急性传染病的系统动力学建模——SIR模型
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后来很多研究人员对SIR模型做了推广。在不考虑出生与死亡等种群动力 学因素的情况下
(1)传染病若无潜伏期，动力学模型可表示为：
SI模型，患病后难以治愈；
SIS模型，患病后可以治愈，恢复者不具有免疫力；
SIR模型，患病者治愈后获利终身免疫力；
SIRS模型，病人康复后只有百度文库时免疫力，单位时间内将有部分康 复者丧失免疫力而可能再次被感染。
判断某种疾病能否扩散其实是判断：疾病传播过程中哪种反馈起主导作 用。如果传播正反馈强于康复负反馈和耗尽过程，哪怕只出现一个病人， 也能导致所有人得病。
对模型进行模拟
我们设定某一社区人数为10000人，接触速率为每天6人，感染比例为 0.25，患病的持续时间是2天。初始状态下，系统中有1人患病，其他人 都属于易感人群。将这些参数代入模型进行模拟可得：
SIR模型
在传染病动力学中，主要沿用的由Kermack与McKendrick在1927年用动力 学的方法针对急性传染病建立的SIR传染病模型 。直到现在SIR模型仍被广 泛地使用和不断发展。
SIR模型包括三个存量结构：易感人群S、感染人群I和康复人群R。设总人口 为N，则有N=S+I+R。
SIR传染病模型如下
不同参数组合下模拟SIR模型
改变接触速率 前面的模拟过程中我们将接触速率设为6，现在我们考察一下不同接触速
率情况下易感人群的变化情况
不同参数组合下模拟SIR模型
改变易感人群人数 前面的模拟过程中前面的模拟过程中我们设定社区中所有人都是易感人群，
现在我们考察一下不同易感人群数目下感染人群的变化情况。模拟结果如下
(2) 若考虑传染病的潜伏期，在三类人群中增加一类，感染而未发病者 (Exposed)，可在SIR或SIRS模型的基础上得到更复杂的SEIR或SEIRS模型。 若考虑种群动力学、疫苗接种、隔离以及密度制约、年龄结构等更为复杂的 因素，模型的参数和复杂程度也将增加。
谢谢
对急性传染病建模——SIR模型
管理科学与工程 董
传染病传播模型发展史
传染病的传播模型可追述到1760年Daniel Bernoulli对天花的分析。 1911年公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之
间传播的动态行为进行了研究 Kermack与McKendrick为了研究1665-1666年黑死病的流行规律，构
方程设定
定义IR=(ciS)(I/N) 在某个地域中，人们以接触速率c（单位时间内个人所接触的平均人数）相互接触， 因此易感人群单位时间内接触的人数为Sc；随机一次接触，是与感染者接触的速率 为I/N，但并不是遇到已感染者就会得病，i为同感染者接触而得病的可能性，所以 随机一次接触而得病的可能性为i（I/N）。综上，得出传染速率为IR=(ciS)(I/N) 有多种定义康复速率R的方法。SIR模型假定平均持续期d是一个常量，d表示感染 人群平均的得病时间，康复过程是一阶负反馈过程：RR=I/d
引爆点同接触数和易感人群的依赖关系
上图显示了不同参数下的引爆点的情形。图中曲线的左边，系统处于稳定状 态，在这些区域不会发生疾病的传播，因为感染比例、接触速率、疾病持续 期和易感人群所占人口比重都比较低。曲线右边，系统处于不稳定状态，疾 病四处传播。
扩展知识
SIR模型是比较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模 的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持。
造了著名的SIR模型，为传染病动力学的研究奠定了基础。 1973年Hethcote与Waltman用动力学方法寻求控制疾病流行花费最少
的最优接种策略。 1978年Longini等对香港和亚洲的流感在有限接种资源情况下确定了接
种的最佳年龄和社会群体。 1988年Hethcote在三个地理区域对麻疹找到了接种的最佳年龄。 2003年发生了SARS疫情，有关SARS传播动力学研究多数采用的是SIR
