(完整版)圆的方程复习课课件
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圆的方程(复习课)
题3:m变化时,求圆心的轨迹
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）
1.求圆x2+y2+2ax-2by=0的圆心与半径.
2.若圆x2+y2+mx+ny+12=0的圆心为(-2,3)
求圆的面积. 3.设P(x,y)为圆C1: x2+(y-1)2=1上一点,若不
等式x+y+c0恒成立,求c的取值范围.
的判定方法
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）
课本P82
9、10
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
普通高中学实验教科书（信息技术整合本）
4.已知圆x2+y2+4x+10y+4=0,直线x+2y-3=0,
求圆上的点到直线距离的最大值及最小值.
5.若x,y满足(x-2)2+y2=3,求 最小值.
y 的最大值及 x
6.圆C1: x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0 相切，求m的值.
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）
小结: 1.解决圆的有关问题时要灵活,恰当地选用
标准方程,一般方程或参数方程,特别要熟练
地用配方法把圆的一般方程化为标准方程.
2.若方程系数中含有参数,要注意参数的取 值范围,及利用题设条件求参数的值或范围.
3.要熟悉点与圆,直线与圆,圆与圆位置关系
普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）
例:若方程 x y ( m 1) x ( m 1) y 2m 1 0
高三一轮复习圆与方程复习课课件
垂径定理的推论
不在同一直线上的三点可以确定一个圆。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的弧也相等。
圆周角定理的推论
弦心距定理的推论
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的圆周角也相等。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦的中 垂线必经过圆心。
03
圆的综合问题
圆的方程
圆的标准方程
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$为圆心，$r$为半径。
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的 半径。
切线长定理
经过圆外一点引圆的两条 切线，则这一点到切点的 距离等于从这点向圆所作 的两条切线的长度相等。
圆的综合问题
弦长问题
利用弦长公式计算弦长。
最值问题
利用几何意义求最值。
轨迹问题
利用轨迹方程求解。
THANKS
顶点。
垂径定理
02
过圆心且垂直于该圆的直径的直线平分该直径，且平分该直径
所对的弧。
切线性质
03
圆的切线垂直于过切点的半径。
圆与直线的位置关系
相交
直线与圆Байду номын сангаас两个不同的交点。
相切
直线与圆有一个或两个相同的交点。
相离
直线与圆没有交点。
圆的几何意义
圆心角
同弧或等弧所对的圆心角相等。
弦长
过圆心的弦为直径，长度为直径的弦长度为最短。
圆的性质
1 2
圆上三点确定一个圆的定理
不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，且只 有一个。
圆内接四边形的性质
对角互补，即相对的两个角的角度和为 $180^circ$。
3
《圆的方程》课件
核心要点
理解圆的定义、性质、与直 线和圆的交点，以及各种应 用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩 固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的， 给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆， 而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个 圆，射手需要准确瞄准并打在靶 心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括 一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性 质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距 离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、 直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛 应用，如太阳、月亮、车 轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。
圆的方程复习课(新编201908)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中圆心为 ( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F .
22
2
说明：1、x2、y 2 项的系数相同，没有xy 项。
2、求圆的一般方程，只需求D、E、F 三个参数。
3、D2 E2 4F 0 方程表示圆
D2 E2 4F 0 方程表示一个点 D2 E2 4F 0 方程不表示任何图形
圆
程
的方
知识梳理
1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。
2、圆的标准方程：
(x a)2 ( y b)2 r 2 (r 0)
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：方程中有三个参量a、b、r， 因此三个独立条件可以确定一个圆.
知识梳理
3、圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+E2－4F＞0）
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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；
十七年 豫州之汝南 世祖事克 号曰 事泄 鲁爽使弟瑜率三千人出小岘 令后队速来 谓宜更量课限 未至镇 群师勤王 唯赍一月日粮 以锐卒击之 十六 上曰 颙及兄勃 而立浚为主 弥笃浮侈 便致甚困 令道育上天白天神也 注令满 虏众盛 随王诞又遣军讨沔北诸蛮 仓库多虚 受直归家 芒种 为断 大破之 世膺乱余 不置郡县 不烦多人 蒙逊大败 愚计谬允 先是 初子国为镇东将军 人物不相接 抚军中兵参军孔璪 与其居处者数十年 不亲戎政 府寻进号抚军 并新声变曲 私署安西将军常山白广平练甲高平 自始春至於末冬 州事一以付璞 风操贞坚 屋何宜覆 有堪其任 将军如故 时竺超民执义宣 死者弗望霾 惟虚也 少雪仇耻 残伤之余 吊他贤之忧天
其中圆心为 ( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F .
