规律探究性问题
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析
初中数学规律探究问题的类型及解题技巧分析数学规律探究是初中数学中的重要内容，它能够帮助学生更好地理解数学知识，提高数学思维能力和解题能力。
在数学规律探究中，问题的类型和解题技巧对于学生的学习非常重要。
本文将对初中数学规律探究问题的类型及解题技巧进行详细分析。
一、问题的类型1. 数列规律问题数列规律问题是指给出一个数列，要求学生按照一定的规律计算出下一个数或者找出规律并求出第n项。
这类问题需要学生熟悉各种数列的特点及规律，能够灵活运用等差数列、等比数列等知识，且需要在解题过程中发现规律，掌握归纳思维的方法。
几何规律问题是指在图形中出现一定的规律，学生要求找出规律并利用规律解决问题。
这类问题需要学生熟悉几何图形的属性及性质，在解题过程中需要运用几何推理和证明的方法。
3. 数学化问题数学化问题是指一些日常生活中难以直接用数学方法解决的问题，需要学生将这些问题数学化，通过分析和求解数学模型得到答案。
这类问题需要学生具备一定的数学建模能力和实际问题解决能力，需要运用代数、函数等数学工具。
统计规律问题是指在一定的数据或样本中，出现某些规律或者需要通过数据分析得到结论。
这类问题需要学生掌握各种统计方法和数据分析能力，能够在解题过程中运用平均数、中位数、众数等统计概念。
二、解题技巧1. 观察性能力解决规律性问题首先需要学生良好的观察能力，能够从数据中发现规律，捕捉事物的本质特征，从而归纳总结出规律规则。
2. 用词准确解决规律性问题需要学生清晰准确地描述规律，学生需要用精准的数学语言描述规律的特点和具体过程。
3. 思维灵活解决规律性问题需要学生具备灵活的思维能力，能够将问题从不同的角度看待，想到不同的解法和思路。
4. 阅读理解能力解决规律性问题需要学生具备良好的阅读理解能力，能够准确读懂题意，在解题过程中准确把握问题的关键点。
5. 归纳思维综上所述，规律性问题是初中数学教学中的重要内容。
在解题过程中需要学生具备较强的观察性能力、数学语言描述能力、灵活的思维能力、阅读理解能力和归纳思维能力等技能。
初中数学中规律探索型问题的类型与解题方法
初中数学中规律探索型问题的类型与解题方法关键词：初中数学规律探索型问题类型解题方法
规律探索型问题是中考中的必考知识点，我们把规律探索型问题也称为归纳猜想型问题，其特点是这样的：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形；或是给出与图形有关的操作变化过程；或是给出某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.规律探索型问题包括三类问题：数字类规律探索问题、图形类规律探索问题、点的坐标类规律探索问题.
一、数字类规律探索问题
1.解题思路
解答数字类规律探索问题，应在读懂题意、领会问题实质的前提下进行，或分类归纳，或整体归纳，得出的规律要具有一般性，而不是一些只适合于部分数据的“规律”.
2.例题展示
3.例题分析
二、图形类规律探索问题
1.解题思路
解答图形类规律探索问题，要注意分析图形特征和图形变换规律，一要合理猜想，二要加以实际验证.
2.例题展示
3.例题分析
针对几何图形的规律探索题，首先要仔细观察、分析图形，从中发现图形的变化特点，再将图形的变化以数或式的形式表示出来，从而得出图形的变化规律.如果图形的变化具有周期性，就要先确定循环周期及一个循环周期内图形的变化特点，然后用所求总数除以循环周期，得到余数，进而使所求问题得以解决.
本题就是一个典型的规律性问题，由AB为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B为BC的中点，求出BB的长，利用勾股定理求出AB的长，进而求出S，同理求出S，依此类推，得到S.。
实数计算中的规律性问题(5种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
重难点：实数计算中的规律性问题（5种题型）探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．【考点剖析】一．数轴（共1小题）1．（2022秋•杭州期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母A，B，C，D，先将圆周上的字母A对应的点与数轴上的数字1所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动，那么数轴上的﹣2022所对应的点将与圆周上字母（）所对应的点重合．A．A B．B C．C D．D【分析】根据圆的周长得到，4个数字一个周期，然后从0开始，即出发的位置是点B，然后用2022除以4看余数即可．【解答】解：∵圆的周长为4个单位长度，∴4个数字为一个循环，点B与数字0对应，∴2022÷4＝505……2，即从B开始在转2次，∴﹣2022对应的字母是D．故选：D．【点评】本题考查数轴，能够注意到点B对应的是数字0是解答本题的关键．二．有理数的混合运算（共3小题）2．（2022春•海淀区校级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：，，，，…利用以上运算的规律，写出f（n）＝（n为正整数），计算f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）＝．【分析】根据f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的运算方法，写出f（n）的表达式；再根据f（n）的表达式，代入f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100），计算即可．【解答】解：（1）∵，，，，…∴f（n）＝1﹣．f（1）•f（2）•f（3）•…•f（100）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）•（1﹣）＝××ו•×＝．故答案为：1﹣；．【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．理解新运算，进而写出f（n）的表达式是解题的关键．3．（2022秋•拱墅区月考）观察下列运算过程：22＝2×2＝4，；，＝；…（1）根据以上运算过程和结果，我们发现：22＝；（）2＝；（2）仿照（1）中的规律，判断（）3与（）﹣3的大小关系；（3）求（﹣）﹣4×（）4÷（）﹣3的值．【分析】（1）观察计算过程即可得出结论；（2）利用题干中的方法解答即可得出结论；（3）利用以上的解题规律进行运算即可．【解答】解：（1）∵22＝2×2＝4，，∴；∵，＝， ∴， 故答案为：；；（2）（）3＝（）﹣3，理由：∵＝＝，＝＝， ∴（）3＝（）﹣3．（3）原式＝×÷23＝×＝16×＝2．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，利用题干中的方法和解答中发现的规律解答是解题的关键．4．（2021秋•台州期末）规定：若有理数a ，b 满足a ﹣b ＝ab ，则a 叫做b 的“差积数”．例如：1﹣＝1×，那么1是的“差积数”；﹣1≠×1，可知不是1的“差积数”．请根据上述规定解答下列问题：（1）填表： ﹣（2）一个有理数的“差积数”等于这个数，求这个有理数； （3）若m 为正整数，记m +1，m +2，m +3，…，m +2022这2022个数的“差积数”的积为A ，试猜想A 的值（用含有m 的式子表示），并给出合理的猜想过程．【分析】（1）根据定义分别求出各自对应的“差积数”：（2）可设这个有理数为x ，再由定义求出即可：（3）先解出前几项对应的差积数，观察找规律，总结一般结论再代入求值即可．【解答】解：（1）设3的积差数为x ，y 的积差数为﹣2，由题意可列：x﹣3＝3x，﹣2﹣y＝﹣2y，解得：x＝﹣，y＝2，故答案为：﹣：；2．（2）设这个有理数为a，由题意可列：a﹣a＝a2，解得：a＝0，答：这个有理数为0．（3）设m+1的差积数为b，由题意可列：b﹣（m+1）＝（m+1）b，解得：b＝，∴m+1的差积数是，同理：m+2的积差数是，则A＝＝＝1+．【点评】认真读题，理解差积数的含义，培养学生的阅读理解能力和知识迁移能力．，最后一问考查了学生由特殊到一般的数学思想．三．算术平方根（共2小题）5．（2022秋•鄞州区校级期中）（1a+b＝，则代数式（a+b）2的值为．（2）如下是按规律排列的一列单项式：x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…则第10个单项式是．【分析】（1）将a+b的值整体代入所求的代数式运算即可；（2）通过观察可得第n个单项式是（﹣1）n+1••xn，由此求解即可．【解答】解：（1）∵a+b＝，∴（a+b）2＝（）2＝3，故答案为：3；（2）∵x，﹣x2，x3，﹣x4，x5，…，∴第n个单项式是（﹣1）n+1••xn，∴第10个单项式是﹣x10，故答案为：﹣x10．【点评】本题考查数字的变化规律，整式的运算，熟练掌握整体代入思想求代数式的值，根据所给的单项式，探索出单项式的各项系数和指数的规律是解题的关键．6．（2023春•城区校级期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：①；②；③；④．根据以上算式的规律，解答下列问题：（1）13+23+33+43+53＝（）2＝；（2）＝；（用含n的代数式表示）（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．【分析】（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；（2）得出＝1+2+3+…（n﹣1）+n，再利用求和公式求出结果即可；（3）将原式化为（1【解答】解：（1）∵＝1+2+3+4+5＝15，∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225，故答案为：1+2+3+4+5，225；（2）由（1）可得，＝1+2+3+…（n﹣1）+n＝，故答案为：；（3）由（2）得，113+123+133+…+193+203＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103）＝＝44100﹣3025＝41075．【点评】本题考查算术平方根，列代数式，数字变化类，理解算术平方根的意义，发现数字变化类所呈现的规律是解决问题的关键．四．规律型：数字的变化类（共19小题）7．（2022秋•北仑区期中）如图，在这个数运算程序中，若开始输入的正整数n为奇数，都计算3n+1；若n 为偶数，都除以2．若n＝21时，经过1次上述运算输出的数是64；经过2次上述运算输出的数是32；经过3次上述运算输出的数是16；…；经过2022次上述运算输出的数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】分别求出部分输出结果，发现第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，则经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，由此可求解．【解答】解：当n＝21时，经过1次运算输出的数是64，经过2次运算输出的数是32，经过3次运算输出的数是16，经过4次运算输出的数是8，经过5次运算输出的数是4，经过6次运算输出的数是2，经过7次运算输出的数是1，经过8次运算输出的数是4，经过9次运算输出的数是2，……∴第1次输出结果到第4次输出结果只出现一次，从第5次输出结果开始，每3次结果循环一次，∵（2022﹣4）÷3＝672…2，∴经过2022次上述运算输出的数与第6次输出的结果相同，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键．8．（2022秋•莲都区期中）对一组数（x，y）的一次操作变换记为P1（x，y），定义其变换法则如下：P1（x，y）＝（x+y，x﹣y），且规定P n（x，y）＝P1（P n﹣1（x，y））（n为大于1的整数），如P1（1，2）＝（3，﹣1），P2（1，2）＝P1（P1（1，2））＝P1（3，﹣1）＝（2，4），P3（1，2）＝P1（P2（1，2））＝P1（2，4）＝（6，﹣2），则P2022（1，﹣1）＝（）A．（0，21011）B．（21011，﹣21011）C．（0，﹣21011）D．（21011，21011）【分析】根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答．【解答】解：P1（1，﹣1）＝（0，2），P2（1，﹣1）＝P1（P1（1，﹣1））＝P1（0，﹣2）＝（2，﹣2），P3（1，﹣1）＝P1（P2（1，﹣1））＝P1（2，﹣2）＝（0，4）＝（0，22），P4（1，﹣1）＝P1（P3（1，﹣1））＝P1（0，4）＝（4，﹣4）＝（22，﹣22），P5（1，﹣1）＝P1（P4（1，﹣1））＝P1（22，﹣22）＝（0，23），…，P2022（1，﹣1）＝（21011，﹣21011）．故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．9．（2022秋•海曙区校级期中）将正偶数按下表排成5列：根据上面排列规律，则2022应在____________行，___________列．（）A．506；3B．506；2C．253；2D．253；4【分析】通过观察发现，每8个偶数的位置循环一次，再由1011÷8＝126……3，可知2022在第4列，行数位于126×2+1＝253行，由此即可求解．【解答】解：由图可知，每8个偶数的位置循环一次，∵2到2022共有1011个偶数，∴1011÷8＝126……3，∴2022与6的列数相同，∴2022在第4列，∵126×2＝252，∴2022在第253行，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，探索出数的位置的循环规律是解题的关键．10．（2022秋•开化县校级月考）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，……，第2022次输出的结果为（）A．1B．2C．4D．8【分析】通过计算发现，从第二次开始每三次运算结果循环一次，则可得第2022次输出的结果与第2次输出的结果相同，由此求解即可．【解答】解：第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，第4次输出的结果为1，第5次输出的结果为4，……∴从第二次开始每三次运算结果循环一次，∵（2022﹣1）÷3＝673……2，∴第2022次输出的结果为2，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．11．（2022秋•慈溪市月考）如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2021的点与正方形上的数字对应的是（）A．0B．2C．4D．6【分析】求出2021与﹣1的距离是2022个单位，再去确定2022是正方形旋转252圈余6个单位长度，则可知2021与6对应．【解答】解：∵正方形的周长为8个单位，∴正方形的边长为2个单位，由旋转可知，正方形旋转一周是8个单位长度，∵2021与﹣1的距离是2022个单位，又∵2022÷8＝252……6，∴正方形旋转252圈余6个单位长度，∴2021与6对应，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算确定2021与﹣1的距离与正方形周长的关系是解题的关键．12．（2021秋•北仑区期末）观察下列各式：﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，则第n个式子是（）A．﹣2n﹣1x n B．（﹣2）n x n C．﹣2n x n D．（﹣2）n﹣1x n【分析】通过观察可知系数为﹣2的n次方，x的次数为自然数，由此可得第n个式子为（﹣2）nxn．【解答】解：∵﹣2x，4x2，﹣8x3，16x4，﹣32x5，…，∴第n个式子为（﹣2）nxn，故选：B．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给单项式，探索出式子的一般规律是解题的关键．13．（2021秋•嘉兴期末）已知一列数a1，a2，a3，…，满足a m•a n＝a m+n（m，n为正整数）．例如：a1•a2＝a1+2＝a3，a2•a2＝a2+2＝a4．若a1＜0，a2＝4，则a2021的值是（）A．4042B．﹣22020C．22021D．﹣22021【分析】分别求出a1＝﹣2，a2＝4，a3＝﹣8，a4＝16，…，可得一般规律an＝（﹣2）n，即可求a2021＝﹣22021．