或SEIR模型。
传染病动力学建模的方法和意义
目前，对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研 究和理论性研究。传染病动力学研究是对传染病进行理论性定量研究的 一种重要方法，是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、 发展规律，以及与之有关的其他因素，建立能反映传染病动力学特性的 模型，通过对模型的定性、定量分析和数值模拟，来分析疾病的发展过 程，从而揭示流行规律，预测变化趋势，分析疾病流行的原因和关键因 素，寻求预防和控制的最优策略，为制定决策提供理论依据。
SIR模型
SIR模型的建立基于以下几个假设： ⑴ 不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口始终保持一个 常数。 ⑵一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。并且定义i为感染 比例。平均传染持续期d是一个常量。 ⑶假定人们被传染之后，经过一定时间就会康复，并且获得对这种传染病 的免疫能力。 （4）假设没有对已感染病人进行隔离或强迫在床。
思考
我们已经在不同参数组合下对SIR模型进行了模拟，从中又能发现哪些规 律呢，是什么因素决定了疾病的传播？ SIR模型的精确引爆点时可以计算出来的。疾病传播的条件是传染速率高
于康复速率：
它等价于
上式刻画的正是某种传染病在人群中爆发的临界点（阈值），也就 是流行病学中的阈值定理。式中cid称为接触数，cid(S/N)称为疾病 的繁殖比例。
SIR模型行为特征:引爆点
任何给定的易感人群都具有一个接触速率、感染比例和疾病持续时间的 临界组合。越过这个临界组合，正反馈就会强于负反馈，我们称这个阈 值为引爆点。模型参数低于引爆点时，系统处于稳定状态；模型参数值 高于引爆点时，系统处于不稳定状态。
如果疾病的传染速率小于康复速率，感染人群数量将会减少。在疾病传 染给所有人之前，或许疾病就已经消失了。只有当疾病的传染速率高于 康复速率时，疾病才能扩散。
(1)传染病若无潜伏期，动力学模型可表示为：
SI模型，患病后难以治愈；
SIS模型，患病后可以治愈，恢复者不具有免疫力；
SIR模型，患病者治愈后获利终身免疫力；
SIRS模型，病人康复后只有百度文库时免疫力，单位时间内将有部分康 复者丧失免疫力而可能再次被感染。
判断某种疾病能否扩散其实是判断：疾病传播过程中哪种反馈起主导作 用。如果传播正反馈强于康复负反馈和耗尽过程，哪怕只出现一个病人， 也能导致所有人得病。
对模型进行模拟
我们设定某一社区人数为10000人，接触速率为每天6人，感染比例为 0.25，患病的持续时间是2天。初始状态下，系统中有1人患病，其他人 都属于易感人群。将这些参数代入模型进行模拟可得：
SIR模型
在传染病动力学中，主要沿用的由Kermack与McKendrick在1927年用动力 学的方法针对急性传染病建立的SIR传染病模型 。直到现在SIR模型仍被广 泛地使用和不断发展。
SIR模型包括三个存量结构：易感人群S、感染人群I和康复人群R。设总人口 为N，则有N=S+I+R。
SIR传染病模型如下
不同参数组合下模拟SIR模型
改变接触速率 前面的模拟过程中我们将接触速率设为6，现在我们考察一下不同接触速
率情况下易感人群的变化情况
不同参数组合下模拟SIR模型
改变易感人群人数 前面的模拟过程中前面的模拟过程中我们设定社区中所有人都是易感人群，
现在我们考察一下不同易感人群数目下感染人群的变化情况。模拟结果如下
(2) 若考虑传染病的潜伏期，在三类人群中增加一类，感染而未发病者 (Exposed)，可在SIR或SIRS模型的基础上得到更复杂的SEIR或SEIRS模型。 若考虑种群动力学、疫苗接种、隔离以及密度制约、年龄结构等更为复杂的 因素，模型的参数和复杂程度也将增加。
谢谢
对急性传染病建模——SIR模型
管理科学与工程 董
传染病传播模型发展史
