第三章 线性离散系统状态空间表达式
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2.6离散系统状态的空间描述
与连续系统类似，线性离散系统状态空间表 达式的结构图如图1所示。
图1 线性离散系统的结构图
图中方块T为单位延迟器，它表示将输入的信 号延迟一个节拍，即如果其输入为x(k+1)，那么其 输出为x(k)。
对线性定常离散系统而言,G(k)，H(k)，C(k)，
D(k)均为常数矩阵，其状态空间表达式为
x (k 1) Gx (k ) Hu(k ) y (k ) Cx(k ) Du(k )
x2 ( k ) Q( k 1) x1 ( k 1) x3 ( k ) Q( k 2) x2 ( k 1) xn ( k ) Q( k 1) xn 1 ( k 1)
(2.6.12)
则
xn ( k 1) Q( k n) a1 xn ( k ) an 1 x2 ( k ) an x1 ( k ) u( k )
则有
(2.6.9)
( z a1 zan )Q( z ) U ( z )
(2.6.10)
Y ( z ) (b1 z n1 b2 z n 2 bn1z bn )Q( z ) (2.6.11)
对式(2.6.10)和（2.6.11）作Z反变换得
(2.6.13)
y(k ) bn x1 (k ) bn1 x2 (k ) b2 xn1 (k ) b1 xn (k )
(2.6.14)
由式(2.6.12)、式(2.6.13) 和式(2.6.14)得式(2.6.7 )的
离散状态空间表达式为
x1 ( k 1) 0 1 0 x2 ( k 1) 0 0 1 0 0 xn 1 ( k 1) 0 xn ( k 1) an an 1 an 2 x1 ( k ) x (k ) 2 y bn bn 1 b2 b1 xn 1 ( k ) xn ( k )
离散系统的状态空间表达式
1.7 离散系统的状态空间表达式
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
（1）连续系统：用微分方程来表示，采用拉 普拉斯变换传递函数进行分析。
离散系统：用差分方程来描述，用Z变 换脉冲传递函数进行分析。
因此，离散系统的状态空间表达式可通过差 分方程或脉冲传递函数。
（2）离散系统的信号采用数字形式，输入和 输出都是脉冲序列或数字序列。计算机控制 系统属离散系统。
试写出其状态方程和输出方程 。
解：
x1 (k 1) 0
1
0 x1(k) 0
x2
(k
1)
0
0
1
x
2
(k
)
0
u(k)
x3 (k 1) 6 5 2x3 (k) 1
x1(k)
y(k) x(k) 1
0
0x2 (k)
x3 (k )
例1.10 已知 y(k+3)+2y(k+2)+5y(k+1) +6y(k)=3u(k+2)+2u(k+1)+6u(k)
脉冲传递函数：
G(z)
Y (z) u(z)
bmzm bm1zm1 b1z b0 zn an1zn1 a1z a0
二 、状态方程的建立
1、由差分方程
设T=1 输入仅有(kT)项，b0=1 整个方程可以写为： y(k+n)+an-1y（k+n-1)+……+a0y（k）=u（k） 设x1(k)=y(k) x2(k)=y(k+1)=x1(k+1) x3(k)=y(k+2)=x2(k+1) ……
xn(k)=y(k+n-1)=xn-1(k+1) xn(k+1)=y(k+n)=-a0 x1(k)-a1 x2(k)-
【武汉大学】线性系统状态空间表达式的解【现代控制理论】
• 这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一致的。
– 引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状态转移 矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系统等,
– 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统一描 述,更好地刻划系统状态运动变化的规律。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.2.1状态转移矩阵基本定义
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.1.2拉氏变换法
– 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为
x(t)=L-1[(sI-A)-1]x0 – 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]。
• 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。
• 对标量函数,我们有
(s a)1 1 a a2 ... ak1 ...