【解答】解：∵a2＝4，∴a1•a2＝a1+2＝a3＝4a1，a2•a2＝a2+2＝a4＝16，∵a1•a3＝a1+3＝a4，∴4a12＝16，∴a1＝±2，∵a1＜0，∴a1＝﹣2，∴a3＝﹣8，a4＝16，…，∴an＝（﹣2）n，∴a2021＝﹣22021，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的条件，通过计算，探索出数的一般规律是解题的关键．14．（2022秋•浦江县月考）求1+2+22+23+…+22018的值，可令S＝1+2+22+23+…+22018，则2S＝2+22+23+…+22019，因此2S﹣S＝22019﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52018的值为（）A．52019﹣1B．52018﹣1C．D．【分析】直接根据已知条件中的示例，设所求式子为S，在所求式子中都乘以5得到一个新的式子，然后两个式子相减，从而求出所求问题．【解答】解：设S＝1+5+52+53+•+52018，则5S＝5+52+53+54+•+52019．∴5S﹣S＝52019﹣1，∴S＝．故选：D．【点评】本题主要考查同底数幂的运算及技巧性求复杂数式的值的方法，解题的关键是根据所求问题灵活运用各种运算规律．15．（2022秋•东阳市期中）正整数按如图的规律排列，请写出：（1）第3行，第6列的数字是；（2）正整数2022在第行，第列．【分析】（1）根据所给的数，确定第六列的第一个数是26，再求解即可；（2）通过观察发现每行的第一个数n2，确定第45行的第一个数是2025，再求解即可．【解答】解：（1）由图可知，第六列的第一个数是26，∴第3行，第6列的数字是28，故答案为：28；（2）每行的第一个数n2，∴第45行的第一个数是2025，∵2025﹣2022＝3，∴2022在第45行第4列，故答案为：45，4．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数，探索出每行第一个数的规律是解题的关键．16．（2022秋•西湖区校级期中）观察下面算式，探索规律并解答问题：1+3＝4，1+3+5＝9，1+3+5+7＝16，1+3+5+7+9＝25．（1）计算，1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝；（2）请用上述规律计算：79+81+83+85++197+199＝．【分析】（1）通过观察所给的等式，可得1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝n2；（2）由（1）的规律，将等式变形为（1+3+5+……+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+……+77）再求解即可．【解答】解：（1）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝（）2＝n2，故答案为：n2；（2）79+81+83+85++197+199＝（1+3+5+......+77+79+81+83+85++197+199）﹣（1+3+5+ (77)＝1002﹣392＝8479，故答案为：8479．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式结果的一般规律，并能灵活应用该规律计算是解题的关键．17．（2022秋•义乌市校级期中）小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入9时，输出结果为，从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有个．【分析】通过观察输出结果，得到当输入的数是3n+1时，输出项的系数与次数均为奇数，再由2022÷3＝674，即可求解．【解答】解：输入1，得到a，项的系数与次数均为奇数，输入2，得到3b2，项的系数与次数不都为奇数，输入3，得到4ab2，项的系数与次数不都为奇数，输入4，得到7ab4，项的系数与次数均为奇数，输入5，得到11a2b6，项的系数与次数不都为奇数，输入6，得到18a3b10，项的系数与次数不都为奇数，输入7，得29a5b16，项的系数与次数均为奇数，……∴当输入的数是3n+1时，输出项的系数与次数均为奇数，∵2022÷3＝674，∴从1开始一直输入到2022后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有674个，故答案为：674．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的输出结果，探索出输出项的系数与次数均为奇数时，输入数的规律是解题的关键．18．（2022秋•鄞州区校级期中）按上面数表的规律，得下面的三角形数表：（1）上表中，第九行有个算式，第九行最中间的算式是．（2）把下表中的数从小到大排成一列数：3，5，6，9，10，12，…则第15个数是．【分析】（1）通过观察可得第九行有9个算式，每一行的每个算式的第一个数的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二个数都是2n，由此求解即可；（2）先确定第15个数所在的位置，再根据（1）的规律进行求解即可．【解答】解：（1）第一行1个算式，第二行2个算式，第三行3个算式，第四行4个算式，……，∴第九行有9个算式，∵每一行的每个算式的第一个数的排列是20，21，22，…，2n﹣1，第二个数都是2n，∴第九行最中间的算式是24+29，故答案为：9，24+29；（2）∵3，5，6，9，10，12，…，∴第15个数是第五行第5个数，∴第15个数是24+25＝48，故答案为：48．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的算式的排列，探索出每一行数的排列规律是解题的关键．19．（2022秋•余杭区校级月考）已知一列数：1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，…，将这列数排成下列形式：第1行1第2行﹣2，3第3行﹣4，5，﹣6第4行7，﹣8，9，﹣10第5行11，﹣12，13，﹣14，15…按照上述规律排下去，那么第10行从右边数第5个数为．【分析】通过观察可得第n行有n个数，求出前9行45个数，可知第10行的第一个数是﹣46，再求解即可．【解答】解：第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……，∴第n行有n个数，∴前9行有×9＝45个数，∴第10行的第一个数是﹣46，∴第10行从右边数第5个数为51，故答案为：51．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察数的排列规律，探索出每行数的个数的规律是解题的关键．20．（2021秋•缙云县期末）如图，某学校图书馆把WIFI密码做成了数学题．小红在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络，那么她输入的密码是．【分析】通过观察发现：第一个两位数是5×8＝40，第二个两位数是6×8＝48，第三个两位数是40+48＝88，由此可求密码．【解答】解：∵5*2⊕6＝301242，2*6⊕9＝185472，8*3⊕4＝321244，∵5×6＝30，2×6＝12，（5+2）×6＝42，2×9＝18，6×9＝54，（6+2）×9＝72，8×4＝32，3×4＝12，（8+3）×4＝44，∴5*6⊕8＝404888，故答案为：404888．【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的式子，探索出数字之间的联系是解题的关键．21．（2021秋•临海市月考）计算：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝．【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可．【解答】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020]＝1+1+…+1＝1010，故答案为：1010．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键．22．（2022秋•拱墅区校级月考）如图，将一列有理数按如下规律排列，请回答下列问题：（1）在A，B，C三个数中，其中表示负数的是；（2）若A，B，C，D，E均表示对应的有理数，A+B+C+D的值是；（3）数﹣2020对应A，B，C，D，E中的什么位置？并说明理由．【分析】（1）通过观察发现，A点表示的数与1的正负性相同，B点表示的数与﹣2的正负性相同，C点表示的数与3的正负性相同，由此求解即可；（2）由（1）可求A+B+C+D的值是﹣2；（3）通过观察发现，每6个数是一组循环，由此求解即可．【解答】解：（1）A点表示的数与1的正负性相同，B点表示的数与﹣2的正负性相同，C点表示的数与3的正负性相同，∴B表示负数，故答案为：B；（2）由（1）知，D点表示的数与﹣4的正负性相同，∵1+（﹣2）+3+（﹣4）＝﹣2＜0，∴A+B+C+D的值是﹣2，故答案为：﹣2；（3）由图可知，每6个数是一组循环，∵2020÷6＝336……4，∴﹣2020与D点的位置相对应．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出数字的循环规律是解题的关键．23．（2022秋•义乌市校级月考）观察下面的等式：﹣1＝﹣|﹣+2|+44﹣1＝﹣|﹣1+2|+42﹣1＝﹣|1+2|+4﹣1＝﹣|+2|+4﹣1﹣1＝﹣|4+2|+4…回答下列问题：（1）填空：﹣1＝﹣|6+2|+4；（2）已知：0﹣1＝﹣|x+2|+4，则x的值是；（3）设满足上面特征的等式最左边的数为y，求y的最大值，并直接写出此时的等式．【分析】（1）找出各式的规律，利用规律解答即可；（2）利用（1）中的规律解答即可；（3）利用（1）中的规律列出不等式，从而求得最大值，利用（1）中的规律写出当时即可．【解答】解：∵﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|﹣+2|+4，4﹣1＝﹣|3﹣4+2|+4＝﹣|﹣1+2|+4，2﹣1＝﹣|3﹣2+2|＝﹣|1+2|+4，﹣1＝﹣|3﹣+2|+4＝﹣|+2|+4，﹣1﹣1＝﹣|3﹣（﹣1）+2|+4，•∴a﹣1＝﹣|3﹣a+2|+4，∴6＝3﹣（﹣3），∴﹣3﹣1＝﹣|3﹣（﹣3）+2|+4＝﹣|6+2|+4，故答案为：﹣3；（2）∵0﹣1＝﹣|3﹣0+2|+4＝﹣|x+2|+4，∴x＝3，故答案为：3；（3）∵y﹣1＝﹣|3﹣y+2|+4，∴|5﹣y|＝5﹣y，∴5﹣y≥0，∴y≤5，∴y的最大值为5，此时的等式为：5﹣1＝﹣|﹣2+2|+4．【点评】本题主要考查了有理数的加减混合运算，绝对值，本题是规律型题目，依据各式的特征找出规律是解题的关键．24．（2021秋•临海市期末）观察下面三行数；﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；①0，6，﹣6，18，﹣30，66，…；②﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，…；③（1）第①行第8个数为；第②行第8个数为：第③行第8个数为．（2）是否存在这样一列数，使三个数的和为322？若存在，请写出这3个数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①后一个数是前一个数的﹣2倍，②的数的规律是在①每个对应数加2，③后一个数是前一个数的﹣2倍，由此可求解；（2）通过观察可得规律：①的第n个数是（﹣2）n，②的第n个数是（﹣2）n+2，③的第n个数是（﹣1）n2n﹣1，再由（﹣2）n+（﹣2）n+2+（﹣1）n×2n﹣1＝322，求n即可．【解答】解：（1）﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…，∴第8个数是256，②的第8个数是256+2＝258，③的第8个数是128，故答案为：256，258，128；（2）不存在一列数，使三个数的和为322，理由如下：①的第n个数是（﹣2）n，②的第n个数是（﹣2）n+2，③的第n个数是（﹣1）n2n﹣1，由题意得，（﹣2）n+（﹣2）n+2+（﹣1）n×2n﹣1＝322，∴n为偶数，∴4×2n﹣1+2n﹣1＝5×2n﹣1＝320，∴2n﹣1＝64，∴n＝7，∴不存在一列数，使三个数的和为322．【点评】本题考点数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子中各数间的规律是解题的关键．25．（2021秋•海曙区月考）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：3的差倒数是＝，﹣1的差倒数是＝．已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推．（1）分别求出a2、a3、a4的值．（2）计算a1+a2+a3的值．（3）请直接写出a1+a2+a3+…+a2021的值．【分析】（1）由定义直接求解即可；（2）根据（1）中所求的值进行运算即可；（3）由（1）可知，每三次运算结果循环出现，则a1+a2+a3+…+a2021＝673×+2﹣1＝．【解答】解：（1）∵a1＝2，∴a2＝＝﹣1，a3＝＝，a4＝＝2；（2）a1+a2+a3＝2+（﹣1）+＝；（3）由（1）可知，每三次运算结果循环出现，∵2021÷3＝673……2，∴a1+a2+a3+…+a2021＝673×+2﹣1＝．【点评】本题考查数字的变化规律，通过计算找到运算结果的循环规律是解题的关键．五．二次根式的性质与化简（共1小题）26．（2021秋•诸暨市期中）探索规律：先观察下列等式，再回答问题：①；②；③．（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想＝．（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式：．（3）计算：．【分析】（1）直接利用已知运算规律得出，最终结果的分母与后两项分母的关系，进而得出运算结果；（2）直接利用已知运算规律得出，最终结果的分母与后两项分母的关系，进而得出运算结果；（3）利用（2）中运算规律，进而化简得出答案．【解答】解：（1）＝1；（2）＝1+；（3）原式＝1+1+1+…+1＝1×99+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝99+1﹣＝99．故答案为：（1）1；（2）＝1+．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及数字变化规律，正确发现数字之间变化规律是解题关键．。
七上数学压轴题类型
七年级上册数学的压轴题类型
七年级上册数学的压轴题类型主要包括以下几种：
1. 规律探究性问题：这类题目主要考察学生的观察、猜想和验证的学习过程。
例如，给定一些数或图形，让学生通过观察、分析和推理，找出其中的规律并解决相关问题。
2. 数形结合问题：这类题目将数学中的数与形相结合，考察学生的综合运用能力和思维转换能力。
例如，将几何图形与代数方程相结合，让学生通过解析几何和代数方法解决相关问题。
3. 实际应用问题：这类题目将数学知识与实际生活情境相结合，考察学生运用所学知识解决实际问题的能力。
例如，通过建立数学模型来解决工程、经济、物理等方面的实际问题。
4. 动态性问题：这类题目将数学中的静态问题转化为动态问题，考察学生的运动变化和函数思想。
例如，通过设置变量的变化来考察函数的变化趋势，或者通过动态变化来考察几何图形的变化规律。
5. 综合性问题：这类题目将多个数学知识点相结合，考察学生的综合运用能力和思维广度。
例如，将代数、几何、概率等多个知识点融合在一起，让学生通过综合分析解决相关问题。
综上所述，七年级上册数学的压轴题类型多样化，主要考察学生的数学思维、综合运用能力和解决问题的能力。
为了更好地应对这些题目，学生需要深入理解数学知识，掌握基本技能，并不断进行练习和总结。
第03讲 规律探究性问题-2022中考数学巅峰冲刺(解析版)
