研究生模糊数学试卷20081

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考研数一08真题

考研数一08真题2008年考研数学一真题中，试题主要分为两个部分：选择题和填空题。

选择题部分包括20道选择题，填空题部分包括10道填空题。

本文将以试题题号为标记逐一解析各道题目。

选择题部分解析：题目1：设A是n阶方阵，且满足A^2 = A，则下列结论正确的是（）A. A = 0B. A = E（单位矩阵）C. A是对称方阵D. A的秩为1这道题目考察了对方阵幂运算的理解。

根据A^2 = A，我们可以发现A作为方阵必然有两种可能：A是零矩阵或者A是单位矩阵。

因此，选项B“A = E”为正确答案。

题目2：设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的零点的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3这道题目考察了对函数的导数与零点的关系的理解。

f'(x)是f(x)的导函数，即f'(x) = 3x^2 - 3。

根据函数导数存在零点的性质，当f'(x) = 0时，f(x)存在极值点或转折点。

解方程3x^2 - 3 = 0，得到x = ±1。

因此，f'(x)的零点有2个，选项C“2”为正确答案。

填空题部分解析：题目1：若a是方程x^4 - x^3 - x + 1 = 0的一个实根，则a^3 - a^2 -a + 1的值等于________。

这道题目考察了对方程实根的运算。

首先，我们可以将方程x^4 -x^3 - x + 1 = 0进行变形，得到x(x^3 - x^2 - 1) + 1 = 0。

因为a是方程的一个实根，所以该式等于0，即a(a^3 - a^2 - 1) = -1。

因此，a^3 - a^2 -a + 1 = (-1)/a，即填空的值为-1/a。

题目2：设f(x) = (cosx + sinx)^2，g(x) = (cosx - sinx)^2，则f(x) -g(x)的最小值是________。

这道题目考察了对函数最小值的求解。

我们先展开f(x)与g(x)：f(x) = cos^2 x + 2sinx cosx + sin^2 xg(x) = cos^2 x - 2sinx cosx + sin^2 x再计算f(x) - g(x)：f(x) - g(x) = 4sinx cosx则f(x) - g(x)的值不为负数，且取最小值0，因此填空的答案为0。

2008年考研数学一真题及分析

【评注】注意隐函数求导时记住 y 是 x 的函数.
类似例题见 08 版《数学复习指南》P48（理工类）【例 2.20】，精选习题二 1（9）.
∞
∞
∑ ∑ （11）已知幂级数 an ( x + 2)n 在 x = 0 处收敛，在 x = −4 处发散，则幂级数 an ( x − 3)n
n=0
n=0
的收敛域为________. 【分析】本题考查关于幂级数收敛域特征的阿贝尔定理. 由题中条件可知，该幂级数收敛区
调有界，故收敛，故选（B）【评注】本题为基础题型.
定理可见各教材和辅导讲义.
（5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵，若 A3 = O ，则
（A） E − A 不可逆， E + A 不可逆（B） E − A 不可逆， E + A 可逆
（C） E − A 可逆， E + A 可逆
（A） y′′′ + y′′ − 4 y′ − 4 y = 0 （B） y′′′ + y′′ + 4 y′ + 4 y = 0
（C） y′′′ − y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 （D） y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 [ ]
【分析】本题已知微分方程的通解，反求微分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征值，然后从特征方程入手.
二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上.
（9）微分方程 xy′ + y = 0 满足条件 y (1) = 1 的解 y = __________.
【分析】本题为变量可分离方程.
【详解】 xy′ + y = 0 ⇒ y′ = − 1 ，两边积分得 y = C ，将 y (1) = 1 代入得 C = 1，

2008年数学一试题答案与解析

− 2z + 3z
2
=
= 0, 5,
求
C
上距离
xOy
面最远的点和最近的点。
解点（x,y,z）到 xOy 面的距离为 z ,故求 C 上距离 xOy 面最远点和最近
点的坐标，等价于求函数 H= z2 在条件 x2 + y2 − 2z2 = 0 与 x + y + 3z = 5 下的最大值点和最小值点。
∫= π x2 sin 2xdx 0
∫ = −
x2 2
cos 2x
π 0
+
π
x cos 2xdx
0
∫ = − π 2
2
+
x 2
sin 2x
π 0
−
1 2
π
sin 2xdx
0
=−π2 2
解法 2 取 L1 为 x 轴上从点（π ，0）到点（0，0）的一段，D 是由 L 与 L1 围成的区域
∫ sin 2xdx + 2(x2 −1) ydy L
[A] （8）设随机变量 X ~ N (0,1),Y ~ N (1, 4) ，且相关系数 ρXY = 1 ，则
（A） P{Y = −2X −1} = 1
（B） P{Y = 2X −1} = 1
（C） P{Y = −2X +1} = 1
（D） P{Y = 2X +1} = 1
[D] 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
(A)若{xn}收敛，则{ f (xn )} 收敛
(B)若{xn}单调，则{ f (xn )} 收敛
(C)若{ f (xn )} 收敛，则{xn} 收敛
(D)若{ f (xn )} 单调，则{xn} 收敛

2008年考研数学一纯试题

(20)（本题满分9分）
，为的转置，为的转置
（1）证；（2）若线性相关，则 .
（21）（本题满分9分）
设矩阵，现矩阵满足方程，其中，，
（1）求证
（2）为何值，方程组有唯一解，求
（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解
（22）（本题满分9分）
设随机变量与相互独立，概率分布为，概率密度为，记
. .
. .
（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（）
若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.
若收敛，则收敛. 若单调，则收敛.
（5）设为阶非零矩阵为阶单位矩阵若，则（）
不可逆，不可逆. 不可逆，可逆.
可逆，可逆. 可逆，不可逆.
（6）设为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数（）
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设函数则的零点个数（）
0. 1. 2. 3.
（2）函数在点处的梯度等于（）
. . . .
（3）在下列微分方程中，从（为任意常数）为通解的是（）
0. 1.
2. 3.
（7）随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（）
. .
. .
（8）随机变量，且相关系数，则（）
. .
. .
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
（9）微分方程满足条件的解是 .

2008考研数学(一)试题及详细答案解析

1
ydV x2dxdy ．

x2 y2 4
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0 1
(x2 y2 )dxdy 1
2
d
2 r2 rdr
16 4 ．
xydydz xdzdx x2dxdy
.

【答案】 4 ．
【详解】作辅助面 1 : z 0 取下侧．则由高斯公式，有
xydydz xdzdx x2dxdy

xydydz xdzdx x2dxdy xydydz xdzdx x2dxdy
x o(sin2 3x2
x)
)
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1． 6
【详解
2】
lim
x0
sin
x

sin(sin x4
x)
sin
x
sin x sin(sin x)sin x
lim x0
sin4 x
（8）设随机变量 X N(0,1) , Y N(1, 4) , 且相关系数 XY 1，则【】
(A) P{Y 2X 1} 1
(B) P{Y 2X 1} 1
(C) P{Y 2X 1} 1
(D) P{Y 2X 1} 1
【答案】应选 (D)．
【详解】用排除法．设Y aX b ．由 XY 1 ，知 X ，Y 正相关，得 a 0 ．排除（A）
定理，知 f (x) 至少有一个零点．
又
f (x) 2ln(2 x2 )
4x2 2 x2

2008年全国考研数学一真题

y
）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(A)
i
(B) i .
(C)
j.
(D) j .
【答案】应选(A).
1 x y2 x ． y 【详解】因为 f y ． f x 1 x2 x 2 y 2 y 1 x2 x 2 y2 y2 y2
所以
f x (0,1)
1，
f y
0 ，于是gradf (x, y)
(B) E A 不可逆，则 E A 可逆. (D) E A 可逆，则 E A 不可逆.
(E A)(E A A 2 ) E A3 E ， (E A)(E A A2 ) E A3 E ．
故 E A ， E A 均可逆．故应选(C).
X N (0,1) ， Y N (1, 4) ，得
EX 0, EY 1, E(aX b) aEX b ． 1 a 0 b ， b 1 ．从而排除(B).故应选 (D)．
( 1)( 2i)( 2i) ( 1)(2 4) 3 4 2 4 3 2 4 4
所以所求微分方程为 y y 4 y 4 y 0 ．应选(D).
4
设函数 f ( x) 在 (, ) 内单调有界，{xn } 为数列，下列命题正确的是（ (A) 若 {xn } 收敛，则 { f ( xn )} 收敛 (C) 若 { f ( xn )} 收敛，则 {xn } 收敛. (B) 若 {xn } 单调，则 { f ( xn )} 收敛 (D) 若 { f ( xn )} 单调，则 {xn } 收敛.
又 f (x) 2 ln(2 x )
2
4x2 0 ，恒大于零，所以 f (x) 在 ( , ) 上是单调递增的．又 2 x2

