数值分析5-2(高斯消去法)

两个三 角矩阵
相乘
1

其中

m
21
1

L L11 Ln11 m31 m32 1





mn1 mn2 mn,n1 1
定理: (矩阵的LU分解)
设 A 为 n 阶矩阵，如果 A 的顺序主子式 Di 0 ( i = 1,2,…,n-1)， 则 A 可分解为一个单位下

...


0
a n( 22)
...
a n( 2n)

xn
bn( 2 )

……
(记 为 A(2)x =
b(2)) a1(11) a1(12) ... a1(1n) x1 b1(1)

第n-1
a 2( 22)
...
第五章 解线性方程组的直接法 §2 高斯消去法
一、高斯消去法 二、矩阵的三角分解 三、高斯消去法的计算量 四、高斯—约当消去法
一、高斯消去法
1. 高斯消去法的基本思想
举例 用消去法解方程组
基原本来思方想程4x组：1x2用 AXx=逐2xb3化次x为消53 与去 其未6 等知价数的的三方角法形把 方程组，2而x1求 解2 x三2 角 x形3方 程1 组就容易了！

an(11)
a
(1) n2
...源自文库
an(1n)


xn

bn(1)

a1(11) 0
第一次 消元
a01(11)
a1(12) a 2( 22)
... ...
a1(1n) a 2( 2n)



x1 x2


bb12((12))
则求解原方程组可转化为如下两个三角形方
程组：
1 0 0 y1 b1
0
1
0


y2


b2

2 1 1 y3 b3
1 1 1 x1 y1
0
4

1


x2



y2

0 0 2 x3 y3
a 2( 2n)



x2



b2( 2 )


次消元

...
a n( nn)


xn

bn( n )

(记 为 A(n)x =
(n)
(2) 回代过
程 xn bn(n) an(nn)


x
k

(bk(k )

n
ak(kj ) x j )
L1 0


1



mn1
1
1
1

0
1

m21
m31


1
0




0
1 0
消元时的 系数

1

1



1
而且
1



m21
1

L1 m31


1



mn1
二、矩阵的三角分解
由矩阵理论可知，对系数矩阵 A 实施行的初
等变换相当于用初等矩阵左乘 A ，即
行初等变换
A
A'
等价于
E 其中
A' LA
行初等变换
初等 矩阵
L
例
1 1 1
A 0 4 1 2 2 1
①*(-2)+③
则 A' LA
E 其中
①*(-2)+③
1 0 0
L

0
1 0
2 0 1
1 1 1 A' 0 4 1
0 4 1
L
考察高斯消去法过程 ：
A(1) x b(1)
第一次消元
A(2) x b(2)
等价于 其中
A(2) L1 A(1) , b(2) L1b(1)
1


0
1

（求解过程详见书，请同学们自学）
2. 高斯消去法的一般过程
记 Ax = b 为 A(1)x =
b((11))， 消元过
程
aa12((1111))
a1(12)
a
(1) 22
... ...
a1(1n) a2(1n)



x1 x2


bb12((11))

...
解： 系数矩阵为
1 1 1
A 0 4 1 2 2 1
由高斯消去法， m21=0，m31=2 m32=－1，故
1 1 1
A 0 4 1 2 2 1
1 0 0 1 1 1
0
1
0 0
4

1


LU
2 1 1 0 0 2
a
(k kk
)

j k 1
(k n 1, n 2,...,2,1)
高斯消去法的特点：消元和回代不同步！
3. 使用高斯消去法的条件
使用高斯消去法要求在每步消元时 ak(kk) 0 ， 那么矩阵A满足什么，才能保证这一条件呢？
引理：约化的主元素 ak(kk) 0 (i=1,2,…,n) 的充 要条件是矩阵A的顺序主子式 Di 0(i 1,2,..., n)
三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，且
这种分解是唯一的。
求解两个三角形 方程组!
注：若A 实现了LU分解，则
Ax = b
(LU)x=b
Ly = b Ux = y
举例：用系数矩阵的LU分解求下列方程组
4x1x2x2x3x53 6 2 x1 2 x2 x3 1
推论：如果A的顺序主子式不等于0，则
a1(11) D1 ak(kk) Dk Dk1
(k=2,3,…, n)
定理：如果 n 阶矩阵A的所有顺序主子式 均 不为零，则可通过高斯消去法（不进行交 换两行的初等变换），将方程组约化为三 角形方程组。 定理：如果A为 n 阶非奇异矩阵，则可通过 高斯消去法（及交换两行的初等变换）将方 程组 Ax=b 化为三角形方程组。
1
1


m21
1

L11 m31
1





mn1
1
重复这一过程，共进行 ｎ－1
消元，得 A(n)
b
(
n)

Ln1 L1 A(1) Ln1 L1b(1)
,
次 Gauss消 去法将A 分解为
将上三角矩阵 A(n) 记为 U，则有
A A(1) L11L21 Ln11U LU