第7章角动量资料
角动量课件
角动量的物理意义
总结词
角动量决定了物体旋转运动的特征。
详细描述
角动量的大小决定了物体旋转运动的快慢和方向。在无外力矩作用的情况下，角动量守恒，即物体的角动量保持 不变。这表明旋转运动的特性是保持不变的。
角动量的守恒定律
总结词
无外力矩作用时，系统角动量守恒。
详细描述
根据牛顿运动定律和角动量定理，当系统受到的外力矩为零时，系统角动量守恒。这意味着在封闭系 统中，如果没有外力矩作用，物体的旋转运动特性保持不变。这一原理在分析旋转机械、行星运动等 问题中具有重要应用。
角动量理论的发展
02
随着物理学的发展，角动量理论逐渐完善，被广泛应用于天体
物理、量子力学等领域。
角动量理论的挑战
03
随着研究的深入，角动量理论面临一些挑战，如对非线性系统
的描述、高维空间中的角动量等问题。
角动量理论的现代研究方法
数值模拟方法
利用计算机进行数值模拟，研究角动量在不同系 统中的演化规律。
详细描述
力可以改变物体的运动状态，包括速度和角速度。当物体受到外力作用时，其角动量会 发生变化。根据牛顿第二定律，力的大小等于角动量对时间的导数与质量的乘积。因此
，力、角动量和时间之间存在密切的联系。
06 角动量理论的发展与展望
角动量理论的历史发展
角动量理论的起源
01
角动量理论起源于经典力学，最初用于描述旋转运动的物体。
角动量课件
目录
CONTENTS
• 角动量基本概念 • 角动量在日常生活中的应用 • 角动量在科学实验中的应用 • 角动量在工程技术中的应用 • 角动量与其他物理量的关系 • 角动量理论的发展与展望
01 角动量基本概念
第7章角动量资料
f z
在将算符 Lˆx 作用于上面所得函数，得：
Lˆx Lˆ y f
2
y
f x
yz
2 f zx
yx
2 f z 2
-
z2
2 f yx
zx
2 f yz
5
同样：
Lˆx f i
y
f z
z
f y
Lˆ y Lˆx f
2
zy
2 f xz
z2
2 f xy
xy
2 f z 2
x
f y
xz
2 f zy
这样： [Lˆx , Lˆ y ] f [Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx ] f Lˆx Lˆ y f Lˆ y Lˆx f
2
y
f x
x
f y
2
y
x
x
y
f
所以： [Lˆx , Lˆ y ] i Lˆz
其中用了下列关系式：
2 f 2 f zx xz
(这对于品优波 函数总是成立的)
我们说角动量大小的平方l具有确定值并不是意味着角动量矢量完全确定因为是个矢量要完全确定之必须要知道其在各个方向上的分量这一点我们是做不到的因为角动量各个分量的量子力学算符间是不可对易的最多只能有一个具有确定的值
第七章 角动量
1
7.1 单粒子体系的角动量
经典力学中的角动量
在经典力学中角动量可以用一个矢量 L来表示。它定义为质点
电子自旋的取向
z
z
1 2
S
3 2 1
2
3 2
S
14
7.3 多电子原子的量子数和光谱项 R多电子原子的量子数 R光谱项及其应用
15
角动量定理与万有引力
两个质点的孤立体系和角动量
而掠面速度对时间的微商为：
dS i 1 dri dv i 1 v i ri dt 2 dt 2 dt dv dv 1 1 1 v i v i ri i ri i 2 2 dt 2 dt
体系的角动量与质心的角动量
设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在 质心系 KC 中，质心的角动量为 LC，则有： 令： L r m v 称为质心角动量 C C C C
LCM ( rC i mi v C i ) 称为体系相对于质心的角动量
i
则有：
L LC LCM
单质点孤立体系和掠面速度
单质点的孤立体系就是不 受外力作用的自由质点，它作 匀速直线运动（我们取惯性参 考系，且静止看成是匀速直线 运动的特例）。 如图，设该质点位于P点， 沿直线 AB 从 A 向 B 方向运动， 在相等的时间间隔 ⊿t的位移 是 ⊿s = v⊿t。 由于 OP 的方向（即 r 的方向）在不断改变，故 P 点相对于 O 点有转动。
单质点孤立体系和掠面速度
由图可见，各时间间隔 ⊿t 内矢径 r 扫过的那些小三角形具 有公共的高线 OH，因而有相等 的面积，于是我们找到的守恒量 是：矢径 r 在单位时间内扫过的 面积 S，我们称 该面积 S 为质点 P 的掠面速度。设矢径 r 与 AB 线的夹角为θ，故对单质点的孤 立体系有： 1 s 1 S r sin rv sin 常量 2 t 2
说明：
1. 角动量是矢量，单个质点的角动量是 r 和 p 的矢积， 因而既垂直于 r，又垂直于 p，即垂直于 r 和 p 所确 定的平面，其指向由右手定则决定。
自主学习01 教材内容 第七章 自旋与角动量