2008数一考研真题

2008数一考研真题
一、概述
2008数一考研真题是该年度数学一科目的考试试题。

本文将通过分析该考题，讨论2008年数一考研试题的内容、难度和解题技巧。

二、内容分析
本次考试试题分为两部分：选择题和填空题。

选择题共10小题，填空题共10小题。

选择题主要涵盖了数学分析、高等代数、概率论和数理统计等方面的知识点，填空题则更加偏向于应用题型。

针对每一道题目，本文将提供具体的解题思路和方法。

三、难度评估
根据考生的反馈和分析师的建议，该年度数一考研试题整体难度适中。

选择题包含了多个知识点，要求考生对数学的各个领域都有一定的了解和掌握。

填空题则需要考生能够熟练地应用所学知识解决实际问题。

总体而言，该考题对于备考充分的考生来说是可以应对的。

四、解题技巧
1. 针对选择题，考生应掌握基本的数学分析、高等代数、概率论和数理统计知识。

通过对题目的仔细分析，确定每个选项的准确性，避免被干扰项所迷惑。

2. 对于填空题，考生需要善于根据问题的描述提取关键信息，并准确地运用相应的数学方法进行计算或推导。

掌握各种数学工具和公式是解题的基础。

五、总结
通过分析2008年数一考研真题，可以得出以下结论：该考题难度适中，内容涉及了数学一科目的各个领域，要求考生具备扎实的数学基础以及解题的技巧。

针对该考题，考生需要充分备考，熟悉各个知识点的概念和运用方法，同时培养出快速解题和答题技巧。

希望本文对考生们备考2008年数一考研有所帮助。

注：本文所提及的内容仅供参考，具体解题方法以官方发布的解析为准。

考研数一08真题

考研数一08真题考研数学一科目一直以来都是考生们的重点和难点，其中08年的真题更是备受关注。

本文将从不同角度对该真题进行分析和讨论，帮助考生更好地理解和应对考试。

首先，我们来看看08年数学一的真题内容。

该年的数学一试卷共有12道选择题和8道填空题，涵盖了数学的各个知识点。

从整体来看，该试卷难度适中，既有基础题也有较难的应用题。

在解题过程中，考生需要熟练掌握数学的基本概念和公式，灵活运用数学方法和思维，以及具备较强的分析和解决问题的能力。

接下来，我们来分析一下该真题中的一些典型题目。

首先是选择题中的第6题，考察了对向量的理解和运用。

该题要求计算两个向量的数量积，并求出其夹角的余弦值。

解答该题需要考生熟悉向量的定义和运算规则，以及掌握向量的数量积的计算方法。

此外，考生还需要注意题目中的条件，根据给定的信息进行计算，得到最终的结果。

接下来是填空题中的第4题，考察了对微分方程的理解和求解。

该题要求求解一个二阶线性微分方程，并给出其特解。

解答该题需要考生熟悉微分方程的基本概念和求解方法，以及掌握二阶线性微分方程的特解求解方法。

在解答过程中，考生需要注意方程的形式，根据给定的条件进行求解，并验证最终的结果是否满足原方程。

除了以上两个题目，该真题中还涉及了概率、数列、极限等多个知识点。

对于考生来说，要想在考试中取得好成绩，就需要全面复习和巩固这些知识点，熟悉各种题型的解法和技巧，并进行大量的练习和模拟考试，以提高解题的速度和准确度。

此外，考生还需要注意一些解题的技巧和方法。

首先是要善于分析题目，理清思路，确定解题的方法和步骤。

其次是要注意计算的准确性和规范性，避免因计算错误而导致答案错误。

此外，还要注意时间的分配和控制，合理安排解题的顺序，以保证能够在规定的考试时间内完成所有题目。

最后，我想强调的是，考研数学一科目并不是一道难以逾越的高山，只要考生们有足够的准备和信心，掌握好基础知识，熟练运用解题方法，合理规划复习时间，相信一定能够在考试中取得好成绩。

