《线性代数》应用例题

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(完整版)线性代数复习——计算或应用题.doc

一21. 设 α1, α2, α3 线性无关，证明β112，β2α2α3 ， β3 α3 α1也线性无关。

1 1 1 022.计算行列式11 0 1 。

1 0 1 10 1 1 123. 1 1 0 1 2利用逆矩阵解矩阵方程0 1 1 X -1 1 。

1 0 1 1 -124.1 a 1 2已知A 0 1 a 2 ，求 a 的值，使得 r ( A)2。

1 0 1 225. 求向量组 α11111 ， α2 1 ， α3 2 ， α4 0 的秩和一个极大线性无关组，并111把其余向量用此极大线性无关组线性表示。

26. 求矩阵 A =21的特征值与特征向量。

1 2x 1 4 x 2 3x 3 027.讨论当取何值时，齐次线性方程组2 x 1 3x 2 x3 0 有非零解，并在有非零解时求其x 1x 2 2 x 3通解。

参考答案： 21. 如果k1 1k 22k 33O ，k 1 ( 12)k 2(23)k 3(31) O ，于是(k 1 k 3 ) 1 (k 1k 2 ) 2 (k 2 k 3 ) 3 O ，由 1 , 2 ,k 1k 3 0, 3线性无关知k 1 k 2 0,k 2k 30,此方程组只有零解 k 1 0, k 2 0, k 30 ，因此 1, 2,3 线性无关。

1 1 1 01 1 1 01 10 1 1 1 0 11 10 10 0 1 122. = =101=10 1=-01 131011 0 1 0 10 11 10 1111 110 3 00 31 1 0 11 -1 1123.0 1 1 1 1 -1 故1 0 12 -11 11 1 0 12 1-1 1 1 23 01X0 1 1 -1 1 1 11-1-11 1 -1 41 0 11 -12-1 111 -12 -1 -21 a 1 20 a0 0 1 0 1 224.A01 a2 0 1 a 2 0 1 a 2 1 01 2 1 01 20 a 0 0当 a=0 时， r (A) 2。

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a= | i－j|得n阶行列式、ij解方法1 由题设知,=0,,,故其中第一步用得就是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用得每列加第列.方法2=例2、设a, b, c就是互异得实数, 证明:得充要条件就是a + b + c =0、证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y2前得系数、于就是=所以得充要条件就是a + b + c = 0、例3计算D=解: 方法1 递推法按第1列展开,有D= x D+(－1)a = x D+ a由于D= x + a,,于就是D= x D+ a=x(x D+a)+ a=xD+ ax + a== xD+ ax++ ax + a= 方法2 第2列得x倍,第3列得x倍,,第n列得x倍分别加到第1列上===方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式.Dx k= x( + +++a+x)=方法4 ++++=(－1)(－1)a+(－1)(－1) ax++(－1)(－1)ax +(－1)( a+x) x=例4.计算n阶行列式:()解采用升阶(或加边)法.该行列式得各行含有共同得元素,可在保持原行列式值不变得情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)得元素,使得下一步化简后出现大量得零元素.=这个题得特殊情形就是=可作为公式记下来.例5.计算n阶“三对角”行列式D=解方法1 递推法.DD—D－D即有递推关系式D=D－D (n3)故＝递推得到＝＝＝＝而,＝＝,代入得(2、1)由递推公式得＝＝αD ＋＝＝＋＋＋＝方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式D=＋上式右端第一个行列式等于αD,而第二个行列式=β于就是得递推公式,已与(2、1)式相同.方法3 在方法1中得递推公式D=D－D又因为当时D=====D= =-2= =于就是猜想,下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式成立,假设当nk 时成立.当n=k+1就是,由递推公式得D=D－D=—=所以对于nN,等式都成立例6.计算阶行列式:其中.解这道题有多种解法.方法1 化为上三角行列式其中,于就是.方法2 升阶(或加边)法方法3 递推法.将改写为+由于因此=为递推公式,而,于就是======。

