信号与系统沈元隆第六章

bm zm + bm−1zm−1 +Lb z + b0 N(z) 1 F(z ) = = D(z) an zn + an−1zn−1 +L+ a1z + a0
（6.2-1）
F(z)的零点和极点的定义与拉氏变换相同，零、极点的图形 表示也与拉氏变换一样。 对于单边Z变换，即 k < 0时，f(k)= 0的序列，其Z变换的收 敛域为z >R ，包括z = ∞处，故F(z)的分母多项式的最高幂 次不能低于分子多项式的最高幂次，即必须满足 m ≤ n。 类似于拉氏变换中的部分分式展开法，由于Z变换最基本的形
z=e
sT
的结果。式（6.1-4）、（6.1-5）反映了连续时间系统与离散 时间系统以及S域与Z域间的重要关系。如果离散信号f(k)为 因果序列，即 k < 0时， f(k) = 0，或者只考虑f(k)的 k ≥ 0 的 部分，则有 ∞ F(z) = ∑ f (k )z−k （6.1-6）
k =0
式中，k的取值是从0到∞，称为单边Z变换，称式(6.1-1)为双 边Z变换。无论是双边Z变换还是单边Z变换，F(s)称为f(k)的 象函数； f(k)为F(s)的原函数。由于实际离散信号一般均为因 果序列，在此，我们强调以后主要讨论单边Z变换。 6.1.2 Z变换的收敛域 变换的收敛域 无论是按式（6.1-1）定义的双边Z变换，还是按式（6.1-6）
f (k) =
双边Z变换为
∞
ak bk
k ≥0 k <0
−1 −k
a, b为正实数
F(z) = ∑a z + ∑b z = ∑(az ) + ∑(b−1z )k
k −k k
−1 k
∞
∞
k =0
k =−∞
k =0
k =1
上式后一级数收敛条件已经讨论过，为z >a ，前一个级数 的收敛条件为
定义的单边Z变换都表现为一个幂级数。显然，仅当该级数收 敛时，Z变换才有意义。例如因果序列
ak f (k) = 0
的双边或单边Z变换为 ∞
k =0
k ≥0 k <0
∞
a为正实数
∞
F(Z ) = ∑ f (k)Z -k = ∑ak Z −k = ∑(aZ −1 ) k
k =0 k =0
（6.1-7）
-k -k
（6.1-11） 其收敛域为z >a。
3. 指数序列
z 1 Z[a ε (k)] = = -1 1− az z −a 其收敛域为z >a 。当 z = eλT 时
k
由前面讨论
Z[e
λ kT
ε (k)] =
eλT
z z − eλT
。 （6.1-12）
其收敛域为z >
4. 单边正弦序列和单边余弦序列
6. 序列求和 利用时域卷积定理，可以得到序列求和的Z变换式。 若 f (k) ↔ F(z ) 则 7. 初值定理 若 f (k) ↔ F(z ) 则
∑[ f (n)] ↔ z −1 F(z)
z
n=0
k
且 lim F(z) 存在；
z→∞
f (0) = lim F(z)
z→∞
（6.3-16）
8. 终值定理 若 f (k) ↔ F(z ) ，且 f(k) 的终值 f(∞) 存在，
信号与系统
第六章
第6章 离散信号与系统的变换域分析 章 6.1 Z变换 6.2 Z反变换 6.3 Z变换的性质 6.4 Z变换与拉氏变换的关系 6.5 离散系统的Z域分析 6.6 离散系统函数与系统特性 6.7 离散信号与系统的频域分析 6.8 数字滤波器的一般概念 习题6
第6章 离散信号与系统的变换域分析 章 上一章讨论了离散信号与系统的时域分析，它的分析过 程与连续信号与系统的时域分析有很多相似之处。我们已 经知道，连续信号与系统的分析还可以在变换域中进行， 即傅里叶变换分析和拉普拉斯变换分析。同样，离散信号 与系统也存在类似的变换域分析，即离散时间傅里叶变换 和Z变换分析。 Z 本章首先讨论与拉普拉斯变换(LT)相对应的Z变换(ZT) 分析。利用Z变换把时域的差分方程变换成Z域的代数方 程，从而使离散系统分析变得相当简便。然后，在此基础 上讨论与傅里叶变换(CTFT，简称FT)相对应的离散时间 傅里叶变换(DTFT)。从而建立离散信号频谱和系统频率 特性的概念。
z a f (k) ↔ F a