2008考研数学一真题及答案解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考答案和评分参考数学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为（B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）函数(,)arctanxf x y y=在点（0，1）处的梯度等于（A ）（A ）i （B ）i - （C ）j （D ）j -（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（D ）（A ）044=-'-''+'''y y y y . （B ）044=+'+''+'''y y y y （C ）044=+'-''-'''y y y y . （D ）044=-'+''-'''y y y y（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（B ）（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛. (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛. (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若03=A ，则（C ）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆. （B ）E A -不可逆，E A +可逆.（C ）E A -可逆，E A +可逆. （D ）E A -可逆，E A +不可逆（6）设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为（B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7）随机变量X ，Y 独立同分布，且X 的分布函数为F(x)，则Z=max{X, Y}分布函数为（A ）（A ）)(2x F ；（B ）)()(y F x F ；（C ）2)](1[1x F --；（D ）)](1)][(1[y F x F -- （8）随机变量~(0,1),~(1,4)X N Y N ，且相关系数1XY ρ=，则（D ）（A ）{21}1P Y X =--= （B ）{21}1P Y X =-= （C ）{21}1P Y X =-+= （D ）{21}1P Y X =+=二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 微分方程'0xy y +=满足条件(1)1y =的解是=y x/1(10) 曲线sin()ln()xy y x x +-=在点（0，1）处的切线方程是1+=x y .(11) 已知幂级数(2)nnn a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(]5,1(12) 设曲面∑是z =⎰⎰∑++dxdy x xdzdx xydydz 2=π4(13) 设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+则A 的非零特征值为__1___(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2EX X P ==e21三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx →-解： ()[]()3040sin sin sin lim sin sin sin sin limx x x x x x x x x -=-→→ ……2分＝()()20203sin cos 1lim 3cos sin cos cos lim xx x x x x x x -=-→→ ……6分 613sin lim 22210==→x x x ……9分 (16)（本题满分9分）计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点（0，0）到点(,0)π的一段.解法1：()()[]⎰⎰⋅-+=-+π22cos sin 122sin 122sin dx x x x x ydy x xdx Ldx x x⎰=π22sin ……4分⎰+-=ππ0022c o s 2c o s 2x d x x x x ……6分 22s i n 212s i n 222002ππππ-=-+-=⎰x d x x x ……9分解法2：取1L 为x 轴上从点()0,π到点()0,0的一段，D 是由L 与1L 围成的区域()⎰⎰⎰-+--+=-++11)1(22sin )1(22sin 122sin 222L L L Lydy x xdx ydy x xdx ydy xxdx ……2分⎰⎰⎰--=02sin 4πxdx xydxdy D……5分⎰⎰⎰⎰--=-=--=ππππ0020sin 00)2cos 1(sin 22cos 214dx x x xdx x x xydy dx x22sin 212sin 2220002ππππ-=-+-=⎰xdx x x x ……9分 (17)（本题满分11分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点.解：点),,(z y x 到xOy 面的距离为z ，故求C 上距离xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数2z H =在条件02222=-+z y x 与53=++z y x 下的最大值点和最小值点. ……3分令)53()2(),,,,(2222-+++-++=z y x z y x z z y x L μλμλ ……5分由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-+=+-==+==+=530203*********'''z y x z y x z z L y L x L z y x μλμλμλ ……7分得y x =，从而⎩⎨⎧=+=-53202222z x z x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=555z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x ……10分根据几何意义，曲线C 上存在距离xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为)5,5,5(--和)1,1,1( ……11分(18)（本题满分10分）设()f x 是连续函数， (I) 利用定义证明函数⎰=x dt t f x F 0)()(可导，且()()F x f x '=；(II) 当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数⎰⎰-=2)()(2)(dt t f x dt t f x G x 也是以2为周期的周期函数.(I) 证：对任意的x ，由于()f x 是连续函数，所以xdt t f x dtt f dt t f x x F x x F xx xx x xx x x ∆=∆-=∆-∆+⎰⎰⎰∆+→∆∆+→∆→∆)(lim )()(lim )()(lim 00000 ……2分 )(lim )(lim 00ξξf xx f x x →∆→∆=∆∆= （其中ξ介于x 与x x ∆+之间）由)()(lim 0x f f x =→∆ξ，可知函数)(x F 在x 处可导，且)()('x f x F = ……5分(II) 证法1：要证明)(x G 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有)()2(x G x G =+，记)()2()(x G x G x H -+=，则()()222()2()(2)()2()()x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dt +'''=-+--⎰⎰⎰⎰0)()(2)()2(222=+--+=⎰⎰dt t f x f dt t f x f ……8分又因为00)(2)(2)0()2()0(2020=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰dt t f dt t f G G H 所以0)(=x H ，即)()2(x G x G =+ ……10分证法2：由于()f x 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有⎰⎰⎰⎰++-+-=-+220)()(2)()2()(2)()2(x xx dt t f x dt t f dt t f x dt t f x G x G⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+x xx x dt t f du u f dt t f dt t f dt t f dt t f 002002022)()2(2)()()()(2……8分[]0)()2(20=-+=⎰x dt t f t f即)(x G 是以2为周期的周期函数. ……10分(19)（本题满分11分）将函数21)(x x f -=，)0(π≤≤x 展开成余弦级数，并求级数121(1)n n n +∞=-∑的和.解：由于⎰-=-=πππ220322)1(2dx x a ……2分,2,1,)1(4cos )1(21202=-=-=+⎰n nnxdx x a n n ππ……5分所以nx n nx a a x f n n n n cos )1(431cos 2)(121210∑∑∞=+∞=-+-=+=π，π≤≤x 0， ……7分令0=x ，有∑∞=+-+-=1212)1(431)0(n n n f π，又1)0(=f ，所以12)1(2121π=-∑∞=-n n n ……11分(20)（本题满分10分）设βα,为3维列向量，矩阵,T T A ααββ=+其中Tα，Tβ为α，β的转置. 证明： (I) 秩()2r A ≤；(II) 若,αβ线性相关，则秩() 2.r A < 证：(I) ()()T T r A r ααββ=+()()T T r r ααββ≤+ ……3分2)()(≤+≤βαr r ……6分(II) 由于βα,线性相关，不妨设βαk =，于是21)())1(()()(2<≤≤+=+=βββββααr k r r A r T T T ……10分(21)（本题满分12分）设n 元线性方程b Ax =，其中A =2222212121212n na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (I) 证明行列式na n A )1(+=；(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； (Ⅲ) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(I) 证法1：记n D A ==2222212121212na a a a aa a a a当1=n 时，a D 21=，结论成立，当2=n 时，2223212a aa a D ==，结论成立 ……2分假设结论对小于n 的情况成立，将n D 按第1行展开得2122n n n D aD a D --=-n n n a n a n a ana )1()1(2221+=--=--，即na n A )1(+= ……6分证法2：2222122222121321012211212212122nna a a a a a aa aA r ar a a a a aa a a =-……2分3222221301240123321212na a a r ar a a a a a a -=……4分nnn n a n a n n a n n a a a ar nn r )1(111013412301211+=+----……6分(Ⅱ) 解：当0≠a 时，方程组系数行列式0≠n D ，故方程组有唯一解. 由克莱姆法则，将n D 第1列换成b ，得行列式为22112222111210212121212122n n n na a a aaaD na a a aa a a aa ---===所以，an nD D x n n )1(11+==- ……9分(Ⅲ) 解：当0=a 时，方程组为 12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1-n ，所以方程组有无穷多解，其通解为()()01001000TTx k =+ ,其中k 为任意常数 ……12分(22)（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为1{}(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为101()0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩，其它记 Y X Z += (I) 求1{0}2P Z X ≤=； (II) 求Z 的概率密度)(z f z . 解：(I) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤021021X Y X P X Z P 2121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=Y P ……4分(II) {}{}z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=)({}{}{}1,0,1,=≤++=≤++-=≤+=X z Y X P X z Y X P X z Y X P {}{}{}1,10,1,1=-≤+=≤+-=+≤=X z Y P X z Y P X z Y P {}{}{}{}{}{}11011=-≤+=≤+-=+≤=X P z Y P X P z Y P X P z Y P{}{}{}[]1131-≤+≤++≤=z Y P z Y P z Y P [])1()()1(31-+++=z F z F z FY Y Y ……7分 []13()()(1)()(1)Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z '==+++- ……9分 ⎩⎨⎧<≤-=其他,021,31z ……11分 (23)（本题满分11分）设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==n i i X n X 11，212)(11∑=--=n i iX X n S ，221S nX T -= (I) 证明T 是2μ的无偏估计量； (II) 当0,1μσ==时，求DT.(I) 证：因2222221)(1)1(ES nX D X E ES n X E S n X E ET -+=-=-= ……4分2222μσσμ=-+=nn所以T 是2μ的无偏估计量 ……7分(II) 解：当0=μ，1=σ时，由于X 与2S 独立，有)1(22S n X D DT -=2221DS nX D += ……9分 []22222)1()1(11)(1S n D n n X n D n --⋅+= )1(21112)1(2)1(11212222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅-⋅+⋅=n n n n n n n n ……11分数学（二）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数2()(1)(2)f x x x x =--，则()f x '的零点个数为（D ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）如图，曲线段的方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()axf x dx '⎰等于（C ）（A ）曲边梯形ABCD 面积. （B ）梯形ABCD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积. （D ）三角形ACD 面积. （3）【同数学一（3）题】（4）判断函数x x x x f sin 1ln )(-=，则)(x f 有（A ）（A ）1个可去间断点，1个跳跃间断点；（B ）1个跳跃间断点，1个无穷间断点.（C ）2个跳跃间断点；（D ）2个无穷间断点（5）【同数学一（4）题】（6）设函数f 连续，若dxdy yx y x f v u F vu D ⎰⎰++=2222)(),(，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ （A ）（A ）)(2u vf （B ）)(2u f u v （C ） )(u vf （D ）)(u f uv（7）【同数学一（5）题】（8）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（D ）（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 已知函数()f x 连续，且1)()1()](cos[1lim2=--→x f ex xf x x ，则=)0(f 2. (10) 微分方程0)(2=-+-xdy dx e x y x 的通解是=y )(x e C x --.(11) 【同数学一（10）题】 (12) 曲线32)5(x x y -=的拐点坐标为)6,1(--.(13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则=∂∂)2,1(xz)12(ln 22-.(14) 设3阶矩阵A 的特征值是λ,3,2，若行列式482-=A ，则=λ1-.三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）【同数学一（15）题】 (16)（本题满分10分）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰20)1ln()(t du u y t x x 确定，其中)(t x 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-=-020t xx te dt dx 的解，求22dx y d . 