第七章梁的弯曲变形案例
弯曲变形例题
(ql 2 ) l ql3 B3 , 3EI 3EI ql 4 yC 3 16EI
w
B2
yC 2
(ql) l 2 ql3 , 16EI 16EI (ql)l 3 48EI
yC 2
弯曲变形/用叠加法求梁的变形
ql3 ql3 ql3 11ql3 B B1 B 2 B3 24EI 16EI 3EI 48EI
3Pa 3 2 EI1
7 Pa3 Pa3 3EI 2 3EI1
弯曲变形/用变形比较法解静不定梁 例7-8 图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉 刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度 。 解： 1、选择基本静定梁。 D 2、列出变形协调条件。
l
A l/2 B l/2
积分二次：
1 4 EIy qx Cx D 24
（2）
1 3 由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C qL 6 1 4 x L, y 0 代入（2）得： D qL 8
代入（1）（2）得：
弯曲变形/用积分法求梁的变形 3、确定常数C、D.
1 1 3 1 3 ( qx qL ) EI 6 6
1.当梁上有复杂载荷时，应该分段列出弯矩方程，而对每一段 进行积分时，必然要有两个积分常数； 2.将所有的转角方程和挠曲线方程全部列出以后，再来确定积 分常数，并应了解到每段方程只适用于一定的区间之内; 3.积分常数的确定要利用边界条件和连续条件。连续条件则在 每一分段处有两个：一个是挠度连续，另一个是转角连续；
Fab ( L a ) 6 LEI
x L 代入得：
B 2
xL
弯曲变形/用积分法求梁的变形 5、求 ymax 。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
七弯曲变形ppt课件
x
挠曲线方程： w f (x)
转角方程： tan f ( x) d w
dx
四、画绕曲线近似外形的方法 1、思索支座的约束特点
固定端：w = 0,θ = 0
铰支座：w A= 0,wB = 0
2、思索弯矩的变化
弯矩为正，下凸
A
弯矩为负，上凸
弯矩为O的线段，直线 M 弯矩为O的点，拐点
P
P
B
x
例：
q P
A a Ba
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 ;x 2 a ,w B 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w B , 1 2 B ;
C
P
a
a
•边境条件 x 1 0 ,w A 0 , A 0 ;
•延续条件 x 1 x 2 a ,w 1 w 2 w C , 1 2 C ;
平面曲线(挠曲线) w f (x)
上恣意点的曲率公式。
对于小挠度情形有
dw
2
d x
1
d2w M (x)
dx2
EI
d2w dx2
M (x) EI
d 2w 0 dx 2
d2w M (x) dx2 EI ——挠曲线的近似微分方程
d 2w dx 2 0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
w ma xw 1xx0
Pb(l2b2)3 93EzlI
讨论：
〔1〕
AC段：
EEIww I11E PlbIx11Pl bx212C1
EI1wPl bx613C1x1D1
CB段： Ew I2 Pl b x2P(x2a)
Ew 2 IE2IP l x 2 b 2 2P(x2 2a)2C 2
第七章 弯曲——弯曲位移
EIy = − ∫ [ ∫ M ( x)dx]dx + Cx +D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件 即位移边界条件确定。 弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n 个 由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
EIy ′ = EI θ = − ∫ M ( x ) dx +C
第七章 弯曲--弯曲位移部分
(Displacements of Bending Beam)
§7-7 梁的位移─挠度及转角
