张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
张量分析(Tensor Analysis)
ds 2 (dx1 ) 2 (dx 2 ) 2 (dx3 ) 2
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds ij dx dx
2 i
j
克罗内克符号的一些常用性质：
i j xi x j
x j ij x i
i
j i k
j k
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
r i dr i dx x
空间一点P的位置矢量可用直角坐标表示为：
r z ji j
式中 ij 为沿坐标轴 zj 方向的单位矢量。
r r z j z j j i i ij i x z x x
r 上式表明， i 是单位矢量 ij 的线性组合，因此也是矢量。 x
基矢量（续）
r r i 变化时位置矢量r的变化，因此 i i 表征当 x i 的方向是沿坐标曲线 x x x r 的切线方向。矢量 i 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）： x
r z j gi i i i j x x
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。 基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交； 基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
1 张量的概念
在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中， 有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些 分量按一定的变换法则变换。
在力学中还有一些更复杂的量。例如受力 物体内一点的应力状态，有9个应力分量， 如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则 有：
xx xy xz ij yx yy yz zx zy zz
克罗内克符号 i j 的定义是:
第二章 张量(清华大学弹塑性力学)
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
19
Appendix A.1
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得
在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例：
若i为自由指标
ji , j fi 0
ji , j fii 0
个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方
程代表了nk 个分量方程。在方程的某项中若同时出 现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭
加的nm个项。
27
Appendix A.1
张量分析初步
矢量和张量的记法，求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商判则
3. 换标符号，具有换标作用。例如：
d s2 ij d xi d x j d xi d xi d x j d x j
即：如果符号的两个指标中，有一个和同项中其它 因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而自动消失。
30
Appendix A.2
符号ij与erst
Appendix A.1
张量基本概念
★ 指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维
空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系
d s d x1 d x2 d x3
2 2 2
2
2 可简写成： d s d xi d xi
场函数 f(x1, x2, x3) 的全微分：
21n1 22n2 23n3 T2
31n1 32n2 33n3 T3
18
第4章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)
ij,k ilj glk glk ilj
定义式：
ij ,k
g j xi
gk
性质： ij,k ji,k
比较：
ikj
g j xi
gk
Christoffel符号仅有定义式是不够的，必须有计算式！
基矢量的导数，Christoffel符号
➢ 基矢量的导数与Christoffel符号
Christoffel的计算式：用gij来计算 gij gi g j
F;
i j
F,
i j
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度
T
T ij gi g j
Ti j gi g j
T
i j
gi
g
j
Tij gi g j
右梯度：
T
T xk
gk
T
ij ; k
gi
g
j
g
k
Ti
j ;k
g
i
g
j
g
k
T
i j;k
gi
g
j
g
k
Tij;k gi g j gk
左梯度：
T
gk
T xk
dxi
f xi
gi g jdx j
其中， f xi
gi定义为f (r)的梯度f
；g jdx j 即 dr
。
因此， df f dr
f
f xk
gk
gk
f xk
梯度的几何意义！
取弧元ds，有方向导数：
df f dr f t t f
ds
ds
张量场函数对矢径的导数、梯度
张（矢）量场函数T(r)的梯度，借助有限微分，得
张量分析
张量分析张量分析，又称张量微积分，是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算，来描述和解释多维空间中的现象和问题。
在数学中，张量是一种广义的向量概念。
它不仅可以表示标量和向量，还可以表示具有更高维度的物理量。
例如，二阶张量可以表示物体的形变和应力分布，三阶张量可以表示电磁场的分布，四阶张量可以表示弹性材料的性质等。
张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。
对于二阶张量，可以用一个矩阵来表示。
张量的变换规律与坐标系的选择有关，不同的坐标系下，同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。