自主学习01 教材内容第七章自旋与角动量知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测知识框架重点难点1.自旋算符与泡利矩阵2.轨道自旋耦合及自旋自旋耦合3.两电子体系的自旋波函数4.两个角动量的耦合(CG系数)7.1电子的自旋[教学目标]:理解电子的自旋[重点难点]:自旋[教学内容]:在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 110-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。
我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。
当然，自旋是Dirac 电子的相对论性理论的自然结果。
现在我们从实验事实来引入。
(1)电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach 实验（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩μ，那在磁场中的附加能量为αμμcos B B U -=⋅-=如果经过的路径上，磁场在z 方向上有梯度，即不均匀，则受力dz dB U F αμcos =-∇=从经典观点看αcos 取值（从11--）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值dz dB μ-—dz dB μ所以原子分裂成一个带。
但Stern-Gerlach 发现，当一束处于基态的银原子通 过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。
而人们知道，银原子（47z =）基 态0l =，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二 个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的 投影仅取二个值。
这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩sμ，与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。
角动量_精品文档
角动量什么是角动量？在物理学中，角动量是描述物体旋转运动的一种物理量。
它与物体的惯性和旋转速度有关，用来描述物体围绕某个轴或中心进行旋转的能力或力矩。
角动量的定义角动量（L）的定义是物体的质量（m）与其线性速度（v）以及旋转半径（r）三个因素的乘积。
数学上可以表示为：L = mvr其中，L为角动量，m为物体的质量，v为物体的线速度，r为物体的旋转半径。
角动量的单位根据定义的公式可知，角动量的单位为千克·米²/秒（kg·m²/s）。
角动量的性质1.角动量是一个矢量量，具有大小和方向。
2.角动量是守恒量，即在没有外力矩作用下，系统的角动量保持不变。
3.当物体的质量或者速度增加时，角动量也会增加。
4.角动量的方向与线速度和旋转半径的方向相同。
角动量和力矩的关系角动量与力矩有着密切的关系。
根据角动量的定义，当物体受到力矩作用时，其角动量会发生变化。
根据牛顿第二定律和力矩的定义，我们可以得到以下公式：τ = ΔL/Δt其中，τ为力矩，ΔL为角动量的变化量，Δt为时间的变化量。
角动量守恒定律角动量守恒定律是一个重要的物理定律。
在一个孤立系统中，如果没有外力矩作用，系统的总角动量将保持不变。
这一定律的数学表达式为：L₁ + L₂ = L₃其中，L₁和L₂为系统中不同物体的角动量，L₃为系统的总角动量。
角动量在自然界中的应用角动量在自然界中的应用十分广泛。
以下是一些例子：1.行星绕太阳的运动：行星绕太阳的运动是一个典型的角动量守恒的例子。
根据开普勒定律，行星绕太阳的轨道面积速度是一个常数，即行星角动量守恒。
2.自行车或摩托车的稳定：自行车或摩托车在高速行驶时可以保持稳定，部分原因是由于车轮的角动量保持了平衡。
3.陀螺的稳定：陀螺通过旋转稳定自身的原理就是利用了角动量守恒。
结论角动量是描述物体旋转运动的重要物理量，它与物体的质量、线速度和旋转半径相关。
角动量具有一些重要的性质和守恒定律，对于理解自然界中旋转现象起到了重要的作用。
天宫课堂知识点总结角动量
天宫课堂知识点总结角动量一、基本概念1. 角动量的定义角动量是一个物体运动状态的重要特征之一。
物体在运动过程中，除了具有动量外，还具有一种叫做角动量的运动状态特征。
角动量是描述物体自旋状态的物理量，它等于质点的质量与其到转轴的距离的乘积与质点运动速度的乘积，也可以用惯性矩阵产生。
通常用L 表示。
2. 角动量的定义公式角动量的定义公式为：L = r x p (矢量叉乘表示)，其中L表示角动量，r表示质点到转轴的距离，p表示质点的动量。
3. 角动量的单位角动量的国际单位是牛·米（Nm），中文单位是牛·米（N·m）。
4. 角动量的矢量性角动量是一个矢量，具有大小、方向和作用线等特征，具有矢量性。
5. 角动量守恒定律若作用力矩与夹角之间平方反比关系（一般为－平方反比），则系统角动量守恒。
反之，若作用力矩与夹角成正比，系统的角动量守恒。
6. 角动量定理角动量定理是描述刚体上的力的运动学定理。
它宣称，如果一个刚体受到一个与它的CF 之间各元素连接直线垂直的力，那么刚体的角动量将以力矩的产生率的变化率增加。