线性代数行列式经典例题22998

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =-L L ，故011102120n n nD n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L 011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)0201n n n n n n ------=----L L L L M O O L M L其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 011102120n n n D n n --=--L L M OL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ----例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明:的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察德蒙行列式:=行列式即为y 2前的系数. 于是 =所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D n =121100010n n n x x a a a x a ----+K K M M M M K解：方法1 递推法按第1列展开，有D n = x D 1-n +（－1）1+n a n 11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1，2211x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x 1-n D 1+ a 2x 2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2倍，K ，第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k x x x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x 1-n k n = x 1-n (1-n n xa + 21--n n x a +K +x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M M L=（－1）1+n （－1）1-n a n +（－1）2+n （－1）2-n a 1-n x+K +（－1）12-n （－1）a 2x2-n +（－1）n2( a 1+x) x1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4．计算n 阶行列式：11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．12112122121000n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来．例5．计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋解方法1 递推法．D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+，2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++，代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ （2.1）由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ，而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于是得递推公式1nn n D D αβ-=+，已与（2.1）式相同．方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于是猜想11n n n D αβαβ++-=-，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当n ≤k 时成立．当n=k+1是，由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +，等式都成立例6．计算n 阶行列式：12111111111n na a D a ++=+LL M M M L其中120n a a a ≠L ．解这道题有多种解法．方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，于是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L ．方法2 升阶（或加边）法12111101*********1n na D a a +=++L L L M M M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法．将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L+1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式，而111D a =+，于是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。

线性代数例题

例题例1、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143022011B ，试计算：1）BA AB -；2）22B A -；3）))((A B B A --；4）B A T2。

解：1）;4189332141,6158228114,.2317116055⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=BA AB BA AB 2）22B A -;7263450149171402201181911472158⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3）))((A B B A --;100510182122100143022100143022⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4）B A T2⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=412168223462220。

例2、求D=30124025312613442-----解：D 1812341358161812034130126158160-----=------= 14418120202303244-=----=求D=1111111111111111--- 解：D 82000020000201111-=---=例3、设A 为3阶方阵，且2=A ，则=-12A 4，=*A 4。

例4、设三阶方程B A ,满足关系式，BA A BA A +=-61，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7/10004/10003/1A ，则=B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛123。

例5、设A 为3阶方阵，且2=A ，求*123A A --的值。

解：因为,211*--==A A A A 所以21)1(432313111*1-=-=-=-=------A A A A A A。

例6、设矩阵B A ,满足如下关系式B A AB 2+=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A ，求矩阵B 。

解：A B E A B A AB =-∴+=)2(,2 。

大一线性代数知识点例题

大一线性代数知识点例题1. 矩阵运算给定矩阵 A = [2 1; 3 4], B = [5 6; 7 8]，计算以下运算：a) 2A + 5Bb) ABc) BA2. 矩阵消元给定矩阵 C = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，通过列消元将其转化为矩阵 RREF。

3. 线性方程组求解给定线性方程组：2x + 3y - z = 14x + 2y + z = -2x - y + 2z = 3求解上述线性方程组的解集。

4. 向量空间以下向量组是否为向量空间？如果是，证明其为向量空间；如果不是，解释原因。

a) V = {(x, y) | x + y = 1}，其中 x 和 y 是实数。

b) V = {(x, y) | x^2 + y^2 = 1}，其中 x 和 y 是实数。

5. 线性变换给定线性变换 T：R^2 → R^3，使得 T((1, 0)) = (2, 1, 3) 和T((0, 1)) = (-1, 2, 0)。

a) 计算 T((3, 2))。

b) 判断 T 是否为一一映射。

6. 特征值和特征向量给定矩阵 D = [4 1; 2 3]，求其特征值和特征向量。

7. 内积和正交性给定向量 A = (3, -1, 2) 和向量 B = (-2, 5, 1)。

a) 计算 A 和 B 的内积。

b) 判断 A 和 B 是否正交。

c) 如果 A 和 B 是正交的，计算它们的夹角。

8. 最小二乘法给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 4)，求使拟合的直线 y = ax + b 与这些数据点的距离最小化的最佳拟合直线。