在工程中，对某些受弯构件，除要 求具有足够的强度外，还要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保 证正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
Fb ( l 2 − b 2 ) Fb 3 F ( x − a )3 y2 = − x− x + 6 EIl 6 EIl 6 EI
受任意荷载的简支梁，只 要挠曲线上没有拐点，均 可近似地将梁中点的挠度 作为最大挠度。
F
a A x C D b B
x
y
l
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁
的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。
挠曲线近似微分方程
1、挠曲线方程(deflection equation)
曲线 y = f (x) 的曲率为
y′′ κ=± 2 3/ 2 ′ (1 + y )
梁纯弯曲时中性层的曲率：
M ( x) 1 = ρ ( x) EI z
M ( x) 1 = ρ( x) EI z
1 y′′ κ= =± ≈ ± y′′ 2 3/ 2 (1 + y′ ) ρ( x)
第七章弯曲变形案例
5ql 4 Ml 2 17ql 4 384EI 16EI 384EI
M
=
q AM
C
wCM
q A q Aq q AM
B
ql3 Ml 5ql3 24EI 3EI 24EI
A
l
+
q A
Ml 2 wCM 16EI Ml q AM 3EI
q Aq
C wCq l
1 F (x l)2 C 2 1 1 EI w F ( x l ) 2 dx C x D F ( x l ) 3 Cx D 2 6
1 EI q EI w F ( x l )dx C F ( x l ) 2 C 21 1 EI w F ( x l ) 2 dx C x D F ( x l )3 Cx D 2 6 y F （4）确定积分常数 由边界条件 x 0 q A 0 wA 0 x
条件。
二 提高梁的刚度的措施
(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同 (E≈210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢 并无明显好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均 采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增
挠度和转角的关系
y
q
B’ C’
q
B
w
wB x
dy tan q w dx
在小变形假设条件下
A
x
C
tan q q
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
dy w tan q q dx
二、挠曲线近似微分方程
M EI z
1
横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度 时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩 不再为常数。
材料力学教程-7.弯曲变形
根据需要，对数据进行计算、 绘图等处理，以便更好地理解 和分析实验结果。
结果分析
结合实验数据和理论分析，评 估材料的弯曲性能，并探讨影 响材料弯曲性能的因素。
结论总结
总结实验结果，得出结论，并 提出改进和优化材料弯曲性能
的建议。
04
弯曲变形的工程应用实例
桥梁的弯曲变形分析
总结词
桥梁的弯曲变形分析是确保桥梁安全的重要环节，通过分析桥梁在不同载荷下的弯曲变形程度，可以评估桥梁的 承载能力和安全性。
转角
梁在弯曲变形后，其横截 面绕其中性轴旋转的角度 称为转角。转角是衡量梁 横截面旋转程度的量。
弯曲变形的物理关系
弯矩
由于外力作用在梁上，使梁产生弯曲变形的力矩 称为弯矩。弯矩是引起梁弯曲变形的力。
剪力
在梁弯曲变形过程中，垂直于轴线的横向剪切力 称为剪力。剪力使梁产生剪切变形。
扭矩
当外力作用在梁的某一侧时，会使梁产生扭转变 形，这种使梁产生扭转变形的力矩称为扭矩。
详细描述
高层建筑由于其高度和规模，对风载和地震等外部载荷非常敏感。因此，在高层建筑设 计阶段，需要进行详细的弯曲变形分析。这包括对建筑物的整体结构和各个楼层在不同 载荷下的弯曲变形进行模拟和分析，以确保建筑物在各种外部载荷下的安全性和稳定性。
机械零件的弯曲变形分析
要点一
总结词
机械零件的弯曲变形分析是确保机械系统正常运行的关键 环节。通过对机械零件在不同工作载荷下的弯曲变形进行 分析，可以优化零件的设计和加工工艺，提高其工作性能 和寿命。
