OM+ON=12t+2，∴AB-OP/MN=25t+4-t/12t+2=2，∴在运动过程中，M、N分别是AP、OB的中点，AB-OP/MN的值不发生变化．3.如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB=14．（1）若点P在线段AB上，且AP=8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①PA-PB/PC的值不变；②PA+PB/PC的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．解：（1）∵AP=8，点M是AP中点，∴MP=1/2AP=4，∴BP=AB﹣AP=6，又∵点N是PB中点，∴PN=1/2PB=3，∴MN=MP+PN=7．（2）①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，均有MN=1/2AB=7．（3）选择②．设AC=BC=x，PB=y，①PA-PB/PC=AB/x+y=14/x+y（在变化）；PA+PB/PC=2x+2y/x+Y（定值）4．如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s 的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD=2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ=PQ，求PQ/AB的值．（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D 点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，结论：①PM﹣PN的值不变；②MN/AB的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值．解：（1）根据C、D的运动速度知：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP，∴点P在线段AB上的1/3处；（2）如图：∵AQ﹣BQ=PQ∴AQ=PQ+BQ；又AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=1/3AB,∴PQ/AB=1/3当点Q'在AB的延长线上时AQ'﹣AP=PQ'所以AQ'﹣BQ'=3PQ=AB所以PQ/AB=1/3；（3）②PQ/AB的值不变理由：如图，当点C停止运动时，有CD=1/2AB，∴CM=1/4AB∴PM=CN-CP=1/4AB-5∵PD=2/3AB-10∴PN=1/2(2/3AB-10)=1/3AB-5∴MN=PN-PM=1/2AB当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以，MN/AB=(1/12AB)/AB=1/12。

动点问题专题复习(通山县实验中学)

3. 在整个运动过程中，经历了多少时间？ 4. y是x的什么函数，需要分几种情况讨论，如何分类？ 5. 画出图形，表达线段的长，根据图形的几何特征列出关系式.
1. 求y与x之间的函数关系式；
1.当0≤ x＜4 时
2.当4≤ x＜5 时
3, 当5≤x＜9 时
4.当9≤x＜13 时
5.当13≤x≤14 时
E
C
Q
D

1 2 19 x 2x 2
35
5.当13≤x≤14 时
P A E (Q) D
B
Q
C
1.当0≤ x＜4 时
P
y
E D
1 2 1 2
xx
1 2
x
2
A
B
P
C
Q
2.当4≤ x＜5 时
A E D
y
x x
B
P
C
3, 当5≤x＜9 时
A
B
y =
Q
S梯形ABCQ－S△ABP－S△PCQ
小结：通过上例的学习，你认为解决动点问题需要哪些步骤？
解题策略
1.读图
研究基本图形；
2.分类
关注起点﹑终点﹑转折点, 确定范围；
3.列关系式
表达线段的长，根据几何特征建等式.
应用检测：
• 如图, 在梯形ABCD中, AD BC, AD=6, BC=16, E是BC的中点. 点P以每秒 1个单长度的速度从点A出发, 沿AD向点D运动, 点Q同时以每秒2个单位速度从C出发, 沿C 方向向点B运动, 点P停止运动时, 点Q也随之停止运动, 当运动时间t=________秒时, 以点 P, Q, E, D为顶点的四边形是平形四边形 .

专题复习动点问题

C B E A Dyx C B EA D专题复习动点问题一、几何计算与从几何图形中求函数解析式的关系：几何计算是从几何图形中寻找基本图形，并利用性质、定理等列出有关已知量与未知量之间的关系式，从而求得未知量的值；而从几何图形中求函数解析式的关系类似于几何计算，即从几何图形中寻找基本图形，并利用性质、定理等列出有关已知量与两个变量之间的关系式，从而求得两个变量之间的函数解析式。

主要区别就是“静”与“动” 。

1. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D 为AB 上的一点，点E在AC 上，DE ⊥AB ，且AD=2。

求AE 的长。

2. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D 为AB 上的一动点，点E 在AC 上，设BD=x ，CE=y 。

求y 与x 之间的函数解析式，并写出它的定义域。

3. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D 为AB 上的一动点，以点D 为圆心，DB 为半径作圆。

设BD=x ，求当x 取何值时，直线与⊙D 相交、相切、相离？4. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D 为AB 上的一动点，DE ⊥AB 交AC 于点E ，以点D 为圆心，DB 为半径作圆，以点E 为圆心，EC 为半径作圆，设BD=x 。

求当x 取何值时，⊙D 与⊙E 相切？BBCBDAMCBDAME(2)(1)二、动点问题的分类讨论图形通过平移、旋转、翻折三种基本运动后得到的图形大小、形状都不改变，只是位置发生变化，而点的运动将产生许多变量，在点的运动过程中，位置关系、图形的形状都将有可能发生变化，因此动点问题中经常需要分类讨论。

