机械波的概念,波函数

P.33
三
由
平面波的波动微分方程
知
2 y 2 x - A 2 cos[ ( t - ) 0 ] 2 u x u
说明
x y( x , t ) A cos[ ( t - ) 0 )] u 2 y x 2 - A cos[ ( t - ) 0 ] 2 u t
x x
P.25
波函数
x y Acos[(t -u) ] u 沿 x 轴正向
质点的振动速度，加速度
y x v -A sin[ (t - ) ] t u 2 y x 2 a 2 - A cos[ (t - ) ] t u
P.26
波线上各点的简谐运动图
结束选择 P.30
例1 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为 y 0.04 cos (50t - 0.10 x ) m
求 (1) 波的振幅、波长、周期及波速；
(2) 质点振动的最大速度。
解 (1) a. 比较法(与标准形式比较） 标准形式
波函数为
比较可得
t x y( x ,t ) A cos[ 2π( - ) ] T 50 0.10 y 0.04 cos 2 π( t x) 2 2 2 T 0.04 s A 0.04 m 50 2 20 m u 500 m/s 0.10 T
P.29
请在放映状态下点击你认为是对的答案 小议链接1 x 平面谐波的方程为 y = A cos ω ( t ) u 则 x ω x 和 y 分别代表 u u
（1）振动滞后时间、相位和位移； （2）振动滞后相位、时间和位移； （3）振动位移及滞后时间、相位； （4）振动滞后相位、振动位移及振动 滞后时间。
特征：具有交替出现的密部和疏部.
P.7
波速 常见的波： 横波：弹性绳上的波等
纵波：声波、地震波等
注意
水表面的波既非横波又非纵波
地震时，纵波总是先到达地表，而横波总落后一步
P.8
结 (1) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。 (2) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处 论 波动\HENGBO（横波）.SWF 再现---波是振动状态的传播。 ：
振动状态与原点在
因此，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为
这就是沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。
P.20
一列平面简谐波 （假定是横波） 观测坐标原点任设 （不必设在波源处）
波沿 X 轴正向传播 （正向行波）
若
2、相位落后法
yo A cos( t )
• 振动在空间的传播过程---波动 • 常见的波有: 机械波 , 电磁波 , 物质波
波动的共同特征：
具有一定的传播速度，且都伴 有能量的传播。能产生反射、折 射、干涉和衍射等现象。
声波
水波
天 线 发 射 出 电 磁 波
P.4
一. 机械波的产生
机械波: 机械振动以一定速度在弹性介质中由近 及远地传播出去，就形成机械波。水
t+△t时刻的 y( x , t t ) A cos[ ( t t - x ) ] 0 波形方程 u
y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x ut
x x
P.24
设t时刻x处的某个振动状态， 经过△t，传播了△x=u△t 距离，用波动方程表示就是
x x ut A cos[ (t t ) 0 ] A cos[ (t - ) 0 ] u u
P.32
所示的几种坐标系，试求相应的波动方程及B点 的振动规律。 x-l 解： y A cos[ ( t ) 0 ]
y 例2 ：A点的振动规律为： A cos( t 0 ) 选如图
u
l b-l y B A cos[ ( t ) 0 ] u
x y A cos[ ( t ) 0 ] u
第十五章
• • • • • • • • 15－1 15－2 15－3 15－4 15－5 15－6 15－7 15－8
机械波
机械波的几个概念 平面简谐波的波函数 波的能量 惠更斯原理 波的干涉 驻波 声波超声波 次波 多普勒效应
P.1
教学基本要求
一 关系； 掌握描述简谐波的各物理量及各量间的
二 理解机械波产生的条件。掌握由已知质 点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方 法。理解波函数的物理意义。了解波的能量传播 特征及能流、能流密度概念。
2 y 1 2 y 2 2 2 x u t
(1) 上式是一切平面波所满足的微分方程（正、反传播）； (2) 不仅适用于机械波，也广泛地适用于电磁波、热传导、
化学中的扩散等过程；
P.27
振动曲线 图形
A o
y P
波形曲线
t
T
t0
v
A o t P 0
y
v
u x
研究 某质点位移随时间变化 对象 规律
由振动曲线可知
某时刻，波线上各质点位移 随位置变化规律 由波形曲线可知 该时刻各质点位移
物理 意义
周期T. 振幅A 初相 0
某时刻 v 方向参看下一时刻
波长 , 振幅A 只有t=0时刻波形才能提供初相
P.17
§15--2 平面简谐波的波函数
说明
简谐波是一种最简单、 最基本的波，研究简谐波的
波动规律是研究更复杂波的
基础。
平面简谐波
平面简谐波：波面为平面的简谐波。
本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量） 、各向同性、均匀无限大媒质中传播的平面简谐波。
P.18
波函数：介质中任一质点（坐标为 x）相对其平 衡位置的位移（坐标为 y）随时间的变化关系。波 动\HENGBO2（横波）.SWF
x-l y A cos[ ( t ) 0 ] u
- (b - l )- l y B A cos[ ( t b ) 0 ] yB A cos[ ( t - ) u 0 ] u 坐标系不同，但B点的振动规律相同。
-b y B A cos[ ( t ) 0 ] u
波面
波前
波的几何描述
波面 在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同 的点联结成的面。(球面波,柱面波,平面波 ...） 波线 沿波的传播方向作的有方向的线。 波前 在某一时刻，波传播到的最前面的波面。
P.11
波前
波面