以上是大一线性代数的一些知识点例题，通过这些例题的练习，可以加深对线性代数的理解，提升解题技巧。

希望能够为你的学习提供一些帮助。

线性代数应用题总结分类及经典例题

线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。

以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。

2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。

3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。

线性代数例题讲解学习

线性代数例题[ 1]行列式例1：若1, 2, 3, 1, 2都是四维列向量，且四阶行列式「231 m,, 1 2 2 3|门，四阶行列式3 2 11 2等于多少？例2：设A是n阶方阵，且A 0，则A中()(A) 必有一列元素全为零；(B) 必有两列元素成比例；(C )必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.例3:设A 佝»3 3，A j为a j的代数余子式，且A j a j，并且0，求 A.例4:设四阶方阵A (a j)44，f (x) E A，其中E是n阶单位矩阵，求：(1) 4的系数；(2) 3的系数；(3)常数项.例5:设A为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，AA T E，A 0，计算A E .例6:设A，B为n阶正交矩阵，若 A B 0，证明A B是降秩矩阵.1 0 0例1:设A 10 1，证明当n 3时，恒有A n A n 2A E .0 1 0111 例2:设(1,2,3,4), (1,—, T, T)，A,计算A .2 3 4例3:设三阶方阵A , B满足关系A 1BA 6A BA，且A求B1例4:设A是三阶方阵，|A -，求(3A) 1 2A*例5：证明：若实对称矩阵A满足条件A20,则A O例6:设A E '，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，证明：(1)A2 A的充要条件是’1 ；(2)当’1时，A是不可逆矩阵.例7:已知n阶方阵A满足2A(A E) A3，求(E A)10000100 1例8:设A*，且ABA 1BA 1 3E，求B.101003081 0 0例9:设f (x)1x2 x100 典x ，A0 0 0，求f(A), f (f (A)) 0 1 0例10:设A,B是n阶方阵，且满足AB A B，证明：AB BA例11:设A 是n 阶方阵，是否存在B E ，使得AB A ，若存在B ，指出例13：设A 是3阶方阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第列加到第三列得C ，则满足AQ C 的可逆矩阵为0 1 00 1 00 1 0 0 1 1(A )1 0 0（B ） 1 0 1（C ） 1 0 0 （D ） 1 0 01 0 10 0 11 10 0 1例14：设A,B 是n 阶方阵，已知B 可逆，且满足A 2 AB B 2 0 ,证明A和A B 都是可逆矩阵，并求它们的逆一 1例16：求n 阶行列式例17：设A 是n 阶方阵，且存在正整数m ，使A m 0，又B 是n 阶可逆矩阵，证明矩阵方程AX XB 只有零解.an a 12 a 13a 21 a 22 a 例12：设Aa 31 a 32 a33a 41 a 42 a430 0 0 1 0 1 0 0PP 20 0 1 0 1 0 0 0其中A 可逆，则 B 1（）a 14 a 14 a 13 a 12 ana 24a 24 a 23 a 22 a 21，Ba 34 a 34 a 33 a 32 a 31a 44 a 44 a 43 a 42 a 411 1(A)A PR ； (B)R A P 2 ；1 1(G P 1P 2A ； (D)P 2A R .例15：设A,C 分别是m 阶和n 阶非奇异方阵, B 是m n 矩阵，证明: （1） M A B 为可逆矩阵；（2）M0 CA 1BC 1中所有元素的代数余子式的和求B 的办法，若不存在，说明理由10 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 1例18:( 1)设A,B是n阶方阵，且AB 0，证明：R(A) R(B) n(2)设 A 是n 阶方阵，且A2 A 2E，证明：R(2E A) R(E A) n1 2 3例19:已知Q 2 4 t ，P为三阶非零矩阵，且PQ 0,则()3 6 9(A)t 6时，P的秩必为1；(B)t 6时，P的秩必为2；(C) t 6时，P的秩必为1；(D)t 6时，P的秩必为2.例20：设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中n m，若AB E，证明B的列向量线性无关.例21：求n(n 2)阶方阵A的秩，其中a b bb a bAb b aA B例22：求设A,B,C,D是和n阶方阵，G ，且C DAC CA, AD CB，又行列式A 0，求证：n R(G) 2n.例23：设A是m n矩阵，B是n s矩阵，并且R(A) n,证明：R(AB) R(B)例24：设n维列向量组1, 2线性无关，向量组t可用s线性表示，表示矩阵为C，证明:(1) R( 1, 2, ，t) R(C)(2)当t s时，有s线性无关C是可逆矩阵.的转置.证明：（1）秩r（A） 2⑵若,线性相关，则秩r（A） 2（2008年数学一）例26：设AB均为2阶方阵，A*, B*分别为AB的伴随矩阵，若A 2,B 3, O A则分块矩阵B O的伴随矩阵为O*3B O*2B(A)"O (B)"O2A3AO*3A O2A（C）心O(D) *O2B3B（答案：B）（2009年数学一、例25:设,为三维列向量，矩阵A T,其中T分别是例1:设向量组例2:设向量组例3:设向量组3线性无关，证明向量组1 1也线性无关.关，则向量可由向量组例4：设向量佝&,m线性无关，讨论向量组1的线性相关性.m线性无关，向量组2, ，m线性表示.m?线性相,a n）'，A为n阶矩阵，如A m 1A m，则，A ,A2, ,A m1线性无关.例5:设A为n阶矩阵，证明R（A n） R（A n1）例6：设向量组m1（m 3）线性相关，向量组2，3? ，m线性无关，问（1）1能否由3? ，m 1线性表示？（2）m能否由1, 2，，m 1线性表示?例7：设向量组I线性无关，向量1可由它线性表示，向量2不能由它线性表示，证明I1个向量1, 2, ，l,k 1 2线性无关.例8：设向量组A {2, ，m}与向量组B { I}的秩相同，且向量组A可由向量组B线性表示，证明A与B等价.例9：设A为n阶矩阵, s是一组n维向量，满足A i i 1 i , i 2,3, ,S，并且 1 0，证明向量组s线性无关.例10：设3是线性无关的5维向量组, 3也是5维向量组,满足(i, j) 0,i, j 1,2,3。