【难点突破】着眼思路，方法点拨,疑难突破；1、解数式规律型问题的一般方法:1当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；2当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；3当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n个数用含n 的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．2、探索等式规律的一般步骤:1标序数；2对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数1，2，3，4，…，n之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；3根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．3、根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：1根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；2根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；3确定第一类点的坐标的方法：根据2中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q0≤q ＜n，则第M次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据2中得到的第M 个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．4、对于求面积规律探索问题的一般步骤：1根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；2通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；3根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．5、找图形累加型变化规律的一般步骤:1写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；2数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；3寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差商来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数．【名师原创】原创检测，关注素养，提炼主题；【原创1】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的值为2，那么我们要进行的第一次计算是进行偶数程序，结果输出的是1，返回进行第二次运算则按照奇数程序进行运算，输出的是6，…第2022次输出的结果为【解析】：按照数据运算程序设计进行计算发现，输出的结果分别是1，6，3，8，4，2，因此每六次运算程序一个循环，2022÷6=336---3，故第2022次输出恰好是第三次输出的结果，即为3【原创2】发现任意一个偶数减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的此偶数的倒数，结果为1验证（1）10减去其12，再减去余下的13，一直减去到余下的14，一直减到最后余下的110其结果等于几（2）设一个偶数2n，依次减去其12，再减去余下的14，一直减下去，一直减到最后余下的12n，结果等于几并验证发现的结论是否正确。
探究实质,掌握规律——探究性习题的设计与训练
提高 ， 但见效较 幔． 许多 科学教 师都 常感 觉到 ， 讲探 究． 纸上练探 究题 ． 其考试效 果往往 比做探究好 ． 而学 生， 家长、 领导 喜欢这个成绩． 枷锁 阴是 缺少 器材． 有 时教师真是英雄 无用武之地． 三是去掉学生身上沉重 的“ 十字架” 让学 生自时 ， 间去捕他们喜欢的科学探究活动． 虽然各方面椰 在喊 减轻学生的学业赁担 ． 但我们却看，到这令人神 往的 ｆ ＝ ＝ 结果． 在作业经 常都需 要做 到晚 上 ９时左 右的情 况 Ｆ・ 学生能有时间去摘嵘外科学探究吗？虽然新 蜾标 强调对学生要进行全面评价 ， 但在以＝面评价作 为Ｊ 悟 ４ ・
科学教师肩负着培养学生科学素养 的重任 ． 应不
断学习 、 不断反思 ， 当好学生学习科学的合格 引导者．
全辛 会也应不断为学生创造 良好的学习条件 ， 学生 ｔ 让
有 宽足 的时 间 、 胜够 的 仪 器去 从 事他 们喜 爱 的 活
动一 科学探究．
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人的精力不够． 况且还要去 准备大量 的实验 （ 农村学 校实验教师不足）枷 锁三是鱼和熊掌有时雌于兼得． ． 科学探究能力的培养虽能促 进学生科 学知识 水 的
去探究 与教 材有 关的如种子发芽的条件、 植物的感应
性、 天气 同气温、 气压 、 湿度 的Ｉ 系等需要长时间观察 ｊ 皂
Ｌ将标 准状况下 的 Ｎ 充满 一大试管 ， 后将 Ｈ３ 然 其倒 立于水中（ 若产物不扩散 ）所得溶液 中溶 质的物 ， 质 的量浓度是 多少？ ２ 将标准状况 下的 Ｎ 充满 一大试 管， ． 然后 将 其倒立 ｎ 巾（ 若产物不扩散 ）所得溶液 中溶质 的物 ． 质 的量浓度 是多少？ ３ 将标准状况下 的 Ｎ 和 按 １－ ． ｌ的体 积比 充满 一大 试管， 后将 其倒 立 于水 中（ 产 物不 扩 然 若 散 ）所得溶液 中溶质 的物质 的最滩度是 多少 ？ ４ 将标准状况下 的 ＮＯ和 按 １ｚ１ ． 的体积 比 充满 一大试管 ． 后将 其倒 立 于水 中（ 然 若产 物不 扩 散 ）所得溶液中溶质的物质的置浓度是 多少？ ． ５将标准状况下的 Ｎ 和 按 ４ｔ ｌ的体积 比 充满一 大试 管． 后将 其倒 立 于水 中（ 产 物不 扩 然 若 散） 所得溶液中溶质的物质的量浓度是多少？ ． ６ 将标准状况下 的 Ｎ 和 按 ４ ｔ ． Ｏ ３的体积 比 充满一大 试管 ． 然后 将其 倒 立 于水中 （ 产 物不 扩 若 散） 所得溶液 ｃ溶质的物质的量浓度是多少？ ， ｆ Ｉ 探究成果展示 ： 将学生的 时沧结果总结如下 。
2011年中考数学试题精选汇编《探索、规律性问题》
2011年中考数学试题精选汇编《规律、探索、与规律性问题》一 选择题1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，……，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”（ ）[来源:学,科,网Z,X,X,K]A.28B.56C.60D. 124【答案】C3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n （n 是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．【答案】)2(+n n4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）【答案】(1)4n n ++或24n n ++5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32= 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ ……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；第1个图形第 2 个图形 第3个图形第 4 个图形第 18题图（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由． 【答案】解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+---1=-.6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数； （2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数；（3）求第n 行各数之和． 【解】（1）64，8，15；（2）2(1)1n -+，2n ，21n -；（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.二 填空题1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。
初中数学规律探究性题目的解题技巧
初中数学规律探究性题目的解题技巧摘要：近年来有关规律探索性题目在初中数学各种考试的试题中频繁出现，这类题目要求学生学会观察，懂得分析，善于归纳、总结，它不仅有利于促进学生数学知识和数学方法的巩固和掌握，也有利于学生思维能力的提高和自主探索、创新精神的培养。
就这类题目从数形结合等数学思想的角度出发，探求出解决初中数学规律问题的常规方法和新方法。
规律问题作为一种全新的题型，因其渗透了丰富的数学建模等数学思想而成为学生感到难度较大的问题。
解决此类问题要经历一个观察、分析、猜想判断、归纳总结、验证数学规律的过程，其关键要强化分类意识，并力求找出各部分的共性和特性才能使问题变得简单。
关键词：初中数学；规律探究性题目；解题技巧；共性；特性；数学思想一、代数中的规律问题规律问题的设置，通常按照一定的顺序给出一序列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
而揭示的规律常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就能很快的发现其中的奥秘。
例1.有一组数为1，3，6，10，15，21......，第n 个数为――。
分析：第一步，寻找个体的共性。
这组数的每一个数都等于它的序列号数加上它前面的一个数字。
第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性（即找第一个数与1的关系，第二个数与2的关系，第三个数与3的关系……），第一个数1=1，第二个数3=2+1，第三个数6=3+3=3+2+1，第四个数10=4+6=4+3+2+1，第五个数15=5+10=5+4+3+2+1，也就是说每一个数都可表示为一个数列的和，因此，第n个数为n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+（n-4）+（n-5）+……+3+2+1=n（n+1）/2。
例2.有一组数为1，4，9，16，25，36……求第20个数为――，第n个数为――分析：第一步，寻找个体的共性。
这组数的每一个数都等于某数的平方。
第二步，寻找个体的特性，探求特性中的共性（即找第一个数与1的关系，第二个数与2的关系，第三个数与3的关系……）这里的第一个数正好是1的平方，第二个数正好是2的平方，第三个数正好是3的平方，第四个数正好是4的平方，依此类推，第20个数为20的平方=400，第n个数为n2。
专题08 整式中规律性探索的三种考法(解析版)(北师大版)
专题08整式中规律探索的三种考法类型一、数字类规律探索问题-，A B．30，D C．29，BA．29【答案】A【分析】观察不难发现，每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，中C位置的数的序数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用【答案】4【分析】由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是=⨯+，进而可得第2023次输出的结果．202336741【详解】解：由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，……，∴可知三次为一个循环，=⨯+，∵202336741∴第2023次输出的结果是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，规律探究．解题的关键在于根据推导一般性规律．【变式训练1】按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【分析】分三种情况讨论，当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为656，当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为656，当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为656，再列方程，解方程即可得到答案．【详解】解：当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为656，51556∴+=，n∴=5655,nn∴=131.当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为656，()∴++=5511656,n∴+=26.51131,n∴=n当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为656，()∴+++=n555111656,⎡⎤⎣⎦()∴++=5126,n5511131,∴+=5n∴=．n综上：开始输入的n值可能是5或26或131．故选：C．【点睛】本题考查的是程序框图的含义，一元一次方程的解法，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键．课后训练A．31B．49C．62D 【答案】BA．13-B．2【答案】CA．73B．81C．91D．109【答案】C【分析】根据图形，将每个图形分为上下两部分，分别数出每个图形两部分中菱形的个数，总结出数量变化的一般规律即可．【详解】解：由图可知：第一个图形：上面由3个菱形，下面有0个菱形，第二个图形：上面有6个菱形，下面有1个菱形，A ．62B ．70【答案】B 【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第为14712++=，第4个五边形数为14710+++A ．31B ．32C ．63D ．64【答案】C 【分析】根据图形，可以得到正方形个数的变化特点，从而可以得到图⑤中正方形的个数．【详解】解：由图可得，第①个图形中正方形的个数为：212321+==-，第②个图形中正方形的个数为：23122721++==-，第③个图形中正方形的个数为：23412221521+++==-，…则第⑤个图形中正方形的个数为：62164163-=-=，故选：C ．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现正方形个数的变化特点，求出图⑤中正方形的个数．7．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个小正方形，第②个图形中有5个小正方形，第③个图形中有11个小正方形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小正方形个数为（）个A ．40B ．49C ．55D ．71【答案】C 【分析】由已知图形中点的分布情况知：横放是图形序号的平方减去1，竖着摆放的数与序号相同，再进行相加即可．【详解】解：根据图形可得第①个图案正方形个数为：21111=-+；第②个图案正方形个数为：2532212=+=-+；第③个图案正方形个数为：21183313=+=-+；第④个图案正方形个数为：219154414=+=-+；所以，第⑦个图形中的小正方形个数为271755-+=（个）故选：C【点睛】本题考查了规律型中的图形变化问题，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．8．如图1，AE 是O 的直径，点B 、C 、D 将半圆分成四等分，把五位同学分别编为序号1、2、3、4、5按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5号同学调出，站到2号和3号两位同学之间，再把最右边的4号同学调出，站到1号和2号两位同学之间，得到图2，称为“1次换序”．接着按同样的方法，把最右边的3号同学调出，站到4号和2号两位同学之间，再把最右边的5号同学调出，站到1号和4号两位同学之间，得到图3，称为“2次换序”．以此类推……；若从图1开始，经过“n 次换序”后，得到的顺序与图1相同，则n 的值可以是（）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B 【分析】先得到前4次换序后的结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：由题意得：1次换序后，得到的顺序为1,4,2,5,3，2次换序后，得到的顺序为1,5,4,3,2，3次换序后，得到的顺序为1,3,5,2,4，4次换序后，得到的顺序为1,2,3,4,5，由此可知，每经过4次换序，得到的顺序与图1相同，即此时4n k =（k 为正整数），观察四个选项可知，只有选项B 符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．。
17.中考数学专题“探索规律型”相关的探索性问题数学母题题源系列(解析版)
