统计学第9讲 第9章 推论统计导论
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第9章 推论统计导论
9.1 抽样问题 问题1：你是一位临床心理学者，你想在某一社区进 行心理治疗，你希望了解什么？ 答案：社区的情绪问题和发病率。 问题2：如果你感到身体不适，医生想给你验血，医 生想了解什么？ 答案：医生想了解你是否患了某种疾病。 以上问题的共同点是什么？ 答案：你想知道某总体的参数，通过参数得到结论
我们关心的“总体”主要是指一个假设整体。在典 型的实验情境中，真实的总体是不存在的。而我们 想得到的是假设这个总体存在时，总体的一些性质 。 例如我们随机抽取一组病人(样本)服用某种药物， 我们希望什么？
我们希望试验结果可以给可能使用这种药物的每一 个人。当然这里是假想的总体。 因为我们无法对总体进行详细研究，只有根据样 本统计量得出关于总体参数的结论。几乎所有的 研究都是对有限的个体进行观察和测量，从中了 解总体的情况。
人们往往认为Ⅱ类错误容易接受，因为没有证明 自变量的影响，但是这样做也可能产生一些负面影响 。例如，由于Ⅱ类错误人们很可能放弃一种实际有意 义的研究结论。降低Ⅱ类错误的最可靠方法是增大样 本容量。
需要牢记的术语 总体 样本 抽样分布 二项分布
显著性水平 α水平
虚无假设H0 备择假设H1 双尾概率值 Ⅱ类错误(β错
方向性假设 无方向性假设 单尾概率值 误)
Ⅰ类错误 (α错误)
9.3 统计假设的检验----显著性水平
图9-2 从三个 不同总体中 抽取样本量 分别为2、4 、30时的抽 样分布，无 论总体分布 怎样，随着 样本量增加 ，平均数的 分布都接近 正态
例题：假设一个完美的硬币，投掷10次，请预测： “不是5次正面5次反面的概率”是多少？
0.28 0.24 0.2 0.246 0.205 0.205
1. 虚无假设(H0) 表示一个或多个总体参数的假设值 2. 备择假设(H1) 表示总体参数不是虚无假设中的值， 而是另有其值 H0:μ=4.0 (虚无假设) H1:μ≠4.0 (备择假设) H1可以是无方向的(nondirectional) 或双尾(two-tail) 假设。 H1也可以是有方向的(directional) , 不仅表示参数值 不等于H0假设中的值，还说明差异的方向。 H0:μ≤4.0 (虚无假设) H1:μ＞4.0 (备择假设)
9.4 统计假设的检验 9.4.1 虚无假设和被择假设 我们研究的目的：由样本推论总体 我们希望：如果样本平 均数=6.0，那么总体平 均数必定为6.0 我们只能说：如果 μ=4.0，那么得到一个 样本平均数不同于总 体的概率是多大？
X 6
总体
样本
假定μ=4.0
总体
样本
X 6
推论统计的两种假设
P(9次正面)+P(10次正面)+P(1次正面)+P(0次正面)= 0.010 +0.001 + 0.010 +0.001 =0.02
投掷硬币10次，出现9次正面这种罕见事件的双尾概 率大约=0.02。如果选择α=0.05，我会认为这个结果 是由非偶然因素造成的（硬币有偏向）。 如果选择α=0.01，则我们不能够判定是偶然所致。 注意：选择什么样的α水平，在研究设计阶段就要确 定下来。我们不能先进行一项研究，然后分析结果 ，得到一个概率值后再去确定α水平。
3. H0：μ=4.0，α=0.01，双尾检验，计算得双尾p=0.1 。统计结论：因为p>0.01，所以无统计学意义，不拒 绝H0。假设虚无假设实际为假，则所犯错误为( )错误。 4. H0：μ=4.0，α=0.05，双尾检验，计算得双尾 p=0.06。统计结论：因为p>0.05，所以无统计学意义 ，不拒绝H0。假设虚无假设实际为真，则所犯错误 为( )错误。
