互易定理证明
数字逻辑实验 互易定理
数字逻辑实验互易定理数字逻辑实验：互易定理引言：在数字逻辑领域中，互易定理是一种重要的定理，它在逻辑电路设计和分析中起到了至关重要的作用。
本篇文章将从互易定理的定义、推导过程、应用以及实验方法等方面进行详细介绍。
一、互易定理的定义：互易定理，又称为De Morgan定理，是描述与逻辑运算有关的两个重要等价关系。
在逻辑电路设计和分析中，互易定理可以将逻辑门的输入和输出之间的关系进行转换。
根据互易定理，可以通过将逻辑门的输入和输出之间的关系进行逆转，从而简化电路的设计和分析过程。
二、互易定理的推导过程：互易定理的推导过程主要基于布尔代数的运算规则，以下是互易定理的两种形式及其推导过程：第一种形式：互补定理（Complement Theorem）： A + A’ = 1推导过程如下：A + A’ = (A + A’) · 1 （乘以1不改变其值）= (A + A’) · (A + A’)’（A’ = (A + A’)‘）= A + A’· A’（分配律）= A + 0 （A’· A’ = 0）= A （A + 0 = A）第二种形式：互补定理（Complement Theorem）： A · A’ = 0推导过程如下：A · A’ = (A · A’) + 0 （加0不改变其值）= (A · A’) + (A · A’)’（A’ = (A · A’)‘）= A · (A’ + A’)’（分配律）= A · 1’（A’ + A’ = 1）= A · 0 （1’ = 0）= 0 （A · 0 = 0）三、互易定理的应用：互易定理在逻辑电路设计和分析中有着广泛的应用。
以下是互易定理常见的应用场景：逻辑门电路的简化：互易定理可以用于简化逻辑门电路。
通过将逻辑门的输入和输出之间的关系进行逆转，可以减少逻辑门的数量和复杂度，从而降低电路的成本和功耗。
4. 5 互易定理
–
网孔方程：
(1)
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1 - R2 il1 +(R2+R3) il2 = - rm i1 i1 = il1
节点方程： (G1+G2)un1- G2 un2 = is1 (2) -G2 un1+(G2+G3) un2 =- gm u1 u1 =un1
R I 0 U k2 U 2
例2
i1
图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接, 测得电流i1=I1, i2＝I2, 求b图中的i’1 a i2 i’1 a
+
US
+ N N
b (a) 对图(c)应用叠加和互易定理 US
N
-
(b)
b
解 +
US
i”1
a
+
N N
b
(c) US
–
d
2A
(c)
a Req
b
线性 电阻 网络 NR
c
a I 5 5 + 5V – 戴维宁等 效电路
(d)
d
b
(2) 结合a图，知c 图的等效电阻：
u1 10 Req 5 2 2
5 I 0.5A 55
解2
应用特勒根定理：
ˆ ˆ u1i1 u2 i2 u1 i1 u2 i2
B + U –
线性 有源 网络
a A RA b
R
解
B
（1）应用戴维宁定理： （2）应用替代定理：
a + U –
A
RA R RA + Uoc – I
互易定理证明范文
互易定理证明范文互易定理是数学中的一个重要定理，旨在说明在不同的域上进行变换时，求导和求积分可以互相转换。
在本文中，我将从定理的定义、证明过程以及实际应用等角度来解释互易定理。
首先，我们来定义互易定理。
在数学中，互易定理又称为傅里叶变换的互易性质。
设函数f(x)和F(k)分别表示实数轴上的两个函数，其傅里叶变换定义为：F(k) = ∫[负无穷，正无穷] f(x)·e^(-ikx) dx其中，e^(-ikx)是一个复指数函数，被称为傅里叶系数，表示一个特定频率的振幅。
互易定理指出，当函数f(x)和F(k)都在积分区间[-∞,∞]上绝对可积时，f(x)的傅里叶变换F(k)的逆变换等于f(x)自身。
也就是说，有如下关系成立：f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ikx) dk接下来，我将展示互易定理的证明过程。
证明过程如下：我们首先考虑定义的傅里叶变换公式：F(k) = ∫[负无穷，正无穷] f(x)·e^(-ikx) dx现在，我们将定义傅里叶变换的逆变换：f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ik x) dk为了证明互易定理，我们需要证明f(x)等于其逆傅里叶变换。
换句话说，我们需要证明：(1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ikx) dk = f(x)我们可以通过以下步骤证明上述等式：步骤1：我们将f(x)表示为其傅里叶变换F(k)的逆变换。