线性代数应用题库(含答案)

线性代数应用题库(含答案)本题库旨在帮助学生巩固和应用线性代数的知识，并提供详细的解答。

题库包括以下几个主题：行列式1. 求解以下行列式的值：$$\begin{vmatrix}3 & 1 \\-2 & 4\end{vmatrix}$$- 答案：142. 计算以下行列式的值：$$\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\3 & -1 & 2 \\4 & 3 & -1\end{vmatrix}$$- 答案：-24矩阵运算1. 给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4\end{bmatrix}$ 和向量 $x = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$，求 $Ax$ 的结果。

- 答案：$Ax = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \end{bmatrix}$2. 给定矩阵 $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1\end{bmatrix}$ 和矩阵 $C = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3\end{bmatrix}$，求 $BC$ 的结果。

- 答案：$BC = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & -3 \end{bmatrix}$ 特征值与特征向量1. 给定矩阵 $D = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$，求其特征值和对应的特征向量。

- 答案：特征值为 5 和 2，对应特征向量为 $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$2. 已知矩阵 $E = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4\end{bmatrix}$ 的特征值为 2 和 5，分别求其对应的特征向量。

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式、解方法1 由题设知,11a =0,121a =,1,1,n a n =-L L ,故011102120n n n D n n --=--L L MOL1,1,,2i i r r i n n --=-=L011111111n ----L L M O L1,,1j n c c j n +=-=L 1211021(1)2(1)021n n n n n n ------=----LL L L M O O L M L其中第一步用的就是从最后一行起,逐行减前一行.第二步用的每列加第n 列. 方法2011102120n n n D n n --=--L L MOL11,2,,1111111120i i r r i n n n +-=----=--L L L MOL12,,1001201231j c c j nn n n +=---=---L L L MOL=12(1)2(1)n n n ---- 例2、设a , b , c 就是互异的实数, 证明: 的充要条件就是a + b + c =0、证明: 考察范德蒙行列式:=行列式即为y 2前的系数、于就是=所以的充要条件就是a + b + c = 0、例3计算D n =121100010n n n x xa a a x a ----+K KM M M M K解: 方法1 递推法按第1列展开,有D n = x D 1-n +(－1)1+n a n11111n x xx-----O O= x D 1-n + a n由于D 1= x + a 1,2211x D a x a -=+,于就是D n = x D 1-n + a n =x(x D 2-n +a 1-n )+ a n =x 2D 2-n + a 1-n x + a n =L = x1-n D 1+ a 2x2-n +K + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++L方法2 第2列的x 倍,第3列的x 2倍,K ,第n 列的x1-n 倍分别加到第1列上12c xc n D += 21121010010000n n n n x x xa xa a a x a -----++K K K M M M M K213c x c +=32121231010*********n n n n n n x x x a xa x a a a a x a --------+++K K KMMMM MK=L L =111x fx---OO On r =按展开1(1)n f+-1111n x xx----OO =111n n n n x a x a x a --++++L方法3 利用性质,将行列式化为上三角行列式.D n21321111n n c c x c c x c c x-+++=L1122000000000n n nnn n nx x x a a a a a a k xx x ---+++KK KM M M M Kn =按c 展开x1-n k n = x1-n (1-n n x a + 21--n n x a +K+x a 2+a 1+x) =111n nn n a a x a x x --++++L方法4 n r nD =按展开1(1)n na +-1000100001x x ---K K M M M M K+21(1)n n a +--0000101x x --K K M M M M K+K +212(1)n a --10000001x x --K K M M M M K+21(1)()na x -+10000000x x x-K K M M M ML=(－1)1+n (－1)1-n a n +(－1)2+n (－1)2-n a 1-n x +K +(－1)12-n (－1)a 2x 2-n +(－1)n 2( a 1+x) x 1-n= 111n nn n a a x a x x --++++L例4. 计算n 阶行列式:11212212n n n n na b a a a a b a D a a a b ++=+L L M M M L(120n b b b ≠L )解采用升阶(或加边)法.