06-分析力学基础-第二类拉格朗日方程.ppt
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如果主动力都是保守力，即 FV，则为广义力
Q ki n 1F i q r ik i n 1 V r i q r ik q V k Q ki n 1F i q r iki n 1 F ix q x k i F iy q y k i F iz q zk i
i n1 V xi q xk i V yi q yk i V zi q zk i q V k
３—5 第二类拉格朗日方程
1. 基本形式的拉格朗日方程
质点 i 的虚位移
ri kN 1qrikqk
i1,2,3, n
将上式代入动力学普遍方程（3-15）式：
in1(Fi miri)kN1qrikqk kN 1[i n1(Fimiri)qrik]qk0
因qk是独立的，所以
i n1(F im iri) q rik0 k1,2, N
M1-5
2. 保守体系的拉格朗日方程 将Qk代入拉格朗日方程式，得
ddt(qTk)qTk q Vk 0
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L (q k,q k,t)
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用 等性质的特征函数。
保守体系的拉格朗日方程为：
d( L) L 0 dt qk qk
d d ti n1 m iri q rik qki n11 2m iriri
d d t qki n11 2m ivi2 qki n11 2m ivi2
d dt
T qk
T qk
M1-3
由
Qki n1m iriqrik
k1,2, N
可得
d d t q T k q T k Q k k 1 ,2 , N
规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题 提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义 和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数 学技巧。
M1-8
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j(j1,2, ,k)，计算公式为：
Q j i n1(Xi q xijYi q yijZi q zij) 或
Qj
W ( j) qj
若主动力为有势力，也可将势能 V 表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。
M1-10
系统动能：
T1 2m 1x21 2JBB 21 2JI
2 A
1 2 m 1 x 2 1 2 1 2 m 2 R 2B 2 1 2 2 3 m 2 R 2A 2
m1
2m2 2
x2
系统的拉格朗日函数（动势）
LTV m 1 2 2 m 2x 2 1 2 k (0 x )2 m 1 g x
注意广义力可得
M1-1
注意到广义力可得
Qki n1m iriqrik
k1,2, N
上式中的第二项与广义力相对应，称为广义惯性力。
上式应用起来很不方便。我们要作变换
拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：就是把主动力的虚功改 造为广义力虚功。
拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：就是改造惯性虚功项， 使之与系统的动能的变化联系起来。
5. 求出上述一组微分方程的积分。
M1-9
[例] 物块C的质量为m1，A，B两轮 皆为均质圆轮，半径R，质量为m2， 求系统的运动微分方程。
解：图示机构只有一个自由度，所受
约束皆为完整、理想、定常的，以物 块平衡位置为原点，取x 为广义坐标。
系统势能： (以弹簧原长为弹性势能零点)
V1 2k(0x)2m1gx
为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。 其中：
Qk
n
Fi
i1
ri qk
——主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量 （不包含约束反力）
T
n
1 2
mivi2
——体系相对惯性系的动能
i1
pk
T qk
——广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量
Байду номын сангаас
M1-4
2. 保守体系的拉格朗日方程
i n1(F im iri) q rik0 k1,2, N
M1-2
变换
1.
ri qk
ri qk
2.
d dt
ri qk
ri qk
3. i n 1m ir i q r ik i n 1m id d t r i q r ik i n 1m ir id d t q r ik
i n1mid dtriqriki n1miriqrik
解：图示机构为两个自由度，取x1，
为广义坐标，则有。
x2x1lsin y1 0 y2 lcos
求导：
x2x1lcos y1 0
系统动能：
y2 lsin
T1 2m 1x1 21 2m 2(x2 2y2 2)
1 2 (m 1 m 2 )x 1 2 m 2 2 l(l2 2 x 1c o s)
想一想：上式的成立、适用条件是什么？
M1-6
3. 对拉格朗日方程的评价
(1) 拉氏方程的特点（优点）： 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简 洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。 方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已 知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越 多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。
M1-13
系统势能：（选质点 M2 在最低位置为零势能位置）
➢ 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理 学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其 他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的 桥梁。
M1-7
3. 对拉格朗日方程的评价
(2) 拉氏方程的价值 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的
代入拉格朗日方程
d dt
(qLk )qLk
0
( m 1 2 m 2 ) x k (0 x ) m 1 g 0
M1-11
注意到
