第七章梁的弯曲变形案例
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目录
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4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0 x 0, wA 0
代入求解
y
wB
1 2 1 3 A x C Fl , D Fl 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6 6）确定最大转角和最大挠度 Fl 2 Fl 3 x l , max B , wmax y B 2 EI 3EI
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
9
目录
§7-3
用积分法求梁的变形
d2w EI z 2 M ( x) dx
挠曲线的近似微分方程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z
积分一次得转角方程为：
dw EI z EI z M ( x )dx C dx
再积分一次得挠度方程为：
目录
5
目录
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
1.基本概念 挠曲线方程：
转角
挠度
挠曲线
y
w w( x)
挠度w：截面形心 在y方向的位移
w
x
x
w 向上为正
转角 ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
dw 挠度转角关系为： tan dx
A 0
AL AR
目录
~
A
~
11
~
A A AA
A
A
A AA
A
AA
A A A AA
A
AA
A
~
A
~
~
用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
FAx 0, FAy F ( ), M A Fl (
2）写出x截面的弯矩方程
y
F
wB
) A
B
B
x
l
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l ) 2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l ) 3 Cx D 6
EI z w M ( x )dxdx C x D
10 6-3
目录
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
代入求解，得
1 Fb 3 C1 C 2 Fbl 6 6l D1 D2 0
FAy x1
wmax
wenku.baidu.comx2
a
b
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目录
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
EI 1 Fb 2 Fb 2 x1 (l b 2 ) 2l 6l Fb 3 Fb 2 2 EIw1 x1 (l b ) x1 6l 6l
1
y
F
D
C
B
B x
FBy
wmax
x2
a
b
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目录
4）由边界条件确定积分常数 位移边界条件 x1 0, w1 (0) 0 x2 l , w2 (l ) 0
y
A
A
F
D
C
B
B x
FBy
光滑连续条件 x1 x2 a, 1 (a ) 2 ( a ) x1 x2 a, w1 ( a ) w2 ( a )
y
6-2
6
目录
2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：
1 M = ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
7
目录
由数学知识可知：
d2 y 2 1 dx dy 2 3 [1 ( ) ] dx 略去高阶小量，得
y M (x ) > 0 M (x ) > 0
第七章 梁的弯曲变形
1
目录
第七章
弯曲变形
§7-1 梁的挠度及截面的转角
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程 §7-3 用积分法求梁的变形
§7-5 用叠加法求梁的变形
§7-7 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
§7-8 用变形比较法解简单超静定梁
2
目录
目录
§7-1 梁的挠度及截面的转角
3 6-1
目录
4
FAy x1
wmax
x2
a
b
CB 段：
Fb M x 2 FAy x 2 F ( x 2 a ) x 2 F ( x 2 a ), l
目录
a x2 l
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3）列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： 0 x1 a
2
d w1 Fb EI M ( x1 ) x1 A 2 dx1 l A dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 dx1 2l FAy x1 Fb 3 EIw1 x C1 x1 D1 6l CB 段： a x 2 l d 2 w2 Fb EI M ( x ) x2 F ( x2 a ) 2 2 dx 2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx 2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a ) 3 C2 x2 D2 6l 6
目录
F
l
B x
B
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例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知，l=a+b，a>b。 y
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAx 0, FAy Fb Fa , FBy l l
F
C
A
A
D
B
B x
FBy
2）弯矩方程 AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
dy dx 2 > 0 O
y M (x ) < 0
2
x
d y 2 dx
所以
1
2
M (x ) < 0
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
dy dx 2 < 0 O
2
x
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目录
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z
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4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0 x 0, wA 0
代入求解
y
wB
1 2 1 3 A x C Fl , D Fl 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6 6）确定最大转角和最大挠度 Fl 2 Fl 3 x l , max B , wmax y B 2 EI 3EI
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
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§7-3
用积分法求梁的变形
d2w EI z 2 M ( x) dx
挠曲线的近似微分方程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z
积分一次得转角方程为：
dw EI z EI z M ( x )dx C dx
再积分一次得挠度方程为：
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§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
1.基本概念 挠曲线方程：
转角
挠度
挠曲线
y
w w( x)
挠度w：截面形心 在y方向的位移
w
x
x
w 向上为正
转角 ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
dw 挠度转角关系为： tan dx
A 0
AL AR
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A
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A A AA
A
A
A AA
A
AA
A A A AA
A
AA
A
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A
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用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
FAx 0, FAy F ( ), M A Fl (
2）写出x截面的弯矩方程
y
F
wB
) A
B
B
x
l
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l ) 2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l ) 3 Cx D 6
EI z w M ( x )dxdx C x D
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积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
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A
A
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A A
A
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wA 0
wA 0
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－弹簧变形
wAL wAR
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wAL wAR
代入求解，得
1 Fb 3 C1 C 2 Fbl 6 6l D1 D2 0
FAy x1
wmax
wenku.baidu.comx2
a
b
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5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
EI 1 Fb 2 Fb 2 x1 (l b 2 ) 2l 6l Fb 3 Fb 2 2 EIw1 x1 (l b ) x1 6l 6l
1
y
F
D
C
B
B x
FBy
wmax
x2
a
b
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4）由边界条件确定积分常数 位移边界条件 x1 0, w1 (0) 0 x2 l , w2 (l ) 0
y
A
A
F
D
C
B
B x
FBy
光滑连续条件 x1 x2 a, 1 (a ) 2 ( a ) x1 x2 a, w1 ( a ) w2 ( a )
y
6-2
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2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：
1 M = ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
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由数学知识可知：
d2 y 2 1 dx dy 2 3 [1 ( ) ] dx 略去高阶小量，得
y M (x ) > 0 M (x ) > 0
第七章 梁的弯曲变形
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第七章
弯曲变形
§7-1 梁的挠度及截面的转角
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程 §7-3 用积分法求梁的变形
§7-5 用叠加法求梁的变形
§7-7 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
§7-8 用变形比较法解简单超静定梁
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§7-1 梁的挠度及截面的转角
3 6-1
目录
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FAy x1
wmax
x2
a
b
CB 段：
Fb M x 2 FAy x 2 F ( x 2 a ) x 2 F ( x 2 a ), l
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a x2 l
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3）列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： 0 x1 a
2
d w1 Fb EI M ( x1 ) x1 A 2 dx1 l A dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 dx1 2l FAy x1 Fb 3 EIw1 x C1 x1 D1 6l CB 段： a x 2 l d 2 w2 Fb EI M ( x ) x2 F ( x2 a ) 2 2 dx 2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx 2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a ) 3 C2 x2 D2 6l 6
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F
l
B x
B
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例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知，l=a+b，a>b。 y
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAx 0, FAy Fb Fa , FBy l l
F
C
A
A
D
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B x
FBy
2）弯矩方程 AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
dy dx 2 > 0 O
y M (x ) < 0
2
x
d y 2 dx
所以
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M (x ) < 0
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
dy dx 2 < 0 O
2
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由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z