该行列式的各行含有共同的元素12,,,n a a a L ,可在保持原行列式值不变的情况下,增加一行一列,适当选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后出现大量的零元素.1211212212100n n n n n na a a ab a a D a a b a a a a b +=++L L L M M M M L升阶213111n r r r r r r +---=L 12121100100100n na a ab b b ---L L L M M M M L1112,,1j j c c b j n -+=+=L 1112111210000000n na a a a ab b b b b +++L L LL M M M M L=1121(1)n n na ab b b b b +++L L 这个题的特殊情形就是121212n n n n a x a a a a x a D a a a x++=+LL M M M L=11()nn i i xx a -=+∑可作为公式记下来.例5.计算n 阶“三对角”行列式D n =00100010001αβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK＋解方法1 递推法.D n1=按c 展开()αβ+D 1-n —(1)000010001n αβαβαβαβ-++K K M M M M M K1=按r 展开()αβ+D 1-n －αβD 2-n即有递推关系式 D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n (n ≥3) 故 1n n D D α--＝12()n n D D βα---递推得到 1n n D D α--＝12()n n D D βα---＝223()n n D D βα---＝L ＝221()n D D βα--而1()D αβ=+,2D ＝β+α1αββ+α＝22ααββ++,代入得1n n n D D αβ--=1n n n D D αβ-=+ (2、1)由递推公式得1n n n D D αβ-=+＝12()n n n D ααββ--++＝α2D2-n ＋1n n αββ-+＝L＝nα＋1n αβ-＋K ＋1n n αββ-+＝时＝，当时，当－－βαβα1)α(n αβαβ111≠⎪⎩⎪⎨⎧++++n n n方法2 把D n 按第1列拆成2个n 阶行列式D n =00010010001ααβαβαβαβαβ++K K KM M M MMK＋＋00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K上式右端第一个行列式等于αD 1-n ,而第二个行列式00100010000001βαβαβαβαβαβαβαβ+++K K KM M M MMK K12,,i i c ac i n--==L 000010000100001ββββK K KM M M M M K=βn 于就是得递推公式1nn n D D αβ-=+,已与(2、1)式相同.方法3 在方法1中得递推公式D n =()αβ+D 1-n －αβD 2-n又因为当αβ+时 D 1=αβ+=βαβα--2221D αβαβαβ+=+=2()αβ+-αβ=22ααββ++=βαβα--33D 3=βααββααββα+++110=3()αβ+-2αβ()αβ+ = ()αβ+22()αβ+=βαβα--44于就是猜想11n n n D αβαβ++-=-,下面用数学归纳法证明.当n=1时,等式成立,假设当n ≤k 时成立. 当n=k+1就是,由递推公式得D 1+k =()αβ+D k －αβD 1-k=()αβ+βαβα--++11k k —αββαβα--k k =βαβα--++22k k所以对于n ∈N +,等式都成立例6. 计算n 阶行列式:12111111111n na a D a ++=+L L M M M L其中120n a a a ≠L .解这道题有多种解法. 方法1 化为上三角行列式nD 12,,i r r i n-==L 1121111n a a a a a +--L M O112,,j ja c c a j n+==L 21100nb a a L M O其中11211ni i b a a a ==++∑1111n i i a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑,于就是n D 12111nn i i a a a a =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑L .方法2 升阶(或加边)法121111*********111n na D a a +=++L L LMM M M L升阶12,3,,1i r r i n -=+=L 121111100100100na a a ---L L L M M M M L11111121,2,,1121111111j jni jc c a nn j n i i na a a a a a a a +=+=-=+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑L LL O方法3 递推法.将n D 改写为1211101110111n na a D a ++++=+LL M M M Ln =按c 拆开12111111111a a ++L L M M M L +1211011011na a a ++L L M M M L由于12111111111a a ++L L M M M L1,,1i n r r i n -=-=L 12111a a L121n a a a -=L1211011011na a a ++L L M M M Ln =按c 展开1n n a D -因此n D =1n n a D -121n a a a -+L 为递推公式,而111D a =+,于就是n D =1n n a D -121n a a a -+L =12n a a a L 11211n n n D a a a a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭L=12n a a a L 2122111n n n n D a a a a a ---⎛⎫++⎪⎝⎭L =L L=12n a a a L 11211n D a a a ⎛⎫+++⎪⎝⎭L =12n a a a L 121111n a a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L。