专题03 中考中与“探索规律型”相关的探索性问题【母题来源一】【2019•武汉】观察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…已知按一定规律排列的一组数：250、251、252、…、299、2100．若250=a，用含a的式子表示这组数的和是A．2a2–2a B．2a2–2a–2C．2a2–a D．2a2+a【答案】C【解析】∵2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24=25-2…∴2+22+23+…+2n=2n+1-2，∴250+251+252+…+299+2100=（2+22+23+…+2100）-（2+22+23+…+249）=（2101-2）-（250-2）=2101-250，∵250=a，∴2101=（250）2·2=2a2，∴原式=2a2-a．故选C．【名师点睛】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n=2n+1-2．【母题来源二】【2019•枣庄】如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D ．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10． 【母题来源三】【2019•济宁】已知有理数a ≠1，我们把11a -称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，-1的差倒数是()11112=--．如果a 1=-2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+…+a 100的值是 A ．-7.5 B ．7.5 C ．5.5 D ．-5.5【答案】A 【解析】∵a 1=–2，∴a 2()11123==--，a 3131213==-，412312a ==--，……∴这个数列以-2，13，32依次循环，且-2131326++=-，∵100÷3=33…1，∴a 1+a 2+…+a 100=33×（16-）-2152=-=-7.5， 故选A ．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．【母题来源四】【2019•雅安】如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y 3=x +1与直线l 2：y =交于点A 1，过A 1作x 轴的垂线，垂足为B 1，过B 1作l 2的平行线交l 1于A 2，过A 2作x 轴的垂线，垂足为B 2，过B 2作l 2的平行线交l 1于A 3，过A 3作x 轴的垂线，垂足为B 3…按此规律，则点A n 的纵坐标为A ．（32）n B ．（12）n +1 C ．（32）n -112+D ．312n -【答案】A【解析】联立直线l 1与直线l 2的表达式并解得：x =y 32=，故A 132），则点B 10），则直线B 1A 2的表达式为：y =+b ，将点B 1坐标代入上式并解得：直线B 1A 2的表达式为：y 332=-，将表达式y 3与直线l 1的表达式联立并解得：x =，y 94=，即点A 2的纵坐标为94，同理可得A 3的纵坐标为278， …按此规律，则点A n 的纵坐标为（32）n ， 故选A ．【名师点睛】本题考查了两直线的交点，要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．【母题来源五】【2019•广元】如图，过点A 0（0，1）作y 轴的垂线交直线l ：y 3=于点A 1，过点A 1作直线l 的垂线，交y 轴于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交直线l 于点A 3，…，这样依次下去，得到△A 0A 1A 2，△A 2A 3A 4，△A 4A 546，…，其面积分别记为S 1，S 2，S 3，…，则S 100为A．（2）100B ．（100 C ．4199 D ．2395【答案】D【解析】∵点A 0的坐标是（0，1），∴OA 0=1， ∵点A 1在直线y =上，∴OA 1=2，A 0A1= ∴OA 2=4，∴OA 3=8，∴OA 4=16， 得出OA n =2n ， ∴A n A n +1=2n∴OA 198=2198，A 198A 199=2198， ∵S 112=（4-1= ∵A 2A 1∥A 200A 199，∴△A 0A 1A 2∽△A 198A 199A 200，∴1001S S =1982， ∴S =2396=2395， 故选D ．【名师点睛】本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用．【母题来源六】【2019•淄博】如图，△OA 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3，…是分别以A 1，A 2，A 3，…为直角顶点，一条直角边在x 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C 1（x 1，y 1），C 2（x 2，y 2），C 3（x 3，y 3），…均在反比例函数y 4x=（x >0）的图象上．则y 1+y 2+…+y 10的值为A ．B ．6C ．D ．【答案】A【解析】过C 1、C 2、C 3…分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 1、D 2、D 3…其斜边的中点C 1在反比例函数y 4x=，∴C （2，2）即y 1=2，∴OD 1=D 1A 1=2， 设A 1D 2=a ，则C 2D 2=a 此时C 2（4+a ，a ），代入y 4x=得：a （4+a ）=4，解得：a 2=，即：y 22=，同理：y 3=y 4=∴y 1+y 2+…+y 10=22+++=…A ．【名师点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．【母题来源七】【2019•大庆】归纳“T”字形，用棋子摆成的“T”字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第n个“T”字形需要的棋子个数为__________．【答案】3n+2【解析】由图可得，图①中棋子的个数为：3+2=5，图②中棋子的个数为：5+3=8，图③中棋子的个数为：7+4=11，……则第n个“T”字形需要的棋子个数为：（2n+1）+（n+1）=3n+2，故答案为：3n+2．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中棋子的变化规律，利用数形结合的思想解答．【母题来源八】【2019•天水】观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．【母题来源九】【2019•甘肃】如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2–1=3个．第3幅图中有2×3–1=5个．第4幅图中有2×4–1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n–1）个．当图中有2019个菱形时，2n–1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．【母题来源十】【2019•衡阳】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为__________．【答案】（–1010，10102） 【解析】∵A 点坐标为（1，1）， ∴直线OA 为y =x ，A 1（–1，1）， ∵A 1A 2∥OA ， ∴直线A 1A 2为y =x +2， 解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4）， ∴A 3（–2，4）， ∵A 3A 4∥OA ， ∴直线A 3A 4为y =x +6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9）， ∴A 5（–3，9） …，∴A 2019（–1010，10102）， 故答案为：（–1010，10102）．【名师点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．【母题来源十一】【2019•北京】小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有x i 首，i =1，2，3，4；②对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（i +1）天背诵第二遍，第（i +3）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天第1组 x 1 x 1 x 1 第2组 x 2 x 2 x 2 第3组 第4组x 4x 4x 4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：（1）填入x3补全上表；（2）若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为__________；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为__________首．【解析】（1）第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4（2）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴x1≥4，x3≥4，x4≥4，∴x1+x3≥8①，∵x1+x3+x4≤14②，把①代入②得，x4≤6，∴4≤x4≤6，∴x4的所有可能取值为4，5，6，故答案为：4，5，6．（3）∵每天最多背诵14首，最少背诵4首，∴由第2天，第3天，第4天，第5天得，x1+x2≤14①，x2+x3≤14②，x1+x3+x4=14③，x2+x4≤14④，①+②+④–③得，3x2≤28，∴x2283≤，∴x1+x2+x3+x4283≤+14703=，∴x1+x2+x3+x4≤2313，∴7天后，小云背诵的诗词最多为23首，故答案为：23．【名师点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．【母题来源十二】【2019•安徽】观察以下等式：第1个等式：211111=+， 第2个等式：211326=+，第3个等式：2115315=+，第4个等式：2117428=+，第5个等式：2119545=+，……按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式：21111666=+； （2）写出你猜想的第n 个等式：()2112121n n n n =+--（用含n 的等式表示），并证明． 【解析】（1）第6个等式为：21111666=+，故答案为：21111666=+． （2）()2112121n n n n =+--． 证明：∵右边()()112112212121n n n n n n n -+=+===---左边．∴等式成立， 故答案为：()2112121n n n n =+--． 【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出()2112121n n n n =+--的规律，并熟练加以运用．【命题意图】这类试题主要考查探索规律在中考中的应用，包括图形类的规律、数字类的规律、图表的规律、一次函数、反比例函数和二次函数中有关点的坐标规律的探索等． 【方法总结】根据一系列数式关系或一组相关图形的变化规律，从中总结其所反映的规律．其中，以图形为载体的数字规律最为常见．猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行观察对比，仿照数式规律的方法猜想得到最终结论． 1．解数字或数式规律探索题的方法 第一步：标序号；第二步：找规律，分别比较各部分与序号数（1，2，3，4，…，n ）之间的关系，把其蕴含的规律用含序号数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律表示出第n 个数式． 2．几何图形中的规律探究题图形规律问题主要是观察图形的组成、拆分等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的式子描述图形的变化所反映的规律． 3．点的坐标变化规律探究题图形在直角坐标系中的变化而引起点的坐标的变化，解决此类型题应先分析图形的变化规律，求出一些点的坐标，再结合点在直角坐标系中的位置变化找出坐标的变化规律，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论．1．【安徽省池州市贵池区三级教研网络中片2019届中考数学二模试卷】已知：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…，根据前面各式的规律可猜测：101+103+105+…+199= A ．7500 B ．10000 C ．12500 D ．2500【答案】A【解析】101+103+105+107+…+195+197+199 =221199199()()22++- =1002-502， =10000-2500， =7500， 故选A ．【名师点睛】本题考查了规律型–––数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．2．【2019年福建省南平市六校联考中考数学模拟试卷（4月份）】已知一列数：a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…则122017111a a a +++=A ．20162017 B ．40322017 C ．20172018D ．40342018【答案】D【解析】∵a 1=1，a 2=3，a 3=6，a 4=10，…∴122017111a a a +++1121320172018=+++⨯ 111112[(1)()()]22320172018=-+-+-12(1)2018=-201722018=⨯40342018=． 故选D ．【名师点睛】本题考查了规律型的数字变化类，解题的关键是找到拆项的方法． 3．【2019年广西贺州市昭平县中考数学一模试卷】若x 是不等于1的实数，我们把11x-称为x 的差倒数，如2的差倒数是11x -=-1，-1的差倒数为11(1)--=12，现已知x 1=13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2019的值为 A ．-13B ．-2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据差倒数的定义可得出：x 1=13，x 2=1113-=32，x 3=1312-=-2，x 4=11(2)--=13，… 由此发现该组数每3个一循环．∵2019÷3=673，∴x2019=x3=-2．故选B．【名师点睛】本题考查了数字的变化以及求倒数，解题的关键是发现“该组数每3个一循环”这个规律．本题属于基础题，难度不大，根据差倒数的定义式列出前4个数据即可找出规律得以解决．4．【云南省昆明市五华区2019届九年级中考数学二模试卷】仔细观察下列数字排列规律，则a=A．206 B．216C．226 D．236【答案】C【解析】观察发现：2=1×2-0；10=3×4-2；26=5×6-4；50=7×8-6…a=15×16-14=226，故选C．【名师点睛】考查了数字的变化类问题，解题的关键是找到各个图形中数字规律，难度不大．5．【重庆市巴蜀中学2019年初三第二次模拟考试数学试题】如图，将一些形状相同的小五角星按图中所规放，据此规律，第10个图形中五角星的个数为A．120 B．121C．99 D．100【答案】A【解析】第1个图形中小五角星的个数为3；第2个图形中小五角星的个数为8；第3个图形中小五角星的个数为15；第4个图形中小五角星的个数为24；则知第n个图形中小五角星的个数为n（n+1）+n．故第10个图形中小五角星的个数为10×11+10=120个，故选A．【名师点睛】本题主要考查图形规律探究，解决本题的关键是要从已知的特殊个体推理得出一般规律．6．【2019年山东省日照市中考数学二模试卷】如图，过点A1（1，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B；点A2与点O关于直线A1B1对称；过点A2（2，0）作x轴的垂线，交直线y=2x于点B2；点A3与点O关于直线A2B2对称；过点A3作x轴的垂线，交直线y=2x于点B3；按B3此规律作下去，则点B n的坐标为A．（2n，2n-1）B．（2n，2n+1）C．（2n+1，2n）D．（2n-1，2n）【答案】D【解析】由题意可得，B1（1，2），B2（2，4），B3（4，8），B4（8，16）…∴点B n的坐标为（2n-1，2n），故选D．