您的位置：360文档中心› 2020届南通中学高三上学期期中数学试题

2020届南通中学高三上学期期中数学试题

合集下载

江苏省南通中学高三数学上学期期中试题

江苏省南通中学高三数学上学期期中试题

数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B =ð ．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是 ．3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ． 4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ．5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ． 7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．9．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++= ．10．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ．11．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是 ．12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 的最小值是 ．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．14．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?.(1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围. 16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ． 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关ABC DEC 1A 1B 1F （第16题）系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ． （1）若k q =2(*k N ∈)，求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数学Ⅱ（附加题）21（B ）（本题满分10分）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．21（C ）（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.22．（本题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.DCB 11第22题23．（本题满分10分）已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->． （1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围； （3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．参考答案1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B =ð ．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是 ． 答案：2,20x R x x m ∀∈++>3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ． 答案：﹣14．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ． 答案：cos 2-5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）． 答案：充分不必要6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ． 答案：7-7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 . 答案：1-8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________． 答案：3159．已知向量,,a b c 中任意两个都不共线,且a b +与c 共线, b c +与a 共线,则向量a b c ++= ．答案：010．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ． 答案：611．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是 ． 答案：2(,)(,)323ππππ12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,n m ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m的最小值是 ．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ． 答案：1114．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ． 答案：﹣2或3-或12615．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?. (1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围.所以实数x 的取值范围是23x <<. ………………………7分 (2) p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ， 设A ={}()x p x , B={}()x q x , 则A ⊃≠B， ………………………10分 又(2,3]B =，A =(,3)a a ；所以有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩解得12;a <≤所以实数a 的取值范围是12a <≤. ………………………14分16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． ………………………… 4分 因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分ABCDEC 1A 1B 1F （第16题）因为BD ∩EB ＝B ，BD 平面BDE ， EB 平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b ，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.解：（1）因为//a b ，所以24sin cos 0x x x =，…………………2分因为,2x k k Z ππ≠+∈，所以cos 0x ≠，即tan x =所以22222tan 122sin cos tan 17x x x x --==+．……………………………………5分（2）2()123cos 2cos 12cos 2f x a b x x x x x =⋅-=+-=+2sin(2)6x π=+，………………………………………………………………8分令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数)(x f 的单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈．…………11分 因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-， 所以当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域[1,2]-． ……………………15分18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）. 解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--(130,)t t N ≤≤∈……………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯= 当且仅当25t t=，即5t =时等号………………………………………………………11分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033…………………………14分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………15分19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调递增区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即l n e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)e a ∈∞+．………………………………16分20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．解（1）因为2k q =，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项11a =，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143n nk a a a a --++++==--．………………………4分（2）因为k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，所以212+k a = k a 2+ 22+k a ， 而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅，所以112k kq q ++=， 所以111111kk k k k q b b q q ++===+--，即11k k b b +-=， 所以{}k b 成等差数列，其公差为1．………………………………………9分 （3）因为12d =，所以322a a =+，即221322a a a a ==+，所以22a =或21a =-．………………………………………………………10分 （ⅰ）当22a =时，2112a q a ==，所以1111k b q ==-，所以1(1)1k b k k =+-⨯=， 即11k k q =-，得1k k q k +=．所以2221211()k k k a k q a k+-+== ， 222221112()()()(1)11k k k a a k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+-， 212(1)k k ka a k k q +==+， 所以2121k k k d a a k +=-=+，(21)(3)22k k k k k D +++==．………………………………………………………13分（ii ）当21a =-时，2111a q a ==-，所以11112k b q ==--，13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-．所以22212112()32k kk k a q a k +--==- ，22222111311222()()()(21)31222k k k a a k k k +---=⋅⋅⋅⋅=----，212(21)(23)k k ka a k k q +==--， 所以21242k k k d a a k +=-=-，2(242)22k k k D k +-==．综合得(3)2k k k D +=，或22k D k =．……………………………………………16分21（B ）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．解：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021…………………………………………………4分 即在矩阵MN 变换下11122x x x y y y ⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣…………………………………………6分即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=……………10分21（C ）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l 的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分 直线方程的普通方程为1y =+， ………………………………6分圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，…………………………………………………8分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-． …………………10分22．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.解(1)以1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，设(0C P a a =≤≤，则CQ =(2,2,0),(22,2,0)P a Q a ∴---1(2,2)B Q=-,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥, ∴110BQ D P ⋅=，∴240a -+=，解得1a =…………………………………4分 ∴PC =1,CQ =1,即P Q 、分别为,BC CD 中点……………………………5分 (2)设平面1C P Q 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)P Q P C =-=,又10n PQ n PC ⋅=⋅=， ∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-， 则2a b ==,(2,2,1)n =-………………………………………………8分 ∵(0,0,2)k =-为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>=,而二面角为钝角, 故余弦值为13-………………………………………………………………10分23．已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；DCB 11第22题（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯与34520142342013⨯⨯⨯⨯的大小，并说明理由．解：2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=．∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………3分（2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内， 于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………5分 ∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+．令ln(21)()21x h x x +=+，∴222ln(21)()(21)x h x x -+'=+． 令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增，e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2eh x h -==． ∴a 的取值范围是1ea >． ……………………………………………7分（3）：由（2）知，函数ln(21)e 1()(,212x m x x x +-=∈+∞+在）时单调递减，。

2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题(解析版)

江苏省南通中学高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知{}{}1,21,2,,4A m B =-=-，且{}2,A B ⋂=则实数m 的值为________________. 【答案】4【解析】由{}2A B ⋂=可知2是集合A 中的元素，列出方程求解m 即得. 【详解】{}{}1,2,2A m A B =-⋂=Q ，22m ∴-=，解得4m =.故答案为：4 【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.2．若复数z 满足()1(2i z i -=为虚数单位)，则z =________________.【解析】将()12i z -=变形为21z i=-，再由商的模等于模的商求解即得. 【详解】由题得，21z i =-，则有2211z i i ====--.【点睛】本题考查复数的乘除运算和模的计算公式，是基础题.3．命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是________________. 【答案】x R ∀∈,都有10xsinx ->【解析】根据特称命题的否定是全称命题即得. 【详解】由题得，Q “x R ∃∈”的否定是“x R ∀∈”，“使得10xsinx -≤”的否定是“10xsinx ->”，∴命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是：x R ∀∈,都有10xsinx ->.故答案为：x R ∀∈,都有10xsinx -> 【点睛】本题考查命题的否定，是基础题. 4．函数2cos 23y sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期是________________. 【答案】π【解析】先整理函数，再由2T πω=即得.【详解】由题得，2cos(2)23y x sin π=-+，则有222T πππω===. 故答案为：π 【点睛】本题考查函数cos()y A x b ωϕ=++的最小正周期，是基础题. 5．若12log 11aa <-，则a 的取值范围是 ． 【答案】()4+，∞ 【解析】试题分析：由题中隐含条件可得：1201a >-，可得1a >，则由12log log 1a a a a <-，根据对数函数的单调性可得121a a <-，可解得4a >.【考点】1.对数函数的性质;2.解不等式6．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则()9f -= ．【答案】2-【解析】试题分析：由题设可得)2()2()2(+-=--=+-x f x f x f ,即)2()2(--=+x f x f ,由此可得设)()4(x f x f -=+,所以)()8(x f x f =+,即函数是周期为8的周期函数,故(9)(9)(1)f f f -=-=-212=-⨯=-.【考点】函数的图象、周期性和对称性.7．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差为,d 若{}n a 和都是等差数列，则当11a =，d =________________.【答案】2【解析】根据已知用1a 和d 表示出1a ，2a ，3a ，可得1S ，2S ，3S ，由是等差数列可得关于d 的方程，解方程即得. 【详解】由题意知11a =，21a d =+，312a d =+，所以有11S =，22S d =+，333S d =+.又=2d =.故答案为：2 【点睛】本题考查利用等差数列的性质求公差，属于基础题.8．锐角三角形ABC 中，已知2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，那么角C =________________.【答案】2π 【解析】利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理可得c 边和三角形外接圆半径R 的关系，再去解C ∠即得. 【详解】由正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R=，且2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，可得2222221444a b abcosC R R R +-=，即2222cos 4a b ab C R +-=，根据余弦定理有2222cos a b ab C c +-=，故2c R =，再由正弦定理得sin 12cC R ==，故2C π∠=. 故答案为：2π【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.9．已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U【解析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥，解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，10．已知非零向量,a b v v 的夹角为3π，c a kb =-v vv ，则a cvv 的最大值为________________.【答案】1【解析】根据已知先求22a cv v ，设a x =v ，b y =v，则()()22222222212cos 13a x x y y c x kx a kb a y k y k kb kx x π-===⎛⎫-+-+ ⎪-⎭⋅⎝v v v v v v ，当0k =时，显然1a c =vv ，当0k ≠时，将221y y k k x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭看成关于y k x 的二次函数，利用换元法求出该函数的最小值，可得22acv v 的最大值，即得.【详解】设a x =v ，b y =v，可得()()222222222222212cos13a x x x x kxy k y y y c x k a kb a kb xy k y k k x x π====-+⎛⎫-+-⎝-+⎪⋅- ⎭v v v v v v .（1）当0k =时，则1a c=v v ；（2）当0k ≠时，又,a b v v是非零向量，则0,0x y >>故设y k q x =于是有2222111113124q q y y k k q x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12q =时，22a c v v 有最大值43，即a c v v 最大值为23.综上，a c v v 的最大值为1或23. 故答案为：1或23【点睛】本题考查向量数量积以及利用二次函数求最大值，注意0k =的情况容易被忽略.11．如图，ABC V 中，CO 为边AB 上的中线，2CG GO =u u u v u u u v .若//BD AG u u u v u u u v，且(27)AD AB AC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v，则λ的值为________________.【答案】97【解析】根据已知，可由向量,AB AC u u u v u u u v 分别表示出,BD AG u u u v u u u v ，再由//BD AG u u u v u u u v可得含有λ的等式，又,AB AC u u u v u u u v不共线，可得方程组，计算即得。

