高中数学精讲教案-不等式的解法

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高考数学专题复习不等式的解法及其应用教案

高考数学专题复习不等式的解法及其应用一、考点要求1．熟练掌握一元二次不等式、含有绝对值的不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法．解一元二次不等式(02>++c bx ax 或)0<，一要注意字母a 的符号；二要讨论∆的符号；三要讨论对应方程的两根1x ，2x 的大小．解分式不等式，一般是将一边转化为零，采用数轴标根法可简捷地求得其解集．解含有绝对值的不等式，基本思路是去掉绝对值，应针对其不同的形式，采用适当的方法：分类讨论去绝对值；两边平方去绝对值；借助不等式的性质a x a a x <<-⇔<||，a x >||a x -<⇔或a x >去绝对值．通过解不等式体现等价转化、分类讨论、数形结合的思想方法． 2．理解不等式||||||b a -≤||b a ±≤||||b a +．3．会用不等式的知识分析和解决带有生产和生活意义的应用问题，或在相关学科中的其他数学问题．二、基础过关1．已知非负实数x ，y 满足832-+y x ≤0且723-+y x ≤0，则y x +的最大值是（）．A ．73 B ．83C ．2D ．3 解：画出图像，由线性规划知识可得，选D ．2．设a x <-|2|时，不等式1|4|2<-x 成立，则正数a 的取值范围是（）．A ．25->aB ．a <0≤25-C ．a ≥25-D ．以上都不对解：设}|2||{a x x A <-=，}1|4||{2<-=x x B ，则)2,2(a a A +-=，)5,3()3,5 --=B ，由题可知B A ⊆， ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≥-,32,52a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧--≤+≤,32,52a a ∴a ≤32--，而a ≤32--与0>a 矛盾，舍去．由⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-,52,32a a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤,25,32a a ∴a ≤25-，∴<0a ≤25-． 3．不等式)12(|1|-+x x ≥0的解集为（）．A ．x x |{≥}21B ．x x |{≤1-或x ≥}21 C ．1|{-=x x 或x ≥}21 D ．1|{-x ≤x ≤}21解：)12(|1|-+x x ≥0，则12-x ≥0或01=+，∴x ≥21或1-=x ，故选 C ． 4．若关于x 的不等式|||2|a x x -+-≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值是（）．A ．0B ．1C ．21D ．2 解：|||2|a x x -+-≥|2|-a ，只需|2|-a ≥a 恒成立，显然02<-a 时，a -2≥a ，a ≤1，故1max =a ．5．设P =(log 2x )2+(t-2)log 2x -t+1，若t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值，则x 的变化范围是．分析：要求x 的变化范围，显然要依题设条件寻找含x 的不等式(组)，这就需要认真思考条件中“t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值．”的含义．你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思考．在所给数学结构中，右边的式子中含两个字母x 、t ，t 是在给定区间内变化的，而求的是x 的取值范围，能想到什么？解：设P=f (t)=(log 2x -1)t+log 22x -2log 2x +1．因为 P =f (t)在top 直角坐标系内是一直线，所以t 在区间[-2，2]上变动时，P 恒为正值的充要条件是⎩⎨⎧>>-.0)2(,0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-.01log ,03log 4log 22222x x x 解得log2x ＞3或log2x ＜1-，即x 的取值范围是),8()21,0(+∞ ．说明：改变看问题的角度，构造关于t 的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题．6．关于x 的不等式322---x x xa ＞0的解集是．分析：本题主要复习分式不等式的解法、分类讨论的思想及利用数轴标根法解不等式的基本步骤．本题的关键是对分母分解因式，将原不等式等价转化为()()()013<+--x x a x ，和比较a 与1-及3的大小，定出分类方法．解：原不等式化为：()()()013<+--x x a x ．（1）当1-≤a 时，由图1知不等式的解集为}{31<<-<x a x x 或；（2）当{}31231<<-<≤<-x a x x a 或知不等式的解集为时，由图；（3）当{}a x x x a <<-<>3133或知不等式的解集为时，由图．三、典型例题例1 解关于x 的不等式： a x x -≤()0922>a a ．分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想．本题的关键不是对参数a 进行讨论，而是去绝对值时必须对未知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集．解：当a x ≥时，不等式可转化为()⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥,29,2a a x x a x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥,0299,22a ax x a x ∴a x a 6173+≤≤．当a x <时，不等式可转化为⎪⎩⎪⎨⎧≤-<,2)(9,2a x a ax a x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<,0299,22a ax x a x ∴a x aa x <≤≤323或． ∴不等式的解集为：]6173,32[]3,(a a a+-∞ ．例2 己知三个不等式：①x x -<-542； ②12322≥+-+x x x ； ③0122<-+mx x ． (1) 若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围； (2) 若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围．分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足①、②的x 值的满足③的充要条件是：③对应的方程的两根分别在()0,∞-和[),3+∞内．不等式和与之对应的方程及函数图像有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．解：记①的解集为A ，②的解集为B ，③的解集为C ．解①得A =（1-，3）；解②得B =[]4,2()1,0 ，∴B A [)3,2()1,0 =．（1）因同时满足①、②的x 值也满足③，B A ⊆C ，设12)(2-+=mx x x f ，由)(x f 的图像可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3时，即可满足C B A ⊆ ∴⎩⎨⎧≤<,0)3(,0)0(f f 即⎩⎨⎧≤+<-,0173,01m ∴317-≤m ．(2) 因满足③的x 值至少满足①和②中的一个，∴B A C ⊆，而]4,1(-=B A ，∴]4,1(-⊆C ，∴方程0122=-+mx x 小根大于或等于1-，大根小于或等于4，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<-≥+=≥-=-,441,0314)4(,01)1(mm f m f 1431≤≤-m 解之得．说明：同时满足①②的x 值满足③的充要条件是：③对应的方程2x 2+mx 1-=0的两根分别在-∞(，)0和[3，+∞)内，因此有f (0)＜0且f (3)≤0，否则不能对A ∩B 中的所有x 值满足条件．不等式和与之对应的方程及图像是有着密不可分的内在联系的，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间的内在关系．例 3 已知奇函数)(x f 在),0()0,(+∞-∞ 上有定义，在),0(+∞上是增函数，0)1(=f ，又知函数m m g 2cos sin )(2-+=θθθ，]2,0[πθ∈，集合|{m M =恒有}0)(<θg ，|{m N =恒有}0))((<θg f ，求N M ．分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题．解：∵奇函数)(x f 在),0(+∞上是增函数，∴)(x f 在)0,(-∞上也是增函数．∵0)1(=f ，∴0)1()1(=-=-f f ，∴满足⎩⎨⎧-=<<)1(0))((,0)(f g f g θθ的条件是⎩⎨⎧-<<,1)(,0)(θθg g即），（（]201)(πθθ∈-<g ，即12cos sin 2-<-+m m θθ，也即022cos 2<+-+-m mcor θθ令θcos =t ，则]1,0[∈t ，则0222<+-+-m mt t ．法1 （变量分离法）222-->t t m 对 ]1,0[∈t 恒成立，设22)(2--=t t t f ，只需m 大于)(t f 的最大值即可．∵422)2(22)2(4)2(22)(22+-+-=-+-+-=--=t t t t t t t t f 4]22)2[(+-+--=tt ，]1,0[∈t ， ∴02>-t ，∴)(t f ≤224422)2(2-=+-⋅--tt ， ∴224)(max -=t f ，∴224->t ，∴}224|{->=m m N M ．法2 （二次函数在闭区间上的最值）设22)(2+-+-=m mt t t h ，0≤t ≤1，要使0)(<t h 对]1,0[∈t 恒成立，只需使)(t h 在]1,0[∈t 内的最大值小于0即可．10当<2m0即0<m 时，22)0()(max +-==m h t h ，由不等式组⎩⎨⎧<+-<022,0m m 解得∅∈m ．20当0≤2m≤1时488)(2max +-=m m x h ，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-≤≤0488,202m m m 得m <-224≤2．30当12>m即2>m 时，1)(max +-=m t h ，解不等式组⎩⎨⎧<+->01,2m m 得2<m ．综上：}224|{->=m m N M ．例4 已知对于自然数a ，存在一个以a 为二次项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根．求证：a ≥5．分析：二次函数的几种特殊形式：一般式：f (x )=c bx ax ++2(a ≠0)．通常如果知道二次函数图像是的三点A ))(,(11x f x 、B ))(,(22x f x 、C ))(,(33x f x ，则选用一般式，系数a ，b ，c 可由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=,)(,)(,)(323322221211c bx ax x f c bx ax x f c bx ax x f 确定．顶点式：)0)(()()(020≠+-=a x f x x a x f ．这里))(,(00x f x 是二次函数的顶点，a b x 20-=，ab ac x f 44)(20-=．两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f ．这里1x 、2x 是方程0)(=x f 的两个根，满足a b x x -=+21，acx x =21．证明：设二次三项式为：))(()(21x x x x a x f --=，a ∈N 且0≠a ．依题意知：0＜x 1＜1，0＜x 2＜1，且x 1≠x 2．于是有f (0)＞0，f (1)＞0．又21212)()(x ax x x x a ax x f ++-=为整系数二次三项式，所以f (0)=ax 1x 2、f (1)=a ·(1x -1)(1x -2)为正整数．