导数与定积分
第一节 导数的概念及运算 定积分
第一节 导数的概念及运算 定积分考试要求1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．[知识排查·微点淘金]知识点1 导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的定义，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim x →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x →0Δy Δx ＝lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx． [微思考]f ′(x )与f ′(x 0)有什么．提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0. 知识点2 导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[微思考]直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．[微提醒]1．“过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．知识点3 求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c ′＝0；②(x α)′＝αx α－1(α∈Q 且α≠0)； ③(sin x )′＝cos_x ； ④(cos x )′＝－sin_x ； ⑤(a x )′＝a x ·ln_a ； ⑥(e x )′＝e x ； ⑦(log a x )′＝1x ln a； ⑧(ln x )′＝1x ．(2)导数的运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）·g （x ）－g ′（x ）·f （x ）g （x ）(g (x )≠0)． (3)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积．设y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y ′x ＝f ′(u )·g ′(x )．知识点4 定积分(1)定积分的概念、几何意义及性质 ①定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．②定积分的几何意义y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ] 上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积③定积分的三个性质a.⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；b.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；c.⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．(2)微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式 .通常记作⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．如果F ′(x )＝f (x )，那么称F (x )是f (x )的一个原函数． 常用结论函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有1．若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；2．若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．(×) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．(×) (6)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .(√)2．(链接教材选修2－2 P 50A 组T 5)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A3．(链接教材选修2－2 P 3例题)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________m/s ，加速度a ＝________m/s 2.答案：－9.8t ＋6.5 －9.84．(不会用方程法解导数求值)已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________．解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝－8.答案：－85．(混淆在点P 处的切线和过P 点的切线)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则a 的值为________；b 的值为________．解析：y ′＝a e x ＋ln x ＋1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，a e ＝2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e，b ＝－1. 答案：1e－1一、基础探究点——导数的运算(题组练透)1．已知f (x )＝cos 2x ＋e 2x ，则f ′(x )＝( ) A ．－2sin 2x ＋2e 2x B ．sin 2x ＋e 2x C ．2sin 2x ＋2e 2x D ．－sin 2x ＋e 2x解析：选A 由题意f ′(x )＝－sin 2x ·2＋e 2x ·2＝－2sin 2x ＋2e 2x ，故选A. 2．已知f (x )＝x (2021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2022，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B 因为f (x )＝x (2021＋ln x )， 所以f ′(x )＝2021＋ln x ＋1＝2022＋ln x . 又f ′(x 0)＝2022，所以2022＋ln x 0＝2022，所以x 0＝1.故选B.3．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a，若f ′(1)＝e4，则a ＝________．解析：由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x （x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.答案：14．若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________．解析：由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2，∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.答案：1－1x －2x 2＋2x31.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.2.常见形式及具体求导方法连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元二、应用探究点——导数的几何意义(多向思维)[典例剖析]思维点1 求曲线的切线方程[例1] (2021·全国甲卷)[一题多解]曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为______．解析：解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）2＝5（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.解法二：本题可以先将函数转化为y ＝2（x ＋2）－5x ＋2＝2－5x ＋2，再求导数．答案：5x －y ＋2＝0解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解．解决这类问题的关键是抓住切线的斜率．思维点2 求切点坐标[例2] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 答案：(e ，e) [拓展变式][变条件]若本例变为：曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．思维点3 由曲线的切线(斜率)求参数值(范围)[例3] (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2解析：依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.故选C.答案：C(2)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是________．解析：由导数的几何意义，知k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2 e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k ＜0，所以α的最小值是3π4.答案：3π4解与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数；①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．思维点4 两曲线的公切线问题[例4] 设x 1为曲线y ＝－1x (x <0)与y ＝ln x 的公切线的一个切点横坐标，且x 1<0，则满足m ≥x 1的最小整数m 的值为________．解析：y ＝－1x (x <0)的导数为y ′＝1x 2，y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，设与y ＝ln x 相切的切点的横坐标为n ， 由切线方程y ＝1n x ＋ln n －1，以及y ＝x x 21－2x 1，可得1n ＝1x 21，ln n －1＝－2x 1，消去n ，可得2－x 1＝2ln(－x 1)－1，设t ＝－x 1(t >0)，可得2t＝2ln t －1，设f (t )＝2ln t －1－2t ，可得f (2)＝2ln 2－2<0，f (3)＝2ln 3－53>0，且f (t )在(2，3)递增，可得2t ＝2ln t －1的根介于(2，3)之间，即有x 1∈(－3，－2)，m ≥x 1恒成立，可得m ≥－2，即m 的最小值为－2. 答案：－2解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.[学会用活]1．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：2x －y ＝02．(2021·贵阳模拟)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0， ∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)． 答案：(0，0)3．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线平行，则实数k 的值为________． 解析：由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，所以当x ＝e 时，y ′＝ln e ＋1＝2，所以曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线的斜率为2.又该切线与直线y ＝kx －2平行，所以k ＝2.答案：24．(2021·内蒙古包头一模)若曲线f (x )＝a ln x (a ∈R )与曲线g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________．解析：函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ，设曲线f (x )＝a ln x与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)，由于在公共点处有共同的切线，∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a ＞0. 由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e2.答案：e 2三、应用探究点——定积分(多向思维)[典例剖析]思维点1 定积分的计算[例5] 计算：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________．(2)若f (x )＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f (x )d x 为______．