矩形梁挠度计算
各类梁的弯矩剪力计算汇总表-剪力计算公式一览表
表 1 简单载荷下基本梁的剪力图与弯矩图注：外伸梁= 悬臂梁+ 端部作用集中力偶的简支梁2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-62）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-73）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-84）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-95 ）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14 ）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11均布荷载 q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载 F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
M B 支＝（－0.125×11.76×52）＋（－ 0.188×29.4×5）＝（－ 36.75）＋（ -27.64）＝－ 64.39kN ·mV B 左＝（－0.625×11.76×5）＋（－ 0.688×29.4）＝（－ 36.75）＋（－ 20.23）＝－ 56.98kN[例 2] 已知三跨等跨梁 l ＝ 6m ，均布荷载 q ＝11.76kN/m ，求边跨最大跨中弯矩 [解 ] M1 ＝ 0.080×11.76×62＝33.87kN ·m 。
2）三跨等跨梁的内力和挠度系数 表 2-12注： 1．在均布荷载作用下： M ＝表中系数×4ql 2；V ＝表中系数× ql ； w 表中系数ql。
100EI Fl 3Fl ；V ＝表中系数× F ； w 表中系数 Fl。
100EI2．在集中荷载作用下： M ＝表中系数×[例 1] 已知二跨等跨梁 l ＝5m ，［解］f ⅜ 跨内帰大 支座弯矩 弯矩荷載图VCXAflM 2-0.5500 -O I OSo-O (O 5Q0.4500.550(Jf≡¾-0,050 -0.500 D.0751-0.050 -0.050 -0,0500,5000.050UHiD跨度中点挠度-0.45(J 0,990 -0.625 0.990L A 4-L073L054-0÷117-0.033 0.383D-0.C67 0.0170.433f t J÷175 -0.150一(L 1500.350-0,075 -0.0750.425ΓJ⅛3.175 -0.075-0.075-0,07S0.050-0.3131 0,677 -0.313λ1620.1370 + 175-o r osα 0,325-0.617-0.4170*033 0.5β3 0.033-0.5670.0830.5730.365 -0.208-O.on-0,017 0.885 -0.313 0.104-0.650 0.500"-W0.650-0,5750 0.575-0.425E146 1.6150.208 1.146- 0,075- 0,50C 0.5000.0750.075-0Λ69-0.9371U46L 615-0.469-0,675-0.375 0,6250.0500.0500.9900.677 L 0.3124 注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数× ql2；V＝表中系数× ql；w表中系数ql 100EI2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数× Fl；V＝表中系数× F；w 表中系数Fl。
挠度换算 L-1 计算结果
1 挠度换算： L-11.1 基本资料1.1.1 工程名称： ： 工程一1.1.2 弹性挠度 fd ＝ 2mm ； 中梁弹性刚度增大系数Bk ＝ 1.5，边梁 Bk ＝ (1 + Bk) / 2 ＝ 1.251.1.3 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值 Mk ＝ 50.00kN ·m按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值 Mq ＝ 40.00kN ·m1.1.4 受拉区纵筋实配面积 As ＝ 628mm ，受压区纵筋实配面积 As' ＝ 0.3As ＝ 188mm1.1.5 矩形截面，截面尺寸 b ×h ＝ 200×400mm ； ho ＝ 362.5mm ；计算跨度 lo ＝ 3000mm1.1.6 混凝土强度等级为 C25； ftk ＝ 1.779N/mm ，混凝土弹性模量 Ec ＝ 27871N/mm ； 钢筋弹性模量 Es ＝ 200000N/mm1.2 弹性刚度 BcBc ＝ Bk * Ec * I ＝ 1.5*27871*200*400^3/12 ＝ 44593.09kN ·m1.3 按荷载效应标准组合并考虑荷载长期作用影响的刚度 B1.3.1 荷载效应的标准组合作用下受弯构件的短期刚度 Bs1.3.1.1 裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数 ψσsk ＝ Mk / (0.87 * ho * As) （混凝土规范式 8.1.3－3）σsk ＝ 50000000/(0.87*362.5*628) ＝ 252N/mm矩形截面，Ate ＝ 0.5 * b * h ＝ 0.5*200*400 ＝ 40000mmρte ＝ As / Ate （混凝土规范式 8.1.2－4）ρte ＝ 628/40000 ＝ 0.0157ψ ＝ 1.1 - 0.65 * ftk / (ρte * σsk) （混凝土规范式 8.1.2－2）ψ ＝ 1.1-0.65*1.78/(0.0157*252) ＝ 0.8081.3.1.2 钢筋弹性模量与混凝土模量的比值：αE ＝ Es / Ec ＝ 200000/27871 ＝ 7.181.3.1.3 受压翼缘面积与腹板有效面积的比值 γf'矩形截面，γf' ＝ 01.3.1.4 纵向受拉钢筋配筋率 ρ ＝ As / (b * ho) ＝ 628/(200*362.5) ＝ 0.008661.3.1.5 钢筋混凝土受弯构件的短期刚度 Bs 按混凝土规范式 8.2.3－1 计算： Bs ＝ Es * As * ho ^ 2 / [1.15ψ + 0.2 + 6 * αE * ρ / (1 +3.5γf')]＝ 200000*628*362.5^2/[1.15*0.808+0.2+6*7.18*0.00866/(1+3.5*0)] ＝ 10985.62kN ·m1.3.2 考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数 θρ' ＝ As' / (b * ho) ＝ 188/(200*362.5) ＝ 0.0026按混凝土规范第 8.2.5 条，θ ＝ 1.881.3.3 受弯构件的长期刚度 B 按混凝土规范式 8.2.2 计算：B ＝ Mk / [Mq * (θ - 1) + Mk] * Bs ＝ 50/[40*(1.88-1)+50]*10985.62＝ 6446.96kN ·m1.4 挠度 f ＝ fd * Bc / B ＝ 2*44593.09/6446.96 ＝ 13.83mmf / Lo ＝ 1/217______________________________________________________________________________ 【MorGain 结构快速设计程序 V2006.09.1566.1569】 Date：2006-11-16 10:24:39________________________________________________________。
混凝土梁的挠度控制方法
混凝土梁的挠度控制方法一、前言混凝土梁在实际建筑中应用广泛，但长期使用后可能会出现挠度过大的问题，影响结构的稳定性和美观度。
因此，挠度控制是混凝土梁设计中的一个重要问题。
本文将从材料选用、截面形状、受力方式、支座形式、施工工艺等方面，详细介绍混凝土梁的挠度控制方法。
二、材料选用1. 水泥：要求水泥标号高，强度大，掺杂较少，保证混凝土的强度和稳定性。
2. 骨料：应选用坚硬、强度高的骨料，如石子、卵石等。
同时，骨料的粒径应控制在一定范围内，以保证混凝土的均匀性。
3. 砂：如果使用砂，则要求砂的掺杂较少，粒度均匀。
三、截面形状1. 矩形截面：矩形截面是混凝土梁中最常见的截面形状，其优点是易于施工和计算。
2. T形截面：T形截面可增加混凝土梁的强度和刚度，从而提高其抗弯性能和抗挠性能。
3. I形截面：I形截面适用于跨度较大的梁，其优点是抗弯性能和抗挠性能较好。
4. 圆形截面：圆形截面适用于曲线形状的梁，其优点是美观度高，但抗弯性能较差。
四、受力方式1. 单向受力：单向受力适用于梁的跨度较小，受力方向一致的情况。
2. 双向受力：双向受力适用于梁的跨度较大，受力方向不一致的情况。
五、支座形式1. 固定支座：固定支座适用于跨度较小的梁，可有效控制梁的挠度，但施工难度较大。
2. 滑动支座：滑动支座适用于跨度较大的梁，其优点是施工较为简单，但对支座的精度要求较高。
3. 弹性支座：弹性支座适用于跨度较大的梁，可有效减小梁的挠度，但对支座材料和制造工艺要求较高。
六、施工工艺1. 梁体浇筑：梁体浇筑时，应控制混凝土的流动性和坍落度，保证混凝土在模板内的均匀性。
同时，在浇筑过程中应采取充分的振捣措施，以排除混凝土中的气泡，提高混凝土的密实性。
2. 疏松带设置：为了降低混凝土梁的挠度，可以在梁的上部设置疏松带，以减小梁的自重。
疏松带的设置应根据混凝土的强度和梁的跨度等因素进行优化。
3. 预应力加固：预应力加固是一种有效的挠度控制方法，其优点是可以提高混凝土梁的强度和刚度，从而有效控制梁的挠度。
建筑结构-钢筋混凝土构件裂缝宽度和挠度验算
