定积分的基本概念

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定积分概念、性质

定积分的概念微积分基本公式
17世纪，从实际需要中人们提出许多问题，归结起来有两类：速度问题、切线问题。导数研究了事物变化的速度，定积分则研究相反的问题：事物变化的累积和。如面积、路程、电量多少、变量作功等等。本章将重点学习定积分的概念、几何意义及微积分基本定理。
前言
引例2——变速直线运动的路程
分割区间
取近似值
作和
取极限
（1）细分区间
ti-1
ti
(2) 取近似值
（3）作和
（4）取极限
T1
T2
v
t
曲边梯形面积A：
变速运动的路程 S：
记为
记为
二、定积分的概念（演示）
定积分定义
如果当最大的子区间的长度时，此和式有极限，则此极限叫作f(x)在 [a，b]上的定积分，
几何意义也很明显
再根据闭区间上的联系函数的介值定理可得
如果变速直线运动物体的运动方程是 S=S(t)，则在时间段[T1,T2]内所发生的位移变化为S(T2)-S(T1)
如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知
连续函数在区间上的定积分等于它的一个
则有
微积分基本公式（二）——牛顿—莱布尼兹公式
证明思路
记作
例2 求下列定积分
解因为在上连续，是它的一个原函数
所以
或
解原式
几何意义
解原式
几何意义
解原式
解原式
x
y
y=x2
1
A
0
如果右边的和式有极限（n→∞），则极限值即为整个曲边梯形的面积，即：
如图所示： 1）将区间[0,1]n等分。

定积分不定积分

定积分不定积分
定积分与不定积分是数学中的重要概念，它们的基本概念是定积分与不定积分的对比。

1、定积分：它是指对某区间上一个复合函数在其上求和的操作，它可以完成求定积分，这是一个求极限的过程，当把某个函数积分的过程越来越好的时候，可以使函数的值接近某个极限，从而得到定积分的结果。

2、不定积分：它是指对某区间上某函数不断增加或减少的积分过程，它可以完成求不定积分，这是一个寻找极值的过程，当函数一次性地积分，那么就会得到函数在某个区间上的最大值或最小值，从而得到不定积分的结果。

总之，定积分与不定积分是互为对立的概念，其针对的是相同的函数，但是它们分别根据对该函数的求积分过程，来进行极限求解或极值求解，从而得出不同的结果。

- 1 -。

掌握定积分概念及基本性质

供需关系研究
通过定积分，可以研究市场供需关系的变化。
投资回报分析
在金融领域，定积分可以用来分析投资回报率的变化。
05
掌握定积分的重要性
在数学中的地位
连接微积分两大核心概念
定积分与微积分息息相关，是微积分理论体系的重要组成部分，掌握了定积分，就等于掌握了微积分的一半。
深化对极限概念的理解
定积分与极限概念紧密相连，掌握定积分有助于更深入地理解极限的内涵和应用。
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的核心公式，它表示为∫baf(t)dt=F(b)-F(a)，其中∫baf(t)dt表示函数f(t) 在区间[a, b]上的定积分，F(x)表示f(t)的原函数，即满足F'(x)=f(x)的函数。该公式通过选取合适的分割和近似方式，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，最后求和得到定积分的值。
为后续课程奠定基础
定积分是学习复变函数、实变函数等后续课程的基础，对于数学专业的学生来说至关重要。
在其他学科中的应用价值
物理学中的应用
在物理学中，定积分常用于计算面积分，例如在计算电磁场、引
力场等物理量的分布时。
工程学科中的应用
在工程学科中，定积分常用于解决与几何形状、物理量分布等有关的实际问题，如机械工程、土
定积分的几何意义
定积分的几何意义是函数图像与x轴所夹的面积。具体来说，将定积分表示的函数图像与x轴围成的面积，即为定积分的值。
定积分的几何意义还可以理解为曲线与x轴所夹的“曲边梯形”的面积。这个曲边梯形的高就是函数值，底就是x轴上的区间。
定积分的物理意义
定积分的物理意义是表示某个物理量在某个时间段或某个区间内的累积效应。例如，物体的质量分布不均匀，其质心位置可以通过对质量分布函数进行定积分来求解。