(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．解析：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝2.(2)由y ＝3＋2x －x 2＝4－（x －1）2，得(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，表示以(1，0)为圆心，2为半径的圆在x 轴及其上方的部分，所以⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14.所以⎠⎛133＋2x －x 2d x ＝14·π·22＝π.(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e]，因为⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2， (ln x )′＝1x ，所以⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13＋1＝43.答案：(1)2 (2)π (3)43应用微积分基本定理计算定积分的步骤1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． 2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． 3．分别用求导公式找到一个相应的原函数． 4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值． 5．计算原始定积分的值．思维点2 利用定积分求平面图形的面积[例6] [一题多解]由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________． 解析：如图所示，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，解得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)． 解法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝23(2x )32⎪⎪⎪20＋⎣⎡⎦⎤13（2x ）32－12x 2＋4x ⎪⎪⎪82＝163＋⎝⎛⎭⎫643－263＝543＝18. 解法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积为S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝⎝⎛⎭⎫12y 2＋4y －16y 3⎪⎪⎪4－2＝18. 答案：18 [拓展变式]1．[变条件]若本例变为：由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x |1－1＝⎝⎛⎭⎫23×13＋2×12＋2×1－⎣⎡⎦⎤23×（－1）3＋2×（－1）2＋2×（－1）＝163. 答案：1632．[变条件，变结论]若本例变为：设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解析：封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49. 答案：49利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分得出答案．[学会用活]5.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________．解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π·22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋16．(2021·江西宜春重点高中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x ＜0，4cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意可得围成的封闭图形的面积 S ＝⎠⎛－4(x ＋4)d x ＋∫π204cos x d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋4x |0－4＋4sin x |π20 ＝0－(8－16)＋4sin π2－0＝12.答案：12限时规范训练 基础夯实练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．(2021·晋南高中联考)函数f (x )＝ln 2x －1x 的图象在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线方程为( ) A ．y ＝6x －5 B ．y ＝8x －6 C ．y ＝4x －4D ．y ＝10x －7解析：选A f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 1－2＝－2，因为f ′(x )＝1x ＋1x 2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝6，所以切线方程为y －(－2)＝6⎝⎛⎭⎫x －12，即y ＝6x －5，故选A. 3．已知函数f (x )＝(x 2＋m )e x (m ∈R )的图象在x ＝1处的切线的斜率等于e ，且g (x )＝f （x ）x，则g ′(－1)＝( )A.4e B ．－4eC.e 4D ．－e 4解析：选A 由题意得f ′(x )＝2x e x ＋(x 2＋m )e x ＝(x 2＋2x ＋m )e x ，f ′(1)＝(3＋m )e ，由题意得(3＋m )e ＝e ，所以m ＝－2，所以f (x )＝(x 2－2)e x .解法一：所以g (x )＝f （x ）x ＝⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋2x 2e x ＋⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，所以g ′(－1)＝4e . 解法二：f ′(x )＝(x 2＋2x －2)e x ，f (－1)＝－1e ，所以f ′(－1)＝－3e ，又g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，所以g ′(－1)＝4e.4．(2021·贵阳市四校联考)直线l 过抛物线E ：y 2＝4x 的焦点且与x 轴垂直，则直线l 与E 所围成的图形的面积等于( )A ．2B ．43C.83D ．163解析：选C 由题意，得直线l 的方程为x ＝1，将y 2＝4x 化为y ＝±2x ，由定积分的几何意义，得所求图形的面积为S ＝2⎠⎛012x d x ＝4⎠⎛01x 12d x ＝4×⎝⎛⎭⎫23x 32|10＝83×1＝83，故选C. 5．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D ．⎣⎡⎭⎫π3，π解析：选B 根据题意，得f ′(x )≥3，则曲线y ＝f (x )上任一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3. 结合正切函数的图象可得α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B.6．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则a ＝________，b ＝________．解析：因为(x 3＋ax ＋b )′＝3x 2＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×12＋a ＝2，13＋a ·1＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：－1 37．若f (x )＝13x 3－12f ′(1)·x 2＋x ＋12，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：因为f (x )＝13x 3－12f ′(1)x 2＋x ＋12，所以f ′(x )＝x 2－f ′(1)x ＋1，所以f ′(1)＝1－f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝1，所以f (1)＝13－12＋1＋12＝43，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －43＝x－1，即3x －3y ＋1＝0.答案：3x －3y ＋1＝08．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 9．(2021·淮南模拟)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎡⎦⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1·(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，1，不妨设x 1＜x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝⎛⎭⎫2x 1－1x 1⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]， 故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎨⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝⎛⎭⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝⎛⎭⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意． 综合提升练10．已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为( )A ．－1eB ．－e C.1eD ．e解析：选B 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫n ，1m ，对y ＝x e x 求导，得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ，若直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则有y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，此时有1m ＝n e n ＝－1e ，∴m ＝－e.故选B.11．(2021·新高考卷Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b ＜a B ．e a ＜b C ．0＜a ＜e bD ．0＜b ＜e a解析：选D 解法一：设切点(x 0，y 0)，y 0＞0，则切线方程为y －b ＝e x 0(x －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝e x 0（x 0－a ）y 0＝e x 0得e x 0(1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程e x 0(1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x ＜a 时，a －x ＞0, 所以f (x )＞0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，作出函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0＜b ＜e a ，故选D.解法二：过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0＜b ＜e a ，故选D.12．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12解析：选D 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0＞0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.13．(2021·开封市模拟考试)已知函数f (x )＝mx 3＋6mx －2e x ，若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线4x ＋y －2＝0平行，则m ＝________．解析：f ′(x )＝3mx 2＋6m －2e x ，则f ′(0)＝6m －2＝－4， 解得m ＝－13.答案：－1314．