第三章 线性离散系统状态空间表达式

• 于是方程可以写成矩阵形式.
x1(k 1) 0
x2 (k
1)
0
xn1
(k
1)
0
xn (k 1) an
1 0
0 an1
0 0 x1(k) 0
0
0
x2 (k)
0
u(k)
0
1
xn
1
(k
)
0
a2 a1 xn (k) 1
y(k) 1 0
2. Z变换法
• 设离散时间的状态方程为:
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
• 求Z变换后得到
zx z zx 0 Gx z Hu k
于是 x(z) (zI G)1 zx(0) (zI G)1 Hu(z)
• 求Z反变换得:
x(k) z1[(zI G)1 z]x(0) z1[(zI G)1 Hu(z)]
1.递推法. • 设状态方程 xk 1 G T xk H T u k • 令k=0,1,2,….可递推求得
x(1) G(T )x(0) H (T )u(0) x(2) G2 (T )x(0) G(T )H (T )u(0) H (T )u(1)
k 1
x(k ) Gk (T )x(0) Gk j1(T )H (T )u( j) j0
y(k n) a1y(k n 1) a2 y(k n 2) an y(k) b0u(k n) b1u(k n 1) bnu(k)
• 将两边作零初始条件下的Z变换得:
zn y(z) a1zn1 y(z) a2 zn2 y(z) b0 znu(z) b1zn1u(z) b2 zn2u(z)
y(k) 1x(k n 1) 2x(k n 2) n x(k) b0u(k)
y k n x1 k n1x2 k 2xn1 k 1xn k 0u k
• 故而得到:
x1(k 1) 0
x2
(k
1)
0
xn
(k
1)
an
1 0
an1
0 1
an2
0 x1(k) 0
式中,k表示第k个采样瞬时, y为k第 k个采样 瞬时输出, 为第u kk个 采样瞬时输入.
• 设:
x1(k) y(k) y(k) x1(k) x1(k 1) x2 (k) y(k 1) x2 (k) x2 (k 1) x3(k) y(k 2) x3(k)
xn1(k 1) xn (k) y(k n) xn (k) xn (k 1) a1xn (k) a2 xn1(k) an x1(k) bu(k)
• 则上式改写成
an y(z) bnu(z)
y(z) u(z)
b0 z n b1z n1 b2 z n2 z n a1z n1 a2 z n2
bn an
b0
1z n1 2 z n2
z n a1z n1 a2 z n2
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n
an
•令
x(z)
zn
a1zn1
1 a2 zn2
u(z) an
• 并进行反变换得:
x(k n) a1x(k n 1) a2x(k n 2) anx(k) u(k)
• 取状态变量
x1(k) x(k) x2 (k) x1(k 1) x(k 1) x3(k) x2 (k 1) x(k 2)
xn (k) xn1(k 1) x(k n 1) xn (k 1) x(k n) an x1(k) a2xn1(k) a1xn (k) u(k)
现代控制理论
第三章 线性离散系统状态 空间表达式
目的:
(1).用状态空间方法对离散系统进行分析时, 需建立离散系统的状态空间表达式. (2).连续系统采用计算机仿真和实时控制时, 需对连续系统离散化.
三个问题:
(1).离散系统状态空间表达式的形式. (2).离散系统状态空间表达式的建立. (3).方程的解法.
• 离散化的过程(从动态方程的解开始)
• 不加证明地给出结论.
对于
x y
Ax Cx
的Bu线性定常系统
Du
• 则离散化后的方程为,采样周期为T
x(k 1) Gx(k) Hu(k y(k) Cx(k) Du(k)
)
G 其中
H
e
AT T
e
0
At
Bdt
三.离散------时间状态方程的解
• 对照递推结果,则有:
Gk z1[(zI G)1 z]
k 1
Gk j1Hu( j) z1[(zI G)1 Hu(z)]
j0
0
x2
(k
)
0
u
(k
)
a1
xn
(k
)
1
y(k) n n1
x1(k)
x2 (k)
2
1
xn
.... 1 (k
)
b0u
(k
)
xn (k)
B.连续时间状态方程的离散化 • 有两种情况,需要采用这种方法
(1).含有采样开关或数字计算机的系统进行建模. 可先按连续系统建模然后离散化. (2).连续系统采用计算机进行控制或仿真时. 由于需编写程序,因此必须将连续系统离散化.
一.线性离散系统状态空间表达式
• SISO离散系统:(1).差分方程,(2).脉冲传递函数。 • 只采用时域法描述,即差分方程的方法. • 因而,离散系统的状态空间表达式,由离散状态方程
和离散输出方程组成.
• 即对线性时不变离散系统为:
x[(k 1)T ] Gx(kT ) Hu(kT ) y(kT ) cx(kT ) Du(kT )
0
0 x1(k),
x
(k
2
),
x x (k), n 1
(k
n
)
T
•或
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
其中D=0
2.作用函数包括有 u(k),u(k+1),u(k+2),…,u(k+n)时的定常 纯量差分方程的状态空间表达式.
• 设纯量差分方程的表达式为:
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k
)
Cx(k
)
Du(k
)
• 主要研究这种类型方程所描述的系统.
二.离散系统状态空间表达式的建立.
A.根据系统的差分方程建立状态空间表达式
• 1.作用函数为 bu 时k 的定常纯量差分方程的
状态空间表达式.
• 设纯量差分方程为
y(k n) a1 y(k n 1) a2 y(k n 2) an1 y(k 1) an y(k ) bu(k )
• 式中,T为采样周期
x(kT ) Rn1,u(kT ) Rr1, y(kT ) Rm1
• 它们都是在t=kT时所确定的向量 k=0G,1,2R…nn , H Rnr ,C Rmn , D Rmr
• 采用简化符号x(k)来表示x(kT),即x(k)表示 t=kT时的向量x(t)
• 同样,u(k),y(k)来代替u(kT),y(kT)这样上 式可表达为:
• 若T为常数,则
k 1
x(k) Gk x(0) Gk j1(T )Hu( j) j0
• 令 (k) 称G为k 离散时间状态方程的状态转移
矩阵,它是差分方程
(k 1) 的G解(k.)
• 且满足 (0) ,则I 用状态转移矩阵写出的解为:
k 1
x(k) (k)x(0) (k j 1)Hu( j) j0 k 1 (k)x(0) ( j)Hu(k j 1) j0