小学奥数16数阵图
小学奥数16数阵图讲解学习
小学奥数16数阵图1.10.5数阵图1.10.5.1基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。
20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。
只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。
确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，则a被重复使用了2次。
即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。
由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。
三年级奥数之数阵图习题
数阵图
1、把1到6这六个数分别填入下图的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13。
2、将2到7这六个数，填入上图的圈中，使得每条线上的三个数的和相等。
练习：请将1到7这7个数填入下图中，使得每条线上的三个数的和相等。
3、将1到9这九个数填入下图，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等。
练习：将1到8填入下图，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等。
4、将1到5这五个数填入上图中，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等。
练习：在图中填上7、8、10、12，使得每个圆内的四个数的和相等。
5、将1到16填入4*4（16格）的正方形中，使每行、每列、每条对角线的和都相等。
数阵图练习
1、将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等。
2、将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等。
3、将2到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等。
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66666小学奥数专题之数阵图练习题例
小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
\1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。
20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。
只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。
确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
:解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，则a被重复使用了2次。
即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。
由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。
三年级奥数第16次课：数阵图(一)(学生版)
【我生命中最最最重要的朋友们，请你们认真听老师讲并且跟着老师的思维走。
学业的成功重在于考点的不断过滤，相信我赠予你们的是你们学业成功的过滤器。
谢谢使用！！！】数阵图(一)一、考点、热点回顾1、数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
2、观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15。
上面两个图就是数阵图。
二、典型例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
例2 、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
例3 、把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。
例4 、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
例5 、将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。
辐射型辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。
对于辐射型数阵图，有：已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数。
由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之和)÷重叠次数。
如例1、例4。
(2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。
如例2、例5。
(3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例3。
三、习题练习1、将1～7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？2、将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。
三年级上奥数第16讲 数阵图(一)
三秋第16讲 数阵图（一）一、教学目标将一些数按照一定的规律排列而成的图形，通常叫做数阵图．向四周呈放射状的数阵就是放射式数阵．首尾相接的是封闭状数阵．填数阵图的方法是将题目所给的若干个数进行分析，找出规律，正确填充．填放射式数阵的关键是确定公共部分的数．填封闭状数阵的关键是确定首尾相连即相交部分的数． 二、例题精选【例1】 将10—18这九个数分别填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都相等。
你有几种填法呢？（至少填出两种）【巩固1】在空格内填入1、2、3、4、5各数，使每条线上三个数的和都相等，你能写出几种呢？【例2】 把2、3、4、5、6五个数填入下面的圆圈里，使横行、竖行三个数相加的和都是13．【巩固2】将7~1这七个数填入左下图中，使每条直线上的三个数的和为10。
【例3】 一天喜羊羊在回羊村的路上遇到了灰太狼，灰太狼有意刁难他，挡住他的去路对他说：“只要你用16这六个数字填在图中的圆圈内，使每条线上的三个数之和等于12，我就让你过去。
”喜羊羊想了想，不慌不忙的就填了出来。
你知道喜羊羊是怎么解决的吗？【巩固3】从1、2、3、4、5、6中选取适合的数填在圆圈里，使每个圆上四个数的和都等于15．【例4】将1~9这九个数分别填入下左图中，使每个三角形的顶点上的三个数的和相等。
【巩固4】将1，2，3，5，6，7这六个数填入下左表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。
【例5】在下左图中，三个圆圈两两相交成7块小区域，分别填上1~7这七个自然数，在一些小区域中已填好数字，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15。
375【例6】在下左列表格中填上0~8这9个数字，使得各行各列的和都恰好等于表格边上的数。
（每个数字只能用1次）21312121014。
小学奥数之数阵图解题方法(完整版)
小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
一年级奥数之简单的数阵图
2
【例 5】(★★★★)
qǐng nǐ bǎ
zhèqīgèshùfēnbiétiánrùyuánquān lǐ shǐ
请 你把1，2，3，5，7，9，11 这 七个 数 分 别 填 入 圆 圈 里，使
měitiáozhíxiànshàngdesāngèshùxiāngjiādehédōuwéi
每 条 直 线 上 的 三 个 数 相 加 的 和 都 为 14.