【名师点睛】此题重点考查学生对一次函数的拓展应用，找出其中的规律是解题的关键．7．【天津市河西区2019年中考二模数学试卷】如图，第一个图形是用3根一样长度的木棍拼接而成的等边三角形ABC，第二个图形是用5根同样木棍拼接成的；那么按图中所示的规律，在第n个图形中，需要这样的木棍的根数为__________．n【答案】21【解析】第1个图形有2+1=3根，第2个图形有1+2+2=5根，第3个图形有1+2+2+2=7根…第n 个图形有2n +1根， 故答案为：2n +1．【名师点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形发现图形的变化规律是解答本题的关键． 8．【江苏省徐州市2019届九年级第二次模拟考试数学试题】如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“•”的个数为1a ，第2幅图形中“•”的个数为2a ，第3幅图形中“•”的个数为3a ，…，以此类推，则123101111a a a a ++++的值为__________．【答案】175264【解析】a 1=3=1×3，a 2=8=2×4，a 3=15=3×5，a 4=24=4×6，…，a n =n （n +2）， ∴12310111111111324351012a a a a +++⋯+=++++⨯⨯⨯⨯ (111111)133591124461012=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯…… 11111(1)()2112212=-+- 175264=， 故答案为：175264．【名师点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 9．【2019年贵州省黔南州中考数学一模试卷】已知函数1()(1)=+f x x x ，其中f （a ）表示当x =a 时对应的函数值，如1(1)12f =⨯，11(2)()23(1)f f a a a ==⨯+，，则f （1）+（2）+f （3）+f （2019）=__________． 【答案】20192020【解析】∵1(1)12f =⨯，11(2),()23(1)f f a a a ==⨯+， ∴f （1）+f （2）+f （3）+f （2019）=112⨯+123⨯+…+120192020⨯=1-12+12-13+…+12019-12020=1-1 2020=2019 2020．故答案为：2019 2020．【名师点睛】此题主要考查代数式的求值，解题的关键是发现规律，进行简便求解．10．【2019年安徽省淮北市濉溪县中考数学二模试卷】观察下列式子：0×2+1=12①；1×3+1=22②；2×4+1=32③；3×5+1=42④；…（1）第⑤个式子__________，第⑩个式子__________；（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明．【解析】（1）第⑤个式子为4×6+1=52，第⑩个式子9×11+1=102，故答案为：4×6+1=52，9×11+1=102．（2）第n个式子为（n-1）（n+1）+1=n2，证明：左边=n2-1+1=n2，右边=n2，∴左边=右边，即（n-1）（n+1）+1=n2．【名师点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出（n-1）（n+1）+1=n2的规律，并熟练加以运用．。
数学探究性问题
装 订 线数学探究性问题（1）一、“类比、归纳”型探究性问题：1、已知如图AB ∥CD ，P 为任意一点，请用一个等式来表示，∠B 、∠D 、∠P 之间的数量关系，并说明你们的理由。
2、已知AB ∥CD ，P 1、、P 2、P3、P4、…… P n 为任意n 点，请用一个等式来表示，∠B 、∠D 、∠P 1、、∠P 2、∠P 3、∠P 4、…… ∠P n 之间的数量关系。
3、如果上面的n 个点P ，一内一外交替摆放，情况又会怎样？（注意奇偶性）CDDC A23234p 523AA2421装 订 线4、探究规律：如图1，已知直线m//n ，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点。
（1）请写出图1中，面积相等的各对三角形：_______________________；（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有_________与△ABC 的面积相等。
理由是：____________________________。
解决问题：如图2，五边形ABCDE 是张大爷十年前承包的一块土地的示意图。
经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（即图3中折线CDE ）还保留着。
张大爷想过E 点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多。
请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案。
（不计分界小路与直路的占地面积） （1）写出设计方案，并在图3中画出相应的图形；（2）说明方案设计理由。
5、“聪明线”的定义：如果一条线段，经过多边形的一个顶点，并且把这个多边形的面积二等分，我们就把这样的线段叫作这个多边形的“聪明线”。
如：AD 是△ABC 的中线，则△ABD 与△ACD 等底等高，因此△ABD 与△ACD 的面积相等，线段AD 就是 △ABC 的“聪明线” 。
规律型问题的探究性学习
】 ２ ３×４ ×２ ×３
Ｉ
＋ 一 ． ： １一． ２ ２ ３ ３ ４ ４
（ ） １ 猜想 前写 出 （ ＂） ４１ － ， （ ）直接 写 出下列 各式 的计 算结 果 ， ２
①
一 ＋ ＋２ ３ 丽 ｘ －１
＋一＋ 一－
１
，
行 同位 置 的数大 ３ ，所 以第二 行 的第十 个数 是 １２ ＋ ＝ ０７ ０４ ３ １２ 。 故他 们 的和 是 １２＋ ０ ７２ ５ ０ ４ １２ ＝０ １
同时可求得 ： ：。 １ 。： ：
丽
・ ２９ ・ １
别拿豆包不当干粮
： － ｌ 董玉梅 ｊＪ １ ＝‘
＝
解析 ：通过观察可以看做一原点伸出四个端点 ，每次端点各加
一
② １ ＋ １ ＋ｉ ＋－ － ．＋ １ ．
１ ＝
点 ，故
ｎ＝ｌ 时，圆点个数＝ ｌ
ｎ一２时 ， 圆 点个 数＝ ４ 二
（ ）探究并计算， １ ３
１ ｌ １ １
”＝３时，阁点个数 ＝ｌ ＋４＋４＝ｌ － ４×２＝９ ４ 月＝４刚，圈点个数 ＝ｌ ＋４＋４＋４＝１ ＋４Ｘ３＝１ ＝３
譬 譬 ， ＿ … （≠ ’ ’ ， ， ’啊 ｏ ６” ）
其 ￣ ｇ － 式子是 ６ｖ ｔ
— —
问题 。本文归纳了以下几种类型规律型问题 ，并通过这些规律型问 题来 进行 探究 性 学习 ：
一
，
其 中第ｎ 个式子是
—
—（ 为 正整 ｎ Nhomakorabea数 ）。 图案 变化 规律 题是 指 在一 定 条件 下 ，探 索发 现有 关 图形所 具 有 ２ 察下 列不 等式 ． 观
：：
２×４ ４Ｘ６ ６ ｘ８
专题十 规律探索与开放性问题
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规律方法 添加条件时，首先分析具备了哪些条件，然后按 照全等三角形的判定方法分别确定缺少的条件.
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(2013· 湖州 )如图①， O 为坐标原点，点 B 在 x 轴 的 正 半 轴上 ， 四 边 形 OACB 是 平 行 四 边 形 ， 4 k sin∠ AOB＝ ，反比例函数 y＝ (k>0)在第一象限内的 5 x 图象经过点 A，与 BC 交于点 F. (1)若 OA＝ 10，求反比例函数的解析式； (2)若点 F 为 BC 的中点， 且△ AOF 的面积 S＝ 12， 求 OA 的长和点 C 的坐标；
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第 7 行的第一列与第二列相差 8，是 30，第二列 与第三列相差 9，是 39，第三列与第四列相差 10，是 49，第四列与第五列相差 11，是 60，第五列与第六列 相差 12，是 72，第六列与第七列相差 13，是 85.
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(2013· 绍兴 )如图， 矩形 ABCD 中，AB＝6.第 1 次平移矩形 ABCD 沿 AB 的 方向向右平移 5 个单位，得到矩形 A1B1C1D1；第 2 次 平移矩形 A1B1C1D1 沿 A1B1 的方向向右平移 5 个单位， 得到矩形 A2B2C2D2；……；第 n 次平移矩形 An－ 1Bn－
【解题方法】 解决规律探索与开放性问题常用的 数学思想是方程思想，分类思想；常用的数学方法 有：分类讨论法，数形结合法，类比推理法，构建 模型法，特殊值法，设参数法等.
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解答探究性问题的五种有效策略
解答探究性问题的五种有效策略思想在解题中的体现，先运用特值试探可以将繁杂的问题简单化，将抽象的问题具体化.二、观察猜想法当题目中给出几个具体的关系式，要求写出一般性规律或后续某一项的具体形式或结果时，考生可通过观察、分析，进而发现或猜测得到结果，必要时还应按要求对猜测结论进行证明.小结考生能否完成归纳，关键在于能否通过观察，抽象、概括出隐藏在现象背后的规律.三、逆推判断法当判断在某些确定条件下的某数学对象是否存在或某一结论是否成立时，考生可采用逆推的策略，即先假设题中的数学对象存在、结论成立或暂且认可部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理.若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论的证明.小结上例及其变式分别是从某一数学对象最终存在与不存在两个角度进行设计.值得一提的是，逆推时，由常见的当数学对象不存在的依据可能导出常识性错误，也可能导出知识深度性错误，所以解题策略应往这两个方面考慮.四、分类整合法在探究性问题中，由于参数的变化或元素的位置关系可能有多种情况发生，因此往往需要用分类整合的方法进行探索或排除.恰当地进行分类整合，可避免以偏概全，防止丢值漏解.小结变式实际上用到了多重分类讨论，这很好地考查了解题者思维的缜密性.用分类整合的方法，有利于“化整为零，各个击破，再积零为整”.五、联想类比法题目先给出某一数学对象的性质或特征，要指出与该数学对象处于同一体系内或不同维度下的另一种数学对象的性质或特征.要解决此类问题，常需进行类比、分析、联想，构造数学模型，或将问题从低维推广到高维，最终给出具体或得出新的结论.小结解答上述例题的关键是由抽象函数问题联想类比到与其同处于函数体系下的三角函数知识.解答上述变式时用到的联想类比思维体现在两个方面：一是从二维结论联想类比到三维结论.二是从二维“面积法”联想到三维“体积法”.。
中考数学试题中规律探究性问题的研究
关键词 ： 有理数运算找规律． 点评 ： 本题要 充分 分析 试题 的特 点 、 个量之 间的 各
图１
分析 ： 观察所 给 图形 ， 可知 第 ２个 图形 比第 １个 图
４ １
： ｚ
０ ｍ
中学教学 参考
复 习指 津 形多 （ ×２ ） ３ —２ 个棋子 ， ３ 第 个图形 比第 ２ 图形多 （ × 个 ３
Ａ ７× ９ ９ ８× ９ ９ Ｃ． ９× １ ０× １ ９ ０ ０１ Ｂ． ８× ９ ９ ９× １ ０ ０ Ｄ． ０ １ ０× １ １× １ ２ ０ ０
）
【 １ （ ０ ０ 江 苏泰州 ） 例 】 ２１ ， 观察等 式 ： — １ × ①９ —２ ４ ② ２ —１ ×６③４ —１ ×８ …， 照这种 规律写 ， ５ —４ ， ９ —６ ， 按 出第 个 等式 ： ．
２ （ ×２ ２ ； × ２ ＋ ）
９ ×１ ０ ０ ． 以 选 择 Ｃ． ９ ０ ×１ １ 所
当 一３时 ， ４ — １ ×８ （ ×３ １ １ ２ ③ ９ —６ 一 ２ ＋ ）一 — ×
３× （ × ３ ２ ： ２ ＋ ）
关键词 ： 材料 阅读型规律探 索题．
点评 ： 对于材料 阅读 的问题 是 中考 问题 中的常见 问
分析 ： 从材料 可 以得 出 １ ， ×３ ３ ， ×２ ２ ， ×４ …可 以用
式子表示 ，
分析 ： 分析所给等式 ， 对于 ，取不 同的值 ， 应等式 ｚ 对
分别可变形 如下 ：
当 一１ ， ９ —２ 一 （ ×１ ） 一１： × 时 ０ —１ ×４ ２ ＋１ ： ＝２
１ （×１ ２ ； × ２ ＋ ）
题 ， 属 于难 度 较 大 的 问题 ， 种 问题 的 规 律 性 比 较 强 ， 也 这
规律探索性问题(含解析)
规律探索性问题第一部分 讲解部分一．专题诠释规律探索型题是根据已知条件或题干所提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。
这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。
其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。
所以规律探索型问题备受命题专家的青睐，逐渐成为中考数学的热门考题。
二．解题策略和解法精讲规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力．题型可涉及填空、选择或解答．。
三．考点精讲 考点一：数与式变化规律通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。
例1. 有一组数：13,25579,,101726，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第n （n 为正整数）个数为 ．分析：观察式子发现分子变化是奇数，分母是数的平方加1．根据规律求解即可． 解答：解：21211211⨯-=+； 23221521⨯-=+； 252311031⨯-=+；272411741⨯-=+； 219251265+⨯-=；…； ∴第n （n 为正整数）个数为2211n n -+． 点评：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．此题的规律为：分子变化是奇数，分母是数的平方加1． 例2（2010广东汕头）阅读下列材料：1×2 ＝31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝ 31(2×3×4－1×2×3)，3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ 31×3×4×5 ＝ 20． 读完以上材料，请你计算下列各题：(1) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11（写出过程）；(2) 1×2＋2×3＋3×4＋···＋n ×(n ＋1) ＝ ______________； (3) 1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋···＋7×8×9 ＝ ______________．分析：仔细阅读提供的材料，可以发现求连续两个正整数积的和可以转化为裂项相消法进行简化计算，从而得到公式)1(433221+⨯++⨯+⨯+⨯n n[])1()1()2)(1()321432()210321(31+--++++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n )2)(1(31++=n n n ；照此方法，同样有公式： )2()1(543432321+⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n [])2()1()1()3()2()1()43215432()32104321(41+⨯+⨯⨯--+⨯+⨯+⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=n n n n n n n n )3)(2)(1(41+++=n n n n ． 解：（1）∵1×2 ＝ 31(1×2×3－0×1×2)， 2×3 ＝31(2×3×4－1×2×3)， 3×4 ＝ 31(3×4×5－2×3×4)，…10×11 ＝31(10×11×12－9×10×11)， ∴1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11＝31×10×11×12＝440．（2）)2)(1(31++n n n ．（3）1260．点评：本题通过材料来探索有规律的数列求和公式，并应用此公式进行相关计算．本题系初、高中知识衔接的过渡题，对考查学生的探究学习、创新能力及综合运用知识的能力都有较高的要求．如果学生不掌握这些数列求和的公式，直接硬做，既耽误了考试时间，又容易出错．而这些数列的求和公式的探索，需要认真阅读材料，寻找材料中提供的解题方法与技巧，从而较为轻松地解决问题．例3（2010山东日照，19，8分）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质？完成下列填空：一般地，如果⎩⎨⎧>>dc b a ,那么a +c b +d ．（用“>”或“<”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？分析：可以用不等式的基本性质和不等式的传递性进行证明。