9.2 抽样分布的概念 从总体中随机抽取N个样本，根据样本统计量推论总 体参数。这些样本统计量可能出现的所有情况，称 为“抽样分布”。每一种统计量都有抽样分布，例 如平均数、标准差、方差、比例、中位数等。 例如，从一个μ=4，σ=1的总体中随机抽取一个相 同容量的样本，大多数的样本平均数会接近4.0， 也可能有极个别的偏离4.0，异常平均数的大小取 决于样本大小。
随机抽取的个 体的分数分布
样本平均数与 总体平均数相 差较大
X XX XXX XXXX
X XX XXX XXXX
N=2
样本平均数与总 体平均数相差较 小
X X X X XX X X XX XX
N=20
X X X X X X X
X X X X
样本平均数与 总体平均数相 差小
N=40
为什么抽样分布如此重要？ 答案：一旦知道样本统计量的抽样分布，你就可以 作出各种不同的假设检验。 例题：调查某地化工厂排放污水对环境所致影响， 已知附近的野生海龟平均体重为μ=4，σ=1，理论 上大约65%的海龟在3-5磅之间。
当评估一项研究结果时，无论备择假设是否有方向， 应该使用单尾概率值(one –tail probability value )
9.4.2 间接证明的思想 如果将一枚硬币投掷10次、1000次，如果出现5次或 500次正面，我们能‘证明’它是可靠或无偏向吗？ 只能说：我们没有理由拒绝”硬币是可靠的”这一假 设 同样，我们能否证明备择假设正确与否呢？ 在一张纸上画两条直线，比较其长度是否存在差异？ 你该怎么回答呢？ 答：“它们不一样长，长度一定存在差异” 通过拒绝长度相等(虚无假设)，你可断定存在差异
答：可以知道，只有再次研究，如果得到类似结果 ，可肯定没有犯Ⅰ类错误。
需要指出的是，科学研究领域中，重复研究是一个 薄弱环节，人们对研究持有一种普遍观点，即：一 个好的研究必须与众不同并且对科学文献有所建树 。为此，科研人员独自进行研究设计以重复验证研 究结果时，其结果通常不对外公开。
小结
统计的基本问题就是通过样本统计量估计总体参数 在推论统计中，常常需要将获得值与期望值进行 比较。期望值是由恰当的抽样分布得出的，而抽 样分布是样本统计量取值的理论概率分布。我们 知道怎样通过抽样分布来解释样本统计量，而且 还了解了样本大小对抽样分布的影响。小样本往 往与总体参数差别比较大，样本越大，样本平均 数越接近总体平均数。 每个实验中都包含两个完全对立和排斥的假设。 虚无假设和备择假设。
如果实验结果十分不寻常，或者说是一个稀有事件， 我们就拒绝虚无假设。否者就不拒绝虚无假设。我们 决不能说“证明”了虚无假设。 拒绝一个真实的虚无假设所犯的错误，称为Ⅰ类错误 接受一个虚假的虚无假设所犯的错误，称为Ⅱ类错误 科学家的保守态度常常使得他们选择一个比较低 的显著性水平，这就导致犯Ⅱ类错误的概率。如果不 进行重复实验，就不知道什么时候犯Ⅰ类错误。即使 进行了重复研究，也不能宣称知道了绝对真相。
称为0.05的显著性水平(0.05 significance level)或5% 的显著性水平。
2. 在一个抽样分布中，如果一个事件发生的概率≤0.01 时，研究者认为该事件不是偶然因素所致。而是其他 因素引起，例如是对自变量的操纵引起的。称为0.01的 显著性水平(0.01significance level)或5%的显著性水平 实验者推论非偶然因素在某事件所起的作用的显著性 水平称为α水平(αlevel ) ，例如α=0.05或0.01 在投掷硬币中，出现9次正面甚至更为极端情况的概 率是多少呢？
答：肯定的，“科学永远是一种概率”。