*
球面波
波线
平面波
注意
在各向同性均匀媒质中，波线⊥波面。
P.12
四 波的特征量：波长 波的周期和频率 波速
π(50t 2 - 0.10 x2 ) π(50t1 - 0.10 x1 ) x2 - x1 u 500 m/s t 2 - t1 y v -0.04 50π sin π(50t - 0.10 x ) t
波速
(2)
v max 0.04 50 6.28 m/s
u
343 m s
空气，常温
4000 m s 左右，混凝土
声音的在空气中（理想气体）的传播 速度：
u
RT
= Cp/Cv , 摩尔质量。
P.16
问题：为什么声音在晚上可以传得较远？ 枫桥夜泊
——[唐] 张继
月落乌啼霜满天 ， 江枫渔火对愁眠。 姑苏城外寒山寺， 夜半钟声到客船。
夜晚我们可以听见许多远处的声音，比如远方寺庙白 天也敲钟，但是常常听不见，可是到了晚上，远方寺庙的 钟声却声声入耳，为什么会有这样的差异呢？
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移 波线上各质点 平衡位置
P.19
一
平面简谐波的波函数
一列平面简谐波 （假定是横波）
观测坐标原点任设 （不必设在波源处）
波沿 X 轴正向传播 （正向行波）
1、时间推迟方法 设
位于原点 处质点的振动方程为 沿 轴正向传播 。对应同一时刻 ， 点的 时刻的振动状态相同。 已知振动状态以速度
P.2
三 了解惠更斯原理和波的叠加原理。理解 波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确 定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件； 四 理解驻波及其形成，了解驻波和行波的 区别； 五 了解机械波的多普勒效应及其产生的原 因。在波源或观察者沿二者连线运动的情况下， 能计算多普勒频移。
P.3
§15--1 机械波的基本概念
P.31
b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系） 振幅 A ymax 0 .04 m
波长
π(50t - 0.10 x1 ) - π(50t - 0.10 x2 ) 2π
x2 - x1 20 m
T 0.04 s
周期
π(50t2 - 0.10 x ) - π(50t1 - 0.10 x ) 2π
波.MPG 产生条件:
｛
波源：作机械振动的物体
介质：承担传播振动的物质
P.5
机械波两种基本形式:
横波与纵波
横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波. （媒质质点发生剪切形变，仅能在固体中传播 ）波 动\HENGBO（横波）.SWF
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
P.6
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波. （可在固体、液体和气体中传播）波 动\ZONGBO（纵波）.SWF
波 函 数
点 O 振动方程
A
u

x
-A
O
x y Acos[(t -u) ] u 沿 x 轴正向
x y A cos[ (t ) ] u 沿 x 轴负向 u
2π 角波数 k
P.22
波动方程的其它形式
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( - ) ] T λ y( x, t ) A cos(t - kx )
2
2
从相位看，P 点处质点振动相位较O 点处质点相位落后
y P ( x , t ) A cos[ t -
P 为任意点
x y ( x, t ) A cos[ (t - ) ] u
x x x 2π 2π Tu u

x ]

x
(波函数)
P.21
y
yO A cos(t )
u
u
注意

T

周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
P.14
波速
u 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u G 切变模量

E 弹性模量
横波
固体
u
液、气体

纵波
u
K体积模量

343 m s
空气，常温
P.15
如声音的传播速度
4000 m s 左右，混凝土
如声音的传播速度
某质点 v 方向参看前一质点
特征 对确定质点曲线形状一定 曲线形状随t 向前平移
P.28
请在放映状态下点击你认为是对的答案 以波速 u 沿 X 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B D
C
（1）A点的速度大于零； （2）B点静止不动； （3）C点向下运动； （4）D点的振动速度小于零。
(3) 质元并未“随波逐流” 波的传播不是媒质质元的传 播。同相点----质元的振动状态相同 (4) 相邻距离为波长 的两个点的相位差为：2
P.9
二、波是相位的传播
沿波的传播方向,各质元的相位依次落后。
u a · 传播方向 b ·
x
x
图中b点比a点的相位落后

2

x
P.10
三 波线
即
y ( x x , t t ) y ( x , t )
表明：t时刻x处的振动相位等于t +△t，x+△x处质点的振动相 位，即质点的振动相位在△t时间向前传播了△x距离，因此要获 得t +△t的波形，只要将t时刻的波形移动△x=u△t距离即可。
y
O
u
tHale Waihona Puke Baidu
时刻
t t 时刻
x ut
A O -A
y
u

x
波长 ： 同一波线上，两个相邻的、相 位差为 2 π 的振动质点之间的距离，即一个完整 波形的长度.

P.13

周期 T ：波前进一个波长的距离所需要 的时间. 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波 动所传播的完整波的数目.

1 T

波速 ：波动过程中，某一振动状态（即 振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
二
波函数的物理意义
，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动 质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的波形图。
1 若给定
2 若给定
，波动方程即为距原点
处的质点振动方程
波的表达式
距原点
处质点振动的初相
P.23
3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 向的运动情况（行波）.
t时刻的 波形方程
x y( x , t ) A cos[ (t - ) 0 ] u