故f (0)≥1，f (1)≥1． ∴ )1()0(f f ⋅≥1． ① 另一方面，)1(11x x -≤41]2)1([211=-+x x ，)1(22x x -≤41]2)1([222=-+x x ，且由x 1≠x 2知等号不同时成立，所以161)1()1(2211<--x x x x ． 222112161)1()1(a x x x x a <--．由①、②得，2a ＞16．又a ∈N ，所以a ≥5．说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活．根据题设条件恰当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键．四、热身演练 1．函数31)(x x f =，则不等式)()(1x f x f>-的解集是（ D ）． A ．0(，)1 B ．-∞(，0()1 -，)1 C ．1(-，)0 D ．1(-，1()0 ，)∞+ 解：（反函数、图像法）)()(1x f x f>-，∴313x x >，画出3x y =和31x y =，由图像可知∈x 1(-，1()0 ，)∞+，故选 D ．2．（2003年春北京）若不等式6|2|<+ax 的解集为1(-，)2，则实数a 等于（）．A ．8B ．2C ．4- 8-[分析] 本题考查含有绝对值不等式的解法，含参数不等式的解法、分类讨论的思想等基础知识和方法．解：法1 由6|2|<+ax ，得48<<-ax ．当0>a 时，则a x a 48<<-，∵21<<-x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-24,18a a无解，∴0>a 不成立．当0<a 时，则a x a 84-<<，∵21<<-x ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=28,14aa得4-=a ．法2 根据不等式的解集与相应相方程有根的关系知方程0|2|=+ax |的根为1-，2，∴,6|22|,6|2|=+=+-a a 解得4-=a ，故选C ．3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|33,0xx x x x 的解集是（）．A ．}20|{<<x xB ．}250|[<<x x C ．}60|{<<x x D ．}30|{<<x x 解：选C ．4．若不等式012>++bx ax 的解集为}121|{<<-x x ，则（）．A ．1,2-==b aB ．1,2==b aC ．1,2-=-=b aD ．1,2=-=b a 解：选D ．5．已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--=是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是（）．A ．a ≤1B ．2<aC ．1<a <2D ．a ≤1或a ≥2解：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数a x x ++22的判别式a 44-=∆≥0，从而a ≤1；命题q 为真时，125>-a ，∴2<a ．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 和q 中只有一个是真命题，一个是假命题．若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1<a <2，故选C ．6．已知)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上是减函数，0)(=a f )0(>a ，那么不等式0)(<x xf 的解集是（）．A ．}0|[a x x <<B ．0|{<<-x a x 或}a x >C ．}|{a x a x <<-D ．a x x -<|{或}0a x << 解：选B ．7．若)2(log )(221++=kx x x f 的值域为R ，则实数k 的取值范围是．解：（令22++=kx x ，则t 能取到所有的实数是关键）．要使)(x f 的值域为R ，则必须有真数22++kx x 能取到一切的正数，即∆≥0，即82-k ≥0，∴k ≥22，或k ≤22．8．当m a (∈，)n 时，不等式31222<+---xx x ax 对任意实数x恒成立，则=+n m ．解：（意分母012>+-x x 恒成立．）∵分母012>+-x x 恒成立，∴原不等式等价于)1(3222x x x ax +-<--，即01)3(42>+-+x a x 对∈x R 时恒成立，∴016)3(2<--=∆a ，解得71<<-a ，∴1-=m ，7=n ，∴6=+n m ．9．当∈x R 时，不等式12sin 23cos 2+++<+m x x m 恒成立，则实数m 的取值范围是．解：（变量分离，对于无理不等式，考纲是不作要求的，但04年各地高考卷中还是出现了一些简单的无理不等式，这里结合变量分离，让学生接触一次简单的无理不等式，结合这个问题向学生简单介绍一些简单无理不等式的解法．）原不等式可转化为2sin 2sin 122++<+-x x m m ，对∈x R 时恒成立，只须12+-m m 小于x x x f sin 2sin )(22+=+的最小值即可，∵1)1(sin )(2++=x x f ≥1，∴12+-m m 1<，即121+<-m m ．当21-≤1<m 时，不等式恒成立，当m ≥1时，两边平方解得1≤4<m ， ∴21-≤4<m ，即为m 的取值范围． 10．若二次函数y =f (x )的图像经过原点，且1≤)1(-f ≤2，3≤f (1)≤4，则)2(-f 的取值范围是．分析：要求)2(-f 的取值范围，只需找到含人f (-2)的不等式(组)．由于y =f (x )是二次函数，所以应先将f (x )的表达形式写出来．即可求得)2(-f 的表达式，然后依题设条件列出含有)2(-f 的不等式(组)，即可求解．解：因为y =f (x )的图像经过原点，所以可设y =f (x )=bx ax +2．于是 ⎩⎨⎧≤≤≤-≤,4)1(3,2)1(1f f 即⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.43,21b a b a （1）法1 (利用基本不等式的性质)不等式组（1）变形得⎩⎨⎧≤≤≤-≤,624,4222a b a ∴6≤b a 24-≤10，即6≤)2(-f ≤10．其中等号分别在⎩⎨⎧==,1,2b a 与⎩⎨⎧==1,3b a 时成立，且⎩⎨⎧==,1,2b a 与⎩⎨⎧==1,3b a 满足（1）∴)2(-f 的取值范围是[6，10]．法2 (数形结合)建立直角坐标系aOb ，作出不等式组（1）所表示的区域，如图中的阴影部分．因为b a f 24)2(-=-，所以0)2(24=---f b a 表示斜率为2的直线系．如图，当直线0)2(24=---f b a 过点A (2，1)，B (3，1)时，分别取得)2(-f 的最小值6，最大值10．即)2(-f 的取值范围是：6≤)2(-f ≤10．法3 (利用方程的思想)∵⎩⎨⎧-=-+=,)1(,)1(b a f b a f ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-+=)].1()1([21)],1()1([21f f b f f a又∵)1()1(324)2(f f b a f +-=-=-，而1≤)1(-f ≤2，3≤)1(f ≤4， ① ∴3≤)1(3-f ≤6． ② ①+②得4≤)1()1(3f f +-≤10，即6≤)2(-f ≤10．说明：（1）在解不等式时，要求作同解变形．要避免出现以下一种错解：将不等式组（1）变形得⎩⎨⎧≤≤≤≤,321,624b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,2321,32b a而b a f 24)2(-=-，8≤a 4≤12，3-≤b 2-≤1-，所以 5≤)2(-f ≤11．同向不等式可以相加，但是一般情况只可使用一次，若多次使用往往会把范围扩大，如果一定需要多次使用，那么一定要注意范围是否被扩大，注意等号是否同时成立即可．（2）对这类问题的求解关键一步是，找到)2(-f 的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题．若长期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高．11．求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx +a 2-1≤0的解集分别是：（1）]2,1[-；（2）}2{；（3）),1[+∞-．分析：方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来，相互转化和相互交通．解：（1）由题意可知，a ＞0且1-，2是方程ax 2+bx +a 2-1≤0的根，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⨯--=+->,121,21,02a a a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=.21,21b a（2）由题意知，2是方程ax 2+bx +a 2-1=0的根，所以4a +2b +a 2-1=0． ①又{2}是不等式ax 2+bx +a 2-1≤0的解集，所以⎩⎨⎧=--=∆>.0)1(4,022a a b a ② 解①，②得52+=a ，548--=b ．（3）由题意知，a =0，b ＜0，且1-是方程bx +a 2-1=0的根，即-b +a 2-1=0，所以a =0，b =1-．说明：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换． 12．设函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与两直线y =x ，y =x -，均不相交．试证明对一切∈x R 都有||41||2a c bx ax >++．分析：因为x ∈R ，故|f (x )|的最小值若存在，则最小值由顶点确定，故设f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)．证明：由题意知，a ≠0．设f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，则aacb x f 44)(20--=．又二次方程ax 2+bx +c =±x 无实根，故Δ1=(b +1)2-4ac ＜0， Δ2=(b -1)2-4ac ＜0．∴(b +1)2+(b -1)2-8ac ＜0，即2b 2+2-8ac ＜0，即142-<-ac b ，∴1|4|2>-ac b ，∴||41||4|4||44||)(|220a a ac b a ac b x f >-=--=．由0142<-<-ac b 可知当∈x R 时，|)(|x f ≥|)(|0x f ，∴||41|)(|a x f >，即||41||2a c bx ax >++成立．说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径．13．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高5.4米，隧道全长5.2千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．（1）若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？（2）若最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，才能使半个椭圆形隧道的土方工程最小？（半个椭圆的面积公式为S =,4lh π柱体体积为：底面积乘以高，414.12=，646.27=，本题结果均精确到1.0米．）分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力．解：（1）建立如图所示直角坐标系，则11(P ，)5.4．设椭圆方程为：12222=+by a x ，将b =h =6与点P 坐标代入椭圆方程得7744=a ，此时3.3377882≈==a l ，故隧道拱宽约为3.33米．（2）由椭圆方程12222=+b y a x 得15.4112222=+b a ．∵22225.411b a +≥ab5.4112⨯⨯，∴ab ≥99， ∴24ablh S ππ==≥299π，当S 最小时有215.4112222==b a ，∴211=a ，229=b ，此时1.312≈=a l ，4.6≈=b h ，故当拱高约为4.6米，拱宽约为1.31米时，土方工程量最小．。