(2021·江西五校联考)已知函数f (x )＝x ＋a2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1－a 2x 2，设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0，则切线方程为y －x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(x －x 0)，又切线过点(1，0)，所以－x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，又曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a 2－8(－a )＞0，解得a ＞0或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)15．(2021·河北六校联考)已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2(m ∈R )，g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，求m ； (2)证明：在(1)的条件下，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)成立． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1－mx ，f ′(1)＝1－m ，因为f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，所以1－m ＝1，即m ＝0. (2)证明：在(1)的条件下，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )＝x ln x 在x ＝1e 时取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，所以f (x 1)≥－1e . g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e ，则g ′(x )＝x e x －2e ，令h (x )＝g ′(x )＝x e x －2e，x ＞0，则h ′(x )＝1－xe x ，所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减．所以当x ＞0时，g ′(x )≤g ′(1)＝h (1)＝－1e，因为g ′(x )≤－1e ＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x 2)＜g (0)＝－1e.所以对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)．创新应用练16．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
导数与定积分知识汇总
导数与定积分知识汇总导数和定积分是微积分的重要概念之一、导数描述了函数在其中一点上的变化率，而定积分则计算了函数在给定区间上的累积量。
本文将对导数和定积分的基本定义、性质和应用进行详细介绍。
一、导数的定义和性质1. 导数的定义：对于函数f(x)，在其中一点a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)。
导数表示了函数y=f(x)在x=a处的切线斜率。
2.导数的几何意义：导数表示了函数图像在其中一点上的切线斜率。
如果导数大于零，则函数在该点上递增；如果导数小于零，则函数在该点上递减；如果导数等于零，则函数在该点上取极值；如果导数不存在，则函数在该点上存在间断。
3.导数的计算方法：可以使用基本导数公式来计算导数，例如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
此外，还可以使用导数的四则运算法则，包括求和、差、积和商的导数。
4.高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
第n阶导数表示了函数的n次变化率，可以用f^(n)(x)表示。
例如，如果函数的二阶导数大于零，那么函数在该点上呈现凸的曲线形状。
二、定积分的定义和性质1. 定积分的定义：对于函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分定义为：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[f(x_k) Δx_k]，其中Σ表示求和，Δx_k是区间[a,b]上一个子区间的长度，x_k是该子区间内任意一点。
2.定积分的几何意义：定积分表示了函数f(x)在区间[a,b]上的曲线下面积。
如果函数在该区间上为正值，则积分值为正；如果函数在该区间上为负值，则积分值为负；如果函数在该区间上变号，则通过积分可以得到曲线上和曲线下的面积差。
3.定积分的计算方法：可以使用定积分的基本公式来计算定积分，如幂函数的定积分、三角函数的定积分等。
此外，还可以利用换元积分法、分部积分法等方法来计算更复杂的定积分。
4. 积分的性质：积分具有线性性质，即∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx；积分也具有保号性质，即如果在[a,b]上f(x) ≤ g(x)，那么∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx。
导数、定积分
导数、定积分要点精讲:1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆= 。
如果当0→∆x 时，y x∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0） = 。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量 ； （2）求平均变化率 ； （3）取极限，得导数 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是 。
相应地，切线方程为 。
3．常见函数的导出公式．(1)()C '= ；（C 为常数）(2)()n x '= ；(3)(sin )x '= ；(4)(cos )x '= ；(5) '(ln )x = ； (6) '(log )a x = (01a a >>且);(7) ()x e '= ； (8) ()xa '= (01a a >>且)；4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1： (')u v ±=法则2： '()uv = ；若C 为常数'()C u = 法则3：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘= （v ≠0）。
形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤：分解——求导——回代。
法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X5．导数的应用（1）一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为 函数；'f 0)(<x ，则)(x f 为 函数；如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为 ；（2）曲线在极值点处切线的斜率为 ，极值点处的导数为 ；曲线在极大值点左侧切线的斜率为 ，右侧为 ；曲线在极小值点左侧切线的斜率为 ，右侧为 ；（3）一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。
2016届原创§29 导数和定积分的概念及运算
一、导数：
1.概念： 2.运算：
又名瞬间变化率 连续平滑是形法
六个公式两特例 单个函数纯字母
点点可导线可导 一差二比三极限
简单函数两标准 不符条件用法则
二、定积分：
1.概念：
2.运算：
数法定义四大步 几何意义是面积 分代求和取极限 部分恰好逆求导
(1)方法 (2)性质 (3)常见的公式
n B. n＋2 n＋1 C. 2n＋4 n D. 2n＋4
3.已知函数 f(x)的导函数为f /(x) ,且 f(x)＝2x f /(1)＋x2
则 f /(1) ＝_______
2 x ，x 0， 4.设 f(x)＝ x ,则 2 ，x 0，
5.
2 0
1
1 1
f ( x)dx ______
x nx
n '
n 1
sin x cos x ' cos x sin x
'
⑤若 f x a , 则 f x a ln a
x ' x
特别地 若 f x e , 则 f x e
x '
x
a a e e
x '
x
ln a
n ' n 1
x ' x
③ [ log a f x ]
/
[
1 ] f x ln a
f x
/
log a x
'
1 x ln a
④[sin f x ] [cos f x ] f x
/
⑤[cos f x ]/ [－sin f x ] f / x
导数与定积分的联系和区别
导数与定积分的联系和区别在数学中，导数和定积分是两个非常重要的概念，它们在微积分学中起着核心作用。
然而，尽管它们在很多方面有相似之处，但它们之间也存在着明显的区别。
本文将探讨导数与定积分之间的联系和区别，以帮助读者更好地理解这两个概念。
首先，我们来看一下导数。
导数是一个函数在某一点处的变化率。
换句话说，它表示函数在该点处的切线斜率。
对于一个给定的函数f(x),其导数定义为：f'(x) = lim (h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]其中，h是一个非常小的正数，称为趋近值。
这个定义表明，导数是一个极限的概念，它描述了函数在某一点附近的变化情况。
接下来，我们来看一下定积分。
定积分是一个函数在一定范围内的累积量。
换句话说，它表示函数在该区间内的面积。
对于一个给定的函数f(x),其定积分定义为：∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，a和b分别是积分区间的下限和上限，F(x)是原函数，即满足F'(x) = f(x)的函数。
这个定义表明，定积分是一个数值计算的结果，它描述了函数在一定范围内的大小。
现在我们来看一下导数和定积分之间的联系。
首先，它们都涉及到极限的概念。
导数是通过求解极限来定义的，而定积分也是通过求解极限来计算的。
此外，它们都可以用来描述函数的变化情况。
导数描述了函数在某一点附近的变化速度，而定积分描述了函数在一定范围内的变化大小。
然而，尽管它们之间有这些相似之处，但它们之间也存在着明显的区别。
最主要的区别在于它们的物理意义和应用场景。
导数主要应用于研究函数在某一点附近的变化情况，例如速度、加速度等。
而定积分则主要应用于计算面积、体积等实际问题，例如计算曲边梯形的面积、计算物体在空间中的体积等。
此外，导数和定积分的计算方法也有所不同。
求导通常需要使用微分公式或者泰勒级数展开，这使得导数的计算变得复杂且耗时。
而定积分则可以通过牛顿-莱布尼茨公式或者换元法等简单的方法进行计算。
导数与定积分知识汇总
高考数学----导数、定积分知识清单一 、导数的概念●（一）导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y=f （x 0+△x ）－f （x 0），比值△y△x叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即△y △x = f （x 0+△x ）－f （x 0）△x 。
如果当0→∆x 时，△y△x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’ | x = x0即f ‘（x 0）=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x|在x = 0处不存在极限，所以在x = 0处不可导）（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；② 求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
●（二）导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0 = f ’（x 0）（x －x 0）。
导数与定积分
a
成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质 kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝______a________ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝___a_________a_________；
a
所以
S＝
2(－x2＋2x＋1－
0
1)dx＝2(－ 0
x2＋2x)dx＝－x33＋x2
|20
＝－83＋4＝43.
bf(x)dx
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋___c________(其中 a<c<b)．
a
a
4．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)， 那么bf(x)dx＝___F_(_b_)_－__F_(_a_) __，这个结论叫做微积分基本定理，
（4）2 1- x dx 0
二、定积分几何意义
1、(十二15)直线y 4x与曲线y 4x3在第一象限内 围成的封闭图形的面积； 2、(四14)由直线y 0, x e, y 2x及曲线y 2 所围成
x 的封闭图形的面积.