• 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 – 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有
x(t) q0 q1t q2t 2 qkt k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
3.1.1.1级数展开法
– 将所设解代入该微分方程,可得
(2) 计算矩阵指数函数eAt。
e At L1[(sI A)1]
L1
s
2
1 2
s
1
2 2
s 1 s 2
1 1 s 1 s 2 1 2
s 1 s 2
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
3.1.1 线性定常齐次状态方程的解
现代控制理论-状态方程的解
3、复频域上
非齐次状态方程的解
2、说明
e At 状态转移矩阵
一般用 t 表示，即 t e At
考虑初始条件拉氏变换
sX ( s ) X (0 ) AX ( s ) BU ( s ) 有 ( sI A) 1 X ( s ) X ( 0 ) BU ( s ) 即 1 X ( s ) ( sI A) X (0) ( sI A) 1 BU ( s ) 则
e
d At e Ae At e At A dt
At 1
e At
[5]、对于 n n的方阵 A、 B 当且仅当 AB BA时 有 e At e Bt e( A B)t , 而当AB BA, e At e Bt e( A B)t。
电气工程学院
几个特殊的矩阵指数eAt
设单变量系统的差分方程为：
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) bnu(k n) bn1u(k n 1) b0u(k )
相应的系统脉冲传递函数为
bn z n bn 1 z n 1 b1 z b0 G( z ) n z an 1 z n 1 a1 z a0
有
d At At AX ] e X e [X dt e At Bu(t )
考虑初始条件 拉氏变换得 sX ( s ) X ( 0 ) AX ( s )
将上式积分有 t t X (t ) 1 ( sI A) 1 X (0) A d A e Bu( ) d d e X ( ) 0 0 d 1 显然 e At 1 t ( sI A) At A X ( 0 ) e X ( t ) e 可得 At Bu( )d
现代控制原理2-3离散系统
−T −T −T
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
第03章线性离散系统的数学模型
3.2.2 差分方程解 =通解+特解
➢ 通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力 作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。
➢ 特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解， 反映了系统在外作用下的强迫运动。
差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。
解法一：递推法——从初始值递推求解
相似变换 初值定理 终值定理 实卷积定理 复卷积定理
L[ x(at )] 1 X ( s )
aa
lim x (t ) lim sX ( s )
t0
s
lim x (t ) lim sX ( s )
t
s0
L[ x1 (t ) x 2 (t )] X 1 ( s ) X 2 ( s )
L[ x1 (t ) x 2 (t )]
例 y(k2)2y(k1)5y(k)0,求通解。 解：特征方r程 2 2r50， 有一对共轭 1复 j2根 5ejarc2t， g 则通解为y(k)c1(1j2)k c2(1j2)k。
例y(k2)4y(k1)4y(k)0,求通解。 解：特征方 r2程 4r40，有二重 2，根 则通解为 y(k)c1(2)k c2k(2)k。
它的y ( 齐 k n ) a 1 次 y ( k n 1 方 ) a n 程 y ( k ) 0 为 它 的 特 rn a 1 征 rn 1 a 方 2 rn 2 程 a n 为 0 有n个特征根： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 ,, rn ,则方程通解为：
y(k) c1r1k c2r2k cnrnk； （2）若解有m重根，则m重根的解的形式为
1 2
X1(s) X 2(s)
3.4.4 Z反变换
1、 长 除 法
➢ 通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力 作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。
➢ 特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解， 反映了系统在外作用下的强迫运动。
差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。
解法一：递推法——从初始值递推求解
相似变换 初值定理 终值定理 实卷积定理 复卷积定理
L[ x(at )] 1 X ( s )
aa
lim x (t ) lim sX ( s )
t0
s
lim x (t ) lim sX ( s )
t
s0
L[ x1 (t ) x 2 (t )] X 1 ( s ) X 2 ( s )
L[ x1 (t ) x 2 (t )]
例 y(k2)2y(k1)5y(k)0,求通解。 解：特征方r程 2 2r50， 有一对共轭 1复 j2根 5ejarc2t， g 则通解为y(k)c1(1j2)k c2(1j2)k。
例y(k2)4y(k1)4y(k)0,求通解。 解：特征方 r2程 4r40，有二重 2，根 则通解为 y(k)c1(2)k c2k(2)k。
它的y ( 齐 k n ) a 1 次 y ( k n 1 方 ) a n 程 y ( k ) 0 为 它 的 特 rn a 1 征 rn 1 a 方 2 rn 2 程 a n 为 0 有n个特征根： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 ,, rn ,则方程通解为：
y(k) c1r1k c2r2k cnrnk； （2）若解有m重根，则m重根的解的形式为
1 2
X1(s) X 2(s)
3.4.4 Z反变换
1、 长 除 法
线性离散系统状态方程的解
因此,有
(k) Gk Z 1[(zI - G)1]
1 3