2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．23．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 35．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知奇函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x +b ，则f(20232)=（ ） A ．−1−√2B ．1−√2C ．√2+1D ．√2−17．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（ ） A ．−725B ．−1625C ．725D ．16258．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（ ） A ．−14B ．0C ．−427D ．−49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为CC 1，A 1D 1的中点，则（ ） A ．BM ∥AD 1 B ．AM ⊥BDC ．B 1M ⊥平面ABND ．MN ∥平面A 1BD10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜312．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|= ． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）；②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）16．在平面四边形ABCD 中，AB =AD =√2，BC =CD =1，BC ⊥CD ，将四边形沿BD 折起，使A ′C =√3，则四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为 ；若点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB．（1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长． 19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．21．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．22．（12分）已知函数f(x)=1+lnx．x（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的实数，且ae b﹣be a＝e a﹣e b，证明：e a+e b＞2．2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}解：A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}＝{﹣3，2}，故A ∩B ＝{2}． 故选：B ．2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2解：（2+i ）（1+ai ）＝2﹣a +（1+2a ）i ， 因为a ∈R ，且（2+i ）（1+ai ）为纯虚数， 所以{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：D ．3．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ＝1，则f(x)=2x−12x +1，f(−x)=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x−12x +1=−f(x)，所以f （x ）是奇函数； 若函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数，可得f(−x)=12x −a 12x +a =1−a⋅2x 1+a⋅2x =−f(x)=−2x −a 2x +a =a−2x2x +a， 解得a ＝±1，∴a ＝1是函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数的充分不必要条件．故选：A ．4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 3解：根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为3x ，2x ， 因为母线长为10，且母线与底面所成的角为60°， 所以圆台的高为10sin60°＝5√3，并且x ＝10×12=5，所以圆台的上底面半径为3x ＝15，下底面半径为2x ＝10，高为5√3． 由此可得圆台的体积为V =13π（152+102+15×10）×5√3=2375√3π3（cm 3）． 故选：A ．5．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 解：对于甲，该f （x ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为T 2=πω=π2，则f （x ）的周期T ＝π；对于乙，将函数y =cos2x −√3sin2x =2cos(2x +π3)的图象向右平移 π4个单位长度，得到y =2cos[2(x −π4)+π3]=2sin(2x +π3) 的图象；对于丙，函数f（x）在区间(−π12，π6)上单调递增；对于丁，函数f（x）满足f(π3+x)+f(π3−x)=0，即f（x）图象关于(π3，0)对称．因为只有乙的条件最具体，所以从乙入手，若乙正确，此时f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k∈Z），与丙的结论矛盾，根据题设“只有一个命题是假命题”，可知这一个假命题只能是乙或丙，若丙是真命题，则甲、丙、丁三个是真命题，由f（x）图象关于(π3，0)对称，且周期为π，可知：在点(π3，0)的左侧且距离最近的f（x）图象的对称轴为x=π12，而π12∈(−π12，π6)，说明f（x）在区间(−π12，π6)上不单调，与丙是真命题矛盾．若乙是真命题，则甲、乙、丁三个都是真命题，此时f(x)=2sin(2x+π3)，最小正周期T＝π，且图象关于(π3，0)对称，甲、乙、丁之间相符合．综上所述，丙不可能是真命题，即唯一的假命题是丙．故选C．6．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则f(20232)=（）A．−1−√2B．1−√2C．√2+1D．√2−1解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f[2﹣（x﹣2）]＝﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1−√2．故选：B．7．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（）A．−725B．−1625C．725D．1625解：∵sin(α+π6)=35，∴sin(2α+5π6)=sin（2α+π3+π2）＝cos（2α+π3）=1−2sin2(α+π6)=1−2×(35)2=725．故选：C．8．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，则函数f（x）的极小值是（）A．−14B．0C．−427D．−49解：因为不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，所以f（m）＝f（m+1）＝0，且x＝m为f（x）＝0的二重根，所以f（x）＝（x﹣m）2[x﹣（m+1）]，则f′（x）＝2（x﹣m）[x﹣（m+1）]+（x﹣m）2＝（x﹣m）（3x﹣3m﹣2），则当x＞3m+23或x＜m时f′（x）＞0，当m＜x＜3m+23时f′（x）＜0，所以f（x）在(3m+23，+∞)，（﹣∞，m）上单调递增，在(m，3m+23)上单调递减，所以f（x）在x=3m+23处取得极小值，即f(x)极小值=f(3m+23)=(3m+23−m)2[3m+23−(m+1)]=−427．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，A1D1的中点，则（）A．BM∥AD1B．AM⊥BDC．B1M⊥平面ABN D．MN∥平面A1BD解：对于选项A：连接BC1，则BC1∥AD1，又BC1∩BM＝B，所以BM∥AD1不正确，故选项A不正确；对于选项B：在正方体中，BD⊥AA1，BD⊥AC且AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，又AM⊂平面AA1C1C，所以AM⊥BD，故选项B正确；对于选项C：在正方体中，AB⊥平面B1BCC1，又B1M⊂平面B1BCC1，所以AB⊥B1M，取B1C1的中点Q，连接BQ，在正方形BCC1B1中（如图），△BB1Q≅△B1C1M，∠BQB1＝∠B1MC1，又∠B1MC1+∠MB1C1＝90°，所以∠B1QB+∠MB1C1＝90°，所以B1M⊥BQ，又在正方体中，AN∥BQ，所以B1M⊥AN，又AN∩AB＝A，所以B1M⊥平面ABN，故选项C正确；对于选项D：取A1D的中点E，连接EN，EC，则EN∥AA1，且EN=1AA1，2所以EN∥MC，且EN＝MC，故四边形NECM为平行四边形，则MN∥EC，又EC与平面A1BD相交于点E，所以MN不可能与平面A1BD平行，故选项D不正确．故选：BC ．10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)解：选项A ．当c ＝0时，a |c |＞b |c |不成立，故选项A 不正确． 选项B ．由b+c 2a+c 2−b a=(b+c 2)a−b(a+c 2)a(a+c 2)=c 2(a−b)a(a+c 2)＞0，所以ba≤b+c 2a+c 2，故选项B 正确．选项C ．由 a 2−b 2−(1a−1b)=(a −b)(a +b)−b−a ab =(a −b)(a +b +1ab)＞0， 所以a 2−b 2＞1a−1b，故选项C 不正确．选项D ．由[√2(a 2+b 2)]2−(a +b)2=a 2+b 2−2ab =(a −b)2＞0，所以a +b ＜√2(a 2+b 2)，故选项D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3解：依题意，a 4＝4，a n a n+1=2n，a n =2na n+1，a n+1=2na n，所以a 3=23a 4=84=2，a 2=22a 3=42=2，a 1=21a 2=22=1，A 选现正确．所以a 3＝a 2，所以B 选项错误． 由a n a n+1=2n 得a n+1a n+2=2n+1，两式相除得a n+2a n=2，所以数列{a n }的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a 1+a 2+⋯+a 2023＝（a 1+a 3+⋯+a 2023）+（a 2+a 4+⋯+a 2022）=1(1−21012)1−2+2(1−21011)1−2=21012−1+21012−2=21013−3，所以C 选项正确．由上述分析可知，数列{1a n}的奇数项是首项为1，公比为12的等比数列；偶数项是首项为12，公比为12的等比数列． 当n 为偶数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a 1+1a 3+⋯+1a n−1)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n)，=1(1−12n 2)1−12+12(1−12n 2)1−12=3−32n 2＜3；当n 为奇数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n =(1a 1+1a 3+⋯+1a n)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n−1)，=1(1−12n+12)1−12+12(1−12n−12)1−12=3−22n+12−12n−12＜3， 综上所述，1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3，所以D 选项正确．故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 解：f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），f ′（x ）＝2a 2x lna ﹣1，对于A ：因为a 2x ＞0恒成立，所以当a ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）单调递减， 所以此时不存在极值点，A 错误；对于B ：当a ＝e 时，f （x ）＝e 2x ﹣x ，令g （x ）＝f （x ）﹣（lnx +2）＝e 2x ﹣x ﹣lnx ﹣2， 下面先证明：e x ≥x +1和lnx ≤x ﹣1，令f 1(x)=e x −x −1，则f 1′(x)=e x −1＞0⇒x ＞0，所以f 1（x ）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以f 1（x ）≥f 1（0）＝0，所以e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时，取到等号； 令f 2（x ）＝lnx ﹣x +1，则f 2′(x)=1x −1＞0⇒0＜x ＜1， 所以f 2（x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f 2（x ）≤f 2（1）＝0，所以lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时，取到等号， 由上结论可得：e 2x ≥2x +1，﹣lnx ≥﹣x +1，因为不能同时取等，所以两式相加可得：e 2x ﹣lnx ＞x +2， 即e 2x ﹣lnx ﹣x ﹣2＞0恒成立，即g （x ）＞0恒成立， 所以y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方，B 正确；对于C ：函数f （x ）有2个零点等价于方程a 2x ﹣x ＝0有两个根， 即a 2x =x ⇒lna 2x =lnx ⇒2xlna =lnx ⇒2lna =lnxx有两个根， 令ℎ(x)=lnxx ，则ℎ′(x)=1−lnxx 2＜0⇒x ＞e ， 所以h （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，所以ℎ(x)max =ℎ(e)=1e ，当x →0时，h （x ）→﹣∞，当x →+∞时，h （x ）→0， 所以要使得2lna =lnx x 有两个根，则2lna ∈(0，1e)， 所以0＜lna ＜12e⇒1＜a ＜e 12e ，所以C 正确；对于D ：设切点坐标为(x 0，a 2x 0−x 0)，则k =f ′(x 0)=2a 2x 0lna −1，又因为切线经过点P （0，t ），所以k =a 2x 0−x 0−tx 0， 所以2a2x 0lna −1=a 2x 0−x 0−tx 0，解得t =a 2x 0−a 2x 0lna 2x 0，令m =a 2x 0，则m ∈（0，+∞），所以t ＝m ﹣mlnm ， 因为过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切， 所以方程t ＝m ﹣mlnm 有两个不同的解，令φ（m ）＝m ﹣mlnm ，则φ′（m ）＝﹣lnm ＞0⇒0＜m ＜1， 所以φ（m ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以φ（m ）max ＝φ（1）＝1，当m →0时，φ（m ）→0，当m →+∞时，φ（m ）→﹣∞， 所以要使得方程t ＝m ﹣mlnm 有两个根，则t ∈（0，1），D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|=√52． 解：由于a →与b →共线，所以λ×2=1×(−1)，λ=−12，a →=(−12，1)，a →−b →=(−12，1)−(−1，2)=(12，−1)， 所以|a →−b →|=√14+1=√52．故答案为：√52． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ a x （0＜a ＜1）（答案不唯一） ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）； ②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．解：由性质②，f（x）是R上的减函数，且满足性质①f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），可以是指数函数，所以函数f（x）＝a x（0＜a＜1）符合题意．故答案为：a x（0＜a＜1）（答案不唯一）．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.08t．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待5分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln11≈2.4）解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即e−0.08t=2 3，所以−0.08t=ln 23，解得t=−252×(ln2−ln3)≈252×(0.7−1.1)=5，所以大约需要等待5分钟．故答案为：5．16．在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√3，则四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为3π；若点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为23．解：如图所示：因为AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，所以BE=CE=DE=√22，AE=√AD2−DE2=√(√2)2−(√22)2=√62，且AC⊥BD，点E为△BCD外接圆的圆心，所以四面体A′﹣BCD的外接球的球心O一定在过点E且垂直面BCD的直线上，如图不妨设GE⊥面BCD，A′F⊥面BCD，四面体A′﹣BCD的外接球的半径OE=ℎ，OB=R=√OE2+EB2=√ℎ2+12，FE＝x，则由对称性可知点F也在直线CE上且A′F⊥FC，A′F＝2OE＝2h，由题意A ′E =AE =√62，FC =FE +EC =x +√22，A ′C =√3， 在Rt △A ′FE 中，有A ′F 2+FE 2＝A ′E 2，即x 2+(2ℎ)2=32， 在Rt △A ′FC 中，有A ′F 2+FC 2＝A ′C 2，即(x +√22)2+(2ℎ)2=3，联立以上两式解得x =√22，ℎ=12， 所以R =√ℎ2+12=√14+12=√32， 从而四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为S =4πR 2=4π×(√32)2=3π；如图所示：由题意将上述第一空中的点E 用现在的点F 来代替，而现在的点E 为线段BD 的靠近点B 的三等分点， 此时过点E 作球O 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小， 设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =√R 2−d 2， 所以只需球心到截面的距离为d 最大即可，而当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离为d 最大，即d max ＝OE ， 由以上分析可知此时OO 1=FE =FB −BE =12BD −13BD =√26，OF =12，OE =√14+118=√116，R =√32，所以r =r min =√R 2−OE 2=√34−1136=23． 故答案为：3π；23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．解：（1）f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x =cos2x sin2x +12cos4x=12（sin4x +cos4x ）=√22sin （4x +π4）， 当4x +π4=π2+2k π，k ∈Z ，即x =π16+kπ2，k ∈Z 时，函数取得最大值√22，此时{x |x =π16+kπ2，k ∈Z }； （2）因为g （x ）＝f （ωx ）=√22sin （4ωx +π4），ω＞0，若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，则极值点只能为极大值， 根据五点作图法，令4ωx +π4=π2，则x =π16ω， 令4ωx +π4=3π2，则x =5π16ω，所以{π16ω＜π25π16ω≥π2ω＞0解得18＜ω≤58，故ω的范围为（18，58]．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB ． （1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长．解：（1）因为tan A +tan B =−√3cacosB ，所以sinA cosA +sinBcosB =−√3c acosB，由正弦定理得，sinAcosA +sinBcosB =−√3sinCsinAcosB ，因为sinAcosA+sinB cosB=sinAcosB+cosAsinB cosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinC cosAcosB，所以sinCcosAcosB=−√3sinCsinAcosB，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0， 又cos B ≠0，所以tan A =−√3， 因为0＜A ＜π，所以A =2π3．（2）因为D 是边BC 的中点，所以BD ＝CD =12BC =72， 因为AD ⊥AB ，所以∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD =2π3−π2=π6，在Rt △ABD 中，sin B =AD BD =AD 72=2AD7， 在△ACD 中，由正弦定理知，ADsinC=CD sin∠DAC，所以sin C =ADsin∠DAC CD=AD×1272=AD7， 在△ABC 中，由正弦定理知，bsinB=c sinC=a sin∠BAC=√32=√3，所以b2AD 7=cAD 7=√3，所以b =4AD 3，c =2AD3， 在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 所以49＝b 2+c 2﹣2bc ×cos 2π3，即b 2+c 2+bc ＝49， 所以（√3）2+（√3）23×3=49，解得AD =√212．19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n ﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）因为a n+1n+1−a n n=1n(n+1)⇒a n+1n+1−a n n=1n−1n+1⇒a n+1+1n+1=a n +1n，所以{a n +1n }是常数列，所以a n +1n =a 1+11=2，所以a n ＝2n ﹣1． （2）b n =(−1)n−14na n a n+1=(−1)n−14n(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，S n =(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1， 当n 为奇数时，S n =(1+13)−(15+12)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，所以S n =2n+1+(−1)n−12n+1．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．解：（1）已知f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=a−1x，此时f′（1）＝a﹣1，又f（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（a﹣1）（x﹣1），即（a﹣1）x﹣y﹣a+1＝0；（2）证明：当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=1−1x=x−1x，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0，故f（x）≥0；（3）由（2）知lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时，等号成立，令x=2n−13n+1，此时ln(1+2n−13n)＜2n−13n，可得ln(1+13)+ln(1+232)+ln(1+2233)+⋯+ln(1+2n−13n)＜13+232+⋯+2n−13n=13(1−2n3n)1−23=1−2n3n＜1，即ln[(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)]＜1，所以(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜e，当n≥4时，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)≥(1+13)(1+232)(1+2233)(1+2334)=12139659049＞2，所以对于任意n∈N*，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜m成立时，整数m的最小值为3．21．（12分）如图，AB是半球O的直径，AB＝4，M，N是底面半圆弧AB̂上的两个三等分点，P是半球面上一点，且∠PON＝60°．（1）证明：PB⊥平面P AM；（2）若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面P AB所成角的正弦值．证明：（1）连接OM ，MN ，BM ，因为M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点， 所以有∠MON ＝∠NOB ＝60°，又因为OM ＝ON ＝OB ＝2，所以△MON ，△NOB 都为正三角形，所以MN ＝NB ＝BO ＝OM ，即四边形OMNB 是菱形， 记ON 与BM 的交点为Q ，Q 为ON 和BM 的中点， 因为∠PON ＝60°，OP ＝ON ， 所以三角形OPN 为正三角形， 所以PQ =√3=12BM ，所以PB ⊥PM ，因为P 是半球面上一点，AB 是半球O 的直径，所以PB ⊥P A ， 因为PM ∩P A ＝P ，PM ，P A ⊂平面P AM ， 所以PB ⊥平面P AM ；解：（2）因为点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，由（1）知Q 为ON 的中点，△OPN 为正三角形，所以PQ ⊥ON ， 所以PQ ⊥底面ABM ，因为四边形OMNB 是菱形，所以MB ⊥ON ， 即MB 、ON 、PQ 两两互相垂直，以点Q 为坐标原点，QM ，QN ，QP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，−1，0)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，N(0，1，0)，A(√3，−2，0)，P(0，0，√3)， 所以PM →=(√3，0，−√3)，OP →=(0，1，√3)，OB →=(−√3，1，0)，设平面P AB 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅OP →=0m →⋅OB →=0，所以{y +√3z =0−√3x +y =0， 令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，所以m →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 的所成角为θ， 所以sinθ=|cos〈PM →，m →〉|=3+36×5=√105，故直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值为√105． 22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的实数，且ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b ，证明：e a +e b ＞2． 解：（1）由f(x)=1+lnx x 得，f ′(x)=−lnxx2， 当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0． 故f （x ）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）． （2）将ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b 变形为a+1e a=b+1e b ．令e a ＝m ，e b ＝n ，则上式变为1+lnm m=1+lnnn，即有f （m ）＝f （n ），于是命题转换为证明：m +n ＞2．不妨设m ＜n ，由（1）知0＜m ＜1，n ＞1． 要证m +n ＞2，即证n ＞2﹣m ＞1，由于f （x ）在（1，+∞）上单调递减，故即证f （n ）＜f （2﹣m ）， 由于f （m ）＝f （n ），故即证f （m ）＜f （2﹣m ）， 即证f （m ）﹣f （2﹣m ）＜0在0＜m ＜1上恒成立． 令g （x ）＝f （x ）﹣f （2﹣x ），x ∈（0，1），则g ′(x)=f ′(x)+f ′(2−x)=−lnx x 2−ln(2−x)(2−x)2=−(2−x)2lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2， =−(4−4x+x 2)lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2=−(4−4x)lnx+x 2ln[(2−x)x]x 2(2−x)2≥0，所以g （x ）在区间（0，1）内单调递增， 所以g （x ）＜g （1）＝0，即m +n ＞2成立． 所以e a +e b ＞2．。