线性代数试题及答案

线性代数试题及答案1. 题目：矩阵运算题目描述：给定两个矩阵A和B，计算它们的乘积AB。

答案解析：矩阵A的维度为m x n，矩阵B的维度为n x p，则矩阵AB的维度为m x p。

矩阵AB中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的内积来计算，即AB(i,j) =∑_{k=1}^{n}A(i,k)B(k,j)。

2. 题目：矩阵转置题目描述：给定一个矩阵A，求其转置矩阵AT。

答案解析：如果矩阵A的维度为m x n，则转置矩阵AT的维度为n x m。

转置矩阵AT中的每个元素都可以通过矩阵A的第i行第j列的元素来计算，即AT(j,i) = A(i,j)。

3. 题目：线性方程组求解题目描述：给定一个线性方程组Ax = b，其中A是一个m x n的矩阵，x和b是n维向量，求解x的取值。

答案解析：假设矩阵A的秩为r，则根据线性代数的理论，线性方程组有解的条件是r = rank(A) = rank([A | b])。

若方程组有解，则可以通过高斯消元法、LU分解等方法求解。

4. 题目：特征值与特征向量题目描述：给定一个矩阵A，求其特征值和对应的特征向量。

答案解析：设λ为矩阵A的特征值，若存在非零向量x，满足Ax = λx，则x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

特征值可以通过解特征方程det(A - λI) = 0求得，其中I为单位矩阵。

5. 题目：行列式计算题目描述：给定一个方阵A，求其行列式det(A)的值。

答案解析：行列式是一个方阵的一个标量值。

行列式的计算可以通过Laplace展开、初等行变换等方法来进行。

其中，Laplace展开是将行列式按矩阵的某一行或某一列展开成若干个代数余子式的和。

6. 题目：向量空间与子空间题目描述：给定一个向量空间V和它的子集U，判断U是否为V的子空间。

答案解析：子空间U必须满足三个条件：（1）零向量属于U；（2）对于U中任意两个向量u和v，它们的线性组合u+v仍然属于U；（3）对于U中的任意向量u和标量c，它们的数乘cu仍然属于U。

线性代数————第3章：线性方程组

线性代数————第3章：线性方程组一、例题解析：1．单项选择题（1）向量组[][][][]αααα1234110100111001====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（）。

A. αα12,B. αα24,C. ααα134,,D. ααα123,, 解：因为向量组ααα123,,线性无关，而向量组ααα134,,线性相关，所以原向量组的极大线性无关组是ααα123,,。

正确答案：D（2）设线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000103006211041231，则此线性方程组的一般解中自由元的个数为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4解：因为方程组中未知量个数是4，增广矩阵的秩)(B A r =3，所以一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r = 4-3=1 所以，线性方程组的一般解中自由元的个数为1。

正确答案：A （3）n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是（）。

A. n A r =)(B. n A r >)(C. n A r <)(D. )(A r 与n 无关解：n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是n A r >)( 正确答案：C（4）设线性方程组B AX =的两个解21,X X )(21X X ≠，则下列向量中（）一定是B AX =的解。