-
4(-0.2)k 0.8(-0.2)k
- (-0.8)k 0.8(-0.8)k
5(-0.2)k - 5(-0.8)k
-
(-0.2)k
4(-0.8)k
Z变换法(6/7)—例3-14
由Z变换,有 u(k)=1 U(z)=z/(z-1)
比较连续系统与离散系统状态方程的解的表示形式:
➢ 连续系统
t
x(t) (t)x0
(t )Bu( )d
0
➢ 离散系统
k 1
x(k) Φ(k)x(0) Φ(k - j -1)Hu( j) j0
初始时刻后输入的 初始状态 影响,为脉冲响应函 的影响 数与输入的卷积
对上述离散系统状态方程的求解公式,有如下几点说明:
线性时变离散系统状态方程的解(5/6)
由上述状态方程解公式可知,线性时变离散系统的状态方程 的解也包括两项。其中, ➢ 第1项是由初始状态激励的,为零输入响应,描述了输入向 量为零时系统的自由运动。
➢ 第2项对应初始状态为零时,由输入向量激励的响应,称为 强迫运动或受控运动。
➢ 线性时变离散系统的运动状态取决于状态转移矩阵(k ,k0),而又是由(k ,k0)唯一决定的。
k 1
Z -1{( zI - G)-1 HU (z)} Z -1{( zI - G)-1 z z-1HU (z)} Gk- j-1Hu( j) j0
离散卷积
Z变换法(3/7)—例3-14
因此,离散系统的状态方程的解为:
k 1
x(k) Gkx(0) Gk j1Hu( j)
j0
该表达式与前面递法求解结果一致。
第3章-线性离散系统数学描述
根据线性系统叠加原理 ，已知 h * ( t )后，任意输入脉冲序列 u * ( t )， 可得系统输出为 y * ( t ) = u( 0 ) h * ( t ) + u (1) h * ( t − T ) + L + u( n ) h * ( t − nT ) + L y ( k ) = ∑ u ( j ) h( k − j ) =
z →1
i =0 i =1 m n
已知，用递推法求解。 例3 − 2 − 2 y ( k + 1) = ay ( k ) + bu( k ), 设 y ( 0 )、 u( k )已知，用递推法求解。 解： k = 0 k =1 M
k
y (1) = ay ( 0 ) + bu( 0 ) y ( 2 ) = ay (1) + bu(1) = a 2 y ( 0 ) + abu ( 0 ) + bu(1)
它的齐次方程为 y( k + n) + a1 y( k + n − 1) + L + a n y( k ) = 0
它的特征方程为 r n + a1 r n −1 + a 2 r n − 2 + L + a n = 0
个特征根： 有 n个特征根： 则方程通解为： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 , L , rn , 则方程通解为： y ( k ) = c 1 r1k + c 2 r2k + L + c n rnk； 重根， （2）若解有 m 重根，则 m 重根的解的形式为 r k , kr k , k 2 r k， ， k m -1 r k的线性组合， 的线性组合， L 通解中的系数 c n由系统的初始条件确定 。
离散系统的状态空间描述状态方程
上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
12
2019/1/5
得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x2 ( k ) h1u( k ) x ( k 1) x ( k ) h u( k ) 2 3 2 x ( k 1) x ( k ) h u( k ) n n1 n1 xn ( k 1) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) hn u( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) b0u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) y( k )
x ( k ) y( k 1) 2 x 3 ( k ) y( k 2 ) xn ( k ) y( k n 1)
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。
这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
2019/1/5
16
1）第二可控标准型
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 0 x n ( k 1) a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 0 2 0 x 3 ( k ) u( k ) 0 1 0 a n 1 1 x n ( k )
线性离散系统的状态空间描述
人口增长情况是,整个国家人口的自然增长率为1%。
激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可 激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会 导致5万乡村人口流向城市。
试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全 国人口数为输出变量的状态空间描述模型。
离散时间系统的机理建模(3/8)
目录
概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性离散系统的状态空间描述(1/3)
线性离散系统的空间描述(4/5)
离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时 刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动 态变化。
输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统 输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
重点喔
工程控制系统的计算机实现(1/9)
2.6.1 工程控制系统的计算机实现