江苏省南通中学2020届高三数学上学期期中试题 理(无答案)苏教版

江苏省南通中学2020届高三数学上学期期中试题 理(无答案)苏教版

江苏省南通中学2020学年度第一学期期中考试高三数学试卷（理科Ⅰ）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{|22}=-<<A x x ，{|13}=<≤B x x ，则A B =I ▲ ． 2．命题“∀∈x R ，3x a >”的否定是 ▲ ． 3．2lg 2lg 2lg5(lg5)+⋅+= ▲ ．4．已知||2=a ，||1=b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角大小为 ▲ ．5．已知曲线cos 1y x x =+在点π(,1)2处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数a = ▲ ．6．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ．若cos cos a B b A c -=，则ABC ∆ 是 ▲ 三角形．7．已知,αβ均为锐角，且π1tan()43α-=，5sin β=，则αβ+= ▲ ．8．若()f x 是偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，且(2)0f -=，则不等式(2)(1)0x f x -->的解集是 ▲ ．9．直角三角形ABC 中，π2C =，2AC =，4BC =．已知()CP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，则PA PB ⋅u u u r u u u r 的最小值为 ▲ ．10．若函数()f x 对于任意的两个不相等的实数12,x x A ∈都有1212()()01f x f x x x -<<-成立，则称()f x 在区间A 上为“0-1函数”． 则下列函数在定义域上为“0-1函数”的有 ▲ （请填写相应的序号）． （1）ππsin ,[,]22y x x =∈-；（2）ln ,1y x x =>；（3）e ,x y x =∈R ；（4）223,01y x x x =++<<． 11．如图所示的是定义域为R 的函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0ω>，[π,π)ϕ∈-）的部分图象，则不等式()3f x >的解集为 ▲ ．12．若[1,1]x ∃∈-，使不等式212731x x a -⋅+>成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．-2（第11题图）Ox y 37π1213．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．则“对于任意的(0,)x ∈+∞有()1f x ≤恒成立”的充要条件是 ▲ ．14．已知函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++在π[0,]2x ∈时有最大值为72，则实数m 的值为▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知集合2{|320}A x x x =-+<，集合22{|(32)2310}B x x m x m m =--+-+<． （1）若1m =，求A B U ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数2()2cos sin cos f x a x x x b =-+的定义域为R ，且2b ≤． 又{}π(),[0,]2y y f x x =∈[1,4]=．（1）求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的对称轴方程；（3）求函数2log [()3]y f x =-的单调增区间．已知函数222(1)log 2mx f x x -=-，其中1m >．（1）判断并证明()f x 的奇偶性； （2）解关于x 的不等式2()(1)23f x f x≥-+．18．（本小题满分16分）锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ．已知m =(2,)c a b -，n =(cos ,cos )B C ，且||||+=-m n m n ．又b =（1）求三角形ABC 的面积S 的最大值； （2）求三角形ABC 的周长l 的取值范围．已知某工厂生产并销售某种产品，每月生产该产品的成本()C x （单位：万元）与产品数量x （单位：吨）之间的函数关系为21()ln 2a C x x x -=+，每吨该产品的销售价为a 万元．且为保证设备的正常运转，每月至少生产1吨该产品．（1）若2a =，且每月的生产能力不超过5吨，求()C x 的变化范围； （2）若需要保证在该产品的生产销售中不出现亏本，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． （1）求函数f (x )的单调区间；（2）设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．高三数学试卷（理科Ⅱ）本卷共4题，共计40分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=，直线l的方程为πsin()4ρθ+=C上任意一点P 到直线l 距离的最小值．22．（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 的作用下，点(1,3)P 变化为点1(10,6)P ，点(2,1)Q 变化为1(5,2)Q ． 求二阶矩阵M ．23．（本小题满分10分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD ，2PA =，点M ，N 分别为边PA ，BC（1）求异面直线AN 与MD 所成角的余弦值； （2）求点B 到平面MND 的距离．24．（本小题满分10分）已知1221201212(12)x a a x a x a x +=++++L ． （1）求1212a a a +++L 的值；（2）求01231112a a a a a a -+-+-+L 的值； （3）求1212212a a a +++L 的值．（第23题图）。

【20套试卷合集】南通市重点中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案

【20套试卷合集】南通市重点中学2019-2020学年数学高三上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则=( )A. B.C. D.2.已知向量，，则向量与的夹角为（ ）A. 135°B. 60°C. 45°D. 30°3.设x ，y ∈R ，a>1，b>1，若a x ＝b y ＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．log 23 4.已知是等差数列的前项和，则，则=（ ）A. 66B. 55C. 44D. 33 5. 对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( ) A.B. (-∞,2］C.D.6.已知函数的图象的一条对称轴为直线，则要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）A. 向右平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍B. 向右平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍C. 向左平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍D. 向左平移个单位长度，纵坐标伸长为原来的倍7.设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y)，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b|＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．108.某几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为（ ）A. B. C. D.9.下列命题错误的是（ ）A ．对于命题＜0，则均有B ．命题“若，则”的逆否命题为“若， 则”C．若为假命题，则均为假命题D．“x＞2”是“＞0”的充分不必要条件.10.已知实数满足条件,,则的最小值为( )A. B. C. D.11.已知函数，且，则以下结论正确的是（）A. B. C. D.12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 ( )A. B. C. D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.设为函数的导数且,则________.14.已知，，则________.15.四面体的四个顶点都在球的表面上，，，，平面，则球的表面积为________.16.设数列的前项和为，已知，，则 _______.三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题10分)已知函数（1）求函数的解析式及其最小正周期；（2）当x∈时，求函数的值域和增区间．18. （本小题满分12分）在如图所示的五面体中，面为直角梯形，，平面平面，，△ADE是边长为2的正三角形．（1）证明：平面；（2）求点B到平面ACF的距离．19. (本小题12分)已知的三个内角所对应的边分别为，若.（1）求的值；（2）若的面积，求.20.已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求三棱锥S-BPD的体积。