如果投掷10次硬币，碰巧会出现10次正面，这个硬币 很可能不存在偏向。如果投掷1024次，平均说来，投 掷10次会出现10次正面。如果选择0.05水平，则当H0 为真时，当我们拒绝H0时，犯错误的概率是0.05。 9.5.1 Ⅰ型错误(α错误) 拒绝一个真实的虚无假设时，所犯的错误。 心理或医学常取0.05的显著性水平，在诸如心理治疗 、咨询或医疗实践中， Ⅰ型错误可能导致更大的风 险或使患者承受更大的痛苦。因此可取0.01的显著性 水平。
罕见的情况使我们怀疑这种情况不是偶然因素所致 ，而是硬币有问题。 这里有一个重要问题：“从投掷硬币的问题，我 们能否得出推论的界限在哪里？” 答案：科学的本质是讲概率的，没有所谓绝对的 科学，在科学领域，多数研究者会采纳下列两个 临界点中的一个作为对非偶然性因素的作用进行 推论的依据。 1. 在一个抽样分布中，如果一个事件发生的概率 ≤0.05时，研究者认为该事件不是偶然因素所致。 而是其他因素引起，例如是对自变量的操纵引起 的。
Fra Baidu bibliotek
下面4个例子各犯了什么错误？ 1. H0：μ=4.0，α=0.05，双尾检验，计算得双尾 p=0.03。统计结论：因为p<0.05，所以具有统计学意 义，拒绝虚无假设。假设虚无假设实际为真，则所犯 错误为( )错误。 2. H0：μ=4.0，α=0.05，双尾检验，计算得双尾 p=0.04。统计结论：因为p<0.05，所以具有统计学意 义，拒绝虚无假设。假设虚无假设实际为假，则所犯 错误为( )错误。
9.5.2 Ⅱ型错误(β错误)
接受了一个虚假的虚无假设，那么就犯了Ⅱ类错误 如果α越低(高)那么犯Ⅰ类错误的概率越小(大),而 犯Ⅱ类错误大概率越大(小)。 事实上，选择检验水平反映了科学家的保守倾向， 换句话说，科学家更容易当研究结果为真时，拒绝 研究结果(Ⅱ类错误)。
H0的真实情况 接受H0 决策 拒绝H0 H0为真 正确 1－α Ⅰ类错误 α H0为假 Ⅱ类错误 β 正确 1－β
1问：实际操作中，怎么知道究竟犯了什么错误呢？ 答：无从得知，因为无法得知总体参数的真实情况 2问：我们能否识别研究文献中的两类错误呢？
答：无从得知，因为作者的显著水平定为0.05或0.01 ，出现这种错误不可避免。并非作者责任。所以科学 从来就不是绝对正确的。由于这个原因，为了验证结 论的有效性，必须进行独立重复性的研究。 3问：如此说来，我们是否就无法知道哪个实验报告 的统计显著性哪个精确？哪个不精确？
只有25%出现 0.16 0.117 5次正面，不 0.12 0.08 是对半的概率 0.044 是75% 0.04 0.0010.01
概率
0 1 2 3 4
0.117 0.044 0.010.001 8 9 10 11
5 6 7 正面向上的次数
如果出现9次正面1次反面，如何对看待这个结果？ 答案：我们怀疑这个硬币的可信度，因为太罕见
随机抽取一个比较大的海龟的样本，海龟重量接近4 磅。样本平均数越接近总体平均数 假如我们抽样发现海龟重量大约是6磅，大样本也 是如此，你会有什么想法？ 答案：这些海龟已经不属于4磅的那个群体了。 另外一个问题，由样本估计总体，误差有多大？如 何估计误差？需要把样本结果与预计的结果进行比 较。而预计结果是根据抽样分布得出的。 抽样分布的性质： 1. 加大样本量，统计量的分布越接近参数分布。 2. 分布形态越对称，接近钟形分布。
什么情况拒绝虚无假设呢？ 使用0.05的显著性水平，当特定结果发生的概率小于 或等于0.05时，就拒绝虚无假设，同时也就接受备择 假设了。下面给出检验步骤。
1. 假设H0为真 2. 计算抽样分布中样本统计量发生的概率 3. 如果概率足够小，则拒绝虚无假设H0，接受H1. 9.5 统计假设检验：两类错误 问：当拒绝虚无假设时，从统计上讲很难发生的事件 ，偶然会发生呢？