自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统两类。 调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号 不作频繁调节; 而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确 地跟随输入信号的变化。 “伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即 使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。 而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为 随动系统。 对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和 位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。
激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可 激励5万城市人口迁移去乡村,而一个单位负控制措施会 导致5万乡村人口流向城市。
试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全 国人口数为输出变量的状态空间描述模型。
离散时间系统的机理建模(3/8)
目录
概述 2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型 2.5 传递函数阵 2.6 线性离散系统的状态空间描述 2.7 Matlab问题 本章小结
目录(1/1)
线性离散系统的状态空间描述(1/3)
线性离散系统的空间描述(4/5)
离散系统状态空间模型的意义: 状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时 刻的状态x((k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入 u(kT)之间的关系。 描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动 态变化。
输出方程为代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统 输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。 描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。
重点喔
工程控制系统的计算机实现(1/9)
2.6.1 工程控制系统的计算机实现
自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统两类。 调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号 不作频繁调节; 而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确 地跟随输入信号的变化。 “伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即 使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。 而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为 随动系统。 对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和 位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。
第三章线性离散系统状态空间表达式
• 离散化的过程(从动态方程的解开始)
• 不加证明地给出结论.
对于
x y
Ax Cx
的Bu线性定常系统
Du
• 则离散化后的方程为,采样周期为T
x(k 1) Gx(k) Hu(k y(k) Cx(k) Du(k)
)
G 其中
H
e
AT T
e
0
At
Bdt
三.离散------时间状态方程的解
• 则上式改写成
an y(z) bnu(z)
y(z) u(z)
b0 z n b1z n1 b2 z n2 z n a1z n1 a2 z n2
bn an
b0
1z n1 2 z n2
z n a1z n1 a2 z n2
n
an
•令
x(z)
zn
a1zn1
1 a2 zn2
• 若T为常数,则
k 1
x(k) Gk x(0) Gk j1(T )Hu( j) j0
• 令 (k) 称G为k 离散时间状态方程的状态转移
矩阵,它是差分方程
(k 1) 的G解(k.)
• 且满足 (0) ,则I 用状态转移矩阵写出的解为:
k 1
x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu( j) j0 k 1 (k)x(0) ( j)Hu(k j 1) j0
0
0 x1(k),
x
(k
2
),
x x (k), n 1
(k
n
)
T
•或
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
其中D=0
2.作用函数包括有 u(k),u(k+1),u(k+2),…,u(k+n)时的定常 纯量差分方程的状态空间表达式.
第三章系统分析-状态方程的解
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1.非齐次方程解的通式
已知系统状态空间表达式为： • 直接法积分求解
Ax Bu x y Cx Du
x(t ) (t t 0 ) x(t 0 ) (t )Bu( )d
t0
t
t0 0
x(t ) (t ) x(0) (t )Bu( )d
k j 0 k 1
得系统状态的迭代计算式为：
x(k ) G x(0) G k j 1Hu( j )
k j 0
k 1
注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) zx( z ) zx(0) Gx( z ) Hu( z ) ( zI G) x( z ) zx(0) Hu( z ) x( z ) [( zI G) z ]x(0) ( zI G) Hu( z ) x(k ) Z 1[( zI G) 1 z ]x(0) Z 1[( zI G) 1 Hu( z )]
书上p58~60页
0 （4）T-1AT= 0 0
1
0 0
0 1
0
0 1 t t 0 At 为约旦阵，则 (t ) e e T 0 1 1 0 0 0 0
At
1 2 t 2! t 1 0
1 3 t 3! 1 2 1 t T 2! t 1
返回
(8) 若 Ann Bnn Bnn Ann ，则有
注：上述性质由定义导出。
1 2 2 1 i i x(t ) ( I At A t A t ) x(0) e At x(0) 2! i!
