九年级上学期-数学-知识点总结(华东师大版)

⎨

⎪

⎨

⎩

华师大版九年级上册数学知识点总结

第21 章二次根式

1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．

2.二次根式的性质：

⎧(a > 0)（1）( a ) 2 =（a≥0）；（2）

0)；（3）

3.二次根式的乘除：

a 2 = =

⎪

(a = 0)

⎩(a < 0)

⎧= (a ≥0,b≥0)

计算公式：⎪

⎪

⎩

= (a ≥0,b>0)

4.概念：⎧1.最简二次根式：(1) (2) (3)

⎨

2.同类二次根式：

5.二次根式的加减：(一化，二找，三合并)

（1）将每个二次根式化为最简二次根式；

（2）找出其中的同类二次根式；

（3）合并同类二次根式．

6.二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算

术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母．

7.二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．

（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

1.一元二次方程：

第22 章一元二次方程

1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程．

2) 一元二次方程的一般形式：ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) ．它的特征：等式左边

是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零．

ax 2 叫做二次项，a叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c叫做常数项．2.一元二次方程的解法：

1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．

直接开平方法适用于解形如(x +a)2 =b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x +a 是b 的平方根，当b ≥0时，x +a =± b ，x =-a ± b ，当b<0 时，方程没有实数根．

2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a2 ± 2ab +b2 = (a +b)2 ，把公式中的a 看做未知

数x，并用x 代替，则有x2 ± 2bx +b2 = (x ±b)2 ．

2

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为 1，再同时加上 1 次项 的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式．

3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．

一元二次方程 ax 2

+ bx + c = 0(a ≠ 0) 的求根公式： x = - b ±

b - 4a

c (b 2

- 4ac ≥ 0)

2a

4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．

分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的 是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．

3. 一元二次方程根的判别式：

一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中， b 2 - 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的根的 判别式，通常用“ ∆ ”来表示，即 ∆ = b 2 - 4ac ．

1) 当△>0 时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根； 2) 当△=0 时，一元二次方程有 2 个相同的实数根； 3) 当△<0 时，一元二次方程没有实数根． 4. 韦达定理：

如果方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的两个实数根是 x ，x ，那么 x + x = - b ，x x = c ．也就是说， 1 2 1 2

a 1 2 a

对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的 商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．

5. 一元二次方程的二次函数的关系： 其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方

程也是二次函数的一个特殊情况， 就是当 y =0 的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方

程就是二次函数中，图象与 X 轴的交点，也就是该方程的解了．

1． 比例线段的有关概念

第 23 章 图形的相似

在比例式 a = c

( a :b = c :d )中，a 、d 叫外项，b 、c 叫内项，a 、c 叫前项，b 、d 叫后项，d 叫第四比例

b d

项，如果 b =c ，那么 b 叫做 a 、d 的比例中项． 2． 比例性质

①基本性质： a = c

⇔ ad = bc

b d

②更比性质(交换比例的内项或外项)：

⎧ a = b (交换内项) ⎪ c d ⎪

⎪ d = c (交换外项) a c ⎪ b a = ⇒ ⎨

b d ⎪ d = b

(同时交换内外项) ⎪ c a ⎪ b d

⎪ = ⎩ a c

(同时交换比的前项和后项)

②合比性质： a = c ⇒ a ±b =

c ±d

b d b d ③等比性质： a =

c = … = m (b +

d + … + n ≠0) ⇒ a + c + … + m =

a

b d n

3． 黄金分割

b + d + … + n b 在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC （AC ＞BC ），如果

AC = BC

，即 AC 2=AB ×BC ， AB AC

那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．其

中 AC = 5 - 1 AB ≈0.618 AB ．

2

4． 平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：

AB l 1∥l 2∥l 3． 则 =

BC DE ， AB = EF AC DE ， BC = DF AC EF

，… DF

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得 的对应 线段成比例．

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的 对 应

线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定

①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；

②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：

A A A

D

D D

E E

B

C

B C B

C

DE ∥BC

∠B ∠A E D ∠B ∠A C D

C

D

B

A

O O

A

C

A

D

B

D

C

X 型

母子型

A C ∥BD

∠B ∠C AD 是 Rt △A B C 斜边上的高