Bl
Bl
M l (
Ms 1)
Ms
Bs
…8－6
Ms ––– 荷载短期效应组合算得的弯矩。 (恒载＋活载) ––– 标准值。
Ml ––– 荷载长期效应组合算得的弯矩。
(恒载＋活载q) ––– 标准值。
––– 挠度增大系数。 = 2.0 0.4' /
Bs ––– 短期刚度按式(8-5)计算。
3). 最小刚度原则：
e0
e0
Ns Ns
(a)
Ns
Ts
Ns
(b)
Ns
Ns
(c)
图8-1
(d T
(e)
非
为防止温度应力过大引起的开裂，规定了最
荷 载
大伸缩缝之间的间距。表8－1
引
起
为防止由于钢筋周围砼过快的碳化失去对钢
的
筋的保护作用，出现锈胀引起的沿钢筋纵向
裂 缝
的裂缝，规定了钢筋的混凝土保护层的最小
厚度。
通常，裂缝宽度和挠度一般可分别用控制最大 钢筋直径和最大跨高比来控制，只有在构件截面尺 寸小，钢筋应力高时进行验算。
2 裂缝宽度验算
随机性 《规范》在若干假定的基础上，根据裂缝出
现机理，建立理论公式，然后按试验资料确定系 数，得到相应的裂缝宽度计算经验式。
Ns
NNcr
1
ct=ftk
1
NNcr
Ns
(a)
ftk (b)
s ss
max
(c)
图8-2
(d)
1). 裂缝的出现和开展
出现：
当c ftk，在某一薄弱环节第一条裂缝出现，
1). 短期刚度 Bs的计算
M 1 EI r
挠度原始计算公式
挠度原始计算公式
凡是以弯曲变形为主的杆件统称为梁。
当梁弯曲时，其内部也会产生抵抗弯曲的内力。
根据材料形状的不同，其抵抗变形的内力也不同。
直梁（轴线是直线且横截面都相等的梁）的最大弯曲应力计算公式：σmax=Mωmax / W
式中：σmax——最大弯曲应力（MPa）；
Mωmax——梁的最大弯矩（N*mm);
W——抗弯截面系数（mm³）。
抗弯截面系数w（也叫抗弯截面模量），是表示与横截面形状和尺寸有关的抵抗弯曲变形能力的一个几何量。
W大，则σmax小，说明抵抗弯曲的能力强；w小，则σmax大，说明抵抗弯曲的能力差。
w的计算公式：
方形和矩形的W=bh² / 6 ;
圆形（圆钢）的W=πd³ / 32≈0.1d³
工字钢W=1 /6H[BH³-(B-b)h³] 。
也可从钢材手册上直接查到钢材的W值。
薄板弯曲挠度计算公式
薄板弯曲挠度计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：薄板弯曲挠度计算公式是工程力学课程中的重要内容，也是工程设计和结构分析中不可或缺的一部分。
薄板在受力作用下会发生弯曲变形，挠度是描述薄板弯曲程度的重要参数。
通过合理的挠度计算公式，我们可以准确地评估薄板的变形情况，为工程设计提供可靠的依据。
薄板弯曲挠度计算公式的推导过程比较复杂，需要借助数学和力学知识。
一般而言，薄板的挠度计算公式可分为静力法、弹性力学法和有限元法等多种方法。
静力法是最为常用的一种计算薄板挠度的方法，下面我们将对其进行详细介绍。
我们需要了解一些基本概念。
在工程力学中，对于一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，在受到外力作用后呈弯曲状态，其挠度δ可以通过以下公式计算：\[ \delta = \frac{PL^3}{3EI} \]P为受力大小，E为杨氏模量，I为横截面惯性矩。
这是薄板挠度计算公式的一般形式，具体的计算过程需要根据实际情况进行适当的调整和修正。
静力法是一种比较简单但实用的计算挠度的方法。
该方法主要基于等效荷载原理，即将复杂的荷载系统转化为简化的等效荷载，将薄板弯曲问题转化为梁的弯曲问题。
下面我们以一种常见的简支边界条件情况为例，介绍具体的计算步骤。
假设我们有一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，受到长度方向均布载荷q的作用，两端为简支边界。
我们需要计算该薄板的等效弯矩M，其计算公式如下：根据薄板挠度计算公式，我们可以得到该薄板的挠度表达式为：通过这个计算公式，我们可以快速准确地计算出简支边界条件下薄板的挠度。
如果有其他不同的受力情况或边界条件，需要进行相应调整。
除了静力法，弹性力学法和有限元法也是常用的计算薄板挠度的方法。
弹性力学法是以弹性理论为基础，考虑了薄板材料的应力应变关系，可以更精确地描述薄板的弯曲情况。
有限元法则是一种数字计算方法，通过将薄板离散成有限个单元，利用计算机进行大规模计算，可以处理更加复杂的挠度计算问题。
[整理版]挠度计算
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箱式空调机组强度计算五洲制冷集团公司生产的空调机组，采用铝合金框架与嵌入式面板式结构。
机组工作时内外部压力差为1000Pa，针对机组在此压力作用下所产生变形，国家标准GB/T14294-2008《组合式空调机组》作出了相应的规定和要求。
我们针对此型机组进行了强度与刚度变形计算。
一．杆的变形及待求量杆弯曲变形后其轴线由直线变成一条光滑的曲线，杆变形后的轴线成为挠曲线。
现在要求计算的是杆横截面的形心在垂直于杆轴线方向的位移, 也称为该截面的挠度。