shù 数)
3
【例 6】(★★★★★)
qǐng nǐ bǎ
fēnbiétiánrùyuánquān lǐ shǐměi yī gèdàtuǒyuán
请 你把1，2，3，4，5，7 分 别 填 入 圆 圈 里，使 每 一个 大 椭 圆
shàngde sì gèshùzhīhéděngyú
上 的四个 数 之 和 等 于13。
本讲总结
chóngdiéshù 一、 重 叠 数
shùzhènzhōngbèichóngfùshǐyòng le hěnduō cì deshù 数 阵 中 被 重 复 使 用 了 很 多 次的 数 。
guānjiàndiǎn 二、 关 键 点
xúnzhǎotūpòkǒu tèshūwèizhì 寻 找 突破 口 ：特 殊 位 置
fúshèxíngshùzhèntú zhǐyǒu yī gèchóngdiéshù 三、辐 射 型 数 阵 图( 只 有 一个 重 叠 数 )
liánxùshù shìtóu shìwěi shìzhōngjiān qíyúxiǎoshǒulā dàshǒu 连 续 数 ：试 头 、试 尾 、试 中 间 ；其余 小 手 拉大 手 。
tiáozhíxiànshàngdesāngèshùxiāngjiādehédōuwéi
四年级下数学奥数-有趣的数阵图 全国通用( 17 张)
4
6
B3
5
C1
2～9填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等 于18。
4 A
5
9 B
四条边数字总和： 4×18=72
2-9九数之和：
6
2 2+3+4+5+6+7+8+9=44
A+B+C+D=72-44=28
C
3
D 故只能选,
8
7
4+9+8+7=28
将1～8这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之 和都等于15。
6 31 5 4 72
将1-6这六个数字填入下图的圆圈中，使每个大 圆圈上4个数字之和为14。
3
1
2
4
6
5
把2～7这六个数填入右上图的○里，使每个圆 圈上的四个数之和都等于18。
将1、2、3、4、5、6填在下图中，使每条边上三个数之和等于9。
A：（48-45）÷3=1
练 1-9一数练之：和将：11～+27+入3+下4图+5的+6○+7内=，28使得每条边上的三个数字之6和都等于12。 4
横行、竖行五数和：24+24=48
7
8
9
四条线数之和： 12×4=48 1-9数之和：
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 A：（48-45）÷3=1 剩下的数字平均分成四组， 每组数字之和12-1=11 所以应为： 2+9、3+8、4+7、5+6。
将2-10这九个数填入下图圆圈内，使每条线上三个数字相加之和为 22.
小学奥数：数阵图(二).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。
如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。
小学奥数专题-数阵图(一)
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步:运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图）【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。
CBA【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，每条边上的数字和是 ．789fedcba 789【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．BA【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A 与B 的和是________。
BA【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22 的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？111098765432【例 8】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?861102912311457【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．246824688642【例 10】 将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.【例 11】一个3 3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。
小学奥数16数阵图
1.10.5数阵图1.10.5.1基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。
20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。
只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。
确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a，则a被重复使用了2次。
即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。
（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。