解：由02=--x te dtdx得tdt dx e x 2=，积分并由条件00==t x ，得21t e x +=，即)1ln(2t x += ……4分)1ln()1(122)1ln(2222t t t t t t dt dxdt dydx dy ++=+⋅+== ……7分[][]1)1ln()1(122)1ln(2)1ln()1()(22222222+++=+++=++==t t t t t t t dt dx t t dt ddx dy dx d dxy d ……10分(17)（本题满分9分）计算21⎰.解：由于+∞=--→2211arcsin lim x xx x ，故dx xx x ⎰-10221arcsin 是反常积分令t x =arcsin ，有t x sin =，[0,)2t π∈⎰⎰⎰==-120202222sin cos cos sin 1arcsin ππtdt t tdt ttt dx xx x ……3分⎰+-=202022sin 4142sin 16πππtdt t t ……7分 41162cos 81162202+=-=πππt ……9分 (18)（本题满分11分）计算{}⎰⎰Ddxdy xy 1,max ，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D .解：曲线1=xy 将区域D 分成如图所示的两个区域1D 和2D ……3分{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=211,m ax D D Ddxdy xydxdy dxdy xy ……5分⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=x xdy dx dy dx xydy dx 102212021021221 ……8分2ln 4192ln 212ln 415+=++-=……11分 (19)（本题满分11分）设)(x f 是区间[)+∞,0上具有连续导数的单调增加函数，且1)0(=f ，对任意的[)+∞∈,0t ，直线t x x ==,0，曲线)(x f y =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数)(x f 的表达式.解：旋转体的体积⎰=t dx x f V 02)(π，侧面积⎰+=tdx x f x f S 02')(1)(2π，由题设条件知⎰⎰+=t t dx x f x f dx x f 02;02)(1)()( ……4分上式两端对t 求导得：)(1)()(2'2t f t f t f +=，即y '=……6分由分离变量法解得12)1ln(C t y y +=-+，即 t Ce y y =-+12 ……9分将1)0(=y 代入知1=C ，故t e y y =-+12，)(21t t e e y -+=于是所求函数为)(21)(x x e e x f y -+== ……11分(20)（本题满分11分）(I) 证明积分中值定理：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈η，使得)()()(a b f dx x f ba-=⎰η；(II) 若函数)(x ϕ具有二阶导数，且满足)1()2(ϕϕ>，⎰>32)()2(dx x ϕϕ，则至少存在一点)3,1(∈ξ，使得()0ϕξ''<证：(I) 设M 与m 是连续函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值，即M x f m ≤≤)(，[]b a x ,∈由积分性质，有⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(，即M dx x f a b m ba ≤-≤⎰)(1……2分由连续函数介值定理，至少存在一点[]b a ,∈η，使得⎰-=badx x f a b f )(1)(η，即))(()(a b f dx x f ba-=⎰η ……4分(II) 由 (I) 知至少存在一点[]3,2∈η，使)()23)(()(32ηϕηϕϕ=-=⎰dx x ……6分又由)()()2(32ηϕϕϕ=>⎰dx x 知，32≤<η，对)(x ϕ在]2,1[和],2[η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到)1()2(ϕϕ>，)()2(ηϕϕ>，得21,012)1()2()('11<<>--=ξϕϕξϕ，32,02)2()()('22≤<<<--=ηξηϕηϕξϕ ……9分在],[21ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有211221()()()0,(,)(1,3)ϕξϕξϕξξξξξξ''-''=<∈⊂- ……11分(21)（本题满分11分）求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 下的最大值与最小值.解：作拉格朗日函数)4()(),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x F μλμλ……3分令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=04002022022'22''''z y x F z y x F z F y y F x x F z y x μλμλμλμλ ……6分解方程组得)2,1,1(),,(111=z y x ，)8,2,2(),,(222--=z y x ……9分故所求的最大值为72，最小值为6. ……11分(22)（本题满分12分）【同数学一（21）题】 (23)（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关；（Ⅱ）令123{,,}P ααα=，求1P AP -.证明: (I) 设存在数321,,k k k ，使得0332211=++αααk k k ○1 用A 左乘○1的两边，并由11αα-=A ，22αα=A ，得：0)(3323211=+++-αααk k k k ○2 ……3分 ○1－○2得：022311=-ααk k ○3 因为21,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以21,αα线性无关，从而031==k k 代入○1得，022=αk ，又由于02≠α，所以02=k ，故123,,ααα线性无关. ……7分（Ⅱ）由题设，可得),,(),,(321321ααααααA A A A AP ==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100110001100110001),,(321P ααα由(I)知，P 为可逆矩阵，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1001100011AP P ……10分数学（三）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数()f x 在区间]1,1[-上连续，则x=0是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（B ）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点. （C ）无穷间断点. （D ）振荡间断点.（2）【同数学二（2）题】（3）已知(,)f x y =则（B ）（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在（B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在（C ）)0,0(x f '存在，)0,0(y f '不存在（D ）)0,0(x f ' )0,0(y f '都不存在（4）【同数学二（6）题】（5）【同数学一（5）题】（6）【同数学二（8）题】（7）【同数学一（7）题】（8）【同数学一（8）题】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 设函数21,()2,x x c f x x cx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则=c 1.(10) 函数3411x x f x x x +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求积分⎰=222)(dx x f 3ln 21. (11) 设{}1),(22≤+=y x y x D ，则⎰⎰=-Ddxdy y x )(24/π.(12) 【同数学一（9）题】(13) 设3阶矩阵A 的特征值是1, 2, 2，E 为3阶单位矩阵，则E A --14= _3___ . (14) 【同数学一（14）题】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）计算201sin limlnx xx x→. 解：原式＝20lnsin ln lim x x x x →-=xx xx x x sin 2sin cos lim 20-→ ……4分 302sin cos lim x x x x x -=→206sin limx xx x -=→ ……7分 61-= ……9分 (16)（本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程22()x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数且1ϕ'≠-，(I) 求 dz ； (II) 记 1(,)()z z u x y x y x y ∂∂=--∂∂，求ux∂∂. 解法1：(I) 设)(),,(22z y x z y x z y x F ++--+=ϕ则2x F x ϕ'=-，2y F y ϕ''=-，1z F ϕ''=-- ……3分由公式x z F z x F '∂=-∂'，y zF z y F '∂=-∂'，得 21z x x ϕϕ'∂-='∂+，21z y y ϕϕ'∂-='∂+ 所以[]1(2)(2)1z z dz dx dy x dx y dy x y ϕϕϕ∂∂''=+=-+-'∂∂+ ……7分 (II) 由于2(,)1u x y ϕ='+，所以 2322(21)(1)(1)(1)u z x x x ϕϕϕϕ'∂-∂+''=+=-''∂+∂+ ……10分解法2：(I) 对等式)(22z y x z y x ++=-+ϕ两端求微分,得22()xdx ydy dz dx dy dz ϕ'+-=⋅++ ……5分解出dz 得 2211x y dz dx dy ϕϕϕϕ''--=+''++ ……7分(II) 同解法1 ……10分 (17)（本题满分11分）【同数学二（18）题】 (18)（本题满分10分） ()f x 是周期为2的连续函数， (I) 证明对任意实数t ，有⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t；(II) 证明⎰⎰+-=xt tdt ds s f t f x G 02])()(2[)(是周期为2的周期函数.证法1：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，⎰⎰⎰⎰++++=022202)()()()(tt t tdx x f dx x f dx x f dx x f ……2分令2-=x s ，则有⎰⎰⎰⎰-==+=+0022)()()2()(tttt dx x f ds s f ds s f dx x f所以⎰⎰⎰⎰⎰=-+=+222)()()()()(dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ttt t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰20)(，则ax dt t f x G x-=⎰0)(2)(因为对任意的x ，ax dt t f x a dt t f x G x G xx +-+-=-+⎰⎰+020)(2)2()(2)()2(a dt t f x x 2)(22-=⎰+ ……8分02)(22=-=⎰a dt t f所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分证法2：(I) 设 ⎰+=2)()(t tdx x f t F ，由于0)()2()('=-+=t f t f t F ， ……2分所以)(t F 为常数，从而有)0()(F t F = 而⎰=20)()0(dx x f F ，所以⎰=20)()(dx x f t F ，即⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰2)(，则ax dt t f x G x -=⎰0)(2)(，⎰++-=+20)2()(2)2(x x a dt t f x G ……7分由于对任意x ，((2))2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，(())2()G x f x a '=- 所以((2)())0G x G x '+-=，从而)()2(x G x G -+是常数，即有0)0()2()()2(=-=-+G G x G x G ，所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为05.0=r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取)910(n +万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？解：设n A 为用于第n 年提取)910(n +万元的贴现值，则)910()1(n r A n n ++=-故∑∑∞=∞=++==11)1(910n nn n r nA A ……3分 ∑∑∑∞=∞=∞=++=+++=111)1(9200)1(9)1(110n nn n n n r nr n r ……6分设∑∞==1)(n nnxx S ，)1,1(-∈x因为21()()()1(1)n n x x S x x x x x x ∞=''===--∑，)1,1(-∈x ……9分所以42005.1111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S r S （万元）故39804209200=⨯+=A （万元），即至少应存入3980万元. ……10分(20) ( 本题满分12分 ) 【同数学一（21）题】 (21) ( 本题满分10分 ) 【同数学二（23）题】 (22) ( 本题满分11分 ) 【同数学一（22）题】 (23) ( 本题满分11分 ) 【同数学一（23）题】数学（四）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设0a b <<，则=+--∞→nnn n b a1)(lim （B ）（A ）a . （B ）1-a . （C ）b . （D ）1-b . （2）【同数学三（1）题】（3）设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域},10),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=则以下结论正确的是（A ）（A ）()()0.Df yg x dxdy =⎰⎰ （B ）()()0.Df xg y dxdy =⎰⎰（C ）[()()]0.Df xg y dxdy +=⎰⎰ （D ）[()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰（4）【同数学二（2）题】（5）【同数学一（5）题】（6）【同数学二（8）题】（7）【同数学一（7）题】（8）【同数学一（8）题】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 【同数学三（9）题】 (10) 已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程是xy 2= .(11)=⎰⎰121ln xdy x dx y2/1.(12) 【同数学二（10）题】(13) 设3阶矩阵A 的特征值互不相同，且行列式0A =，则A 的秩为___2___. (14) 【同数学一（14）题】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）【同数学三（15）题】 (16)（本题满分10分）设函数dt x t t x f ⎰-=10)()()10(<<x ，求()f x 的极值、单调区间及曲线)(x f y =的凹凸区间.解：31231)()()(310+-=-+-=⎰⎰x x dt x t t dt t x t x f xx……4分令21()02f x x '=-=，得22,22-==x x （舍去）因()20f x x ''=>（10<<x ） ……5分故22=x 为()f x 的极小值点，极小值)221(31)22(-=f ，且曲线)(x f y =在)1,0(内是凹的. ……8分由21()2f x x '=-知，()f x 在)22,0(内单调递减，在)1,22(内单调递增. ……10分(17)（本题满分11分）【同数学二（21）题】 (18)（本题满分10分）【同数学三（16）题】 (19)（本题满分10分）【同数学三（18）题】 (20)（本题满分12分）【同数学一（21）题】 (21)（本题满分10分）【同数学二（23）题】 (22)（本题满分11分）【同数学一（22）题】 (23)（本题满分11分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工，且再加工合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少应生产多少件产品？解：进行再加工后，产品的合格率984.08.075.004.096.0=⨯⨯+=p ……4分记X 为n 件产品中的合格产品数，)(n T 为n 件产品的利润，则n np EX p n B X 984.0),,(~== ……8分 )(2080)(X n X n T --=，()1002078.4ET n EX n n =-= ……10分要20000)(≥n ET ，则256≥n ，即该企业每天至少应生产256件产品. ……11分。