二．模型的简化由于内部压力的作用，在机组门板上产生作用力，门板是嵌在框架上的，这些作用力通过门板的边缘传递给框架。
假设作用在门板各表面上的力均匀地传递给杆，杆均匀受力，单位ie 长度上的受力位q，如下图所示三挠曲线方程的求解如图所示，由对称性知杆的两支反力为F1=F2=q L/2杆的弯矩方程为M(x)=q LX/2 —q X2/2EIW”=—M(x)=—(q LX/2 —q X2/2)通过两次积分可得:EIW=-q* (LX 3/6 —X4/12)/2+CX+D边界条件是X=O,X=L 处挠度均为零。
将边界条件代入上式得：C=q L3/24 , D=0则杆的挠曲线方程为：W=qX/24EI*(L 3-2LX 2+X3)又因挠曲线是一光滑曲线，故在对称的挠曲线中，最大挠度在杆的中心处设杆长为L 则当X=L/2 时，最大挠度=q L/2*(L 3-2L*L 2/4+L3/8)/24EI = 5qL4/384EI 。
(其中E为弹性模量，铝合金的为79GPa。
I 为惯性矩) 四．惯性矩的计算矩形截面的惯性矩为I=bh3/12(在本设计中b=h，即I=b4/12)由于空调机组的框架为中空的方管，所以该截面的惯性矩为大正方形的惯性矩减去小正方形的惯性矩。
已知立方体框架宽度为50mm，壁厚2mm。
所以b1=0.05m ，b2=0.046m。
所以I= b14/12- b24/12=(0.054-0.0464)/12=1.447*10-7五. 空调机箱的各表面的总受力机箱内静压1000Pa，即内外压差为103pa总受力F=PS=103*(4.7*3)=14.1*10 3N机箱右(左)表面的表面积为 2.5*3=7.5 m2总受力F=PS=103*(2.5*3)= 7.5*10 3 N机箱前(后)表面的表面积 4.7*2.5=11.75 m2总受力F=PS=103*(4.7*2.5)=11.75*10 3N六．求各杆的受力将各块门板上所受的力按照框架支柱及横梁的长度平均分配，使得单位长度上的受力相同。
受弯构件挠度验算计算示例
构与抗震系列微课
受弯构件挠度验算计算示例
授课人 四川建筑职业技术学院
杨晓红
2015.11
目录
受弯构件挠度计算的步骤
例题
思考题
Page
2
1 、受弯构件变形验算的步骤
1 ）已知条件：构件的截面尺寸、跨度、荷载、材料强度以及
钢筋配置情况
2）计算荷载效应准永久组合下的弯矩Mq 3）计算短期刚度Bs， 受弯构件采用规范公式（7.2.3-1）计算 4）计算长期刚度B ； 受弯构件采用规范公式（7.2.2-2）计算
纵向受拉钢筋为 3 25 ，混凝土强度等级为 C25 ，挠度限
值为l0/200，试验算挠度。
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5
【 解 】 A s = 1 4 7 3 m m 2 ， h 0 = 405 m m （ 纵 筋 排 一 排 ） ，
ftk=1.78N/mm2，Ec＝2.8×104N/ mm2，Es=2×105N/ mm2，活
故该梁满足刚度要求。
Page 9
请思考如下问题：
（1）增加梁刚度的措施有哪些？
（2）受弯构件挠度验算的步骤是什么？
Page
10
谢 谢
2015.11
荷载准永久值系数ψq=0.4，γ0=1.0
（1）计算荷载效应
Mgk= Mqk =
Mq= Mgk +ψqMqk= 74.48+0.4×12.15=79.335kN·m
（2）计算短期刚度Bs
1 gk l0 2 = 8 1 g l 2= k 0 8
1 ×16.55×62=74.48kN·m 8 1 ×2.7×62=12.15kN·m 8
f 1.78 ψ 1.1 0.65 t k 1.1 0.65 0.871 ρ 0.033 152.86 tσ e sq （ 混 凝 土 规 范 公 式 7. 1.2 - 2）
不同横截面下挠度计算公式
不同横截面下挠度计算公式
在工程学中，横截面的挠度计算通常涉及到材料力学和结构力
学的知识。
横截面的挠度可以根据不同的载荷情况和横截面形状使
用不同的计算公式。
以下是一些常见情况下的横截面挠度计算公式： 1. 矩形截面梁的挠度计算公式：
对于矩形截面的梁，当受集中力作用时，挠度可以使用以下
公式计算：
δ = (F L^3) / (3 E I)。
其中，δ表示挠度，F表示受到的力，L表示梁的长度，E
表示杨氏模量，I表示横截面的惯性矩。
2. 圆形截面梁的挠度计算公式：
对于圆形截面的梁，当受均布载荷作用时，挠度可以使用以
下公式计算：
δ = (5 F L^4) / (384 E I)。
其中，δ表示挠度，F表示受到的力，L表示梁的长度，E 表示杨氏模量，I表示横截面的惯性矩。
3. 不同载荷组合下的挠度计算：
在实际工程中，梁可能同时受到多种不同的载荷，例如集中力、均布载荷等。
在这种情况下，需要将各种载荷对挠度的影响进行叠加计算，可以使用叠加原理来计算梁的总挠度。
需要注意的是，以上提到的公式仅适用于一些简单的情况，实际工程中可能会涉及到更复杂的载荷和横截面形状，因此在实际工程中，可能需要使用有限元分析等更复杂的方法来计算横截面的挠度。