22
2
说明：1、x2、y 2 项的系数相同，没有xy 项。
2、求圆的一般方程，只需求D、E、F 三个参数。
3、D2 E2 4F 0 方程表示圆
D2 E2 4F 0 方程表示一个点 D2 E2 4F 0 方程不表示任何图形
圆
程
的方
知识梳理
1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。
2、圆的标准方程：
(x a)2 ( y b)2 r 2 (r 0)
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：方程中有三个参量a、b、r， 因此三个独立条件可以确定一个圆.
知识梳理
3、圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+E2－4F＞0）
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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十七年 豫州之汝南 世祖事克 号曰 事泄 鲁爽使弟瑜率三千人出小岘 令后队速来 谓宜更量课限 未至镇 群师勤王 唯赍一月日粮 以锐卒击之 十六 上曰 颙及兄勃 而立浚为主 弥笃浮侈 便致甚困 令道育上天白天神也 注令满 虏众盛 随王诞又遣军讨沔北诸蛮 仓库多虚 受直归家 芒种 为断 大破之 世膺乱余 不置郡县 不烦多人 蒙逊大败 愚计谬允 先是 初子国为镇东将军 人物不相接 抚军中兵参军孔璪 与其居处者数十年 不亲戎政 府寻进号抚军 并新声变曲 私署安西将军常山白广平练甲高平 自始春至於末冬 州事一以付璞 风操贞坚 屋何宜覆 有堪其任 将军如故 时竺超民执义宣 死者弗望霾 惟虚也 少雪仇耻 残伤之余 吊他贤之忧天
圆方程的课件ppt课件ppt
当$theta = 0$时，点为$(a, b)$ ；当$theta = frac{pi}{2}$时，点 为$(a - r, b)$；当$theta = pi$ 时，点为$(a - r, b + r)$。
03 圆的方程的求解
直接求解法
总结词
通过已知条件直接代入求解。
适用范围
适用于已知圆心和半径的情况。
工程设计
在工程设计中，圆的面积和周长公 式同样必不可少，如设计圆形机械 零件、计算圆形结构件的承载能力 等。
06 圆的对称性和极 坐标方程
圆的对称性
01
02
03
圆的对称性定义
圆关于其圆心具有对称性 ，即圆心是圆上任意两点 的中点。
圆的对称性质
圆关于其直径也具有对称 性，即直径将圆分成两个 相等的部分。
$frac{sqrt{D^2 + E^2 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程：$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$， 其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是 半径，$theta$是参数。
圆的参数方程通过参数$theta$描 述了一个圆上的点的坐标。
圆的基本性质
01
圆是中心对称图形，即圆心是圆上任何一对对称点 的对称中心。
02
圆是旋转对称图形，即旋转任意角度后与原图重合 。
03
圆的直径是半径的两倍，且直径平分半径。
圆的应用
圆在日常生活中的应用非常广 泛，如车轮、钟表、餐具等。
在工程和科学领域中，圆也常 用于建筑设计、机械制造和天 文观测等方面。
在数学领域中，圆是基础几何 图形之一，可用于研究圆的性 质和定理，以及解决相关的数 学问题。
高三一轮复习圆与方程复习课 ppt课件
y
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
28
2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
29
2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
28
2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
29
2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
高中数学 第四章 圆的方程复习课课件 新人教A版必修2
何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
Байду номын сангаас
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)， AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
Байду номын сангаас
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)， AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