江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中数学试题及答案解析

江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中数学试题及答案解析

江苏省南通市2020-2021学年度第一学期期中考试数学试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．若集合A ＝{0,1,2}，B ＝{x |x 2－3x ≤0}，则A ∩B 为()A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{x |0≤x ≤3}2．已知复数z 满足(2－i)z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为()A ．1B ．－1C ．0D ．i3．已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，满足f (x )＝23log (72),0,23(3),,2x x f x x ⎧--<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩ 则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)等于()A ．log 25B ．2log 5-C ．2-D ．04．两正数a ，b 的等差中项为52，等比中项为，且a >b ，则双曲线22221x y a b-=的离心率e 为()A.13 B.53C.3D.35．设函数11()sin ||222f x x x πθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象关于原点对称，则θ的值为()A ．6π- B.6πC ．3π- D.3π6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB ，CD ，则四边形ACBD 面积的最小值为()A ．8B ．16C ．32D ．647．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2019的值为()A ．1008B ．1009C ．1010D ．10118．设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线与两曲线都相切，则实数b 的最大值为()A.232e 3 B.233e 2 C.322e 3 D.323e 2二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知0<b <a <1，c >1，则下列各式中不成立的是()A ．a b <b a B ．c b >c aC ．log a c >log b cD ．b log c a >a log c b10．下列四个命题中正确的是()A ．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域相同B ．函数y y ＝3x 的值域相同C ．函数y ＝|x ＋1|与函数y ＝2x ＋1在区间[0，＋∞)上都是增函数D ．1lg 1x y x+=-是奇函数11．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是()A ．若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥αB ．若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥αC ．若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥nD ．若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m12．把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移4π个单位长度得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是()A ．g (x )在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增B ．g (x )的图象关于,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．g (x )的最小正周期为4πD ．g (x )的图象关于y 轴对称第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝1y，P (B )＝4x ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．14．已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+ 的最小值为________．15．将数列{a n }中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列．a 1a 2，a 3a 4，a 5，a 6，a 7a 8，a 9，a 10，a 11，a 12，a 13，a 14，a 15……记数阵中的第1列a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，T n 为数列{b n }的前n 项和，T n ＝5n 2＋3n ，则b n ＝________，a 1025＝________.(本题第一空2分，第二空3分)16．已知函数f (x )＝|ln |,0e,2ln ,e,x x x x <≤⎧⎨->⎩若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d (a 1∈Z ，d ∈Z )，前n 项的和为S n ，且S 7＝49,24<S 5<26.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项的和为T n ，求T n .18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A＋3a ＝c .(1)求cos B ；(2)如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC＝6，求AB的长．19.(12分)如图，四棱锥S－ABCD2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－S的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SC∶SE的值；若不存在，试说明理由．20.(12分)在全国第五个“扶贫日”到来之前，某省开展“精准扶贫，携手同行”的主题活动，某贫困县调查基层干部走访贫困户数量．A镇有基层干部60人，B镇有基层干部60人，C镇有基层干部80人，每人都走访了若干贫困户，按照分层抽样，从A，B，C三镇共选40名基层干部，统计他们走访贫困户的数量，并将走访数量分成5组，[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55]，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这40人中有多少人来自C镇，并估计A，B，C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户达到或超过25户视为工作出色，以频率估计概率，从A，B，C三镇的所有基层干部中随机选取3人，记这3人中工作出色的人数为X，求X的概率分布及均值．21.(12分)设椭圆22221x ya b+=(a>b>0)的离心率e＝12，椭圆上的点到左焦点F1的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的取值范围．22．(12分)已知函数f(x)＝e x－ax－a(其中e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意x∈(0,2]，不等式f(x)>x－a恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，证明：123ee1 n n nn nn n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+<⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.答案精析1．B2.A3.B4.D5.D6.C 7．C [当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，①故a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，②由②－①得，a n ＋1－a n ＋2(S n －S n －1)＝1，即a n ＋1＋a n ＝1(n ≥2)，所以S 2019＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2018＋a 2019)＝1010.]8．B [设P (x 0，y 0)，由于点P 为切点，则1022032ln 02x ax a x b +=+，又点P 的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即x 0＋2a ＝23a x ，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0，又a >0，x 0>0，∴x 0＝a ，于是，b ＝52a 2－3a 2ln a (a >0)，设h (x )＝52x 2－3x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝2x (1－3ln x )(x >0)，所以h (x )在(0，13e )上单调递增，在(13e ，＋∞)上单调递减，b 的最大值为12333e e 2h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.9．ABC [由于0<b <a <1，c >1，根据指数函数与幂函数的图象与性质有a b >a a >b a ，故选项A 错误；根据指数函数的图象与性质有c b <c a ，故选项B 错误；根据对数函数的图象与性质有log a c <log b c ，故选项C 错误；因为a b >b a ，c >1，则log c a b >log c b a ，即b log c a >a log c b ，故选项D 正确．]10．ACD [A 项，函数y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝log a a x (a >0且a ≠1)的定义域都是R ，故A 正确；B 项，函数y值域为[0，＋∞)，函数y ＝3x 的值域为(0，＋∞)，故B 错误；C ，当x ∈[0，＋∞)时，函数y ＝|x ＋1|＝x ＋1是增函数，函数y ＝2x ＋1是增函数，故C 正确；D 项，lg 11x y x+=-的定义域是(－1,1)，令()1lg 1x f x x +=-，1111()lg lg lg ()111x x x f x f x x x x --++⎛⎫-===-=- ⎪+--⎝⎭，故函数1lg1x y x +=-是奇函数，故D 正确．]11．AD [A 正确，B 中直线l 可能平行于α也可能在α内，故B 错；C 中直线l ，m ，n 可能平行也可能相交于一点，故C 错；D 正确．]12．BCD [把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短为原来的12得到sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将图象向右平移4π个单位长度得到函数()sin 2sin 2436g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象．若,66x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则2,626x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()g x ,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故A 正确；由1062g π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭知，g (x )的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 错误；g (x )的最小正周期为π，故C 错误；∵1(0)12g =-≠±，∴g (x )的图象不关于y 轴对称，故D 错误．]13．9解析由事件A ，B 互为对立事件，其概率分别P (A )＝1y，P (B )＝4x ，且x >0，y >0，所以P (A )＋P (B )＝1y ＋4x＝1，所以144()5y x x y x y y x x y ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭524y x 9x y ≥+⋅=，当且仅当x ＝6，y ＝3时取等号，所以x ＋y 的最小值为9.14．－4解析由题意，以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，建立平面直角坐标系，因为正方形ABCD 的边长为2，所以可得A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)，设P (x ，y )，则PA ＝(－x ，－y )，PB ＝(2－x ，－y )，PC ＝(2－x,2－y )，PD ＝(－x,2－y )，所以PA ＋PB ＝(2－2x ，－2y )，PC ＋PD ＝(2－2x,4－2y )，因此(PA ＋PB )·(PC ＋PD )＝4(1－x )2－4y (2－y )＝4(x －1)2＋4(y －1)2－4≥－4，当且仅当x ＝y ＝1时，取得最小值－4.15．10n －2216解析T n 为数列{b n }的前n 项的和，T n ＝5n 2＋3n ，b n ＝T n －T n －1＝(5n 2＋3n )－[5(n －1)2＋3(n －1)]＝10n －2(n ≥2)，验证n ＝1时，b 1＝T 1＝8也符合，故b n ＝10n －2，a 1024＝b 11＝108，a 1025＝2a 1024＝216.16.212e ,e 2e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭解析画出函数f (x )＝|ln |,0e 2ln ,e x x x x <≤⎧⎨->⎩的图象(如图所示)．不妨令a <b <c ，则由已知和图象，得0<a <1<b <e<c <e 2，且－ln a ＝ln b ＝2－ln c ，则ab ＝1，bc ＝e 2，则a ＋b ＋c ＝221e 1e b b bb b +++=+，令21e ()g x x x+=+，因为221e ()10g x x+'=-<在x ∈(1，e)时恒成立，所以g (x )在(1，e)上单调递减，所以2211e 2e 2e eb b ++<+<+.17．解(1)由题意得1176749,25424526,2a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪<+<⎪⎩∵a 1∈Z ，d ∈Z ，解得11,2,a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，∴1111111112335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭ 21n n =+.18．解(1)在△ABC 中，由正弦定理得sin B cos A ＋33sin A ＝sin C ，又C ＝π－(A ＋B )，所以sin B cos A ＋3sin A ＝sin (A ＋B )，故sin B cos A ＋33sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin A cos B ＝33sin A ，又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，故cos B ＝33.(2)因为D ＝2B ，所以cos D ＝2cos 2B －1＝13-，又在△ACD 中，AD ＝1，CD ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos D ＝1＋9－2×3×13⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12，所以AC ＝，在△ABC 中，BC ，AC ＝cos B ＝3，所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即12＝AB 2＋6－2·AB ×33，化简得AB 2－AB －6＝0，解得AB ＝.故AB 的长为19．(1)证明连结BD 交AC 于O ，连结SO ，由题意得，SO ⊥AC .在正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又SO ∩BD ＝O ，SO ，BD ⊂平面SBD ，6所以AC ⊥平面SBD ，所以AC ⊥SD .(2)解由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz如图所示．设底面边长为a ，则高SO ＝62a .则S 0,0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ,0,02a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C 0,,02a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ,0,02a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又SD ⊥平面PAC ，则平面PAC 的一个法向量26,0,22DS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，平面SAC 的一个法向量2,0,02OD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则1cos ,2||||DS OD DS OD DS OD ⋅==- ，又二面角P －AC －S 为锐二面角，则二面角P －AC －S 为60°.(3)解在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC .由(2)知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,22DS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,,22CS a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，22,,022BC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ .设CE tCS = ，t ∈[0,1]，则BE =BC +CE =BC +tCS ＝226,(1),222a a t at ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，又BE ∥平面PAC ，所以BE ·DS ＝0，解得t ＝13.即当SC ∶SE ＝3∶2时，BE ⊥DS ，而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC .所以侧棱SC 上存在点E ，当SC ∶CE ＝3∶2时，有BE ∥平面PAC .20．解(1)因为A ，B ，C 三镇分别有基层干部60人，60人，80人，共200人，利用分层抽样的方法选40人，则C 镇应选取80×40200＝16(人)，所以这40人中有16人来自C 镇，因为x ＝10×0.15＋20×0.25＋30×0.3＋40×0.2＋50×0.1＝28.5，所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户．(2)由直方图得，从三镇的所有基层干部中随机选出1人，其工作出色的概率为35，显然X 可取0,1,2,3，且X ～B 33,5⎛⎫⎪⎝⎭，则28(0)35125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，12133236(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21233254(2)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3327(3)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的概率分布为X0123P 8125361255412527125所以均值E (X )＝0×8125＋1×36125＋2×54125＋3×27125＝95.21．解(1)由题设条件可得c a ＝12，a ＋c ＝3，解得a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)当矩形ABCD 的一组对边所在直线的斜率不存在时，得矩形ABCD 的面积S＝，当矩形ABCD 四边所在直线的斜率都存在时，不防设AB ，CD 所在直线的斜率为k ，则BC ，AD 所在直线的斜率为1k-，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝(8km )2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，得m 2＝4k 2＋3，显然直线CD 的直线方程为y ＝kx －m ，直线AB ，CD间的距离1d ===同理可求得BC ，AD间的距离为2d ==所以四边形ABCD 的面积为S ABCD ＝d 1d 2＝=14=≤.(当且仅当k ＝±1时等号成立)，又SABCD >＝综上可得外切矩形面积的取值范围是[14]．22．(1)解因为f (x )＝e x －ax －a ，所以f ′(x )＝e x －a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )在区间R 上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )>0，x >ln a ，令f ′(x )<0，x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．(2)解因为对任意的x ∈(0,2]，不等式f (x )>x －a 恒成立，即不等式(a ＋1)x <e x 恒成立．即当x ∈(0,2]时，a <e x x －1恒成立．令g (x )＝e xx －1(x ∈(0,2])，则g ′(x )＝22(1)e x x -.令g ′(x )>0,1<x ≤2，g ′(x )<0，，0<x <1，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增．∴x ＝1时，g (x )取最小值e －1.所以实数a 的取值范围是(－∞，e －1)．(3)证明在(1)中，令a ＝1可知对任意实数x 都有e x －x －1≥0，即x ＋1≤e x (当且仅当x ＝0时等号成立)．令x ＋1＝k n(k ＝1,2,3，…，n )，则k n <1e k n -，即e e e k k n n k n n -⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故()()123e e 11231e e e e e e (e 1)e (e 1)n n n n n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++=< ⎪ ⎪ ⎪ --⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .。