9.1 抽样问题 问题1：你是一位临床心理学者，你想在某一社区进 行心理治疗，你希望了解什么？ 答案：社区的情绪问题和发病率。 问题2：如果你感到身体不适，医生想给你验血，医 生想了解什么？ 答案：医生想了解你是否患了某种疾病。 以上问题的共同点是什么？ 答案：你想知道某总体的参数，通过参数得到结论
我们关心的“总体”主要是指一个假设整体。在典 型的实验情境中，真实的总体是不存在的。而我们 想得到的是假设这个总体存在时，总体的一些性质 。 例如我们随机抽取一组病人(样本)服用某种药物， 我们希望什么？
我们希望试验结果可以给可能使用这种药物的每一 个人。当然这里是假想的总体。 因为我们无法对总体进行详细研究，只有根据样 本统计量得出关于总体参数的结论。几乎所有的 研究都是对有限的个体进行观察和测量，从中了 解总体的情况。
人们往往认为Ⅱ类错误容易接受，因为没有证明 自变量的影响，但是这样做也可能产生一些负面影响 。例如，由于Ⅱ类错误人们很可能放弃一种实际有意 义的研究结论。降低Ⅱ类错误的最可靠方法是增大样 本容量。
需要牢记的术语 总体 样本 抽样分布 二项分布
显著性水平 α水平
虚无假设H0 备择假设H1 双尾概率值 Ⅱ类错误(β错
方向性假设 无方向性假设 单尾概率值 误)
Ⅰ类错误 (α错误)
9.3 统计假设的检验----显著性水平
图9-2 从三个 不同总体中 抽取样本量 分别为2、4 、30时的抽 样分布，无 论总体分布 怎样，随着 样本量增加 ，平均数的 分布都接近 正态
例题：假设一个完美的硬币，投掷10次，请预测： “不是5次正面5次反面的概率”是多少？
0.28 0.24 0.2 0.246 0.205 0.205
1. 虚无假设(H0) 表示一个或多个总体参数的假设值 2. 备择假设(H1) 表示总体参数不是虚无假设中的值， 而是另有其值 H0:μ=4.0 (虚无假设) H1:μ≠4.0 (备择假设) H1可以是无方向的(nondirectional) 或双尾(two-tail) 假设。 H1也可以是有方向的(directional) , 不仅表示参数值 不等于H0假设中的值，还说明差异的方向。 H0:μ≤4.0 (虚无假设) H1:μ＞4.0 (备择假设)
9.4 统计假设的检验 9.4.1 虚无假设和被择假设 我们研究的目的：由样本推论总体 我们希望：如果样本平 均数=6.0，那么总体平 均数必定为6.0 我们只能说：如果 μ=4.0，那么得到一个 样本平均数不同于总 体的概率是多大？
X 6
总体
样本
假定μ=4.0
总体
样本
X 6
推论统计的两种假设
P(9次正面)+P(10次正面)+P(1次正面)+P(0次正面)= 0.010 +0.001 + 0.010 +0.001 =0.02
投掷硬币10次，出现9次正面这种罕见事件的双尾概 率大约=0.02。如果选择α=0.05，我会认为这个结果 是由非偶然因素造成的（硬币有偏向）。 如果选择α=0.01，则我们不能够判定是偶然所致。 注意：选择什么样的α水平，在研究设计阶段就要确 定下来。我们不能先进行一项研究，然后分析结果 ，得到一个概率值后再去确定α水平。
3. H0：μ=4.0，α=0.01，双尾检验，计算得双尾p=0.1 。统计结论：因为p>0.01，所以无统计学意义，不拒 绝H0。假设虚无假设实际为假，则所犯错误为( )错误。 4. H0：μ=4.0，α=0.05，双尾检验，计算得双尾 p=0.06。统计结论：因为p>0.05，所以无统计学意义 ，不拒绝H0。假设虚无假设实际为真，则所犯错误 为( )错误。