3、(二14)定积分 1 x(2 x)dx __________ 0
a
又叫做牛顿莱布尼茨公式． 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数． 为了方便，常把 F(b)－F(a)记作_F__(x_)__ba___，即abf(x)dx＝F(x)ba＝ F(b)－F(a)．
一、定积分的计算
（1）（2 x2 2x 1）dx; 1 2 (2)0 (sin x a cosx)dx 2; x2，x∈[0，1]， (3)设 f(x)＝ 1，x∈（1，e] (e 为自然对数的底数)， x e 则 0 f(x)dx 的值为________．
常用的求导和定积分公式
常用的求导和定积分公式求导和定积分是微积分中的基础概念，求导是一种衡量函数变化率的方法，而定积分是对函数在一定区间上的面积或体积的计算。
在实际问题中，求导和定积分公式的应用非常广泛。
下面是一些常用的求导公式：1.基本导数公式：- 常数函数： $ \frac{d}{dx} (c) = 0$- 幂函数：$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1}$- 指数函数：$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x$- 对数函数：$ \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x}$-三角函数：- 正弦函数：$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x)$- 余弦函数：$ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x)$- 正切函数：$ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x)$2.基本运算法则：- 常数乘以函数：$ \frac{d}{dx} (cf(x)) = cf'(x)$- 函数的和或差：$ \frac{d}{dx} (f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$- 乘法法则：$ \frac{d}{dx} (f(x)g(x)) = f'(x)g(x) +f(x)g'(x)$- 除法法则：$ \frac{d}{dx} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$- 复合函数法则：$ \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$3. 链式法则：如果函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 都可导，则复合函数 $y = f(g(x))$ 的导数为：$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$4. 高阶导数：将求导的操作应用多次可以得到高阶导数，例如二阶导数表示为 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。
高考数学复习讲义：导数的概念及运算、定积分
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点． ( ) (2)求曲线过点 P 的切线时 P 点一定是切点． ( ) 答案：(1)√ (2)×
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看成常数，再求导 复合函数 确定复合关系，由外向内逐层求导
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[针对训练]
1．设 f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0 等于( )
A．e2
B．1
C．ln 2
D．e
解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋1＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝ 2 020，得 2 020＋ln x0＝2 020，则 ln x0＝0，解得 x0＝1. 答案：B
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2．曲线 y＝log2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的 面积等于________． 解析：∵y′＝xln1 2，∴切线的斜率 k＝ln12，∴切线方程为 y＝ln12(x－1)，∴所求三角形的面积 S＝12×1×ln12＝2ln1 2＝ 1 2log2e. 答案：12log2e
二、填空题 1．已知函数 f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若 f(x)的图象在 x＝1
处的切线方程为 2x－y＝0，则 a＋b＝________. 解析：由题意，得 f′(x)＝aln x＋a，所以 f′(1)＝a，因为函 数 f(x)的图象在 x＝1 处的切线方程为 2x－y＝0，所以 a＝2， 又 f(1)＝b，则 2×1－b＝0，所以 b＝2，故 a＋b＝4. 答案：4
答案：－xsin x 2．已知 f(x)＝13－8x＋2x2，f′(x0)＝4，则 x0＝________.
导数和定积分的关系
导数和定积分的关系
求取定积分就是要将某一形式的函数，从一点进行积分到另一点之间的一个过程，本质上就是要将一个复杂的函数转换成一个统一的表达式。
而微分来说，是积分的反过程，也就是要将一个统一的函数转换为复杂的函数。
所以，求取定积分和微分运算有着密不可分的关系。
直观上来看，我们可以将微分运算的求取曲线的斜率，转换成一个积分的过程。
也就是要从一点x开始，进行一次小段距离dx的积分，这样在每一段dx具有不同的斜率dif，每次积分完后再把积分结果求和，最后积分到对应的点x',y'，就可以转换为一个定积分过程。
可以这样理解，微分运算的求取曲线的斜率是将曲线的坐标系中的点显示在定积分，从而求出两点之间连续的函数曲线，而定积分则是以上述的思路，就可以实现两个函数之间积分，最终形成一个定积分的过程。
由上面来看，定积分和微分运算是有着密不可分的关系，它们之间不可能完全独立于对方，而是需要彼此弥补性及帮助，方可达到更加精确的结果。
也就是说，定积分是由微分推算出，而微分则是由定积分运算带入来的。
导数与定积分
第九讲 导数与定积分一、导数的概念与运算1．导数的概念： )(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00。
2．求导数的方法：（1）求函数的增量⊿y ；（2）求平均变化率xy ∆∆；（3）求极限x yx ∆∆→∆0lim 。
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x 0，y 0）处的切线的斜率，即斜率为)(0/x f 。
过点P 的切线方程为：y- y 0=)(0/x f (x- x 0).4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；xx 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。
5．导数的四则运算法则：)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+；'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭6．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).二、导数的应用1． 函数的单调性（1） 设y=f(x)在某个区间内可导，若)(/x f >0，则f(x)为增函数；若)(/x f <0，则f(x)为减函数。
常用的求导和定积分公式
常用的求导和定积分公式在微积分中，求导和定积分是两个最基本的运算。
求导用于确定一个函数的导数，而定积分则用于计算一个函数在给定区间上的面积。
下面是一些常用的求导和定积分公式：求导公式：1. 常数法则：若c为常数，则导数为0，即：d/dx (c) = 0。
2. 幂法则：若f(x) = x^n，则导数为n*x^(n-1)，即：d/dx (x^n)= n*x^(n-1)。
3. 对数函数法则：若f(x) = ln(x)，则导数为1/x，即：d/dx(ln(x)) = 1/x。
4. 指数函数法则：若f(x) = e^x，则导数为e^x，即：d/dx (e^x)= e^x。
5. 乘法法则：若f(x) = u(x) * v(x)，则导数为u'(x) * v(x) +u(x) * v'(x)，即：d/dx (u(x) * v(x)) = u'(x) * v(x) + u(x) *v'(x)。
6. 除法法则：若f(x) = u(x) / v(x)，则导数为(u'(x) * v(x) -u(x) * v'(x)) / (v(x))^2，即：d/dx (u(x) / v(x)) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^27. 链式法则：若f(x) = g(h(x))，则导数为g'(h(x)) * h'(x)，即：d/dx (g(h(x))) = g'(h(x)) * h'(x)。
8. 反函数法则：若f(x) = g^(-1)(x)，其中g为一个可逆函数，则导数为1 / g'(g^(-1)(x))，即：d/dx (g^(-1)(x)) = 1 / g'(g^(-1)(x))。
定积分公式：1. 基本定积分：∫1 dx = x + C。
2. 幂函数定积分：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C，其中n不等于-13. 指数函数定积分：∫e^x dx = e^x + C。
导数的概念及运算、定积分
考法(三) 由曲线的切线(斜率)求参数的值(范围)
[例3] (1)(2018·商丘二模)设曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数
的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)＝3ax＋2cos x
上某点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是 ( D )
A．[－1,2]
B．(3，＋∞)
x.(4)∵y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2
＝12xsin(4x＋π)＝－＝－12sin 4x－2xcos 4x.