定积分的知识点总结

定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。

定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。

定积分的符号表示为∫。

对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。

定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。

二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。

这就是定积分的计算方法。

在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。

这就是黎曼和的基本思想。

2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。

对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。

这个面积就是曲线下的面积。

如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。

3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。

在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。

对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。

其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。

定积分的概念和基本思想

定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。

(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。

2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。

定积分的基本概念

方法与手段导入幻灯幻灯幻灯幻灯详讲详讲详讲幻灯下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。

事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。

好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。

解决步骤：大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n−1=b ，用直线x =x i 将一个曲边梯形分成n 个小的曲边梯形；常带变：在第k 个窄边梯形上任取ξk ∈[x k−1,x k ]作以[x k−1,x k ]为底，f(ξk )为高的小矩形，并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积∆S k ，得∆S k ≈f (ξk )∆x k (∆x k =x k −x k−1,k =1,2,⋯n) 近似和：S =∑∆S k n k=1≈∑f(ξk )∆x k n k=1取极限：令λ=max {∆x 1,∆x 2⋯,∆x n } S =lim λ→0∑∆S k n k=1=lim λ→0∑f(ξk )∆x k n k=1这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个定积分问题例子。

（2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动，已知()v v t =在区间[1T ,2T ]上t 的连续函数，且()0v t ≥，求在这段时间内物体所经过的路程s 。

考虑：当()0y f x C ==≥，()0v v t C ==≥时（其中C 为常数），上面问题的求解。

在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个变量替换就可以了，具体的解决步骤是。

解决步骤：详讲总结λ→0是个障碍，我们能不能把λ→0替换掉？其实把[0,1]区间n 等分，λ=1n →0，其实就是n →+∞，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1，要求这个极限我需要先求∑(k n )21n n k=1，化简一下可以得到1n 3∑k 2n k=1，∑k 2n k=1=？，∑k 2n k=1=16n(n +1)(2n +1)，lim n→+∞∑(k n )21n n k=1=lim n→+∞n(n+1)(2n+1)6n 3=13。

定积分知识点总结

北京航空航天大学李权州一、定积分定义与基本性质1.定积分定义设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数)1,...,1,0(1-=-=∆+n i x x x i i i 中最大者.在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=.)1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ而做成总和∑-=∆=10)(n i i i x f ξσ然后建立这个总和的极限概念：σπ0||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义：0>∀ε，0>∃δ，在||||πδ<时，恒有εσ<-||I则称该总和σ在0→λ时有极限I .总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为⎰=badx x f I )(2.性质设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则⎰⎰≥babadx x g dx x f ,)()(特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则⎰≥badx x f 0)((2) 积分的线性性质⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα特别地，有⎰⎰=bab ax f c dx x cf )()(.设f(x)在[a,b]上可积，且连续，(1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足⎰⎰⎰+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得)()()(θf a b dx x f ba-=⎰二、达布定理1.达布和分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和∑∑=+=+-=-=ni i i i ni i i i x x m f S x x M f S 1111)(),(,)(),(ππ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下和特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界.回到一般情况，有上下界定义知道i i i M f m ≤≤)(ξ将这些不等式逐项各乘以i x ∆(i x ∆是正数)并依i 求其总和，可以得到),(),(f S f S πσπ≤≤推论1 设f(x)在[a,b]上有界. 设有两个分割π，'π，'π是在π的基础上的加密分割，多加了k 个新分店，则||,||),(),'(),(||,||),(),'(),(πωππππωπππk f S f S f S k f S f S f S +≤≤-≥≥这里m M m M ,,-=ω分别为f 在[a,b]上的上、下确界. 推论2 设f(x)在[a,b]上有界. 对于任意两个分割',ππ，有)(),(),()(a b M F S f S a b m -≤≤-ππ2.达布定理定义设f(x)在[a,b]上有界，定义。

定积分的概念

定积分与微积分定理1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b axn-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功 ()baW F r dr =⎰2．定积分的几何意义(说明：一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