挠度计算的准确性也受到材料性质、截面形状、边界条件等因素的影响，需要综合考虑多个因素进行分析和计算。
桥墩盖梁施工方案
一、工程概况纵六河桥共三跨,桥跨径布置为10+16+10=36m桥梁中心线线与河道中心线正交。
桥梁总宽35.5米，采用左右两幅桥形式，桥面布置为：0.25m （栏杆）+5.25m （人行道）+3m （非机动车道）+0.5m（机非分隔栏）+7.75m （机动车道）+0.5m （防撞墙）+1m（中央分隔带）+0.5m （防撞墙）+7.75m （机动车道）+0.5m （机非分隔栏）+3m（非机动车道）+5.25m （人行道）+0.25m （栏杆）=35.5m;1、上部结构10m跨板梁梁高0.52m,采用先张法预应力混凝土空心板梁，共68片（其中含边板4片），16m 跨板梁采用先张法预应力混凝土空心板，梁高为0.82m，共34片（其中含边板2片）。
2、下部结构纵六河桥下部结构：桥台为轻型桥台。
桥台桩基采用©800钻孔灌注桩共24根；桥墩桩共24根，同桥台桩基深度33米,1#2#桥墩采用排架式柱式桥墩钢筋混凝土盖梁.盖梁工程数量如下：二、施工进度计划本工程计划从2010年9月1日开工，2010年10月20日完工，其中:1#墩盖梁：2010年9月1日一2010年9月20日2#墩盖梁：2010年9月30日一2010年10月20日1、用于本工程的机械设备见下表：1 、施工流程(1)、施工准备将墩柱顶混凝土浮浆全部凿除，至裸露新鲜骨料为止，并用清水冲刷干净，以保证墩柱与盖梁混凝土结合面良好。
(2)、施工放样测量人员将盖梁轴线放出后，施工人员根据盖梁轴线和盖梁标高安装底模，并调整盖梁底模达到设计标高。
(3)、底模安装底模安装应在跨中预留5~8mm勺上拱度，按抛物线布置，以消除由于承重工字梁受荷载作用而引起下绕曲,盖梁底模标高安装施工误差不大于5mm轴线偏位不大于10mm模板接缝间垫约3mn厚的勺橡胶条或粘胶带，防止接缝露浆造成混凝土麻面，模板安装后均匀涂刷脱模剂。
(4)、安装盖梁钢筋盖梁骨架钢筋可先在钢筋蓬加工成骨架，然后吊到盖梁底模上绑扎成型，钢筋保护层误差不大于5mm(5)、安装侧模安装前,应均匀涂刷脱模剂，侧模与端模侧模与底模之间要保证接缝严密，以保证不漏浆，模板各部位支撑牢固，模板上口横向设置拉杆，可用①25钢筋制作，间距不大于1.0米。
型钢混凝土梁裂缝挠度计算书
KN 1000 N N mm ftk 2.39 b 350mm tw 12mm aa1 150mm
2
m 1m
N mm
2
1 10 Pa N6源自N mm 1 10 N mm
2
2
6 kg m
2
2
Lo 12m
ha 500mm as‘ 80mm
tf 16mm
A‘s 628.3mm
As 1520.4mm
2
正截面受弯承载力计算
aa aa1 tf 2 aa‘ aa1‘ tf 2
由∑N ＝0 求得按照等效矩形考虑的中和轴受压高度：
x 1 最大裂缝宽度验算 Ms 459KN m khaw 34mm hos h as hof h aa1 Aw haw tw tf 2 Aaf bf tf hos 0.72 m kAaw 4.08 10 haw ha 2 tf how h aa1 tf Mc 0.235 b h ftk k khaw haw kAaw k Aw Aw 5.616 10
ho 0.667 m
ρs
As b ho
3
ρ‘s
ρs 6.512 10
3
ρ‘s 2.691 10 ρ‘s ρs Es ρs θ 0.661
θ 2 ( 2 1.6 ) Bs 0.22 3.75
Ec Ic Es Ia Ec
n 4 ds 22mm u 0.626 m u n ds ( 2 bf 2 tf 2 khaw) 0.7 de 4 ρte ( As Aaf kAaw) u 0.5 b h Ms
6.2 钢筋混凝土受弯构件的挠度验算
5.2受弯构件挠度计算
3、短期刚度Bs
短期刚度是指钢筋混凝土受弯构件在荷载短期效应组合 下的刚度值（以 N· mm2 计）。对矩形、 T 形、工字形截面 受弯构件，短期刚度的计算公式为
式中γf′——受压翼缘的加强系数；
f
(b f b) h f bh0
当hf′>0.2h0时，取hf′>0.2h0。
EI——匀质弹性材料梁的截面抗弯刚度
由于是匀质弹性材料，所以当梁截面的尺寸确定后， 其抗弯刚度即可确定且为常量，挠度f与M成线性关系。 对钢筋混凝土构件，由于材料的非弹性性质和受拉区 裂缝的开展，梁的抗弯刚度不是常数而是变化的，其 主要特点如下：
5.2受弯构件挠度计算
2、截面弯曲刚度的概念及其定义
5.2受弯构件挠度计算
1、变形验算目的与要求
