规律探究性问题

第33讲 规律探究性问题

类型一：探究数字或式子的变化规律

方法点拨：关注奇偶数、平方数、等差数列、等比数列的表示方法．还要关注正、负号交替时，正、负号的表示：用(－1)n 或(－1)n ＋1来表示．

1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，

39＝19 683，…，它们的个位数字有什么规律，用你发现的规律直接写出92 019的个位数字是( )

A ．3

B ．9

C ．7

D ．1

2．观察下列一组数：14，39，516，725，936

，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__________．

3．观察一列数：－12，34，－58，716

，…，按你发现的规律，写出这列数的第9个数为________，第n 个数为____________．

4．按一定规律排列的一列数依次为－a 22，a 55，－a 810，a 1117

，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是______________(n 为正整数)．

5．已知一列数a ，b ，a ＋b ，a ＋2b ，2a ＋3b ，3a ＋5b ，…，按照这个规律写下去，第9个数是__________．

6．观察下列一组数：a 1＝13，a 2＝35，a 3＝69，a 4＝1017，a 5＝1533

，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中的规律，写出第n 个数a n ＝____________(用含n 的式子表示)．

类型二：探究等式的变化规律

方法点拨：(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n )之间的关系，把其中隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验．

7．观察下列各式：

1＋1

12＋

1

22＝1＋

1

1×2＝1＋⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

2，

1＋1

22＋

1

32＝1＋

1

2×3＝1＋⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

2－

1

3，

1＋1

32＋

1

42＝1＋

1

3×4＝1＋⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1

3－

1

4，

……

请利用你发现的规律，计算：1＋1

12＋

1

22＋1＋

1

22＋

1

32＋1＋

1

32＋

1

42＋…＋

1＋1

2 0182＋

1

2 0192，其结果为______________．

8．观察以下等式：

第1个等式：2

1＝

1

1＋

1

1，

第2个等式：2

3＝

1

2＋

1

6，

第3个等式：2

5＝

1

3＋

1

15，

第4个等式：2

7＝

1

4＋

1

28，

第5个等式：2

9＝

1

5＋

1

45，

……

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：________________；

(2)写出你猜想的第n个等式：______________________(用含n的等式表示)，并证明．

类型三：探究图形的变化规律

方法点拨：(1)写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；(2)数图形个数，图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；(3)寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常用作差(商)来观察是否有恒等量的变化，再按照定量变化推导出第n个图形的个数．

9．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形．如果第n幅图中有2 019个菱形，那么n＝________.

10.如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4，……记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4的面积分别为S1，S2，S3，如此下去，则S2 019＝________.

类型四：探究坐标的变化规律

方法点拨：根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中的递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环的递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：(1)根据图形中点坐标的

变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第n个点的坐标与变换次数之间的关系．

11.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是

菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝

3

3x＋

3

3上，

且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是______________．

12.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图．已知点A的坐标为(1，1)，过点A 作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，……依此进行下去，则点A2 019的坐标为________________．