张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。
这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义，可以帮助研究人员推导和解决实际问题。
在物理学中，张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。
例如，通过分析物体的应力张量，可以判断物体是否会发生破坏或变形。
在工程学中，张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。
在计算机科学中，张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。
张量分析的发展离不开数学家们的努力。
早在19世纪，克里斯托弗·亚当斯（Christopher Adams）就提出了张量的概念。
20世纪初，爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。
随着计算机的发展和计算能力的提高，张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。
虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用，但它的理论和方法并不容易掌握。
要学好张量分析，需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。
此外，也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。
对于初学者来说，可以通过学习相关的教材和参考资料，同时结合实际问题进行练习和应用。
总之，张量分析是一门重要的数学工具，对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。
它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
张量分析
张量分析研一 熊焕君 2017.9.281.引论：我们对标量和矢量都非常熟悉。
标量是在空间中没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也称其为不变量。
而矢量是个有方向的量，三维空间中矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。
然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性质。
要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以引申和扩充，即引入新的量——张量。
在概念上，张量和矢量有许多类同之处。
一方面张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关联。
张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分量取值遵守着一定的转化定律。
张量方法的核心内容是研究一个复杂的量集坐标转换规律。
我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方法。
于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将其转换到任意一个曲线坐标系中去。
例如对于很大一类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解容易处理。
2.记号与约定张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从而使分析和讨论有序地进行。
从某种意义上讲，可以说张量是对记号的研究。
所以我们必须熟悉各种约定记号，才能对张量这个工具运用自如。
在张量方法中对一个量的标记采用字母标号法。
基于张量分析的大数据分析技术研究
基于张量分析的大数据分析技术研究随着科技的进步和IT技术的发展，我们所能处理的数据量越来越大，这些数据需要被处理、分析以及利用。
大数据分析技术的应用也呈指数级的增长，并且不仅应用在商业领域中，还应用到社会、医疗等多个领域。
对于大数据的处理，传统的数据分析方法已经面临了很大的挑战。
这时，一种非常优秀的大数据分析技术——张量分析技术应运而生。
本文将会围绕这个话题展开，分析这种技术的优势以及应用。
一、张量分析是什么？张量分析是一种高阶数据分析技术，它能够在多维数据集上执行各种任务，如模式分析、聚类、分类、回归等。
张量分析技术的主要特点是处理数据的多维性，各种维度的数据之间可能具有高度的关联性，因此需要应用张量分析技术来处理高维度的数据。
二、张量分析的优势1.处理高维度的数据由于数据的维度不断增加，传统的数据分析技术已经无法处理高维数据。
但是，张量分析技术能够有效地处理高维数据集，使得我们能够挖掘出更多的特征。
2.挖掘更多的特征张量分析技术不仅能够寻找产生影响的因素，还可以挖掘出更多的特征。
通过多元统计学和机器学习算法，我们能够真正分析出数据的核心特征，实现更加精确的判断和决策。
3.提高数据处理的效率与准确性张量分析技术能够提高数据处理的效率与准确性，通过高效的算法和模型，能够快速找到数据的规律，从而做出决策。
同时，通过模拟和实验，可以有效地纠正数据的偏差，从而提高数据的准确性。
三、张量分析的应用1. 医疗领域医疗领域对于数据的敏感性非常高。
通过张量分析技术，我们能够对医疗数据进行分析和挖掘，优化医疗流程和资源配置。
比如，预测病人的患病率和有效预防措施，可以帮助医生诊断更加准确地疾病。
2. 商业领域在商业领域中，张量分析技术也有着广泛的应用。
比如，在市场营销领域中，我们可以利用张量分析技术对客户购买行为进行分析，了解市场变化和客户需求；在金融领域中，我们也可以应用张量分析技术对交易数据进行分析和预测，从而提高投资收益。
张量分析
引言张量是一个数学概念。
我们知道，可以由一个实数值完全确定的物理量（如长度、温度、密度等）称为标量；可以用一个实数值（模值）和空间一定方向来表征的物理量（如力、速度、加速度等）称为矢量。
有许多物理量既不是标量，也不是矢量，它们具有更复杂的性质，需要用更复杂的数学实体—张量来描述。
例如，连续体内一点的应力状态和一点的应变状态需要更分别用应力张量σ和应变张量∈来描述，xx xy xz yx yyyz zx yxzz σττστστττσ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 112211221122xxxy xz yxyyyz zx yx zz εγγγεγγγε⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪∈=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭又如，质点对于某定点的转动惯量需要用惯性张量来描述⋅⋅⋅。
