高中数学专题四--椭圆、双曲线、抛物线

高中数学专题四

椭圆、双曲线、抛物线

《圆锥曲线》知识点小结

一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：

3．常用结论：（1）椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=

（2）设椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴

的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ

二、双曲线：

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）

的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；

（2

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线12

2

22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b

y a x ，因式分解得到

0x y

a b

±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；

（4）等轴双曲线为2

22t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(1222

2

>>=-b a b

y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=

（2）设双曲线)0,0(1222

2

>>=-b a b

y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是

=||PQ

三、抛物线：

（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。 （2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0>p

四、弦长公式： |

|14)(1||1||2212212212A k x x x x k x x k AB ∆

⋅

+=-+⋅+=-+= 其中,∆,A 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于x 的一元二次方程的判别式和2x 的系数 五、弦的中点坐标的求法

法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x 的一元二次方程,02=++C Bx Ax 设),(11y x A ，),(22y x B ，由韦达定理求出

A

B

x x -

=+21；（3）设中点),(00y x M ，由中点坐标公式得2210x x x +=；再把0x x =代

入直线方程求出0y y =。

法（二）：用点差法，设),(11y x A ，),(22y x B ，中点),(00y x M ，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A 、B 两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出00,y x 。

六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c ，再代入公式

法二、建立a,b,c 满足的关系，消去b,再化为关于e 的方程，最后解方程求e (求e 时，要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e ﹤1，而双曲线离心率取值范围是e ﹥1)

高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线

一、选择题：

1．(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点M 到y 轴的距离为( )

A.3

4 B ．1 C.5

4 D.74

答案：C

2．(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )

A ．n ＝0

B ．n ＝1

C ．n ＝2

D ．n ≥3

答案：C

3．(2011·全国Ⅱ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )

A.45

B.35 C ．－35

D ．－45

答案：D

4．(2011·浙江)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2

－y 2

4＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )

A ．a 2＝

13

2

B ．a 2＝13

C ．b 2＝1

2 D ．b 2＝2

答案：C

5．(2011·福建)设圆锥曲线的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于( )

A.12或32

B.23或2

C.1

2或2 D.23或32

答案：A

6．(2011·邹城一中5月模拟)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个

焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →

＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( )

A.2＋1

2 B.2＋1 C.

3＋1

2

D.3＋1 答案：D 二、填空题：

7．(2011·江西)若椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切

线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

答案：x 25＋y 2

4

＝1

8．(2011·课标)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2

2，过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________．