导数与定积分

洞口三中2008年下学期高二数学（理科）训练测试试题

姓名________ 学号_____ 测试内容：选修2-2:导数、定积分以及其简单应用

一、选择题： 1、曲线

3y x =在点)8,2(处的切线方程为（ ）

A ．126-=x y

B ．1612-=x y

C ．108+=x y

D ．322-=x y

2．设2

1sin x y x

-=，则'y =（ ）

A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2---

B ．x

x x x x 22sin cos )1(sin 2-+-

C ．x x x x sin )1(sin 22-+-

D ．x

x x x sin )1(sin 22---

3．由抛物线x y 22

=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是（ ）．

A ．18

B ．38/3

C ．16/3

D ．16

4.函数y=2x 3-3x 2

-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ）

A 、5 、-15

B 、5 、 4

C 、-4、 -15

D 、5 、 -16 5.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ）

A ．单调递增

B 、有增有减

C 、单调递减

D 、不确定 6、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ B ）

A. 2e

B. e

C. ln 2

2

D. ln 2

7、由直线21=x ，x=2，曲线x

y 1

=及x 轴所围图形的面

积是（ ）

A. 415

B. 417

C. 2ln 21

D. 2ln 2

8、若21()ln(2)2

f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，

则b 的取值范围是（ ）

A. [1,)-+∞

B. (1,)-+∞

C. (,1]-∞-

D. (,1)-∞-

9、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．a>-1/3 D ．a<-1/3 10、已知函数(),()y f x y g x ==的导函数的图象如下图，那么(),()y f x y g x ==图

象可能是

二、填空题

11、设函数f (x )=ax

2

+c (a ≠0).若100()()f x dx f x =⎰，0≤x 0≤1,则x 0的

值为_____

12、若f(x)=x

3

＋3ax 2

＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值

范围是________ 13.若函数y=x 3

－32

x 2

－a 在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的

最小值____ 14、

4

0(|1||3|)x x dx -+-=⎰ __________。

15、如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功_______

三、解答题：

16、直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求

k 的值.

17、已知函数

32()3f x ax bx x =+-在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和

)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值; (2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.

18、3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，求a 之值

19、设函数1

()(01)ln f x x x x x

=

>≠且（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知1

2a x

x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

20、水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为

124(1440)50,010,()4(10)(341)50,1012.t t t e t V t t t t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

-+-+<≤=--+<≤ （Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以1i t i -<<表示第1月份

（1,2,,12

i=）,同一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取 2.7

e=计算）.

21、已知函数

1

()ln(1),

(1)n

f x a x

x

=+-

-其中n∈N*,a为常数.（Ⅰ）当n=2

时，求函数f(x)的极值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.

《导数、定积分及应用测试》参考答案：

1、（ B ） 2．（ B ） 3．（A ） 4.（ C ） 5.（ B ） 6、（ B ） 7、（ D ） 8、（C ） 9、（ B ） 10、（D ）

11、解：1

1

231

001

()()3

f x dx ax c dx ax cx

=+=+⎰⎰203

a c ax c =

+=+0x =∴

12、a>2或a<-1； 13、-1/2 ； 14、10；

15、设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106

0..=⎰xdx 。

16题、解方程组⎩⎨⎧-==2

x x y kx y 得：直线kx y =分抛物线2

x x y -=的交点的横坐标为0=x 和k x -=1抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为

61|)3121()(10

32102=-=-=⎰x x dx x x S 由题设得 dx kx dx x x S

k k ⎰⎰----=10102)(2

6)1()(310

2

k dx kx x x k

-=--=⎰

- 又6

1=S ，所以21)1(3=-k ，从而得：

2

4

13

-

=k 17题、（1）323)('2-+=bx ax x f ，依题意， 0)1(')1('=-=f f ，即

⎩⎨

⎧=--=-+.

0323,

0323b a b a 解得 0,1==b a ∴x x x f 3)('3-=，∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f 令0)('=x f ，得 1,1=-=x x 若

),1()1,(+∞--∞∈ x ，则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数； 若)11(，

-∈x ，则0)('

x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上。设切点为),(00y x M ，则03003x x y -=

由)1(3)('200-=x x f 知，切线方程为 ))(1(302

00x x x y y --=- 又点

)16,0(A 在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=--化简得 83

0-=x ，