[名师微点]
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． 2．常见形式及具体求导6种方法
b
f(x)dx＝F(b)－F(a)，常把F(b)－F(a)记作
a
F(x) ba，即abf(x)dx＝F(x) ba＝F(b)－F(a)．
1定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负， 而定积分的结果可正可负. 2当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于 x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零.
3．已知t是常数，若t (2x－2)dx＝8，则t＝ 0
A．1
B．－2
( D)
C．－2或4
D．4
解析：由t (2x－2)dx＝8，得(x2－2x) 0
t0＝t2－2t＝8，
解得t＝4或t＝－2(舍去)．
4．若f(x)＝x·ex，则f′(1)＝___2_e____.
解析：∵f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.
1．f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 019，则x0等于 ( B )
A．e2
高中数学导数与积分知识点归纳总结
高中数学导数与积分知识点归纳总结在高中数学中，导数和积分是两个重要的概念。
它们在计算和解决数学问题时起着关键作用。
以下是导数和积分的一些核心知识点的总结。
导数导数可以理解为函数在某一点的变化率。
它描述了函数在不同点的斜率或曲线的切线。
以下是导数的一些重要知识点：1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) =lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]。
2. 导数的计算：使用导数的定义，我们可以通过求极限来计算导数。
另外，还有一些常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
3. 导数的性质：导数具有一些重要的性质，如线性性、乘法法则、除法法则和链式法则等。
这些性质可以简化导数计算的过程。
4. 高阶导数：除了一阶导数外，函数还可以有更高阶的导数，称为二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的曲率和曲线的变化情况。
积分积分可以理解为函数的累积总和。
它是导数的逆运算，可以用来计算曲线下面的面积或实现函数的反向操作。
以下是积分的一些重要知识点：1. 定积分：定积分是指对函数在给定区间上的积分。
定积分的计算可以使用黎曼和或牛顿-莱布尼茨公式等方法。
2. 不定积分：不定积分是指对函数求积分得到的含有任意常数的函数。
不定积分可以通过求导的逆运算来计算。
3. 积分的性质：积分具有一些重要的性质，如线性性、换元法、分部积分法等。
这些性质可以简化积分计算的过程。
4. 定积分的应用：定积分在几何学、物理学和经济学等领域有广泛的应用。
它可以用来计算曲线下的面积、质心、弧长以及求解各种实际问题。
以上是高中数学中导数和积分的一些核心知识点的归纳总结。
导数和积分在数学的不同领域中都具有重要的应用价值，例如计算、物理学、工程学等。
希望这份总结对您的学习和应用有所帮助。
导数与定积分
， 求f ( x )
例 3 .( 2012 .浙江 ) 已知 a > 0 , b ∈ R , 函数 f ( x ) = 4 ax ( 1 )证明 : 当 0 ≤ x ≤1时 ， 1. 函数 f ( x )的最大值为 | 2a - b | + a .
3
- 2 bx - a+b .
2. f ( x ) + | 2 a - b | + a ≥0 . ( 2 )若 - 1 ≤ f ( x ) ≤1 对 x ∈ [0,1] 恒成立 ， 求 a + b 的取值范围 .
已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点（2，0）处有相同的切线l. (1) 求a,b的值，并写出切线l的方程； (2) 若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的根0、x1、x2， 其中x1<x2，且对任意的x ∈ [x1, x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒
成立，求实数m的取值范围。
2．导数的意义
阜阳市红旗中学
1．导数的定义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)＝ 瞬时变化率
f ( x 0 + x ) - f ( x 0 ).