积分与定积分概念

积分与定积分概念积分和定积分是微积分中非常重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。

本文将介绍积分和定积分的概念、性质以及在实际问题中的应用。

一、积分的概念积分是微积分中的一个基本概念，它是求解曲线下面积的一种方法。

对于一个函数f(x)，它的积分可以用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数。

积分的结果可以看作是函数f(x)在某个区间上的“累积”。

二、定积分的概念定积分是积分的一种特殊形式，它是从a到b的区间上的积分。

定积分可以用∫[a,b]f(x)dx表示，其中[a, b]表示积分的区间。

定积分的结果是一个具体的数值，代表了函数f(x)在[a, b]区间上的累积值。

三、积分与定积分的性质1. 积分的线性性质：对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个标量k，有∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

这个性质可以简化积分的计算过程。

2. 定积分与导数的关系：如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数（即F'(x) = f(x)），那么∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。

这个性质可以用来求解定积分的值。

3. 定积分的区间可加性：如果函数f(x)在[a, c]和[c, b]上都是可积的，那么∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。

这个性质可以将一个区间上的积分分解成两个子区间上的积分。

四、积分在实际问题中的应用1. 曲线下面积：积分可以用来计算曲线与x轴之间的面积。

例如，在物理学中，利用定积分可以求解物体的位移、速度等问题。

2. 几何体的体积：积分可以用来计算几何体的体积。

例如，在工程学中，利用定积分可以求解复杂形状的建筑物的体积。

3. 概率密度函数：积分可以用来计算概率密度函数下的概率。

在统计学中，利用定积分可以计算出某个区间内随机变量的概率。

总结：积分和定积分是微积分中的重要概念，它们可以用来求解函数的累积值、曲线下的面积等实际问题。

定积分的概念

04
定积分的应用
面积计算
几何图形面积
定积分可用于计算各种几何图形的面积，如矩形、圆形、三角形等。通过选取适当的积分变量和积分区间，可以将面积表示为定积分的形式，进而求出面积。
参数方程面积
对于由参数方程定义的曲线所围成的图形，也可以利用定积分计算其面积。通过消去参数，将参数方程转化为直角坐标方程或极坐标方程，再利用定积分进行计算。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将不定积分的被积函数拆分成两个或多个函数的乘积，利用乘积法则进行分部积分，从而简化计算过程。
VS
详细描述
分部积分法的基本思想是将不定积分的被积函数拆分成两个或多个函数的乘积，然后利用乘积法则进行分部积分。这种方法需要掌握基本的乘积法则和分部积分公式，并能够灵活运用以解决复杂的不定积分问题。
起考虑，以确定函数值的累积结果。
特殊情况的积分上下限
当积分区间是无限区间时，积分上下限可能是无穷大或无穷小的情况。这些特殊情况的积分上下限需要特殊处理和考虑。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
具体形式
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量替换原不定积分中的变量，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分，从而简化计算过程。
详细描述
换元积分法的基本思想是将原不定积分中的变量替换为另一个变量，使得新的不定积分更易于计算。这种方法需要灵活运用变量代换技巧，选择合适的代换公式，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。
应用
积分中值定理在解决定积分问题时非常有用，特别是当我们需要找到一个特定的点，使得函数在该点的值等于整个区间的定积分时。

定积分的概念和性质

I f ( x)dx lim f ( i )xi
b a n
a
0
其中：f(x)叫做被积函数; x叫做积分变量;
i 1
f(x)dx叫做被积表达式; a叫做积分下限，b叫做积分上限; [a,b]叫做积分区间。
如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称 f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b] 上不可积。
[ a ,b ]
f ( )x f ( )x f ( )x
i i i i i [ a ,c ] [ c ,b ]
i
• 令λ→0，上式两端同时取极限，得 • 注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3
总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，

b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
b
x
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi 1 xi xn1 xn b 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间： [ xi 1 , xi ] 小区间长度记为： xi xi xi 1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为Ai
a c
c
b
有
• 于是

c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

积分的基本概念与性质

积分的基本概念与性质积分是微积分中的一个重要概念，它在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。

本文将介绍积分的基本概念与性质，并探讨其在实际问题中的应用。

一、积分的基本概念积分，又称为定积分，是微积分的核心概念之一。

它可以看作是函数在某个区间上各个小区间上取值的累加和。

具体来说，对于一个函数f(x)在[a, b]区间上，将[a, b]区间分成许多小区间，并计算出每个小区间上f(x)的取值，然后将这些取值相加，就得到了积分的值。

数学上用∫f(x)dx表示函数f(x)在[a, b]区间上的积分。

二、积分的性质积分具有以下几个重要的性质：1. 线性性质：若f(x)和g(x)是[a, b]区间上的可积函数，c和d为常数，则有∫(cf(x) + dg(x))dx = c∫f(x)dx + d∫g(x)dx。