事实上，标量和矢量都是张量的特例，它们分别为零阶张量和一阶张量。
这是两种最简单的张量。
在处理物理学和力学问题中，张量理论是一种有效的数学工具。
它有许多突出的优点，例如：(1)张量方程的一个重要特性是与坐标系的选择无关。
这一特性使它能够很好地反映物理定律和各物理量之间的关系。
张量方程对于任何坐标系都具有统一的形式，因此，当坐标系不确定时，照样可以将物理现象用数学方程表达出来。
(2)张量方程的上述特性使我们能够从某种特殊坐标系中建立起适用于一切坐标系的方程。
(3)属于某阶张量的某种物理量所具有的张量特性，对于所有这类张量（不管它们表达何种物理现象）来说，必定也都具有这些特性。
（例如应力张量是二阶对称张量，倘若我们掌握了应力的张量特性，便可以断定所有二阶对称张量，如应变张量、惯性张量以及平板曲率张量等，也都具有这些特性。
） (4)张量表述和张量算法具有十分清晰、简捷的特点。
张量理论是数学中的一个分支。
张量的普遍概念是十九世纪中叶对连续介质力学有了深入研究之后建立起来的。
（在法文中，张量tension 一词具有“应力”的意思；也就是说，张量是像应力那样具有某些特定性质的量。
张量分析基础
二阶张量的表示
P1 T11 P = T 2 21 P3 T31 T12 T22 T32 T13 Q1 T23 Q 2 T33 Q 3
傀标表示必须成对出现
爱因斯坦求和规则：傀标表示法
Pi =
∑T Q
j =1 ij
3
j
( i = 1, 2 ,3) ( i , j = 1, 2 ,3)
x1* a11 * x 2 = a 21 * x 3 a 31
a12 a 22 a 32
a13 x1 a 23 x 2 a 33 x 3
Neuman原理
物质张量、场张量
— 物质张量是建立晶体在外场作用下的响应与外场之间关系的物理性 能，物质张量受到晶体对称性的制约，如弹性系数 — 场张量：外场张量及晶体对外场响应后所产生的新的物理量，不受 晶体对称性的制约，如应力、电场 — 晶体响应，受外场、物理性能和晶体对称性的共同影响，如应变
—二次曲面方程系数与张量分量 具有相同的变换规律； —二次曲面方程称为张量S的示 性二次曲面； —示性二次曲面可描述具有二阶 对称张量性质的物理特性；
示性二次曲面的主轴
二次曲面的主轴方程
S x + S x + S x =1
2 1 1 2 2 2 2 3 3
x2 a
2
+
y2 b
2
+
z2 c
2
=1
P Q
Neuman原理
— 一个晶体的任何物理性能的对称性必须包括晶体点群的对称性， 即 G物性G点群； — 例1：属于立方晶系的晶体的介电系数可以是各向同性的； — 例2：属于立方晶系的晶体的介电系数不可以只有一个四次对称轴。
晶体对称性对二阶对称张量的制约
张量分析及场论
u
w
v
图 1.1、矢量加法的平行四边形法则
W | F || u | cos
其中 F 、| u |分别表示矢量 F 、 u 的大小，θ表示矢量 F 与矢量 u 之间的夹角，这就 定义了一种称为点积的运算。
点积的定义： 设 u ，v 为两个任意不为零的矢量， 设| u |， | v |分别为其大小 （也称为模） 。 θ为这两个矢量之间的夹角，则 u 与 v 的点积为
张 量 分 析 及 场 论 Tensor Analysis and Field Theory
刘长根第一章 张量代数 ..................................................................................................................... 1 §1.1 点积、矢量分量及记号 ij .......................................................................................... 1 1.2 记号 ijk 、矢积（叉乘）、 关系 ........................................................................ 5 1.3、坐标变换 ...................................................................................................................... 9 1.4、并矢、张量 ................................................................................................................ 12 1.5 张量的代数运算 ........................................................................................................... 14 1.6 张量识别定理（商判则） ........................................................................................... 16 1.7、二阶张量 .................................................................................................................... 17 1.8、张量举例 .................................................................................................................... 21 习题一 ................................................................................................................................. 36 第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论 ................................................................. 