高中数学《不等式》教案

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

高中数学学案- 不等式的解法

高中数学学案不等式的解法考点不等式的解法1 不等式ax>b若a>0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x| x>ba；若a<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x| x<ba；若a＝0，当b≥0时，解集为∅，当b<0时，解集为R.2 一元二次不等式“三个二次”分三种情况讨论，对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集，可归纳为：判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1＝x2无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c>0(a>0){x|x<x1或x>x2}{ x∈R| x≠－⎭⎪⎬⎪⎫b2aRax2＋bx＋c<0(a>0){x|x1<x<x2}∅∅若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．3 高次不等式的解法如果一元n次不等式a0x n＋a1x n－1＋…＋a n>0(a0≠0，n∈N*，n≥3)可以转化为a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)>0(其中x1<x2<…<x n)的形式，那么求解时，一般先在数轴上标区间(－∞，x1)、(x1，x2)、…、(x n，＋∞)，a0>0时，由于f(x)＝a0(x－x1)(x－x2)…(x－x n)的值的符号在上述区间自右至左依次为＋、－、＋、－、…，所以正值区间为f(x)>0的解集．4 分式不等式的解法(1)f xg x>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；(2)f xg x≥0(≤0)⇔⎩⎨⎧f x·g x≥0≤0，g x≠0.5 绝对值不等式的解法(1)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2；(2)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x)；(3)|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)；(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解，也可以用图象法去求解．注意点求解不等式时需注意的问题(1)求解分式不等式，关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．解题时要注意含有等号的分式不等式在变形为整式不等式后，及时去掉分母等于0的情形．(2)在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.1．思维辨析(1)若ax＋b>0，则x>－ba.( )(2)不等式－x2－5x＋6<0的解集为{x|x<－6或x>1}．( )(3)3x＋2x＋2≤0的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23.( )(4)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(5)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(6)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( )答案(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)×2．x2－ax＋b>0的解集为{x|x<2或x>3}，则a＋b的值是( )A．1 B．－1C．11 D．12答案 C解析由题意可知x2－ax＋b＝0的两根为2,3，故a＝2＋3＝5，b＝2×3＝6，故a＋b ＝11.3．函数y＝x－x2－3x＋4的定义域为( )A．(－∞，－4)∪(1，＋∞) B．(－4,1)C．(－4,0)∪(0,1) D．(－1,4)答案 B解析依题意得－x2－3x＋4>0，即x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，故函数的定义域为(－4,1)．[考法综述] 不等式的解法是高考的一个基本考点，一般涉及一元二次不等式、高次不等式、分式不等式、指数与对数不等式等，主要依据不等式的性质进行求解．一般难度不大，容易得分．命题法一元二次不等式的解法典例解关于x的不等式kx2－2x＋k<0(k∈R)．[解](1)当k＝0时，不等式的解为x>0.(2)当k>0时，若Δ＝4－4k2>0，即0<k<1时，不等式的解为1－1－k2k<x<1＋1－k2k；若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．(3)当k<0时，若Δ＝4－4k2>0，即－1<k<0时，x<1＋1－k2k或x>1－1－k2k；若Δ<0，即k<－1时，不等式的解集为R；若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1. 综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅；0<k<1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k <x <1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x >0}；当－1<k <0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1＋1－k 2k 或x >1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}；k <－1时，不等式的解集为R .【解题法】一元二次不等式的解法 (1)解一元二次不等式的一般步骤①对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)．②计算相应的判别式．③当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． ④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．1．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <－1}D ．{x |x ≤－2}答案 A解析因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A.2.当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98C ．[－6，－2]D ．[－4，－3] 答案 C解析 ∵当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，即当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3≥x 2－4x －3(*)恒成立．(1)当x ＝0时，a ∈R .(2)当0<x ≤1时，由(*)得a ≥x 2－4x －3x 3＝1x －4x 2－3x3恒成立．设f (x )＝1x －4x 2－3x 3，则f ′(x )＝－1x 2＋8x 3＋9x 4＝－x 2＋8x ＋9x 4＝－x －9x ＋1x 4.当0<x≤1时，x －9<0，x ＋1>0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1]上单调递增．当0<x ≤1时，可知a ≥f (x )max ＝f (1)＝－6. (3)当－2≤x <0时，由(*)得a ≤1x －4x 2－3x3.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝9(舍)．当－2≤x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增． ∴x ∈[－2,0)时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－4＋3＝－2. ∴可知a ≤f (x )min ＝－2.综上所述，当x ∈[－2,1]时，实数a 的取值范围为－6≤a ≤－2.故选C.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A ．{x |x <－ln 2或x >ln 3}B ．{x |ln 2<x <ln 3}C ．{x |x <ln 3}D ．{x |－ln 2<x <ln 3} 答案 D解析解法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，选D.解法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫12<x <3，令12<e x<3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.4．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎨⎧ f m <0，f m ＋1<0，即⎩⎨⎧2m 2－1<0，m ＋12＋m m ＋1－1<0，解得－22<m <0.不等式x 2＋7>ax －a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________． [错解][错因分析] 条件并没有进行等价转化，f (x )>0可能在除3、4的其他范围(3,4)不成立．[正解] 由题意知a <x 2＋7x －1对3≤x ≤4恒成立．令g (x )＝x 2＋7x －1，x ∈[3,4]，则a <g (x )min且g(x)＝x2＋7x－1＝x－1＋8x－1＋2≥42＋2.当且仅当x－1＝8x－1即x＝22＋1时取等号．∴a<42＋2，即a的取值范围是(－∞，42＋2)．[答案](－∞，42＋2)[心得体会]………………………………………………时间：45分钟基础组1.不等式x－2x2－1<0的解集为( )A．{x|1<x<2} B．{x|x<2且x≠1} C．{x|－1<x<2且x≠1} D．{x|x<－1或1<x<2} 答案 D解析x－2x2－1<0⇔(x－1)(x＋1)(x－2)<0⇔x<－1或1<x<2，故选D.2．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于( )A．－3 B．1C．－1 D．3答案 A解析由题意，A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－3<x<2}，A∩B＝{x|－1<x<2}，则不等式x2＋ax ＋b <0的解集为{x |－1<x <2}．由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选 A.3若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32 答案 C解析 ∵x ∈(0,2]，∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12.故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32，故选C.4．不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[)1，＋∞D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)答案 A 解析不等式x －12x ＋1≤0⇔ ⎩⎨⎧x －12x ＋1≤0，2x ＋1≠0⇔－12<x ≤1， ∴不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故选A.5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 答案 A解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.6．若函数f (x )＝x 2＋ax －3a －9对任意x ∈R 恒有f (x )≥0，则f (1)等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析由题意可得，Δ＝a 2－4(－3a －9)≤0，即(a ＋6)2≤0，又(a ＋6)2≥0，∴a ＋6＝0， ∴a ＝－6，∴f (x )＝x 2－6x ＋9， ∴f (1)＝1－6＋9＝4.故选C. 7．不等式x －2x ＋1≤0的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(－1,2] B ．[－1,2] C ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D ．(－1,2] 答案 D 解析x －2x ＋1≤0⇔(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠－1，即x ∈(－1,2]，故选D. 8.已知f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x >0，则关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞) 答案 D解析画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x ，∴－3<x <1. ∴－3<x ≤－3；(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立；(3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1；(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3. 综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)．9若不等式x 2－(2＋m )x ＋m －1>0对任意m ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析把不等式化为(1－x )m ＋x 2－2x －1>0.设f (m )＝(1－x )m ＋x 2－2x －1，则问题转化为关于m 的一次函数．f (m )在区间[－1,1]上大于0恒成立，只需⎩⎨⎧ f －1>0，f 1>0即⎩⎨⎧ x 2－x －2>0，x 2－3x >0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >2，x <0或x >3，解得x <－1或x >3，故x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为________．答案 (－1,2)解析由题意可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1<x <2，故所求不等式的解集为(－1,2)．11．二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试解不等式f (x )>－1.解由于f (2)＝f (－1)＝－1，根据二次函数的对称性，则对称轴为x ＝2＋－12＝12，又知最大值为8.可设f (x )＝a (x －12)2＋8，将f (2)＝－1代入得，a ＝－4.∴f (x )＝－4(x －12)2＋8. 由f (x )>－1，－4x 2＋4x ＋7>－1，即x 2－x －2<0，∴解集为{x |－1<x <2}．12．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2. (2)原不等式化为：x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.①当c >2时，不等式的解集为{x |2<x <c }；②当c <2时，不等式的解集为{x |c <x <2}；③当c ＝2时，不等式的解集为∅.能力组13.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12答案 C解析根据题意有(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，∵不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，解得－12<a <32，故选C. 14．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－2或x >－12，则ax 2－bx ＋c >0的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 解析由题意知，－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －2b ＋c ＝0，14a －12b ＋c ＝0，解得a ＝c ，b ＝52c ，所以不等式ax 2－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，故解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12<x <2. 15．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元/件之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，则该厂日产量为________时，日获利不少于1300元．答案 20件至45件解析由题意，得(160－2x )x －(500＋30x )≥1300，化简得x 2－65x ＋900≤0，解之得20≤x ≤45.因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．故填20件至45件．16已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)．(1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值；(2)若不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k ，求k 的值； (3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围；(4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．解 (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25. (2)由不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ∈R ，x ≠1k 可知⎩⎨⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66. (3)依题意知⎩⎨⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66. (4)依题意知⎩⎨⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.。

不等式的解法举例教案

不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本性质，能够熟练地解一元一次不等式。

2. 培养学生运用不等式的解法解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力。

二、教学内容1. 不等式的基本性质2. 一元一次不等式的解法3. 不等式应用题的解答三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质，一元一次不等式的解法。