由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。
小学奥数：数阵图(三).专项练习及答案解析
1.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题【解析】设顶点分别为A、B、C 、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【答案】2种可能【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
小学奥数专题-数阵图(三)
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类:1. 定义:把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图:即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法:解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手: 第一步:区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步:运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【例 3】 在下面8个圆圈中分别填数字l ，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n (n ≤8)。
则从这个圆圈开始顺时针走n 步进入另一个圆圈．依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。
现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。
【例 5】图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如:a b g f A+++=）．已知A、B、C、D、E、F 依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么a g d⨯⨯=___________．【例 6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。
一起学奥数--有趣的数阵图
擦掉1、5、9（留意这三个数的位置），剩下的数首尾相加，
和相等。
4
8
2
随便挑选一组，填到左图圆圈内。
分析例4、5，图形特征与数字特征相同的情况下，填数的方式雷同。
例6、把1~11这十一个数分别填入下图中的各个○内，使每条线段上 三个○内的数的和都等于22。
1
10 5 6 11 9 2
78
4
3
【分析】图形特征：这是中心辐射型，中间圆圈重复使用五次。 数字特征：1-11为11个连续自然数，呈等差数列。与
4组数列分别填在三个顶角，构建成的直线的和不同，所以基本解有4个。而每组三个数在 三个顶点的位置又有6种方式。所以合计填法为： 4×6=24种。
本题可以通过确定直线最小值和最大值，计算出公共点的和，再 分类讨论，剔除不合适的组。方法相对原始，但不容易漏掉。
例3、把1~12这十二个数，分别填在下图中正方形四条边上的十二个 ○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。
因为1-12是一个等差数列，确定1-4为四个顶角，且按逆时针方向排列后，可以把剩下 的分成5-8，9-12两组，分别填在直线上对应的位置。
最后一步的规律必须让学生领会。可以把和都为22的条件去掉做讲解
例4、把1~7这七个数分别填入下图中的各个圆圈内，使每条线段上三个 ○内的数的和相等。
7
2
1
4 5
例：将1~16分别填入下图中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中 间正方形的四个数之和都是34，图中已填好八个数，请将其余的数填完。
9 15 5
10
【分析】图形特征：左图中有16个圆圈，要填的数字为16个，且16 个圆圈可以在大圆上组成4个扇形，4个扇形上的数字之和都为34
(完整版)小学三年级奥数--数阵图
数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。
试一试：练习与思考第1 题。
例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。
四年级奥数习题：数阵图
四年级奥数习题：数阵图
数阵图是四年级奥数的经典题型，许多同学对于这类型的题目掌握的不是很好，下面就是小编为大家整理的数阵图的习题，希望对大家有所帮助!
数阵图习题
在图的每个圆圈内填上适当的质数(不得重复)，使每条直线上三个数的和相等，且均为偶数.
答案分析
分析：先写出16个质数，5、7、13、17、23、29、37、43、53、59、67、73、79、83、89、91，使每条直线上三个数的和相等，且均为偶数，所以中间的数最小是2，5+2+91=98，7+89+2=98，13+83+2=98，17+79+2=98，23+73+2=98，29+67+2=98，37+59+2=98，43+53+2=98.符合题意.
点评：此题考查了凑数谜，1既不是质数，也不是合数，2是最小的质数.三个数的和是偶数，所以2在中间。
小学奥数：数阵图(一).专项练习及答案解析
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。
