第7章角动量资料

Lˆz i
x
y
y
x
4
3.轨道角动量分量的算符间的对易关系
[Lˆx , Lˆy ] Lˆx Lˆy Lˆy Lˆx
为求上述对易子，先将算符 Lˆ y 作用于某个任意函数
f(x,y,z)，得：
Lˆ y f i
z
f x
x
f z
在将算符 Lˆx 作用于上面所得函数，得：
Lˆx Lˆ y f
对于单电子，S2
和
Sz
的本征态只有两个，以和表示。
S 2 s(s 1)
2 1 (1 1)
2 ,
s1
22
2
S 2 s(s 1)
2 1 (1 1)
2,
s1
22
2
Sz ms
1
2
,
ms
1 2
Sz ms
1
2
,
1 ms 2
(10) (11)
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s或ms都叫做单电子的自旋量子数。ms =1/2的 态叫做上自旋态(spin-up state), ms =-1/2的态叫 做下自旋态(spin-down state).
2
y
f x
yz
2 f zx
yx
2 f z 2
-
z2
2 f yx
zx
2 f yz
5
同样：
Lˆx f i
y
f z
z
f y
Lˆ y Lˆx f
2
zy
2 f xz
z2
2 f xy
xy
2 f z 2
x
f y
xz
2 f zy
这样： [Lˆx , Lˆ y ] f [Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx ] f Lˆx Lˆ y f Lˆ y Lˆx f
7
同样，我们还可以求得：
Lˆ2 , Lˆ y 0
Lˆ2 , Lˆz 0
根据各个算符间的对易关系，可以得出如下结
论：角动量大小的平方L2与任意一个分量可以同时
具有确定值，但是角动量的三个分量最多只有一个
有确定值，通常我们选取Lz做为与L2同时具有确定 值的角动量分量。
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注意：我们说角动量大小的平方L2具有确定值并 不是意味着角动量矢量 完全确定，因为 是个矢量，
[Sit , S jt ] i Skt
（6） (7)
自旋角动量本征方程
St2 Y S(S 1) 2Y,
(S 0,
1, 2
1,
3, 2
2,
)
(8)
Szt Y Ms Y, (Ms S, S 1,
, S 1, S)
(9)
上式中S为多电子体系的总自旋量子数，Ms为S沿z轴的分量。
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2．单电子自旋算符的本征函数和本征值
电子自旋的取向
z
z
1 2
S
3 2 1
2
3 2
S
14
7.3 多电子原子的量子数和光谱项 R多电子原子的量子数 R光谱项及其应用
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一、多电子原子的量子数
1.总轨道角量子数L
单电子轨道角动量
M l(l 1)
原子的总轨道角动量 ML ML L(L 1)
总轨道角量子数
L l1 l2 lN , l1 l2 lN 1, l1 l2
[Sx, Sy ] i Sz
[Sy, Sz ] i Sx
(3)
[Sz, Sx] i Sy
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多电子体系
ห้องสมุดไป่ตู้
St2
S
2 xt
S
2 yt
S
2 zt
(4)
Sxt Sxj
j
Syt Syj
(5)
j
Szt Szj
j
11
总电子自旋有相同的对易规则
[St2 , Sit ] 0 i x, y, z
N
最小值为0或 li 的最小正值 i
lN 2,
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单电子轨道角动量在外磁场方向上的分量 Mz m
原子总轨道角动量在外磁场方向上的分量
M Lz mL
N
总轨道磁量子数 mL mi i 1
共有2L＋1个取值：L，L－1，L－2，…，－L
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2. 总自旋量子数S
原子的总自旋角动量 MS MS S(S 1)
2
y
f x
x
f y
2
y
x
x
y
f
所以： [Lˆx , Lˆ y ] i Lˆz
其中用了下列关系式：
2 f 2 f zx xz
(这对于品优波 函数总是成立的)
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同样，我们可以求得：
[Lˆy , Lˆz ] i Lˆx [Lˆz , Lˆx ] i Lˆy
Lˆ2 , Lˆ x Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2x , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ y Lˆ y , Lˆ x Lˆ y , Lˆ x Lˆ y Lˆz Lˆz , Lˆ x Lˆz , Lˆ x Lˆz i Lˆ y Lˆz i Lˆz Lˆ y i Lˆz Lˆ y i Lˆ y Lˆz 0
第七章 角动量
1
7.1 单粒子体系的角动量
经典力学中的角动量
在经典力学中角动量可以用一个矢量 L来表示。它定义为质点
到原点的矢量r和质点的线动量 p 的矢量积，即：
i jk
Lrp x y z
1
px py pz
式中的x，y，z和px，py，pz分别是矢量 r 和 p 在x，y和z轴方向的
分量。
2
1 经典力学中的角动量
原子的总自旋量子数
S s1 s2 sN , s1 s2 sN 1, s1 s2 sN 2,
对电子而言 s 1 2
S N , N 1, N 2, , 1 ,0
22 2
2
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总自旋角动量在外磁场方向的分量
要完全确定之，必须要知L 道其在各个方向上L的分量，
这一点我们是做不到的，因为角动量各个分量的量 子力学算符间是不可对易的，最多只能有一个具有 确定的值。
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7.2 电子自旋
1.自旋角动量算符的对易关系
单电子情况
S2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
(1)
[S 2, Si ] 0 i x, y, z (2)
根据角动量定义(1)，可得：
L ypz zpy i zpx xpz j xpy ypx k
Lxi Ly j Lzk
所以角动量的三个分量Lx，Ly，Lz等于
Lx ypz zpy , Ly zpx xpz , Lz xpy ypx
L2 L2x L2y L2z
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2.量子力学中的角动量
在量子力学中有两种角动量：轨道角动量和自旋角动量。轨道 角动量对应于经典力学中的角动量，而自旋角动量是粒子“自 旋”运动的角动量，在经典力学中没有对应的物理量。 根据量子力学的基本假设，轨道角动量的分量的算符为：
Lˆx i
y
z
z
y
Lˆ y i
z
x
x
z