有理数整章复习

有理数整章复习

【本讲教育信息】

一、教学内容

有理数整章复习

二、知识要点

1.知识点概要

⑴理解有理数的意义，会判断一个数是正数还是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量.

⑵认识数轴，会用数轴上的点表示有理数，能借助数轴，了解相反数的概念，比较有理数的大小，初步理解绝对值的概念.

⑶理解有理数的加减乘除及乘方的法则和运算律，会求有理数的倒数，能熟练地进行有理数运算，并能用运算律简化运算.

⑷掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算（以三步为主）.

⑸会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算.

⑹掌握科学记数法，以及精确数及有效数字的概念及应用

2.重点难点

⑴相关概念、法则、运算律的理解与掌握；

⑵有理数混合运算的法则的应用及有理数的混合运算技巧；

⑶应用有理数的运算解决实际问题.

三、考点分析

1.有理数的有关概念

⑴数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向和单位长度称作数轴的三要素.

⑵相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数. 0的相反数是0；的相反数是.

如

果互为相反数，则

有

，；反之亦成立.

⑶绝对值：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点离开原点的距离. 数的绝对

值记

作其性质是：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.根据绝对值的性质，我们可以得到：

①；②

若，

则；

若，

则.

⑷倒数：乘积为1的两个数互为倒数，我们称其中一个数为另一个数的倒数.这个概念我们可以这样来理解：①的倒数

是；②0没有倒数；③

若互为倒数，则；反之亦成立.

⑸有效数字和科学记数法

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确到的数位止，所有的数字叫做这个数的有效数字.

一般地，把一个绝对值大于10的数记成的形式，其中，是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.

2.有理数的大小比较

⑴用法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.

⑵用数轴比较：在同一数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

3.有理数的混合运算

⑴有理数的运算法则：

①加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数.

②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.

③乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0. 特别地，几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.

④除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数.

⑤有理数的乘方：求几个相同因数积的运算叫做乘方；乘方的结果叫幂，乘方是乘法的特例，由乘法法则知：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0.

⑵运算律：

①加法交换律：；②加法结合律：；③乘法交

换律：；④乘法结合律：；⑤乘法分配律：

⑶运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里边的；对于同一级运算，则按从左到右的顺序进行.

注意：①有理数的运算与小学学过的运算有一个重要的区别就是多了一个符号问题，解决问题的关键就是遵循法则，先确定符号，再算绝对值；②五条运算律是进行简便运算的依据，在混合运算中，要灵活应用运算律，有时还需将它们逆向使用.

⑷运用计算器计算：在计算时要熟悉功能键盘，掌握按键顺序.在输入一个多位数时，按键顺序应是从高位到低位依次输入；做四则运算时，其按键顺序应是从左到右，可与式子书写的顺序一样.

【典型例题】

例1. 填空：

⑴在知识竞赛中，如果＋10分表示加10分，那么扣20分可表示成；

⑵某人转动转盘，如果沿逆时针转5圈记作＋5圈，那么沿顺时针转12圈可表示成；

⑶某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准0.02克记作＋0.02克，那么－0.03可表示成；

析解：本题主要是考查同学们运用正负数表示相反意义的量的能力.答案分别是：⑴－20；⑵－12；⑶低于标准0.03克.

点评：怎样利用生活中的常见量表示正负数，理解正负数，练习本题时还需要再作一次认真的总结.

例2.填空：

⑴若m，n互为相反数，则m＋n＝.

⑵－2006的倒数是.

⑶_____.

⑷的倒数是（）.

析解：⑴由相反数的性质知，，故填0；⑵由倒数的概念知，－2006的倒数

是－；⑶由相反数的性质知，3；⑷由于＝－2，因而它的倒数是.

点评：初学代数，首先必须确保性质符号的准确.

例3.如图，数轴上两点所表示的两数的（）

Ａ.和为正数Ｂ.和为负数

Ｃ.积为正数Ｄ.积为负数

析解：本题重在考查能否应用数形结合思想及数轴上的点所提供的信息进行判别. 由图

知，A点表示，B点表示，所以，又因为0既不是正数，也不是负数，故选D.

点评：本题考查的是数轴的知识及运算符号的确定.

例4.北京奥运会于2008年8月8日20时在北京开幕，如图是5个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间2008年8月8日20时应是（）.

A.伦敦时间2008年8月8日15时

B.纽约时间2008年8月8日7时

C.多伦多时间2008年8月9日8时

D.汉城时间2008年8月8日19时

分析：中学地理中，我们学习了时区与时差的知识：北京是东八区，汉城是东九区，纽约在西五区，多伦多在西四区，而伦敦恰好在东西两区之间.我们可将这些城市的国际标准时间（单位：小时）在数轴上表示出来（如上图），从图可以看出，数轴上两点之间的单位长度实际上就是两地之间的时差.由此可轻松得到：北京与纽约的时差为13小时，北京与多伦多的时差为12小时，北京与伦敦的时差为8小时，北京与汉城的时差为－1小时.答案选B.

点评：本题巧妙地把时差与数轴相结合，将实际问题转化成了求解数轴上两点之间的距离（单位长度）这样的数学问题.