规律变化探究性问题-2023年中考数学压轴题专项训练(解析版)
规律变化探究性问题1.压轴题速练一、单选题1(2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，⋯，则第⑦个图形中棋子的颗数为()A.84B.108C.135D.152【答案】A【分析】根据第①个图形的棋子数是3=3×1，第②个图形的棋子数是9=3×1+2，第③个图形的棋子数是18=3×1+2+3，据此求出第⑦个图形 ，⋯，可得第n个图形的棋子数是3×1+2+⋯+n中棋子的颗数为多少即可．【详解】∵第①个图形的棋子数是3=3×1，第②个图形的棋子数是9=3×1+2，第③个图形的棋子数是18=3×1+2+3，⋯，∴第n个图形的棋子数是3×1+2+⋯+n，∴第⑦个图形中棋子的颗数为：3×1+2+⋯+7=3×24=84．故选：A．【点睛】此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，⋯和点C1，C2，C3，⋯分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2 (3，2)，则B2021的坐标是()A.(22021,22022)B.(22021,22020)C.(22021-1,22020)D.(22021+1,22020)【答案】C【分析】根据B1(1，1)，B2(3，2)，B3(7，4)，⋯⋯，B n的横坐标为2n-1，B n的纵坐标为2n-1，再求解即可．【详解】解：∵B11,1，即B121-1,21-1∴A10,1，∴b=1，∵B23,2，即B222-1,22-1∴C1A2=2，∴A2B1=1，∴A1B1=A2B1，∴∠A2A1B1=45°，∴y=x+1，∵C2B2=A2B2=A3B2，∴A3C2=4，∴B37,4，即B323-1,23-1⋯⋯，∴B n的横坐标为2n-1，B n的纵坐标为2n-1，∴B2021的坐标是22021-1,22020，故选：C．【点睛】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，探索出正方形边长与点坐标的关系是解题的关键．3(2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习)观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是()A.6074B.6072C.6070D.6068【答案】C【分析】根据题意可得出第n个图案中的“”的个数为3n+1个，即可求解．【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数=1×3+1=4(个)，第2个图案中的“”的个数=2×3+1=7(个)，第3个图案中的“”的个数=3×3+1=10(个)，•••第2023个图案中的“”的个数=3×2023+1=6070(个)，故选：C．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．4(2022秋·四川资阳·九年级统考期末)如图，直线l的解析式为y=33x，点M10，1，M1N1⊥y轴交直线l于点N1；点M2为y轴上位于M1上方的一点，且M1M2=M1N1，M2N2⊥y轴交直线l于点N2；点M3为y轴上位于M2上方的一点，且M2M3=M2N2，M3N3⊥y轴交直线l于点N3⋯，按此规律，线段N2022N2023的长为()A.31+32021 B.31+32022 C.231+32021 D.231+32022【答案】C【分析】根据解析式得出：N13，1，N233+1，3+1，N333+12，3+12，从而得出规律，再计算N2022N2023的长度即可．【详解】解：∵M10，1，∴将y=1代入y=33x得：x=3，∴N13，1，∴M20，3+1∴将y=3+1代入y=33x得：x=33+1，∴N233+1，3+1，∴M30，3+12,∴将y=3+12代入y=33x得：x=33+12，N333+12，3+12，∴N n33+1n-1，3+1n-1∴N202233+12021，3+12021N202333+12022，3+12022∴N2022N2023=323+14044+3+14044-323+14042+3+14042 =33+14044+3+14044-33+14042+3+14042=23+12022-23+12021=231+3 2021故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键．5(2023·山东德州·模拟预测)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式a +b 2的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算a +b 10的展开式中第三项的系数为()A.36B.45C.55D.66【答案】B【分析】根据“杨辉三角”确定出所求展开式第三项的系数即可．【详解】找规律发现a +b 3的第三项系数为3=1+2；a +b 4的第三项系数为6=1+2+3；a +b5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现a +b n 的第三项系数为1+2+3+⋯+n -2 +n -1 ，∴a +b 10第三项系数为1+2+3+⋯+9=45，故选：B ．【点睛】此题考查了探索数字规律以及数学常识，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解本题的关键．6(2023·湖南益阳·校考模拟预测)如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB 、AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB 、AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，⋯，依此类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为()A.52n -1B.52nC.52n +1D.52n +2【答案】B【分析】先根据矩形的性质可得△ABO 1的面积为54，再根据平行四边形的性质可得平行四边形ABC 1O1的面积为52，同样的方法可得平行四边形ABC2O2和平行四边形ABC3O3的面积，然后归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：∵矩形ABCD的面积为5，∴△ABO1的面积为54，∵四边形ABC1O1是平行四边形，∴平行四边形ABC1O1的面积为2×54=52，同理可得：平行四边形ABC2O2的面积为2×14×52=54=522，平行四边形ABC3O3的面积为2×14×522=523，归纳类推得：平行四边形ABC n O n的面积为52n，其中n为正整数，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，正确归纳类推出一般规律是解题关键．7(2022春·四川内江·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为(1，0)，每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA1B1，第二次旋转得到△OA2B2，⋯，以此类推，则点A2022的坐标是()A.(22022，22022)B.(-22021，22021)C.(22021，-22021)D.(-22022，-22022)【答案】D【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根据等腰直角三角形的性质，可得点A(1，1)逆时针旋转90°后可得A1(-2,2)，同理A2(-4,-4)，依次类推可求得，A3(8,-8)，A4(16,16)，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出A2022的坐标．【详解】∵△OAB是等腰直角三角形，点B的坐标为(1，0)，∴AB=OB=1，∴A点坐标为(1，1)．将△OAB绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形OA1B1，且A1B1=2AB，再将△OA1B1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形OA2B2，且A2B2=2A1B1，依此规律，∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，即A1(-2,2)，A2(-4,-4)，A3(8,-8)，A4(16,16)．∵2022=505×4+2，∴点A2022与A2同在一个象限内．∵-4=-22，8=23，16=24，∴点A2022(-22022，-22022)．故选：D．【点睛】本题考查了等腰直角三角形在平面直角坐标系中旋转的规律问题，熟练掌握等腰直角三角形的性质并能够在坐标系中找到点的坐标的变化规律是解题的关键．8(2022秋·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-1,1),B (0,-2),C(1,-0)，点P(0,2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4⋯⋯按此作法进行下去，则点P2022的坐标为()A.(0,2)B.(-2,0)C.(2,-4)D.(-2,-2)【答案】A【分析】先画出点P1,P2,P3,P4,P5,P6的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：如图，P1-2,0,P22,-4,P30,4,P4-2,-2,P52,-2,P60,2，是以6次为一个循环，∵2022=6×337，∴点P2022的坐标与点P6的坐标相同，即为0,2，故选：A．【点睛】本题考查规律型：坐标与图形变化-旋转，解题关键在于归纳类推出一般规律．9(2022秋·八年级单元测试)如图所示，直线y=33x+33与y轴相交于点D，点A1在直线y=3 3x+33上，点B1在x轴，且∆OA1B1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线y=33x+33相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作等边三角形A2B2B1，记作第二个等边三角形；同样过B2作B2A3∥OA1与直线y=33x+33相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作等边三角形A3B3B2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为()A.2n-1B.2n-2C.2n-1×3D.2n-2×3【答案】D【分析】可设直线与x轴相交于C点．通过求交点C、D的坐标可求∠DCO=30°．根据题意得△COA1、△CB1A2、△CB2A3⋯都是等腰三角形，且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解．【详解】解：设直线与x轴相交于C点．令x=0，则y=33；令y=0，则x=-1．∴OC=1，OD=33．∵tan∠DCO=ODOC =33，∴∠DCO=30°．∵△OA1B1是正三角形，∴∠A1OB1=60°．∴∠CA1O=∠A1CO=30°，∴OA1=OC=1．∴第一个正三角形的高=1×sin60°=32；同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2，高=2×sin60°=3；第三个正三角形的边长=1+1+2=4，高=4×sin60°=23；第四个正三角形的边长=1+1+2+4=8，高=8×sin60°=43；⋯第n个正三角形的边长=2n-1，高=2n-2×3．∴第n个正三角形顶点A的纵坐标是2n-2×3．故选：D．【点睛】本题是一次函数综合题型，主要考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征．10(2023秋·山东济宁·九年级统考期末)如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B 作BC⊥AB，使BC=2BA．将ΔABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°．则第2022次旋转结束时，点C的对应点C'落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为()A.-4B.4C.-6D.6【答案】C【分析】过点C作CD⊥y轴，垂足为D，则△BCD是等腰直角三角形，根据BC=22，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算2022÷4的余数，确定最后的坐标，利用k=横坐标×纵坐标计算即可．【详解】如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，∵直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作BC⊥AB，使BC=2BA，∴A(-1，0)，B(0，1)，AB=2，BC=22，∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，∴DC=BD=2，∴DC=BD=2，OD=OB+BD=3，∴点C(-2，3)，第一次旋转的坐标为(3，2)，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为(2，-3)，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为(-3，-2)，第四次回到起点，∴循环节为4，∴2022÷4=505⋯2，∴第2022次变化后点的坐标为(2，-3)，∴k=-3×2=-6，故选C．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键．二、填空题11(2022秋·山东泰安·八年级校考期末)如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形⋯依此类推，则第2019个三角形的长.【答案】122018【分析】根据“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”可知第2个三角形的周长为12，第三个三角形的周长为12×12=122，⋯以此类推，找到规律，即可求出第2019个三角形的周长.【详解】根据“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”可知第2个三角形的周长为12，第3个三角形的周长为12×12=12 2，第4个三角形的周长为12 2×12=123，⋯第n 个三角形的周长为12n -1，∴第2019个三角形的周长为122018.故答案为：12 2018.【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，找出规律是解题的关键.12(2023·湖北恩施·统考一模)一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到0,1 ，然后接着按图中箭头所示方向运动[即0,0 →0,1 →1,1 →1,0 →⋅⋅⋅]，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时质点所在位置的坐标是．【答案】1,44【分析】应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9⋯，此时点在坐标轴上，进而得到规律．