f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] F(k)·e^(ikx) dk步骤2：然后，我们将F(k)替换为其傅里叶变换f(x)。
f(x) = (1/(2π))∫[负无穷，正无穷] [∫[负无穷，正无穷]f(x')·e^(-ikx') dx']·e^(ikx) dk步骤3：我们交换积分的顺序并进行化简。
互易定理的条件
互易定理的条件互易定理是物理学中的一个重要定理，描述了线性系统的输入和输出之间的关系。
根据互易定理，系统的输入与输出之间的关系在时间域和频率域之间存在一种对应关系。
在下面的文章中，我会详细解释互易定理的条件，并提供相关的背景知识。
互易定理是傅里叶分析的一个关键概念，它指出了在频率域中，信号的傅里叶变换（频谱）与该信号的共轭复数的傅里叶变换之间存在一种对称关系。
具体而言，如果一个信号在时间域中的函数为f(t)，它的傅里叶变换为F(ω)，那么互易定理可以用下面的公式来表示：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-jωt)] dt其中，F(ω)是信号f(t)在频率域中的傅里叶变换，e^(-jωt)是复指数函数，表示频率为ω的正弦波。
公式中的积分表示对信号f(t)在所有时间点上的加权求和。
为了满足互易定理，信号f(t)必须满足一些条件。
以下是互易定理的主要条件：1. 信号必须是连续的。
互易定理适用于连续信号而不是离散信号。
连续信号是在连续时间范围内定义的信号，而离散信号则是在离散时间点上定义的信号。
2. 信号必须是带限的。
带限信号是指其频谱在一定频率范围内有限。
这意味着信号在频率域中没有无限宽的频带，而是在某个频率范围内存在。
如果信号的频谱是无限宽的，那么它将无法满足互易定理。
3. 信号必须满足一定的可积条件。
具体而言，信号的幅度必须在整个时间域上是有界的，即信号的绝对值不能无限增大。
这是为了确保信号的傅里叶变换存在。
4. 信号必须具有有限的能量。
信号的能量定义为信号幅度的平方在整个时间域上的积分。
信号的能量必须是有限的，以便信号的傅里叶变换存在。
需要注意的是，互易定理通常用于描述线性时不变系统，这些系统对输入信号的响应与输入信号的傅里叶变换之间存在相似的关系。
互易定理在信号处理、通信系统、电路分析等领域中有广泛的应用。
总之，互易定理是描述线性系统中输入和输出之间关系的一个重要定理。
它要求信号是连续、带限的，并满足可积和有限能量的条件。
green互易定理
green互易定理
摘要：
1.互易定理的定义
2.互易定理的性质
3.互易定理的应用
4.互易定理的举例
正文：
一、互易定理的定义
互易定理，又称为绿色互易定理，是数论中的一个重要定理。
它主要研究的是两个数的乘积与它们的和或差的关系。
具体来说，如果两个整数a 和b 的乘积与它们的和或差的余数相同，那么这两个整数就满足互易定理。
用公式表示就是：如果a*b ≡a + b (mod n) 或者a*b ≡a - b (mod n)，其中n 是一个正整数，那么a 和b 就是满足互易定理的数。
二、互易定理的性质
1.对称性：如果a 和b 满足互易定理，那么b 和a 也满足互易定理。
2.传递性：如果a 和b 满足互易定理，b 和c 也满足互易定理，那么
a 和c 也满足互易定理。
3.齐次性：如果a 和b 满足互易定理，那么ka 和kb 也满足互易定理（其中k 是一个整数）。
三、互易定理的应用
互易定理在数论中有广泛的应用，特别是在中国剩余定理和模运算中。
通过利用互易定理，我们可以解决许多在模运算中的问题，如求解模方程、求解
同余方程等。
四、互易定理的举例
举例来说，我们取a=3，b=4，n=5。
根据互易定理的公式，我们有3*4 ≡3 + 4 (mod 5) 或者3*4 ≡3 - 4 (mod 5)。
计算可得，3*4 ≡1 (mod 5)，3 + 4 ≡1 (mod 5)，3 - 4 ≡1 (mod 5)。
因此，3 和4 满足互易定理。
总的来说，互易定理是数论中一个重要的定理，它具有很好的性质和广泛的应用。
互易定理
互易定理在线性无源电路中，若只有一个独立电源作用，则在一定的激励与响应的定义（电压源激励时，响应是电流；电流源激励时，响应是电压）下，二者的位置互易后，响应与激励的比值不变。
根据激励和响应是电压还是电流，互易定理有三种形式： 4.5.1 互易定理的第一种形式图4-14（a ）所示电路N 在方框内部仅含线性电阻，不含任何独立电源和受控源。
接在端子11'-的支路1为电压源S u ，接在端子22'-的支路2为短路，其中的电流为2i ，它是电路中唯一的激励（即S u ）产生的响应。
如果把激励和响应位置互换，如图4-14（b ）中的Nˆ，此时接于22'-的支路2为电压源S u ˆ，而响应则是接于'11-支路1中的短路电流1ˆi 。