2. 教学难点：不等式应用题的解答。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解不等式的基本性质和一元一次不等式的解法。

2. 运用案例分析法讲解不等式应用题的解答。

3. 运用讨论法引导学生探讨不等式解法的规律。

五、教学过程1. 导入：通过复习相关知识点，引入不等式的概念和基本性质。

2. 讲解：讲解一元一次不等式的解法，并列举典型例题进行分析。

3. 练习：让学生独立解一些一元一次不等式，并及时给予指导和反馈。

4. 应用：运用不等式的解法解决实际问题，如分配问题、排序问题等。

5. 总结：总结不等式的解法步骤和注意事项，强调解题方法的重要性。

6. 作业布置：布置一些不等式的练习题，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，观察学生对不等式解法的掌握程度。

2. 作业批改：对学生的作业进行批改，了解学生对不等式解法的熟练程度。

3. 学生提问：鼓励学生提问，及时解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。

七、教学拓展1. 对比等式和解不等式的异同，让学生理解不等式的解法实质。

2. 引导学生探讨不等式的解法规律，提高学生的逻辑思维能力。

3. 引入更复杂的不等式类型，如绝对值不等式、分式不等式等，让学生尝试解决。

八、教学反思1. 反思教学过程，检查教学方法是否适合学生的学习需求。

2. 反思教学内容，确保教学内容完整、系统，便于学生掌握。

3. 反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，提高教学质量。

九、教学评价1. 学生自评：让学生对自己的学习情况进行评价，总结收获和不足。

有关不等式的解法教案设计

有关不等式的解法教案设计教案标题：不等式的解法教案设计教案目标：1. 学生能够理解不等式的概念和性质。

2. 学生能够运用不等式的解法方法解决实际问题。

3. 学生能够在解决不等式问题时运用适当的推理和推导方法。

教案步骤：引入（10分钟）：1. 引导学生回顾等式的概念和解法方法，并提问是否了解不等式的概念。

2. 通过举例让学生感知不等式的特点，例如：2 < 3，4 > 1。

3. 引导学生思考不等式与等式的区别，并总结不等式的定义。

讲解不等式的性质（15分钟）：1. 讲解不等式的基本性质，包括加减性、乘除性和倒置性。

2. 通过具体的例子让学生理解和运用不等式的性质，例如：若a > b，则a + c >b + c。

3. 引导学生思考不等式性质的运用条件和限制。

解决不等式的方法（20分钟）：1. 介绍常见的不等式解法方法，包括图像法、试值法和代数法。

2. 通过示例演示不同解法方法的应用，让学生理解各自的优缺点。

3. 引导学生思考何时选择何种解法方法，并培养灵活运用的能力。

练习与应用（25分钟）：1. 分发练习题，包括基础题和应用题，要求学生用不同的解法方法解答。

2. 引导学生在解答过程中思考解法的合理性和有效性。

3. 针对应用题，鼓励学生将数学概念与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。

总结与反思（10分钟）：1. 总结不等式的解法方法和性质，强调解题思路和策略的重要性。

2. 引导学生回顾本节课所学内容，思考不足之处并提出问题。

3. 鼓励学生积极参与讨论，互相学习和提供建议。

教学辅助工具：1. PowerPoint演示文稿。

2. 不等式练习题。

3. 黑板/白板和粉笔/马克笔。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和问题解决能力。

2. 教师收集学生的练习作业，评估他们对不等式解法的理解和应用能力。

3. 学生之间互相交流和讨论，提供反馈和建议。

备注：教案的具体内容和时间分配可以根据教学实际情况进行调整。

高中不等式的教案

高中不等式的教案高中不等式的教案（通用11篇）高中不等式的教案篇1教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重难点1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教学过程一、创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。

三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述：4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式?(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

高中不等式经典教案(含详解)

高中不等式经典教案第一教时一、不等式的一个等价关系（充要条件）1．从实数与数轴上的点一一对应谈起0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a2．应用：例一比较)5)(3(-+a a 与)4)(2(-+a a 的大小解：（取差）)5)(3(-+a a - )4)(2(-+a a07)82()152(22<-=-----=a a a a∴)5)(3(-+a a <)4)(2(-+a a例二已知x ≠0, 比较22)1(+x 与124++x x 的大小解：（取差）22)1(+x -)1(24++x x22424112x x x x x =---++=∵0≠x ∴02>x 从而22)1(+x >124++x x小结：步骤：作差—变形—判断—结论例三比较大小1．231-和10 解：∵23231+=- ∵02524562)10()23(22<-=-=-+ ∴231-<102．a b 和ma mb ++ ),,(+∈R m b a 解：（取差）a b -m a m b ++)()(m a a a b m +-= ∵),,(+∈R m b a ∴当a b >时a b >m a m b ++；当a b =时a b =m a m b ++；当a b <时a b <ma mb ++ 3．设0>a 且1≠a ，0>t 比较t a log 21与21log +t a 的大小解：02)1(212≥-=-+t t t ∴t t ≥+21 当1>a 时t a log 21≤21log +t a ；当10<<a 时t a log 21≥21log +t a 四、不等式的性质1．性质1：如果b a >，那么a b <；如果a b <，那么b a >（对称性）证：∵b a > ∴0>-b a 由正数的相反数是负数0)(<--b a 0<-a b a b <2．性质2：如果b a >，c b > 那么c a >（传递性）证：∵b a >，c b > ∴0>-b a ，0>-c b∵两个正数的和仍是正数 ∴+-)(b a 0)(>-c b0>-c a ∴c a >对称性、性质2可以表示为如果b c <且a b <那么a c <补充题：1．若142=+y x ，比较22y x +与201的大小解：241y x -= 22y x +-201=……=05)15(2≥-y ∴22y x +≥201 2．比较2sin θ与sin2θ的大小(0<θ<2π)略解：2sin θ-sin2θ=2sin θ(1-cos θ)当θ∈(0,π)时2sin θ(1-cos θ)≥0 2sin θ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sin θ(1-cos θ)<0 2sin θ<sin2θ3．设0>a 且1≠a 比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小解：)1()1()1(223-=+-+a a a a当10<<a 时1123+<+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a当1>a 时1123+>+a a ∴)1(log 3+a a >)1(log 2+a a∴总有)1(log 3+a a >)1(log 2+a a第二教时一、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法则：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ （相加法则）证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- （相减法则）证：∵d c < ∴d c ->- d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < （乘法单调性）证：c b a bc ac )(-=- ∵b a > ∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >（相除法则）证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a > )1(>∈n N n 且证：（反证法）假设n n b a ≤ 则：若ba b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 五、供选用的例题（或作业）1．已知0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．若R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++cb a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0 ∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++111 0<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小解：a 1-b 1aba b -= 当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1<b 1 当0,0<<b a 时∵||||b a >即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．若0,>b a 求证：a b a b >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-ab a a b ∴1>a b6．若0,0<<>>d c b a 求证：db c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<α π>1 ∴0log sin <πα又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴db c a -<-11 ∴原式成立第三教时一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+ 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

高二数学教案-不等式的解法举例.doc

高二数学教案:不等式的解法举例二、重点、难点分析本节的重点和一个难点是不等式的等价转化.解不等式与解方程有类似之处,但其二者的区别更要加以重视.解方程所产生的增根是可以通过检验加以排除的,由于不等式的解集一般都是无限集,如果产生了增根却是无法检验加以排除的,所以解不等式的过程一定要保证同解,所涉及的变换一定是等价变换.在学生学习过程中另一个难点是不等式的求解.这个不等式其实是一个不等式组的简化形式,当为一元一次式时,可直接解这个不等式组,但当为一元二次式时,就必须将其改写成两个一元二次不等式的形式,分别求解在求交集.三、教学建议(1)在学习新课之前一定要复习旧知识,包括一元二次不等式的解法,简单的绝对值不等式的解法,简单的分式不等式的解法,不等式的性质,实数运算的符号法则等.特别是对于基础比较差的学生,这一环节不可忽视.(2)在研究不等式的解法之前,应先复习解不等式组的基本思路以及不等式的解法,然后提出如何求不等式的解集,启发学生运用换元思想将替换成,从而转化一元二次不等式组的求解.(3)在教学中一定让学生充分讨论,明确不等式组“ ”中的两个不等式的解集间的交并关系，“ ” 两个不等式的解集间的交并关系.(4)建议表述解不等式的过程中运用符号“ ”.(5)建议在研究分式不等式的解法之前,先研究简单高次不等式(一端为0,另一端是若干个一次因式乘积形式的整式)的解法.可由学生讨论不同解法,师生共同比较诸法的优劣,最后落实到区间法.(6)分式不等式与高次不等式的等价原因, 可以认为是不等式两端同乘以正数,不等号不改变方向所得;也可以认为是与符号相同所得.(7)分式不等式求解时不能盲目地去分母，但当分母恒为正数(如分母是)时，应将其去掉，从而使不等式化简.(8)建议补充简单的无理不等式的解法,其中为一次式.教学中先由学生研究探索得到求解的基本思路及方法,再由教师概括总结,得出结论后一定要强调不等号的方向对的影响,即保证了,而却不能保证这一点,所以要分和两种情况进行讨论.(9)求解不等式不仅要重视思路的理解,更要重视表述的规范,作为教师应给学生做出示范,学生通过模仿掌握书写格式,这样才有可能保证运算的合理性与结果的准确性.教学设计示例分式不等式的解法教学目标1．掌握分式不等式向整式不等式的转化；2．进一步熟悉并掌握数轴标根法；3．掌握分式不等式基本解法.教学重点难点重点是分式不等式解法难点是分式不等式向整式不等式的转化教学方法启发式和引导式教具准备三角板、幻灯片教学过程1．复习回顾：前面，我们学习了含有绝对值的不等式的基本解法，还了解了数轴标根法的解题思路，本节课，我们将继续研究分式不等式的解法.2．讲授新课：例3 解不等式＜0.分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的二次三项式的商，根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集，此种解法从课本可以看到.另解：根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x2－3x ＋2）(x2－2x－3)＜0即（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＜0令（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)=0可得零点x=－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|－1＜x＜1或2＜x＜3}说明：（1）让学生注意数轴标根法适用条件；（2）让学生思考≤0的等价变形.例4 解不等式＞1分析：首先转化成右端为0的分式不等式，然后再等价变形为整式不等式求解.解：原不等式等价变形为：－1＞0通分整理得：＞0等价变形为：（x2－2x＋3）(x2－3x＋2)＞0即：（x＋1）(x－1)(x－2)(x－3)＞0由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x|x＜－1或1＜x＜2或x＞3}说明：此题要求学生掌握较为一般的分式不等式的转化与求解.3．课堂练习：课本P19练习1.补充：（1）≥0；（2）x(x－3)(x＋1)(x－2)≤0.课堂小结通过本节学习，要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解.课后作业习题6.4 3,4.板书设计●教学后记探究活动试一试用所学知识解下列不等式：（1）；（2）；（3）．答案：（1）原式观察这个不等式组，由于要求，同时要求，所以①式可以不解．∴原式如下图∴（2）分析当时，不等式两边平方，当时，在有意义的前提下恒成立．原式（Ⅰ）或（Ⅱ）由于同时满足（2）、（3）式，所以（1）式免解．∴（Ⅰ）式（Ⅱ）式．综合（Ⅰ）、（Ⅱ），得．（3）分析当时，不等式两边平方，当时，原式解集为．原式观察不等式组，设有可以免解的不等式．原式如下图∴。