通过实例分析和习题练习，学生可以加深对弯曲 变形的理解，提高解决实际问题的能力。
弯曲变形的未来研究方向
弯曲变形的非线性行为
【材料课件】第七章 弯曲变形
弯曲变形
挠度和转角
工程背景
希望产生足够 量的弯曲位移
弯曲位移不能 超过一定数值
整体变形
梁的轴线变成 光滑连续曲线
挠度和转角
挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。
挠曲线方程
v = f(x )
转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。 y
tan
P
dv f ( x ) dx
弯矩方程分段与积分常数
梁上无载荷突变：M(x)为一个函数 积分常数由支承条件确定。 梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分 积分常数由支承条件、连续条件确定。
积分法求梁的变形的解题步骤
确定支座反力 根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程 分段积分 确定积分常数 确定转角和挠度方程 确定转角和挠度的最大值
Pb Pab( l b) 2 2 x1 0 A (l b ) 6 EIl 6 EIl Pab( l a ) x2 l B 6 EIl Pab( l a ) 若a b, max B 6 EIl
y
B
0 v vmax
x
O
v
x 0, v 0 x l, v 0
B
l
x
A
例题1
v
解：1.求支座反力，列弯矩方程
x
ql 2 q 3 EIv1 x x C 4 6 2.确定积分常数 ql q 3 边界条件： v(0) v(l ) 0 EIv x x 4 Cx D 12 24 ql 3
挠曲线近似微分方程
小挠度情形下 ( dv )2 << 1
dx d2 v dx2 M(x) ＝± EI dv 2 3/2 [1+( ) ] dx
梁的弯曲变形应用原理
梁的弯曲变形应用原理简介梁是一种常见的结构元素，用于承受和传递载荷。
在实际应用中，梁常常会发生弯曲变形，这种变形有着重要的应用原理和工程意义。
本文将介绍梁的弯曲变形的应用原理，以及它在工程领域中的具体应用。
梁的弯曲变形原理当梁受到外部载荷作用时，其会发生弯曲变形。
梁的弯曲变形主要是由内力矩引起的，内力矩是梁截面上的剪力和弯矩引起的。
弯曲变形原理可以用以下几个要点来描述：1.梁撑杆法：梁在弯曲时，可以看做由无数撑杆组成的系统。
每个撑杆受到不同大小的拉伸或压缩力，整个梁发生的弯曲变形是各撑杆弹性变形的综合效果。
2.中性轴和截面旋转：梁弯曲时，存在一个中性轴，该轴是在截面内法线应力为零的位置。
梁在弯曲时，截面内部会发生旋转，上部受拉，下部受压，截面的变形呈现出弯曲的形态。
3.弯矩与曲率关系：梁的弯曲变形与弯矩和曲率有关。
弯矩是横截面上的合力矩，而曲率则是截面内部形成的曲线的曲率半径的倒数。
根据弯矩和曲率之间的关系，可以计算出梁的变形情况。
梁的弯曲变形应用梁的弯曲变形在工程领域中有着广泛的应用。
下面列举了梁的弯曲变形应用在不同工程中的具体案例：1. 建筑结构设计在建筑结构设计中，梁的弯曲变形是必须考虑的因素之一。
通过合理的梁的尺寸和形状设计，可以满足建筑物的结构强度和刚度要求，保证建筑物的安全性和稳定性。
2. 桥梁工程在桥梁工程中，梁的弯曲变形对于桥梁的承载能力和结构安全性影响重大。
通过分析梁的弯曲变形情况，可以确定桥梁的设计参数，保证桥梁承受车辆和行人的荷载，确保桥梁的正常使用和运行。
3. 机械设计梁的弯曲变形在机械设计中也有着广泛的应用。
例如，在起重机设计中，梁的弯曲变形会导致起重机的运动效果失真，因此需要精确计算梁的弯曲变形，以确保起重机的稳定性和可靠性。
4. 航天器设计在航天器设计中，梁的弯曲变形是非常重要的考虑因素。
航天器需要承受巨大的重力和惯性力，梁的弯曲变形对于航天器的结构强度和稳定性至关重要。
梁的弯曲变形
案例三：工业厂房的弯曲变形
总结词
工业厂房在生产过程中，由于设备、货物等重量的影响，会产生弯曲变形，影响结构的稳定性。
详细描述
工业厂房在生产过程中，需要承受设备、货物等重量的影响。这些重量会导致厂房产生弯曲变形。如果变形过大， 将会影响厂房的正常使用和安全性。因此，对于工业厂房的弯曲变形问题，需要进行定期检测和维护，确保其正 常运转和安全性。
发展高效数值模拟方法
开发更精确、高效的数值模拟方法， 用于预测和控制梁的弯曲变形，为实 际工程应用提供指导。
