全等三角形复习总结

A 2 1 D
E 3 B 4 （第18题） C F
11.如图，在R△ABC中，∠ACB=450， ∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点， AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的 延长线于E，求证：BC垂直且平分 DE.
12.已知：如图：在△ABC中，BE、CF 分别是AC、AB两边上的高，在BE上 截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB，连结AD、AG。 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA
变式：以上条件不变，将
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS) ∴ BE=AD
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论还成立吗？
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C 3 A E 4 D 1 2 B
等三角形？请任选一对给予证明。 E F C B
答：
D
△ABC≌△DEF ∴ ∠A=∠D ∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC ∴ AC=DF 在△ABC和△DEF中 AC=DF ∠A=∠D AB=DE ∴ △ABC≌△DEF （SAS）
证明： ∵ AB∥DE
A
7.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
D A
C B
例4:下面条件中, 不能证出Rt△ABC≌Rt△A' B'C'的是[ C ] (A.)AC=A'C' , BC=B'C' (B.)AB=A'B' , AC=A'C' (C.) AB=B'C' , AC=A'C' (D.)∠B=∠B' , AB=A'B'
例5：如图，在△ABC 中，AD⊥
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BC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，
AD、CE交于点H，请你添加一个适 当的条件： BE=EH △AEH≌△CEB。 ，使
例6：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。 1 AD ( AB AC ) 已知：如图，AD是△ABC 的中线，求证： 2 证明： 延长AD到E，使DE＝AD，连结BE A ∵ AD是△ABC 的中线 ∴ BD＝CD 又 ∵ DE＝AD ADC EDB ∴ △ADC ≌ △EDB ∴ AC = EB 在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC 即 2AD < AB+AC 1 ∴ AD ( AB AC ) 2
B A ND P M F C
E ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距
离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相
证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM（角平分线上的点到这个角
边为角的对边 找任一角 AAS 找夹角的另一边 SAS ② 已知一边一角 边为角的邻边 找边的对角 AAS
找夹边 ASA ③已知两角 找任一边 AAS
找夹角的另一角 ASA
二.角的平分线： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平 分线上 (已知） ∴ QD＝QE（角的平分线上的点到角的两
解：AC=AD
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4
EB=EB
∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
八年级数学上册北师大
全等三角形复习总结
知识点
1.全等三角形的性质:
对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。 2.全等三角形的判定: ①一般三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS ②直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL
知识点
3.三角形全等的证题思路：
找夹角 SAS ① 已知两边找另一边 SSS 找直角 HL
边的距离相等
到角的两边的距离相等的点在角的平 分线上。 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）． ∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上）
2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P在 BM上, PD⊥AB于D，PE⊥BC于E
C E D 要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法： 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩 余的线段与另一条线段相等。 （割）
A
B
2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）
P27
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练习
7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 （只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知： EG∥AF
A．AD=AE
C．BE=CD
B． ∠AEB=∠ADC
D．AB=AC
例2：已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC， 垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点， ∠1=∠2，图中全等的三角形共有( ) D B．2对 C．3对 D．4对 A．1对
例3. 已知： AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. 求证：BC=AD.
EBD＝FCD（已证） BD＝CD（已知） ∴△DEB≌△DFC（AAS） ∴DE＝DF（ 全等三角形的对应边相等）
2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE， BE = DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。
证明： AF CE AE CF
又
又
BE ∥ DF
的 两边距离相等） . 又∵点 F在∠CBD 的平分线上，
交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
G M
H
FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换） ∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C，那么补充下列一具条件后，仍无法判 定△ABE≌△ACD的是( ) B
B
D
C
E
课堂练习
1.已知BD＝CD，∠ABD＝∠ACD，DE、 DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F， 求证：DE＝DF
证明：∵∠ABD＝∠ACD（已知） ∴∠EBD＝∠FCD（ 等角的补角相等） 又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知） ∴∠E＝∠F＝900（垂直的定义 ） 在△DEB和△DFC中 ∵ E F (已证)
A G F D H C E
B
13.已知：如图21，AD平分 ∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于 F，DB=DC， 求证：EB=FC
总结提高
学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应 角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的 字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及 其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
BE DF
1 2
AEB ≌ CFD A C AB ∥CD
3、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。 c
D
A
E
B
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条 直线上求证：BE=AD E 证明： ∵ △ABC和△ECD都是等边三角形 ∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60° ∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE 即∠BCE=∠DCA B C D A
求证： A
E B G D C F
高
拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.
求证:BC∥EF
F E D
A B C
10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接 AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列 5个关系式：：①AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2， ④∠3=∠4，⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作 为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。 请用序号写出两个正确的命题：（书写形式： 如果……那么……）（1） ； （2） ；