1.非齐次方程解的通式
已知系统状态空间表达式为： • 直接法积分求解
Ax Bu x y Cx Du
x(t ) (t t 0 ) x(t 0 ) (t )Bu( )d
t0
t
t0 0
x(t ) (t ) x(0) (t )Bu( )d
k j 0 k 1
得系统状态的迭代计算式为：
x(k ) G x(0) G k j 1Hu( j )
k j 0
k 1
注：计算结果为逐点形式，便于计算机运算，但有累积误差。
与连续状态方程的求解公式在形式上类似
（2） z 变换法
x(k 1) Gx(k ) Hu(k ) zx( z ) zx(0) Gx( z ) Hu( z ) ( zI G) x( z ) zx(0) Hu( z ) x( z ) [( zI G) z ]x(0) ( zI G) Hu( z ) x(k ) Z 1[( zI G) 1 z ]x(0) Z 1[( zI G) 1 Hu( z )]
书上p58~60页
0 （4）T-1AT= 0 0
1
0 0
0 1
0
0 1 t t 0 At 为约旦阵，则 (t ) e e T 0 1 1 0 0 0 0
At
1 2 t 2! t 1 0
1 3 t 3! 1 2 1 t T 2! t 1
返回
(8) 若 Ann Bnn Bnn Ann ，则有
注：上述性质由定义导出。
1 2 2 1 i i x(t ) ( I At A t A t ) x(0) e At x(0) 2! i!
第三章线性系统状态方程解
第三章线性系统的运动分析§ 3-1线性连续定常齐次方程求解一、齐次方程和状态转移矩阵的定义1、齐次方程状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况(即没有输入作用的状况)，设系统的状态方程的齐次部分为：x(r) = Ax(t)线性泄常连续系统：X = A.V2、状态转移矩阵的定义齐次状态方程i = Ax有两种常见解法：(1)幕级数法；(2)拉氏变换法。
其解为巩7)=/'」(0)。
其中e川称为状态转移矩阵(或矩阵指数函数、矩阵指数)，记为：0(j) = e Al。
若初始条件为x(G，则状态转移矩阵记为：①(―7。
)=严如对于线性时变系统，状态转移矩阵写为0(/,山)，它是时刻t，t。
的函数。
但它一般不能写成指数形式。
(1)幕级数法设x = A.X-的解是t的向量幕级数x(f ) = /?<)+ + b-)t ~ + ........ + bj，+ .......式中仇，b\, b”…,仪,…都是n维向量,则x(t) = I人+2b2t + 3b y t2 + ........ + kb k t k~l + ...........=A(仇+Z?/ + />,r + ........... + bf + ........... )故而有：则 x(t) = e Al ・ x(0) o(2)拉氏变换解法将x = Ax 两端取拉氏变换，有5A (5)一 x(0) = Ax(s) (si 一 A )A (5)= x(0) x(s) = (si — A)"1 • x(0)拉氏反变换，有x(r) = L-,[(^-A)-,]x(0)则如)=e A, [(si-AV 1]0 1【例3.1.1］已知系统的状态方程为i= Q ° x,初始条件为双0),试求状态转移矩阵 和状态方程的解。
解:(1)求状态转移矩阵b=A %S = — Ab. = —A 2b a ・ 2 i 2 0b. =-Ab, =-A i b.3^3!且有 x(0) = b {) ax(t) = h () +b i t + b 2t 2 +............. + bf +=Z?o + A b^t + — A - b°t ~ + …—A k b^t & + …k! 1" "2!={I + At + — A 2t 2+・- + — A k t k + -)x(0)2! k\定义:宀M+討尸+…+討x1+…=字刘K ・ok'・如）f +亦¥八…+#八… 此题中：0 10 0 A => — A — .......... — A —0 00 0所以0(/) = e A!= I + At =1 00 1+0 t 0 0=1 t 0 1（2 ）状态方程的解「1X (/)=^.A (0) =t•40)0 1解。
控制理论(状态空间表达式)讲解
。
R
L
u
。
i
M
J
B
解：电感Ｌ和转动惯量Ｊ是储能元件，相应的物理 变量电流 i 和旋转速度 w是相互独立的，可选择为 状态变量．即
x1 i
x2
则
dx1 di dt dt
dx2 d dt dt
由电枢回路的电路方程，有
di L Ri e u dt d 由动力学方程有 J B K a i dt
为如下S的有理分式：
由系统的传递函数求其状态方程的过程称为系统
的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输 入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间 表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统
的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。
