填空题的解法大全

填空题的解法

1.填空题的特征：

填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基本原则：

解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．

3．【方法要点展示】

方法一直接法：

直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解填空题最常用的策略．这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．

例1【湖南省怀化市2019届3月第一次模拟】已知双曲线：的左、右焦点分别为

、，第一象限内的点在双曲线的渐近线上，且，若以为焦点的抛物线：

经过点，则双曲线的离心率为_______．

【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，焦点为，，可得，①

又，可得，即为，②由，联立①②可得，，

由为焦点的抛物线：经过点，可得，且，即有，即

，由，可得，解得

例2 【江西省南昌市2019届第一次模拟】若对任意，函数总有零点，则实数的取值范围是__________．

【解析】∵函数总有零点，∴对任意恒成立，

∴，记在上单调递减，∴，∴，故答案为：

例3 已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →

的最大值为( )

【解析】 由椭圆方程知c ＝4－3＝1，所以F 1(－1,0)，

F 2(1,0)，因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32. 设P (x 1，y 1)，

则F 1P →＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →＝(0，y 0)，所以F 1P →·F 2A →

＝y 1y 0，因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，F 1P →·F 2A →的最大值为33

2.

答案 33

2

例4已知12,F F 分别是双曲线22

221x y a b -= (0,0)a b >>的左、右焦点，过()17,0F -的直线l 与双曲线

分别交于点,A B （点A 在右支上），若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的方程为__________．

【规律总结】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处

理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．

【举一反三】

1. 【贵州省遵义航天2019届第七次模拟】 已知等比数列，是方程的两实根，

则等于____

【解析】，为的两根，，则．故答案为：4． 3 .已知复数z ＝a ＋(a －1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则复数z i 在复平面上所对应的点的坐标为________．

解析 因为复数z ＝a ＋(a －1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，所以a －1＝0，解得a ＝1.所以复数z ＝1，所以z i ＝i.所以复数z i 在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)．

方法二 特例法

当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．

例1已知函数（a R ∈）为奇函数，则=a .

【解析】试题分析：函数()f x 的定义域为R ，又因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =，即，解得2a =-.

例3 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.

【解析】 把四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18.

答案 18

【规律总结】求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的发现函数过一个定点是本题的运用特值法的前提条件，从而减少了计算量．

【举一反三】

练习 1 若，则被3除的余数是______．

【解析】令，得．分别令和，将得到的两式相加，得

．所以

．

练习 2 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.

【解析】不妨取|BD →|＝2，则|BC →|＝23，∠ADB ＝π3，∴AC →·AD →＝(BC →－BA →)·AD →＝BC →·AD →－

BA →·AD →

＝23×1×cos π3＋0＝ 3.

练习 3 cos 2α＋cos 2(α＋120°)＋cos 2(α＋240°)的值为________________．

【解析】令α＝0°，则原式＝cos 20°＋cos 2120°＋cos 2240°＝32.

练习 4 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.

【解析】 此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化．根据函数特点取f (x )＝sin π4x ，

再由图象可得(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.

答案 －8