考研数字信号处理复习要点

数字信号处理复习要点

数字信号处理主要包括如下几个部分

1、 离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析

2、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换

3、 数字滤波器的设计

一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 1、离散时间信号：

1）离散时间信号。时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。

2） 数字信号。时间和幅值都离散化的信号。

（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理） 3） 离散时间信号可用序列来描述 4） 序列的卷积和（线性卷积）

∑∞

-∞

==-=

m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(

5）几种常用序列

a)单位抽样序列（也称单位冲激序列）)(n δ,⎩

⎨

⎧≠==0,00

,1)(n n n δ

b)单位阶跃序列)(n u ,⎩⎨

⎧<≥=0

,00

,1)(n n n u

c)矩形序列，⎩

⎨

⎧=-≤≤=其它n N n n R N ,01

0,1)(

d)实指数序列,)()(n u a n x n

= 6） 序列的周期性

所有n 存在一个最小的正整数N ,满足：)()(N n x n x +=,则称序列)(n x 是周期序列，周期为N 。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)

7）时域抽样定理：

一个限带模拟信号()a x t ，若其频谱的最高频率为0F ，对它进行等间隔抽样而得()x n ，抽样周期为T ，或抽样频率为1/s F T =；

只有在抽样频率02s F F ≥时，才可由()a x t 准确恢复()x n 。 2、离散时间信号的频域表示（信号的傅立叶变换）

∑∞

-∞

=-=

n n

j e

n x j X ωω)()(，((2))()X j X j ωπω+=

ωωπ

ωπ

π

d e j X n x n j ⎰-

=

)(21)(

3、序列的Z 变换

∑∞

-∞

=-=

=n n

z

n x n x z X )()]([)(Z

1） Z 变换与傅立叶变换的关系，ωωj e z z X j X ==)()(

2） Z 变换的收敛域

收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z 变换的收敛区域确定之后，才能由Z 变换唯一地确定序列。 一般来来说，序列的Z 变换的收敛域在Z 平面上的一环状区域：+-<

⎧<<=其它0

2

1N n N n x n x )()(，∞<≤||z 0

右序列：1()()0x n N n x n ≤<∞

⎧=⎨⎩

其它 ，|Z|>Rx-

左序列：2

()()0

x n n N x n -∞<≤⎧=⎨

⎩其它，

（|z|0时：0≤|Z|< Rx+；N 2≤0时： 0<|Z|< Rx+） 双边序列：(),x n n -∞<<∞，+-<

常用序列的Z 变换：

1

1

1

[()]1,||0

1

[()],||111[()],||||

11

[(1)],||||1n n Z n z Z u n z z

Z a u n z a az Z b u n z b bz

δ---=≥=>-=>---=<- 逆变换

11

()()2n c

x n X z z dz j π-=

⎰

x ，C ：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线

1） 留数定理：1

()[()C ]n x n X z z

-=

∑在内极点留数之和

2） 留数辅助定理：1

()[()C ]n x n X z z

-=-

∑在外极点留数之和

3） 利用部分分式展开：1()1k

k

A X z a z -=

-∑，然后利用定义域及常用序列的Z 变换求解。

4、离散时间系统： [()]()T x n y n = 系统函数：()()()Y j H j X j ωωω=

，()

()()

Y z H z X z =

冲激响应：()[()]h n T n δ=

5、 线性系统：满足叠加原理的系统。[()()][()][()]T ax n by n aT x n bT y n +=+

6、 移不变系统：若[()]()T x n Y n =，则[()]()T x n k Y n k -=-

7、 线性移不变系统

可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积）

()()*()y n x n h n =，()()()Y j X j H j ωωω=，()()()Y z X z H z =

8、 系统的频率特性可由其零点及极点确定

∏∏∏∏∑∑=-=-=-=-=-=---=--==

N

k N k

M

i M

i

N

k k

M

i i

N

k k

k

M

i i

i

z z

z z

z z A

z z

z

z A

z a

z

b z X 1

1

1

111

011)()()()()(

（式中，z k 是极点，z i 是零点；在极点处，序列x(n)的Z 变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。） 9、 稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|x n <∞，则|()|y n <∞

线性移不变系统是稳定系统的充要条件：

|()|n h n ∞

=-∞

<∞∑或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位园 |z|=1

10、

因果系统：0n 时刻的输出0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定线性移不变系统是因果系统的

充要条件：()0,0h n n =<或：其系统函数H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|>Rx 11、

稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：

|()|n h n ∞

=-∞

<∞∑，()0,0h n n =<

或：H(z)的极点在单位园内H(z)的收敛域满足：||,1x x z R R --><

12、 差分方程

线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）

()()i n x b k n y a M

i i

N k k

-=-∑∑==0

13、 差分方程的解法

1）直接法：递推法 2）经典法

3）由Z 变换求解

二、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS ）

)]([)(n x DFS k X p p =21

()N j

kn N

p n x n e

π--==∑1

()N kn

p N n x n W -==∑ ()[()]p p x n IDFS X k =()21

1

N j kn N P K O

X k e

N

π⎛⎫- ⎪⎝⎭

==

∑

()1

1N kn P N K O

X k W N

--==∑