高二数学 03不等式的解法举例、含有绝对值的不等式培优教案

不等式的解法举例、含有绝对值的不等式[本讲主要内容]1.在熟练掌握一元一次不等式(组).一元二次不等式的解法的基础上,初步掌握简单一元高次不等式、分式不等式、含绝对值不等式和根式不等式解法，熟练且准确地解答有关问题.2.理解绝对值不等式的含义,掌握绝对值不等式的定理和推论,会用绝对值不等式的定理和推论解决绝对值不等式的有关证明问题.[学习指导]1.知识结构2.不等式的解题思路.(1)简单一元高次不等式,分式不等式常用数轴标根法或转化为整式不等式组. (2)根式不等式可等价转化为有理不等式组,主要有以下几种形式.(ⅰ)⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥>⇒>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或(ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇒<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f(ⅲ)⎪⎩⎪⎨⎧>≥>⇒>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f(ⅳ)⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇒<)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f(3)含绝对值不等式常用分段讨论法、平方法和绝对值不等式的性质. 3.注意:0)()(0)()(≥⇒/≥x g x f x g x f .[例题精讲]例1:解不等式(1)0)5()2)(1)(3(2<--++x x x x (2)0)34)(86)(4(22<-+-+++x x x x x (3)0)232)(81(24>-+-x x x[分析与解答]:这3问都是一元高次不等式,但又各有各的特点.其中第(1)题中0)2(2≥-x ,故只需2≠x 即可,因此在标根时不应将2标在数轴上；第(2)题中其中有一个二次三项式,二项式系数为1-,在使用数轴标根法之前应先在不等式两边同乘以1-,使其二项式系数化为1.此外应将二次三项式分解因式,转化为第(1)题的形式,它同样会出现2)4(+x 这样一个因式,可采取和第(1)题一样的方法；第(3)题分解因式后将出现因式92+x ,是一个恒大于零的因式,可在不等式两边将此因式除掉.[解](1)用数轴标根法,将5,1,3--标在数轴上：如图不等式的解集为)5,2()2,1()3,(⋃-⋃--∞. (2)原不等式可变形为:0)1)(3)(2()4(0)34)(86)(4(222>--++>+-+++x x x x x x x x x 即.用数轴标根法,将2-,3,1标在数轴上:如图不等式的解集为),3()1,2(+∞+⋃+- (3)原不等式可变形为:0)12)(2)(9)(3)(3(2>-++-+x x x x x .用数轴标根法,将21,2,3,3--标在数轴上如图不等式的解集为),3()21,2()3,(+∞⋃-⋃--∞ 例2.解不等式(1)0872232≥-+-+xx x x x(2)11272>+-x x x[分析与解答]本例的2题都是解分式不等式,应注意它们的不同点.其中第(1)题仍可采用数轴标根法,主要注意分母不能为零；第(2)题不等式的右边为1,不能直接用数轴标根法,更不可去分母,应把1移到不等式左边,通分转化为第(1)题的形式再继续求解.[解](1)原不等式可转化为:0)1)(8()1)(2(≥-+-+x x x x x 利用数轴标根法,将0,8,2--标在数轴上.如图原不等式的解集为(]),1()1,0(2,8+∞⋃⋃--[注]变形后的不等式分子、分母中均有1-x 这个因式,千万不可在此约分,而应向高次不等式一样把它们看作2)1(-x 来处理.(2)原不等式变形为:011272>-+-x x x 即012712822<+-+-x x x x 等价变形为0)127)(128(22<+-+-x x x x 即0)4)(3)(2)(6(<----x x x x运用数轴标根法,将6,2,3,4,四个根标在数轴上.如图,原不等式解集为)6,4()3,2(⋃ 例3.解不等式 (1)122-<-x x (2)323122>+--x x[分析与解答]本例2道题均是解绝对值不等式,而且同有两个绝对值号,但通过仔细观察,我们所选取的方法应当是不同的,第(1)题可采用平方法,第(2)题应采用分段讨论法.[解](1)不等式两边平方得1444422+-<+-x x x x 即332>x ∴12>x∴原不等式的解集为{}11-<>x x x 或 (2)(ⅰ)当时)32,(--∞∈x原不等式为:3)23()12(2>++--x x解得:1<x .∴不等式的解集为)32,(--∞. (ⅱ)当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,32x 时, 原不等式为:73:3)23()12(2-<>+---x x x 解得∴不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡--73,32 (ⅲ)当⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,21x 时原不等式为:7:3)23()12(2>>+--x x x 解不等式得∴不等式的解集为),7(+∞综上所述,原不等式的解集为:),7()73,(+∞⋃--∞. 例4.解不等式:x x x -<--81032[分析与解答]本例是典型的无理不等式,即)()(x g x f <,应等价于⎪⎩⎪⎨⎧<>≥)()(0)(0)(2x g x f x g x f [解]原不等式等价于:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-->-≥--1374825)8(103080103222x x x x x x x x x x 或∴原不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃--∞1374,5)2,( 例5.解关于x 的不等式1)11(log >-xa[分析与解答]本例是简单的对数不等式.虽然教材中没有这样的例题,但解简单的对数、指数不等式是高考的要求,这类题目在高考中不止一次出现过.解这类题的简单思路是:把不等式两边化成同底后,由指数函数与对数函数的单调性,把它转化为普通代数不等式或不等式组来解,在确定单调性时必须对底进行讨论.[解]当1>a 时,原不等式等价于:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->-axx11011由此得x a 11>-01<-a ∴0<x ∴011<<-x a当10<<a 时,原不等式等价于:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-)2(11)1(011a xx由(1)得,01<>x x 或由(2)得,ax -<<110 ∴ax -<<111 综上,当1>a 时,不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-011x a x当10<<a 时,不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 111[基础性训练题]一.选择题1.下列各组不等式中同解的是( ) (A)22)5(6)5(6->->x x x x 与 (B)20)2(12≥≥-+x x x 与 (C)02332313322>+--->-++-x x x x x x x 与 (D)0230)1()1(322>+->+--x x x x x 与 2.满足不等式1011<-+x x 的最小整数x 等于( ) (A)5 (B)24 (C)25 (D)99 3.不等式132<--x 的解集是( )(A))16,5( (B)(6,18) (C)(7,20) (D)(8,22)4.函数)15lg(322---=x x x y 的定义域是( )(A)3>x (B)3≥x (C)5231≠≤≤-x x 且 (D)31≤≤-x 5.不等式042≥+-xx x 的解集是( )(A){}22≤≤-x x (B){}2003≤<<≤-x x x 或 (C){}20,02≤<<≤-x x x 或 (D){}3003≤<<≤-x x x 或6.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集是( )(A){}20<<x x (B){}5.20<<x x (C){}60<<x x (D){}30<<x x(97年高考试题)二.解答题7.解不等式0)352)(222)(1(223>-++-+x x x x x8.解不等式1231522>-+++xx x x 9.解不等式512≤++-x x 10.解不等式3232+--<+x x x[提高性训练题]一.填空题 1.不等式1≥-+ba b a 成立的充要条件是 .2.不等式11>+x x的解集为 ,11<+xx 的解集为 . 3.不等式13-<-x x 的解集为 . 4.不等式043)4(2≥---x x x 的解集为 .5.不等式1622<-+x x 的解集是 .(91年高考试题)6.不等式1)22lg(2<++x x 的解集是 .(91年高考试题)二.解答题7.已知ab c c a ab c c b a c b a -+<<--+>>>22:.2,0,0求证. 8.设1,0≠>a a ,解关于x 的不等式.5213222)1(-+++-<x x x x aa. 9.若不等式0120822<--+-mx mx x x 对一切x 恒成立,求实数m 的范围. 10.已知10≠>a a 且,解关于x 的不等式:)1(log )4(log 12141-≤-+xx a a[研究探讨题]设函数,0,1)(2>-+=a ax x x f 其中(1) 解不等式1)(≤x f(2) 求a 的取值范围,使函数)(x f 在区间[)+∞,0上是单调函数.(2000年高考试题)[基础性训练题点拨与解答]一．选择题 1.答案: (A )[解]用排除法当0)2(12,21≥-+-=x x x 时成立,故(B)不正确. 另02332>+-=x x x 时成立,故(C)不正确.当02312>+--=x x x 时成立,故(D)不正确. 综上所述选(A)2.答案: (C ) [解]原不等式化为10111<++xx 即101>++x x ,故选(C) 3.答案: (B )[解]原不等式化为1321<--<-x 即422<-<x两边平方得1624<-<x .即.186<<x 故选(B).4.答案: (B )[解]由题意⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥--0150)15lg(0322x x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≠≥-≤515231x x x x 或∴3≥x .故选(B)5.答案: (B )[解]由04422≥--x x 知 ∴22≤≤-x 又0≠x∴当02<≤-x 时,原不等式化为:03.0142<≤-≥--x x 解得当20≤<x 时,原不等式化为:0142≥+-x .此不等式显然成立. ∴x <0≤2综上可知:原不等式解集为{}20,03≤<<≤-x x x 或,故选(B). 6.答案: (C ) [解]022≥+-xx∴033>+-x x 将xxx x +->+-2233两边平方,原不等式组等价于 22)22()33(xx x x +->+- ①3<>x x 由①得0)6()]3)(2[()]2)(3[(222<-+->+-x x x x x x 即 ②0>x∴②的解为60<<x .故选(C) 二.解答题7.[解]原不等式变形为0)12)(3()2)(1)(1(22>-+-+-+x x x x x x 012>+-x x∴原不等式转化为0)12)(3()2)(1(2>-+-+x x x x利用数轴标根法∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠>-<<-22113x x x x 且或8.[解]原不等式可化为0)1)(3()12)(2(02323222<+--+>-+-+x x x x x x x x 即等价于0)1)(3)(12)(2(<+--+x x x x 用数轴标根法∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<<-32112x x x 或 9.[解]应分三种情况讨论.即⎩⎨⎧≤++-≥⎩⎨⎧≤++--<≤-⎩⎨⎧≤+----<5)1()2(25)1()2(215)1()2(1x x x x x x x x x 或或解得322112≤≤<≤--<≤-x x x 或或 ∴原不等式的解集为]3,2[-.10.[解]原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧+--<+>+--≥+)32()3(03203222x x x x x x (Ⅰ)或⎩⎨⎧≥+--<+032032x x x (Ⅱ)解(Ⅰ)得⎪⎩⎪⎨⎧-<<-<<--≥13133x x x∴{}13-<<-x x解(Ⅱ)得⎩⎨⎧≤≤--<133x x∴解集为φ∴原不等式的解集为{}13-<<-x x[提高性训练题的点拨和解答]一.填空题 1.答案:b a >. [解]充分性0>-∴>b a b a又b a b a -≥+∴1≥-+ba b a 必要性:1≥-+ba b a∴|a +b |>0 ∴b a b a >>-即02.答案:{}0;2111≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<--<x x x x x 或[解]11>+xx两边平方得 12122>++xx x 即021212>++--x x x ∴012122<+++x x x解得⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠-<121x x x 且∴不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<--<2111x x x 或11<+xx两边平方得 01221121222<++--∴<++x x xxx x 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧->>+++21012212x x x x x解得又{}1001-<≥≥+x x x x x 或解得综上所述{}0≥x x3.答案:{}2>x x [解]原不等式等价于⎩⎨⎧-<->-22)1()3(01x x x 解得2>x4.答案:{}14-=≥x x x 或[解]由0432≥--x x解得14-≤≥x x 或当时或14-=≥x x 不等式成立. 而当1-<x 时原不等式0< ∴原不等式的解集为{}14|-=≥x x x 或5.答案:{}12<<-x x[解]原不等式可化为︒<-+6622x x∵以6为底的指数函数是增函数.∴022<-+x x ∴原不等式的解集为{}12<<-x x6.答案:{}24<<-x x[解]原不等式等价于 10222<++x x ①0222>++x x ② ⎩⎨⎧∈<<-⇒Rx x 24 ∴原不等式的解集为{}24<<-x x二.解答题7.[证]要证ab c c a ab c c -+<<--22成立只需证:ab c c a ab c -<-<--22即证:ab c c a -<-2成立. 由,0≥-c a所以只需证222)(ab c ca -<- 即abc c ac a -<+-2222成立即证明ac b a a 2)(<+成立c b a a 2,0<+>∴ac b a a 2)2(<+成立∴命题得证8.[解]原不等式转化为5213222+--+-<x x x x a a ,当10<<a 时,指数函数是减函数.∴5213222+-->+-x x x x即0432>--x x解得341>-<x x 或当1>a 时,指数函数是增函数. ∴5213222+--<+-x x x x即0432<--x x解得341<<-x . ∴综上所述,当10<<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<341x x x 或,当1>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-341x x 9.[解]:04)4(20822>+-=+-x x x∴只须012<--mx mx 恒成立即可.①当0=m 时,012<--mx mx 恒成立.②当0≠m 时,则必须040402<<-⇒⎩⎨⎧<+=∆<m m m m由①②可知04≤<-m .10.[解]原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧≤-><⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤->->-07)(414)1(log )]4(41[log 010*******x x x x x x x x a a a a a a a a ∴471≤<x a ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<>47log 01a x x a 时 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤<<047log 10x x a a 时[研究探讨题点拨与解答]本题是2000年高考试题,主要考查不等式的解法,函数的单调性等基础知识,其中不等式是一个含参数的不等式,自然增加了解题的难点,像此例这样的综合性题目是近年来高考的一个热点.例(1)不等式1)(≤x f 即ax x +≤+112由此得ax +≤11即0,0>≥a ax 其中∴原不等式等价于⎩⎨⎧≥+-≥⎩⎨⎧≥+≤+02)1(00)1(1222a x a x x ax x 即 ∴当10<<a 时,不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120a a x x 当1≥a 时,不等式的解集为{}0≥x x(2)在区间[)+∞,0上任取2121,,x x x x <使 )(11)()(21222121x x a x x x f x f --+-+=- )(112122212221x x a x x x x --+++-=)11)((22212121a x x x x x x -+++-=(ⅰ)当1≥a 时, 011222121<-++++a x x x x又021<-x x∴)()(0)()(2121x f x f x f x f >>-即∴当[)+∞≥,0)(,1在区间函数时x f a 上是单调减函数. (ⅱ)当10<<a 时,在区间[)+∞,0上存在两点22112,0a a x x -==;满足)()(,1)(,1)(2121x f x f x f x f ===即.∴函数[)∞+0)(在区间x f 上不是单调函数.综上,当且仅当[)+∞≥,0)(,1为区间函数时x f a 上的单调函数.。