假设把图（a ）和（b ）中的电压源置零，则除N 和Nˆ的内部完全相同外，接于11'-和22'-的两个支路均为短路；就是说，在激励和响应互换位置的前后，如果把电压源置零，则电路保持不变。
S uS u ˆ+-（a ）N （b ）Nˆ 图4-14 互易定理的第一种形式对于图4-14（a ）和（b ）应用特勒根定理，有∑==++bk k k i u i u i u 322110ˆˆˆ∑==++bk k k i u i u i u322110ˆˆˆ 式中取和号遍及方框内所有支路，并规定所有支路中电流和电压都取关联参考方向。
由于方框内部仅为线性电阻，故k k k i R u =、k k k i R u ˆˆ=（b k 、、 3=），将它们分别代入上式后有：∑==++bk k k k i i R i u i u 322110ˆˆˆ∑==++bk k k k i i R i u i u322110ˆˆˆ 故有22112211ˆˆˆˆi u i u iu i u +=+ （4-12）对图4-14（a ），S u u =1，02=u ；对图（b ），0ˆ1=u，S u u ˆˆ2=，代入上式得 21ˆˆi ui u S S = 即S S ui u i ˆˆ12=如果21ˆˆi ui u S S =，则12ˆi i =。
材料力学互易定理
材料力学互易定理材料力学互易定理，也称Betti第二定理或Betti-Maxwell互易定理，是材料力学分析中一个重要的定理，用于计算复杂结构的内力分布和刚度计算等问题。
本文将详细解释什么是材料力学互易定理，其背景、前提和证明过程，并简要介绍其应用和限制。
一、背景和前提材料力学互易定理是由19世纪意大利学者贝蒂 (Carlo Alberto Castigliano) 和英国学者麦克斯韦（James Clerk Maxwell）独立提出的。
这个定理的起源可以追溯到19世纪，当时的工程师们需要计算桥梁、建筑和机器的承载能力以及内力、应变等。
然而，复杂的结构往往需要进行繁琐的计算才能得出结果，这个过程既费时又费力，而且容易出错。
为了解决这个问题，贝蒂和麦克斯韦分别提出了一条定理，使得计算更为简单。
他们的定理相似，而且可以互相推导，因此被称为材料力学互易定理或Betti第二定理。
这个定理的基本思想是在复杂的力学问题中，可以通过若干次简单的计算来得出结果。
在介绍互易定理之前，先要介绍一些概念。
材料力学中的很多问题都是静力学问题，即考虑物体在稳定状态下的受力情况。
为了描述一个物体在空间中的静力学状态，需要引入一些概念：受力结构：指一个物体，包括其支撑和支承的物体。
外载荷：指作用在受力结构各部分上的外部荷载，包括重力、压力、拉力等。
位移：指受力结构的任意一个点在三维空间中的位移，包括沿x、y和z三个方向的位移。
应力：指受力结构内部任意一个点的受力情况，包括拉力、压力等。
应变：指受力结构内部任意一个点的形变情况，包括沿x、y和z三个方向上的形变。
根据上述定义，可以得到受力结构中各部分的内力和挠度，由此可以推导出材料力学互易定理。
二、定理表述材料力学互易定理的核心是内力和位移之间的关系。
它的推理方式可以描述为以下两个定理：定理一：原来的受力结构，在其任意点的位移与外载荷的乘积之和等于对其施加单位外力所引起的位移值，即W = ∫_(V)(σVε)dV其中，W是原始受力结构对外力加之后的反作用位移，V是受力结构内部有位移的体积，σ是体积元素中的应力向量，ε是应力张量中的应变向量。
互易定理证明范文
互易定理证明范文互易定理是电磁场理论中的基本定理之一，它能够帮助我们理解电磁场中电磁波的传播规律。
下面我将为大家详细介绍互易定理的证明过程。
互易定理是麦克斯韦方程组的一个推论，首先我们来回顾一下麦克斯韦方程组的基本形式：其中，$\mathbf{E}$表示电场强度，$\mathbf{B}$表示磁场强度，$\rho$表示电荷密度，$\mathbf{J}$表示电流密度，$\varepsilon_0$表示真空中的介电常数，$\mu_0$表示真空中的磁导率。
现在，我们将互易定理需要证明的部分拆分为三个部分进行证明。
1.对于电场的证明：根据麦克斯韦方程组的第三个方程，即：两边同时对磁场强度$\mathbf{B}$进行体积分，得到：根据矢量恒等式，上式右边变为：$$-\int_{V} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot\mathbf{B} dV = -\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_{V} \mathbf{B} \cdot \mathbf{B} dV$$再根据标量恒等式，上式化简为：$$-\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_{V} \mathbf{B} \cdot\mathbf{B} dV = -\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \int_{V} B^2 dV$$同样地，对左边进行换元和化简，我们得到：其中，$S$表示体积$V$的边界表面。