9.2 抽样分布的概念 从总体中随机抽取N个样本，根据样本统计量推论总 体参数。这些样本统计量可能出现的所有情况，称 为“抽样分布”。每一种统计量都有抽样分布，例 如平均数、标准差、方差、比例、中位数等。 例如，从一个μ=4，σ=1的总体中随机抽取一个相 同容量的样本，大多数的样本平均数会接近4.0， 也可能有极个别的偏离4.0，异常平均数的大小取 决于样本大小。
随机抽取的个 体的分数分布
样本平均数与 总体平均数相 差较大
X XX XXX XXXX
X XX XXX XXXX
N=2
样本平均数与总 体平均数相差较 小
X X X X XX X X XX XX
N=20
X X X X X X X
X X X X
样本平均数与 总体平均数相 差小
N=40
为什么抽样分布如此重要？ 答案：一旦知道样本统计量的抽样分布，你就可以 作出各种不同的假设检验。 例题：调查某地化工厂排放污水对环境所致影响， 已知附近的野生海龟平均体重为μ=4，σ=1，理论 上大约65%的海龟在3-5磅之间。
当评估一项研究结果时，无论备择假设是否有方向， 应该使用单尾概率值(one –tail probability value )
9.4.2 间接证明的思想 如果将一枚硬币投掷10次、1000次，如果出现5次或 500次正面，我们能‘证明’它是可靠或无偏向吗？ 只能说：我们没有理由拒绝”硬币是可靠的”这一假 设 同样，我们能否证明备择假设正确与否呢？ 在一张纸上画两条直线，比较其长度是否存在差异？ 你该怎么回答呢？ 答：“它们不一样长，长度一定存在差异” 通过拒绝长度相等(虚无假设)，你可断定存在差异
答：可以知道，只有再次研究，如果得到类似结果 ，可肯定没有犯Ⅰ类错误。
需要指出的是，科学研究领域中，重复研究是一个 薄弱环节，人们对研究持有一种普遍观点，即：一 个好的研究必须与众不同并且对科学文献有所建树 。为此，科研人员独自进行研究设计以重复验证研 究结果时，其结果通常不对外公开。
小结
统计的基本问题就是通过样本统计量估计总体参数 在推论统计中，常常需要将获得值与期望值进行 比较。期望值是由恰当的抽样分布得出的，而抽 样分布是样本统计量取值的理论概率分布。我们 知道怎样通过抽样分布来解释样本统计量，而且 还了解了样本大小对抽样分布的影响。小样本往 往与总体参数差别比较大，样本越大，样本平均 数越接近总体平均数。 每个实验中都包含两个完全对立和排斥的假设。 虚无假设和备择假设。
如果实验结果十分不寻常，或者说是一个稀有事件， 我们就拒绝虚无假设。否者就不拒绝虚无假设。我们 决不能说“证明”了虚无假设。 拒绝一个真实的虚无假设所犯的错误，称为Ⅰ类错误 接受一个虚假的虚无假设所犯的错误，称为Ⅱ类错误 科学家的保守态度常常使得他们选择一个比较低 的显著性水平，这就导致犯Ⅱ类错误的概率。如果不 进行重复实验，就不知道什么时候犯Ⅰ类错误。即使 进行了重复研究，也不能宣称知道了绝对真相。
称为0.05的显著性水平(0.05 significance level)或5% 的显著性水平。
2. 在一个抽样分布中，如果一个事件发生的概率≤0.01 时，研究者认为该事件不是偶然因素所致。而是其他 因素引起，例如是对自变量的操纵引起的。称为0.01的 显著性水平(0.01significance level)或5%的显著性水平 实验者推论非偶然因素在某事件所起的作用的显著性 水平称为α水平(αlevel ) ，例如α=0.05或0.01 在投掷硬币中，出现9次正面甚至更为极端情况的概 率是多少呢？
答：肯定的，“科学永远是一种概率”。