x→ 0
lim
x
0
= lim
y x
x→ 0
为函数 y = f ( x )
' 在 x = x 0 处的导数 ， 记作 f ' ( x )或 y ' | ,即 f ( x 0 ) = lim 0 x= x
例2：已知函数f(x)=x3-x, 求函数f(x)过点（2，0）处的切线方程。 例3：已知函数f(x)=x3-x, 求函数f(x)过点（1，0）处的切线方程。 例4：已知函数f(x)在R上满足f(1+x)=2f(1-x)-x2+3x+1, 则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 A.3x-y-2=0 B.3x+y-2=0 C.x-y+1=0 。 D.x-y-2=0
导数及其应用定积分的概念
xx年xx月xx日
目录
• 导数及其性质 • 导数在函数中的应用 • 定积分的概念与性质 • 定积分的应用
01
导数及其性质
导数的定义
函数在某一点的导数
函数可以得到一个与原函数不同的新函数，即导函数。
导数的几何意义
定积分的运算性质
加法性质
对于可积函数f(x)和g(x)，有∫(从a到b)(f(x)+g(x))dx=∫( 从a到b)f(x)dx+∫(从a到b)g(x)dx。
乘法性质
对于可积函数f(x)和g(x)，有∫(从a到 b)(f(x)*g(x))dx=g(b)*∫(从a到b)f(x)dx+f(b)*∫(从a到 b)g(x)dx。
凹函数定义
若对于任意x1和x2属于区间[a,b]，都有(f[(x1+x2)/2]-f(x1)-f(x2))/2 < 0，则称 f(x)在区间[a,b]上凹。
03
定积分的概念与性质
定积分的定义
函数f(x)在区间[a,b]上可积
设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，任取分划T，使得 a=x0<x1<...<xn=b，记小区间[xi-1,xi]的长度为Δxi， 记所有小区间[xi-1,xi](i=1,2,...,n)的长度之和为Δx，即 Δx=∑Δxi，记f(ξi)为f(x)在区间[xi-1,xi]上的平均值，即 f(ξi)=f(x)在[xi-1,xi]上的平均值
定积分的性质
01
非负性
02
积分中值定理
对于可积函数f(x)，定积分f(x)dx≥0。
如果f(x)在区间[a,b]上可积，那么在 开区间(a,b)上至少存在一点ξ使得 f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
导数与定积分
全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）导数与定积分本章知识结构图第一节导数的概念与运算考纲解读1、了解导数概念的实际背景.2、能理解导数的几何意义.3、能根据导数的定义，求函数y=c （c为常数），y = X, y = X2, y =x3, y =丄,y = T X 的导数.x4、能利用常见基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限形如f（ax + b ）的复合函数）的导数.命题趋势探究预测今年高考依然以考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线斜率为主，可能出选择题、填空题，也可能在解答题中出现，较容易.o图3-1Xo知识点精讲 一、基本概念 1、导数的概念设函数y = f (x 在x = xo 附近有定义，如果 心X T o 时，心y 与心x 的比 型(也叫函数的平均变化率)有极限，即 空无限趋近于某个常数，ZA x我们把这个极限值做函数y =f (x ) 在x=x o 处的导数，记作f '(x o )或y [x 仝.即 …也y ・■f (Xo +A x )— f (Xo ) ■■ f (x )—f (Xo )f(x oT im 瓦x —xo2、导数的几何意义函数y = f (x 在x o 处的导数f '(x0)，表示曲线y=f(x )在点P (x o ,f (xo )) 处的切线PT 的斜率，即tana = f'(x0 )，其中a 为切线的倾斜角，如图 3— 1所示，过点P 的切线方程为y-y o =「(x o )(x -x o )同样，可以定义 曲线y = f (X 在X =X o 的法线为过点P (x o , f (xo )与曲线y = f (x )在x= x o 的 切线垂直的直线.过点P 的法线方程为y-y o =1亦x-x 叫)“)理意义:车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离S = S (t)在t o ~t i 时刻，车接近时，该平均速度近似于t o 时刻的瞬时速度.若令t i ~t o ，则可以认lim St^St o［即s(to )就是t o 时刻的瞬时速度.t<tot1— o二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导数公式如表 3—13、导数的物走了 S(t i )-S(t o ,这一段时间里车的平均速度为 殂止如,当t i 与t o 很t i -t o全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）表3 —1注：(cf (x )) =cf '(x l c 亡 R. 四、复合函数的导数有关系y x 二y u u x ,该关系用语言表述就是“ y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是先把g(x )当作一个整体，把y=flg(x)］对g (x )求导，再把g (x )对x 求导，这两者的乘积就是复合函数y= 4(x )1对x 的导数，即(f l g (x 卩)=「g (x )]&(x ).题型归纳及思路提示 题型39导数的定义注：(低)1斗2jx (x 丿 ， 1 (in X ) =— • x三、导数的运算法则(和、差、 积、商) 设u =u(x)v=v(x )均可导，贝y (1) (u ±v )(ku ) = ku '(k 亡 R )(3) (uv ) = u V + uv ；(4)f u 、 u v -uv\ 二c 、 匕厂复合函数y = fg(x)I 的导数与函数 y = f(u )u = g(x )的导数之间具相同，然后根据导数定义直接写出. 例3.1设f \x0存在，求下列各极限 (1)f (Xo +3"f (Xo ).4导数的定义中，增量A x 的形式是多样的，但不论从选择哪种形式，A y 必须选择相应的形式.利用函数f(X 在点X o 处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式. O) ■■ f (x o +3A x )—f (xo )f (x o 中 3 也 X )—f (xo )3 3f 丫、，I⑴ to —仏—— --------------------------------- 3=3f (Xo)..f (Xo —h )— f (Xo )f (xo — h )— f (Xo )—、…、|im —h —Fm -------------------- (-i A-f (xo)… kf (x )—f (Xo ) ■■ f (Xo +h )—f (Xo ) ■■ f (Xo )—f (xo — h )奉fg Ai x m x-xoFm h =也 等.侬+23俶)=1,则 f ・(xo )=()A 、思路提示：对所给函数式经过添项、 拆项等恒等变形与导数定义结构解析-h评注 「(xo mj m f gM x A f g )的几种等价形式:变式2设f (x )在X o 处可导，则f (X o +心X )— f (X o -3心x )_ ( 、to A x =()A 、2 f '(x 0 )B 、f '(x 0)C 、3f '(Xo )D 、4f '(Xo )全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）题型40求函数的导数 思路提示：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合 函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题 例3.2求下列函数的导数.y =V7;(4) y = 10X; (5) y = log 2X ；变式1求下列函数的导数.例3.3求下列函数的导数按照导数的运算法则计算即可，注意常用导数公式的正确使(1)y=x 5；⑵⑴解析 (1) y ，=5x 5-* =5x 4;(2)Z 3 > rLC 2 "(3) y '= X 53 -5 3--X （、55Vx 2(5) y =- 1 ; (6)p y =xln评注 对于基本初等函数（指数函数、y ，=(X 鼻)=Yx 丄」=Vx"5 =——对数函数、幕函数、三角函数）， 这是整个导数运算的基础，一定 要熟练掌握基本初等函数的导数公式 .根式一般化成分数指数幕求n丫 12(1) y =V X; ( 2) y =—(3) y = log 3X ； (4) y = cos X.(3) y=log 3X ；(4) y =cosx . (1)43X 2丹 X；（ 2）^ln ^；（小©*1）…4）y = ^分析 可以直接根据导数公式求解其导数, y =10Xl n10;(6) y =sin .(sin X ) = cosx.2全国名校高考数学复习优质学案汇编（附经典详解）⑵ 八右“十财迸卜珂—卜1—y = 0 +1) e x] =(2x +i y e x+(2x +1) ■(e xy = 2e x+(2x + 1) e^ (2x + 3) ^e x；(cosx) ‘ e X -cosx (e X )’ -sinx^X —cosx e X sin x + cosx/ X\ 2(e )步，熟练以后可适当简化运算过程例3.4求下列函数的导数.