考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是 一个n阶线性常系数微分方程
第
一
章
控制系统状态空间表达式
§1-0 概述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态向量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数阵 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
§1-0 概 述
§1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
若指定角速度为输出，则
x1 y x2 0 1 x2
若指定电动机的转角为输出，则上述两个状态变量 不足以对系统的时域行为加以全面描述，必须增添 一个状态变量 x3
状态空间表达式
态空间表达式(输入u(t),输出q (t))
Ra
La
J
u
ia
u f R f Lf
f
if const
q
J 转动惯量， 粘f 性 摩擦常数， 状电态空磁间转表C矩达m常式数， 电势常数
Ce
Ra
La
u
ia
u f R f Lf
if const
J
q
解：电压方程： uRaiaLaddaitCeddqt
运动方程：
0 0 1 La
u
x1
y 1
0
0
x
2
x3
状态空间表达式
1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二)
考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个 阶线性常系数微 分方程：
相应的传递函数为
1.4.1 传递函数中没有零点时的实现 在这种情况下，系统的微分方程为：
解: 以z为变量的状态空间表达式形式:
zT1A TzT1B u 初值 z(0)T1x0 yCTzDu
状态空间表达式
例续:
•
zT1ATzT1Bu
T
6 2
2 0
yCTzDu初值
z(0)T1x0
T1
1 2
0 1
1 3
T 1 A T 1 2 1 0 1 3 1 0 2 3 2 62 0 0 2 1 3
回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个状态变量，
即令
则得一阶微分方程组为：
设单输入-单输出定常系统，其状态变量为 态方程的一般形式为：
（8） 则状
输出方程式则有如下形式： 用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：
（9） 因而多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：
Ra
La
J
u
ia
u f R f Lf
f
if const
q
J 转动惯量， 粘f 性 摩擦常数， 状电态空磁间转表C矩达m常式数， 电势常数
Ce
Ra
La
u
ia
u f R f Lf
if const
J
q
解：电压方程： uRaiaLaddaitCeddqt
运动方程：
0 0 1 La
u
x1
y 1
0
0
x
2
x3
状态空间表达式
1.4 状态变量及状态空间表达式的建立(二)
考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是一个 阶线性常系数微 分方程：
相应的传递函数为
1.4.1 传递函数中没有零点时的实现 在这种情况下，系统的微分方程为：
解: 以z为变量的状态空间表达式形式:
zT1A TzT1B u 初值 z(0)T1x0 yCTzDu
状态空间表达式
例续:
•
zT1ATzT1Bu
T
6 2
2 0
yCTzDu初值
z(0)T1x0
T1
1 2
0 1
1 3
T 1 A T 1 2 1 0 1 3 1 0 2 3 2 62 0 0 2 1 3
回到式（5）或式（6）的二阶系统，若改选 和 作为两个状态变量，
即令
则得一阶微分方程组为：
设单输入-单输出定常系统，其状态变量为 态方程的一般形式为：
（8） 则状
输出方程式则有如下形式： 用矢量矩阵表示时的状态空间表达式则为：
（9） 因而多输入-多输出系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为：
现代控制理论课后习题及答案
《现代控制理论》课后习题及答案第一章控制系统的状态空间表达式1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图图1-1 系统结构方块图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2.有电路如图1-3所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图图1-3 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
离散状态空间分析
yp
图3.1 线性连续系统的变量关系
状态变量、控制变量和输出变量的向量表达式
x1 (t ) x (t ) 2 x(t ) xn (t )
u1 (t ) u (t ) 2 u (t ) um (t )
j 0 k 1
有了离散状态方程的解(3—75)式， 便可以得到输出方程