k
dF(z ) kf (k) ↔ −z dz
f2 (k) ↔ F2 (z)
f1(k) ∗ f2 (k) ↔ F (z) ⋅ F2 (z) 1
时域卷积定理表明两个离散函数在时域中的卷积的Z变换， 等于这两个离散函数的Z变换的乘积，对该乘积进行Z反变换 就可以得到这个离散函数的卷积。它与拉氏变换的时域卷积 定理具有完全相同的形式，它们在联系时域和Z域的关系中 起着十分重要的作用。
2. 移序(移位)性 若 f (k) ↔ F(z ) 则
f (k +1) ↔ zF(z ) −zf (0)
这一性质又称左移序性质，与拉氏变换的时域微分性 质相当。 若 f (k) ↔ F(z ) 则 f (k −1 ↔z-1F(z ) + f (−1 ) ) 这一性质又称右移序性质，与拉氏变换的时域积分性 质相当。 将上述性质加以推广，有
k =0
若把已知的F(z)展开成z-1的幂级数，则该级数的各系数就是序 列f(k)的值。 F(z)一般为变量z的有理分式，展开为幂级数时，可以用代数 学中的长除法，即将分子和分母多项式按z的降幂排列，然后将 分子多项式除以分母多项式所得的商式，即为以z-1的幂级数。 在实用中，如果只需要求序列的前几个值，长除法就很方便。 使用长除法的缺点是不易求得闭合表示式。 6.2.2 部分分式展开法 一般Z变换式是有理分式
6.1 Z变换 变换 Z变换可以从拉普拉斯变换引入，本节首先给出Z变换的 定义。 6.1.1 Z变换的定义 变换的定义
L ), ), } 离散信号（序列） f (k) = { , f (−1 f (0), f (1 L
的Z变换可直接定义为
F(z) =L f (−1 z1 + f (0)z0 + f (1 z−1 +L + ) ) =
z sin βT sin kβTε(k) ↔ 2 z -2z cos βT +1
z(z - cos βT ) cos kβTε(k) ↔ 2 z -2z cos βT +1
6.2
Z反变换 反变换
利用Z变换可以把时域中对于序列f(k)的运算变换为Z域中对 于F(z)的较为简单的运算。然后将Z域中的运算结果再变回到时 域中去。由已知F(z)求f(k)的运算称为Z反变换，或Z逆变换。记 为
6.1.3 常见序列的单边 变换 常见序列的单边Z变换 1. 单位函数
Z[δ (k)] = ∑δ (k)z = z
-k k =0
∞
-k k =0
=1
（6.1-10）
可见，与连续时间系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单 位函数的Z变换等于1，收敛域为整个Z平面。 2. 单位阶跃序列
∞ ∞
1 z Z[ε (k)] = ∑ε (k)z = ∑z = = -1 1− z z −1 k =0 k =0
6.3 Z变换的性质 变换的性质 求一个序列的Z变换最基本的方法是按定义进行几何级数的 求和。当序列较复杂时，这种方法会很不方便。为此，我们 从另一个途径出发，弄清Z变换的性质，即序列时域和Z域间 的关系，可以由一些简单序列的Z变换导出复杂序列的Z变换， 由此简化Z变换及Z反变换的运算。由于Z变换的不少性质与拉 氏变换的性质相似，从而能进一步地理解Z变换。 由于我们所讨论的是单边Z变换。因此不存在圆内收敛或圆 环收敛问题。如果F(z)收敛，它必然是在某一圆外，所不同的 是圆的大小而已。因此，如无特殊需要，我们都省去对它的 收敛域的标注。 1. 线性 Z变换是一种线性运算。这个性质只需根据Z变换的定义即 可直接推出。它与拉氏变换的线性性质相当。
∞
Fs (s) =
k =−∞
f (kT)e−ksT ∑
（6.1-3）
取新的复变量 z，令
z = esT
，或
1 s = ln z T
（6.1-4）
则式（6.1-3）就变成复变量 z 的表达式，即
F (s) S
1 s= ln z T
=
k =−∞
∑ f (k)z
∞
−k
= F(z) （6.1-5）
这就是离散信号或的Z变换表达式，可见，离散信号f(k)的Z 变换是取样信号fS(t)的拉氏变换FS(s)将变量s代换为变量