2008.01考研管理类联考初数真题（有答案）

2008.01考研管理类联考初数真题（有答案）2008年1月真题一、问题求解：第1~15小题，每小题3分，共45分。

下列每题给出的五个选项中，只有一项是符合试题要求的。

请在答题卡上将所选项的字母涂黑。

1、24832234101(13)(13)(13)(13)(13)233333++++++= A 10191332?+ B 19132+ C 19132?D 9132?E 以上结论均不正确 2、若ABC ?的三边为,,a b c 满足222a b c ab ac bc ++=++，则ABC ?为（）A 等腰三角形B 直角三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形E 以上都不是3、P 是以a 为边长的正方形，1P 是以P 的四边中点为顶点的正方形，2P 是以1P 的四边中点为顶点的正方形，i P 是以1i P -的四边中点为顶点的正方形，则6P 的面积是（） A 216a B 232a C 240a D 248a E 264a 4、某单位有90人，其中65人参加外语培训，72人参加计算机培训，已知参加外语培训而未参加计算机培训的有8人，则参加计算机培训而未参加英语培训的人数是（）A 5B 8C 10D 12E 155、方程2(13)30x x -++=的两根分别为等腰三角形的腰a 和底b（a b <）,则该三角形的面积是（） A 114 B 118 C 34 D 35 E 386、一辆出租车有段时间的营运全在东西走向的一条大道上，若规定向东为正向，向西为负向。

