椭圆及其标准方程导学案

2.2.1 椭圆及其标准方程

【学法指导】1.仔细阅读教材（P38—P41），独立完成导学案，规范书写，用

红色笔勾画出疑惑点，课上讨论交流。

2.通过动手画出椭圆图形，研究椭圆的标准方程。

【学习目标】1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程。

2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。

【学习重、难点】

学习重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．

学习难点：椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．

【预习案】

预习一：椭圆的定义（仔细阅读教材P38，回答下列问题）

1.取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ． 点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线

在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．

2.平面内与两个定点1F ，2F 的 的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的 ， 叫做椭圆的焦距。

3.将“大于|1F 2F |”改为“等于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨迹是

将“大于|1F 2F |”改为“小于|1F 2F |”的常数，其他条件不变，点的轨

迹存在吗？

结论：在椭圆上有一点P ，则|1PF |+|2PF |= (a 2>|1F 2F | )。

a 2>|1F 2F |时，点的轨迹为 ；

a 2=|1F 2F |时，点的轨迹为 ；

a 2<|1F 2F |时，点的轨迹 。

预习二：椭圆的标准方程（仔细阅读教材P40，回答下列问题）

结论：2x ，2y 分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

【探究案】

探究一、椭圆定义的应用

设P 是椭圆11625

2

2=+y x 上的任意一点，若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则21PF PF +等于（ ）

A.10

B.8

C.5

D.4

（解法指导：椭圆的标准方程找到a ，根据|1PF |+|2PF |=a 2。） 解：椭圆中=2a ，a 2= 。

由椭圆的定义知21PF PF += = 。

变式训练： 椭圆19

252

2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）

A.5

B.6

C.4

D.10

探究二、求适合下列条件的椭圆的标准方程。

（1）两个焦点坐标分别是（－4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）；

（2）焦点在y 轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）。

（解法指导：判断焦点在哪个坐标轴上，设椭圆的标准方程，依据已知条件列方程，解方程得出a 与b ，带回所设的椭圆的标准方程。）

解：

（1）椭圆焦点坐标为 ，

可设椭圆的标准方程为 （ ），且=c ， 所以，椭圆的方程变成了 ，代入点（5，0），得 。 则=2a ，=2b = 。

因此，椭圆的标准方程 。

（2）焦点在y 轴上，可设椭圆的标准方程为 ，

把点（0，2）和（1，0）分别代入椭圆方程，得 ， ， 即=2a ，=2b ，

所求椭圆的标准方程为 。

变式训练：

椭圆两个焦点坐标分别为（－3，0）和（3，0），且椭圆经过点（5，0）；求这个椭圆的标准方程。

【检测案】

我的收获：

你在这堂课上学到了什么？

1.

2.