互易定理证明

特勒根定理及互易定理的证明

一、特勒根定理

）

在各节点处（６３１ｃ５３２４２１0 0 6

62211654321=∑=+--+++++-=+++====-=-=-=i i i i u i i i u i i i u i u i u i u p u u u u u u u u u u u u u u u b a c

b a

c b a b c a )()

()(...

0 6

1

=∑=k k k i u 即

上式成立的条件： ① 各回路均满足KVL ； ② 各节点均满足KCL ； ③ u k 与i k 取关联参考方向。

定理表述：

对于一个具有B 条支路和n 个节点的网络，若在任意回路中都满足KVL ，在任意节点处都满足KCL ，且各支路电压u k 与电流i k 均取关联参考方向，则

01

=∑=B

k k

k i

u

各支路电压u k (图中未标出) 与电流i k 均取关联参考方向

u c u

只要满足定理中所述的条件，可得结论：

1. 对于任意集总参数网络，定理都适用；

2.

∑=≠=B

k k k

t t t i t u

1

2121 0）（)()(

3. (推论) 若两个网络N 和N '的有向图相同，则 0

1

21121='='∑∑==B k k k B

k k k t i t u t i t u )()()()(或 （t 1=t 2 或 t 1≠t 2）

二、互易定理的证明

设上图所示网络0N 和0N '相同，则由特勒根定理可得

0 0 1

211

21='='∑∑==B

k k k B k k k t i t u t i t u )()()()(或

②

① 0 3

221132211='+'+'='+'+'∑∑==B

k k k B

k k k i u i u i u i u i u i u 或即

设网络0N 和0N '为电阻网络，则

+

_

+ 2

_

2'

③

3

3

3333∑∑∑∑∑∑======'=''

=''

=''='=B

k k k B

k k k B

k k k k B

k k k B

k k k k B

k k k k k k k k k i u i u i i R i u i i R i u i R u i R u 于是，

由①、②、③式可得

④ 22112211i u i u i u i u '+'='+'

由④式可得：

2

1

12221112

2211 00 1S S S S S S u i u i i u i u u u u u u u '=

='='='==即时，，，当.

2

1

121122211221 0 0 2S S S S S S i u i u i u i u i i i i i i '=

'==-=-='='即时

，，，当.

2

1

122211221121 0 0 0 3S S S S S S u u i i i u i u u u i i u i '=

+'-=='-==='即时

，，，当.

2

1

122211212211 0 0 0 S S S S S S i i u u i u i u u i i i u u '=

=-'='=-='=即时

，，，当或