A. 21X X +B. 21X X -C. 212X X -D. 122X X - 解：因为B B B AX AX X X A =-=-=-22)2(1212，所以122X X -是线性方程组B AX =的解。

正确答案：D2．填空题（1）一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性。

解：设0, m αα,,1 为一组n 维向量，取00≠k ，01===m k k ，则0k 0 +m m k k α++α 11= 0由定义可知，向量组0, m αα,,1 线性相关。

线性代数第一章典型习题

0
0 0 x an
(x ai )( x aj )
i 1 j 1
i n
j n
3. 行列式按某一行(列)展开(降阶法)：例 3：计算 n 阶行列式
2 2 3 D
1 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 n 1 2 2 2 2 2 n
2 2 1 1 3
3 2 2 1 1
4 1 4 2 5
5 1 5 27 2 0
求 A41+ A42+ A43 ;
A44+ A45
解：由条件得 A 41 + A42 + A43 +2( A44 + A45 ) 27
2( A 41 + A42 + A43 ) + A44 + A45 0 解得 A41+ A42+ A43= -9 , A44+ A45=18
以下用归纳法：
，结论成立；当 n=1 时， D1 假设对 k<n 的自然数成立，则
Dn ( ) Dn Dn 1 2
n n n 1 n 1 n 1 n 1 ( )
x a1 D a1 a1
x a i x a i D x a i
i 1 i 1 i n i 1 i n i n
a1 a2 x a2 a2 x a2
a3
an an an x
解：将各列加到第一列得
a1 x a2 a2 a3 a2 a2 x x an an an
7.加边法(升阶法)：例 7：证明
1 a1 1 Dn 1 1

线性代数解析及例题

.
由此可见
.
例4设
，
，，
证明D=D1D2.
证记，
其中
dij=aij(i,j=1,2,…，k)；
dk+i,k+j=bij(i,j=1,2,…，n)；
di,k+j=0 (i=1,2,…，k;j=1,2,…，n).
考察D的一般项，R是排列的逆序数，由于 (i=1,2,…，k;j=1，2，…，n)，因此均不可大于k值，否则该项为0，故只能在1，2，…，k中选取，从而只能在k+1,k+2,…,k+n中选取，于是D中不为0的项可以记作
我们观察到(1.2)式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关系？为此我们引入全排列与逆序数等概念.
定义1由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级全排列(简称排列).
,
所以
.
推论行列式D中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数
余子式乘积之和等于零，即
(i≠j)
或
(i≠j).
证
.
当i≠j，因为与行列式中第j行的元素无关，将上式中的换成（k=1，2，…，n)，有
.
同理可证
(i≠j).
综上所述，即得代数余子式的重要性质（行列式按行(列)展开公式）：
或
例11计算n阶行列式(递推公式法)
例如，以数k乘以第i行（列）上的元素加到第j行(列)对应元素上,记作，有
性质3—性质6的证明请读者自证.
例5计算四阶行列式

线性代数典型例题

线性代数典型例题A = C 1,： 2,： 3),B =(：1： 2：3, j 2 24 3√ 13： 29 3)线性代数第一章行列式典型例题、利用行列式性质计算行列式、按行（列）展开公式求代数余子式四、抽象行列式的计算或证明1. 设四阶矩阵 A=[2>,3 2,4 3, 4]，B=「,2 2,3 3,4 4],其中2, 3, 4 均为四维列向量，且已知行列式|A| = 2,|B|=-3,试计算行列式|A - B|.A12. 设A 为三阶方阵，A 为A 的伴随矩阵，且IAI=',试计算行列式2"（3A ） j-2A * 0〕 2 L :O AT3. 设A 是n 阶（n 工2）非零实矩阵，元素a ij与其代数余子式A j 相等，求行列式|A|.2 1 04. 设矩阵A= 1 2 0 ,矩阵B 满足ABA * = 2BA*+E ,则|B|= ________ .'0 0 1 J5. 设＞1√?2, : 3均为3维列向量，记矩阵已知行列式D 4 =1 3 1 123 5 1 34 6 2 4 4 7 2=-6，试求 A 41 A 42 与 A 43 ' A 44.三、利用多项式分解因式计算行列式11、tW1 2 —X1 ?计算D =151 9-x 22 ?设 f(x)=X b b b b X C C C C Xddd ,则方程f (X) =O 有根X = d如果I A ∣=1，那么| B |= __ .五、n阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式1. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为丄丄,则行列式2 3 4 51IB -E∣= _________ .2. 设A为四阶矩阵，且满足|2E ? A∣=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2，试计算行列式|2A 3E |.第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵1. 设代B, A ■ B都是可逆矩阵，求：（A J■ B」）」.-00021〕000532.设 A =12300,求A JL4580034600一二、讨论抽象矩阵的可逆性1. 设n阶矩阵A满足关系式A3? A2- A- E =0,证明A可逆，并求A^l.2. 已知A3 =2E,B = A2 -2A ? 2E ,证明B可逆，并求出逆矩阵。