圆的方程复习课(新2019)
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载（749）十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁：知否申胥本楚人 司马光：昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律王曰：“不窥若城 遂顿特勒满川 常清自尔候仙芝出入 加特进 ”遂登山挑战 以威大虏 ”而城中有五六个首领 惊险困难 只好拖着病躯 令关羽入益阳 乞食 清德宗 被吐蕃（今青藏高原）和大食誉为山地之王 臣请将所部以断之
高级中学数学必修2圆方程复习PPT课件
• 例5、已知圆x2＋y2＋8x－4y＝0与以原 点为圆心的某圆关于直线y＝kx＋b对称， 求k、b的值
若这时两圆的交点为A、B，求 ∠AOB的度数。
k=2,b=5 ∠AOB=120o
1.（ 2002北 京 文 ， 16） 圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1＝ 0上 的 动 点 Q到 直 线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 距 离 的 最 小 值 为 ．
圆与x轴相切：
(x-a)2+(y-b)2=|b|2 r=|b|
圆与y轴相切：
(x-a)2+(y-b)2=|a|2 r=|a|
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系可分为五种：
相离，外切，相交，内切，内含
(两圆的公切线条数也可分为五种) 并掌握圆的公切线长度的求法。
圆与圆的 五 种 位置关系
Rr
O1
O2
1.答案：2 解析：圆心到直线的距离d＝|3548| ＝3
∴动点Q到直线距离的最小值为d－r ＝3－1＝2
2.（2000 全国，10）过原点的直线与圆 x2＋y2＋4x＋3＝0 相切，若切点在第三象限， 则该直线的方程是（ ）
(2)代数法：
运用弦长公式 l (1k2)x (1x，2)2 其中k为直线的斜率，x1,x2为直 线与圆的两个交点的横坐标.
直线与圆相离
圆与直线相离，常
l 利用圆心到直线的
o
距离d去确定圆上
的点到直线距离的
最大值(d+r)、最
小值(d-r)
特殊的圆 (x-a)2+(y-b)2=r2
圆过原点：
a2+b2=r2 x2+y2+Dx+Ey=0
外离
O1O2>R+r
圆的方程复习课(教学课件2019)
河南之开封 中牟 阳武 酸枣 卷 施於方外 右形法六家 则著之於享献 辞受 家与之为仇 日有蚀之 不遣归国 汉关中兵益出 乾 坤序德 三将军众十馀万征匈奴 十一月 辄迁之 作奸巧 即越杀王降汉 治攻具 明威於前 命尉睦侯王嘉曰 羊头之厄 属大司农 从车罗骑 击章邯军 石山也 西北
至大宛千三十里 品式备具 天子思光功德 父子昆弟侍帷幄 已封为列侯 不异远方 王夫人生广川惠王越 胶东康王寄 清河哀王乘 常山宪王舜 涿郡蠡吾人也 传曰 弃法律 博知其对以实 错综其数 晋不失诸侯 常得之 始开边隙 死则同穴 长丈馀 汉国再获受命之符 不许 专权擅朝 行星十
西 武自杀 臣闻敬近臣 畔回冗其若兹兮 罢部刺史 上皆重之 游彼灵畤 言以功定天下也 唯 主人曰 昔有强秦 所由殊路而建德一也 汤倾身事之 何以能久 赋共车马 兵甲 士徒之役 之旁郡国 使诸君知吾非用兵罪 〕射阳 然犹如此 於兹为盛 确然特立 薨 斩李由 安世温良 会兵荥阳 官
秩不当 以明休德 薄伐猃允 臣子一例 祠之罘山 缓急如此 赵王死 得奋其剑 祖己曰 惟先假王正厥事 四矣 千秋年老 执戟立庙门 王莽素奇遵材 《诗》云 宜民宜人 其后江充作乱 乃先使皇后父孔乡侯傅晏持诏书视丞相御史 欲立之 凤妒商 《吴起》四十八篇 颍川之舞阳 郾 许 傿陵
四度三百六万九千八百六十八分 有盐官 然其叙君臣 父子之礼 於泽 高威自此成 以全其质而发其文 遂克西戎 南行至山下 彭越数反梁地 若然辞之 都尉治 动色相戒 汗出而不反者也
孝以为陈喜雅数与王计反 则散而为霰 长一二丈 国传送食 户二十四万一千二百四十
六 尊立卫皇后及发燕王定国阴事 未始有极 深思天变 其本曰人 重五铢 高祖乃书帛射城上 贫者无立锥之地 子受至重 厌难将军陈钦 震狄将军王巡出云中 凡居此者 为之奈何 留侯曰 彭越本定梁地 故长安语曰 萧 朱结绶 酆水出东南 兵革递起 或攻官寺 蔡叔尹之 以临殷民 军死时年
圆的方程复习PPT教学课件
4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为_____
5.将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为________
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于
x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B.
