两条直线的交点.ppt

接
∴根据点斜式有y－???－75???＝－3???x－???－35??????， 即所求直线方程1为5x＋5y＋16＝0.
方法二 ∵直线l过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点，
∴可设直线l 的方程为2x－3y－3＋λ(x＋y＋2)＝0.
∵直线l 与直线3x＋y－1＝0 平行，
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∴λ＋3 2＝λ－ 1 3≠2λ－－1 3，得λ＝121.
同理，点B关于x 轴的对称点B′(－1，－6)．
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由两点式可得直A线B′的方程为－y－6－22＝－x－ 1－33，
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即 2x－y－4＝0.
∴入射光线所在直线方程2x为－y－4＝0；
反射光线所在直线方程2x为＋y－4＝0.
第2章 平面解析几何初步 2．1 直线与方程
2．1.4 两条直线的交点
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1．了解直线上的点的坐标和直线方程方向的关 系．
2．掌握用代数方法求两条直线的交点坐标．
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典例剖析
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两条直线的交点问题
求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方
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分析：设光线反射点为P，点A关于x轴的对称点为A′， 接 根据光学上入射角等于反射角的原理可知点A′、P、B 三点共线，因此，可用两点式求直线方程．
解析：∵点A(3，2)关于x 轴的对称点A′(3，－2)，
∴由两点式可得直A线′B 的方程为－y－2－66＝x3＋ ＋11，
即 2x＋y－4＝0.
方程组
?? ? 1＋2x0－2×4＋2y0＝0， x0＝159，
?? ?? xy00－－41×12＝－1，
得 y0＝－85.
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同理可求得点A关于直线x＋y－1＝0的对称点A″的坐标为(－3，
0)．
由于点A′???159，－85???，点A″(－3，0)均在BC所在的直线上，
∴直线BC的方程为－y－85－00＝1x59＋＋33，
的方程分别为x－2y＝0和x＋y－1＝0，求BC所在直
线的方程．
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链
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分析：该题求直线方程的条件不明显，如果能联想
到平面几何有关角平分线的知识，就可以发现点A
关于∠B、∠C平分线的对称点都在BC所在直线上，
所以只要求出这两个对称点，利用两点式即可求出
BC所在直线的方程．
解析：设点A关于直线x－2y＝0 的对称点为A′(x0，y0)，可得
目
λ(A2x＋B2y＋C2)＝0.直接设出过两直线交点的方程，
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再根据平行条件求出待定系数即可．特别提示：这种
设法的直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0.如
果根据已知条件判断所求直线可能包括直线：A2x＋
B2y＋C2＝0，可改设为：A2x＋B2y＋C2＋ λ(A1x＋
B1y＋C1)＝0即可．
即2x＋y＋2＝0.大家学Biblioteka 辛苦了，还是要坚持继续保持安静
方法二 依题意可设所求直l线的方程为：
2x＋y＋2＋λ(3x＋4y－2)＝0.
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∵直线l 与直线x－2y＋3＝0 垂直，
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∴(2＋3λ)×1＋(1＋4λ)×(－2)＝0? λ＝0.
故所求直线方程2为x＋y＋2＝0.
对称问题
△ABC的顶点A的坐标为(1，4)，∠B、∠C平分线
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即4x＋17y＋12＝0.
∴BC所在直线的方程4为x＋17y＋12＝0.
规律总结：点关于点对称问题是最基本的对称
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问题，用中点坐标公式及垂直的条件求解，它
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是解答其他对称问题的基础．
?变式训练 2．一条光线从点A(3，2)出发，经x轴反射，通过点 B(－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．
?变式训练 1．用两种方法求过两条直线3x＋4y－2＝0与2x＋y ＋2＝0的交点且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方 程．
??3x＋4y－2＝0， ??x＝－2，
解析：方法一 联立?
得?
?2x＋y＋2＝0， ?y＝2.
而直线x－2y＋3＝0 的斜率为12，
∴所求直线的斜率为2.－
∴所求直线方程y为－2＝－2(x＋2)，
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从而所求直线方程1为5x＋5y＋16＝0.
规律总结：两条直线的交点坐标就是直线方程组的
解．本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两
直线交点，再根据平行直线斜率相等，由点斜式求解；
而方法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋
B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋ 栏
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程．
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分析：可先求出交点坐标，再利用点斜式求方
程，也可利用直线系方程表示出所求的方程，
再结合两直线平行的条件求解．
? 解析：方法一 由方程组???2x－3y－3＝0，得 x＝－35，
?? ?x＋y＋2＝0，
y＝－75.
∵直线l 和直线3x＋y－1＝0 平行，
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∴直线l 的斜率k＝－3.