39 2.1、矢量函数、及其导数与微分 .................................................................................... 39 2.2 场 ................................................................................................................................... 43 2.3、曲线坐标 .................................................................................................................... 45 2.4、标量场的方向导数、梯度 ........................................................................................ 49 2.5、矢量场的通量、散度、奥高定理 ............................................................................ 53 2.6、矢量场的环量、旋度、斯托克斯公式 .................................................................... 56 2.7、哈密顿算子 ................................................................................................................ 58 2.8、基矢量对坐标的导数及其应用 ................................................................................ 62 2.9、几种重要的场 ............................................................................................................ 69 习题二 ................................................................................................................................. 75 第三章 一般曲线坐标系中的张量分析初步 ....................................................................... 77 3.1、曲线坐标，基矢量，度量张量 ................................................................................ 77 3.2、克里斯托弗尔符号及其性质 .................................................................................... 80 3.3、协变导数，逆变导数 ................................................................................................ 82
张量分析总结
一、知识总结1 张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标：在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同。
性质：在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内重复出现两次。
哑标：一个单项式内，在上标（向量指标）和下标（余向量指标）中各出现且仅出现一次的指标。
性质：哑标可以把多项式缩写成一项；自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。
例：333323213123232221211313212111B x A x A x A B x A x A x A B x A x A x A =++=++=++ (1.1)式(1.1)可简单的表示为下式：i j ij B x A =(1.2)其中：i 为自由指标，j 为哑标。
特别区分，自由指标在同一项中最多出现一次，表示许多方程写成一个方程；而哑标j 则在同项中可出现两次，表示遍历求和。
在表达式或者方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项中出现两次。
1.2 Kronecker 符号定义ij δ为：⎩⎨⎧≠==j i ji ij ,0,1δ(1.3)ij δ的矩阵形式为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001ij δ (1.4)可知3ij ij ii jj δδδδ===。
δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时，可把该因子的重指标换成δ的另一个指标，而δ符号消失。
如：ij jk ikij jk kl ilδδδδδδδ==(1.5)ij δ的作用：更换指标、选择求和。
1.3 Ricci 符号为了运算的方便，定义Ricci 符号或称置换符号：⎪⎩⎪⎨⎧-=其余情况为奇排列为偶排列,0,,,1,,,1k j i k j i l ijk(1.6)图1.1 i,j,k 排列图ijk l 的值中，有3个为1，3个为-1，其余为0。
Ricci 符号（置换符号）是与任何坐标系都无关的一个符号，它不是张量。
1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示，设旧坐标系的基矢为i e ，新坐标系的基矢为'i e 。
学习张量必看_一个文档学会张量!!!!张量分析
张量函数及其微积分
Appendix A
引言
广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示
主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum
Mechanics, Springer, 1972. 黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.