【详解】解：由题意可知，这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为x ,y ，到达1,0时用了3秒，到达2,0时用了4秒，从2,0到0,2有4个单位长度，则到达0,2时用了4+4=8秒，到0,3时用了9秒；从0,3到3,0有6个单位长度，则到达3,0时用9+6=15秒，到4,0时用16秒；从4,0到0,4有8个单位长度，则到达0,4时用16+8=24秒，到0,5时用了25秒；从0,5到5,0有10个单位长度，则到达5,0时用25+10=35秒，到6,0时用了36秒；⋯，可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为x2秒，在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为y2秒，∵45×45=2025，2025→0,45，2026→1,45，2024→0,44，2023→1,44，∴第2023秒时这个点所在位置的坐标为1,44，故答案为：1,44．【点睛】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．13(2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考一模)化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示．当碳原子数为1~10时，依次用天干--甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸--表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是．【答案】16【分析】观察题干中分子结构式发现规律，第n个分子结构式中“H”的个数是2n+2，据此即可得到答案．【详解】解：观察分子结构式可知，第1个甲烷分子结构式中“H”的个数是4；第2个乙烷分子结构式中“H”的个数是6；第3个丙烷分子结构式中“H”的个数是8；⋯⋯∴第n个分子结构式中“H”的个数是2n+2，∴第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是2×7+2=16，故答案为：16．【点睛】本题考查了图形类规律探索，通过观察归纳出规律是解题关键．14(2023·甘肃陇南·校考一模)按一定规律排列的式子：-3ba,8ba3,-15ba5,24ba7，⋯⋯第n个式子是．【答案】(-1)n⋅n(n+2)b a2n-1【分析】根据所给式子找出各部分的规律解答即可．【详解】解：3b,8b,15b,24b，⋯，分子可表示为：n(n+2)b．a,a3,a5,a7，⋯，分母可表示为：a2n-1，则第n 个式子为：(-1)n ⋅n (n +2)ba2n -1．故答案是：(-1)n ⋅n (n +2)ba 2n -1．【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意分别观察各部分的符号规律．15(2023·海南省直辖县级单位·统考一模)用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n 个图案所用的火柴棒的根数为．【答案】3n 2+3n 2【分析】先根据图案排列规律求出第n 个图案的三角形的个数，再根据没有个三角形有三根火柴棒计算即可得解．【详解】解：第1个图案有1个三角形，第2个图案有1+2个三角形，第3个图案有1+2+3个三角形，⋯，依此类推，第n 个图案有：1+2+3+⋯+n 个三角形，∵1+2+3+⋯+n =n n +12，∴第n 个图案所用的火柴棒的根数为3×n n +1 2=3n 2+3n2．故答案为：3n 2+3n2．【点睛】本题是对图形变化规律的考查，先求出第n 个图案的三角形的个数是解题的关键．16(2023·山东枣庄·校考模拟预测)观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n 个大三角形中白色三角形有(用含n 代数式表示)个．【答案】30+31+32+33+⋯⋯3n -1【分析】分别数出第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，即可推出第n 个大三角形中白色的三角形的个数．【详解】解：第1个图形的白色三角形个数为1，第2个图形的白色三角形个数为1+3=30+31，第3个图形的白色三角形个数为1+3+9=30+31+32，第4图形的白色三角形个数为1+3+9+27=30+31+32+33，⋯，以此类推，第n个图形的白色三角形个数为30+31+32+33+⋯⋯3n-1，故答案为：30+31+32+33+⋯⋯3n-1．【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，解答此题要有以下步骤：①先数出白色三角形的个数；②探索出白色三角形的增长规律；③根据规律解题．本题运算量比较大，要仔细计算．17(2023秋·重庆永川·七年级统考期末)如图是一个电子青蛙游戏盘，已知AB=7，BC=6，AC=5，BP0=3．电子青蛙在AB边上的P0处，第一步跳到P1处，使BP1=BP0，第二步跳到P2处，使CP2=CP1，第三步跳到P3处，使AP3=AP2，⋯⋯，按上述的规则跳下去，第2023步落点为P2023，则P1与P2023之间的距离为．【答案】0【分析】根据上述规则，显然6次完成一个循环．因为2023÷6=372⋯1，则P2023与P1重合，于是得到结论．【详解】解：第一步跳到P1处，使BP1=BP0=3，第二步跳到P2处，使CP2=CP1=3，第三步跳到P3处，使AP3=AP2=2，第四步跳到P4处，BP3=BP4=5，第五步跳到P5处，CP4=CP5=1，第六步跳到p6处，AP5=AP6=4，与P0重合，∴6次一循环，则2023÷6=372⋯1，则P2023与P1重合．∴P1与P2023之间的距离为0，故答案为：0．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中各点的变化规律，利用数形结合的思想解答．18(2023秋·河南许昌·九年级校考期末)平面直角坐标系中，若干个半径为1，圆心角为60°的扇形组成的图形如图所示，点P从原点O出发，向右沿箭头所指方向做上下起伏运动，点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒π3个单位长度，则2021秒时，点P的坐标是．【答案】20212，32【分析】根据勾股定理和弧长公式求出的P 1坐标，设第n 秒运动到P n (n 为自然数)点，根据点P 的运动规律找出部分P n 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P 4n +14n +12，32，P 4n +2(n +1,0)，P 4n +34n +32，-32 ，P 4n +4(2n +2,0)”，依此规律即可得出结论．【详解】解：如图，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，由题意可得：OA =1，∠AOB =60°，∴OB =12，AB =32，一段弧线长为60×12π180=π3，∴P 112，32，设第n 秒运动到P n (n 为自然数)点，观察，发现规律：P 112，32 ，P 2(1,0)，P 332，-32，P 4(2,0)，P 552，32 ，⋯，∴P 4n +14n +12，32 ，P 4n +2(n +1,0)，P 4n +34n +32，-32 ，P 4n +4(2n +2,0)．∵2021=4×505+1，∴P 2021为20212，32 ，故答案为：20212，32 ．【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的规律找出点的坐标，根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键．19(2022秋·山东临沂·九年级统考期中)若关于x 的一元二次方程x 2-3x +m 2+m =0m >0 ，当m =1,2,3,⋯,2022时，相应的一元二次方程的两根分别记为α1,β1;α2,β2;⋯;α2022,β2022,则1α1+1β1+1α2+1β2+⋯1α2022+1β2022的值为．【答案】60662023【分析】利用根与系数的关系得到α1+β1=3，α1β1=1×2；α2+β2=3，α2β2=2×3；⋯α2022+β2022=3，α2022β2022=2022×2023；把原式变形，再代入，即可求出答案．【详解】解：∵x 2-3x +m 2+m =0，m =1,2,3,⋯,2022，∴由根与系数的关系得：α1+β1=3，α1β1=1×2；α2+β2=3，α2β2=2×3；⋯α2022+β2022=3，α2022β2022=2022×2023；∴原式=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+....α2022+β2022α2022β2022=31×2+32×3+....32022×2023=3×1-12+12-13+....12022-12023=3×1-12023 =3×20222023=60662023故答案为：60662023【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．20(2023·江苏扬州·九年级专题练习)如图，在正方形ABCD 中，顶点A -5，0 ，C 5，10 ，点F 是BC 的中点，CD 与y 轴交于点E ，AF 与BE 交于点G ，将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点G 的坐标为．【答案】-4，3【分析】根据正方形的性质得到AB =BC =CD =10，∠C =∠ABF =90°，根据全等三角形的性质得到∠BAF =∠CBE ，根据余角的性质得到∠BGF =90°，过G 作GH ⊥AB 于H ，根据相似三角形的性质得到BH =2，根据勾股定理得到HG =4，求得G 3，4 ，找出规律即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =10，∠C =∠ABF =90°，∵点F 是BC 的中点，CD 与y 轴交于点E ，∴CE =BF =5，∴△ABF ≌△BCE (SAS )，∴∠BAF =∠CBE ，∵∠BAF +∠BFA =90°，∴∠FBG +∠BFG =90°，∴∠BGF =90°，∴BE ⊥AF ，∵AF =AB 2+BF 2=102+52=55，∴BG =AB ⋅BFAF=25，过G 作GH ⊥AB 于H ，∴∠BHG =∠AGB =90°，∵∠HBG =∠ABG ，∴△ABG ∽△GBH ，∴BG AB=BH BG ，∴BG 2=BH ⋅AB ，∴BH =25210=2，∴HG =BG 2-BH 2=4，∴G 3，4 ，∵将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，∴第一次旋转90°后对应的G 点的坐标为4，-3 ，第二次旋转90°后对应的G 点的坐标为-3，-4 ，第三次旋转90°后对应的G 点的坐标为-4，3 ，第四次旋转90°后对应的G 点的坐标为3，4 ，⋯，∵2023=4×505+3，∴每4次一个循环，第2023次旋转结束时，相当于正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转3次，∴第2023次旋转结束时，点G 的坐标为-4，3 ，故答案为：-4，3 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变换-旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题21(2023·安徽六安·统考二模)观察以下等式：第1个等式：23=12+16；第2个等式：25=13+115；第3个等式：27=14+128；第4个等式：29=15+145；⋯⋯按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第n 个等式，并证明你的结论．【答案】(1)213=17+191(2)22n +1=1n +1+1n +1 2n +1【分析】(1)由题干给出的4个等式，抓住不变的量，寻找变化的量前后之间的联系，即可得出第6个等式；(2)用n 表示(1)中找到的规律，利用分式的混合运算法则证明即可．【详解】(1)解：∵第1个等式：23=12+16；第2个等式：25=13+115；第3个等式：27=14+128；第4个等式：29=15+145；⋯⋯∴第6个等式为：213=17+191，故答案为：213=17+191；(2)解：第n 个等式为：22n +1=1n +1+1n +1 2n +1，证明：1n +1+1n +1 2n +1 =2n +1n +1 2n +1 +1n +1 2n +1=2n +1n +1 2n +1 =22n +1．故答案为：22n +1=1n +1+1n +1 2n +1．【点睛】本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键．22(2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习)先观察，再解题：因为1-12=11×2，12-13=12×3，13-14=13×4，⋯所以(1)15×6=．(2)请接着完成下面的计算：11×2+12×3+13×4+⋯+149×50=1-12 +12-13 +13-14 +⋯+149-150(3)参照上述解法计算11×3+13×5+15×7+⋯+149×51．【答案】(1)15-16；(2)4950；(3)2551【分析】(1)根据所给的等式的形式进行求解即可；(2)利用所给的等式的形式进行求解即可；(3)仿照(2)的解答方式进行求解即可．【详解】(1)解：由题意得：15×6=15-16，故答案为：15-16；(2)解：11×2+12×3+13×4+⋯+149×50=1-12 +12-13 +13-14 +⋯+149-150=1-12+12-13+13-14+⋯+149-150=1-150=4950；(3)解：11×3+13×5+15×7+⋯+149×51=12×1-13 +12×13-15 +12×15-17 +⋯+12×149-151 =12×1-13+13-15+15-17⋯+149-151 =12×1-151 =12×5051=2551．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．23(2022秋·安徽宣城·七年级统考期末)如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：(1)请写出第3个等式：；(2)猜想第n个等式为：(用含n的等式表示)；(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？【答案】(1)2+4+6+8=4×5(2)2+4+6+⋯+2(n+1)=(n+1)(n+2)(3)n=1011，共有1025156个小正方形【分析】(1)根据给出的等式写出答案即可；(2)根据这3个等式写出答案即可；(3)因为最底端有2024个小正方形，所以2(n+1)=2024，得出n的值，再计算有多少个小正方形即可．【详解】(1)解：2+4+6+8=4×5；(2)解：2+4+6+⋯+2(n+1)=(n+1)(n+2)；(3)解：因为最底端有2024个小正方形，所以2(n+1)=2024，解得：n=1011所以2+4+6+⋯+2024=1012×1013=1025156(个)答：n=1011，共有1025156个小正方形．【点睛】本题考查图形的规律，根据给出的式子找到规律是解题的关键．24(2023·安徽·模拟预测)以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推⋯⋯(1)第5个图案中正方形有个，等边三角形有个．(2)第n个图案中正方形有个，等边三角形有个．(3)若此类图案中有2023个等边三角形，该图案中正方形有多少个？【答案】(1)5，16；(2)n，3n+1；(3)该图案中正方形有674个【分析】(1)观察第1个图案可知：中间的一个正方形对应4个等边三角形，第2个图案可知增加一个正方形，变成了7个等边三角形，增加了3个等边三角形，•••，依次计算可解答；(2)观察第1个图案，有1个等边三角形；第2个图案，有3+4个等边三角形；•••，依次计算可解答；(3)根据等边三角形的个数求出图形的个数，即可确定正方形的个数．【详解】(1)解：观察第1和2个图案可知：图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加3个，∴第5个图案中正方形有5个，等边三角形有4+3+3+3+3=16(个)．故答案为：5，16；(2)解：第1个图案：正方形有1个，等边三角形有：4(个)，第2个图案：正方形有2个，等边三角形有：4+3=7(个)，第3个图案：正方形有3个，等边三角形有：4+2×3=10(个)，第4个图案：正方形有4个，等边三角形有：4+3×3=13(个)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n个图案：正方形有n个，等边三角形有：4+3(n-1)=(3n+1)个，故答案为：n，3n+1；(3)解：∵3n+1=2023，解得：n=674，∴按此规律镶嵌图案，该图案中正方形有674个．