即积分具有加法和数乘的性质。

2. 区间可加性：若f(x)在[a, b]区间上可积，在[b, c]区间上也可积，则有∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx。

即积分具有区间可加的性质。

3. 积分与导数的关系：若f(x)在[a, b]区间上可积，并且在区间内可导，则有∫[a, b]f'(x)dx = f(b) - f(a)。

即可积函数的导函数可以通过积分得到。

4. 积分的性质：积分的结果只与函数f(x)在积分区间上的取值有关，与具体的积分路径无关。

这个性质是积分中路径无关性的重要体现。

三、积分的应用积分在数学和其他科学领域中都有着广泛的应用。

其中一些重要的应用包括：1. 几何应用：积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积或曲线的弧长。

通过将曲线分解成无穷多的小线段，并计算它们的长度或面积，并将其进行累加，就可以得到准确的结果。

2. 物理应用：积分在物理学中有着重要的应用。

例如，可以通过对速度函数进行积分，得到任意时刻物体位移的函数。

同样地，可以通过对加速度函数进行积分，得到任意时刻速度的函数。

定积分知识复习总结

定积分知识总结一、基本概念和性质（1）定义[]()[]())()(lim )()()(,,,,0max ...,)()(lim lim )(11111111011-=∞→-=----∞→∞→=∞→-⋅-⋅=-⋅≈=→-∞→==-⋅=⋅∑∑∑∑⎰i i ni i n i i ni i i i i i i i i i i i i i i i i n i nn i n ni iban x x f x x f S x x f S I S I S I x x I x x n b x x x a n b a x x f S dx x f ξξξξξ④求极限：即③求和：，上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在②记时，要求当＜＜＜个小区间，区间分成①把的定义：[]dxx g dx x f dx x g x f ab babababa⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅-=⎰⎰⎰⎰)()()()(12βαβα②线性运算性质：①）定积分的性质（)()()(=⋅⋅-=⋅⎰⎰⎰aaabba dx x f dxx f dx x f()））（定要求的区间可积即可，不一其中，包含③区间的可加性：b a c c b a dxx f dx x f dx x f bccaba,,,()()()(∈⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰[][][][]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅≥≡=⋅≥⋅≥⋅≥≥⋅≥babababab abadxx g dx x f x g x f x g x f b a x g x f x f x f dx x f x f x f b a x f dxx g dx x f x g x f b a x g x f dx x f x f b a x f )()(),()(),()(,)(),(0:0)(00:0)(0)(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0)(0)(,)(＞则：不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于＞，则不恒等于，上连续，在⑥若则上可积且在，⑤若，则上可积且在④ [][][][][])()()(,,)()()()(,)(,)()()(,)(a b f dx x f b a b a x f a b M dx x f a b m M m b a x M x f m b a x f dxx f dx x f b a x f bababa ba-⋅=⋅∈-≤⋅≤-∈≤≤⋅≤⋅⎰⎰⎰⎰ξξ，使得：点上连续，则至少存在一在闭区间若⑨（积分中值定理）均为常数，则：，，，上可积，在⑧若上可积，则在⑦若二、微积分基本公式1、积分上限函数及其导数定义：设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰xadt t f )(和x 对应，因此⎰xadt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为⎰=Φxadt t f x )()(，],[b a x ∈.称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.定理1：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()()()(b x a x f dt t f dxd x xa ≤≤==Φ'⎰定理2、3：如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为⎰=Φxadt t f x )()(.2、牛顿——莱布尼茨公式定理4（微积分基本公式）如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(.证由定理5.2知，⎰=Φx adt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即C x F dt t f x a+=⎰)()(.又因为C a F dt t f a a+==⎰)()(0，所以)(a F C -=.于是有)()()(a F x F dt t f x a -=⎰.所以 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()(成立.为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为ba x F )(或b a x F )]([，所以公式可改写为)()()()(a F b F x F dx x f b a b a-==⎰三、定积分的积分法1、定积分的换元积分法定理1设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件：（1）)(t x ϕ=，且)(αϕ=a ，)(βϕ=b ；（2）)(t ϕ在区间],[βα上单调且有连续的导数)(t ϕ'；（3）当t 从α变到β时，)(t ϕ从a 单调地变到b . 则有⎰⎰'=b adt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用把原积分变量换成新变量，积分限也必须由原来的积分限和相应地换为新变量的积分限和，而不必代回原来的变量，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值. 2、定积分的分部积分法设函数)(x u u =和)(x v v =在区间],[b a 上有连续的导数，则有)()()]()([)()(x du x v x v x u x dv x u bab ab a⎰⎰-=.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(x u 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.