7. 角速度、角位移和角加速度角速度是描述物体围绕旋转轴转动的快慢程度的物理量。
角位移是描述物体围着旋转轴旋转的一个角度大小的物理量。
角加速度是描述物体在单位时间内角速度改变量的物理量。
二、角动量定理1. 角动量定理的表述角动量定理是指：外力矩与时间的乘积等于物体的角动量的增量，即∑M = dL/dt。
2. 角动量定理的应用角动量定理可以应用于描述物体围绕一个固定轴旋转的角动量的变化规律。
在物理学中，角动量定理是用来描述刚体运动的一个基本定理。
三、角速度、坐标系和角加速度1. 角速度的定义和计算角速度是一个描述物体旋转快慢程度的物理量。
可以通过物体旋转的角度与旋转所花费的时间来计算。
2. 坐标系的选择在描述物体旋转的角速度和角动量时，需要选择合适的参照坐标系。
一般通过选择适当的坐标系，可以简化问题的分析。
07-角动量
所以，地球对太阳中心的角动量为：
L mr v 6.0 10 1.5 10 3.0 10
24 11
4
L 2.7 10 kg m / s
40 2
该角动量的方向垂直于轨道平面
7
例3.16“‘根据玻尔假设，氢原子内电子绕核运动的角 动量只可能是h/2的整数倍，其中h是普朗克常数， 大小为6.631034 kg•m2/s，已知电子圆形轨道的半 径为 r =0.52910-10m
L R(m1 m2 )v
R
r2 m2 r 1
m1
v
x
v
16
M R(m1 m2 ) g dL M dt
dv dt m1 m2 m1 m2 g
L R(m1 m2 ) v
R( m1 m2 ) g R( m1 m2 )
dv dt
2
由题设条件，t =0时，θ0 =0，L0=0.故上式的积分为
L
LdL
1 2
L
200m gR cos d
2 3
L mR
3/ 2
( 2 g sin )
2
1/ 2
L mR
( 2g R sin )
1/ 2
由题B点，θ =900
(
2g R
dL dt d dt (r P ) dr dt Pr dP dt
dt v mv ＝ 0
dL dt
dL
v mv r F
M
r
F
r F
o
9
力矩: M r F 定义为合外力对同一固定点的力矩
物理：角动量
12
解 质点对 O 点的角动量 L＝rmv⊥＝4.0×2.0×5.0 ＝40（kg‧m2／s） 质点对 O' 点的角动量 L' ＝ r' mv⊥＝3.0×2.0×5.0 ＝30（kg‧m2／s）
13
范例6-10
质量为 m、摆长为 的锥
动摆，P 为悬点，O为圆 心，如右图所示，若摆线 与铅直线夹角为θ，请问 锥动摆对O 点的角动量量 值为多少？
14
概念 1. 角动量的定义。 2. 利用张力、重力的合成，提供向心力求出
锥动摆的速率。 策略
1. 角动量 L＝rmv⊥。
2. 圆轨迹之半径 r＝ sinθ。
3. 向心加速度 a v2 。 r
15
解
16
范例6-11 质量为 m 的质点甲，绕圆心 O 作等速圆周 运动，如图(A)，半径为 R、角速度为ω 、 角动量为 L，当质点甲旋转至图(B) 所示时， 施一向上的力 F 于质点甲上，则下列叙述 何者正确？
（6.21）
或 m1v1x＋m2v2x＝m1v1x'＋m2v2x' （6.23）
29
■ 系统总动量、总受力 1. 系统的总动量为系统中各质点动量的总和。
2. 系统所受的净力等于系统中各质点所受外力 的总和。
30
■ 角动量 质点所受合力矩等于其角动量的时变率 力矩愈大，角动量随时间变化愈大。
31
名词术语 动量、冲量、质心速度、质心加速度、 冲量－动量定理、动量守恒律、角动量。
10
范例6-9 如下图，质量为 2.0 kg 的质点位于 P 点， 以5.0 m／s 的速度运动，若 OP 之间距离为 4.0 m，OO' 之间距离为1.0 m，求质点对 O 点 及对 O' 点的角动量量值。11来自概念 1.角动量的定义。
第7章-刚体力学
d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有
角动量表达式
角动量表达式角动量表达式角动量是物理学中一个非常基本的概念，它是描述物体旋转运动的特定量。
在量子力学中，角动量的概念更加广泛和深入，它对描述微观世界的物理过程和结果起着至关重要的作用。
本文将详细介绍角动量的概念和表达式。
一、角动量的概念角动量（Angular Momentum）是物理学中描述物体旋转运动的特定量。
简单来讲，旋转物体的角动量大小与物体质量、旋转速度以及旋转半径有关。
例如，一个以角速度ω绕某个轴旋转的质量为m的刚体，它的角动量公式可以表示为：L=Iω ——式（1）其中，I是该刚体绕轴的转动惯量，它是描述物体旋转惯性的物理量。
可以看出，物体的角动量随着其旋转的快慢以及转动惯量的大小而变化。
二、角动量的分类1.轨道角动量当物体绕某一中心轴旋转时，它产生的角动量称为轨道角动量（Orbital Angular Momentum）。
用符号L表示。
轨道角动量与物体质量、速度以及距离有关。
其表达式如下：L=r×p ——式（2）其中，r是物体相对于旋转轴的位置矢量，p是物体的动量矢量。
可以看出，物体的轨道角动量随着物体位置和动量的变化而变化。