且知该车的行驶的公里数依次为-10、6、5、-8、9、-15、12，则将最后一名乘客送到目的地时，该车的位置是（）A 在首次出发地的东面1公里处B 在首次出发地的西面1公里处C 在首次出发地的东面2公里处D 在首次出发地的西面2公里处E 仍在首次出发地7、如图所示长方形ABCD 中的AB=10CM ，BC=5CM ，设AB 和AD 分别为半径作14圆，则图中阴影部分的面积为： A 225252cm π- B 2125252cm π+ C 225504cm π+ D 2125504cm π- E 以上都不是 8、若用浓度为30%和20%的甲乙两种食盐溶液配成浓度为24%的食盐溶液500克，则甲乙两种溶液各取：A 180克 320克B 185克 315克C 190克 310克D 195克 305克E 200克 300克9、将价值200元的甲原料与价值480元的乙原料配成一种新原料，若新原料每一千克的售价分别比甲、乙原料每千克的售价少3元和多1元则新原料的售价是：A 15 元B 16元C 17元D 18元E 19元10、直角边之和为12的直角三角形面积最大值等于：A 16B 18C 20D 22E 以上都不是11、如果数列{}n a 的前n 项的和332n n s a =-，那么这个数列的通项公式是： A 22(1)n a n n =++B 32n n a =?C 31n a n =+D 23n n a =?E 以上都不是12、以直线0y x +=为对称轴且与直线32y x -=对称的直线方程为： A 233x y =+ B 233x y =+- C 32y x =-- D 32y x =-+ E 以上都不是13．有两排座位，前排6个座，后排7个座。

2008考研数学一真题

2008考研数学一真题2008年考研数学一真题是许多考生备战考研时经常研究的一套试题。

这套试题的难度相对较高，涵盖了多个数学领域的知识点。

在本文中，我们将对2008年考研数学一真题进行一些分析和解答，希望能够帮助考生更好地理解和应对这套试题。

首先，我们来看看2008年考研数学一真题的整体结构。

这套试题分为两个部分，第一部分是选择题，共有15道题目；第二部分是主观题，共有5道题目。

选择题部分主要考察对基本概念和定理的理解，而主观题则需要考生独立思考和解答。

在选择题部分，有一道比较有代表性的题目是第11题。

这道题目考察了对极限的理解和运用。

题目给出了一个关于函数极限的定义，然后要求考生判断该定义是否正确。

通过对该题目的分析和解答，我们可以发现，正确答案是B。

这道题目考察了考生对极限定义的理解和运用能力，需要考生熟练掌握极限的基本概念和性质。

在主观题部分，有一道比较有代表性的题目是第16题。

这道题目考察了对微分方程的理解和求解能力。

题目给出了一个二阶线性常系数齐次微分方程，并要求考生求解该微分方程的通解。

通过对该题目的分析和解答，我们可以发现，正确答案是C。

这道题目考察了考生对微分方程的基本理解和求解方法的掌握程度，需要考生熟练运用微分方程的求解技巧。

除了以上两道题目，2008年考研数学一真题还涉及了概率论、数理统计、线性代数等多个数学领域的知识点。

这些知识点的掌握对于考生来说非常重要，因为它们是考研数学一真题中经常出现的内容。

在备战考研数学一时，我们应该注重对基本概念和定理的理解和记忆，同时也要注重对各种题型的训练和解题技巧的掌握。

通过反复练习和解析真题，我们可以提高自己的数学水平和解题能力，从而更好地应对考试。

总之，2008年考研数学一真题是一套相对难度较高的试题，涵盖了多个数学领域的知识点。

在备战考研数学一时，我们应该注重对基本概念和定理的理解和记忆，同时也要注重对各种题型的训练和解题技巧的掌握。

2008考研数三真题及解析(1)