优化梁的结构设计
基于对弯曲变形的深入理解，优化梁 的截面形状、尺寸和连接方式，提高 其承载能力和稳定性。
弯曲变形的未来发展趋势
跨学科交叉研究
加强与材料科学、物理学、计算科学等学科的交叉合作，引 入新技术和方法，推动梁的弯曲变形研究的发展。
04
梁的弯曲变形案例分析
案例一：桥梁的弯曲变形
总结词
桥梁在车辆、人群等外部载荷作用下， 会产生弯曲变形，影响结构的稳定性。
VS
详细描述
桥梁作为大型结构物，在长期承受车辆、 人群等外部载荷的作用下，会发生弯曲变 形。这种变形不仅会影响桥梁的美观性， 更严重的是会降低结构的稳定性，甚至引 发安全事故。因此，对于桥梁的弯曲变形 问题，需要进行定期检测和维修，确保其 安全性能。
梁的弯曲变形
• 梁的弯曲变形概述 • 梁的弯曲变形分析 • 梁的弯曲变形与结构安全 • 梁的弯曲变形案例分析 • 梁的弯曲变形研究展望
01
梁的弯曲变形概述
定义与类型
定义
梁的弯曲变形是指梁在受到外力 作用时发生的弯曲现象，导致梁 的轴线由直线变为曲线。
类型
根据弯曲变形的程度和性质，可 以分为弹性弯曲、塑性弯曲和脆 性弯曲等类型。
梁的弯曲变形实验
1梁的弯曲变形实验 （测梁的挠度和转角）一、实验目的测量简支梁的最大挠度和铰支处的转角，验证挠度和转角计算公式。
二、设备和仪器1．多功能力学实验台。
2．活动板手。
3．百分表二块。
三、试样变形梁的材质是铝合金，其尺寸为18mm×18mm×440mm ，弹性模量E 。
在梁的侧面和顶面上刻有线a 、b ，c 、d ，e 、w 和g ，用于安装定位，如图6-1所示。
侧面顶面图6-1 变形梁四、实验原理梁跨距L =400mm ，在中点（A 点）处加载，铰支B 点处安装测转角用夹具，见图6-2。
用一百分表测A 点挠度，另一百分表测夹具上距梁的中性层e 点处的水平位移δ。
由于转角B θ很小，可认为B eδθ=。
本实验在弹性范围内进行，采用等增量加载，每增加等量载荷F ∆，测定挠度增量和转角增量各一次，取平均值f ∆实和θ∆实与理论计算值f ∆理和θ∆理进行比较。
2a 支具图6-2五．实验步骤1．力传感器接线、设置参数、在无载情况下预调平衡，并转入测量状态。
2．安装定位块和测转角夹具，见图6-2。
3．调整试验台，安装梁和百分表。
4．实验调整初载荷到200±1N ，记录两表读数f 0和o δ，百分表读数时保留至小指针示值。
然后等增量逐级加载，每级增加150N F ∆=，记录各级读数i f 和i δ，共加载五级。
5．卸载。
试验台和仪器回复原状。
实验数据用表格形式记录。
六、实验结果处理实验数据处理参考表6-1，然后根据理论公式计算在F ∆作用下的挠度增量f ∆理和转角增量θ∆理，计算实验值与理论值的相对误差。
表6-1实验数据处理表32 3 4 5七、思考题：分析实测值误差产生的原因。
（验证位移互等定理）（简支梁弯曲实验）一、实验目的：验证位移互等定理。
二、设备和仪器1．多功能力学实验台。
2．活动板手。
3．百分表一块。
三、试样同上 四、实验原理简支梁，如图6-3。
在A 点加载，测得C 点挠度c f 。
第七章弯曲变形案例
二、工程实例
实例一：起重机大梁
实例二、机床摇臂
7.2
梁的挠曲线近似微分方程
一、挠度和转角
梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x 轴方向的直线变 成一条在 xy 平面内的曲线，该曲线称为挠曲线。
y
q
C’
挠曲线 B’
转角
wB B x
某截面的竖向位移，称为 该截面的挠度。 某截面的法线方向与x轴 的夹角称为该截面的转角。
EI zq EIw M ( x)dx C
EI z w ( M ( x)dx)dx Cx D
其中， C 和 D 是积分常数，需要通过边界条件或者连续条件来确 定其大小。
一、边界条件
在约束处的转角或挠度可以确定
F
EI z w ( M ( x)dx)dx Cx D
q
B
w
A
x
C
挠度和转角的大小和截面所处的 x 方向的位 置有关，可以表示为关于 x 的函数。 w f1 ( x) 挠度方程（挠曲线方程）
挠度
转角方程
q f 2 ( x)
y
q
B’ C’
挠度和转角的正负号规定
q
B w wB x
A
x
C
在图示的坐标系中， 挠度 w 向上为正，向下为负。转 角规定截面法线与 x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负, 即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q 为正。