2.自旋角动量自旋角动量（Spin Angular Momentum）是微观粒子的一个特殊性质，是除质量、电荷、磁矩外的一个基本属性。
用符号S表示。
自旋角动量是粒子自身的旋转运动，与粒子的质量和电荷无关。
其表达式如下：S=√s(s+1)h ——式（3）其中，s是自旋角动量大小，h是普朗克常数。
可以看出，自旋角动量大小取决于自旋量子数，而与物体位置和动量无关。
三、算符表示在量子力学中，物理量用算符表示。
角动量也不例外，它有一个对应的算符表示。
对于轨道角动量，它的算符表示为：L=xpy−yp x ——式（4）其中，x和y分别代表坐标方向，px表示动量x方向分量，py表示动量y方向分量。
对于自旋角动量，它的算符表示为：sz|s,m⟩=m|s,m⟩——式（5）其中，s和m分别代表自旋量子数和z方向自旋分量，|s,m⟩表示自旋态，sz是z方向自旋角动量算符。
角动量7
在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴 角动量定理可用标量表示 可用标量表示： 的分量 ，角动量定理可用标量表示：
d d M = L = ( J ω ) 或 Mdt = dL dt dt dω 若 J 不变 , M = J = Jα dt
（2）积分形式: 积分形式:
∫
t2
t1
Mdt =
∫
L2
L1
r r Q v × mv＝0 r r r r dL ∴ = r×F＝M dt r r r v dL 即得： 即得： M ＝ 或 d L = M dt dt 物理意义： 物理意义：质点所受的合外力矩等于它的角动量对 时间的变化率,或角动量的增量等于合外力矩对时间 时间的变化率 或角动量的增量等于合外力矩对时间 r 的累积。 的累积。 r dP
角动量守恒定律可以解释很多现象：跳水运动员、花 角动量守恒定律可以解释很多现象： 跳水运动员、 样滑冰、芭蕾舞演员等。 样滑冰、芭蕾舞演员等。
四、角动量守恒定律的适用范围
虽然角动量守恒定律是在理想化（质点、刚体等） 虽然角动量守恒定律是在理想化（质点、刚体等） 的条件下推导出来的，但它的应用范围非常广泛， 的条件下推导出来的，但它的应用范围非常广泛，经 过修正和扩展后，可以推广到微观、 过修正和扩展后，可以推广到微观、接近光速的高速 的领域，即相对论和量子力学中。 的领域，即相对论和量子力学中。
Rω0 t= (s ) µg
无滑动的滚动
2）J不变时, 不变时,
∫
t2
t1
J也改变时, 也改变时,
∫
t2
t1
Mdt= J2ω2 − J1ω1
3、角动量守恒定律(law of conservation of angular 角动量守恒定律(law momentum)
角动量
根据，如果M=0，则dL/dt=0，因而
L=常量（M=0）
这就是说，如果作用在质点上的外力对某给定点O的力矩（r×F）为零，则质点对O的角动量在运动过程中保 持不变，这就叫做质点的角动量守恒定律。
另：某段时间内若质点所受合力对原点力矩M不为零，但是M的某分量（对某坐标轴力矩）总是零，则该段时 间内质点对原点角动量的该分量守恒，或质点对该轴角动量守恒.
质点系的总
在惯性系S系中，取某点为坐标原点O，则质点系对某点点和参考系）两个参考系中位矢和速度的变换关系是 由质心系性质得 整理得 上式右边的两项分别是质心系中质点系的总角动量L'（称为固有角动量或是自转角动量）和惯性系S系中质 量集中在质心后质心对O点的角动量Lc，于是有 L=L'+Lc
定义
质点动量p对O点之动量矩（通常称为角动量）L（O）（简记为L）为 L=r×p 其中r是质点相对O点的位矢。 角动量L的大小为L=rpsinφ（φ为r与p的夹角），方向垂直于位矢r和动量p所组成的平面，指向是由r经小 于180°的角转到p的右手螺旋前进的方向. 角动量大小的量纲[L]=[r][p]=[r][m][v]=[s]2[m][t] -1=L2MT-1， 单位有N·m·s，kg·m²/s。
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几何意义
位矢r在单位时间内扫过的面积，称为它的掠面速度。 可以证明，掠面速度为S‘=|r×v|/2. 角动量大小L=|r×p|=|r×mv|=m|r×v|=2mS'. 角动量守恒定律指出，当合外力矩为零时，角动量守恒，物体与中心点的连线单位时间扫过的面积不变，在 天体运动中表现为开普勒第二定律。
相关定理
质点的定理
质点的守恒定 律
证明：由于L=r×p，故角动量对时间的变化率为== 在上式中，右端第一项的，，因此，矢积×p=0.这样，上式就成为. 由牛顿第二定律得，，把上式改写成. 式中的r×F是力矩的定义.（力的作用点相对给定点的位矢r与力F的矢积为力对给定点的力矩，以M表示，即 M=.） 于是有=M 即质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率.这个结论叫做质点的角动量定理. 质点系的角动量定理也可写成同样的形式 不过M是质点系所受的总外力矩，L是质点系的总角动量. 由得dL=Mdt， 两边积分得质点角动量的积分形式
大学物理角动量.