江苏省南通市八校联考2020学年度高三数学期中调研测试卷 人教版

江苏省南通市八校联考2020学年度高三数学期中调研测试卷 人教版

江苏省南通市八校联考2020学年度高三数学期中调研测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1～2页，第II 卷3～8页.全卷满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合中，恰有2个元素的集合是A ．{}20x x -=B ．{}2|0x x x -=C ．{}2|x y x x =-D ．{}2|y y x x =-2．函数1()3f x =-2cos (0)x ωω>的周期与函数()tan 2x g x =的周期相等，则ω等于A ．2B. 1C.12D.143．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且. 若A ={2, 4, 6, 8, 10}，B ={1, 4, 8}，则A B -=A ．{4，8}B ．{1，2，6，10}C ．{1}D ．{2，6，10}4．若要得到函数y =sin(2x －4π)的图象，可以把函数y =sin2x 的图象 A. 向右平移8π个单位B. 向左平移8π个单位C. 向右平移4π个单位D. 向左平移4π个单位5. 原命题“设,,a b c ∈R ，若22ac bc >，则a b >.”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有A.0个B.1个C.2个D.3个6．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tan B 是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 对于函数f (x )=ax 2+bx+c （a ≠0），若作代换x=g (t )，则不改变函数f (x )的值域的代换是 A ．g (t )=2tB ．g (t )=|t |C ．g (t )=sin tD ．g (t )=2log t8．函数log (2)a ax y =-在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．(2,)+∞9. 四个实数－9，a 1，a 2，－1成等差数列，五个实数－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，则b 2（a 2－a 1）等于 A. 8B. －8C. ±8D.9810.有容积相等的桶A 和桶B ，开始时桶A 中有a 升水，桶B 中无水. 现把桶A 的水注入桶B ，t 分钟后，桶A 的水剩余1ty am =（升），其中m 为正常数. 假设5分钟时，桶A 和桶B的水相等，要使桶A 的水只有8a 升，必须再经过A.7分钟B.8分钟C.9分钟D.10分钟11.设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 一定是等比数列；②{}1n n a a ++一定是等比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；④{}lg n a 一定是等比数列. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 已知三个不等式：000c dab bc ad a b>->-≥，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题 的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1. 第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在题中的横线上．13. 已知全集{}*27S x x =∈-<<N ，{}3,4,5M =，{}1,3,5P =，则()()SSM P U 痧＝ .（用列举法表示）14. 设{}n a 是公差为2 的等差数列，如果1473130a a a a ++++=L ，那么36933a a a a ++++L ＝ ．15. 设)(x f 是定义域为R 且最小正周期为23π的函数，在一个周期内若 =)(x f cos 2,0,15()24sin ,0.x x f x x πππ⎧-≤<⎪-⎨⎪≤<⎩则= . 16. 已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是 .得分 评卷人17．规定记号“⊗”表示两个正数间的一种运算：(00),a b a b a b >>⊗=+，．若13k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域是 ．18. 已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数sin (0)y x x π=-<<图象上的两个不同点，且12x x <，给出下列不等式：①12sin sin x x <；②12sin sin22x x <；③12121(sin sin )sin22x x x x ++>；④1212sin sin x x x x >. 其中正确不等式的序号是 . 三．解答题：本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，前（2k ＋1）项（*k ∈N ）之和为77，其中偶数项之和为33，且a 1－a 2k ＋1＝18，求数列{}n a 的通项公式.20．（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足5(3)log (35).6x f x x x-=≤≤-(1)求函数()f x 解析式及定义域; (2)求函数()f x 的反函数1()f x -; (3)若5()log (2)f x x ≥，求x 的取值范围.得分 评卷人得分 评卷人21. （本小题满分14分）若定义在R 上的函数f (x )为奇函数，且在[0,)+∞上是增函数. (1)求证：f (x )在(,0]-∞上也是增函数；(2)对任意θ∈R ，不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立,求实数m 的取值范围.22. （本小题满分14分）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，设22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+.（1）当f (A , B )取得最小值时，求C 的大小；（2）当2C π=时，记h （A ）＝f (A , B )，试求h （A ）的表达式及定义域；（3）在（2）的条件下，是否存在向量p ，使得函数h （A ）的图象按向量p 平移后得到函数()2cos 2g A A =的图象？若存在，求出向量p 的坐标；若不存在，请说明 理由.23. （本小题满分14分）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*2()2n n S a n =∈-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+L *()n ∈N ，求{}n b 的通项公式；（3）设*21()(1)n n c n b =∈+N ，且数列{}n c 的前n 项和为T n ，试比较T n 与14的大小．得分 评卷人得分 评卷人得分 评卷人[参考答案]说明：1.本解答仅给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容对照评分标准制订相应的评分细则．2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做出这一步应得的分数．4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：每小题5分，共60分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCDABADCBDBC二、填空题：每小题4分，共24分13．{}1,2,4,6 14．74 15216．3+ 17．()1,+∞ 18．②③ 三、解答题：19．（12分）前（2k ＋1）项中偶数项共有k 项. …………1分设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得12(21)(21)77,(1)2332k a k k d k k ka d +++=-+⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 即[]12(21)()77,(1)33.k a kd k a k d ++=+-=⎧⎨⎩①②…………3分∵12(1)a kd a k d +=+-， ∴2177,33k k+=解得k ＝3. …………2分∵a 1－a 2k ＋1＝2kd -，∴2kd -＝18，∴d ＝－3. …………2分 将k ＝3，d ＝－3代入①得a 1＝20. …………2分 故1(1)323.n a a n d n =+-=-+ …………2分 20．（12分）（1）设t ＝x －3，则x ＝t ＋3.∵ 5(3)log ,6x f x x-=- ∴53()log ,3t f t t+=- …………1分∵ 35x ≤≤，∴0 2.t ≤≤ 由30,302tt t +>-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩得0 2.t ≤≤ …………2分于是53()log ,3x f x x+=- 且定义域为[0，2]. …………1分 （2）设y ＝53()log ,3x f x x+=- 则353yx x+=-，即3(51)51y y x -=+，∴1()f x -3(51)51x x-=+. …………2分∵02,x ≤≤ ∴133x ≤-≤，∴ 361[1,5].33x xx+=-+∈--从而53log [0,1]3x x+∈-.故函数()f x 的反函数为1()f x -3(51)51x x-=+（01x ≤≤）. …………2分（3）5()log (2)320,302f x x xx x x ≥+⎧≥>⎪⇔-⎨⎪≤≤⎩⇔301,202x x x <≤≥⇔≤≤⎧⎪⎨⎪⎩或301 2.2x x <≤≤≤或 …………4分21．（14分） （1）设x 1<x 2≤0, 则－x 1>－x 2≥0.∵f (x )在[0,)+∞上是增函数，∴f (－x 1) > f (－x 2). …………2分 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x 1)＝－f (x 1)，f (－x 2)＝－f (x 2). …………2分 于是－f (x 1) > －f (x 2)，即f (x 1) <f (x 2).所以f (x )在(,0]-∞上也是增函数. …………2分 （2）由（1）知，函数f (x )在(),-∞+∞上是增函数. …………1分 ∵f (x )为奇函数，∴(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->(cos 23)(2sin )(cos 23)(2sin )f f m f f m θθθθ⇔->--⇔->-+ …………2分由（1）知f (x )在(,)-∞+∞上是增函数，∴cos 2sin 3(cos 23)(2sin )cos 232sin 2f f m m m θθθθθθ-++->-+⇔->-+⇔>221115sin sin 1sin 2416m θθθ>++=++⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭. …………3分∵θ∈R ，∴当sin θ＝1时，2115sin 416θ++⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最大值52.∵不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立，∴故实数m 的取值范围是5,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭. ; …………2分22. （14分）（1）配方得f (A ，B ) = (sin2A2)2+ (cos2B -12)2 +1， …………2分∴ [f (A ，B ) ]min = 1,当且仅当sin 221cos 22A B ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得最小值. …………2分在△ABC中，,,sin 26321.cos 2662A A AB B B ππππ===⇔===⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩或 故C = 23π或2π.…………3分 （2）2C π=⇔A +B = 2π，于是h （A）＝22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+22sin 2cos 22cos 2222A A A A ππ=+---+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝cos2A2A ＋3=2cos(2A +3π) + 3. …………4分∵A +B = 2π，∴02A π<<. …………1分（3）∵函数h （A ）在区间0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，在区间,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数；而函数 ()2cos 2g A A =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数. ∴函数h （A ）的图象与函数()2cos 2g A A =的图象不相同，从而不存在满足条件的 向量p . …………2分23．（14分）（1）∵*2()2n n S a n =∈-N ，∴1122n n S a ++=-，于是a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（2 a n ＋1－2）－（2 a n －2），即a n ＋1＝2a n . …………2分 又a 1＝S 1＝2 a 1－2, 得a 1＝2. …………1分 ∴{}n a 是首项和公比都是2的等比数列，故a n ＝2n . …………1分 (2) 由a 1b 1＝（2×1－1）×21＋1＋2＝6及a 1＝2得b 1＝3. …………1分 当2n ≥时，11122(21)22n n n n a b a b a b +-+=+++L[](1)1(23)22(1)1222n n n n n n n n a b a b -+-=--++=++，∴1(21)2(23)2(21)2n n nn n a b n n n +=---=+. …………2分∵a n ＝2n ，∴b n ＝2n ＋1（2n ≥）. …………1分 ∴*3,(1),21().21,(2)n n b n n n n ===+∈+≥⎧⎨⎩N …………1分（3）2221(1)111111(22)4(1)4(1)41n n b c n n n n nn +===<=-++++⎛⎫⎪⎝⎭. …………3分 121111111111142231414n n T c c c n n n =+++<-+-++-=-<++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …………2分。

精品解析：江苏省南京市金陵中学、南通市海安中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题(解析版)

精品解析：江苏省南京市金陵中学、南通市海安中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题(解析版)

