2020届南通中学高三上学期期中数学试题

2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题

一、填空题

1．已知{}{}1,21,2,,4A m B =-=-，且{}2,A B ⋂=则实数m 的值为________________. 【答案】4

【解析】由{}2A B ⋂=可知2是集合A 中的元素，列出方程求解m 即得. 【详解】

{}{}1,2,2A m A B =-⋂=Q ，22m ∴-=，解得4m =.

故答案为：4 【点睛】

本题考查集合的交集，是基础题.

2．若复数z 满足()1(2i z i -=为虚数单位)，则z =________________.

【解析】将()12i z -=变形为2

1z i

=-，再由商的模等于模的商求解即得. 【详解】

由题得，2

1z i =

-，则有2211z i i ====--.

【点睛】

本题考查复数的乘除运算和模的计算公式，是基础题.

3．命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是________________. 【答案】x R ∀∈,都有10xsinx ->

【解析】根据特称命题的否定是全称命题即得. 【详解】

由题得，

Q “x R ∃∈”的否定是“x R ∀∈”，“使得10xsinx -≤”的否定是“10xsinx ->”，∴命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是：x R ∀∈,都有10xsinx ->.

故答案为：x R ∀∈,都有10xsinx -> 【点睛】

本题考查命题的否定，是基础题. 4．函数2cos 23y sin x π⎛⎫

=+- ⎪⎝

⎭

的最小正周期是________________. 【答案】π

【解析】先整理函数，再由2T π

ω

=即得.

【详解】

由题得，2cos(2)23y x sin π=-+，则有222

T πππω===. 故答案为：π 【点睛】

本题考查函数cos()y A x b ωϕ=++的最小正周期，是基础题. 5．若12

log 11

a

a <-，则a 的取值范围是 ． 【答案】()4+，

∞ 【解析】试题分析：由题中隐含条件可得：

12

01

a >-，可得1a >，则由12log log 1a a a a <-，根据对数函数的单调性可得121

a a <-，可解得4a >.

【考点】1.对数函数的性质;2.解不等式

6．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则

()9f -= ．

【答案】2-

【解析】试题分析：由题设可得)2()2()2(+-=--=+-x f x f x f ,即

)2()2(--=+x f x f ,由此可得设)()4(x f x f -=+,所以)()8(x f x f =+,即函数是

周期为8的周期函数,故(9)(9)(1)f f f -=-=-

212=-⨯=-.

【考点】函数的图象、周期性和对称性.

7．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差为,d 若{}n a 和

都是等差数列，则当

11a =，d =________________.

【答案】2

【解析】根据已知用1a 和d 表示出1a ，2a ，3a ，可得1S ，2S ，3S ，由

是等差

数列可得关于d 的方程，解方程即得. 【详解】

由题意知11a =，21a d =+，312a d =+，所以有11S =，22S d =+，333S d =+.

又

=2d =.

故答案为：2 【点睛】

本题考查利用等差数列的性质求公差，属于基础题.

8．锐角三角形ABC 中，已知2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，那么角

C =________________.

【答案】

2

π 【解析】利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理可得c 边和三角形外接圆半径R 的关系，再去解C ∠即得. 【详解】

由正弦定理sin 2a A R =

，sin 2b B R

=，且2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，可得22222

21444a b ab cosC R R R +-=，即222

2cos 4a b ab C R +-=，根据余弦定理有2222cos a b ab C c +-=，故2c R =，再由正弦定理得sin 12c

C R =

=，故2

C π∠=. 故答案为：2

π

【点睛】

本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.

9．已知函数()3

2

2

1f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是

__________．

【答案】(][),33,-∞-+∞U

【解析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]

1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]

1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】

∵()3

2

2

1f x x ax a x =+-+，