y (kT ) Cx (kT ) Du(kT ) 式（3 75 ）中记 (kT ) F k。
(3 76)
(kT )称为线性离散系统的状 态转移矩阵。 状态转移矩阵具有以下 性质： (kT T ) F (kT ) ( I为单位矩阵） (0) I
由式(3-11)可得
x1 (kT T ) y (kT T ) x2 (kT ) x2 (kT T ) y (kT 2T ) x3 (kT ) x3 (kT T ) y (kT 3T ) x4 (kT ) xn (kT T ) y (kT nT ) an x1 (kT ) an 1 x2 (kT ) a1 xn (kT ) b0u (kT )
初值x(0)，u (0)。 以k 0， 1， 2， ，代入 x(T ) Fx(0) Gu(0) x(2T ) Fx(T ) Gu(T ) F 2 x(0) FGu(0) Gu(T ) x(3T ) F 3 x(0) F 2Gu(0) FGu(T ) Gu(2T ) x(kT ) F k x(0) F k j 1Gu( jT )
系统的状态变量如图3．4所示
3．3 线性离散系统离散状态方程的求解
线性离散系统的离散状态方程是由 高阶差分方程化为一阶差分方程组得到 的，所以求解差分方程的方法可以适用 于求解离散状态方程。通常离散状态方 程的求解方法有 迭代法 Z变换法。
2.离散系统状态空间表达式
y 1
0
x1 (k ) x2 ( k ) 0 xn ( k )
离散时间系统差分方程表示：
y (k n) an1 y (k n 1) a1 y k 1 a0 y (k )
bnu (k n) bn1u (k n 1) b1u k 1 b0u (k )
2、把高阶差分方程化为一阶差分方程组：
x1k 1 y(k 1) x2 k
x2 k 1 y (k 2) x3 k
xn1 k 1 y (k n 1) xn k 1 y (k n) a0 x1 (k ) a1 x2 (k ) an1 xn (k ) b 0u (k )
x(k 1) Gx(k ) Hu (k ) y (k ) Cx(k ) Du k
D u(k) x(k+1) H + G
Z 1
x(k
C
+ y(k)
图 1.6.1
一、差分方程中不包含输入函数的差分情况
y (k n) an1 y (k n 1) a1 y k 1 a0 y (k ) b0u k
2.6 离散时间系统状态空间表达式
线性离散系统状态空间描述，形式上类似于 连续系统，一般形式为
x(k 1) G (k ) x(k ) H (k )u (k ) y (k ) C (k ) x(k ) D(k )u (k )
其中： x(k ) R n ：n 维状态向量
1、选择状态变量：
x1k y(k ) x2 k y(k 1)
xn1 k y (k n 2) xn k y (k n 1)
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2. Z变换法
• 设离散时间的状态方程为:
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
• 求Z变换后得到
zx z zx 0 Gx z Hu k
于是 x(z) (zI G)1 zx(0) (zI G)1 Hu(z)
• 求Z反变换得:
x(k) z1[(zI G)1 z]x(0) z1[(zI G)1 Hu(z)]
y(k n) a1y(k n 1) a2 y(k n 2) an y(k) b0u(k n) b1u(k n 1) bnu(k)
• 将两边作零初始条件下的Z变换得:
zn y(z) a1zn1 y(z) a2 zn2 y(z) b0 znu(z) b1zn1u(z) b2 zn2u(z)
• 若T为常数,则
k 1
x(k) Gk x(0) Gk j1(T )Hu( j) j0
• 令 (k) 称G为k 离散时间状态方程的状态转移
矩阵,它是差分方程
(k 1) 的G解(k.)
• 且满足 (0) ,则I 用状态转移矩阵写出的解为:
k 1
x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu( j) j0 k 1 (k)x(0) ( j)Hu(k j 1) j0
1.递推法. • 设状态方程 xk 1 G T xk H T u k • 令k=0,1,2,….可递推求得
x(1) G(T )x(0) H (T )u(0) x(2) G2 (T )x(0) G(T )H (T )u(0) H (T )u(1)
k 1
x(k ) Gk (T )x(0) Gk j1(T )H (T )u( j) j0
0
x2
(k
)
0
u
(k
)
a1
xn
(k
)
1
y(k) n n1
x1(k)
x2 (k)
2
1
xn
.... 1 (k
)
b0u
(k
)
xn (k)
B.连续时间状态方程的离散化 • 有两种情况,需要采用这种方法
(1).含有采样开关或数字计算机的系统进行建模. 可先按连续系统建模然后离散化. (2).连续系统采用计算机进行控制或仿真时. 由于需编写程序,因此必须将连续系统离散化.
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k
)
Cx(k
)
Du(k
)
• 主要研究这种类型方程所描述的系统.