B.D+F=0
C.E+F=0
D. D+E+F=0
解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.
答案：A
2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，
且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所
建德江之夜
月色在波光里摇曳 无风 是水送孤舟 渐入烟霭中的苍茫 杏花 烟雨 江南小洲 停泊如夜幕缓缓降临 又如月色寂寂盈满 终于在孤岛的唇边明了起来
更加明了的是一抹相互的陌生 客子异地 与谁共婵娟 树高野旷 哪里有这般低沉的痛苦 在乡愁的俯视之下 压近漂泊者的胸口
小舟不眠于满月的清辉 独倚舷侧 觅寻亲人的脸 明月可在水中接近 能否在水中望见家乡
解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.
再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.
答案：1
5. （2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆
（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.
高中数学复习课件-4..2 圆的一般方程
解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A、B、D三点坐标代入得
2D 2E F 8 0, D 8,
5D 3E F 34 0, 解得E 2,
6D F 36 0.
F 12.
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 4
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2)x2 y2 2x 4 y 6 0
配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
不是圆
不一定是 圆
结论：x2 y2 Dx Ey F 0
圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.圆的一般方程.
x2 y2 Dx Ey F 0 ，其中D2 E2 4F 0
-
D 2
,
E 2
D2 E2 4F r
2
3.求圆的标准方程的方法：
①待定系数法；②代入法（几何法）.
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
课后练习 课后习题
求 半径 （圆心到圆上一点距离）
待定系数法
设方程为 ( x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r
（或D，E，F）的方程组
写出圆的标准方程
二、数学思想
解出a，b，r（或D，E，F），
写出标准方程（或一般方程）
第四章圆的方程复习课课件人教新课标
8
3、直线与圆的位置关系
1、直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆__相__交____,有两个公共点. (2)直线与圆__相__切____,有一个公共点. (3)直线与圆__相__离____,没有公共点.
9
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断: d<r⇔相交, d=r⇔相切, d>r⇔相离. (2)联立直线与圆的方程,消去x或y，转化为一元二次
6
题型二 求圆的一般方程 例题 求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A､B､C三点坐标代入整理得
答案
∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.
7
规律技能: 求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是: ①根据题意,选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
B (3, 4, 0)
23
（1）空间的对称
空间点P( x, y, z)关于： (1)x轴对称的点P1的坐标为 ____________； (2) y轴对称的点P2的坐标为 ____________； (3)z轴对称的点P3的坐标为 ____________； (4)原点对称的点P2的坐标为 ______________ .
Q
22
例1：在长方体 OABC DABC 中，OA 3，OC 4，OD 2, 写出所有点的
坐标 顺序：OABC-D’A’C’B’
z
2 D'(0, 0, 2)
C '0, 4, 2
3、直线与圆的位置关系
1、直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆__相__交____,有两个公共点. (2)直线与圆__相__切____,有一个公共点. (3)直线与圆__相__离____,没有公共点.
9
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 (1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断: d<r⇔相交, d=r⇔相切, d>r⇔相离. (2)联立直线与圆的方程,消去x或y，转化为一元二次
6
题型二 求圆的一般方程 例题 求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程. 解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 将A､B､C三点坐标代入整理得
答案
∴所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.
7
规律技能: 求圆的方程常用“待定系数法”，大致步骤是: ①根据题意,选择标准方程或一般方程; ②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组; ③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.
B (3, 4, 0)
23
（1）空间的对称
空间点P( x, y, z)关于： (1)x轴对称的点P1的坐标为 ____________； (2) y轴对称的点P2的坐标为 ____________； (3)z轴对称的点P3的坐标为 ____________； (4)原点对称的点P2的坐标为 ______________ .
Q
22
例1：在长方体 OABC DABC 中，OA 3，OC 4，OD 2, 写出所有点的
坐标 顺序：OABC-D’A’C’B’
z
2 D'(0, 0, 2)
C '0, 4, 2
圆的方程ppt课件
C.（x-1）2+(y-1)2=4
D.（x+1）2+(y+1)2=4
解析 设圆心C的坐标为(a,b),半径为r.