如果投掷10次硬币，碰巧会出现10次正面，这个硬币 很可能不存在偏向。如果投掷1024次，平均说来，投 掷10次会出现10次正面。如果选择0.05水平，则当H0 为真时，当我们拒绝H0时，犯错误的概率是0.05。 9.5.1 Ⅰ型错误(α错误) 拒绝一个真实的虚无假设时，所犯的错误。 心理或医学常取0.05的显著性水平，在诸如心理治疗 、咨询或医疗实践中， Ⅰ型错误可能导致更大的风 险或使患者承受更大的痛苦。因此可取0.01的显著性 水平。
罕见的情况使我们怀疑这种情况不是偶然因素所致 ，而是硬币有问题。 这里有一个重要问题：“从投掷硬币的问题，我 们能否得出推论的界限在哪里？” 答案：科学的本质是讲概率的，没有所谓绝对的 科学，在科学领域，多数研究者会采纳下列两个 临界点中的一个作为对非偶然性因素的作用进行 推论的依据。 1. 在一个抽样分布中，如果一个事件发生的概率 ≤0.05时，研究者认为该事件不是偶然因素所致。 而是其他因素引起，例如是对自变量的操纵引起 的。
Fra Baidu bibliotek
下面4个例子各犯了什么错误？ 1. H0：μ=4.0，α=0.05，双尾检验，计算得双尾 p=0.03。统计结论：因为p<0.05，所以具有统计学意 义，拒绝虚无假设。假设虚无假设实际为真，则所犯 错误为( )错误。 2. H0：μ=4.0，α=0.05，双尾检验，计算得双尾 p=0.04。统计结论：因为p<0.05，所以具有统计学意 义，拒绝虚无假设。假设虚无假设实际为假，则所犯 错误为( )错误。
9.5.2 Ⅱ型错误(β错误)
接受了一个虚假的虚无假设，那么就犯了Ⅱ类错误 如果α越低(高)那么犯Ⅰ类错误的概率越小(大),而 犯Ⅱ类错误大概率越大(小)。 事实上，选择检验水平反映了科学家的保守倾向， 换句话说，科学家更容易当研究结果为真时，拒绝 研究结果(Ⅱ类错误)。
H0的真实情况 接受H0 决策 拒绝H0 H0为真 正确 1－α Ⅰ类错误 α H0为假 Ⅱ类错误 β 正确 1－β
1问：实际操作中，怎么知道究竟犯了什么错误呢？ 答：无从得知，因为无法得知总体参数的真实情况 2问：我们能否识别研究文献中的两类错误呢？
答：无从得知，因为作者的显著水平定为0.05或0.01 ，出现这种错误不可避免。并非作者责任。所以科学 从来就不是绝对正确的。由于这个原因，为了验证结 论的有效性，必须进行独立重复性的研究。 3问：如此说来，我们是否就无法知道哪个实验报告 的统计显著性哪个精确？哪个不精确？
只有25%出现 0.16 0.117 5次正面，不 0.12 0.08 是对半的概率 0.044 是75% 0.04 0.0010.01
概率
0 1 2 3 4
0.117 0.044 0.010.001 8 9 10 11
5 6 7 正面向上的次数
如果出现9次正面1次反面，如何对看待这个结果？ 答案：我们怀疑这个硬币的可信度，因为太罕见
随机抽取一个比较大的海龟的样本，海龟重量接近4 磅。样本平均数越接近总体平均数 假如我们抽样发现海龟重量大约是6磅，大样本也 是如此，你会有什么想法？ 答案：这些海龟已经不属于4磅的那个群体了。 另外一个问题，由样本估计总体，误差有多大？如 何估计误差？需要把样本结果与预计的结果进行比 较。而预计结果是根据抽样分布得出的。 抽样分布的性质： 1. 加大样本量，统计量的分布越接近参数分布。 2. 分布形态越对称，接近钟形分布。
什么情况拒绝虚无假设呢？ 使用0.05的显著性水平，当特定结果发生的概率小于 或等于0.05时，就拒绝虚无假设，同时也就接受备择 假设了。下面给出检验步骤。
1. 假设H0为真 2. 计算抽样分布中样本统计量发生的概率 3. 如果概率足够小，则拒绝虚无假设H0，接受H1. 9.5 统计假设检验：两类错误 问：当拒绝虚无假设时，从统计上讲很难发生的事件 ，偶然会发生呢？