(整理)参数估计习题.

参数估计习题

一、填空题

1、设总体2

(,)

X Nμσ，若2σ已知，总体均值μ的置信度为1α

-

的置信区间为：x x

⎛

-+

⎝

，则λ=；

2、设由来自正态总体2

(,0.9)

X N μ的样本容量为9的简单随机样本，得样本均值5

x=，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为；

3、设

12

,

X X为来自总体2

(,)

X Nμσ的样本，若

12

1

1999

CX X

+为μ的一个无偏估计，则C=；

4、设

12

,,,

n

X X X为来自正态总体2

(,)

Nμσ的样本，,a b为常数，且0a b

<<，则随机区间

22

11

()()

,

n n

i i

i i

X X

b a

μμ

==

⎡⎤

--

⎢⎥

⎣⎦

∑∑的长度L的数学期望为；

5、设ˆθ是未知参数θ的估计量，若称ˆθ为θ的无偏估计量，则

ˆ()

Eθ=；

6、设

12

ˆˆ,θθ为总体未知参数θ的两个无偏估计量，若称

1

ˆθ比

2

ˆθ更有效，

则

1

ˆ()

Dθ

1

ˆ()

Dθ；

7、设θ为总体的未知参数，若由样本确定的两个统计量

1

ˆθ和

2

ˆθ，且

12

ˆˆ

θθ

<，对于预先给定的α值（01

α

<<），满足

12

ˆˆ

{}1

Pθθθα

<<=-，则称随机区间

12

ˆˆ

(,)

θθ

为θ的1α

-或100(1)%

α

-置信区间，其中为置信上限，为置信下限，

称为置信度；

8、设

12

,,,

n

X X X为来自正态总体2

(,)

Nμσ的一个样本，样本均值

1

1n

i

i

X X

n=

=∑

是的无偏估计量；

9、设

12

,,,

n

X X X是取自总体X的一个样本，2

()

D Xσ

=，则

22

1

1

()

1

n

i

i

S X X

n=

=-

-

∑为的无偏估计量；

10、设12,,,n x x x 是取自总体2(,)X

N μσ的一组样本值，则2σ的置信度为

(1)α-的置信区间是 。

二、 选择题 1、 设总体2(,)X

N μσ，其中2σ已知，则总体均值μ的置信区间长度l 与置信

度1α-的关系是（ ）

.1-.1-.1-.A l B l C l D ααα当缩小时，缩短 当缩小时，增大当缩小时，不变 以上说法均错

2、 设总体2(,)X

N μσ，2σ已知，若样本容量n 和置信度1α-均不变，则对

于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度（ ）

....A B C D 变长 变短 不变 不能确定

3、 设随机变量12,,,n X X X 相互独立且同分布2

(,)X

N μσ，1

1n

i i X X n ==∑，

2

21

1()1n

i i S X X n ==--∑，2()i D X σ=，则2S （ ） 2....A B C D σσμ是的有效估计 是的无偏估计是的无偏估计 不能确定

4、设ˆθ

是未知参数θ的估计量，如果ˆ()E θθ=，则称ˆθ为θ的（ ） ....A B C D 有偏估计量 无偏估计量一致估计量

有效估计量

5、设总体X 的分布中，未知参数θ的置信度为1α-的置信区间是[]12,T T ，即

12()1P T T θα≤≤=-，则下列说法正确的是（ ）

1212121212.[,].[,]..[,]A T T t t ,t t B T T C D T T θθααθθθ∈对，的观测值，必有 以的概率落入区间区间以1-的概率包含 的数学期望E()必属于6、α越小，则1α-就越大，θ落在区间12ˆˆ,θθ⎡⎤⎣⎦内的概率就越大。对于给定的置信度1α-，使12ˆˆ,θθ⎡⎤⎣⎦平均长度最小的区间估计是（ ）

....A B C D 最好的区间估计 最差的区间估计无偏估计 以上说法均错

7、设12,,

,n X X X 是取自总体X 的一个样本，不是无偏估计量的是（ ）

2

2

1

1

2

21

111..()1.().1n

n

i

i i i n i i A X X B S X X n n C S X X D X n ====---∑∑∑==

8、设12,,

,n X X X 是取自总体2

(,)X

N μσ的一个样本，12

211

ˆ()n i i i k X X σ

-+==-∑，若使2ˆσ为2σ的无偏估计量，则k =（ ） 1

111

.

.

.

.

1

22(1)

A B C D n

n n

n --

9、设12,X X 是取自总体2(,)X N μσ的一个样本， μ的无偏估计量中最有效的

是（ ）

1122123124121121

ˆˆ..2233

1114ˆˆ..4455

A X X

B X X

C X X

D X X μ

μ

μ

μ

=+=+=+=+

10、区间估计给出了估计的精度与可靠度(1)α-，其精度与可靠度是相互制约的，即（ ）

....A B C D 精度越高（置信区间的长度越小），可靠度越低

精度越高（置信区间的长度越大），可靠度也越高精度越低（置信区间的长度越小），可靠度越高精度越低（置信区间的长度越大），可靠度也越低

三、 计算题和证明题 1、设12,,

,n X X X 是总体2(,)X

N μσ的一个简单随机样本，试证：

2

2

11()1n i i S X X n ==--∑（其中1

1n i i X X n ==∑）是()D X 的无偏估计量。