五、角动量守恒定律
law of conservetion of Angular momentum
由： 则有：
dL M dt
若 M 0
L 常矢量
若质点或质点系所受外力对某固定参照点的矩 的矢量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。 —角动量守恒定律 例如：质点在有心力作用下角动量守恒。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例题：质量为m的圆锥摆摆球，以速率 υ运动时， 对O参考点的角动量是否守 恒？对C参考点的 角动量是否守恒？
教学基本要求
一 理解质点对固定点的角动量、力
矩的概念。
二
理解角动量守恒定律及适应条件，
并能用该定律分析计算有关的问题。
5.1
质点的角动量定理
一、质点的角动量(Angular momentum of particl ) 在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心 运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星 绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等 等。 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适 用，这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。 角动量与动量一样，是一个重要概念。
M l mg
M lmg sinθ
张力矩
M l T 0
夹角: π
对C点的合外力矩不为零， 角动量不守恒。
例题 一颗地球卫星，近地点181km，速率 8.0km/s，远地点327km，求该点的卫星速率。 解： 角动量守恒
且 则 近地点 v1 r1 远地点 v2
由此例可见，把质点从较远的距离移到较近 的距离过程中，若维持角动量守恒，必须对质点 做功。 星系的形状可能与此有关。 星系（银河系）的早期可能是具有动量矩的 大质量气团，在引力作用下收缩。轴向的收缩不 受什么阻碍，很快塌缩。径向却不那么容易，因 而像银河系这样的星系呈扁平状。
角动量守恒原理及讲解
角动量守恒原理及讲解一、角动量的基本概念1. 定义- 对于一个质点，角动量→L=→r×→p，其中→r是质点相对于某参考点的位置矢量，→p = m→v是质点的动量（m为质点质量，→v为质点的速度）。
- 在直角坐标系中，如果→r=(x,y,z)，→p=(p_x,p_y,p_z)，那么L_x = yp_z - zp_y，L_y=zp_x - xp_z，L_z = xp_y - yp_x。
2. 单位- 在国际单位制中，角动量的单位是千克·米²/秒（kg· m^2/s）。
二、角动量定理1. 表达式- 对单个质点，→M=(d→L)/(dt)，其中→M是作用在质点上的合外力矩。
- 对于质点系，→M_{外}=(d→L)/(dt)，这里→M_{外}是系统所受的合外力矩，→L是系统的总角动量。
2. 物理意义- 角动量定理表明，作用于质点（系）的合外力矩等于质点（系）角动量对时间的变化率。
三、角动量守恒定律1. 内容- 当系统所受合外力矩→M_{外} = 0时，系统的角动量→L保持不变，即→L=text{常量}。
2. 条件- 合外力矩为零是角动量守恒的条件。
这可能有多种情况，例如：- 系统不受外力矩作用。
- 系统所受外力矩的矢量和为零。
在有心力场（如地球绕太阳的运动，太阳对地球的引力是有心力，力的作用线始终通过太阳中心）中，物体所受的力矩为零，角动量守恒。
3. 举例说明- 花样滑冰运动员的旋转- 当花样滑冰运动员双臂伸展时开始旋转，此时他具有一定的角动量。
由于冰面的摩擦力矩很小可以忽略不计，运动员所受合外力矩近似为零。
- 当他将双臂收拢时，他的转动惯量I减小（转动惯量I=∑ m_ir_i^2，双臂收拢时，身体各部分到转轴的距离r_i减小）。
根据角动量守恒定律L = Iω=text{常量}（ω为角速度），转动惯量I减小，则角速度ω增大，运动员的旋转速度加快。
- 行星绕太阳的运动- 行星受到太阳的引力是有心力，引力对太阳中心的力矩为零。
角动量知识点
角动量知识点角动量是物体运动时重要的物理量，又称作运动量矩，是描述物体旋转的信息。
在物理学的高中阶段的学习中，角动量是一项基础而又重要的知识点。
本篇文章将深入介绍角动量的概念、计算方法以及角动量的应用。
概念角动量是物体在绕定轴旋转时所具有的物理量，因此角动量是一个向量。
具体来说，角动量 L 由旋转轴与旋转物体的线速度 v 以及物体的质量 m 组成。
其数学表达式为：L = mvr其中，r 表示物体到旋转轴的距离。
对于未旋转的物体而言，其角动量为零。
如果物体只是沿直线匀速运动，则其角动量也为零，因为这种情况下物体离旋转轴的距离为常数，且沿着同一方向运动。
只有物体绕着固定的轴旋转才有角动量。
计算方法为了计算物体的角动量，我们需要知道物体的线速度以及离旋转轴的距离。
在实际的问题中，物体的线速度通常是已知的，我们需要根据旋转情况来确定 r 的值。
对于一个固定的转轴而言，计算其绕轴旋转的物体的角动量时需要使用右手定则。
具体来说，我们可以将右手打成一个拳头，使得大拇指指向旋转轴的方向，当物体绕着该轴旋转时，四指的伸展方向表示物体绕轴旋转的旋转方向。
