张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(x1, x2 )矢径 r确定了基矢量：g1、g2
其中 g1、g2 不一定是单位矢量。
P
矢量 P可表示为：
P P1g1 P2 g2
2
P g P g 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量
P P g ：哑指标
x2
(x1, x2 ) Einstein求和约定
g1 cos
g1 g1
2 g2
2
g3
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
由于 g1正交于 g2与 g3，则 g1必定平行于 g2 g3 ，可
设 g1 g2 g3，利用下式：
g1 g1
r
g2
g ：协变基矢量
P
基于简化的思想，
引入逆变基矢量 g
g1 x1
费马坐标系
存在对偶关系：
g
g
0 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量
P P g P g P P g
称为矢量P的逆变分量
vw w v
(u w)v (u v)w
数形结合
(uv) w
矢量及其代数运算
矢量的乘法
矢量的混合积
u v w uv w群 u论的v 轮w换次序不变性w
ux uy uz u ux vx wx
vx vy vz uy v顺y 时w针z 轮换 wx wy wwz uzv vz wz
1 g1 g1 (g2 g3) g1 g
可计算出：
g1
1 g
( g2
g3 )
g2
1 g
( g3
g1 )
2 g2
2
三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j =1, 2,3)
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 根据几何图形直接确定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，因此正交于 g2与 g3所 确定的平面；其模的大小等于
g1 1
u
矢量的内积
定义u式v（ 实u体v形co式s，几何表达）v：cos
uv vu
u uxi uy(可j 交uzk换性) 计算式v （v分xi 量 v形y j式 v，zk代数表达）：
u v uxvx uyvy uzvz
ucos
v
物理意义： 计算功(功率)
矢量及其代数运算
矢量和矢量的模
u 、v、w u 、v 、w
矢u量v的 v加法u : 平行四边形法则 v
(u v) w u (v w)
u
uv v
u v u (v) u (u) 0 (a b)u au bu
u
平行四边形法则
a(u v) au av
vx vy vz
vu
矢量及其代数运算
矢量的乘法
பைடு நூலகம்
三个矢量u、v 、w 之间的运算
如何计算 u (v w)？
vw
u
观v 察w右图，可知 正u交(v于 w)
、 构成v 的w平面，而u (v w)
正交于 v w，因此，
一定u在 (v 、 w构) 成的v平面 w
u (v w)
(ab)u a(bu)
矢量及其代数运算
直线坐标系与矢径
笛卡尔坐标系：直角直线
费马坐标系：斜角直线
z r：矢径
r xi yj zk
r u 矢径 r确定了基矢量：i、 j、k
k
j i
x 笛卡尔坐标系
y 矢量u可表示为：
u uxi uy j uzk
矢量及其代数运算
矢量的乘法
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
从直角直线坐标系到斜角直线坐标系(平面内)
x2
(x1, x2 )
x2
(x1, x2 )
r
j
i
x1
笛卡尔坐标系
r
P
g2
g1 x1
费马坐标系
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
平面内斜角直线坐标系和矢径
x2
r
g2
g1 x1
费马坐标系
r x1g1 x2 g2
P P g
称为矢量P的协变分量
x2
P2 g 2
P2 g2
P
x2
P2 g2
P
2
P1g1
x1
2
P1 g1
2
2
P2 g2
P1 g1
2
2
P1g1 x1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
x3
x3 g3
r x2
v u
u
v
w2
ux vx
uy vy
uz vz
ux u y
vx vy
wx u u
wz
vu
uv vv
uw vw
wx wy wz uz vz wz w u w v w w
u v w v w u w u v u w v v u w w v u
x2 g2
O x1g1
x1
三维空间中的 斜角直线坐标系
r x1g1 x2 g2 x3 g3 xi gi
由 dr
r xi
dxi
gidxi
可定
义协变基矢量 gi 为
gi
r xi
g1 g2 g3 g1 g2 g3 g
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
第1章 矢量与张量
2019年11月25日
张量的两种表达形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
概念的内涵和外 延（定量）
代数形式 计算式
怎样计算？
主要内容
矢量及其代数运算 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 曲线坐标系及坐标转换关系 并矢与并矢式 张量的基本概念 张量的代数运算 张量的矢积
可交换性： 运算次序的无关性
uv u v
(许瓦兹不等式)
对称性 不变性
矢量及其代数运算
矢量的乘法
矢量的外积
w uv
定义w式（u 实v体形式，几何表达） ：
uv u v sin
u v v u
v
u
w uv
(反交换性)
i jk
物理意义：