k0 m1g
可得系统的运动微分方程 (m 1 2 m 2)x k x0
M1-12
已知：M1的质量为m1， M2的质量为m2， 杆长为l。
试建立此系统的运动微分方程。
Q ki n 1F i q r ik i n 1 V r i q r ik q V k Q ki n 1F i q r iki n 1 F ix q x k i F iy q y k i F iz q zk i
i n1 V xi q xk i V yi q yk i V zi q zk i q V k
３—5 第二类拉格朗日方程
1. 基本形式的拉格朗日方程
质点 i 的虚位移
ri kN 1qrikqk
i1,2,3, n
将上式代入动力学普遍方程（3-15）式：
in1(Fi miri)kN1qrikqk kN 1[i n1(Fimiri)qrik]qk0
因qk是独立的，所以
i n1(F im iri) q rik0 k1,2, N
M1-5
2. 保守体系的拉格朗日方程 将Qk代入拉格朗日方程式，得
ddt(qTk)qTk q Vk 0
势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数
L T V L (q k,q k,t)
为拉格朗日函数（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用 等性质的特征函数。
保守体系的拉格朗日方程为：
d( L) L 0 dt qk qk
d d ti n1 m iri q rik qki n11 2m iriri
d d t qki n11 2m ivi2 qki n11 2m ivi2
d dt
T qk
T qk
M1-3
由
Qki n1m iriqrik
k1,2, N
可得
d d t q T k q T k Q k k 1 ,2 , N
规律，描述了力学系统的动力学规律，为解决体系的动力学问题 提供了统一的程序化的方法，不仅在力学范畴有重要的理论意义 和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要的物理思想和数 学技巧。
M1-8
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。
3. 计算广义力 Q j(j1,2, ,k)，计算公式为：
Q j i n1(Xi q xijYi q yijZi q zij) 或
Qj
W ( j) qj
若主动力为有势力，也可将势能 V 表示为广义坐标的函数。
4. 建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。
M1-10
系统动能：
T1 2m 1x21 2JBB 21 2JI
2 A
1 2 m 1 x 2 1 2 1 2 m 2 R 2B 2 1 2 2 3 m 2 R 2A 2
m1
2m2 2
x2
系统的拉格朗日函数（动势）
LTV m 1 2 2 m 2x 2 1 2 k (0 x )2 m 1 g x
注意广义力可得
M1-1
注意到广义力可得
Qki n1m iriqrik
k1,2, N
上式中的第二项与广义力相对应，称为广义惯性力。
上式应用起来很不方便。我们要作变换
拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：就是把主动力的虚功改 造为广义力虚功。
拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：就是改造惯性虚功项， 使之与系统的动能的变化联系起来。
5. 求出上述一组微分方程的积分。
M1-9
[例] 物块C的质量为m1，A，B两轮 皆为均质圆轮，半径R，质量为m2， 求系统的运动微分方程。
解：图示机构只有一个自由度，所受
约束皆为完整、理想、定常的，以物 块平衡位置为原点，取x 为广义坐标。
系统势能： (以弹簧原长为弹性势能零点)
V1 2k(0x)2m1gx
为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。 其中：
Qk
n
Fi
i1
ri qk
——主动力的广义力，可以是力、力矩或其他力学量 （不包含约束反力）
T
n
1 2
mivi2
——体系相对惯性系的动能
i1
pk
T qk
——广义动量，可为线动量、角动量或其他物理量
Байду номын сангаас
M1-4
2. 保守体系的拉格朗日方程
i n1(F im iri) q rik0 k1,2, N
M1-2
变换
1.
ri qk
ri qk
2.
d dt
ri qk
ri qk
3. i n 1m ir i q r ik i n 1m id d t r i q r ik i n 1m ir id d t q r ik
i n1mid dtriqriki n1miriqrik
解：图示机构为两个自由度，取x1，
为广义坐标，则有。
x2x1lsin y1 0 y2 lcos
求导：
x2x1lcos y1 0
系统动能：
y2 lsin
T1 2m 1x1 21 2m 2(x2 2y2 2)
1 2 (m 1 m 2 )x 1 2 m 2 2 l(l2 2 x 1c o s)
想一想：上式的成立、适用条件是什么？
M1-6
3. 对拉格朗日方程的评价
(1) 拉氏方程的特点（优点）： 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简 洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。 方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已 知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越 多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。
M1-13
系统势能：（选质点 M2 在最低位置为零势能位置）
➢ 拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理 学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其 他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的 桥梁。
M1-7
3. 对拉格朗日方程的评价
(2) 拉氏方程的价值 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一的
代入拉格朗日方程
d dt
(qLk )qLk
0
( m 1 2 m 2 ) x k (0 x ) m 1 g 0
M1-11
注意到
k0 m1g
可得系统的运动微分方程 (m 1 2 m 2)x k x0
M1-12
已知：M1的质量为m1， M2的质量为m2， 杆长为l。
试建立此系统的运动微分方程。