不等式的解集教案

不等式的解集教案一、教学目标1.了解不等式的基本概念。

2.学会解一元一次不等式。

3.掌握解不等式的方法。

二、教学重点1.不等式的基本概念。

2.解一元一次不等式。

三、教学难点1.解不等式的方法。

四、教学方法1.教师讲解法。

2.示例分析法。

五、教学过程Step1：导入新课教师通过提问“什么是不等式？”引出本节课的主题，并激发学生的学习兴趣。

Step2：概念讲解1.教师讲解不等式的定义：“不等式是表示两个数大小关系的符号表达式，它以使不等式成立的所有实数作为解。

”2.教师解释不等式的符号表示：“不等于”用“≠”表示；“小于”用“<”表示；“大于”用“>”表示；“小于等于”用“≤”表示；“大于等于”用“≥”表示。

Step3：解一元一次不等式1.教师通过示例分析法，解释如何解一元一次不等式。

2.教师讲解解一元一次不等式的方法：- 消去分数、化简不等式；- 保持不等式不变，对不等式两边同时加或减一个相同的数；- 保持不等式不变，对不等式两边同时乘或除一个相同的正数；- 对不等式两边同时乘或除一个相同的负数，需改变不等号方向。

3.教师通过示例演算法，详细讲解如何解一元一次不等式。

Step4：课堂练习1.教师布置不等式的解集练习题，要求学生用解不等式的方法解题。

2.学生独立完成课堂练习。

3.教师巡视并指导学生完成题目。

Step5：总结归纳教师与学生一起总结不等式的解集方法，并对方法进行复习。

六、教学总结通过本节课的学习，学生掌握了不等式的基本概念和解不等式的方法，提高了解决实际问题的能力。

在下节课中，将进一步深入学习不等式的性质和解法。

高中数学《等式与不等式》教案

高中数学《等式与不等式》教案一、教学目标1. 理解等式和不等式的概念及其特点；2. 掌握解一元一次方程和一元一次不等式的基本方法；3. 能应用所学知识解决实际问题。