右手定则可以帮助我们确定旋转方向，进而计算角动量的方向。
应用角动量的物理意义在于它描述了物体的旋转。
在实际的问题中，角动量通常被用来描述物体的转动惯量、角加速度以及力矩等物理量。
例如，当物体受到外力作用时，角动量可以用来分析物体的旋转运动。
在空间中，很多天体都是通过旋转来保持稳定的状态。
例如，地球的自转、木星的自转以及各种星系的旋转等。
在这些天体中，角动量是一个重要的物理量，它可以帮助科学家们研究天体的性质以及未来的演化。
总结在物理学中，角动量是一个基础而又重要的物理量。
它描述了物体在绕定轴旋转时所具有的信息。
我们可以根据旋转轴以及旋转方向来计算物体的角动量，并将其应用于分析物体的旋转运动。
在空间天体的研究中，角动量也是一个重要的物理量。
我们需要掌握角动量的概念、计算方法以及应用场景，才能更好地理解物理学中的角动量知识点。
角动量
Fdr dEk
以太阳为极点的极坐标系中，行星动能可以表示为：
1 Ek m(r 2 r 2 2 ) 2
由开普勒第一定律：
r0 r 1 cos
由开普勒第二定律
2
r0 sin r2 r = sin 2 (1 cos ) r0
2
C sin r 2S C (常量) C / r r r0
r v r p
两体问题
对于质量可以比拟的孤立两体问题，总可以把其中一个 物体看作固定力心，只要另一物体的质量用约化质量代替。 这就是说，无固定力心的两体问题等效于一质量为的质点在 固定力心的有心力作用下的运动。也就把两体问题化成单体 问题。 即其运动规律满足：
d 2r ˆr 2 f ( r )e dt 1 2 E v U (r ) 2
mh E 4 2r
2
2
hdu 2[ E E p (r )] m
d u 2 h2
如果有心力为万有引力的情况
mM Ep (r ) G GMmu r
du
du E 2GM 2 2 2 u u2 mh h
d
d
2E G 2 M 2 GM 2 (u 2 ) 2 4 mh h h
体系的角动量与质心的角动量
设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在 质心系 KC 中，体系相对于质心的角动量为 LCM，则有：
L ( ri mi vi ) [(rC rCi ) mi (vC vCi )]
i i
i
rC mi vC rC mi vCi rCi mivC rCi mivCi
量子力学_陈洪_电子教案第7章自旋与角动量
σx, σy, σz 称为泡利矩阵
0 1 0 i 1 0 x 1 0 ; y i 0 ; z 0 1
7.3 电子自旋波函数
电子波函数写 成矩阵形式
1 ( x , y , z , t ) ( x, y, z, t ) 2
讨论: 1. 对波函数归一化时必须同时对自旋求 和和对空间坐标积分
2 1 2 2 d x r , S , t ( *, *) ( z 1 2 2 )d 1 1 Sz 2 2 2 1 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到 自旋S z 的几率 2 2 2 表示在t时刻在（x , y , z）点周围单位体积找到 自旋S z 的几率 2 3
2. 两个粒子的自旋-自旋耦合或轨道-轨道耦合
二. 两个角动量的耦合后的对易关系
J 1 , J 2 表示体系的两个角动量 算符, 且J 1与J 2 相互独立 则 [ J 1 x , J 1 y ] iJ 1 z [ J 2 x , J 2 y ] iJ 2 z [ J 1 y , J 1 z ] iJ 1 x [ J 2 y , J 2 z ] iJ 2 x [ J 1 z , J 1 x ] iJ 1 y [ J 2 z , J 2 x ] iJ 2 y 因为两角动量独立则 [ J 1 , J 2 ] 0 令 J J1 J 2
(1) 则 [ J x , J y ] iJ z [ J y , J z ] iJ x [ J z , J x ] iJ y
证 : [J x , J y ] [J1 x J 2 x , J1 y J 2 y ] ( J 1 x J 2 x )( J 1 y J 2 y ) ( J 1 y J 2 y )( J 1 x J 2 x ) J1 x J1 y J1 x J 2 y J 2 x J1 y J 2 x J 2 y J1 y J1 x J1 y J 2 x J 2 y J1 x J 2 y J 2 x (J1 x J1 y J1 y J1 x ) (J 2 x J 2 y J 2 y J 2 x ) i( J 1z J 2z ) iJ z
角动量
rs
例题：人造卫星沿着椭圆轨道运动，近地点离地心的
距离为r1, 远地点离地心的距离为r2, 地球的质量为M ，卫星的质量为m，求：
（1）卫星在近地点和远地点的速度；
（2）卫星的总机械能。
GMm r1
1 2
m
v
2 1
GMm r2
1 2
m
v
2 2
m v 1 r1 m v 2 r2
v
2 1
dt
径向 有心力为保守力 横向
m2mh
动量矩守恒原理
1m(2()2)V()E
2
机械能守恒原理
The Laws of Planetary Motion Kepler‘s First Law:
The orbits of the planets are ellipses, with the Sun at one focus of the ellipse.