分析 设出中间变量，按照复合函数求导法则进行 解析 （1）设u=3x+2，则y = e u，由复合函数求导法则，有y' = (e u)'(3x+2)'=3e u，再把 u =3x+2代入得 /=3e3x^(2)设 u，则 y =log 2u ，所以 y = (log 2 u ) (2x+ 1)=「^，再把u l n 2u=2x+l 代入，可得y =(2x+l)ln 2「X 4) f x 3) f x 2)解析（八丁⑺+㈢⑷r 3 2+ (x )=x + X -x +/ X\ 2(e )评注 利用导数的运算法则求导数时,要根据法则逐步进行, 不要跳变式 1求下列函数的导数.y=x 4-丄；（2）y=xl nx ；（ 3）xy=e X sinx ； (5) y=sin2x ； (6)Xr ；2x-3 y = x +1变式 2求下列函数的导数.(1) y =xX 2+]+AI ( 2) y = x 2cosx ； I X X 丿（3）厂沁；（4） （1）y=e 3x七；（2） y=log 2（2x+1）； （3）y =sin 〔2x +工 \ ；(4)1yPU =2x +工3y=(f兀、)u=2 i x +二(2 c o sI 3/评注设U =1—X，则y J，所以y・=u1](1-X)・=--12%(-1)=A=^1^l u 丿U U (1 — X) 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数y = f (ax + b)型的求导.这里设中间变量u=ax+b，按照复合函数求导法贝y.y' = f '(ax +b)>q ax +b)' = af (ax +b)，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.变式1求下列函数的导数.(1) y=l n(2x +1) ; ( 2) y=si n f2x--〕I 4丿(3) y=22x十+1 n(3x+5); (4) y = (x2+2x-"e2」.题型41导数的几何意义思路提示函数y=f(x)在点x o处的导数，就是曲线y= f(x)在点P(x o,f(x o))处的切线的斜率•这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.(1)已知f(x)在点(X0,f(X0))处的切线方程为y-y o = f (X0)(x-X o).(2)若求曲线y = f(x)过点(a,b)的切线方程，应先设切点坐标为(x o, f (x o))，由y-y o=f x( o x x J过点(a, b)，求得x o的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上例3.5设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为〔0,-],则点P横坐标的取值范围为([4」A •卜1，£B.[—1,0] C.〔0,1] D. U,』[2」分析根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线C在P处切线的斜率的范围是0,1],根据导数的几何意义，只要函数y = x2+2x + 3的导数在这个范围即可.解析厂=2x+2，由于曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为〔0二I所以其切线的斜率的范围为[0,1],根据导数的几何意义，得L 4」1 0<2x+2<1，即一1<x<--.故选 A.评注函数y = f(x)在某点处的导数、曲线y = f(x)在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.变式1设f(x)是偶函数，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的斜率为1 , 则该曲线在点(-1,f(-1))处的切线的斜率为例3.6 (1)曲线y=x在点(1,1)处的切线方程为；过点(1,1) 的切线方程为(2)过点(-1,1)的直线I与曲线y = x3-x2-2x + 1 相切，且(-1,1)不是切点，则直线I的斜率是(A. 2B. 1C. —1分析若求曲线在点(X0,f(X0))处的切线方程，则点(X0,f(X0))为切点;若求曲线过点(X0,f(X0))处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入(X0,f(X0))，求其切点坐标.解析 (1)曲线y=x3在点(1,1)处的切线的斜率为y2=3，切线方程为y_1=3(x_1)，即3x_y_2=0.设过点(1, 1)的切线的切点坐标为(X o'X；),则切线方程为y_x0 ^^(x — X o),代入点(1,1)得,1 —X； =3玮(1一％0)，即(1-X o)(1 +Xo+ x：)-13x o(1—X o)，得"-1)2(2x o+1) =o，解得X o=1 或x^--，所以切线方程为y -1 =3(x-1)或y -(-1) =?(x +1)，即3x -y -2 = o 或3x-4y +1 = o .8 4 2(2)依题意，设切点坐标为，则切线方程为y-(X -x O -2x o +1)= (3x o -2x o -2)(x —X o) 代入点(- 11 - X o ( -X o -2X o +1 X，(即0 ~3X o +1) (-X o 光1) =~02, 得) X o 丰-1或)X o =1，又X o工-1，所以X o =1，直线I的斜率为y'h4 = -1，故选C. 变式1 (优质试题安徽理19)设函数f (x)=ae X +丄+ b(a>0)，设曲ae线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为"手，求a,b的值.变式2 (优质试题北京理18)已知函数f(X)=ax2+1(aA0)，g(x) =x3+bx，若曲线y = f(x)与曲线y = g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值.变式 3 已知函数f(x) =ax3+3x2-6ax-11，g(x) =3x2+6x+12 和直线m: y =kx+9，又f'(-1)=0.(1)求a的值;(2)是否存在k，使直线m既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线y = g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.例3.7在平面直线坐标系xOy中，已知点P是函数f(x)=e x(xA0)的图像上的动点，该图像在P处的切线I交y轴于点M，过点P作I的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值分析 先设切点坐标(X 0,e*)，根据导数的几何意义求出切线的斜率， 写出切线方程，从而求出M 的纵坐标，同理可求出N 的纵坐标，将t 表示成X 0的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值解析 设 P(x 0,e X0) , k = f Zx) I x^ yX 0, l 的方程为 y —e*=e"(x —X 0)，令1x =0，得 M0e X 1 为0 .PN 的方程为 y-e^ =-K(x-X 0)，令 x = 0，得 eN 仏冷 + 身］，故 t 二耳“②―X 0)+40r ］，设 g(x) =(2 —x)e X + xe 」(x>0), I e 丿 2 I e 」则 g(x) =(^x)(e X+e^), 令 g'(x )= 0, 得 x =1 ,当 0<x<1 时，g(x)> 0 g (在(0,1)上单调递增；当 X"时，gYx)cO=g(x)在(1,垃)上单调递减’故g(x)max=g(i)=W ，所以的最大值是W 评注 利用切点横坐标X o 可以表示曲线上任一点处切线的方程为:y —f(X o ) =f '(X o )(x —X)).线y =ln(2x)上,则PQ 的最小值为( )A . 1-1 n2B .72(1-1 n2)C . 1+1 n2最有效训练题14 (限时45分钟)1 .设 f(x) =xlnx ，若 f'(x 。
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洞口三中2008年下学期高二数学（理科）训练测试试题姓名________ 学号_____ 测试内容：选修2-2:导数、定积分以及其简单应用一、选择题： 1、曲线3y x =在点)8,2(处的切线方程为（ ）A ．126-=x yB ．1612-=x yC ．108+=x yD ．322-=x y2．设21sin x y x-=，则'y =（ ）A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B ．xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+-C ．x x x x sin )1(sin 22-+-D ．xx x x sin )1(sin 22---3．由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）．A ．18B ．38/3C ．16/3D ．164.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）A 、5 、-15B 、5 、 4C 、-4、 -15D 、5 、 -16 5.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ）A ．单调递增B 、有增有减C 、单调递减D 、不确定 6、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ）A. 2eB. eC. ln 22D. ln 27、由直线21=x ，x=2，曲线xy 1=及x 轴所围图形的面积是（ ）A. 415B. 417C. 2ln 21D. 2ln 28、若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-9、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．a>-1/3 D ．a<-1/3 10、已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==图象可能是二、填空题11、设函数f (x )=ax2+c (a ≠0).若100()()f x dx f x =⎰，0≤x 0≤1,则x 0的值为_____12、若f(x)=x3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________ 13.若函数y=x 3－32x 2－a 在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值____ 14、40(|1||3|)x x dx -+-=⎰ __________。