受弯构件变形验算目的主要是用以满足适用性。 其主要从以下几个方面考虑： 1. 保证结构的使用功能要求；例如，吊车梁的挠度过大会影响吊 车的正常运行；精密仪器厂房楼盖梁、板变形过大将使仪器设 备难以保持水平等。 2. 防止对结构构件产生不良影响；主要防止结构性能与设计中的 假定不符。例如，支承于砖墙(柱)上的梁，端部梁的转动会引 起支承面积减小，可能造成墙体沿梁顶部和底部出现内外水平 裂缝，严重时将产生局部承压或墙体失稳破坏等。 3. 防止对非结构构件产生不良影响；例如，结构构件变形过大会 造成门窗等活动部件不能正常开启；防止非结构构件如隔墙及 天花板的开裂、压碎或其他形式的损坏等。 4. 保证使用者的感觉在可接受的程度之内。例如防止厚度较小的 板在人们站上去以后产生过大的颤动或明显下垂引起不安全感； 防止可变荷载(活荷载、凤荷载等)引起的振动及噪声对人的不 良感觉等。
5.2 受弯构件挠度计算
矩形截面梁的纯弯曲（ＰＤＦ）
一、实验目的 1．测定纯弯曲下矩形截面梁横截面上正应力、 挠度的分布规律，并与理论值比较；
2．熟悉电测法基本原理和电阻应变仪的使用。
3. 学习多点测量技术。
二、实验仪器 1．多功能试验装臵(50kg
拉压力传感器)；
2. 钢尺、千分表;
3．静态电阻应变仪。
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矩形截面梁的纯弯曲
三、试验原理
矩形截面梁的纯弯曲
四、装置简图及相关尺寸
矩形截面梁的纯弯曲
五、实验步骤
1、安装千分表 将千分表安装于表座上，然后再将表座安装在梁的正
中间的下表面。 2、打开应变仪电源并按红色按钮使应变仪各通道平衡清零；
3、打开计算机电源，双击桌面“武工大应变仪”图标启动 采集分析软件； 4、选择试验：点击菜单“实验选择”→ “电测梁的弯曲 实验”； 5、电脑联机：点击菜单“测量” → “联机实验”，联机 过程结束后微机显示的数据将与应变仪显示数据同步一致。
七、报告书写要求
1、将试验设备详细内容写在报告第一部分（预习 报告）；
2、将梁尺寸参数表与应变片规格参数表及加载结 果记录表写在报告第二部分（实验数据记录）;
3、报告第三部分(计算和分析)要求计算出测点1 至测点5以及挠度的所有结果，并算出相应的误 差大小(理论值、实验值、误差百分比) 。
矩形截面梁的纯弯曲
八、报告计算格式
矩形截面梁的纯弯曲
九、千分表读数方法
小表针(每格0.2mm) 的读数加上大表针 (每格0.001mm)的读 数等于该千分表总的 变形量。
然 后 采 用 等 增 量 法 分 5 级 加 载 ， 每 级 20N ， 每 次 加 载 20N后，点“确认”采集各通道应变数据，并记录下该级 荷载作用下千分表读数。加到100N后，点击“结束”，应 变仪与计算机离线，记录千分表读数，第一次实验结束。 卸载，然后记录下微机采集的纯弯梁五个测点的应变数据。 重复以上方法至少做2次，取数据线性较好者作试验报告。
梁模板验算
2226/13/467.5610143.1mm N f mm N bhMm =<=⨯==ωσ2226/13/467.5610143.1mm N f mm N bh M m =<=⨯==ωσ梁模板验算取框架梁截面尺寸750mm ×400mm 长7800mm 矩形大梁，梁离地面高4250mm ，模板底楞支撑间距1000mm 。
1.抗弯强度验算底模验算：荷载： 底模自重砼自重24×0.4×0.75×1.2=8.64kN/m钢筋自重1.5×0.4×0.75×1.2=0.54kN/m振捣砼荷载2.0×0.4×1.2=0.96kN/m合 计: q=10.498kN/m乘以折减系数0.9,.则q=q 1×0.9=9.448kN/m2.抗弯承载力验算底模下底楞支撑间距1000mm ，是一个等跨多跨连续梁，考虑背楞及竹胶合板长度有限，故按四等跨计算：则 M=K M ·QL 2 = -0.121×9.448×12= -1.143×106N ·mm底模下底楞支撑间距1000mm ，是一个等跨多跨连续梁，考虑背楞及竹胶合板长度有限，故按四等跨计算：则 M=K M ·QL 2 = -0.121×9.448×12= -1.143×106N ·mmm kN /358.02.1112.04.02533.8=⨯⨯⨯+3.抗剪强度计算：V=K V ·qL= -0.620×9.448×1= -5.558KN剪应力∴满足承载力要求。
4.2.10.2.侧模验算1.荷载计算 假设T=20℃，β1=1.2，β2=1，V=2m/h 则侧压力：取小值 F 2=14.4KN/m 2乘以分项系数：F=14.4×1.2=17.28kN/m 2振捣砼时产生的荷载： 4kN/m 2乘以分项系数：4×1.4=5.6kN/m 2以上两项荷载合计：17.28+5.6=22.88kN/m 2根据力档间距为1000mm 的条件，则线荷载为：22.88×1.0=22.88 KN/m乘以折减系数则q=22.88×0.9=20.59KN/m2.抗弯强度验算：仍按四等跨验算，其中K M ·K V 和K ω与前述相同，设侧模板厚为112/3mm则：M=K M ·qL 2= -0.121×20.59×10002=2491.63×103N ·mm3.抗剪强度验算：2223/13/7.103112100061063.2491mm N f mm N w M m =<=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯==σ222212101/4.14624/19.51212.115202002422.022.0m KN H F m KN V F C C =⨯===⨯⨯⨯+⨯⨯==γββτγ223/4.1/39.01124002210858.5323mm N f mm N bh V v =<=⨯⨯⨯⨯⨯==τ2/535.389.4804.09.13mm N f A N =⨯=≤=φσ V=0.620Ql=0.620×20.59×1000=12.766KN剪应力挠度验算：取侧压力F=17.28KN/m 2，化为线荷载17.28×1=17.28KN/m乘以折减系数q=0.9×17.28=15.55 KN/m∴满足要求。