解角动量定理：
M x,y d L x,y/dt
msgirn L x,yLco s
msg i n r mcv o rm s 2 Rcr odLs=Mdt
2 g tan
R
进动
关于点的动量矩定理
Theorem of angular momentum about a point
由质点动 r 力 F r 学 d(m v )方程
动矩于的o量d 点r ( 时r 矩 的d 间d 定m 力(变m v 理矩) v t 化) 。: 率d d 质r d =就 (点r0m 等 t对v m 于 参v 质r )考 点d 点( 所d m o的v 受 d )动力tt量对
16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...
![16第7章概念1-自旋角动量的本征_[1]...](https://img.taocdn.com/s3/m/29c5272f7375a417866f8ff3.png)
ℏ 同理， 同理，λ = − （自旋朝下 ）对应的归一化本征矢为 2 sin(θ / 2) ↓n = iϕ −e cos(θ / 2)
讨论： 讨论：
ˆ S S 1. S x、ˆ y、ˆ z的本征矢 ˆ 可取任意值， （1） S z ：θ = 0 ，ϕ 可取任意值，取 ϕ = 0 ，则本征矢为
e− iϕ sin θ − cos θ ˆ 的本征值 λ = λ ′ ℏ 满足久期方程 Sn 2 ℏ cos θ = iϕ 2 e sin θ
解得
a ℏ 自旋朝上） 设 λ = （自旋朝上）对应的归一化本征矢为 ↑ n = ，则 2 b
ℏ cos θ − λ ′ e− iϕ sin θ =0 iϕ 2 e sin θ − cos θ − λ ′ ℏ λ=± λ ′ = ±1 2
ˆ χ 1 ( S ) = ℏ 0 −i 1 = ℏ 0 = i ℏ χ ( S ) Sy z z −1 2 2 i 0 0 2 i 2 2 ℏ 0 −i 0 ℏ −i = −i ℏ χ ( S ) ˆ 1 S y χ− 1 (S z ) = z = 2 0 2 2 2 2 i 0 1
θ
2
和 sin
2
θ
2
。
的概率： 也可以采取下面的办法求 S z = ±ℏ / 2 的概率：
S z = ±ℏ / 2 的概率分别为
Pz (↑) = ↑ z ↑n
2
cos(θ / 2) 2θ = (1 0 ) iϕ = cos 2 e sin(θ / 2)
2
Pz (↓) = ↓ z ↑n
第七章
一、自旋角动量 1.电子自旋角动量算符 实验测得： 实验测得： S n = ±ℏ / 2
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这一点我们是做不到的，因为角动量各个分量的量 子力学算符间是不可对易的，最多只能有一个具有 确定的值。
9
7.2 电子自旋
1.自旋角动量算符的对易关系
单电子情况
S2
S
2 x
S
2 y
S
2 z
(1)
[S 2, Si ] 0 i x, y, z (2)
2
y
f x
x
f y
2
y
x
x
y
f
所以： [Lˆx , Lˆ y ] i Lˆz
其中用了下列关系式：
2 f 2 f zx xz
(这对于品优波 函数总是成立的)
6
同样，我们可以求得：
[Lˆy , Lˆz ] i Lˆx [Lˆz , Lˆx ] i Lˆy
Lˆ2 , Lˆ x Lˆ2x Lˆ2y Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2x , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ2y , Lˆ x Lˆ2z , Lˆ x Lˆ y Lˆ y , Lˆ x Lˆ y , Lˆ x Lˆ y Lˆz Lˆz , Lˆ x Lˆz , Lˆ x Lˆz i Lˆ y Lˆz i Lˆz Lˆ y i Lˆz Lˆ y i Lˆ y Lˆz 0
对于单电子，S2
和
Sz
的本征态只有两个，以和表示。
S 2 s(s 1)
2 1 (1 1)
2 ,
s1
22
2
S 2 s(s 1)
2 1 (1 1)
2,
s1
22
2
Sz ms
1
2
,
ms
1 2
Sz ms
1
2
,
1 ms 2
(10) (11)
13
s或ms都叫做单电子的自旋量子数。ms =1/2的 态叫做上自旋态(spin-up state), ms =-1/2的态叫 做下自旋态(spin-down state).