二.离散系统状态空间表达式的建立.
A.根据系统的差分方程建立状态空间表达式
• 1.作用函数为 bu 时k 的定常纯量差分方程的
状态空间表达式.
• 设纯量差分方程为
y(k n) a1 y(k n 1) a2 y(k n 2) an1 y(k 1) an y(k ) bu(k )
• 于是方程可以写成矩阵形式.
x1(k 1) 0
x2 (k
1)
0
xn1
(k
1)
0
xn (k 1) an
1 0
0 an1
0 0 x1(k) 0
0
0
x2 (k)
0
u(k)
0
1
xn
1
(k
)
0
a2 a1 xn (k) 1
y(k) 1 0
u(z) an
• 并进行反变换得:
x(k n) a1x(k n 1) a2x(k n 2) anx(k) u(k)
• 取状态变量
x1(k) x(k) x2 (k) x1(k 1) x(k 1) x3(k) x2 (k 1) x(k 2)
xn (k) xn1(k 1) x(k n 1) xn (k 1) x(k n) an x1(k) a2xn1(k) a1xn (k) u(k)
0
0 x1(k),
x
(k
2
),
x x (k), n 1
(k
n
)
T
•或
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
其中D=0
2.作用函数包括有 u(k),u(k+1),u(k+2),…,u(k+n)时的定常 纯量差分方程的状态空间表达式.
• 设纯量差分方程的表达式为:
y(k) 1x(k n 1) 2x(k n 2) n x(k) b0u(k)
y k n x1 k n1x2 k 2xn1 k 1xn k 0u k
• 故而得到:
x1(k 1) 0
x2
(k
1)
0
xn
(k
1)
an
1 0
an1
0 1
an2
0 x1(k) 1,u(kT ) Rr1, y(kT ) Rm1
• 它们都是在t=kT时所确定的向量 k=0G,1,2R…nn , H Rnr ,C Rmn , D Rmr
• 采用简化符号x(k)来表示x(kT),即x(k)表示 t=kT时的向量x(t)
• 同样,u(k),y(k)来代替u(kT),y(kT)这样上 式可表达为:
一.线性离散系统状态空间表达式
• SISO离散系统:(1).差分方程,(2).脉冲传递函数。 • 只采用时域法描述,即差分方程的方法. • 因而,离散系统的状态空间表达式,由离散状态方程
和离散输出方程组成.
• 即对线性时不变离散系统为:
x[(k 1)T ] Gx(kT ) Hu(kT ) y(kT ) cx(kT ) Du(kT )
式中,k表示第k个采样瞬时, y为k第 k个采样 瞬时输出, 为第u kk个 采样瞬时输入.
• 设:
x1(k) y(k) y(k) x1(k) x1(k 1) x2 (k) y(k 1) x2 (k) x2 (k 1) x3(k) y(k 2) x3(k)
xn1(k 1) xn (k) y(k n) xn (k) xn (k 1) a1xn (k) a2 xn1(k) an x1(k) bu(k)
• 对照递推结果,则有:
Gk z1[(zI G)1 z]
k 1
Gk j1Hu( j) z1[(zI G)1 Hu(z)]
j0
• 则上式改写成
an y(z) bnu(z)
y(z) u(z)
b0 z n b1z n1 b2 z n2 z n a1z n1 a2 z n2
bn an
b0
1z n1 2 z n2
z n a1z n1 a2 z n2
n
an
•令
x(z)
zn
a1zn1
1 a2 zn2
现代控制理论
第三章 线性离散系统状态 空间表达式
目的:
(1).用状态空间方法对离散系统进行分析时, 需建立离散系统的状态空间表达式. (2).连续系统采用计算机仿真和实时控制时, 需对连续系统离散化.
三个问题:
(1).离散系统状态空间表达式的形式. (2).离散系统状态空间表达式的建立. (3).方程的解法.
• 离散化的过程(从动态方程的解开始)
• 不加证明地给出结论.
对于
x y
Ax Cx
的Bu线性定常系统
Du
• 则离散化后的方程为,采样周期为T
x(k 1) Gx(k) Hu(k y(k) Cx(k) Du(k)
)
G 其中
H
e
AT T
e
0
At
Bdt
三.离散------时间状态方程的解