2020-2021学年度第一学期期中检测试题高三数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足()2i 12i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】由()2i 12i z +=-，得12i2iz -=+，化简可得结果 【详解】解：由()2i 12i z +=-，得12i (12i)(2i)5i=i 2i (2i)(2i)5z ----===-++-， 故选：D2. 已知集合{}20A x x x =->，则RA =（ ）A. {}01x x << B. {}01x x ≤≤C. {0x x <或1}x >D. {|0x x ≤或1}x ≥【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出A ，结合补集的定义进行计算即可. 【详解】{}20{1A x x x x x =->=或0}x <， 则{}01RA x x =≤≤，故选：B.3. 在1，2，3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{}n a ，则50a =（ ） A. 289 B. 295C. 301D. 307【答案】B【解析】 【分析】根据题意可得出{}n a 的通项公式可求得50a .【详解】由题意可知1n a -即是2的倍数，又是3的倍数，即1n a -是6的倍数， 则()()161,n n N a n *-=-∈，所以65nan =-，所以505065295a =⨯-=.故选：B.4. 重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日，某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是（ ） A. 35 B. 40C. 50D. 70【答案】C 【解析】 【分析】6名学生分配到两所敬老院，每所敬老院至少2人，则对6名学生进行分组分配即可【详解】解：6名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案为22362650C A C +=,故选：C 5. 函数222xy x x-=+的图象大致为（ ） A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】确定奇偶性，排除两个选项，再由单调性排除一个选项，得出正确结论．【详解】函数定义域为{}|0x x ≠，则22()()1xf x f x x -=-=-+，函数为奇函数，排除BD ， 又2(1)111f ==+，416(2)11744f ==+，所以()1)(2f f >即()f x 在0x >时不是单调递增，排除C ． 故选：A ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（ 1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （ 2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （ 3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （ 4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.6. 某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛，高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能．．．是（ ） A. 15 B. 17C. 21D. 26【答案】A 【解析】 【分析】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有X 人，参加定点射门比赛的有Y 人，根据容斥原理得出616X +≥，626X +≤，从而得出答案.【详解】设只参加一项比赛的20名同学中，参加定点投篮比赛的有X 人，参加定点射门比赛的有Y 人，则,X Y N ∈，且20X Y +=①由题设条件知，两项比赛均参加的有4520196--=人故参加定点投篮比赛的一共有()6X +人，参加定点射门比赛的有()6Y +人不妨设参加定点投篮比赛人数更多(包含参加两种比赛的人数相等的情况)，则66X Y +≥+② 由①②可得10X ≥，故616X +≥，又20X ≤，所以626X +≤ 故16626X +故参加定点投篮比赛的人数不可能为15人，即两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是15. 故选：A7. 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy ）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，完成下题：如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则当线段OC 的长取最大值时，AOC ∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件先分析出OC 的最大值并得到,OBC OAC ∠∠之间的关系，由此借助余弦定理求解出AB 的长度，再利用余弦定理即可求解出AOC ∠的大小.【详解】因为OB AC OA BC OC AB ⋅+⋅≥⋅，且ABC 为等边三角形，1,2OB OA ==， 所以OB OA OC +≥，所以3OC ≤，所以OC 的最大值为3，取等号时180OBC OAC ∠+∠=︒， 所以cos cos 0OBC OAC ∠+∠=，不妨设AB x =，所以221949024x x x x+-+-+=，所以解得7x =所以9471cos 2232AOC +-∠==⨯⨯，所以60AOC ∠=︒，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答问题的关键是理解题中所给的定理，由此分析得到角的关系，并借助余弦定理即可求解出结果.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足120PF PF ⋅=，则a =（ ）A.14B.12C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】由题意可设1(,)22b P a ±，则1211(,),(,)2222b b PF c PF c a a=--=-，再由120PF PF ⋅=，可得22240a c c -=，从而可求出a 的值【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，故设1(,)22b P a ±， 设12(,0),(,0)F c F c -，则1211(,),(,)2222b bPF c PF c a a=--=-， 因120PF PF ⋅=，所以2211()()0224b c c a-+-+=，即2222224a c a b c a -==-， 所以22240a c c -=，因为20c ≠，所以2410a -=， 因为0a >，所以12a =， 故选：B二､选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列四个函数中，以π为周期，且在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ） A. sin y x = B. cos 2y x =C. tan y x =-D. sin 2y x =【答案】AC 【解析】 【分析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调性，即可选择判断. 【详解】|sin |y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； cos 2y x =最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；tan y x =-最小正周期为π，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； sin 2y x =不是周期函数，在区间3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 故选：AC10. 若2nx⎛⎝的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的可能值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】ABC 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①展开式中第5项和第6项的二项式系数最大；②展开式中只有第6项的二项式系数最大；③展开式中第6项和第7项的二项式系数最大.确定每种情况下展开式的项数，进而可求得n 的值. 【详解】分以下三种情况讨论：①展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则展开式共10项，可得110n +=，得9n =； ②展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式共11项，可得111n +=，得10n =； ③展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式共12项，可得112n +=，得11n =. 因此，n 的可能值为9、10、11. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：对二项式中的项的求解方法： （1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C a b -=的特点，一般需要建立方程求得r 的值，再将r 的值代回通项，主要是r 的取值范围()0,1,2,3,,r n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 11. 已知0a >，0b >，且221a b +=，则（ ）A. a b +≤B.1222a b -<<C. 221log log 2≥-D. 221a b ->-【答案】ABD【解析】 【分析】根据已知条件，利用基本不等式可以证明A 正确；根据已知条件，求得,a b 的取值范围，结合不等式的基本性质和指数函数的单调性判定BD ；利用对数函数的单调性对C 进行等价转化，通过举例可以否定C. 【详解】()()()2222222,2,2a b ab a b a b a b +≥∴+≥+∴+≤，又0,0,a b a b >>∴+≤故A 正确；0a >，0b >，且221a b +=，01,01,11,a b a b ∴<<<<∴-<-<∴1222a b -<<，故B 正确；2221a b b ->->-,故D 正确；C等价于21log 2≥-，即2211log ,log 122a b b a ≥-≥-，等价于12ab ≥,但当34,55a b ==时，满足条件0a >，0b >，且221a b +=，121252ab =<,故C 错误； 故选：ABD .【点睛】本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定.12. 我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成()10110,nN a a n =⨯≤<∈Z .定义：(),0,0,0,N n W N N n ≥⎧=⎨<⎩的整数部分的位数的非有效数字的个数如：()21.2103W ⨯=，()1.23102W ⨯=，()23102W -⨯=，()13.001101W -⨯=，则下列说法正确的是（ ）A. 当0n >，1M >，1N >时，()()()W M N W M W N ⋅=+B. 当0n <时，()W M n =-C. 若1002N =，lg 20.301≈，则()31W N =D. 当k *∈N 时，()()22kkW W -=【答案】BCD 【解析】 【分析】先要通过举例，搞清楚()W N 的意义，)()110,10nn N n +⎡∈∈⎣N 时，N 的整数部分的位数为1n +,当)()110,101,2,3,,n n N n N +⎡∈=---⋯⎣的非有效数字中0的个数为n .然后通过举例可以否定A ；通过一般性论证判定B ；借助于对数指数运算，和不等式的性质，判定CD ；【详解】当[)10,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,100N ∈时，N 的整数位数为3，一般地，)()110,10n n N n +⎡∈∈⎣N 时，N 的整数部分的位数为1n +, 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字中0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，比如，0.010101023,其非有效数字中0的个数为2，一般地，当)()110,101,2,3,,nn N n N +⎡∈=---⋯⎣的非有效数字中0的个数为n .取210M =，10N =，则()3W M =，()2W N =，()()()()31045W MN W W M W N ==≠=+，取()()()()()()500,50,3,2,250005M N W M W N W MN W W M W N =======+,故A 有不正确的时候，故A 错误；当0n <时，110a ≤<,∴)()11010,10,nn n N a W N n ---+⎡=⨯∈∴=-⎣，B 正确； 因为1002,lg20.301N =≈，则()1003031lg2100lg230.1,30,1010,31n N W N ===≤<∴=，故C 正确；*k N ∈时，根据定义,由于2k 为正整数，且不可能是10的倍数，∴存在N m ∈,使得110210m k m +<< ，此时()21kW m =+()110210m k m -+--<<，()21kW m -=+，故 D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查新定义问题，涉及指数与指数幂的运算，对数与对数运算，难度较大．必要的时候通过具体实例理解新定义函数的意义是重要的思维途径.在D 的判定中，注意不等式的性质的运用，*k N ∈时，2k 为正整数，且不可能是10的倍数是关键的，由此才能得出()110210m k m -+--<<，特别是右端不能取等号，否则比如0.010.1x <≤的话，不能得出()2W x =的结论，其中()0.11W =.注意小数中非有效数字概念，比如0.010101023中10101023是有效数字.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知抛物线()220y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为52，则p =______. 【答案】3 【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由抛物线定义可得，51()22p --=，解得3p =， 故答案为：314. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x （年）与维护费用y （千元）之间有如下数据： x 与y 之间具有线性相关关系，且y 关于x 的线性回归方程为 1.05y x a =+（a 为常数）.据此估计，使用年限为7年时，维护费用约为______千元.（参考公式：线性回归方程y bx a =+中的系数()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-）【答案】8.2 【解析】 【分析】计算出样本的中心点(),x y 的坐标，再将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出a 的值，可得出回归直线方程，然后将7x =代入回归直线方程，即可求得对应的维修费用的估计值. 【详解】由题意可得2456855x ++++==，3 4.5 6.57.59 6.15y ++++==，由于回归直线过样本的中心点，所以，1.055 6.1a ⨯+=，解得0.85a =， 所以，回归直线方程为 1.050.85y x =+， 当7x =时， 1.0570.858.2y =⨯+=，所以，当该品牌的新能源汽车的使用年限为7年时，维护费用约为8.2千元. 故答案为：8.2.15. 如图，水平广场上有一盏路灯挂在10m 长的电线杆上，记电线杆的底部为点A .把路灯看作一个点光源，身高1.5m 的女孩站在离点A 5m 的点B 处.若女孩向点A 前行4m 到达点D .然后从点D 出发，沿着以BD为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶（视为一点）的影子所围成封闭图形的面积为______2m.【答案】3200 289【解析】【分析】根据女孩在移动的过程中比例关系不变，得到女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形，再根据原正方形的对角线为4，利用比例关系求得轨迹的对角线长即可.【详解】如图所示：设女孩在点BD处头顶EF的投影点分别为MN，则EF=BD=4，BE=DF=1.5，则10 1.50.8510EFMN-==，所以8017MN =, 因为女孩在移动的过程中比例关系不变，所以当女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为对角线长为8017的正方形， 所以其面积为：18080320021717289S =⨯⨯=故答案为：320028916. 已知三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，以P 2为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为______.【答案】924612π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据已知可以判定球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以P 为圆心，以22为半径的3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 的内切圆，进而计算求解.【详解】如图所示，设,,BD CA AB 的中点分别为,,D E F ,P 在平面ABC 内的射影为1O ，由已知可得1O 为底面正三角形ABC 的中心.∵PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，2,AB BC CD PD PE PF ∴===∴===2,111O D O E O F==236= 以P 为球心，22为半径的球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以P 为圆心，以22为半径的3个四分之一圆弧和底面正三角形ABC 的内切圆，∴交线的长度之和为π2692463222ππ+⨯⨯+=⎝⎭, 故答案：9246π+⎝⎭.【点睛】本题关键是分析几何体的形状特征，利用球的性质，判定截线的类型和形状.注意到三棱锥是正三棱锥，斜高恰好是球的半径，从而得到截线的形状.四､解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足1310a a +=，24a =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b = ，求数列{}n b 的前n 项和n S .请在①n n a ⋅；②22log 9n a -；③()()12121nnn a +++这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.【答案】答案见解析 【解析】 【分析】(1）由题设求得等比数列{}n a 的公比q 与首项1a ，即可求得其通项公式;(2）当选条件①时；先由(1）求得n b ，再利用错位相减法求得其前n 项和即可；当选条件②时：先由(1）求得n b ，再对n 分n ≤4与n ≥5两种情况分别求得其前n 项和即可；当选条件③时：先由（1）求得n b ，再利用裂项相消法求得其前n 项和即可.【详解】（1）2111104a a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩或1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩1q >，122a q =⎧∴⎨=⎩2n n a ∴=．（2）若选①2n n b n =⋅231122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+①23121222(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+-+②①-②得：23122222n n n S n +-=++++-⋅()()11121222212(1)2212n n n n n n S n n n +++--=-⋅=--⋅=---∴1(1)22n n S n +=-+选②：22log 29|29|nn b n =⋅-=-1n =时，117S b ==2n =时，2127512S b b =+=+=3n =时，312375315S b b b =++=++=4n =时，4123416S b b b b =+++=即2(792)8(4,)2n n nS n n n n N *+-⋅==-+≤∈5n ≥时，2(4)(129)16132916(4)162n n n S n n -+-=++++-=+=-+．选③11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-++++2231111111111122121212121321n n n n S ++=-+-++-=-+++++++． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查等比数列基本量的计算及错位相减法与裂项相消法在数列求和中的应用，对运算能力要求较高，属于中档题.18. 在ABC 中，设A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+. （1）求A ；（2）若2b =，且ABC 为说角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）2S ⎛∈ ⎝.【解析】 【分析】（1）用正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角A ；（2）由正弦定理把c 边用角表示，这样三角形的面积可表示为B 的函数，求出B 的范围，结合三角函数性质可得面积范围．【详解】（1）()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+ ∴()()()c b c a b a b -=-+ ∴222c bc a b -=- ∴222a b c bc =+-， 而2222cos a b c bc A =+- ∴1cos 2A =，(0,)A π∈， ∴3A π=．（2）2b =2sin sin sin sin b c Cc B C B=⇒=1sin 2ABC S bc A ===△1cos 12sin 2B B ⎫==+⎪⎭∴ABC 为锐角三角形 ∴02B π<< 且02C <<π即2032B ππ<-< ∴62B ππ<<cos sin BB∈∴3cos 11,22sin 22B B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴3,23S ⎛⎫∈⎪⎝． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差的正弦公式，同角间的三角函数关系，正切函数性质等等．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边,,a b c 的齐次式或关于角的正弦sin ,sin ,sin A B C 的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD =，PD ⊥平面ABCD .（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）已知2PD =，点E 为棱PB 的中点，求直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3015. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的定义得到PD BC ⊥，再根据线段的长度关系得到BC BD ⊥，由此借助线面垂直的判定定理完成证明；（2）利用等体积法求解出A 到平面DCE 的距离h ，然后根据hAE的结果得到直线AE 与平面DCE 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：∵//AB CD ，AD CD ⊥，∴90DAB ︒∠= ∴1AB AD ==，∴2BD =在底面ABCD 中，过B 作BF CD ⊥于点F∴四边形ABFD 为矩形，∴1DF =，1CF =∴2BC =，∴2224BD BC CD +==，∴BC BD ⊥又∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥ ∵BDPD D =，∴BC ⊥平面PBD（2）2BD =，426PB =+=∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AB ⊥ 又∵AB AD ⊥，PD AD D ⋂= ∴AB ⊥平面PAD ，∴AB PA ⊥ ∵E 为PB 的中点，∴162AE PB ==且62DE = 设A 到平面DCE 的距离为h ，AE 与平面DCE 所成角为θ，∴sin hAEθ=由11133A DCE E ACD DCE ACD V V S h S --=⇒⋅=⋅△△ 而在DCE 中，62DE =，2CD =，22314222CE BC BE =+=+=∴374cos EDC+-∠==sin EDC∠=∴122DCES==△，2112ACDS⨯==△∴11133h=⨯⇒=∴sin15θ==．所以直线AE与平面DCE所成角的正弦值为15.【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值（或者通过等体积法求解出线段端点到平面的距离，根据点到面的距离比上待求线段长度得到线面角的正弦值）；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.20. 根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的概率分布及数学期望；（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性.（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）【答案】（1）分布列见解析，()1E X=；（2）0.01p≈，答案见解析.【解析】【分析】（1）先分析X的可取值，然后根据超几何分布的相关知识求解出X的概率分布以及数学期望；（2）先分析新药无效的情况：10中1人痊愈、10中0人痊愈，由此求解出无效的概率，并分析试验方案的合理性.【详解】解：（1）X 的所有可能取值为0，1，2252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===∴X 的分布列如下：()0121999E X =⨯+⨯+⨯=．（2）新药无效的情况有：10中1人痊愈、10中0人痊愈，∴01090110101111110.015%22221024p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=≈< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理. 【点睛】易错点睛：超几何分布和二项分布的区别与联系：（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题；（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题；（3）当调查研究的样本容量很大时，在有放回地抽取和不放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似将超几何分布认为是二项分布.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点1,2A ⎛⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P （点P 在第一象限），过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2 .【解析】 【分析】（1）根据条件列出关于a,b,c 方程组求解得到a ，b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（2）设出P 的坐标()00,x y ，利用椭圆上某点处的切线方程公式求出切线方程，利用平行线的关系得出直线 l 的方程，与直线PF 的方程联立，求得Q 的坐标，利用两点间距离公式求得PQ 关于00,x y的表达式，并利用P 的坐标满足椭圆方程，消元并化简得到常数值.【详解】解：（1）由题意知222222112211c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪⎪⎧⎪=⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()00,,P x y 直线l 的方程为0022x x y y += 过原点O 且与l 平行的直线l '的方程为0020x x y y +=椭圆C 的右焦点()1,0F ，由00y 0x 1y 0x 1--=--整理得到直线PF 的方程为0001)0(y y x x y ---=， 联立20000000000(1)02,2022y x x y y y x y Q x x y y x x ---=⎛⎫⎧⇒-⎨⎪+=--⎩⎝⎭∴2222000000000022222222y x y y x PQ x y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22002022004(1)4122(2)2(2)(2)x x x x x ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭===-- 【点睛】本题考查根据离心率和定点确定求的标准方程，椭圆与直线相交所得弦长问题和定值问题，属中档题，涉及椭圆上某点处的切线方程，弦长公式，运算化简能力，注意：曲线22Ax By C +=上()00,P x y 处的切线l 的方程为00Ax x By y C +=。