四、定积分的应用1、定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A 的方法和步骤： (1)将区间],[b a 分成n 个小区间，相应得到n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为i A ∆),2,1(n i =；(2)计算i A ∆的近似值，即i i i x f A ∆≈∆)(ξ（其中],[,11i i i i i i x x x x x --∈-=∆ξ）； (3)求和得A 的近似值，即i ni i x f A ∆≈∑=1)(ξ；(4)对和取极限得⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A )()(lim 1ξλ.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积A ）具有的特性：即A 在区间],[b a 上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的i i i x f A ∆≈∆)(ξ是被积表达式dx x f )(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对i i i x f A ∆≈∆)(ξ省略下标，得x f A ∆≈∆)(ξ，用],[dx x x +表示],[b a 内的任一小区间，并取小区间的左端点x 为ξ，则A ∆的近似值就是以dx 为底，)(x f 为高的小矩形的面积（如图5.7 阴影部分），即dx x f A )(≈∆.通常称dx x f )(为面积元素，记为dx x f dA )(=.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[b a 上“无限累加”，就得到面积A .即⎰=ba dx x f A )(.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：（1）确定积分变量x ，并求出相应的积分区间],[b a ；（2）在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，并在小区间上找出所求量F 的微元dx x f dF )(=；（3）写出所求量F 的积分表达式⎰=ba dx x f F )(，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注能够用微元法求出结果的量F 一般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化范围],[b a 有关的量；②F 对于],[b a 具有可加性，即如果把区间],[b a 分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量.2、定积分求平面图形的面积（1）直角坐标系下面积的计算(1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==，))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）.下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈.②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素dx x g x f dA )]()([-=. ③写出积分表达式，即⎰-=badx x g x f A )]()([.⑶求由两条曲线)(),(y x y x ϕψ==，))()((y y ϕψ≤及直线d y c y ==,所围成平面图形（如图5.9）的面积. 这里取y 为积分变量，],[d c y ∈，用类似 (2)的方法可以推出：⎰-=dcdy y y A )]()([ψϕ.（2）极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程)(θρρ=与射线)(,βαβθαθ<==所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角θ为积分变量，它的变化区间是],[βα，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为)(θρ，中心角为θd 的圆扇形的面积，从而得面积微元为θθρd dA 2)]([21=于是，所求曲边扇形的面积为 ⎰=βαθθρd A 2)]([21.3．定积分求体积 (1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成（如图5.15）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，相应薄片的体积近似于以)(x f 为底面圆半径，dx 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dx x f dV 2)]([π=，于是，所求旋转体体积为dx x f V bax ⎰=2)]([π.(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为x 轴，则在x 处的截面面积)(x A 是x 的已知连续函数，求该物体介于a x =和)(b a b x <=之间的体积（如图5.19）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在微小区间],[dx x x +上)(x A 近似不变，即把],[dx x x +上的立体薄片近似看作)(x A 为底，dx 为高的柱片，从而得到体积元素dx x A dV )(=.于是该物体的体积为⎰=badx x A V )(.类似地，由曲线)(y x ϕ=和直线d y c y ==,及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为dy y V dcy ⎰=2)]([ϕπ.。

定积分的概念定积分应用

THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中，物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的受力分布和边界条件，可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中，物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体的热源、边界条件和初始温度分布，可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限确定的闭区间，表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积，即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时，定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中，恒力做功可以直接用力和位移的乘积来计算。然而，当作用力是变力时，不能简单地用力和位移的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功，我们需要引入定积分的概念。通过将变力函数在位移区间上进行积分，可以得到变力做功的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余，即消费者愿意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积，即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余，即生产者愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的面积，即总生产者剩余。

人教版高中数学选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)