【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行.若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行.若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A、B、C的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。
奥数知识点简单数阵图
奥数知识点简单数阵图文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
简单数阵图
一、辐射型数阵图
从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。
先求重叠数。
数总和 + 中心数×重复次数＝公共的和×线数
重叠部分 = 线总和 - 数总和 / 线总和 = 公共的和×线数
数和：指所有要填的数字加起来的和
中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）
重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1
公共的和：指每条直线上几个数的和
线数：指算公共和的线条数
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。
突破关键：确定顶点上的数字，公共的和。
数和+重叠数的和＝公共的和×边数
数和：指所有要填的数字加起来的和
公共的和：指每条直线上几个数的和
重叠数和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边数：指封闭图形的边数。
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1.10.5数阵图1.10.5.1基础知识数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1. 求出条件中若干已知数字的和。
2. 根据“和相等”，列出关系式，找出关键数一一重复使用的数。
3. 确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
1.10.5.2辐射型数阵例1将1〜5五个数字，分别填入下图的五个O中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是： 1 + 2 + 3 + 4+ 5= 15题中要求横、竖每条线上数字和都是10,两条线合起来便是20 了。
20- 15 = 5,怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。
只有5连加两次才能使五个数字的和增加5,关键找到了，中心数必须填5。
确定中心数后，按余下的1、2、3、4,分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a,贝U a被重复使用了2次。
即，1 + 2+ 3 + 4+ 5+ 6+ 7+ 2a= 28+ 2a, 28+ 2a应能被3 整除。
(28 + 2a)弓=28弓 + 2a弓其中28完=9…余1,所以2a弓应余2。
由此，便可推得a只能是1、4、7三数。
当a= 1时，28 + 2a= 30 30七=10,其他两数的和是10—1 = 9,只要把余下的2、3、4、5、6、乙按和为9分成三组填入两端即可。
同理可求得a= 4、a= 7两端应填入的数。
例3将从1开始的连续自然数填入各O中，使每条线上的数字和相等。
解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。
设中心数为a, a被重复使用了两次，即: 1 + 2+ 3+……+ 10+ 2a= 55 + 2a, 55 + 2a应能被3整除。
(55 + 2a)七=55^3 + 2a七其中，55^3= 18余1，所以2a七应余2。
由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。
在a =1时，55 + 2a= 57, 57+3= 19,即中心数若填1,各条线上的数字和应为19。
但是除掉中心数1,在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9 + 7+ 2= 18, 8 + 6+ 4= 18,7+ 5 + 3= 15所以，a不能填1。
经试验，a= 7时，余下的数组合为12 ( 19 —7= 12),也不能满足条件。
因此，确定a只能填4。
例4将1〜9九个数字，填入下图各O中，使纵、横两条线上的数字和相等。
解：1〜9九个数字和是：1 + 2 + 3 +……+ 9= 5X9 = 45,把45平分成两份：45吃=22余1。
这就是说，若使每行数字和为 23,则需把1重复加一次，即中心数填1 ；若使数字和为 24,中心数应填3……。
总之，因45吃余数是1 ,只能使1、3、5、7、9各个奇数重复使用， 才有可能使横、竖行的数字和相等。
因而，此题可有多种解法。
但中心数必须是9以内的奇数。
解：图中共有五条线段，全部数字的总和必须是 5的倍数，每条线上的数字和才能相等。
1〜11 十^一个数字和为66, 66为=13余1,必须再增加4，可使各线上数字和为 14。
共 五条线，中心数重复使用 4次，填1恰符合条件。
此题的基本解法是：中心数重复使用次数与中心数的积，加上原余数1，所得的和必须是5的倍数。
据此，中心数填 6、11均可得解。
1.10.5.3封闭型数阵解：要使三角形每边上的数字和都是12,则三条边的数字和便是 12X 3= 36，而2 + 3+ 4 + 5 + 6+ 7= 27 , 36 与 27 相差 9。