fs (t) = f (t) ∑δ (t − kT) =
k =−∞
∞
k =−∞
∑ f (kT)δ (t − kT)
（6.1-2）
∞
也就是说，取样信号fS(t)可以表示为一系列在t = kT 时刻出 现的强度为 δ(kT) 的冲激信号之和。其中为连续信号 f(t) 在 t = kT时刻的值，是一个离散序列。 取样信号的拉氏变换为
z
式是 1 和
z −a
，因此，通常不是直接展开F(z) ，而是展开
F(z) /z；然后，每个部分分式再乘以z。
6.2.3 围线积分法 留数法 围线积分法(留数法 留数法)
单边Z反变换的积分公式可以直接从Z变换的定义式推导出 来。由 ∞ F(z) = ∑ f (k )z−k
k =0
1 f (k) = F(z)zk −1dz ∫ 2π j C
k =−∞
f (k )z − k ∑
∞
（6.1-1）
即是（z为复数）的一个幂级数。可以看出，的系数就是f(k) 的值。式（6.1-1）称为f(k)的Z变换式，为了方便，上式还常 简写为
f (k ) ↔ F(z)
离散信号的Z变换的定义也可以由取样信号的拉氏变换引出。 一个连续信号f(t)以均匀间隔T进行理想取样得到取样信号 fS(t)，可表示为
b-1z < 1 ，即z <b 。故整个Z变换的收敛
域应为a<z<b。当a<b，则收敛域为Z平面内圆心在原点外半径 为b，内半径为a的一个圆环区域。若a>b ，则无收敛域，Z变 换也就不存在。 值得注意的是，即便是同一个双边Z变换的表达式，其收敛 域不同，则可能对应于两个不同的序列。 可见，双边Z变换式必须注明其收敛域，否则有可能无法确 定其对应的时间序列。 由复变函数理论可知，Z变换的定义式是一罗朗级数，在收 敛域内是解析函数。
az-1 < 1即 z > a时，该无穷级数绝对收敛。 显然，只有当
即级数收敛的充要条件为
∑
k =0
∞
f (k)z −k < ∞
（6.1-8）
根据等比级数的求和公式，式（6.1-7）才能以闭合式表示为 1 z F( z) = = −1 1− az z −a
上述例子中z的取值z >a称为F(z)的收敛条件。在Z平面 （复平面）中， F(z)的收敛条件所对应的区域称为的收敛域 ROC（Region of Convergence）。收敛条件z >a ，在Z平面 中所对应的收敛域是圆心在原点半径为a的圆外区域，半径a 称为收敛半径，如图6.1-2（a）中的阴影部分。可见，对于 单边Z变换，收敛域总是Z平面内以原点为圆心的一个圆的 圆外区域，圆的半径视不同而不同。由于单边Z变换收敛条 件比较简单，因而即使不注明收敛域也不会发生误会，故一 般情况下不再加注其收敛域。而对于双边Z变换，情况要复 杂一些。例如
f (k − m)ε (k − m) ↔z- mF(z )
Z变换的移序性质能将关于f(k)的差分方程转化为关于 F(z)的代数方程，它对简化分析离散时间系统起着重要的 作用。
3. 比例性（尺度变换） 若 f (k) ↔ F(z ) 则 4. Z域微分 若 f (k) ↔ F(z ) 则 5. 时域卷积定理 若 f1(k) ↔ F (z) 1 则
f (k) = Z [F(z )]
-1
F(z ) = ∑ f (k)z- k
k =0
∞
Z反变换的方法有三种：幂级数展开法，部分分式展开法和 围线积分法。这里仍然只考虑单边Z变换的情况。 6.2.1 幂级数展开法 由Z变换的定义
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F(z ) = ∑ f (k)z −k = f (0) + f (1)z −1 + f (2)z- 2 L
（6.2-6）
式（6.2-6）叫做Z反变换的积分公式，是Z反变换的一般 表达式，由于围线C包围了的所有孤立奇点(极点)，故此积 分式可运用留数定理来进行运算，所以又称为留数法，其 表达式为
f (k) = ∑Re s[F(z)zk −1]z= pm
m
（6.2-7） 式中，pm是围线C内F(z)zk-1的极点， Res[.]为极点pm的留数。