(完整版)圆的方程复习课课件
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因为直线 l 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，
所以 |5－k| ＝1，所以 k＝12.所以直线 l 的方程为
k2 ＋ 1
5
y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0.
(2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2. 法二：(1)若直线 l 的斜率存在， 设 l：y－3＝k(x－2)，即 y＝k(x－2)＋3， 与圆的方程联立消去 y 得： (x－ 1)2＋ [k(x－ 2)＋ 3＋ 2]2＝ 1， 整理得 (k2＋ 1)x2－ (4k2－ 10k＋ 2)x＋ 4k2－ 20k＋ 25＝ 0， ∵ Δ＝ (4k2－ 10k＋ 2)2－ 4(k2＋ 1)(4k2－ 20k＋ 25)＝ 0， ∴ k＝152.
跟踪训练：求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切， 且和直线y＝0相切的圆的方程．
【解】 所求圆与直线 y＝0 相切且半径为 r＝4，则设所 求圆的圆心为(a，±4)．已知圆的方程化为标准式为(x－ 2)2＋(y－1)2＝9，其圆心为(2,1)，半径 R＝3. ①当两圆外切时，圆心距为 r＋R＝4＋3＝7， 即(a－2)2＋(4－1)2＝49.解得 a＝2±2 10；
或(a－2)2＋(－4－1)2＝72，解得 a＝2±2 6. ∴所求圆方程为(x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16 或 (x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16. ②当两圆内切时， 圆心距为 |R－ r|＝ 4－ 3＝ 1. ∴(a－2)2＋(4－1)2＝1 或 (a－ 2)2＋ (－ 4－ 1)2＝ 1.这两个方程均无解． 综上所述，所求圆的方程为(x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16 或 (x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16.
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)， AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
此时直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0. (2)若直线 l 的斜率不存在，即 x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2.
【名师点评】 如果所求切线过某已知点，务必弄清该点与 圆的位置关系．另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点 直线的验证．
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－
50<a<50；②当直线和圆相切时，Δ＝0，即 a＝50 或 a＝－
50；③当直线和圆相离时，Δ<0，即 a<－50 或 a>50. 法二：
(几何法 )
圆 x2＋y2＝100 的圆心为(0,0)，半径 r＝10，
∴直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 x＋y－1＝0.
∵圆心为 (0, 0)，∴ |OC|＝|－ 1|＝ 2
2， 2
∵r＝2 2，∴|BC|＝
8－
2 2
2＝
30 2.
∴|AB|＝2|BC|＝ 30.
法二：(代数法)当 α＝135°时，直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 y＝－x＋1，代入 x2＋y2＝8， 得 2x2－2x－7＝0. ∴ x1＋ x2 ＝ 1， x1x2＝－72，
(2)如图，当圆心 C(3，－6)到直线 l 的距离最大时，线段
AB
的长度最短．此时
PC⊥l，直线
l
的斜率为－1，所以 3
m＝－16，在△APC 中，|PC|＝ 10，|AC|＝r＝5，
所以|AP|＝ 52－ 102＝ 15，所以|AB|＝2 15.
所以当 m＝－16时，l 被 C 截得的弦长最短，最短弦长为
圆心(0,0)到直线 bx＋ay－ab＝0 的距离应小于等于 1.
∴
|－ab| ≤ a2 ＋ b2
1，∴a12＋b12≥
1.
题型二 切线问题
例2 若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2 ＝1相切，求直线l的方程．
【解】 法一：(1)若直线 l 的斜率存在，
设 l：y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0，
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
圆的方程复习课
知识体系构建
【题型探究】 题型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关 系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值 范围．
【解】 法一：(代数法)由方程组4xx2＋－y32y＝＋1a0＝0，0， 消去 y，
得 25x2＋8ax＋a2－900＝0.
因为直线 l 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，
所以 |5－k| ＝1，所以 k＝12.所以直线 l 的方程为
k2 ＋ 1
5
y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0.
(2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2. 法二：(1)若直线 l 的斜率存在， 设 l：y－3＝k(x－2)，即 y＝k(x－2)＋3， 与圆的方程联立消去 y 得： (x－ 1)2＋ [k(x－ 2)＋ 3＋ 2]2＝ 1， 整理得 (k2＋ 1)x2－ (4k2－ 10k＋ 2)x＋ 4k2－ 20k＋ 25＝ 0， ∵ Δ＝ (4k2－ 10k＋ 2)2－ 4(k2＋ 1)(4k2－ 20k＋ 25)＝ 0， ∴ k＝152.
跟踪训练：求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切， 且和直线y＝0相切的圆的方程．
【解】 所求圆与直线 y＝0 相切且半径为 r＝4，则设所 求圆的圆心为(a，±4)．已知圆的方程化为标准式为(x－ 2)2＋(y－1)2＝9，其圆心为(2,1)，半径 R＝3. ①当两圆外切时，圆心距为 r＋R＝4＋3＝7， 即(a－2)2＋(4－1)2＝49.解得 a＝2±2 10；
或(a－2)2＋(－4－1)2＝72，解得 a＝2±2 6. ∴所求圆方程为(x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16 或 (x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16. ②当两圆内切时， 圆心距为 |R－ r|＝ 4－ 3＝ 1. ∴(a－2)2＋(4－1)2＝1 或 (a－ 2)2＋ (－ 4－ 1)2＝ 1.这两个方程均无解． 综上所述，所求圆的方程为(x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16 或 (x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16.
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)， AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
此时直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0. (2)若直线 l 的斜率不存在，即 x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2.
【名师点评】 如果所求切线过某已知点，务必弄清该点与 圆的位置关系．另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点 直线的验证．
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－
50<a<50；②当直线和圆相切时，Δ＝0，即 a＝50 或 a＝－
50；③当直线和圆相离时，Δ<0，即 a<－50 或 a>50. 法二：
(几何法 )
圆 x2＋y2＝100 的圆心为(0,0)，半径 r＝10，
∴直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 x＋y－1＝0.
∵圆心为 (0, 0)，∴ |OC|＝|－ 1|＝ 2
2， 2
∵r＝2 2，∴|BC|＝
8－
2 2
2＝
30 2.
∴|AB|＝2|BC|＝ 30.
法二：(代数法)当 α＝135°时，直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 y＝－x＋1，代入 x2＋y2＝8， 得 2x2－2x－7＝0. ∴ x1＋ x2 ＝ 1， x1x2＝－72，
(2)如图，当圆心 C(3，－6)到直线 l 的距离最大时，线段
AB
的长度最短．此时
PC⊥l，直线
l
的斜率为－1，所以 3
m＝－16，在△APC 中，|PC|＝ 10，|AC|＝r＝5，
所以|AP|＝ 52－ 102＝ 15，所以|AB|＝2 15.
所以当 m＝－16时，l 被 C 截得的弦长最短，最短弦长为
圆心(0,0)到直线 bx＋ay－ab＝0 的距离应小于等于 1.
∴
|－ab| ≤ a2 ＋ b2
1，∴a12＋b12≥
1.
题型二 切线问题
例2 若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2 ＝1相切，求直线l的方程．
【解】 法一：(1)若直线 l 的斜率存在，
设 l：y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0，
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
圆的方程复习课
知识体系构建
【题型探究】 题型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关 系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值 范围．
【解】 法一：(代数法)由方程组4xx2＋－y32y＝＋1a0＝0，0， 消去 y，
得 25x2＋8ax＋a2－900＝0.