综上所述，我们得到：这便是电场的互易定理。
2.对于磁场的证明：同样地，我们利用麦克斯韦方程组的第四个方程，即：两边同时对电场强度$\mathbf{E}$进行体积分，得到：利用矢量恒等式，我们可以化简上式右边为：$$\int_{V} \mu_0 \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} dV = \mu_0 \int_{V} \mathbf{J} \cdot \mathbf{E} dV$$$$\int_{V} \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t} \cdot \mathbf{E} dV = \frac{\mu_0 \varepsilon_0}{2} \frac{d}{dt} \int_{V} \mathbf{E} \cdot\mathbf{E} dV$$对左边进行换元和化简，我们得到：综上所述，我们得到：这便是磁场的互易定理。
3.6.1 互易定理
2
1
2
1V
3
2
1
1
2
1
2
3
1V
2
1
1பைடு நூலகம்
互易定理
定理(第一种形式)： 对于含有一个独立电压源和若干线 性二端电阻的电路，当此电压源在某一端口A作用时， 在另一端口B产生的短路电流等于把此电压源移到端口 B作用而在端口A所产生的短路电流。
US
A
B I2
I1
A
B
US
(a)
I2 I1
(b)
证明：U1I1 U2I2
I2 I1
U1I1 U2I2 US1I1 0
I2
0
USI1 0 I1 US2I2
I2
0 UIS11 US2
UI 2S I 2 I1
互易定理
定理(第二种形式) ：对于含有一个独立电流源和若干 线性二端电阻的电路，当此电流源在某一端口A作用时， 在另一端口B产生的开路电压等于把此电流源移到端口 B作用而在端口A所产生的开路电压。
IS A
B U2
U1
(a)
U2 U1
A
B IS
(b)
互易定理
定理(第三种形式) ：对于图示电路,如果在数值上IS与US 相等, 则U2与 I1在数值上也相等。其中IS 与 I1 、US 与U2 分别取同样单位。
I2 0
US A
B U2
I1 A
IS B
(a)
U2 I1
(b)
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互易定理
注意： (1) 互易定理只适用于线性电路，不适用于非线性电路；
(2) 应用互易定理时要注意参考方向，如果两个网络的端口 电压和电流的参考方向不一致，则应在不一致的电流和 电压前加负号；
2-11互易定理1
∧
∧
∧
∧
U 2 = U1
∧
当电流源IS接在支路1时，在支路2产生的开路电压等于将电流 源IS移至支路2时，在支路1产生开路电压，这就是互易定理的 第二种形式。
3、
I1 US N
I2=0
∧
I1
∧
U2
U1 = 0
N
IS
U2
∧
U1 I1 + U 2 I 2 =U1 I1 + U 2 I 2 U S I1 + U 2 (− I S ) =0 × I1 + U 2 × 0
∧
∧
I 2 = I1
∧
当电压源US接在支路1时，在支路2产生的短路电流等于将电压 源US移至支路2时，在支路1产生的短路电流，这就是互易定理 的第一种形式。
2、
I1 IS N
I2=0 U2
I1 = 0
U1
∧
∧
I2
∧
U1
N
IS
U2
∧
U1 I1 + U 2 I 2 =U1 I1 + U 2 I 2 U1 × 0 + U 2 (− I S )= U1 (− I S ) + U 2 × 0
e 4A 2Ω f b 1Ω 1Ω 2Ω
1Ωa 1Ω e d 2Ω 2Ω c f 1Ω b 1Ω 4V d 2Ω
2Ω 1Ω 1Ω a Ic源自e2Ω 1Ω 1Ω a
c
解：
4V
2Ω
Uab b 1Ω 1Ω 2Ω d
d
f
U ab I = 4 4
Uab=1×1-1 × 3= - 2(V) I = -2（A）
2-11 互易定理
3-4 互易定理
3.4 互易定理1. 互易定理的内容互易定理：对于一个线性电阻网络而言，如果只有一个激励和一个响应，那么当激励与响应互换位置后，激励与响应的比值保持不变。
这里的激励指电压源或电流源，响应指电压或电流。
互易定理的示意图如图1所示。
u 1i 2u 2i 1212u u i i =图1 互易定理示意图根据互易定理和图1，1212(u u i i =激励）（互换位置后的激励）（响应）（互换位置后的响应） （1）由式（1）可以看出，如果激励（电压源电压）相同，则互换位置后的响应（电流）也相同。