5.5挠度与裂缝
规范规定，根据具体使用要求，构件除进行承 载力计算外，尚需进行变形和裂缝宽度计算，把按 规定所求得的变形及裂缝宽度控制在允许值范围内。
它们的设计表达式分别为： wmax≤wlim
fmax≤［f］
本节内容
1 钢筋混凝土构件裂缝宽度的计算
2 受弯构件挠度计算
1 钢筋混凝土构件裂缝宽度的计算 1.1 裂缝出现和开展过程
当构件的实际情况与制dmax图的条件不同时，应 对σsk进行调整。
图8.5
① 判断构件情况（包括c) ② 计算ρte和σsk ③ 由ρte和σsk查图8.5得出不需作裂缝宽度验算的 纵筋最大直径dmax
④ 比较实配纵筋直径与dmax，若d≤dmax时，不需 作裂缝宽度验算；反之，则应作裂缝宽度验算。
规范规定，钢筋混凝土受弯构件在正常使用极限 状态下的挠度，可根据构件的刚度用结构力学的方法 计算。例如承受均布荷载qk的钢筋混凝土简支梁，其 跨中挠度为（B
5M k l02 5qk l04 f 48B 384 B
通常用Bs表示钢筋混凝土梁在荷载效应的标准组 合作用下的截面抗弯刚度，简称短期刚度；而用B表 示在荷载效应标准组合并考虑荷载长期作用影响的截 面抗弯刚度，可简称为长期刚度。
ρte=As/Ate=0.0448
ψ=0.936 wmax=0.166mm＜wlim=0.2mm(
【例8.2】某简支梁计算跨度l0=6.0m，截面尺寸 b×h=250mm×700mm，混凝土强度等级为C20，钢筋为 HRB335级，承受均布恒荷载标准值（含梁自重） gk=19.74kN/m，均布活荷载标准值qk=10.5kN/m。经正截面 承载力计算，已配置纵向受拉钢筋为 2φ22+2φ20(As=1388mm2）。该梁处于室内正常环境，试 【解】（1） 求荷载效应的标准组合值下，跨中截面的弯 矩设计值Mk。 恒荷载标准值引起的跨中最大弯矩： Mgk=1/8gkl02=88.83kN· m
挠 度 验 算
图1.60 适筋梁M- φ关系曲线
• 第Ⅰ阶段，裂缝出现以前，梁基本为弹性工作阶 段，弯矩和曲率大致为直线关系；裂缝即将出现 时由于受拉区混凝土产生塑性变形，使刚度有所 降低，直线转为曲线，此时梁的截面刚度近似取 为0.85EcI0，Ec为混凝土的弹性模量，按附表10 取值；Ⅰ0为换算截面的惯性矩。
说明，平均应变εsm、εcm符合平截面假定(图1.62)。
图1.62 受弯构件截面的应力、应变分布 (a)中和轴沿梁长的变化；(b)裂缝截面实际应力分
布；
(c)裂缝截面等效应力；(d)截面应变分布
• (1) 短期刚度Bs计算公式推导 • 1) 截面刚度与曲率的理论关系。在荷载效应的标
准组合下，刚度与曲率的关系为
度为
• f＝5ql4/384EI＝5Ml2/48EI(均布荷载)； f＝ Pl3/48EI＝Ml2/12EI(集中荷载)
• 统一表达为 f＝c·Ml2/EI • 式中：c——与荷载类型和支承条件有关的荷载效
应系数； • EI——梁的截面抗弯刚度，对于匀质弹性材料是
一常数； • M——荷载产生的最大弯矩； • r——截面变形后的曲率半径； • φ——截面曲率。
• Mk/Bs＝φ＝1/r＝ (εsm+ εcm) /h0 (4.67)
• 2) 应变。钢筋的平均拉应变和混凝土的平均压应 变是用裂缝截面处的应变乘以不均匀系数得到， 由于混凝土产生了塑性变形，引入变形模量E＝ vEc(v为混凝土的弹性特征值)，则对于裂缝截面 混凝土的应变
• εc＝ σc /Ec′＝ σc/vEc (4.68)
• 为了与匀质弹性材料的截面抗弯刚度EI区别，用B 表示钢筋混凝土受弯构件的截面抗弯刚度，并用 Bs表示在荷载效应标准组合短期作用下的抗弯刚 度，简称“短期刚度”；B即是考虑荷载长期作 用的影响后截面的抗弯刚度。图1.60表示适筋梁 的M-φ关系曲线，曲线可分三个阶段，从图中可 看出，随荷载的变化，截面抗弯刚度也在不断变 化。
混凝土梁的最大挠度标准
混凝土梁的最大挠度标准一、前言混凝土梁是建筑结构中常见的构件，具有承载建筑物自重和荷载的重要作用。
然而，在实际工程中，混凝土梁会受到各种因素的影响而产生挠度，如果挠度过大，就会影响建筑物的正常使用和安全性。
因此，制定混凝土梁的最大挠度标准是非常必要的。
二、混凝土梁挠度的影响因素混凝土梁的挠度受到多种因素的影响，主要包括以下几个方面：1. 混凝土强度：混凝土强度越高，混凝土梁的挠度就越小。
2. 钢筋配筋率：钢筋配筋率越高，混凝土梁的挠度就越小。