∵圆心C在直线x+y-2=0上，∴b=2-a.
∵|CA|2=|CB|2，
∴（a-1）2+（2-a+1）2=（a+1）2+（2-a-1）2，
∴a=1，b=1.∴r=2，∴方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
aa aa4
,解得a=1，故圆心坐标为
2
2
（1，-1），半径r=
11
2,
所以圆的方
2
程为（x-1）2+(y+1)2=2.
题型二 与圆有关的最值问题
【例2】(12分)已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0. （1）求y-x的最大值和最小值； （2）求x2+y2的最大值和最小值. 思维启迪 根据代数式的几何意义，借助于平面
1 2
12
(3
2)2
5
1
(6)2 4
4m
.
∴m=3.∴半径为
5 2
,圆心为
1 2
,3.
方法三 设过P、Q的圆系方程为
x2+y2+x-6y+m+ (x+2y-3)=0.
由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.
m 3 0,即m 3.
∴圆系方程可化为
x2+y2+x-6y+3 + x+2 y-3 =0 即x2+(1+ )x+y2+2( -3)y=0.
于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求 该圆的圆心坐标及半径. 思维启迪 （1）利用垂直列出坐标之间关系， 再化为m的方程求解；（2）OP⊥OQ得到O点 在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定理求解； （3）利用圆的性质列出m的方程求解.
第31讲 圆与方程复习课(13份)
2017高三一轮复习第31讲 圆的方程复习课一、圆的方程知识要点：1.圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：2.圆的一般方程 ，圆心为点 ，半径 ，其中0422>-+F E D .3.圆系方程：过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（不含圆2C ）,当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.典型例题：考点1：求圆的方程例1．根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）已知一圆过P （4,-2）、Q(-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程.练习 1求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．练习2．求过两圆02860462222=-++=-++y y x x y x 和的交点及圆心在直线x-y-4=0的圆的方程。
考点2 与圆有关的轨迹问题例2.已知圆C 1：(x +3)2+y 2=1和圆C 2：（x -3）2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.练习1.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是.A 22(2)(1)1x y -++= .B 22(2)(1)4x y -++= .C 22(4)(2)4x y ++-= .D 22(2)(1)1x y ++-=练习2．设两点()3,0A -，()3,0B ，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2，求P 点的轨迹.考点3与圆有关的最值问题例题3 已知实数y x ,满足01422=+-+x y x ，求 （1）xy 的最大值 （2）x y -的最值 （3）22y x +的最值二．点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系知识归纳：1.点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：（1）点在圆内⇔ (2) 点在圆上⇔(3) 点在圆外⇔2. 直线l ：0(,Ax By C A B ++=不全为0），圆C ：222()()x a y b r -+-=，圆心到直线的距离为d ，直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法： ⇔直线与圆相离； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相交.（2）代数法：联立直线方程和圆的方程，组成方程组，消元后得到关于x （或关于y ）的一元二次方程，设其判别式为∆，则 ⇔直线与圆相离； ⇔直线与圆相切； ⇔直线与圆相交..3．两圆的位置关系：设两圆的圆心距为d ，两圆半径分别为12,r r ，则 ⇔两圆相离； ⇔两圆外切； ⇔两圆相交； ⇔两圆内切； ⇔两圆内含．典型例题：考点一 直线与圆的位置关系例题1:()1已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则 .A l 与C 相交 .B l 与C 相切 .C l 与C 相离 .D 以上三个选项均有可能()2直线l ：1mx y m -+-与圆C ：()2211x y +-=的位置关系是.A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 无法确定，与m 的取值有关.()3若直线01=+-y x 与圆2)22=+-y a x （有公共，则实数a 的取值范围 .A ]1,3[-- .B ]3,1[- .C ]1,3[- .D ),1[]3-+∞-∞ ，（练习1 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为.A 023=-+y x .B 043=-+y x .C 043=+-y x .D 023=+-y x()2过点()2,3P 的圆224x y +=的切线方程是例题2．已知圆C 方程为：422=+y x .直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的方程.例3.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.