这是互易定理的一种特殊情况。
由互易定理的内容可以看出，互易定理是很难自己想象出来的。
由于互易定理很难想象，要证明互易定理自然也是一件非常困难的事情。
不过，为了令人信服，下面我们来证明一下互易定理。
2. 互易定理的证明在证明互易定理之前，需要先证明两个定理和一个定理推论，即特勒根定理1、特勒根定理2和特勒根定理2推论。
特勒根定理1的内容是，任意一个电路，如果每一条支路的电流参考方向都是从电压参考方向的正极流入，则所有支路的电压电流乘积加起来一定等于零。
电压电流乘积就是功率，可见特勒根定理1的物理含义就是任何一个电路总的功率为零，也就是发出功率等于吸收功率，即功率守恒。
下面我们来证明特勒根定理1。
假设任意一个电路总计有b 条支路，n 个结点，第p 、q 个结点之间的电压记为pq u ，电流记为pq i ，则1111111111111()02222bn n n n n n nnk kpq pq p q pq p pq q pq k p q p q p q q p u i u i u u i u i u i ===========−=−=∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）由式（2）即证明了特勒根定理1。
式（2）乍一看很难理解，下面对其中的细节进行解释。
式（2）中第一个等号是将支路电压电流乘积之和转化为结点与结点之间电压与电流乘积之和。
06互易定理
由克莱姆法则得
R11 uS R13 R21 0 R23 2 R31 0 R33 i2 = = = uS × R21 R23 R31 R33 0 R12 R13 uS R22 R23 ′ 1 0 i1 = = R32 R33 = uS × R12 R13 R32 R33
Q
R21 R23 R31 R33
2 – 2 互易定理
互易性是一类特殊的线性网络的性质。 互易性是一类特殊的线性网络的性质。一个具有 互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应） 互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互 响应不改变。 换位置后 同一激励所产生的响应不改变 换位置后，同一激励所产生的响应不改变。具有互易 性的网络叫互易网络， 性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质 所进行的概括。电阻电路是互易网络。 所进行的概括。电阻电路是互易网络。 激励：电路电源的电压或电流，是电路的输入信号 输入信号。 激励：电路电源的电压或电流，是电路的输入信号。 响应：由激励在电路各部分产生的电压或电流， 产生的电压或电流 响应：由激励在电路各部分产生的电压或电流，是电 输出信号。 路的输出信号 路的输出信号。
R11 i1 + R12 i 2 + R13 i3 = u S R 21 i1 + R 22 i 2 + R 23 i3 = 0 R i + R i + R i = 0 32 2 33 3 31 1
R i ′ + R i ′ + R i ′ = 0 12 2 13 3 11 1 ′ ′ ′ R 21 i1 + R 22 i 2 + R 23 i 3 = u S ′ ′ ′ R 31 i1 + R 32 i 2 + R 33 i 3 = 0
哈工大电路自主实验报告
①、定理1:如图(a)与(b)所示电路中，N为仅由电阻组成的线性电阻电路, 则有EU S_?U S(a) (b)②、定理2:如图(a)与(b)所示电路中，N为仅由电阻组成的线性电阻电路，则有③、定理3:如图(a)与(b)所示电路中，N为仅由电阻组成的线性电阻电路，则有若兰班级1104102 学号1110410223实验日期 6.20 节次10:00 教师签字成绩实验名称：验证互易定理1. 实验目的(1)、验证互易定理，加深对互易定理的理解；(2)、进一步熟悉仪器的使用。
2. 总体设计方案或技术路线(1 )、实验原理:互易定理：对一个仅含有线性电阻(不含独立源和受控源)的电路(或网络) 产生响应，当激励和响应互换位置时，响应对激励的比值保持不变。
此时，时，响应为短路电流；当激励为电流源时，响应为开路电压。
互易定理存在二种形式:,在单一激励当激励为电压源(b)U2i si2i s(2)、实验方案i 1;电路图一，证明| 2=u〔；电路图二，证明L2=U S=i 1/1 S电路图三，证明L2/(电路图如下)3. 实验电路图各参数分别为：Rl = R3=Rl=R5=100 Q R2=200Q L S=6V I S=50mA 4. 仪器设备名称、型号交直流电路实验箱一台直流电压源0〜30V 一台直流电流源0〜100mA 一台直流电流表0〜400mA 一只数字万用表一只电阻若干5. 理论分析或仿真分析结果6. 详细实验步骤及实验结果数据记录（包括各仪器、仪表量程及阻的记录）（1）、验证定理一，按照图一连好电路后测量12、i 1,将实验数据记录在表格i中;U i将实验数据记录在表格2中; （2）、验证定理二，按照图二连好电路后测量L2i i,将实验数据记录在表格3中。