二、教学内容1. 等式的概念和性质；2. 解一元一次方程的基本方法；3. 不等式的概念和性质；4. 解一元一次不等式的基本方法。

三、教学重点1. 掌握解一元一次方程的基本方法；2. 掌握解一元一次不等式的基本方法。

四、教学方法1. 讲授法：通过讲解等式和不等式的概念、性质以及解法，帮助学生理解和掌握知识；2. 案例分析法：通过实际问题的分析和解决，培养学生应用知识解决问题的能力；3. 练与讨论：通过课堂练和小组讨论，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

五、教学步骤1. 引入：- 通过一个生活实例引出等式和不等式的概念，并让学生思考其特点。

- 提出解决问题的需求，引发学生的研究兴趣。

2. 讲解：- 介绍等式的定义和性质，重点解释解方程的基本方法。

- 介绍不等式的定义和性质，重点解释解不等式的基本方法。

3. 实例分析：- 提供一些简单的方程和不等式实例，引导学生运用所学解法解决问题。

4. 练与讨论：- 布置一些练题，让学生独立完成并相互交流讨论。

- 对学生的答题情况进行点评和指导。

5. 总结：- 总结本节课的重点和要点，强调解方程和解不等式的基本方法。

- 鼓励学生对所学知识进行总结和归纳。

六、教学评价1. 观察学生在课堂上的参与情况和表现，包括回答问题的准确性和积极性。

2. 批改学生的课堂练和作业，评价他们对所学知识的掌握程度。

3. 针对学生的表现给予及时的反馈和指导，以促进他们的研究进步。

七、教学资源1. 教材：高中数学教材，包含《等式与不等式》单元。

2. 展示工具：黑板、白板、投影仪等。

3. 辅助资料：练册、教学PPT等。

八、教学延伸1. 鼓励学生通过做更多的练题来巩固所学知识。

2. 引导学生探索更复杂的方程和不等式的解法，培养他们的问题解决能力。

不等式的解法教学案

不等式的解法教学案在数学中，不等式是表示不同数值关系的一种数学表达式。

解不等式就是要找出使不等式成立的数值范围。

在解不等式的过程中，我们可以使用一些方法和规则来寻找满足条件的解。

本文将介绍几种常见的不等式解法，并以教学案的形式展示给读者。

教学案：不等式的解法目标：通过学习不等式的解法，能够准确找出使不等式成立的数值范围。

1. 引导学生思考：- 什么是不等式？不等式有哪些常见的符号？- 如何判断不等式的解集？2. 理论学习：- 不等式的基本性质：当等号两边同时加（或减）一个相同的数时，不等号的方向不变。

- 不等式的乘除法：当不等号两边乘（或除）以一个正数时，不等号的方向不变；当不等号两边乘（或除）以一个负数时，不等号的方向改变。

3. 解法示例一：一元一次不等式给定不等式：2x + 5 < 10解题过程：- 将不等式转化为等价形式：2x < 10 -5- 化简得到：2x < 5- 除以正数2得到：x < 5/2- 因此，不等式的解集为：x ∈ (-∞, 5/2)4. 解法示例二：一元二次不等式给定不等式：x^2 - 4x > 3解题过程：- 将不等式转化为等价形式：x^2 - 4x - 3 > 0- 化简得到：(x - 3)(x + 1) > 0- 根据乘法零性质，得到两个因式有相同的符号。

- 如果 (x - 3) > 0 且 (x + 1) > 0，即 x > 3 且 x > -1，但由于取两个条件的交集，因此只需考虑 x > 3。

- 因此，不等式的解集为：x ∈ (3, +∞)5. 解法示例三：绝对值不等式给定不等式：|x - 2| < 3解题过程：- 将不等式分成两个部分：x - 2 < 3 和 x - 2 > -3- 解第一个部分得到 x < 5，解第二个部分得到 x > -1- 综合两个部分的解集，得到不等式的解集为：x ∈ (-1, 5) 6. 解法示例四：两个不等式的复合给定不等式组：x - 3 > 0 且 2x + 1 < 5解题过程：- 解第一个不等式得到 x > 3- 解第二个不等式得到 2x < 4，然后除以正数2得到 x < 2- 综合两个不等式的解集，得到不等式组的解集为：x ∈ (3, 2) 7. 解法示例五：综合练习给定不等式：(x + 4)/2 - 1 > 5/2解题过程：- 将不等式转化为等价形式：(x + 4)/2 > 5/2 + 1- 化简得到：(x + 4)/2 > 7/2- 乘以正数2得到：x + 4 > 7- 化简得到：x > 3- 因此，不等式的解集为：x ∈ (3, +∞)8. 总结与归纳：- 不等式的解法需要根据不同的题目进行灵活运用。

必修五高中数学不等式教案

必修五高中数学不等式教案
主题：不等式
教学目标：
1. 了解不等式的基本概念和符号表示。

2. 能够解决简单的一元一次不等式。

3. 能够运用不等式解决实际问题。

教学重点：
1. 不等式的基本概念和符号表示。

2. 一元一次不等式的解法。

教学难点：
1. 解决复杂一元一次不等式。

2. 运用不等式解决实际问题。

教学准备：
1. 教师准备不等式相关的教学资料。

2. 学生准备笔记本和文具。

教学过程：
一、引入
教师通过提出一个问题引入不等式的概念，如：假设今天外面的温度高于25摄氏度，用一个不等式表示这个条件。

二、概念解释
1. 讲解不等式的基本概念和符号表示。

2. 介绍一元一次不等式的解法。

3. 展示解决不等式的步骤和技巧。

三、练习
1. 让学生做简单的一元一次不等式的练习。

2. 带领学生一起解决一些稍复杂的一元一次不等式。

四、实践
1. 提供一些实际问题，让学生利用不等式解决。

2. 学生可以自行制定一些实际问题，并用不等式来解决。

五、总结
教师带领学生总结本节课学过的知识点，并强调运用不等式解决问题的重要性。

六、作业
布置相应的作业，让学生复习不等式相关知识。

教学评价：
1. 学生是否能够理解不等式的基本概念。

2. 学生是否能够熟练解决一元一次不等式。

3. 学生是否能够应用不等式解决实际问题。

教学反思：
根据学生的反馈和表现，及时调整教学内容和方法，以提高教学效果。

不等式的解法举例教案

不等式的解法举例教案一、教学目标1. 让学生掌握不等式的基本性质和概念。

2. 培养学生运用不等式的解法解决实际问题的能力。

3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容1. 不等式的概念与基本性质2. 不等式的解法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到3. 实际问题举例：不等式在生活中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的解法及实际应用2. 教学难点：不等式解法的灵活运用四、教学方法1. 采用案例教学法，以实际问题为例，引导学生理解和掌握不等式的解法。

2. 运用讨论法，让学生在课堂上互相交流、探讨，提高分析问题和解决问题的能力。

3. 利用多媒体辅助教学，生动展示不等式的解法过程。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入不等式的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解不等式的基本性质和概念，让学生掌握不等式的基本知识。

3. 讲解不等式的解法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，并通过例题进行演示。

4. 学生练习：让学生独立解决一些不等式问题，巩固所学解法。

5. 实际问题举例：不等式在生活中的应用，引导学生将所学知识运用到实际生活中。

7. 布置作业：布置一些有关不等式解法的练习题，巩固所学知识。

六、教学评价1. 评价方式：采用课堂练习、课后作业和实践应用相结合的方式进行评价。

2. 评价内容：（1）不等式的基本性质和概念掌握情况；（2）不等式解法的运用能力；（3）实际问题解决能力。

3. 评价标准：（1）课堂练习和课后作业：正确解答题目，得分；（2）实践应用：能够灵活运用不等式解法解决实际问题，得分。

七、教学反思2. 根据学生的学习情况，调整教学策略，提高教学效果。

八、教学拓展1. 引导学生探索不等式与其他数学知识之间的联系，如代数、几何等。

2. 介绍不等式在实际应用中的广泛性，如科学、工程、经济等领域。

3. 引导学生关注不等式在生活中的重要作用，提高学生的数学素养。

不等式高中数学教案

不等式高中数学教案教学目标：1. 能够理解不等式的概念和性质。

2. 能够解决简单的一元不等式。

3. 能够应用不等式解决实际问题。

教学重点和难点：重点：不等式的概念和性质，一元不等式的解法。

难点：应用不等式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备PPT课件，包括不等式的定义、性质和解法。

2. 打印不等式练习题目，用于课堂练习。

教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾线性方程的解法，了解不等式的概念。

2. 提出一个简单的不等式问题，让学生思考如何解决。

二、讲解不等式的定义和性质（15分钟）1. 介绍不等式的定义，即含有不等号的等式。

2. 讲解不等式的性质，包括可加性、可乘性和转化性等。

三、解决一元不等式（20分钟）1. 讲解一元不等式的解法，包括加减法解法、乘除法解法和开平方解法。

2. 给学生提供几个简单的一元不等式练习题目，让他们尝试解答。

四、应用不等式解决实际问题（15分钟）1. 引导学生思考如何应用不等式解决实际问题，例如长度、面积和体积等问题。

2. 给学生一个实际问题案例，让他们运用所学知识进行解答。

五、总结复习（5分钟）1. 通过回顾本节课的内容，强化学生对不等式的理解和运用能力。

2. 鼓励学生积极思考和练习不等式相关的题目，提高解决问题的能力。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的概念和性质，能够解决简单的一元不等式，并能够应用不等式解决实际问题。