江苏省南通市海安县2020届高三上学期期中质量监测数学试题Word版含解析

江苏省南通市海安县2020届高三上学期期中质量监测数学试题Word版含解析

江苏省南通市海安县2020届上学期期中质量监测高三数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝_______．2.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模为_______．3.已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为_______．4.设实数x，y满足，则x＋y的最小值为_______5.有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是_______．6.运行如图所示的流程图，则输出的结果S为_______．7.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则p的值为_______．8.已知函数（A＞0，＞0，0＜＜）在R上的部分图象如图所示，则的值为_______．9.如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O—A1BC1的体积为_______．10.设等比数列的公比为q（0＜q＜1），前n项和为．若存在，使得，且，则m的值为_______．11.已知AB为圆的直径，点C，D为圆上两点（在AB两侧），且AC＝1，AD＝2， AB＝3，则的值为_______．12.已知函数为奇函数，则不等式的解集为_______．13.已知正数x，y，z满足，且z≤3x，则P＝的取值范围是_______．14.设命题p：“存在[1，2]，使得，其中a，b，c R．”若无论a，b取何值时，命题p 都是真命题，则c的最大值为_______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若平面向量，，，，且∥．（1）求cos A的值；（2）若tan B＝，求角C的大小．16.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，PA＝AC，PB＝PD＝AC，E是PD的中点，求证：（1）PB∥平面ACE；（2）平面PAC⊥平面ABCD．17.如图，已知AB为椭圆E：（a＞b＞0）的长轴，过坐标原点O且倾斜角为135°的直线交椭圆E于C，D两点，且D在x轴上的射影D'恰为椭圆E的长半轴OB的中点．（1）求椭圆E的离心率；（2）若AB＝8，不过第四象限的直线l与椭圆E和以CD为直径的圆均相切，求直线l的方程．18.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．19.已知函数，，．（1）求函数的极值点；（2）已知T(，)为函数，的公共点，且函数，在点T处的切线相同，求a的值；（3）若函数在(0，)上的零点个数为2，求a的取值范围．20.如果数列，，…，（m ≥ 3，）满足：①＜＜…＜；②存在实数，，，…，和d，使得≤＜≤＜≤＜…≤＜，且对任意0 ≤ i ≤m﹣1（I ），均有，那么称数列，，…，是“Q数列”．（1）判断数列1，3，6，10是不是“Q数列”，并说明理由；（2）已知k，t均为常数，且k＞0，求证：对任意给定的不小于3的正整数m，数列（n＝1，2，…，m）都是“Q数列”；（3）若数列（n＝1，2，…，m）是“Q数列”，求m的所有可能值．江苏省南通市海安县2020届上学期期中质量监测高三数学试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知全集U＝{0，2，4，6，8}，集合A＝{0，4，6}，则∁U A＝_______．【答案】{2，8}【解析】【分析】根据集合的补集的概念得到结果即可.【详解】在全集U中找出集合A中没有的元素就是答案，所以，∁U A＝{2，8}故答案为：{2，8}【点睛】这个题目考查了集合的补集的运算，较为简单.2.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模为_______．【答案】【解析】【分析】根据复数的除法运算得到，再由模长公式得到结果.【详解】z＝，所以，复数z的模为：故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.已知某民营车企生产A，B，C三种型号的新能源汽车，库存台数依次为120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取16台车进行安全测试，则应抽取B型号的新能源汽车的台数为_______．【答案】7【解析】【分析】根据分层抽样的比例计算得到结果.【详解】抽取的比例为：，所以，抽取B型号台数为：＝7故答案为：7.【点睛】本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.设实数x，y满足，则x＋y的最小值为_______【答案】2【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，由图像得到目标函数经过B点时取得最值.【详解】不等式组所表示的平面区域如图所示，当目标函数z＝x+y经过点B（1,1）时，x+y有最小值为：1+1＝2，故答案为：2.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

江苏省南通市启东市2019-2020学年高三上学期期中数学试题(解析版)

江苏省南通市启东市2019-2020学年高三上学期期中数学试题(解析版)