（3）、验证定理三，按照图三连好电路后测量L27. 实验结论8. 实验中出现的问题及解决对策(1)、问题：实验过程中无200 Q定值电阻；对策：改成两个100Q定值电阻串联；(2)、问题：实验中电流表无示数，后经检查电路发现该实验台电流表被烧坏，对策：换了一台没有问题的直流电流表。
实验2 叠加定理和互易定理的验证
实验2 叠加定理和互易定理的验证
实验目的：
1.验证叠加定理
实验原理：
1.叠加定理：在线性系统中，若输入信号可以分解成多个不同的分量，每个分量独立地经过系统后再将输出信号叠加（相加），那么这个输出信号与将这些分量分别输入系统后输出信号的叠加结果是完全相同的。
即，系统是可叠加的。
2.互易定理：互易定理是指对于某一系统，若输入为x(t)，输出为y(t)，那么输入为x*(-t)时输出为y*(-t)。
其中，x*(-t)是x(t)的共轭反转。
互易定理要求系统具有逆时不变性和线性性。
实验步骤：
1.搭建实验仪器，如图所示，系统输入为三角波和正弦波，系统输出为观测波形。
2.分别观察三角波和正弦波在系统中的输出波形，记录。
3.将三角波和正弦波分别分解成三个谐波分量，分别经过系统，分别观测三个分量的输出波形，并将三个分量的输出波形叠加，记录。
实验结果：
3.将三角波和正弦波的共轭反转输入系统，观测输出波形，如下图所示，其中绿色为三角波输出波形，蓝色为正弦波输出波形。
1.通过观察三角波和正弦波在系统中的输出波形，可以发现系统具有线性性和时不变性，符合叠加定理和互易定理的要求。
3.通过将三角波和正弦波的共轭反转输入系统，观测输出波形，可以验证互易定理的正确性，可以发现输入信号的共轭反转与输出信号的共轭反转呈镜像关系。
电路分析之互易定理
9
§2－10互易定理
例4、图中网络N仅由线性电阻组成。根据图(a)和图(b) 的已知条件，求图(c)中电流i1和i2。
3A 4Ω
1A
20V N 5Ω
4Ω
2A
20V N
(a)
(b)
i1 4Ω
5Ω i2
20V N
20V
(c)
2009-10-13
10
§2－10互易定理
例：（续）
§2－10互易定理
解：用叠加、互易、戴维南定理
⑴
N u1S1i11’
1'
2
u22’ i22’
2'
N 1
^i11'
^u11’
1'
^i22’u^2S2
2'
有 i22' = iˆ11' uS1 uˆ S 2
若uˆ S 2 = uS1 则iˆ11' = i22'
使用式： u11'iˆ11' + u22'iˆ22' = uˆ11'i11' + uˆ 22'i22'
需使用互易定理基本关系式有：
(uS - R1 i1) (-i1’) + u2i2’ = (uS’ - R1’ i1’) (-i1)+ u2’i2
并且：i2’ ＝ u2’/R2’ 得：u2’ ＝ 1.6 V
8
例3：电路如图所示，求电流 I
§2－10互易定理
4Ω
2Ω
a
b
2Ω
应用
c
1Ω 8V 2Ω
I 互易定理
§2－10互易定理
§2－10互易定理
互易定理一般形式
互易定理（Reciprocity Theorem）是电磁场理论中的一个重要定理，它描述了电磁场中的相互作用。
互易定理的一般形式可以表示为：
对于两个电磁场问题，设场源1在空间中产生电磁场E1和H1，而场源2在空间中产生电磁场E2和H2。
如果将场源1和场源2互换位置，即将场源1放置在场源2的位置，而将场源2放置在场源1的位置，同时保持其他条件不变，那么满足以下关系：
∮S(E1·H2) dS = ∮S(E2·H1) dS
其中，∮S 表示对闭合曲面S 进行的面积积分，E1·H2 表示电场E1 和磁场H2 的点乘积，E2·H1 表示电场E2 和磁场H1 的点乘积。
互易定理的一般形式表明，在两个电磁场相互作用的情况下，交换源和场的位置，交换电场和磁场的关系，积分得到的结果保持不变。
这个定理在电磁场的分析和应用中具有重要的意义，可以用于求解各种复杂的电磁场问题。
希望以上解答对你有所帮助。
高等数学1 互易定理
高等数学1 互易定理互易定理是高等数学中的一个重要定理，它描述了傅里叶变换中频域和时域之间的相互转换关系。
这个定理的英文名称为Parseval's theorem，它是由法国数学家马塞尔·艾伯特·亨利·亚当·巴特朗·德·亨利·瓦耶·傅里叶提出的。
互易定理在信号处理、图像处理、通信系统等领域中有着广泛的应用。