性质 4
b
c
f ( x) d x
a
a
b
(f )x d x
c
( f ) x其d中(x
acb
（定积分对积分区间的可加性）
b
说明：①推广： a [ f1( x) f 2( x)
b
b
f m( x)] dx a f1( x)dx a f2 (x)dx
b
c1
c2
②推广 : f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx
b
f ( x) d x F( b) F( a)
a
若上式成立，我们就找到了用 f ( x) 的原函数（即满足 F (x)
f (x) ）的数值差 F (b)
计算 f (x) 在 [ a,b] 上的定积分的方法。
注： 1：定理如果函数 F ( x) 是 [a,b] 上的连续函数 f (x) 的任意一个原函数，则
a
a
c1
b
f ( x)dx
ck
③性质解释：
b
a fm(x)
y
性质 1
y=1
y A
性质 B4
C
Oa
b
x
M
O
a
N P bx
S曲边梯形 AMNB
S曲边梯形 AMPC
S曲边梯形 CPNB
2
二、微积分基本定理：
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) （ v(t) o ），
证明：因为
b
f ( x) dx F (b) F (a)
a
x
( x) = f (t )dt 与 F (x) 都是 f (x) 的原函数，故 a

定积分的基本概念

定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分（Definite Integral）是一种积分形式，它可以用来求解一部分定义域上函数的积分。

它的定义域一般以闭区间[a,b]表示，其中a和b都是定义域内的定点，也就是说，它是定义在 [a,b] 上的函数f(x)的积分。

定积分的计算公式是：
∫a b f (x)dx=F(b)-F(a)
其中F(x)是以f(x)为基础的任何可求得的积分函数，a和b分别是定义域的两个端点。

定积分可以用来计算函数在某一定义域上的积分，也可以用来求解函数在某一定义域上的导数。

举例来说，令f(x)=2x，定义域为[1,2]，则定积分计算公式就可以写为：
∫1 2 2x dx=F(2)-F(1)=F(2)-5
于是得出定积分值：
∫1 2 2x dx=F(2)-5=7
定积分也可以用来求解函数的导数，例如，令f(x)=2x，定义域为[1,2]，则定积分的偏导数可以写为：
∫1 2 d/dx(2x)dx=F'(2)-F'(1)=f(2)-f(1)=4-2=2
同样也可以得出偏导数：
d/dx(2x)=2
因此，定积分可以用来计算函数在某一定义域上的积分，也可以
用来求解函数在某一定义域上的导数。

积分与定积分

积分与定积分积分和定积分是微积分中的重要概念。

它们在数学和应用科学中有广泛的应用。

本文将介绍积分和定积分的定义、性质和计算方法。

一、积分的定义与性质1.1 定积分的定义定积分是函数在一个闭区间上的积分，表示曲线下的面积。

设函数f(x)在[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的定积分可表示为：∫(a到b) f(x) dx该积分表示曲线y=f(x)与x轴所围成的曲边梯形的面积。

1.2 积分的性质积分具有以下性质：（1）线性性质：若f(x)和g(x)在[a, b]上可积，且k为常数，则有∫(a 到b) [f(x)+g(x)] dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(a到b) g(x) dx以及∫(a到b) kf(x) dx=k∫(a到b) f(x) dx。

（2）区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有∫(a到c) f(x) dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(b到c) f(x) dx。

（3）积分中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则存在ξ∈[a, b]，使得∫(a到b) f(x) dx=f(ξ)。

二、定积分的计算方法2.1 几何意义法定积分可以通过几何意义来计算。

例如，要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分，可将函数图像与x轴所围成的面积分为若干个几何图形的面积之和，然后分别计算每个几何图形的面积并求和。

在本例中，将曲边梯形近似为矩形，计算可得定积分的值为1/3。

2.2 基本积分法基本积分法是通过函数的不定积分来计算定积分。

定积分与不定积分之间有着密切的联系，可以利用不定积分来计算定积分。

例如，要计算函数f(x)=2x在区间[1, 3]上的定积分，首先求出函数f(x)的不定积分F(x)=x²+C，其中C为常数。

然后，利用不定积分的基本性质，计算定积分的值为F(3)-F(1)=9-1=8。

2.3 分部积分法分部积分法也是计算定积分的一种常用方法。