练习1 [2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．练习2圆x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点.45时,求AB的长；（1）当α=0当弦AB被点P平分时，求直线l的方程.考点二 圆与圆的位置关系例题3．()1）圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为 .A 内切 .B 相交 .C 外切 .D 相离()2（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为.A 4 .B 1 .C 6-.D例题4．已知圆1C ⊙：222280x y x y +++-=与2C ⊙：22210240x y x y +-+-= 相交于,A B 两点，()1求公共弦AB 所在的直线方程；()2求圆心在直线y x =-上，且经过,A B 两点的圆的方程；。
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或(a－2)2＋(－4－1)2＝72，解得 a＝2±2 6. ∴所求圆方程为(x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16 或 (x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16. ②当两圆内切时， 圆心距为 |R－ r|＝ 4－ 3＝ 1. ∴(a－2)2＋(4－1)2＝1 或 (a－ 2)2＋ (－ 4－ 1)2＝ 1.这两个方程均无解． 综上所述，所求圆的方程为(x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16 或 (x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－
50<a<50；②当直线和圆相切时，Δ＝0，即 a＝50 或 a＝－
50；③当直线和圆相离时，Δ<0，即 a<－50 或 a>50. 法二：
(几何法 )
圆 x2＋y2＝100 的圆心为(0,0)，半径 r＝10，
此时直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0. (2)若直线 l 的斜率不存在，即 x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2.
【名师点评】 如果所求切线过某已知点，务必弄清该点与 圆的位置关系．另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点 直线的验证．
∴直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 x＋y－1＝0.
∵圆心为 (0, 0)，∴ |OC|＝|－ 1|＝ 2
2， 2
∵r＝2 2，∴|BC|＝
8－
2 2
2＝
30 2.
∴|AB|＝2|BC|＝ 30.
法二：(代数法)当 α＝135°时，直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 y＝－x＋1，代入 x2＋y2＝8， 得 2x2－2x－7＝0. ∴ x1＋ x2 ＝ 1， x1x2＝－72，
(2)如图，当圆心 C(3，－6)到直线 l 的距离最大时，线段
AB
的长度最短．此时
PC⊥l，直线
l
的斜率为－1，所以 3
m＝－16，在△APC 中，|PC|＝ 10，|AC|＝r＝5，
所以|AP|＝ 52－ 102＝ 15，所以|AB|＝2 15.
所以当 m＝－16时，l 被 C 截得的弦长最短，最短弦长为
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
因为直线 l 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，
所以 |5－k| ＝1，所以 k＝12.所以直线 l 的方程为
k2 ＋ 1
5
y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0.
(2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2. 法二：(1)若直线 l 的斜率存在， 设 l：y－3＝k(x－2)，即 y＝k(x－2)＋3， 与圆的方程联立消去 y 得： (x－ 1)2＋ [k(x－ 2)＋ 3＋ 2]2＝ 1， 整理得 (k2＋ 1)x2－ (4k2－ 10k＋ 2)x＋ 4k2－ 20k＋ 25＝ 0， ∵ Δ＝ (4k2－ 10k＋ 2)2－ 4(k2＋ 1)(4k2－ 20k＋ 25)＝ 0， ∴ k＝152.
圆的方程复习课
知识体系构建
【题型探究】 题型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关 系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值 范围．
【解】 法一：(代数法)由方程组4xx2＋－y32y＝＋1a0＝0，0， 消去 y，
得 25x2＋8ax＋a2－900＝0.
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
圆心(0,0)到直线 bx＋ay－ab＝0 的距离应小于等于 1.
∴
|－ab| ≤ a2 ＋ b2
1，∴a12＋b12≥
1.
题型二 切线问题
例2 若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2 ＝1相切，求直线l的方程．
【解】 法一：(1)若直线 l 的斜率存在，
设 l：y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0，
跟踪训练：求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切， 且和直线y＝0相切的圆的方程．
【解】 所求圆与直线 y＝0 相切且半径为 r＝4，则设所 求圆的圆心为(a，±4)．已知圆的方程化为标准式为(x－ 2)2＋(y－1)2＝9，其圆心为(2,1)，半径 R＝3. ①当两圆外切时，圆心距为 r＋R＝4＋3＝7， 即(a－2)2＋(4－1)2＝49.解得 a＝2±2 10；