在接下来的教学中，需要继续强化学生对不等式知识的理解和应用能力，提高他们的数学思维和解决问题的能力。

高三数学教案：不等式的解法

高三数学教案：不等式的解法鉴于大家对十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文高三数学教案：不等式的解法，供大家参考!本文题目：高三数学教案：不等式的解法6.5 不等式的解法(二)●知识梳理1.|x|a或x0);|x|0).0)中的a0改为aR还成立吗?更多频道：高中频道高中英语学习2.形如|x-a|+|x-b|c的不等式的求解通常采用零点分段讨论法.3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4.绝对值不等式的性质：||a|-|b|||ab||a|+|b|.思考讨论1.在|x|a或x0)、|x|2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?●点击双基1.设a、b是满足ab0的实数，那么A.|a+b||a-b|B.|a+b||a-b|C.|a-b|||a|-|b||D.|a-b||a|+|b|解析：用赋值法.令a=1，b=-1，代入检验.答案：B2.不等式|2x2-1|1的解集为A.{x|-11}B.{x|-22}C.{x|02}D.{x|-20}解析：由|2x2-1|1得-12x2-11.01，即-11.答案：A3.不等式|x+log3x||x|+|log3x|的解集为A.(0，1)B.(1，+)C.(0，+)D.(-，+)解析：∵x0，x与log3x异号，log3x0.0答案：A4.已知不等式a 对x取一切负数恒成立，则a的取值范围是____________.解析：要使a 对x取一切负数恒成立，令t=|x|0，则a .而 =2 ，a2 .答案：a25.已知不等式|2x-t|+t-10的解集为(- ， )，则t=____________.解析：|2x-t|1-t，t-11-t，2t-11，t-t=0.答案：0●典例剖析【例1】解不等式|2x+1|+|x-2|4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x+1=0，x-2=0，得两个零点x1=- ，x2=2.解：当x- 时，原不等式可化为-2x-1+2-x4，x-1.当-2x+1+2-x4，x1.又-1当x2时，原不等式可化为2x+1+x-24，x .又x2，x2.综上，得原不等式的解集为{x|x-1或1深化拓展若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x+1|+|x-2|+|x-1|4，你又如何去解?分析：令2x+1=0，x-2=0，x-1=0，得x1=- ，x2=1，x3=2.解：当x- 时，原不等式化为-2x-1+2-x+1-x4，x- .当-2x+1+2-x+1-x4，44(矛盾).当12x+1+2-x+x-14，x1.又11当x2时，原不等式可化为2x+1+x-2+x-14，x .又x2，x2.综上所述，原不等式的解集为{x|x- 或x1}.【例2】解不等式|x2-9|x+3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x|xa 去绝对值.解法一：原不等式 (1) 或(2)不等式(1) x=-3或3不等式(2) 23.原不等式的解集是{x|24或x=-3｝.解法二：原不等式等价于或x2 x=-3或24.原不等式的解集是{x|24或x=-3｝.【例3】 (理)已知函数f(x)=x|x-a|(aR).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)解关于x的不等式：f(x)2a2.解：(1)当a=0时，f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，f(x)是奇函数.当a0时，f(a)=0且f(-a)=-2a|a|.故f(-a)f(a)且f(-a)-f(a).f(x)是非奇非偶函数.(2)由题设知x|x-a|2a2，原不等式等价于①或②由①得 x .由②得当a=0时，x0.当a0时，x2a.当a0时，即x-a.综上a0时，f(x)2a2的解集为{x|xa0时，f(x)2a2的解集为{x|x-a}.(文)设函数f(x)=ax+2，不等式| f(x)|6的解集为(-1，2)，试求不等式 1的解集.解：|ax+2|6，(ax+2)236，即a2x2+4ax-320.由题设可得解得a=-4.f(x)=-4x+2.由 1，即 1可得 0.解得x 或x .原不等式的解集为{x|x 或x }.●闯关训练夯实基础1.已知集合A={x|a-1a+2}，B={x|3A.{a|3C.{a|3解析：由题意知得34.答案：B2.不等式|x2+2x|3的解集为____________.解析：-3-3答案：-33.不等式|x+2||x|的解集是____________.解法一：|x+2||x| (x+2)2x2 4x+4-1.解法二：在同一直角坐标系下作出f(x)=|x+2|与g(x)=|x|的图象，根据图象可得x-1.解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x+2||x|表示数轴上x到-2的距离不小于到0的距离，x-1.答案：{x|x-1}评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.4.当0解：由0x-2.这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集. ①或②解不等式组①得解集为{x| 2}，解不等式组②得解集为{x|25}，所以原不等式的解集为{x| 5}.5.关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两实根为x1、x2，若|x1|+|x2|=2，求m的值.解：x1、x2为方程两实根，=36(m-1)2-12(m2+1)0.m 或m .又∵x1x2= 0，x1、x2同号.|x1|+|x2|=|x1+x2|=2|m-1|.于是有2|m-1|=2，m=0或2.m=0.培养能力6.解不等式 .解：(1)当x2-20且x0，即当-(2)当x2-20时，原不等式与不等式组等价.x2-2|x|，即|x|2-|x|-20.|x|2.不等式组的解为|x|2，即x-2或x2.原不等式的解集为(-，-2](- ，0)(0， )[2，+).7.已知函数f(x)= 的定义域恰为不等式log2(x+3)+log x3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围. 解：由log2(x+3)+log x3得x ，即f(x)的定义域为[ ，+).∵f(x)在定义域[ ，+)内单调递减，当x2 时，f(x1)-f(x2)0恒成立，即有(ax1- +2)-(ax2- +2)0 a(x1-x2)-( - )0(x1-x2)(a+ )0恒成立.∵x10a+ 0.∵x1x2- ，要使a- 恒成立，则a的取值范围是a- .8.有点难度哟!已知f(x)=x2-x+c定义在区间[0，1]上，x1、x2[0，1]，且x1x2，求证：(1)f(0)=f(1);(2)| f(x2)-f(x1)|(3)| f(x1)-f(x2)|(4)| f(x1)-f(x2)| .证明：(1)f(0)=c，f(1)=c，f(0)=f(1).(2)| f(x2)-f(x1)|=|x2-x1||x2+x1-1|.∵01，01，0-1| f(x2)-f(x1)||x2-x1|.(3)不妨设x2x1，由(2)知| f(x2)-f(x1)|而由f(0)=f(1)，从而| f(x2)-f(x1)|=| f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)||f(x2)-f(1)|+| f(0)-f(x1)||1-x2|+|x1|1-x2+x1. ②①+②得2| f(x2)-f(x1)|1，即| f(x2)-f(x1)| .(4)|f(x2)-f(x1)|fmax-fmin=f(0)-f( )= .探究创新9.(1)已知|a|1，|b|1，求证：| |(2)求实数的取值范围，使不等式| |1对满足|a|1，|b|1的一切实数a、b恒成立;(3)已知|a|1，若| |1，求b的取值范围.(1)证明：|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=(a2-1)(b2-1). ∵|a|1，|b|1，a2-10，b2-10.|1-ab|2-|a-b|20.|1-ab||a-b|，= 1.(2)解：∵| |1 |1-ab|2-|a-b|2=(a22-1)(b2-1)0.∵b21，a22-10对于任意满足|a|1的a恒成立.当a=0时，a22-1当a0时，要使2 对于任意满足|a|1的a恒成立，而 1，||1.故-11.(3)| |1 ( )21 (a+b)2(1+ab)2 a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0.∵|a|1，a21.1-b20，即-1●思悟小结1.解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值.常用的方法是：(1)由定义分段讨论;(2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方.2.解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论.注意：(1)要考虑参数的总取值范围.(2)用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏.●教师下载中心教学点睛1.绝对值是历年高考的重点，而绝对值不等式更是常考常新.在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.2.无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式.3.指数、对数不等式能利用单调性求解.拓展题例【例1】设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x221，证明不等式(x1y1+x2y2-1)2(x12+x22-1)(y12+y22-1).分析：要证原不等式成立，也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)0.证明：(1)当x12+x22=1时，原不等式成立.(2)当x12+x221时，联想根的判别式，可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)，其根的判别式=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1). 由题意x12+x221，函数f(x)的图象开口向下.又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2) 20，因此抛物线与x轴必有公共点.0.4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)0，即(x1y1+x2y2-1)2(x12+x22-1)(y12+y22-1).。

不等式的解法精讲

不等式（一）不等式1. 不等式的概念用不等号（“＜”、“＞”、“≠”＝表示不等关系的式子，叫做不等式。

常见的不等号有“＜”、“＞”、“≠”、“≤”、“≥”。

2. 不等式的基本性质①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

即若a b >，则,a c b c a c b c +>+->-。

②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

即若,0a b c >>，则,a b ac bc c c>>。

③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0a b c ><，则,a b ac bc c c <<。

注意：不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据，性质1、2类似等式性质，不等号的方向不改变，性质3不等号的方向改变，这是不等式独有的性质，也是初学者易错的地方，因此要特别注意。

3. 不等式的解集一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

注意：不等式的解与解集的区别和联系不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集，是指满足这个不等式的未知数的所有的值，不等式的所有解组成了解集，解集中包括了每一个解。

不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。

例如不等式12x -<的解集是3x <，可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括3这一点。

如图1所示。

3210-1-2-3图1不等式12x +≥-的解集是3x ≥-，可以用数轴上表示3-的点和它右边的部分来表示，在数轴上表示3-的点的位置上画实心圆点，表示包括3-这一点。

如图2所示。

图24. 解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。

（二）一元一次不等式5. 一元一次不等式：只含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式，如“ax b >或ax b <”，其中x 是未知数，,a b 是已知数，并且0a ≠。