高考数学压轴专题最新备战高考《推理与证明》基础测试题附答案解析

新单元《推理与证明》专题解析

一、选择题

1．已知()()2739n

f n n =+⋅+,存在自然数m ,使得对任意*n N ∈,都能使m 整除()f n ,

则最大的m 的值为( ) A ．30 B ．9 C ．36 D ．6

【答案】C 【解析】 【分析】

依题意，可求得(1)f 、(2)f 、(3)f 、(4)f 的值，从而可猜得最大的m 的值为36，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】

由()(27)39n

f n n =+⋅+，得(1)36f =，

(2)336f =⨯，(3)1036f =⨯，

(4)3436f =⨯，由此猜想36m =.

下面用数学归纳法证明： (1)当1n =时，显然成立。

(2)假设n k =时，()f k 能被36整除，即

()(27)39k f k k =+⋅+能被36整除；

当1n k =+时,

1[2(1)7]39k k +++⋅+

1

3(27)391823k k k +⎡⎤=+⋅+-+⨯⎣⎦ ()

13(27)391831k k k -⎡⎤=+⋅++-⎣⎦

131k --Q 是2的倍数，

()

11831k -∴-能被36整除，

∴当1n k =+时，()f n 也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有

()(27)39n f n n =+⋅+能被36整除， m 的最大值为36.

故选：C. 【点睛】

本题主要考查的是数学归纳法的应用，解题的关键是熟练掌握数学归纳法解题的一般步骤，考查的是推理计算能力，是中档题.

2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端

放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ） A ．2 B ．3

C ．4

D ．5

【答案】B 【解析】 【分析】

根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】

第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平. 故选：B. 【点睛】

本题考查类比推理思想的应用，难度一般.处理该类问题的关键是找到题干中的提示信息，由此入手会方便很多.

3．二维空间中圆的一维测度(周长)2l

r π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二

维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)3

43

V r π=

.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）

A ．42r π

B ．43r π

C ．44r π

D ．46r π

【答案】A 【解析】

分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .

详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.

点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4．已知点(10,3)P 在椭圆22

2:199

x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则

圆M 过点N 的切线方程为2

00x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为

（ ）

A ．13311x y +=

B ．

111099

x y += C ．

11133

x y += D ．

199110

x y += 【答案】C 【解析】

【分析】

先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】

因为点(10,3)P 在椭圆22

2:199

x y C a +=上，

故可得

21009

199

a +=，解得2110a =； 由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为：

103111099

x y +=，整理可得11133x y

+

=. 故选：C. 【点睛】

本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题.

5．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记

()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

【答案】D 【解析】 【分析】

由规律得()()()2

2211234

n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=

再解方程即可 【详解】

由已知等式的规律可知()()()2

22

11234

n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=

，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】

本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题

6．观察下图：