挠度和转角的关系
y
q
B’ C’
q
B
w
wB x
dy 件下
A
x
C
tan q q
挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角
dy w tan q q dx
梁受弯破坏案例
梁受弯破坏案例
咱来说个梁受弯破坏的案例哈。
就好比你家盖房子，有一根大梁支撑着屋顶呢。
这梁啊，就像一个大力士，一直承担着屋顶传下来的重量。
有个马虎的建筑工人呢，在设计这根梁的时候啊，犯了个大错。
他可能没算好梁该有多粗多壮才能撑起那片屋顶。
这屋顶上面呢，又被主人家放上了好多大水箱，想着储存水方便嘛。
结果呢，这梁就惨喽。
每天啊，梁就弯着腰，咬着牙坚持着。
就像一个人扛着很重很重的东西，腰都快被压断了。
时间一长啊，梁的底部开始出现了裂缝，就像人累得皮肤都开始皲裂了一样。
刚开始呢，裂缝还不大，就像小蚂蚁爬过的痕迹似的。
可是啊，随着屋顶上的水箱不断蓄水，重量越来越大，这梁就更吃力啦。
裂缝就像被施了魔法一样，变得越来越宽，越来越长。
最后呢，只听到“轰”的一声，梁就断了。
这就好比一个被过度压榨的苦力，终于扛不住了，彻底倒下了。
屋顶也跟着塌了下来，家里乱成了一锅粥。
这就是典型的梁受弯破坏的情况，就是因为承受的力量太大，自己又不够强壮，最后就被压垮了。
梁的弯曲变形_工程力学_[共2页]
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平面弯曲内力 132 第8章
*8.6
梁的弯曲变形
8.6.1 工程中的弯曲变形问题
在许多工程问题中，只考虑梁的强度是不够的。
例如，图8-21（a ）所示的齿轮轴，若弯曲变形过大将造成轴承严重磨损、齿轮啮合不良，并产生振动和噪声；机床的主轴变形过大会影响加工精度；精密量具变形过大将影响测量精度；桥式起重机大梁变形过大将使梁上小车行走困难。
因此对某些受弯构件，不仅要求具有一定的强度，还必须限制它们的变形。
工程中虽然经常限制弯曲变形，但是在另一些情况下，常常又利用弯曲变形达到某种要求。
例如，叠板弹簧应有较大的变形，才可以更好地起缓冲作用，如图8-21（b ）所示。
弹簧扳手要有明显的弯曲变形，才可以使测得的力矩更为准确，如图8-21（c ）所示。
图8-21 工程弯曲变形问题实例
8.6.2 挠曲线近似微分方程
设一悬臂梁
AB ，如图8-22所示，在载荷作用下，
其轴线将弯曲成一条光滑的连续曲线AB ′。
在平面弯
曲的情况下，这是一条位于载荷所在平面内的平面曲
线。
梁弯曲后的轴线称为挠曲线。
因这是在弹性范围
内的挠曲线，故也称为弹性曲线。
梁的弯曲变形可用挠度和转角来表示。
图8-22 悬臂梁的挠曲线。
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9
目录
§7-3
用积分法求梁的变形
d2w EI z 2 M ( x) dx
挠曲线的近似微分方程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z
积分一次得转角方程为：
dw EI z EI z M ( x )dx C dx
再积分一次得挠度方程为：
6-2
6
目录
2.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到：
1 M = ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
7
目录
由数学知识可知：
d2 y 2 1 dx dy 2 3 [1 ( ) ] dx 略去高阶小量，得
y M (x ) > 0 M (x ) > 0
2）写出x截面的弯矩方程
y
F
wB
) A
B
B
x
l
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
3）列挠曲线近似微分方程并积分 d2w EI 2 M ( x) F ( x l ) dx dw 1 积分一次 EI EI F ( x l ) 2 C dx 2 1 再积分一次 EIw F ( x l ) 3 Cx D 6
dy dx 2 > 0 O
y M (x ) < 0
2
x
d y 2 dx
所以
1
2
M (x ) < 0
d 2 y M ( x) 2 dx EI z
dy dx 2 < 0 O
2
x
8
目录
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d 2 w M ( x) 2 dx EI z
A 0
AL AR
目录