三个角顶的数字都重复使用两次，只有这三个数字的和是9,才能符合条件。
确定了角顶的数字，其他各数通过尝试便容易求得了！这题还可有许多解法，上图只是其中一种。
例2把1〜9九个数字，分别填入下图O 中，使每边上四个数的和都是 21。
解：要使三角形每条边上的数字和是 21,则三条边的数字和便是： 21X 3= 63。
而1〜9九个数字的和只有 45。
45比63少18,只有使三角形三个顶角的数字和为18,分别填入O 中，使三角形各边上的数字和都是12。
例5将1〜11 十^一个数字，填入下图各O 中，使每条线段上的数字和相等。
重复使用两次，才能使总和增加18。
所以应确定顶点的三个数。
下面是填法中的一种。
确定了顶角的数后，其他各数便容易了。
例3下图是四个互相联系的三角形。
把1〜9九个数字，填入O中，使每个三角形中数字的和都是15。
解：每个三角形数字和都是15,四个三角形的数字和便是：15^4 = 60,而1〜9九个数字和只有45。
45比60少15。
怎样才能使它增加15呢？靠数字重复使用才能解决。
中间的一个三角形，每个顶角都联着其他三角形，每个数字都被重复使用两次。
因此，只要使中间的一个三角形数字和为15,便可以符合条件。
因此，它的三个顶角数字，可以分别为：1、9、5 2、8、5 2、7、6 4、6、5 及2、9、4 3、8、4 3、7、5 8、6、1。
把中间的三角形各顶角数字先填出，其他各个三角形便容易解决了。
前页下图是其中的一种。
例4把2〜10九个数字，分别填入下图O中，使每条直线上的三个数和为15。
解：2〜10九个数字的和为：2 + 3 + 4+……+ 10= 6>9 = 54若排成每个三角形每边的数字和都是15,图中含有每边都三个数字的三角形有两个,共六条边，数字总和应是15X6= 90。
54比90少36。
在外围的六个数都被重复使用了两次，它们又分属于两个三角形。
所以，每个三角形三个顶角的数和应为：36吃=18。
这样，便可以先填外三角形三个顶角的数。
三个数和为18的有很多组，可以通过试验筛选出适宜的一组。
填好了外围三角形各个数后，里面的三角形，因为顶角的数已知，其他各数便容易填写了。
上面是填法中的一种。
例5把1〜10十个数字，分别填入下图O中，使每个三角形三个顶角的三个数字和相等。
解：图中有三个三角形，顶角数字互不联系，中心的一个数独立于各个三角形之外。
因 此，要使各三角形顶角的数字和相等。
去掉中心数后，数字总和应是 3的倍数，而且三角形顶角的数字三组中不能出现重复。
女口：以10为中心数，可填为如上图样。
例6将1〜12分别填入下图O 中，使图中每个三角形周边上的六个数的和都相等。
78 ~=6 = 13。
这样，我们可以推想：因为内部的三条边都被重复计算两次，只要每个数增加 1,十二 个数的总和便增加 6,它们同样可以填出来，因而，本题的解法是很多的。
九个数分别填入下图O 中，使每条直线上的三个 12 12因此，可以按幻方的制作方法求解。
1 11 1 、5 1 7 2、12、6、4、3、12、2、12、3、4把它们按序排列为斜方形：将上、下两数，左、右两数对调，再把中间四数向外拉出,1〜12的数字和是78。
每条边上的数字和应为:7、把1、1」」、丄、2 2 3 4 6 12 3 使纵、横、对角线的三个数和相等,这十二个分数，按从小到大的顺序排列是: 解：九个分数排成方阵, 这已经符合幻方的要求了,12。
这样重新组成的数阵，便是求得的解了。
解：图中共有四个小三角形，每个三角形顶点数字的和若都是12,数字总和便是12X4=48，可是1〜8八个数字总和只有36。
36比48少12。
只有靠共用顶角上数的重复使用，才能解决。
的有：因此，必须把四个公用顶角的数字和填成12。
把1〜8八个数四个一组，和为126+ 3 + 2 + 15+ 4 + 2 + 1上述两组中，经验证，只有6+3+ 2+ 1可以作公用顶点的数字。
例9在下图五个O内，各填入一个自然数，使图中八个三角形中顶点的数字和各不相同。
求能满足这个条件的自然数中最小的五个数。
解：能满足使八个三角形顶点数字和各不相同的任意自然数有很多组，但自然数中能满足这个条件的最小自然数却只有一组。
最小的一组自然数中的五个数，若有两个相同的，其中三个数的和可以多到有7个不同值，因此，五个数互不相同。
如果这五个数是1, 2, 3, 4, 5，则其中三个数的和有如下组合方式：1 +2 +3 = 6 2 + 3 + 4= 9 3+4 +5 = 121 +2 + 4 = 7 1+3 + 4= 8 2+ 3 + 5 = 102+ 4 + 5 = 11这样，总共只有七种不同的和，而图中共八个三角形，可知1, 2, 3, 4, 5五个自然数不能满足条件。
例10在下列图中三个正方形中，每个正方形的四个顶点上，只填入使图中八个三角形顶点数字和互不相同。
1, 2, 3, 4 四数,解：图中，顶角在大正方形边上的四个三角形，顶角都分别为两个三角形共用，只有正方形的四个角分别只属于一个三角形，所以，四个三角形顶点数字的和应等于：(1 + 2+3 + 4) X3= 3030不是4的倍数，因而，外面的四个三角形顶点数字和不可能相等。
同理，里面的四个三角形顶点数字和也不可能相等。
题中要求，每个三角形顶点数字和不相同，1〜4四个数之和最小值是1+ 1 + 2 = 4,最大值是4 + 4+ 3 = 11,这样共可组成八组数，将八组数分别填入各个三角形顶点，便可符合条件。
分别填入下图O中，使每个面的四个数和相等。
解：数字图是个正立方体，共有六个面。
每个面四个顶点上的数都是三个面重复使用的。
1〜8八个数的数字总和是： 1 + 2 + 3 +……+ 8 = 36因为每个顶点的数都被重复使用三次，所以六个面的数字总和是：36X3= 108每个面的数字和便是：108为=18这样，便可填为下图或其他形式。