a13 x3 a23 x3
a1 j x j a2 j x j
x3
a31 x1
a32 x2
a33 x3
a3 j x j
利用爱因斯坦求和约定，写成：
xi aij x j
其中 j 是哑指标，i 是自由指标。
张量基本概念
★ 在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得 在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指 标。例： 若i为自由指标
分量记法： ui
Appendix A.1
张量基本概念
指标符号用法
1. 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。
2. 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：
3
a b= a1b1 a2b2 a3b3 aibi i 1
ji, j fi 0
ji, j fii 0
张量基本概念
★ 自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值， 关系式将始终成立。
例如：表达式 xi aij x j
在自由指标 i 取1，2，3时该式始终成立，即有
x1 x2
第1章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
g1 1
gi xi g2 ix1 sin x2 jx1 cos x2
g2 r
曲线坐标系：斜角直线坐标系的延伸
※三维球坐标系
(x, y, z) (x1, x2, x3)
(r, , ) (x1, x2 , x3 )
x3
r
gr g
g
x2
r x1i x2 j x3k xigi x1
新、老坐标之间的变换和逆变换： xi = xi xi'
gidxi gi' dx i'
dxi
=
xi xi'
dx i '
dx i
i'
i'
→
gi
i i'
dx
i'
g i
'
dx
i'
再由：
gidxi
g i
'
dx
i
'
→
gi'
i i'
gi
dxi'
=
xi' xi
dxi
i i
'
dx
i
→
gidxi
gi'
i i
'
dx
定义式（实体形式，几何表达）：
u v u v cos
v cos
第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件
(T
)
T
3
J1T T
2
J
T 2
T
J
T 3
G
O
由于
T3
J1TT 2
J
T 2
T
J
T 3
G
，T
n
均可用
T 2 来表达。
也就是说，H f (T ) f (T 2 ,T ,G) k0G k1T k2T 2
ki ki
J1T
,
J
T 2
,
J3T
H-C等式的意义：只需研究低次项，而无需高次项。
二阶张量的二阶张量函数
➢ 经典《解析几何》中，解析地描述一个几何图形 的运动，有两种不同的思想。一种思想：图形不 动，移动坐标。但运动是相对的，于是另一种思 想：坐标不动，图形移动。
➢ 注意：运动学思想之重要！
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
考察一个最简单的图形，一个矢量 u 。研究两种相
对的旋转运动下，矢量的表达，以及矢量的标量
通过正交变换，使 X i X i
从而使 f ( Xi ), (i 1, 2, , n)
张量函数、各向同性张量函数的定义和例
各向同性张量函数 例子请见《张量分析》的92 ~ 93页。
矢量的标量函数
• Cauchy基本表示定理： 矢量 vi (i 1, 2, , m) 的标量函数 f (vi ) 为各向同性 f 可表示为内积 vi v j (i 1, 2, , m) 的函数。
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系
《张量分析》报告(最新整理)
。从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。
设 为三维区域 中的向量场，关于 的左右散度为
， 从上面两式可以看出向量的左右散度相等。
关于向量场 的左右旋度为
，
对于 的左右旋度，有关系式
。
标量场 的 Laplace 算子 为，
向量场 的 Gauss 公式为
其中 为区域 的边界曲面， 外法向量。
向量场 的 Stokes 公式为
， 为 上的单位
这里 为任意曲面， 为 的边界曲线，在边界 上积分 的环向与 的外法向 依右手定向规则： 指向观察者，从观察者 来看，曲线沿反时针为正。
第二部分 张量的简单运用
张量分析在许多领域有着广泛的应用，现在所学的弹塑性力学就 有简单的运用介绍，而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意 义。
对称张量之和，即：
Cij Aij Bij
Aij
1 2
C ij
C ji
Aji
Bij
1 2
C ij
C ji
1 2
C ji
Cij
B ji
4）高阶张量的对称和反对称
高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。例如置
换张量，它关于任一对下标是反对称的：
ijk jik ,ijk ikj ,ijk kji
2.3 张量的乘法
两个张量的外积是将它们的分量相乘。这样的运算产生一个新张
量，其阶数是相乘两张量的阶数之和。
设 Aij 、 Bk 是张量，则外积
Cikj Aij Bk
Aˆij y
Amn
x
x m y i
x n y j
Aˆij yBˆ k y
y k xl
x m y i
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u
矢量的内积