[Sx, Sy ] i Sz
[Sy, Sz ] i Sx
(3)
[Sz, Sx] i Sy
10
多电子体系
St2
S
2 xt
S
2 yt
S
2 zt
(4)
Sxt Sxj
j
Syt Syj
(5)
j
Szt Szj
j
11
总电子自旋有相同的对易规则
[St2 , Sit ] 0 i x, y, z
根据角动量定义(1)，可得：
L ypz zpy i zpx xpz j xpy ypx k
Lxi Ly j Lzk
所以角动量的三个分量Lx，Ly，Lz等于
Lx ypz zpy , Ly zpx xpz , Lz xpy ypx
L2 L2x L2y L2z
Lˆz i
x
y
y
x
4
3.轨道角动量分量的算符间的对易关系
[Lˆx , Lˆy ] Lˆx Lˆy Lˆy Lˆx
为求上述对易子，先将算符 Lˆ y 作用于某个任意函数
f(x,y,z)，得：
Lˆ y f i
z
f x
x
f z
在将算符 Lˆx 作用于上面所得函数，得：
Lˆx Lˆ y f
电子自旋的取向
z
z
1 2
S
3 2 1
2
3 2
S
14
7.3 多电子原子的量子数和光谱项 R多电子原子的量子数 R光谱项及其应用
15
一、多电子原子的量子数
1.总轨道角量子数L
单电子轨道角动量
M l(l 1)
原子的总轨道角动量 ML ML L(L 1)
总轨道角量子数
L l1 l2 lN , l1 l2 lN 1, l1 l2
原子的总自旋量子数
S s1 s2 sN , s1 s2 sN 1, s1 s2 sN 2,
对电子而言 s 1 2
S N , N 1, N 2, , 1 ,0
22 2
2
18
总自旋角动量在外磁场方向的分量
3
2.量子力学中的角动量
在量子力学中有两种角动量：轨道角动量和自旋角动量。轨道 角动量对应于经典力学中的角动量，而自旋角动量是粒子“自 旋”运动的角动量，在经典力学中没有对应的物理量。 根据量子力学的基本假设，轨道角动量的分量的算符为：
Lˆx i
y
z
z
y
Lˆ y i
z
x
x
zHale Waihona Puke N最小值为0或 li 的最小正值 i
lN 2,
16
单电子轨道角动量在外磁场方向上的分量 Mz m
原子总轨道角动量在外磁场方向上的分量
M Lz mL
N
总轨道磁量子数 mL mi i 1
共有2L＋1个取值：L，L－1，L－2，…，－L
17
2. 总自旋量子数S
原子的总自旋角动量 MS MS S(S 1)
7
同样，我们还可以求得：
Lˆ2 , Lˆ y 0
Lˆ2 , Lˆz 0
根据各个算符间的对易关系，可以得出如下结
论：角动量大小的平方L2与任意一个分量可以同时
具有确定值，但是角动量的三个分量最多只有一个
有确定值，通常我们选取Lz做为与L2同时具有确定 值的角动量分量。
8
注意：我们说角动量大小的平方L2具有确定值并 不是意味着角动量矢量 完全确定，因为 是个矢量，
2
y
f x
yz
2 f zx
yx
2 f z 2
-
z2
2 f yx
zx
2 f yz
5
同样：
Lˆx f i
y
f z
z
f y
Lˆ y Lˆx f
2
zy
2 f xz
z2
2 f xy
xy
2 f z 2
x
f y
xz
2 f zy
这样： [Lˆx , Lˆ y ] f [Lˆx Lˆ y Lˆ y Lˆx ] f Lˆx Lˆ y f Lˆ y Lˆx f
[Sit , S jt ] i Skt
（6） (7)
自旋角动量本征方程
St2 Y S(S 1) 2Y,
(S 0,
1, 2
1,
3, 2
2,
)
(8)
Szt Y Ms Y, (Ms S, S 1,
, S 1, S)
(9)
上式中S为多电子体系的总自旋量子数，Ms为S沿z轴的分量。
12
2．单电子自旋算符的本征函数和本征值
第七章 角动量
1
7.1 单粒子体系的角动量
经典力学中的角动量
在经典力学中角动量可以用一个矢量 L来表示。它定义为质点
到原点的矢量r和质点的线动量 p 的矢量积，即：
i jk
Lrp x y z
1
px py pz
式中的x，y，z和px，py，pz分别是矢量 r 和 p 在x，y和z轴方向的
分量。
2
1 经典力学中的角动量