有理数认识

有理数

学习目标：

1. 会用正数和负数表示具有相反意义的量；

2. 知道有理数的意义，会对有理数进行分类；

3. 会画数轴，会用数轴上的点表示一个有理数，会在数轴上比较两

个有理数的大小，能归纳出比较两个或几个有理数的大小的方

法；

4. 会求任意有理数的相反数和绝对值，并会在数轴上说出一个数的

绝对值和相反数的几何意义；

5. 经历有理数加法和减法的运算法则的确立过程，理解有理数加法

和减法的运算法则的合理性；

6. 会根据有理数的加法和减法法则，进行有理数的加法和减法运

算；

7. 会运用有理数加法的交换律和结合律，使加法运算合理、简便；

8. 会把有理数的减法转化为加法，会进行有理数的加、减混合运

算；

9. 理解有理数乘法和除法运算法则的合理性，并会根据这些法则，

进行有理数的乘法和除法运算；

10. 会运用有理数乘法的交换律、结合律和分配律，使乘法运算合

理、简便；

11. 会把有理数的除法转化成乘法，会进行有理数的乘、除混合运

算；

12. 会根据有理数的乘方法则，进行有理数的乘方运算；

13. 会用科学记数法来表示整数，或由科学记数法表示的数写出原

数；

14. 会使用计算器，进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算；

15. 会按照规定的运算顺序进行有理数的混合运算，并会运用运算律

改变运算顺序，使计算简便．

知识点归纳：

1. 正数、零、负数、非负数

像6，2.5，，1.2%等大于0的数，叫做正数；在正数前加上“”号的数叫做负数，如，，，等．有时为了强调符号，在正数前加上“”号，如，，等．

负数可以表示与正数具有相反意义的量．

“0”是一个很重要又很特殊的数．它既不是正数，也不是负数；它既是整数也是偶数．

区分这里的“”号和“”号和以前学过的加号、减号不同，加号、减号是运算符号，这些写在数字前面的“”号和“”号分别表示这个数是正数还是负数，称为性质符号．

2.

2. 有理数的分类

（1）按有理数的意义可以分为：

正整数

自然数（非负数）

整数零

有理数负整数

正分数

分数

负分数

如果我们把整数看成是分母为1的分数，那么在这个意义下，所有的有理数都是分数．

（2）按有理数的符号可以分为：

正整数

正有理数

正分数

有理数零

负整数

负有理数

负分数

3. 数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示．

数轴上的数沿着正方向（一般向右）逐渐变大，故右边的数总是比左边的数大．

数轴上表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点的左边；表示零的点在原点；表示正的真分数的点在原点和表示1的点之间（端点除外）．

4. 相反数

只有符号不同的两个数，例如和，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．零的相反数是零．

“互为”是指成对的意思，如果甲数是乙数的相反数，则乙数也必然是甲数的相反数．

在数轴上，表示互为相反数的两个点，分别在原点的两侧，并且与原点的距离相等．

相反数必定异号，但异号的两数不一定互为相反数，如3和．

数a的相反数记作，在一个数的前面添上一个“”号就成为原数的相反数．例如3的相反数为，的相反数为．简化有理数符号的方法“正好省略，负负得正”．

一个数的相反数的相反数是这个数本身．

注意相反数和倒数的区别：

互为相反数的两个数的和为0，商为（若这个数不为0），互为倒数的两个数的积为1．

5. 绝对值

一个数在数轴上所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，用符号表示数a的绝对值．

一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零．

即．

一个数的绝对值一定大于或等于零，即一个数的绝对值为非负数．一个数所表示的点离开原点的距离越远，其绝对值越大；离开原点的距离越近，其绝对值越小．

两个互为相反数的数的绝对值相等，即；一个数（或一个数的相反数）的绝对值（）与这个数的绝对值的相反数互为相反数，即．

6. 有理数大小的比较

借助法则

比较两个有理数的大小，一般有下列五种情况：

（1）两个正数；

（2）一个正数，一个零（正数总是大于零）；

（3）一个负数，一个零（负数总是小于零）；

（4）一个正数，一个负数（正数总是大于负数）；

（5）两个负数（绝对值大的数反而小）．

总结：正数负数．

借助数轴：两个数在数轴上对应的点位于右边的数总比左边的

数大．

作差法：如果，那么；如果，那么；如果，那么．

作商法：当时，若，那么；如果，那么；如果，那么．

7. 有理数的加法

（1）法则

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，和的符号取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差．

一个数同零相加，仍得这个数．（2）运算律

交换律：．

结合律：．