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SEND MONEY 可以编码为
5，8，10，21，7，2，10，8，3 其中 S 表示为 5，E 表示为 8，等等。但是，这种编码很容易破译，在一段较长的信息中，我们可以根据数字出现的相对频率猜测每一数字表示的字母。例如，若 8 为编码信息中最常出现的数字，则它最有可能表示字母 E，即英文中最常出现的字母。
0.1 0.2 0.15
4000 4500 4500 4000 �� = [2000 2600 2400 2200]
5800 6200 6000 6000
第三个表格通过��来计算。
2
信息编码
《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P92
一个通用的传递信息的方法是，将每一个字母与一个整数相对应，然后传输一串整数。例如，信息
由于整数在计算机是准确表示的，而小数在计算机中是近似表示的，所以保证��−1的元素是整数非常重要，否则，如果��−1的元素是小数，则解密后信息会因为误差造成与原始信息不同，这样的加密算法就没有意义了。为了保证��−1的元素是整数，我们要求|��| = ±1。
为构造编码矩阵��，我们可以从单位矩阵��开始，多次采用如下运算：将某一行(列) ��(�� ≠ 0)倍加到另一行(列)
232
需要编码的信息放置在三行矩阵��的各个列上。
乘积
5 21 10 �� = [ 8 7 8 ]
10 2 3
1 2 1 5 21 10 31 37 29 �� = [2 5 3] [ 8 7 8 ] = [80 83 69]
2 3 2 10 2 3 54 67 50
C 0.15 0.25 0.15
产品
A B C
春季 4000 2000 5800
夏季 4500 2600 6200
季度秋季 4500 2400 6000
冬季 4000 2200 6000
计算每一季度三类成本中的每一类成本的数量
原料工资管理费和其它
春季
夏季
季度秋季
冬季
0.1 0.3 0.15 �� = [0.3 0.4 0.25]
3
交换两行(列) 结果矩阵��的元素还是整数，且
|��| = ±|��| = ±1 因此��−1的元素也是整数。如果满足|��| = ±1条件的矩阵很少，则这个加密的算法就没有实际意义，因为破解者可以逐个构造出这样的矩阵进行破解。从上面的构造过程看，满足|��| = ±1条件的矩阵有很多，所以这个加密算法具有实际意义。
《线性代数》应用题
生产成本
《线性代数》，张文博，张丽静译，机械工业出版社，P33
某工厂生产三种产品，它的成本分为三类，第一类成本中，给出生产单个产品时估计需要的量，同时给出每季度生产每种产品数量的估计。这些数据如下表如所：
成本
管理费和其它
0.1
产品 B 0.3 0.4 0.2
给出了用于传输的编码信息：
31，80，54，37，83，67，29，69，50 接收到信息的人可以通过乘以��−1进行解码
��−1(��) = �� 因为
1 −1 1 ��−1 = [ 2 0 −1]
−4 1 1
则
1 −1 1 31 37 29 5 21 10 [ 2 0 −1] [80 83 69] = [ 8 7 8 ] −4 1 1 54 67 50 10 2 3
参考书中提供的参考文献 1. Hansen, Robert, Two-Year College Mathematics Journal, 13(1), 1982.
我们可以用矩阵乘法对信息进行进一步的加密。设��是所有元素均为整数的矩阵，且其行列式为±1，由于��−1 = ± ��∗，则��−1的元素也是整数，我们可以用这个矩阵对信息进行加密，加密后的信息将很难破译。下面介绍具体的加密方法。令
121 �� = [2 5 3]