传染病的传播模型可追述到1760年Daniel Bernoulli对天花的分析。 1911年公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之
间传播的动态行为进行了研究 Kermack与McKendrick为了研究1665-1666年黑死病的流行规律，构
方程设定
定义IR=(ciS)(I/N) 在某个地域中，人们以接触速率c（单位时间内个人所接触的平均人数）相互接触， 因此易感人群单位时间内接触的人数为Sc；随机一次接触，是与感染者接触的速率 为I/N，但并不是遇到已感染者就会得病，i为同感染者接触而得病的可能性，所以 随机一次接触而得病的可能性为i（I/N）。综上，得出传染速率为IR=(ciS)(I/N) 有多种定义康复速率R的方法。SIR模型假定平均持续期d是一个常量，d表示感染 人群平均的得病时间，康复过程是一阶负反馈过程：RR=I/d
引爆点同接触数和易感人群的依赖关系
上图显示了不同参数下的引爆点的情形。图中曲线的左边，系统处于稳定状 态，在这些区域不会发生疾病的传播，因为感染比例、接触速率、疾病持续 期和易感人群所占人口比重都比较低。曲线右边，系统处于不稳定状态，疾 病四处传播。
扩展知识
SIR模型是比较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模 的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持。
造了著名的SIR模型，为传染病动力学的研究奠定了基础。 1973年Hethcote与Waltman用动力学方法寻求控制疾病流行花费最少
的最优接种策略。 1978年Longini等对香港和亚洲的流感在有限接种资源情况下确定了接
种的最佳年龄和社会群体。 1988年Hethcote在三个地理区域对麻疹找到了接种的最佳年龄。 2003年发生了SARS疫情，有关SARS传播动力学研究多数采用的是SIR
或SEIR模型。
传染病动力学建模的方法和意义
目前，对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研 究和理论性研究。传染病动力学研究是对传染病进行理论性定量研究的 一种重要方法，是根据种群生长的特性，疾病的发生及在种群内的传播、 发展规律，以及与之有关的其他因素，建立能反映传染病动力学特性的 模型，通过对模型的定性、定量分析和数值模拟，来分析疾病的发展过 程，从而揭示流行规律，预测变化趋势，分析疾病流行的原因和关键因 素，寻求预防和控制的最优策略，为制定决策提供理论依据。
SIR模型
SIR模型的建立基于以下几个假设： ⑴ 不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口始终保持一个 常数。 ⑵一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。并且定义i为感染 比例。平均传染持续期d是一个常量。 ⑶假定人们被传染之后，经过一定时间就会康复，并且获得对这种传染病 的免疫能力。 （4）假设没有对已感染病人进行隔离或强迫在床。
思考
我们已经在不同参数组合下对SIR模型进行了模拟，从中又能发现哪些规 律呢，是什么因素决定了疾病的传播？ SIR模型的精确引爆点时可以计算出来的。疾病传播的条件是传染速率高
于康复速率：
它等价于
上式刻画的正是某种传染病在人群中爆发的临界点（阈值），也就 是流行病学中的阈值定理。式中cid称为接触数，cid(S/N)称为疾病 的繁殖比例。
SIR模型行为特征:引爆点
任何给定的易感人群都具有一个接触速率、感染比例和疾病持续时间的 临界组合。越过这个临界组合，正反馈就会强于负反馈，我们称这个阈 值为引爆点。模型参数低于引爆点时，系统处于稳定状态；模型参数值 高于引爆点时，系统处于不稳定状态。
如果疾病的传染速率小于康复速率，感染人群数量将会减少。在疾病传 染给所有人之前，或许疾病就已经消失了。只有当疾病的传染速率高于 康复速率时，疾病才能扩散。