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.x(1) 设函数 f (x ) 在区间[1,1]上连续，则x 0 是函数g x ( ) 0f t dt ( ) 的( )xA 跳跃间断点.B 可去间断点.C 无穷间断点.D 振荡间断点.(2) 如图，曲线段方程为 yf x ( ) ，函数在区间[0,a ]上有连续导数，则定积分0axf (x dx ) 等于( )A 曲边梯形ABOD 面积.B 梯形ABOD 面积.C 曲边三角形ACD 面积.D 三角形ACD 面积.(3) 设 f x y ( , ) x 2y 4, 则函数在原点偏导数存在的情况是( ) Af x (0,0)存在, f y(0,0)存在 Bf x (0,0)存在, f y (0,0)不存在Cf x(0,0)不存在, f y (0,0)存在Df x (0,0)不存在, f y(0,0)不存在yC (0 , f ( a ))A ( a , f ( a ))y = f ( x )O B ( a ,0) xD22(4) 设函数 f 连续. 若f x2y 2F u v,dxdy ，D uvxy 其中区域D uv 为图中阴影部分，F则 ( )u2v 2vA vfuBfuC vfuDfuuu(5) 设 A 为n 阶非 0 矩阵E 为n 阶单位矩阵若 A 3 O ，则( )A E A 不可逆， E A 不可逆.B E A 不可逆， EA 可逆.C EA 可逆，EA 可逆.D E A 可逆，E A 不可逆.1 2(6) 设 A则在实数域上与 A 合同的矩阵为()2 1A 2 11 .2B 2 11.2C 2 1 1.2D 1 2 2.1(7) 随机变量 X ,Y 独立同分布，且 X 分布函数为 Fx ，则Z max X Y ,分布函数为 ()Oxvx 2 + y 2 = u 2 x 2 + y 2 =1D u vyAF 2x . BFx F y . C 11 Fx2.D1Fx1 F y. (8) 随机变量 X N0,1，Y N 1,4且相关系数X Y1，则( )A P Y2X11.B P Y2X 11 .C P Y2X11 .D P Y2X 11.二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.x ( ) 在(,) 内连续，则c .(9) 设函数 fx c1 x x(10) 函数 fxx1x 4 ，求积分2fx dx .(11) 设D (x y , ) | x 2 y 2 1，则(x2y dxdy ).D(12) 微分方程xy y 0, y (1)1, 求方程的特解 y.(13) 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为三阶单位矩阵，则4A 1E. (14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则PXEX 2.三、解答题：15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分 9 分)1 sin x 求极限lim 0x 2 ln x .2 221 ,2 , x x cx3x(16) (本题满分 10 分) 设 zz (x y , ) 是由方程x 2y 2 z x y z所确定的函数，其中具有 2 阶导数且1，(I) 求dz(II) 记u x y ,x 1 y xz yz ，求 ux .(17) (本题满分 11 分)计算maxxy ,1dxdy , 其中 D {(x y ,) 0 x2,0y 2}D(18) (本题满分 10 分)设 fx 是周期为 2 的连续函数，t 22(I) 证明对任意实数 t 都有tfx dx 0f x dxxt 2(II) 证明Gx2 f ttf s ds dt是周期为 2 的周期函数．(19) (本题满分 10 分)设银行存款的年利率为r0.05，并依年复利计算. 某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，…，第n 年取出(10+9 n )万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) (本题满分 12 分)设n 元线性方程组Axb ，其中2a 1 2 A a2a2a1x 1 1 x 2 0 ， x ， b ，x n 02a nn(I)证明行列式A n1a n ；(II)当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1 ；(III)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21)(本题满分10 分)设A 为 3 阶矩阵，1, 2 为A 的分别属于特征值1,1 特征向量，向量 3 满足A 3 2 3 . (1)证明1,2, 3 线性无关；(2)令P 1,2, 3 ，求P1AP .(22)(本题满分11 分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为P X i i 1,0,1，Y 的概率密10 y 1度为f Y y ，记Z X Y .0 其它1求：(I) P Z X 0；2(II) Z 的概率密度f Z (z) ．(23) (本题满分11 分) 设X1, X2, , X n 是总体N (,2)的简单随机样本.记1nX X i ，S 2 1 n (X i X )2 ，T X 2 1 S 2n i1n 1 i1n(I) 证明T 是 2 的无偏估计量；(II)当0,1时，求DT .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题(1)【答案】Bxf t dt( )【详解】lim g x( ) lim0lim f x f 0 ，x0x0x x0所以x0 是函数g(x) 的可去间断点．(2)【答案】Ca aa a解】xf (x dx)xdf x( ) xf x( )a0 f x dx af a( )( ) 【详f x dx( )0000面积，f (x dx) 为曲边梯形ABOD的面积，所以xf a a 其中af (a) 是矩形ABOC(x dx) 为00曲边三角形的面积．(3)【答案】Cx204x【详解】fx(0,0) lim f x( ,0) f (0,0) lim e 1 lim e1x0x 0x0x x0x22e x1 e x 1 e x 1 e x1lim lim 1 ， lim lim 1 xxxxx 0x x 0x故 f x (0,0) 不存在．02y 4y 22f y (0,0) limf (0, y ) f (0,0)lim e1 lime1limy 0y 0y 0 y 0yy 0yy 0y所以 f y(0,0) 存在．故选C(4)【答案】 Af u2v 2v u2u【详解】用极坐标得 F u v,dudvdvf r (r )rdr v1f rdr ( 2)0 1 DuvF 2所以vf uu(5)【答案】C 【详解】( EA E )( A A 2) E A 3 E ，( E A E )( A A 2) EA 3 E 故 E A , E A 均可逆．(6)【答案】D1 2【详解】记 D，2 1122122则 E D 1 4 ，又 E A 142 1 2 1所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值. 又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.(7)【答案】A【详解】F z P Z z P Z max X Y, z P X z P Y z F z F z F z2(8)【答案】D【详解】用排除法. 设Y aX b，由X Y 1，知道X ,Y 正相关，得a0，排除A 、 C 由X ~ N(0,1),Y ~ N(1,4) ，得EX 0, EY 1, 所以 E Y( ) E aX( b) aEX b a0 b 1, 所以b1. 排除B . 故选择D二、填空题(9)【答案】12 x,x c【详解】由题设知c | x |0 ，所以f x( ) x21,c x c2 x,x c22 2 ，lim f x lim 2因为lim f x lim(x 1) c 1x c x c x c x c x c又因为f (x) 在(,) 内连续，f (x) 必在x c 处连续2 2 所以limf x lim f x f c( ) ，即c 1 c1x c x c c(10)【答案】 ln 322xx ，令t 1 x ，得 f【详解】 ft2t1 xt 22x 2xx121 x2 2dx 2 ln x所以2f x dx22ln 6ln 22 ln 3(11)【答案】4 【详解】(x2y dxdy ) 利用函数奇偶性x dxdy21 x 2y dxdy 22DDD12d1r rdr 22 041(12)【答案】 yxdy y【详解】由，两端积分得ln y ln x C 1 ，所以 C，又y (1) 1 ，所以dxx1 y .x(13)【答案】32 222 111 1 xx x xx x2 221 21 xy【详解】A的特征值为1,2,2 ，所以A 1 的特征值为1,1 2,1 2 ，所以4A 1 E 的特征值为4 1 1 3，412 1 1 ，4 12 1 1 所以4A 1 E3 1 1 3(14)【答案】e1【详解】由DX EX 2 (EX )2 ，得EX 2 DX (EX )2 ，又因为X 服从参数为1 的泊松2分布，所以DX EX 1，所以EX 2 11 2 ，所以P X2 1 e 1 1 e12！2三、解答题(15)【详解】方法一：lim x0 x12 ln sin x x lim x0 x12 ln 1sin x x 1sin x x cos x 1sin x1lim x0x3lim x03x2lim x06x 61sin x x cos x sin x x cos x sin x方法二：lim x0 x2 ln x 洛必达法则lim x02x2 sin x lim x02x3x sin x1 洛必达法则lim06x26x(16)【详解】(I) 2xdx 2ydy dz x y z dx dy dz1dz 2x dx2y dy2x dx 2y dydz1 111 / 21z2xz 2y(II)由上一问可知,，x 1 y11z z 1 2x 2y 1 2y 2x2所以u x y,( )( )x y x y x y11 x y11z2xu 2(12x)2(112)2(123x )2(12 )3x .所以x11 11(17) 【详解】曲线 xy 1将区域分成两个区域D 1 和D 2 D 3 ，为了便于计算继续对区域分割，最后为maxxy ,1dxdyDxydxdydxdydxdyD 1D 2D 312 222dx1dy dxx1dy1dx1xydy0 00 2x1 2ln2 ln 2ln 2(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，O0.5 2 xD 1D 3 D 2t202t2t f x dx t f x dx0 f x dx2f x dxt2t t0 令x2u ，则2f x dx0 f 2 u du0 f u du t f x dxt20202所以t f x dx t f x dx0 f x dx t f xdx0 f x dxt222(II) 由(1)知，对任意的t有t f x dx 0 f x dx，记a 0f x dx ，则xG x( ) 20 f u du ax . 所以，对任意的x ，x2xG x( 2) G x( ) 20f u du a x( 2) 20 f u duaxx222x f u du2a 20 f u du2a 0 所以G x 是周期为2 的周期函数.t 2 方法二：(I) 设F t( ) t f x dx( ) ，由于F t( ) f t( 2) f t( ) 0 ，所以F(t) 为常数，2 2 从而有F t( ) F(0) . 而F (0)0 f x dx( ) ，所以F t( ) 0 f x dx( ) ，即t22t f x dx( )0 f x dx( ).t222(II) 由(I)知，对任意的t有t f x dx 0 f x dx，记a 0 f x dx ，则x x2G x( ) 20 f u du ax ，G x( 2) 20 f u du ax( 2) 由于对任意x，G x( 2) 2 f x( 2) a 2 f x( ) a ，G x( ) 2 f x( ) a 所以G x( 2) G x( )0 ，从而Gx( 2) G x( ) 是常数即有G x( 2) G x( ) G(2) G(0) 0 所以G x 是周期为2 的周期函数.(19)【详解】方法一：设A n 为用于第n年提取(10 9 )n 万元的贴现值，则A n (1r)n (10 9 )n10 9n19n n故A n 1 A n n 1 (1r)n 10n 1 (1r)n n 1 (1r)n 200 9n 1 (1r)n 设S x( )nx n x ( 1,1)n1n x x因为S x( ) x(n 1 x )x(1x)(1x)2x( 1,1)11所以S() S() 420 (万元) 1r1.05 故A2009420 3980 (万元)，即至少应存入3980 万元. 方法二：设第t年取款后的余款是y t ，由题意知y t 满足方程y t (1 0.05)y t1(10 9 )t，即y t 1.05y t1(10 9 )t (1)(1)对应的齐次方程y t1.05y t10 的通解为y t C (1.05)t 设(1)的通解为y t * at b ，代入(1)解得 a 180，b 3980 所以(1)的通解为 y tC (1.05)t180t3980 由 y 0A ， y t 0得 A C3980 C 0 故 A至少为 3980 万元．(20) 【详解】(I) 证法一：2a1证法二：记D n | A | ，下面用数学归纳法证明D n(n 1)a n ．当n 1时， D 12a ，结论成立．2a 122 22 2 1221 2 13 1 2 10 2 2 12 2 1 1 2 2 12 3 01 24 013 4 ( 1) 2 ( 1) 33 2 1 1) ( 0n nn a a a a a a a a arr a a aa a a an a a a n r ar an annn a nA当n 2时，D 223a ，结论成立． a 2a 假设结论对小于n 的情况成立．将D n 按第 1 行展开得a 2 12aD n1a D 2 n22ana n1a n 2( 1)a n2(n 1)a n故 | A | (n1)a n 证法三：记D n| A | ，将其按第一列展开得 D n2aD n1a D 2 n2 ，所以 D n aD n1aD n1a D 2n2a D (n 1aD n 2) a 2(D n 2aD n 3)a n 2(D 2aD 1)a n 即D n a naD n1a n a a ( n1aD n 2) 2a na D 2n 2(n 2)a n a n 2D 2 (n 1)a n a n 1D 1(n 1)a n a n12 a (n 1)a n (II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax B 知 A0 ，又 A(n1)a n ，故a0．由克莱姆法则，将D n 的第 1 列换成b ，得行列式为D n 2aD n 12a a 21 2a 1a 21 2a112a1a2 2a n10 2a 1a2 2a 1 a2 2aD n 1 na1 1a22aa22a(n 1) (n 1)D n1n所以x 1D n(n1)a(III) 方程组有无穷多解，由A 0，有a 0，则方程组为0101x11x201x n100x n0此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1，所以方程组有无穷多解，其通解为k 100 0T 010 0T ,k 为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设1,2, 3 线性相关．因为1, 2 分别属于不同特征值的特征向量，故1, 2 线性无关，则3可由1, 2 线性表出，不妨设 3 l1 1 l2 2 ，nn其中l1,l2 不全为零(若l1,l2 同时为0，则3为0，由A 3 2 3 可知 20 ，而特征向量都是非0 向量，矛盾)A 1 1, A 2 2A 3 2 3 2 l 1 1 l2 2 ，又A 3 A l( 1 1 l 22) l 1 1 l22l 1 1 l 2 2 2 l1 1 l2 2 ，整理得：2l 1 12 0 则1, 2 线性相关，矛盾. 所以，1,2,3 线性无关.证法二：设存在数k k k1, 2, 3 ，使得k 1 1 k 2 2 k 3 30 用A左乘(1)的两边并由A 1 1,A 2 2 得(1)k 1 1 (k 2 k3) 2 k 3 3 0(2)(1)—(2)得2k 1 1 k 3 2 0(3)因为1, 2 是A 的属于不同特征值的特征向量，所以1, 2 线性无关，从而k 1 k 3 0 ，代入(1)得k 2 2 0，又由于 2 0 ，所以k 2 0 ，故1,2, 3 线性无关.(II) 记P (1,2,3) ，则P 可逆，AP A (1,2,3) (A 1, A 2, A 3) (1,2, 2 3)1 (1,2,3)000111P111 01P X(0,Y)11111(I)P Z(X 0)P X Y(X0) 2 PY ( ) 021dy222P X (0)2(II)F Z (z ) P Z{z } P X{Y z}P X {Y z X ,1}P X {Y z X ,0}P X{Yz X,1}P Y {z 1, X 1}P Y{z X,0}P Y{z1, X 1}P Y {z 1} {P X 1}P Y{z P X} {0}P Y { z 1} {P X 1}P Y {z 1}P Y{z }P Y{z 1}F z Y ( 1) F z Y ( ) F z Y ( 1)1所以f Z (z ) f Y (z 1) f Y ( )z f Y (z 1) 3 ,1z 2 130,其它22(23) 【详解】(I) 因为X N (,) ，所以X N (,) ，从而EX n21221 2 因为E T() E X(S ) EX E S()n n D X ( E X ) 21 E S (2 )10所以P AP10100 (22)【详解】01.111 2 2122n nn所以，T 是2的无偏估计(II) 方法一：D T ()ET 2 (ET )2 ，E T () 0 ，E S (2)212 ,DX． n122 D nXDX ( )n21222n n nES 4ES 2DS 2(ES 22)DS 21(n 1)2 S 2 (n 1)S 22(n 1) ，所以DW因为W 2(n 1) ，S 4n 1 nnn2422所以E X ( ) D X ( ) E 2(X )D 所以 2 ( ) D ETT 42 22 2 ( )E X S Xn42 2 42 2 ( ) ( ) ) ( ( ) EXES ES EX n因为 ( 0 ,1) X N ，所以 1( ) , 0 N X n，有 1 0 , E X DX ， 2 2 1E X DX EX2 2 1 ) ( ) ( nX E DX X n2213DS 2 2 ,所以ES 42 2 ，所以2 1 n 1 又因为DW (n1) DS(n1)(n1)n123211n12所以ET 2 1 2 . n n n n n 1n n( 1)方法二：当0,1时D T() D X(21 S2)(注意X 和S2 独立) n21212112DX n2 DS n2 D nX n2 (n1)2 D(n1)S11122 2 2 2 2(n 1)n n(n1)n n ( 1)21 / 21。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln(2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln(2)02x f x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞）所以()f x '只有一个零点.(2)【答案】A【详解】因为2211x yf x y '=+，2221y x y f x y-'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '= 所以 (0,1)10f =⋅+⋅=grad i j i(3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有x e 、cos 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是440y y y y ''''''-+-=(4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆．(6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z a b c'''--=，即二次型的标准型为222222x y z f a b c'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2max ,Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】用排除法. 设Y aX b =+，由1XY ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,EX EY ==所以 ()()E Y E aX b aEX b =+=+=01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dx x -=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1C x y=，又(1)1y =，所以1y x =.(10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1cos()11cos()x y y xy F dy y x dx F x xy y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得01x dydx ==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即nn n a t∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x-<-≤得15x <≤，即幂级数0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5](12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++⎰⎰ 1122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y ydxdydz x dxdy x y dxdy Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22300142d r dr πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则AP PB = 因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P AP -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1.(14)【答案】12e【详解】由22()DX EX EX =-，得22()EX DX EX =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1DX EX ==，所以2112EX =+=，所以 {}21111222P X e e --===！三、解答题(15) 【详解】方法一：4300[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlim x x x x x x x x x→→--= 22220001sin cos cos(sin )cos 1cos(sin )12lim lim lim 3336x x x xx x x x x x x →→→--==== 方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin(sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+4444400[sin sin(sin )]sin sin (sin )1lim lim 66x x x x xx o x x x x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦ (16) 【详解】方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）22202220000sin 22(1)[sin 22(1)sin cos ]sin 21cos 2cos 2sin 2sin 222222Lxdx x ydyx x x x dx x xdxx x x x xdx x xdx ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域112220sin 2000022000sin 22(1)sin 22(1)sin 22(1)14sin 24cos 22sin 21(1cos 2)sin 2sin 22222LL L L xDxdx x ydyxdx x ydy xdx x ydyxydxdy xdx dx xydy x x xdx x x x x dx x xdx πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLxdx ydy x ydy -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LLLxdx x ydy xdx ydy x ydy I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Qy x∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10sin 20I xdx π==⎰22222002200022122sin cos sin 2cos 221111cos 22cos 2sin 222221111sin 2cos 22222LI x ydy x x xdx x xdx x d x x x x xdx xd xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到xOy 面的距离为||z ，故求C 上距离xOy 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y zλμλμ=++-+++- 所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)xy zL x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 220235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩或111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以0000()()()()limlim x xxx x f t dt f t dtF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰0()()limlimlim ()x x xx x x f t dt f xf xxξξ+→→→===⎰ ，其中ξ介于x 与x x +之间由于0lim ()()x f f x ξ→=，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dtf x f t dt f x f t dt +'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t dt f t dt =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x x G x G x f t dt x f t dt f t dt x f t dt ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()22202002x x f t dt f t dt f t dt f t dt +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()()()()000222[2]0x x xf t dt f u du f t f t dt ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】由于 220022(1)23a x dx πππ=-=-⎰212024(1)cos (1)1,2,n n a x nxdx n nππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()cos 14cos 023n n n n a f x a nx nx x n ππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑ 令0x =，有 2121(1)(0)143n n f n π+∞=-=-+ ∑ 又(0)1f =，所以 1221(1)12n n n π+∞=- =∑(20)【详解】(I) ()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12T T T r A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a a aa aA r ar aaa a =-=121301240134(1)2(1)3231(1)0n n n a a a n a a n ar ar a n a nnn a n--+-=⋅⋅⋅=++ 证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)n n D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n a a a aD aD a a-=-21221222(1)(1)n n n n n aD a D ana a n a n a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D aD a D --=-，所以 211212()n n n n n n D aD aD a D a D aD ------=-=-222321()()n n n n a D aD a D aD a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a aD a a a aD a a D ----=+=++=++2121(2)(1)n n n n n a a D n a a D --==-+=-+1(1)2(1)n n n n a a a n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由Ax B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n a aa a a aa aD na a a a a --⨯-⨯-===所以 11(1)n n D nx D n a-==+ (III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()10000100,TTk k +为任意常数．(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y dy P X =≤≤==+≤===≤===⎰ (II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤={1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- []1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++- 所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(23) 【详解】 (I) 因为2(,)XN μσ，所以2(,)XN nσμ，从而2,E X DX nσμ= =．因为 221()()E T E X S n =-221()E X E S n =- 221()()DX E X E S n =+-222211n nσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T ET ET =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T ET =442222()S E X X S n n=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S n n=-+ 因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n ==，()221E X DX E X n=+=所以2242222()()()()()E X D X E X D D X E X ⎡⎤=+=++⎣⎦2221()D D X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭ ()2422222()1ES E S DS ES DS ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n S W n S n χσ-==--，所以2(1)DW n =-，又因为22(1)DW n DS =-，所以22(1)DS n =-,所以4211(1)1n ES n n +=+=-- 所以 2223211111n ET n n n n n +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-. 方法二：当0,1μσ==时221()()D T D X S n=- (注意X 和2S 独立)222222221111(1)(1)DX DS D D n S n nn n ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n n n n n n =⋅+⋅⋅-=--。