【点睛】本题考查了平面镶嵌，以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．25(2023·安徽·模拟预测)十一期间，泉城广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，⋯⋯，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：(1)第10层有个盆栽，第a层有个盆栽，前n层共有个盆栽；(2)计算：1+3+5+⋯⋯+25=；(3)拓展应用：求27+29+⋯⋯+1921的值．【答案】(1)19，2n-1，n2(2)169(3)923352【分析】(1)根据已知数据即可得出每一小层盆栽个数是连续的奇数，进而得出答案；(2)利用已知数据得出答案即可；(3)利用已知数据得出答案即可．【详解】(1)解：第10层有19个盆栽，第n 层有2n -1 个盆栽；前n 层共有1+3+5+⋯⋯+2n -1 =n 2，故答案为：19，2n -1 ，n 2；(2)解：1+3+5+⋯+25=132=169，故答案为：169；(3)解：27+29+31⋯⋯+1921=1+3+5+⋯+1921 -(1+3+5+⋯+25)=9612-132=923521-169=923352【点睛】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出数字的变化规律是解题关键．26(2022秋·山东济南·七年级统考期中)利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题(1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的12,14,18⋯12n ，根据图示我们可以知道：12+14+18+116+⋯+12n =．(用含有n 的式子表示)(2)如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的23，然后依次取剩余部分的23，根据图示：计算：23+29+227+⋯+23n =．(用含有n 的式子表示)(3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：13+29+427+881+⋯+2n -13n =．(用含有n 的式子表示)【答案】(1)1-12n(2)1-13n(3)1-2n3n【分析】(1)根据题意找出规律进行计算即可；(2)根据题干给出图形，依次取正方形面积的23,29,227，⋯，找出规律即可；(3)根据题干给出图形，依次取正方形面积的13,29,427，⋯，找出规律即可．【详解】(1)解：∵第1次截取后剩余12，第2次截取后剩余12×12=122，第3次截取后剩余12×12×12=123，⋯，第n 次截取后剩余12×12×...×12 n 个=12n ，∴12+14+18+116+12n =1-12n ．故答案为：1-12n ．(2)解：∵第1次截取后剩余13，第2次截取后剩余13×13=132，第3次截取后剩余13×13×13=133，⋯，第n 次截取后剩余13×13×...×13 n 个=13n ，∴23+29+227+23n =1-13n ．故答案为：1-13n ．(3)解：∵第1次截取后剩余23，第2次截取后剩余23×23=2232，第3次截取后剩余23×23×23=2333，⋯，第n 次截取后剩余23×23×...×23 n 个=2n 3n ，∴13+29+427+881+2n -13n =1-2n 3n ．故答案为：1-2n 3n ．【点睛】本题考查的图形的变化类，根据题干给出的图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．27(2022秋·浙江杭州·七年级校考期中)完成下列填空：(1)已知a 1=11×2×3+12=23，a 2=12×3×4+13=38，a 3=13×4×5+14=415，⋯⋯，依据上述规律，则a 99==．(2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来(排在第一位的是四边形)，可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n ，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是．(3)下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：a 1=12-1+-12；第2个数：a 2=13-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34；第3个数：a 3=14-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34 1+(-1)45 1+(-1)56 ；⋯⋯则第n 个数为：．【答案】(1)199×100×101+1100，1009999(2)20，3n +5或3n +4(3)a n =1n +1-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34 ⋯1+(-1)2n -12n【分析】(1)找到规律，根据规律填空即可；(2)第1张纸片的周长为8，由2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2．由3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可求解；(3)找到规律，根据规律填空即可．【详解】(1)解：∵a 1=11×2×3+12=23，a 2=12×3×4+13=38，a 3=13×4×5+14=415，⋯⋯，∴a n =1n (n +1)(n +2)+1n +1=n +1n (n +2)，∴a 99=199×100×101+1100=1009999，故答案为：199×100×101+1100，1009999；(2)解：解：从图形可推断：纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5=20；当n 为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+4+⋯+2+4=3n +5；当n 为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+⋯+4+2=3n +4．综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n +5或3n +4．故答案为：20，3n +5或3n +4．(3)解：∵第1个数：a1=12-1+-12；第2个数：a2=13-1+-121+(-1)231+(-1)34；第3个数：a3=14-1+-121+(-1)231+(-1)341+(-1)451+(-1)56；⋯⋯∴第n个数为a n=1n+1-1+-121+(-1)231+(-1)34⋯1+(-1)2n-12n．故答案为：a n=1n+1-1+-121+(-1)231+(-1)34⋯1+(-1)2n-12n．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化以及数字的变化，解第(2)题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长．28(2022秋·山西吕梁·七年级统考期中)如图，每张小纸带的长为40cm，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头粘贴重叠部分的长为3cm．(1)用2张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为77cm，则用3张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为cm．(2)①用n张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是cm；②计算用20张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度．【答案】(1)114(2)①(37n+3)；②743cm【分析】(1)理解接头是每相邻两张有一个接头，则三张有两个接头，从而求出每张纸带的长度，即可求解；(2)①结合(1)推而广之，n张有(n-1)个接头，n张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是40n-3×(n-1)=(37n+3)cm；②直接把n=30代入①即可求解．【详解】(1)解：每张纸带的长度为：77+3÷2=40(cm)；∴3张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为：40×3-2×3=114(cm)．(2)解：①n张纸带的长度为：40n-3×(n-1)=(37n+3)cm．②当n=20时，37n+3=743(cm)．∴20张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为743cm．【点睛】本题考查图形规律，代数式求值，解决问题的关键是读懂题意，找出图形规律是解题的关键．29(2023春·七年级课时练习)观察下列各式(x-1) (x+1)=x2-1(x-1)x2+x+1=x3-1。
中考探索规律问题常见考法赏析
理 、 断等一 系列探 索 活动 逐 步确 定 需求 的结论 或 判
条件． 决探索 规律 问题 ， 解 让学 生经历 观察 、 比较 、 归 纳 、 想 的过程 ， 以培 养 学生 的探 究 创 新能 力 ， 猜 可 也
２ ４ ２
３ ６ ９ ６ ３
４ ８ １ １ １ ８ ４ ２ ６ ２
根 据你发 现 的规律 ， 每 行数 的 第 ｌ 取 ０个 数 ， 求 得它们 的和是 （ 求写 出最后 的计算结 果 ） ～ ． 要 —
则第 ４个 等式 为 — — ； 凡个等 式 为 第
（ ｎ是正 整数 ） ．
评 析 容 易发现第 ① 行 的规律 是 ２ 的形 式 ， 第 ② 行 的规律 是 ２ ＋３的形 式． 因此 ， 两行 的第 １ ０ 个数 的和是 ２ ｍ＋２ ｍ＋３：２ ５ ． ０１ 例２ （ 江苏 泰州 ）让 我 们轻松 一 下 ， 一个 数 做
字游 戏 ：
评析 探 索数 量关 系 ， 认真分 析所 给等式 的 要 左边 与右边 的代数式 共 同特 征 ， 以及 与对 应 序号 的
关系， 用字母 表示 出来 即可． 题 等式 的 特 征是 ： 本 左 边是 平方差 形式 ， 右边 都是 ４的倍 数 ， 答案 ： 一４ ６ ＝４ ｘ （ ５； ｎ＋２ 一ｎ ） 。＝４×（ ｎ＋１ ． ） ３ 探 索图形 的长 度 、 周长 、 面积等 例５ （ 广东 湛江 ）如下 图所示 ， 已知 等边 三角
探索图 形规律｛ 探索图 摆放、 形的 排列个数等
１ 探 索数 值结果
例 １ （ 湖北 十堰 ）观察下 面两行数 ：
２ ４ ８ １ ，２ ６ … ① ， ， ，６ ３ ， ４，
５ ７ １ ，９ ３ ，７ … ② ， ，１ ｌ ，５ ６ ，
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第33讲 规律探究性问题
类型一：探究数字或式子的变化规律
方法点拨：关注奇偶数、平方数、等差数列、等比数列的表示方法．还要关注正、负号交替时，正、负号的表示：用(－1)n 或(－1)n ＋1来表示．
1．观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，
39＝19 683，…，它们的个位数字有什么规律，用你发现的规律直接写出92 019的个位数字是( )
A ．3
B ．9
C ．7
D ．1
2．观察下列一组数：14，39，516，725，936
，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__________．
3．观察一列数：－12，34，－58，716
，…，按你发现的规律，写出这列数的第9个数为________，第n 个数为____________．
4．按一定规律排列的一列数依次为－a 22，a 55，－a 810，a 1117
，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是______________(n 为正整数)．
5．已知一列数a ，b ，a ＋b ，a ＋2b ，2a ＋3b ，3a ＋5b ，…，按照这个规律写下去，第9个数是__________．
6．观察下列一组数：a 1＝13，a 2＝35，a 3＝69，a 4＝1017，a 5＝1533
，…，它们是按一定规律排列的，请利用其中的规律，写出第n 个数a n ＝____________(用含n 的式子表示)．
类型二：探究等式的变化规律
方法点拨：(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n )之间的关系，把其中隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验．
7．观察下列各式：
1＋1
12＋
1
22＝1＋
1
1×2＝1＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1－
1
2，
1＋1
22＋
1
32＝1＋
1
2×3＝1＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2－
1
3，
1＋1
32＋
1
42＝1＋
1
3×4＝1＋⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
3－
1
4，
……
请利用你发现的规律，计算：1＋1
12＋
1
22＋1＋
1
22＋
1
32＋1＋
1
32＋
1
42＋…＋
1＋1
2 0182＋
1
2 0192，其结果为______________．
8．观察以下等式：
第1个等式：2
1＝
1
1＋
1
1，
第2个等式：2
3＝
1
2＋
1
6，
第3个等式：2
5＝
1
3＋
1
15，
第4个等式：2
7＝
1
4＋
1
28，
第5个等式：2
9＝
1
5＋
1
45，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：______________________(用含n的等式表示)，并证明．
类型三：探究图形的变化规律
方法点拨：(1)写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；(2)数图形个数，图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；(3)寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常用作差(商)来观察是否有恒等量的变化，再按照定量变化推导出第n个图形的个数．
9．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形．如果第n幅图中有2 019个菱形，那么n＝________.
10.如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4，……记△AA1A2，△A1A2A3，△A2A3A4的面积分别为S1，S2，S3，如此下去，则S2 019＝________.
类型四：探究坐标的变化规律
方法点拨：根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中的递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环的递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：(1)根据图形中点坐标的
变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第n个点的坐标与变换次数之间的关系．
11.如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是
菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝
3
3x＋
3
3上，
且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是______________．
12.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图．已知点A的坐标为(1，1)，过点A 作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，……依此进行下去，则点A2 019的坐标为________________．。