互易定理的表述如下：若f(x)和F(k)是一维函数，它们之间的傅里叶变换和逆变换分别为F(k)和f(x)，则有以下等式成立：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] F(k) ^2 dk其中，f(x) ^2表示函数f(x)的绝对值的平方，F(k) ^2表示函数F(k)的绝对值的平方，∫表示积分运算。
这个定理的物理意义是，信号的能量在频域和时域之间是保持不变的。
在时域，信号的能量是由每个点的振幅的平方和所有点的总和得出的。
而在频域中，信号的能量则是由每个频率成分的幅度的平方和所有频率成分的总和得出的。
互易定理的证明可以通过傅里叶变换的定义和逆变换的定义进行推导。
首先，根据傅里叶变换的定义，有：F(k) = ∫[−∞,+∞] f(x)e^(-2πikx) dx然后，将F(k)代入互易定理的等式中，得到：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-2πikt) dt ^2 dk 接下来，根据复数的模平方公式，可以将上式展开：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-2πikt) dt ^2 dk= ∫[−∞,+∞] (∫[−∞,+∞] f(t)e^(-2πikx) dt)(∫[−∞,+∞]f(u)e^(-2πiku) du) dk接着，可以将两个积分项进行展开和交换顺序，得到：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] (∫[−∞,+∞] f(t)f(u)e^(-2πik(x-u)) dtdk) du= ∫[−∞,+∞] (∫[−∞,+∞] f(t)f(u)e^(-2πik(u-x)) dudk) dx= ∫[−∞,+∞] ∫[−∞,+∞] f(u)e^(-2πiku) du ^2 dx最后，根据傅里叶逆变换的定义，将上式中的积分项变为f(x)，得到：∫[−∞,+∞] f(x) ^2 dx = ∫[−∞,+∞] f(u) ^2 du由此可见，互易定理被证明成立。
互易定理证明
互易定理证明
互易定理证明
互易定理1 对内部不含独立源和受控源的线性电 阻网络N，任取两对端钮11’和22’，如果在端口11’ 施加输入电压 us，在端口22’可得到输出电流 i2 ， 如图 (a)所示。反之，对22’施加输入电压 uˆs ，可 在11’得到输出电流 iˆ1 ，如图 (b)。
iˆ1 i2 uˆs us
。。
同样可得:
b
uˆ1i1 uˆ2i2 uˆkik 0 k 3
。。
互易定理证明
由于图 (a)中的网络N和图3.5.1(b)中的网络N是
由线性电阻组成的同一网络，uk=Rkik uˆk Rkiˆk
（k=1,2,…,b）， 所以上式可写作
bபைடு நூலகம்
u1iˆ1 u2iˆ2 Rkiˆkik k 1 b
。。
互易定理证明
同样，设图 (b)中线性无源电阻网络N中的支路电
压为 uˆ（k k=1,2,…,b），支路电流为（iˆk k=1,2,…,b），
以及 、 和 、 ，支uˆ1 路iˆ1电压uˆ和2 支iˆ2路电流也取 一致参考方向。
按图中标定的参考方向，根据特勒根定理，由特 勒根定理可知:
b
u1iˆ1 u2iˆ2 ukiˆk 0 k 3
uˆ1i1 uˆ2i2 Rkiˆkik k 1
。。
互易定理证明
上两式的右边相等，故
u1iˆ1 u2iˆ2 uˆ1i1 uˆ2i2
图 (a)中 u1 uS ,u2 0，图 (b)中 uˆ1 0, uˆ2 uˆS 。得
互易定理证明
特勒根定理及互易定理的证明一、特勒根定理）在各节点处（６３１ｃ５３２４２１0 0 662211654321=∑=+--+++++-=+++====-=-=-=i i i i u i i i u i i i u i u i u i u p u u u u u u u u u u u u u u u b a cb ac b a b c a )()()(...0 61=∑=k k k i u 即① 上式成立的条件: ② 各回路均满足KVL ； ③ 各节点均满足KCL ； ④ u k 与i k 取关联参考方向。
定理表述:对于一个具有B 条支路和n 个节点的网络, 若在任意回路中都满足KVL, 在任意节点处都满足KCL, 且各支路电压uk 与电流ik 均取关联参考方向, 则01=∑=Bk kk iu各支路电压u k (图中未标出) 与电流i k 均取关联参考方向u cu1. 只要满足定理中所述的条件, 可得结论:2. 对于任意集总参数网络, 定理都适用；3.