2008年考研数学真题

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()f x 在区间[1,1]-上连续，则0x =是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点.（C ）无穷间断点.（D ）振荡间断点.（2）如图，曲线段方程为()y f x =，函数()f x 在区间[0,]a 上有连续的导数，则定积分()at xf x dx⎰等于（）（A ）曲边梯形ABOD 面积.（B ）梯形ABOD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积.（D ）三角形ACD 面积.（3）已知(,)f x y =（A ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都存在（B ）(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在（C ）(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在（D ）(0,0)x f '，(0,0)y f '都不存在（4）设函数f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中uvD 为图中阴影部分，则Fu ∂=∂（）（A ）2()vf u （B ）2()v f u u （C ）()vf u （D ）()v f u u（5）设A 为阶非0矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若30A =，则（）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆.（B ）E A -不可逆，E A +可逆. （C ）E A -可逆，E A +可逆.（D ）E A -可逆，E A +不可逆.（6）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则在实数域上域与A 合同的矩阵为（）（A ）2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.（B ）2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.（C ）2112⎛⎫⎪⎝⎭.（D ）1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. （7）随机变量,X Y 独立同分布，且X 分布函数为()F x ，则{}max ,Z X Y =分布函数为（）（A ）()2F x .（B ）()()F x F y .（C ）()211F x --⎡⎤⎣⎦.（D ）()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.（8）随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（）（A ）{}211P Y X =--=.（B ）{}211P Y X =-=.（C ）{}211P Y X =-+=.（D ）{}211P Y X =+=.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数21,()2,x x cf x x c x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则c = .（10）设341()1x x f x x x ++=+，则2()______f x dx =⎰.（11）设22{(,)1}D x y x y =+≤，则2()Dxy dxdy -=⎰⎰ .（12）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = .（13）设3阶矩阵A 的特征值为1，2，2，E 为3阶单位矩阵，则14_____A E --=.（14）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) （本题满分10分）求极限201sin limln x x x x →.(16) （本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有2阶导数且1ϕ'≠-时.（Ⅰ）求dz（Ⅱ）记()1,z z u x y x y x y ⎛⎫∂∂=- ⎪-∂∂⎝⎭，求ux ∂∂.(17) （本题满分11分）计算max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤.(18) （本题满分10分）设()f x 是周期为2的连续函数，（Ⅰ）证明对任意的实数t ，有()()22t tf x dx f x dx+=⎰⎰；（Ⅱ）证明()()()202xt t G x f t f s ds dt+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．(19) （本题满分10分）设银行存款的年利率为0.05r =，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元，实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取（10+9n ）万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？ (20) （本题满分12分）设n 元线性方程组Ax b =，其中2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （Ⅰ）求证行列式()1nA n a =+;（Ⅱ）a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ；（Ⅲ）a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解。

2008年考研数学一【试题版】【无水印】

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数20()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数 (A)0 (B)1(C)2(D)3(2)函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于 (A)i(B)-i(C)j(D)-j(3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是 (A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+=(D)440y y y y ''''''-+-=(4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}n x 为数列,下列命题正确的是(A)若{}n x 收敛,则{}()n f x 收敛(B)若{}n x 单调,则{}()n f x 收敛 (C)若{}()n f x 收敛,则{}n x 收敛(D)若{}()n f x 单调,则{}n x 收敛(5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则 (A)-E A 不可逆,+E A 不可逆(B)-E A 不可逆,+E A 可逆 (C)-E A 可逆,+E A 可逆(D)-E A 可逆,+E A 不可逆(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,,)1x x y z y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3(7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,Z X Y =分布函数为(A)()2F x(B) ()()F x F y (C) ()211F x --⎡⎤⎣⎦(D) ()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(8)设随机变量()~0,1X N ,()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=,则 (A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+=(D){}211P Y X =+=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y = . (10)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . (11)已知幂级数()02nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()03nn n a x ∞=-∑的收敛域为 .(12)设曲面∑是z =的上侧,则2xydydz xdzdx x dxdy ∑++=⎰⎰. (13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 .(14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX == .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)(本题满分10分)计算曲线积分()2sin 221L xdx x ydy +-⎰,其中L 是曲线sin y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)(本题满分10分)已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩,求曲线C 距离XOY 面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分) 设()f x 是连续函数,(1)利用定义证明函数()()0xF x f t dt =⎰可导,且()()F x f x '=.(2)当()f x 是以2为周期的周期函数时,证明函数()22()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰也是以2为周期的周期函数.(19)(本题满分10分)()21(0)f x x x π=-≤≤,用余弦级数展开,并求()1211n n n-∞=-∑的和.(20)(本题满分11分)T T =+A ααββ,T α为α的转置,T β为β的转置.证明:(1)()2r ≤A . (2)若,αβ线性相关,则()2r <A .(21)(本题满分11分)设矩阵2221212n na a aa a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ,现矩阵A 满足方程=AX B ,其中()1,,T n x x =X ,()1,0,,0=B ,(1)求证()1n n a =+A .(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x . (3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.(22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-,Y 的概率密度为()1010Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它,记Z X Y =+, (1)求102P Z X ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭. (2)求Z 的概率密度.(23)(本题满分11分)设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11n i i X X n ==∑,2211()1n i i S X X n ==--∑,221T X S n=- (1)证明T 是2μ的无偏估计量. (2)当0,1μσ==时 ,求DT .。

2008年考研数学一真题及答案详解

a x 2
n 0 n

n
在 x 0 处收敛 , 在 x 4 处发散 , 则幂级数
a x 3
n 0 n
n
的收敛域为 .
(12) 设曲面是 z
4 x2 y 2 的上侧 , 则
xydydz xdzdx x dxdy
(1) r ( A) 2 . (2)若 α, β 线性相关,则 r ( A) 2 . (21)(本题满分 11 分)
2a 1 2 a 2a 设矩阵 A a2
, 现矩阵 A 满足方程 AX B , 其中 1 2 a n n
X x1 ,
sin 2 xdx 2 x
L
2
1 ydy , 其中 L 是曲线 y sin x 上从点 0, 0 到点
, 0 的一段.
(17)(本题满分 10 分)
x2 y 2 2z 2 0 已知曲线 C : ,求曲线 C 距离 XOY 面最远的点和最近的点. x y 3 z 5
2
.
(13)设 A 为 2 阶矩阵, α1 , α 2 为线性无关的 2 维列向量, Aα1 0, Aα 2 2α1 α2 ,则 A 的非零特征值为 . (14)设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X EX 2 .
A 的正特征值个数为 1．故应选(B).
第 5 页共 22 页
】．
(B) 若 {xn } 单调，则 { f ( xn )} 收
【答案】应选(B). 【详解】若 {xn } 单调，则由函数 f ( x) 在 (, ) 内单调有界知，若 { f ( xn )} 单调有界，因此若 { f ( xn )} 收敛．故应选(B). （5）设 A 为 n 阶非零矩阵， E 为 n 阶单位矩阵．若 A3 0 ，则【则下列结论正确的是： (A) E A 不可逆，则 E A 不可逆. 逆. (C) E A 可逆，则 E A 可逆. 逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C). 】

2019年-2008考研数学数一

æ ｘ１ ö ç ÷ ç ｘ２ ÷，㊀ｂ＝ ç︙÷ ç ç ÷ ÷ è ｘｎ ø
æ１ ö ç０ ÷ ç ÷． ç︙÷ ç ÷ è０ ø
（ Ⅲ）当ａ为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解．
（２２）（本题满分１１分）
设随机变量Ｘ与Ｙ相互独立，Ｘ的概率分布为Ｐ｛Ｘ＝ｉ｝＝ｆＹ（ｙ）＝
（Ｃ）ｊ．
（Ｄ）－ｊ．
（４）设函数ｆ（ｘ）在（－ ɕ ，＋ ɕ ）内单调有界，｛ｘｎ｝为数列，下列命题正确的是（㊀㊀）（５）设Ａ为ｎ阶非零矩阵，Ｅ为ｎ阶单位矩阵，若Ａ＝Ｏ，则（㊀㊀）
３
（Ｂ）若｛ｘｎ｝单调，则｛ｆ（ｘｎ）｝收敛．（Ｂ）Ｅ－Ａ不可逆，Ｅ＋Ａ可逆．
（７）设随机变量Ｘ，Ｙ独立同分布，且Ｘ的分布函数为Ｆ（ｘ），则Ｚ＝ｍａｘ｛Ｘ，Ｙ｝的分布函数为（㊀㊀）（Ａ）Ｆ２（ｘ）．（Ｂ）Ｆ（ｘ）Ｆ（ｙ）．２（Ｃ）１－［１－Ｆ（ｘ）］．（Ｄ）［１－Ｆ（ｘ）］［１－Ｆ（ｙ）］．（８）设随机变量ＸＮ（０，１），ＹＮ（１，４），且相关系数 ρ ＸＹ＝１，则（㊀㊀）（Ａ）Ｐ｛Ｙ＝－２Ｘ－１｝＝１．（Ｂ）Ｐ｛Ｙ＝２Ｘ－１｝＝１．（Ｃ）Ｐ｛Ｙ＝－２Ｘ＋１｝＝１．（Ｄ）Ｐ｛Ｙ＝２Ｘ＋１｝＝１．二㊁填空题（本题共６小题，每小题４分，共２４分，把答案填在题中横线上．）（９）微分方程ｘｙᶄ ＋ｙ＝０满足条件ｙ（１）＝１的解是ｙ＝．（１０）曲线ｓｉｎ（ｘｙ）＋ｌｎ（ｙ－ｘ）＝ｘ在点（０，１）处的切线方程是．

研究生模糊数学试卷20081

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