计算式（u分x 量u形y 式u，z 代数表达） ： 计算面积
其中 g1、g2 不一定是单位矢量。
P
矢量 P可表示为：
P P1g1 P2 g2
2
P g P g 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
平面内斜角直线坐标系的协变基矢量和逆变基矢量
P P g ：哑指标
x2
(x1, x2 ) Einstein求和约定
g1 cos
g1 g1
2 g2
2
g3
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 由协变基矢量求逆变基矢量
由于 g1正交于 g2与 g3，则 g1必定平行于 g2 g3 ，可
设 g1 g2 g3，利用下式：
g1 g1
r
g2
g ：协变基矢量
P
基于简化的思想，
引入逆变基矢量 g
g1 x1
费马坐标系
存在对偶关系：
g
g
0 1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
平面内斜角直线坐标系下矢量的协变分量与逆变分量
P P g P g P P g
称为矢量P的逆变分量
vw w v
(u w)v (u v)w
数形结合
(uv) w
矢量及其代数运算
矢量的乘法
矢量的混合积
u v w uv w群 u论的v 轮w换次序不变性w
ux uy uz u ux vx wx
vx vy vz uy v顺y 时w针z 轮换 wx wy wwz uzv vz wz
1 g1 g1 (g2 g3) g1 g
可计算出：
g1
1 g
( g2
g3 )
g2
1 g
( g3
g1 )
2 g2
2
三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j =1, 2,3)
问题：已知 gi，如何求 g j ？
※ 根据几何图形直接确定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，因此正交于 g2与 g3所 确定的平面；其模的大小等于
g1 1
u
矢量的内积
定义u式v（ 实u体v形co式s，几何表达）v：cos
uv vu
u uxi uy(可j 交uzk换性) 计算式v （v分xi 量 v形y j式 v，zk代数表达）：
u v uxvx uyvy uzvz
ucos
v
物理意义： 计算功(功率)
矢量及其代数运算
矢量和矢量的模
u 、v、w u 、v 、w
矢u量v的 v加法u : 平行四边形法则 v
(u v) w u (v w)
u
uv v
u v u (v) u (u) 0 (a b)u au bu
u
平行四边形法则
a(u v) au av
vx vy vz
vu
矢量及其代数运算
矢量的乘法
பைடு நூலகம்
三个矢量u、v 、w 之间的运算
如何计算 u (v w)？
vw
u
观v 察w右图，可知 正u交(v于 w)
、 构成v 的w平面，而u (v w)
正交于 v w，因此，
一定u在 (v 、 w构) 成的v平面 w
u (v w)
(ab)u a(bu)
矢量及其代数运算
直线坐标系与矢径
笛卡尔坐标系：直角直线
费马坐标系：斜角直线
z r：矢径
r xi yj zk
r u 矢径 r确定了基矢量：i、 j、k
k
j i
x 笛卡尔坐标系
y 矢量u可表示为：
u uxi uy j uzk
矢量及其代数运算
矢量的乘法
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
从直角直线坐标系到斜角直线坐标系(平面内)
x2
(x1, x2 )
x2
(x1, x2 )
r
j
i
x1
笛卡尔坐标系
r
P
g2
g1 x1
费马坐标系
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
平面内斜角直线坐标系和矢径
x2
r
g2
g1 x1
费马坐标系
r x1g1 x2 g2
P P g
称为矢量P的协变分量
x2
P2 g 2
P2 g2
P
x2
P2 g2
P
2
P1g1
x1
2
P1 g1
2
2
P2 g2
P1 g1
2
2
P1g1 x1
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
三维空间中的斜角直线坐标系和基矢量
x3
x3 g3
r x2
v u
u
v
w2
ux vx
uy vy
uz vz
ux u y
vx vy
wx u u
wz
vu
uv vv
uw vw
wx wy wz uz vz wz w u w v w w
u v w v w u w u v u w v v u w w v u
x2 g2
O x1g1
x1
三维空间中的 斜角直线坐标系
r x1g1 x2 g2 x3 g3 xi gi
由 dr
r xi
dxi
gidxi
可定
义协变基矢量 gi 为
gi
r xi
g1 g2 g3 g1 g2 g3 g
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量
第1章 矢量与张量
2019年11月25日
张量的两种表达形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
概念的内涵和外 延（定量）
代数形式 计算式
怎样计算？
主要内容
矢量及其代数运算 斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量 曲线坐标系及坐标转换关系 并矢与并矢式 张量的基本概念 张量的代数运算 张量的矢积
可交换性： 运算次序的无关性
uv u v
(许瓦兹不等式)
对称性 不变性
矢量及其代数运算
矢量的乘法
矢量的外积
w uv
定义w式（u 实v体形式，几何表达） ：
uv u v sin
u v v u
v
u
w uv
(反交换性)
i jk
物理意义：
计算式（u分x 量u形y 式u，z 代数表达） ： 计算面积