3. 荷载作用：荷载作用是混凝土梁挠度的主要原因，荷载作用越大，混凝土梁的挠度就越大。
4. 支座刚度：支座刚度越大，混凝土梁的挠度就越小。
5. 梁的截面形状：不同形状的梁受荷载作用后的挠度不同，一般来说，矩形梁的挠度最小。
三、混凝土梁最大挠度标准的制定混凝土梁的最大挠度标准应该根据实际工程情况来制定，一般需要考虑以下几个方面：1. 建筑物的用途和荷载等级：不同用途的建筑物，荷载等级也不同，因此混凝土梁的最大挠度标准也应该根据建筑物的用途和荷载等级来制定。
2. 混凝土强度和钢筋配筋率：混凝土强度和钢筋配筋率是影响混凝土梁挠度的重要因素，因此混凝土梁的最大挠度标准也应该考虑这两个因素。
3. 梁的跨度：不同跨度的混凝土梁受荷载作用后的挠度也不同，因此混凝土梁的最大挠度标准还应该根据梁的跨度来制定。
4. 梁的截面形状：不同形状的梁受荷载作用后的挠度也不同，因此混凝土梁的最大挠度标准还应该考虑梁的截面形状。
5. 超限挠度的影响：在实际工程中，混凝土梁的挠度可能会超过最大挠度标准，因此还需要考虑超限挠度对建筑物安全性的影响。
四、混凝土梁最大挠度标准的具体制定根据上述影响因素和制定原则，可以得出以下混凝土梁最大挠度标准：1. 建筑物用途和荷载等级不同，混凝土梁最大挠度标准也应该不同，一般来说，公共建筑物的混凝土梁最大挠度标准为1/500，住宅建筑物的混凝土梁最大挠度标准为1/600。
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矩形梁挠度计算
(1).基本资料
挠度验算:L1
弹性挠度fd ＝2.000mm 中梁弹性刚度增大系数Bk ＝1.000
截面尺寸为b×h =200×500 mm
受拉纵筋总面积As = 628 mm
受压纵筋总面积As’= 490 mm
钢筋弹性模量为Es = 200000 N/mm
钢筋弹性模量为Ec = 30000 N/mm
纵向受拉钢筋合力点至截面近边的距离as ＝35mm ho ＝465mm
混凝土抗拉强度标准值ftk ＝ 2.01N/mm
按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mk ＝60.00kN·m
按荷载效应的准永久值组合计算的弯矩值Mq ＝50.00kN·m
设计时执行的规范：
《混凝土结构设计规范》（GB 50010－2002），以下简称混凝土规范
(2).挠度验算
弹性刚度Bc
Bc ＝Bk * Ec * I ＝1.00*30000.00*200*500^3/12 ＝62500.00kN·m
按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率ρte，按下式计算：
ρte ＝As / Ate （混凝土规范8.1.2－4）
Ate ＝0.5 * b * h ＝0.5*200*500 ＝50000mm
ρte ＝As / Ate ＝628/ 50000 ＝0.01256
按荷载效应的标准组合计算的纵向受拉钢筋的等效应力σsk，按下列公式计算：
受弯：σsk ＝Mk / (0.87 * ho * As)
σsk ＝60000000/(0.87*465*628) ＝236N/mm
裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψ，按混凝土规范式8.1.2－2 计算：
ψ ＝1.1 - 0.65 * ftk / (ρte * σsk) ＝1.1-0.65*2.01/(0.013* 236) ＝0.660
钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αE
αE ＝Es / Ec ＝200000/ 30000 ＝6.67
受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf’
γf’ = 0
纵向受拉钢筋配筋率ρ ＝As / (b * ho) ＝628/(200*465) ＝0.00675
钢筋混凝土受弯构件的Bs 按混凝土规范式8.2.3－1 计算：
Bs ＝Es * As * ho ^ 2 / [1.15ψ + 0.2 + 6 * αE * ρ / (1 + 3.5γf’)]
＝200000*628*465^2/[1.15*0.660+0.2+6*6.667*0.00675/(1+3.5*0.000)] =22104.979 KNm 考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ
ρ’ ＝As’ / (b * ho) ＝490/(200*465) ＝0.00527
按混凝土规范第8.2.5 条，θ ＝1.688
受弯构件的长期刚度B，可按混凝土规范式8.2.2 计算：
B ＝Mk / [Mq * (θ - 1) + Mk] * Bs ＝60/[ 50*(1.688-1)+ 60]*22104.98 = 14050.53 KNm
挠度 f ＝fd * Bc / B ＝2.00*62500.00/14050.53＝8.90mm
f / Lo ＝1/ 899。