定义u式v（ 实u体v形co式s，几何表达）v：cos
uv vu
u uxi uy(可j 交uzk换性) 计算式v （v分xi 量 v形y j式 v，zk代数表达）：
u v uxvx uyvy uzvz
ucos
v
物理意义： 计算功(功率)
vx vy vz
vu
矢量及其代数运算
矢量的乘法
三个矢量u、v 、w 之间的运算
如何计算 u (v w)？
vw
u
观v 察w右图，可知 正u交(v于 w)
、 构成v 的w平面，而u (v w)
正交于 v w，因此，
一定u在 (v 、 w构) 成的v平面 w
u (v w)
三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j =1, 2,3)
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 根据几何图形直接确定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，因此正交于 g2与 g3所 确定的平面；其模的大小等于
g1 1
vw w v
(u w)v (u v)w
数形结合
(uv) w
矢量及其代数运算
矢量的乘法
矢量的混合积
u v w uv w群 u论的v 轮w换次序不变性w
ux uy uz u ux vx wx
vx vy vz uy v顺y 时w针z 轮换 wx wy wwz uzv vz wz
v u
u
v
w2
ux vx
uy vy
uz vz
ux u y
vx vy
wx u u
wz
vu
uv vv
uw vw
wx wy wz uz vz wz w u w v w w
u v w v w u w u v u w v v u w w v u
第1章 矢量与张量
2019年11月25日
张量的两种表达形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
概念的内涵和外 延（定量）
代数形式 计算式
怎样计算？
主要内容
矢量及其代数运算 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 曲线坐标系及坐标转换关系 并矢与并矢式 张量的基本概念 张量的代数运算 张量的矢积
1 g1 g1 (g2 g3) g1 g
可计算出：
g1
1 g
( g2
g3 )
g2
1 g
( g3
g1 )
2 g2
2
(ab)u a(bu)
矢量及其代数运算
直线坐标系与矢径
笛卡尔坐标系：直角直线
费马坐标系：斜角直线
z r：矢径
r xi yj zk
r u 矢径 r确定了基矢量：i、 j、k
k
j i
x 笛卡尔坐标系
y 矢量u可表示为：
u uxi uy j uzk
矢量及其代数运算
矢量的乘法
r
g2
g ：协变基矢量
P
基于简化的思想，
引入逆变基矢量 g
g1 x1
费马坐标系
存在对偶关系：
g
g
0 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量
P P g P g P P g
称为矢量P的逆变分量
可交换性： 运算次序的无关性
uv u v
(许瓦兹不等式)
对称性 不变性
矢量及其代数运算
矢量的乘法
矢量的外积
w uv
定义w式（u 实v体形式，几何表达） ：
uv u v sin
u v v u
v
u
w uv
(反交换性)
i jk
物理意义：
计算式（u分x 量u形y 式u，z 代数表达 ： 计算面积
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
从直角直线坐标系到斜角直线坐标系(平面内)
x2
(x1, x2 )
x2
(x1, x2 )
r
j
i
x1
笛卡尔坐标系
r
P
g2
g1 x1
费马坐标系
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
平面内斜角直线坐标系和矢径
x2
r
g2
g1 x1
费马坐标系
r x1g1 x2 g2
g1 cos
g1 g1
2 g2
2
g3
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
由于 g1正交于 g2与 g3，则 g1必定平行于 g2 g3 ，可
设 g1 g2 g3，利用下式：
g1 g1
(x1, x2 )矢径 r确定了基矢量：g1、g2
其中 g1、g2 不一定是单位矢量。
P
矢量 P可表示为：
P P1g1 P2 g2
2
P g P g 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量
P P g ：哑指标
x2
(x1, x2 ) Einstein求和约定
P P g
称为矢量P的协变分量
x2
P2 g 2
P2 g2
P
x2
P2 g2
P
2
P1g1
x1
2
P1 g1
2
2
P2 g2
P1 g1
2
2
P1g1 x1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
x3
x3 g3
r x2
矢量及其代数运算
矢量和矢量的模
u 、v、w u 、v 、w
矢u量v的 v加法u : 平行四边形法则 v
(u v) w u (v w)
u
uv v
u v u (v) u (u) 0 (a b)u au bu
u
平行四边形法则
a(u v) au av
x2 g2
O x1g1
x1
三维空间中的 斜角直线坐标系
r x1g1 x2 g2 x3 g3 xi gi
由 dr
r xi
dxi
gidxi
可定
义协变基矢量 gi 为
gi
r xi
g1 g2 g3 g1 g2 g3 g
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量