∑=≠=Bk k kt t t i t u12121 0）（)()((推论) 若两个网络N 和 的有向图相同, 则 0121121='='∑∑==B k k k Bk k k t i t u t i t u )()()()(或 （t 1=t 2 或 t 1≠t 2）二、互易定理的证明设上图所示网络 和 相同, 则由特勒根定理可得0 0 121121='='∑∑==Bk k k B k k k t i t u t i t u )()()()(或②① 0 3221132211='+'+'='+'+'∑∑==Bk k k Bk k k i u i u i u i u i u i u 或即设网络 和 为电阻网络, 则+_+ 2_2'③333333∑∑∑∑∑∑======'=''=''=''='=Bk k k Bk k k Bk k k k Bk k k Bk k k k Bk k k k k k k k k i u i u i i R i u i i R i u i R u i R u 于是，由①、②、③式可得④ 22112211i u i u i u i u '+'='+'由④式可得:21122211122211 00 1S S S S S S u i u i i u i u u u u u u u '=='='='==即时，，，当.21121122211221 0 0 2S S S S S S i u i u i u i u i i i i i i '='==-=-='='即时，，，当.21122211221121 0 0 0 3S S S S S S u u i i i u i u u u i i u i '=+'-=='-==='即时，，，当.21122211212211 0 0 0 S S S S S S i i u u i u i u u i i i u u '==-'='=-='=即时，，，当或。
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特勒根定理及互易定理的证明
一、特勒根定理
）
在各节点处（６３１ｃ５３２４２１0 0 6
62211654321=∑=+--+++++-=+++====-=-=-=i i i i u i i i u i i i u i u i u i u p u u u u u u u u u u u u u u u b a c
b a
c b a b c a )()
()(...
0 6
1
=∑=k k k i u 即
上式成立的条件： ① 各回路均满足KVL ； ② 各节点均满足KCL ； ③ u k 与i k 取关联参考方向。
定理表述：
对于一个具有B 条支路和n 个节点的网络，若在任意回路中都满足KVL ，在任意节点处都满足KCL ，且各支路电压u k 与电流i k 均取关联参考方向，则
01
=∑=B
k k
k i
u
各支路电压u k (图中未标出) 与电流i k 均取关联参考方向
u c u
只要满足定理中所述的条件，可得结论：
1. 对于任意集总参数网络，定理都适用；
2.
∑=≠=B
k k k
t t t i t u
1
2121 0）（)()(
3. (推论) 若两个网络N 和N '的有向图相同，则 0
1
21121='='∑∑==B k k k B
k k k t i t u t i t u )()()()(或 （t 1=t 2 或 t 1≠t 2）
二、互易定理的证明
设上图所示网络0N 和0N '相同，则由特勒根定理可得
0 0 1
211
21='='∑∑==B
k k k B k k k t i t u t i t u )()()()(或
②
① 0 3
221132211='+'+'='+'+'∑∑==B
k k k B
k k k i u i u i u i u i u i u 或即
设网络0N 和0N '为电阻网络，则
+
_
+ 2
_
2'
③
3
3
3333∑∑∑∑∑∑======'=''
=''
=''='=B
k k k B
k k k B
k k k k B
k k k B
k k k k B
k k k k k k k k k i u i u i i R i u i i R i u i R u i R u 于是，
由①、②、③式可得
④ 22112211i u i u i u i u '+'='+'
由④式可得：
2
1
12221112
2211 00 1S S S S S S u i u i i u i u u u u u u u '=
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2
1
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'==-=-='='即时
，，，当.
2
1
122211221121 0 0 0 3S S S S S S u u i i i u i u u u i i u i '=
+'-=='-==='即时
，，，当.
2
1
122211212211 0 0 0 S S S S S S i i u u i u i u u i i i u u '=
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，，，当或。