~
A
~
11
~
A A AA
A
A
A AA
A
AA
A A A AA
A
AA
A
~
A
~
~
用积分法求弯曲变形
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
FAx 0, FAy F ( ), M A Fl (
EI z w M ( x )dxdx C x D
10 6-3
目录
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
代入求解，得
1 Fb 3 C1 C 2 Fbl 6 6l D1 D2 0
FAy x1
wmax
x2
a
b
16
目录
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
EI 1 Fb 2 Fb 2 x1 (l b 2 ) 2l 6l Fb 3 Fb 2 2 EIw1 x1 (l b ) x1 6l 6l
目录
F
l
B x
B
13
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知，l=a+b，a>b。 y
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAx 0, FAy Fb Fa , FBy l l
F
C
A
A
D
B
B x
FBy
2）弯矩方程 AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
FAy x1Βιβλιοθήκη wmaxx2a
b
CB 段：
Fb M x 2 FAy x 2 F ( x 2 a ) x 2 F ( x 2 a ), l
目录
a x2 l
14
3）列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： 0 x1 a
2
d w1 Fb EI M ( x1 ) x1 A 2 dx1 l A dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 dx1 2l FAy x1 Fb 3 EIw1 x C1 x1 D1 6l CB 段： a x 2 l d 2 w2 Fb EI M ( x ) x2 F ( x2 a ) 2 2 dx 2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx 2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a ) 3 C2 x2 D2 6l 6
目录
12
4）由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0 x 0, wA 0
代入求解
y
wB
1 2 1 3 A x C Fl , D Fl 2 6 5）确定转角方程和挠度方程 1 1 2 2 EI F ( x l ) Fl 2 2 1 1 2 1 3 3 EIw F ( x l ) Fl x Fl 6 2 6 6）确定最大转角和最大挠度 Fl 2 Fl 3 x l , max B , wmax y B 2 EI 3EI
第七章 梁的弯曲变形
1
目录
第七章
弯曲变形
§7-1 梁的挠度及截面的转角
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程 §7-3 用积分法求梁的变形
§7-5 用叠加法求梁的变形
§7-7 梁的刚度校核 提高梁弯曲刚度的措施
§7-8 用变形比较法解简单超静定梁
2
目录
目录
§7-1 梁的挠度及截面的转角
3 6-1
目录
4
1
y
F
D
C
B
B x
FBy
wmax
x2
a
b
15
目录
4）由边界条件确定积分常数 位移边界条件 x1 0, w1 (0) 0 x2 l , w2 (l ) 0
y
A
A
F
D
C
B
B x
FBy
光滑连续条件 x1 x2 a, 1 (a ) 2 ( a ) x1 x2 a, w1 ( a ) w2 ( a )
目录
5
目录
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程
1.基本概念 挠曲线方程：
转角
挠度
挠曲线
y
w w( x)
挠度w：截面形心 在y方向的位移
w
x
x
w 向上为正
转角 ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
dw 挠度转角关系为： tan dx
y