15、如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功_______三、解答题：16、直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.17、已知函数32()3f x ax bx x =+-在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值; (2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.18、3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，求a 之值19、设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a xx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。
20、水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为124(1440)50,010,()4(10)(341)50,1012.t t t e t V t t t t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩-+-+<≤=--+<≤ （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份（1,2,,12i=）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7e=计算）.21、已知函数1()ln(1),(1)nf x a xx=+--其中n∈N*,a为常数.（Ⅰ）当n=2时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.《导数、定积分及应用测试》参考答案：1、（ B ） 2．（ B ） 3．（A ） 4.（ C ） 5.（ B ） 6、（ B ） 7、（ D ） 8、（C ） 9、（ B ） 10、（D ）11、解：11231001()()3f x dx ax c dx ax cx=+=+⎰⎰203a c ax c =+=+0x =∴12、a>2或a<-1； 13、-1/2 ； 14、10；15、设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分18001060..=⎰xdx 。
16题、解方程组⎩⎨⎧-==2x x y kx y 得：直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为0=x 和k x -=1抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为61|)3121()(1032102=-=-=⎰x x dx x x S 由题设得 dx kx dx x x Sk k ⎰⎰----=10102)(26)1()(3102k dx kx x x k-=--=⎰- 又61=S ，所以21)1(3=-k ，从而得：2413-=k 17题、（1）323)('2-+=bx ax x f ，依题意， 0)1(')1('=-=f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得 0,1==b a ∴x x x f 3)('3-=，∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 令0)('=x f ，得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈ x ，则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数； 若)11(，-∈x ，则0)('<x f 故)(x f 在)1,1(-上是减函数；所以2)1(=-f 是极大值，2)1(-=f 是极小值。
（2）曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上。
设切点为),(00y x M ，则03003x x y -=由)1(3)('200-=x x f 知，切线方程为 ))(1(30200x x x y y --=- 又点)16,0(A 在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=--化简得 830-=x ，解得 20-=x 所以切点为)2,2(--M ，切线方程为 0169=+-y x 18题、要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。
22()333(1)f x ax ax '=-=-01 当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。
02当0a <时22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即()f x 单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，舍去。
03当0a >时()0f x x '=⇒=11a ≤⇒≥时()f x在1,⎡-⎢⎣和⎤⎥⎦上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减。
所以min()min (1),f x f f ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400410f a a f -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩当11a >⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减，min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。
综上可知a=4.19题、 (1) '22ln 1(),ln x f x x x +=-若 '()0,f x = 则 1x e= 列表如下x1(0,)e1e1(,1)e(1,)+∞ '()f x+ 0 -- ()f x单调增极大值1()f e单调减单调减(2) 在 12a xx > 两边取对数, 得 1ln 2ln a x x >,由于01,x <<所以1ln 2ln a x x > 由(1)的结果可知,当(0,1)x ∈时, 1()()f x f e e≤=-,为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立,当且仅当ln 2ae >-,即ln 2a e >- 20题、（1）①当时010t <≤，124()(1440)5050,t V t t t e =-+-+<化简得214400t t -+>，解得410,010,04t t t t <><≤<<或又故.②当012t <≤1时，()4(10)(341)5050V t t t =--+<,化简得，(10)(341)0t t --<解得4110,012,0123t t t <<<≤<≤又1故1.综上得，04t <<,或012t <≤1.故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月。
（2）由（1）知，()V t 的最大值只能在(4,10)内内达到。
由11'244131()(4)(2)(8)424t t V t e t t e t t =-++=-+-,令'()0V t =，解得8t =（2t =-舍去）。
当t 变化时，'()V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在8t =时取得最大值2(8)850108.32V e =+=（亿立方米）。
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米。
21题、（I ）()f x 的定义域为{}1x x >，当2n =时21()ln(1),1)f x a x x =+--（/2/2312(1)()ln(1),.1)1)a x f x a x x x ⎡⎤--=+-=⎢⎥--⎣⎦（（1）当0a >时，由/()0f x =得1211,11,x x =+>=/123()()(),1)a x x x x f x x ---=-（当1,1x ⎛∈+ ⎝时，/()0,f x <()f x 单调递减；当1x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，/()0,f x >()f x 单调递增。
2）当0a ≤时/()0f x <恒成立，()f x 无极值。