5. 如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=8cm ，BC=16cm ，点P 从A 点出发，以每秒1cm 的速度沿AB 向点B 移动；点Q 从点B 出发，以每秒2cm 的速度沿边BC 向点C 移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发。

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3
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
∟
P
A
7
B
或
4 7 3 3
当PB=PC时时，

PBC是等腰三角形。
如图：已知
ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段 DP将线段BC三等分？
D C
E
A
t
B
P
D
C
E
A
B
t
P
如图，在梯形ABCD中，AD ∥ BC，AD 3，DC 5，AB 4 2，∠B 45．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN∥AB时，求t的值. A D （3）试探究：t为何值时，⊿MNC为等腰三角形．
四、小结：
• 本节课你学到了什么？
积累就是知识
收获一：化动为静
收获二：分类讨论收获三：数形结合收获四：构建函数、方程模型
• 五.巩固练习
• 如图，已知抛物线对称轴为直线x=4，且与x轴交于A、B两点（A 在B左侧），B点坐标为（6,0），过点B的直线与抛物线交于点C（3， 2.25）. • （1）写出点A坐标.（2）若点 M在线段 AB上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动，同时，点 N在射线 BC上以每秒2个单位长度的速度从 B向C 运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为 t 秒，当 t为何值，△MNB为等腰三角形，写出计算过程.
D C
P
A
4
B
t
7
t
1、如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (2)若点P从点A沿射线AB运动，速度仍是1cm/s。当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
D C
D C
P
A
4
B
A
4
7
B
P
7
D
当BP=BC时 (钝角)
4
30°
当BP=BC时 (锐角)
C
D
E
C
4
P
A
7
B
2 3
E
当CB=CP时当t=3或11或 7 4
总结：直角三角形能用相似解决的问题都能用三角比法，且用三角比法针对性
更强，更省时间。
三.尝试练习
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm, 点P由点A出发，沿AC向C匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由AB中点D出发，沿DB向B匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) （1）当t为何值时，PQ∥BC?
A
D
P
Q
B C
1.2)解：过Q作QN垂直AC于N
相似法
A
∵△AQN∽ △ABC
QN BC AQ AB

D
P
∟
QN 5t 8 10
4 t 5
Q
B
QN 4
N
C
QN 4
4 t 5
1 4 y 2t 4 t 2 5 4 2 y t 4t 5
D C
则PB=BC
A
30°
t 7
4
P
7-t
B
∴7-t=4
∴t=3
动点问题首先确立定点、动点的位置和方向其次画出动态图形草图，标示记号最后以静制动，动中取静确立等式
如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30° (2)若点P从点A沿射线 AB运动，速度仍是1cm/s. 当t为何值时，△PBC为等腰三角形？
•
x=4
专题复习---动点问题（1）
• 动态几何的三种类型：
点动问题、线动问题、形动问题
动点问题ห้องสมุดไป่ตู้
1、如图：已知平行四边形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
(1)点P从点A沿AB边向点B运动，速度为1cm/s。
若设运动时间为t(s)，连接PC,当t为何值时，△PBC为等腰三角形？若△PBC为等腰三角形
A
D
P
Q
B C
1.1)解：
若PQ∥BC
A
则△ AQP～△ABC
AQ AP AB AC
D
Q
B
P
C
5t 2t 10 6 15 t 7
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm， BC=8cm， • 点P由点A出发，沿AC向C运动，速度为2cm/s，同时 • 点Q由AB中点D出发，沿DB向B运动，速度为1cm/s， • 连接PQ，若设运动时间为t(s) (0＜t ≤3) (2)设△ APQ的面积为y，求y与t之间的函数关系。
1.2)另解：
三角比法
在RtABC中，C 90
SinA
A
8 10

D
P
∟
QN 8 AQ 10
Q
B

C
4 QN 4 t 5
QN 8 5t 10
还可以怎么做？
1 4 y 2t 4 t 2 5 4 2 y t 4t 5
∴
EC 5 t ②NM=NC cos c NC t 25 ∴ t 8
10 t 3
A
D N M HE C
3 = 5
B （图①） A
D N HM
1 ③MN=MC t 60B FC 3 2 cos C ∴ t MC 10 2t 5 17
用三角形相似
F C
（图②）
或三角比法
A
D A D
N
N
B
C
M
C
B
K （图①）
C H
B
G （图②）
M
（1）如图①
50 （2）由 △MNC ∽△GDC 求出 t 17
，求出ＢＣ=10
分析第3问：当M、N运动到ｔ秒时， CN t，CM 10 2t．若⊿MNC为等腰三角形，须分三种情况讨论：
①CM=CN
t 10 2t