2019～2020学年第一学期期中素质调研测试高三数学（Ⅰ）试题参考公式：柱体的体积公式V ＝Sh ，其中S 为底面面积，h 为高；锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.已知集合{}21A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B =____．【答案】{}1,0- 【解析】 【分析】根据交集的定义可得出集合A B .【详解】{}21A x x =-<<，{}2,1,0,1,2B =--，因此，{}1,0A B ⋂=-.故答案为：{}1,0-.【点睛】本题考查集合交集的计算，主要考查对集合交集定义的理解，考查计算能力，属于基础题. 2.函数()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为____． 【答案】23【解析】 【分析】根据正弦型函数的周期公式可求出函数()y f x =的最小正周期. 【详解】由题意可知，函数()sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2233ππ=. 故答案为：23. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，解题时要熟悉正弦型函数周期公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3.“3x >”是“2320x x -+>”的____条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】解不等式2320x x -+>，根据集合的包含关系判断出两条件的充分不必要条件关系. 【详解】解不等式2320x x -+>，解得1x <或2x >. 因此，“3x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.【点睛】本题考查充分不必要条件关系的判断，同时也考查了一元二次不等式的解法，一般转化为集合的包含关系来处理，考查运算求解能力与推理能力，属于基础题.4.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos 2sin a B b A =，则cos B =______．【解析】 【分析】利用边角互化思想求出cos 2sin B B =，可得出cos 0B >，再结合22cos sin 1B B +=可求出cos B 的值. 【详解】cos 2sin a B b A =Q ，由正弦定理得sin cos 2sin sin A B B A =，sin 0A >，cos 2sin B B ∴=，又sin 0B >Q ，cos 0B ∴>， 由题意得22cos 2sin cos sin 1cos 0B B B B B =⎧⎪+=⎨⎪>⎩，解得cos 5B =.. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了同角三角函数基本关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题.5.记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，122a a +=，454a a +=，则96S S =_______． 【答案】73【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用已知条件求出3q 的值，再利用等比数列的求和公式可求出96S S 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得()()12134511214a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨+=+=⎪⎩， 上述两个等式相除得32q =，所以，()()()()9133939262636111112711123111a q q S q qS q a q q q-----=====-----. 故答案为：73. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.6.如图所示，长方体1111ABCD A B C D -的体积为24，E 为线段1B C 上的一点，则棱锥1A DED -的体积为______．【答案】4 【解析】 【分析】先证明出1//B C 平面11AA D D ，可得出三棱锥1E ADD -的高等于CD ，然后利用锥体的体积公式可求出三棱锥1E ADD -的体积.【详解】设矩形11AA D D 的面积为S ，CD h =，则长方体1111ABCD A B C D -的体积为24Sh =. 在长方体1111ABCD A B C D -中，平面11//BB C C 平面11AA D D ，1B C ⊂平面11BB C C ，1//B C ∴平面11AA D D ，1E B C ∈Q ，所以，三棱锥1E ADD -的高等于CD .1ADD ∆的面积为12S ，所以，三棱锥1E ADD -的体积为111112443266E ADD V S h Sh -=⋅⋅==⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，在解题时一般要找出合适的底面，并利用等体积法进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7.已知函数()1ln 2f x x x m =-+的最小值为1，则m =_____． 【答案】ln 2 【解析】 【分析】利用导数求出函数()y f x =的最小值，结合题中条件可求出实数m 的值. 【详解】函数()1ln 2f x x x m =-+的定义域为()0,∞+，且()11222x f x x x-'=-=， 令()0f x '=，得2x =.当02x <<时，()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在2x =取得极小值，亦即最小值，即()()min 21ln 21f x f m ==-+=，因此，ln 2m =.故答案为：ln 2.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，要熟悉函数的最值与导数的关系，考查计算能力，属于中等题.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x -=．若当01x ≤≤时，()2cos2xxf x π=-，则()2019f =_____. 【答案】2- 【解析】 【分析】利用题中定义推导出函数()y f x =的周期为4，然后利用周期性和奇函数的性质求出()2019f 的值. 【详解】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，()()()22f x f x f x =-=--Q ，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦.所以，函数()y f x =是以4为周期的周期函数，则()()()()1201945051112cos22f f f f π⎛⎫=⨯-=-=-=--=- ⎪⎝⎭. 故答案为：2-.【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，解题的关键就是利用题中定义推导出函数的周期，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9.若02πα-<<，1cos 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2=α______．【答案】9- 【解析】 【分析】 求出4πα-的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用二倍角的正弦公式可计算出cos 2sin 22παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值.【详解】02πα-<<Q ，3444πππα<-<Q，sin 04πα⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭因此，1cos 2sin 22sin cos 2244339πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：9-. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式求值，解题时要求出角的取值范围，考查运算求解能力，属于中等题.10.如图，在平面四边形ABCD 中，2CAD π∠=，2AD =，4AB BC CA ===，E 、F 分别为边BC 、CD的中点，则AE AF ⋅=______．【答案】6-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系xAy ，计算出AE 、AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出AE AF ⋅的值.【详解】以点A 为坐标原点，CA 、AD 分别为x 轴、y 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,1F -、(3,E -，()2,1AF ∴=-uu u r，(3,AE =-uu u r ，因此，()()(2316AE AF ⋅=-⨯-+⨯=uu u r uu u r.故答案为：6【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能力，属于中等题.11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线3y x =上，该曲线在点A 处的切线l 与x 轴交于点B ．若A C x⊥轴，垂足为C ，且BC 长为1，则切线l 的斜率为______．【答案】27 【解析】 【分析】 设点()3,A t t，利用导数求出直线l 的方程，可求出点B 的坐标，由题意得出点C 的坐标为(),0t ，利用题中条件求出t 的值，由此可得出切线l 的斜率. 【详解】设点()3,A t t，对于函数3y x =，则23y x'=，所以，切线l 的方程为()323y t t x t -=-，即2332y t x t =-，令0y =，得23t x =，则点B 的坐标为2,03t ⎛⎫⎪⎝⎭，易知点C 的坐标为(),0t ， 2133t tBC t =-==，得3t =，因此，切线l 的斜率为2233327t =⨯=.故答案为：27.【点睛】本题考查函数切线方程的应用，解题时要熟悉导数求切线方程的基本步骤，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()254,188,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，则不等式()()2f x f x +>的解集是_____．【答案】()(),03,-∞+∞U 【解析】 【分析】分21x x <+≤，12x x ≤<+、21x x +>>三种情况分类讨论，结合函数()y f x =的解析式解不等式()()2f x f x +>，可得出该不等式的解集.【详解】()254,188,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩.①当21x +≤时，即当1x ≤-时，由()()2f x f x +>，得()52454x x +->-，整理得100>，该不等式恒成立，此时，1x ≤-；②当121x x ≤⎧⎨+>⎩时，即当11x -<≤时，由()()2f x f x +>，得()()2282854x x x +-++>-，整理得290x x ->，解得0x <或9x >，此时10x -<<；③当1x >时，由()()2f x f x +>，得()()2f x f x +>，即()()22282888x x x x +-++>-+，整理得4120x ->，解得3x >，此时3x >.综上所述，不等式()()2f x f x +>的解集是()(),03,-∞⋃+∞. 故答案为：()(),03,-∞⋃+∞.【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，解题时要对自变量所满足的范围选择合适的解析式进行计算，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 13.若函数()()30,1xf x a xa a =->≠有两个不同的零点，则a 的取值范围是_______．【答案】3e 1,e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】令()0f x =，得出3x a x =，可得出0x >，在等式两边取自然对数得ln 3ln x a x =，可得出3ln ln xa x=，将问题转化为直线ln y a =与函数()3ln xg x x=的图象有两个交点，利用数形结合思想可得出ln a 的取值范围，可解出实数a 的取值范围.【详解】令()0f x =，得出30x a x =>，则0x >，在等式3x a x =两边取自然对数ln 3ln x a x =，可得出3ln ln x a x =，构造函数()3ln xg x x=， 则问题转化为直线ln y a =与函数()3ln xg x x=的图象有两个交点.()()231ln x g x x-'=，令()0g x '=，得x e =. 当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<.所以，函数()y g x =的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞.所以，函数()y g x =在x e =处取得极大值，亦即最大值，即()()max 3g x g e e==. 如下图所示，当30ln a e <<时，即当31e a e <<时，直线ln y a =与函数()3ln xg x x=的图象有两个交点，即函数()3xf x a x =-有两个不同的零点，因此，实数a 的取值范围是31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：31,ee ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数问题，在含单参数的函数零点个数问题，一般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问题，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 14.如图，在ABC ∆中，D 、E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅，则cos B 的最小值为_________．【解析】 分析】用BA 、BD 表示AC 、AD 、AE ，然后利用2AB AD AC AE ⋅=⋅，利用平面向量的数量积的运算律以及数量积的定义得出cos B 的表达式，然后利用基本不等式可求出cos B 的最小值.【详解】D Q 、E 是BC 上的两个三等分点，3A C B C B A B D B A ∴=-=-uuu r uuu r uur uuu r uur ，AD BD BA =-uuu r uu u r uu r，2AE BE BA BD BA =-=-uu u r uur uu r uu u r uu r ，()2AB AD BA BD BA BA BA BD ⋅=-⋅-=-⋅uu u r uuu r uu r uu u r uu r uu r uu r uu u r ，()()223265AC AE BD BA BD BA BD BD BA BA ⋅=-⋅-=-⋅+uuu r uu u r uu u r uu r uu u r uu r uu u r uu u r uu r uu r ，2AB AD AC AE ⋅=⋅uu u r uuu r uuu r uu u r Q ，即22212102BA BA BD BD BD BA BA -⋅=-⋅+u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r ，221299cos BA BD BD BA BD BA B ∴+=⋅=⋅⋅uu r uu u r uu u r uu r uu u r uu r，可得2212cos 9BA BD B BA BD +=⋅uu r uu u r uu r uu u r ，由基本不等式得1211cos 999BA BD B BD BA ⎛⎫ ⎪=+≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭uu r uu u r uu u r uu r. 因此，cos B 的.. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算夹角余弦值的最值，考查了利用基本不等式求最值，解题的关键就是找出合适的基底表示向量，并根据题中条件建立代数式求解，考查运算求解能力，属于中等题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，E 为棱PD 的中点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠=o ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，可得出点O 为BD 的中点，由中位线的性质得出//OE PB ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出//PB 平面AEC ；（2）由90PAB ∠=o ，可得出PA AB ⊥，由平面与平面垂直的性质定理可得出PA ⊥平面ABCD ，再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面PAC ⊥平面ABCD ． 【详解】证明：（1）连BD ，交AC 于点O ，连OE.因为底面ABCD 是平行四边形，所以O 为BD 的中点， 因为E 为棱PD 的中点，所以//OE PB ，又因为OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ； （2）90PAB ∠=o Q ，PA AB ∴⊥，因为平面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PA ⊂平面PAB ， 所以PA ⊥平面ABCD ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD .【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明，在遇到平面与平面垂直时，一般利用平面与平面垂直的性质定理转化为直线与平面垂直，考查推理能力，属于中等题.16.已知3a x π⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎭r ，()sin ,1b x =r ，5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. （1）若a =r ，求cos2x 的值；（2）求函数()f x a b =⋅的单调区间和值域．【答案】（12）单调增区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调减区间5π2π,63⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．值域为[1,0]-．【解析】 【分析】（1）利用平面向量的模长公式以及二倍角余弦公式可求出2cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值，并求出223x π+的值，利用同角三角函数的基本关系求出2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值，然后利用两角差的余弦公式可求出cos2x 的值； （2）利用两角和余弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦计算出2,063x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由2,632x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦、,062x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦可分别求出函数()y f x =在区间5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间和递增区间，利用正弦函数的性质可得出函数()y f x =的值域.【详解】（1）因为a =r ，所以2103cos 33x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即21cos 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以221cos 22cos 1333x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因为5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以22,33x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 因为2cos 203x π⎛⎫+<⎪⎝⎭，所以22,32x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，所以2sin 23x π⎛⎫+=== ⎪⎝⎭ 所以222222cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11132326-⎛⎫=-⨯--=⎪⎝⎭； （2）因为()cos cos cos sin sin 333f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos cos sin 226x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为5,66x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以2,063x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 当2,632x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，即52,63x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =单调递减； 当,062x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，即2,36x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =单调递增； 故函数()y f x =的单调增区间2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调减区间52,63ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 由于[]sin 1,06x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =的值域为[]1,0-． 【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，同时也考查了三角函数在定区间上的单调区间和值域问题，一般利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17.已知函数()()0,1,0,1xxf x a ba ab b =+>≠>≠是偶函数．（1）求ab 的值；（2）若()()lg 1f x f <，求x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）1,1010⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）由函数()y f x =为偶函数，结合定义()()0f x f x --=，得出10x x a b -=对任意的x ∈R 恒成立，由此可得出ab 的值；（2）设1a >，利用函数单调性的定义证明出函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，再由偶函数的性质，由()()lg 1f x f <可得出()()lg 1f x f <，利用函数()y f x =在[)0,+∞上为增函数，得出lg 1x <，解出该不等式即可.【详解】（1）因为()y f x =是偶函数，所以对任意实数x ，有()()0f x f x --=， 即()()()()()()11x x xxxxxxx xxx x a b f x f x a b a b a b a b a b ab --+--=+-+=+--=+-()()()10x x x x ab a b ab ⎡⎤-+⎣⎦==，所以()()10xx x ab a b ⎡⎤-+=⎣⎦对任意实数x 成立， 因为0x a >，0x b >，所以()10xab -=，即()1xab =对任意实数x 成立，所以1ab =； （2）由（1）知1b a =，此时()1xx f x a a=+， 因为0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，故不妨设1a >，任取120x x ≤<， 则()()()12121212121111x x x x x x x x f x f x a a a a a a aa ⎛⎫-=+--=-+- ⎪⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x a a a a a a a a a+++---=-+=. 因为120x x ≤<，1a >，所以121x x a a <≤， 所以120-<x x a a ，121x x a +>，则1210x x a +->， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，又因为函数()y f x =是R 上的偶函数，()()lg 1f x f <Q ，则()()lg 1f x f <， lg 1x ∴<，即1lg 1x -<<，解得11010x <<.因此，不等式()()lg 1f x f <的解集为1,1010⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、同时也考查了利用函数的单调性解不等式，解题时可充分利用偶函数的性质()()f x fx =，可简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.18.如图，某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45，沿倾斜角为α（其中1tan 2α=）后到达D到达山顶B ．（1）求山的高度BE ；（2）现山顶处有一塔38CB km =．从A 到D 的登山途中，队员在点P 处测得塔的视角为()CPB θθ∠=．若点P 处高度PF 为xkm ，则x 为何值时，视角θ最大？【答案】（1）3km ；（2）当34x km =时，视角θ最大. 【解析】 【分析】（1）解法一：计算出cos BAD ∠的值，然后在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M ，利用锐角三角函数的定义求出AB ，然后在ABE ∆中利用锐角三角函数可求出BE ；解法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，计算出DG 、AG ，设BE h =，可得出1BH h =-，2DH h =-，由勾股定理222BD BH DH =+可解出h 的值，即可得出山高；（2）过P 作PM BE ⊥于M ，计算出tan CPM ∠和tan BPM ∠，利用两角差的正切公式()tan tan CPM BPM θ=∠-∠可得出tan θ关于x 的表达式，通过化简后利用基本不等式可求出tan θ的最大值，利用等号成立求出x 的值，即可得出该问题的解答. 【详解】（1）法一：因为1tan2α=，α是锐角，所以sin α=，cos α=，所以cos cos cos cos sin sin444BAD πππααα⎛⎫∠=-=+=⎪⎝⎭10=， 在ABD ∆中，过D 作DM AB ⊥，垂足为M .因为AD BD ==22cos AB AM AD BAD ==∠==在ABE ∆中，cos 453BE AB ==o ，所以山的高度为3km ； 法二：过D 作DG AE ⊥于点G ，过D 作DH BE ⊥于点H ，在ADG ∆中，DAG α∠=，1tan2α=，所以sin α=，cos α=，所以sin 1DG AD α===，cos 2AG AD α===. 设BE h =，在直角BDH ∆中，1BH h =-，2DH h =-，由于222BD BH DH =+，所以()()22212h h =-+-因为0h >，所以3h =，所以山的高度为3km ；（2）过P 作PM BE ⊥于M ，因为PF x =，所以2AF x =，因为P 在AD 上，1DG =，所以[]0,1x ∈，所以3tan 32BM x BPM PM x -∠==-，327388tan 3232x xCM CPM PM x x+--∠===--. 所以()tan tan tan tan 1tan tan CPM BPM CPM BPM CPM BPMθ∠-∠=∠-∠=+∠∠()()273383232827273388132323232xx x x x x x x x x x x-----==⎛⎫--- ⎪-⎝⎭+⋅-+---，[]0,1x ∈.令[]321,3t x =-∈，所以322tx -=，则3628tan 15392954278222t t t t t tθ==≤=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+. 当且仅当94t t=，即[]31,32t =∈时，即34x =时tan θ取得最大值229.所以，当34x km =时，视角θ最大.【点睛】本题考查解三角形中测量高度问题，同时也考查了利用基本不等式来求角的最值，解题的关键在于建立关系式，并对代数式进行化简变形，考查运算求解能力，属于中等题.19.已知函数()()22ln xae f x x a R x x=+-∈．（1）当0a =时，求()f x 的极值；（2）若()f x 在区间()0,2内有两个极值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值ln21+，无极大值；（2）221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，求出导数()f x '，解导数方程()0f x '=，然后列表分析函数()y f x =的单调性，可得出函数()y f x =的极值；（2）求出导数()()()2xx ae x f x x='--，构造函数()xg x x ae =-，问题转化为函数()y g x =在区间()0,2上有两个零点，对参数a 进行分类讨论，利用导数分析()y g x =在区间()0,2上的单调性与极值，根据题意得出关于a 的不等式组，解出即可. 【详解】（1）因为0a =，所以()2ln f x x x=+， 所以()22122x f x x x x='-=-，令()0f x '=得2x =．列表如下：因此，当2x =时，()y f x =有极小值()2ln 21f =+，无极大值；（2）因为()()()()2332212x x x ae x ae x f x x x x x---='=-- 由02x <<，得320x x-<，记()xg x x ae =-，()0,2x ∈， 因为()y f x =在区间()0,2内有两个极值点，所以()y g x =在区间()0,2内有两个零点，所以()1xg x ae ='-且0a >，令()0g x '=，则ln x a =-.①当ln 0a -≤，即1a ≥时，()0g x '<，所以()y g x =在()0,2上单调递减，至多与x 轴有一个交点，不满足题意；②当ln 2a -≥，即210a e<≤时，()0g x '>，所以()y g x =在()0,2上单调递增，至多与x 轴一个交点，不满足题意；； ③当0ln 2a <-<时，即211a e <<时，()y g x =在()0,ln a -上单调递增，在()ln ,2a -上单调递减. 由()00g a =-<，要使()y g x =在区间()0,2内有两个零点，必须满足()()()max 2ln ln 10220g x g a a g ae ⎧=-=-->⎪⎨=-<⎪⎩，解得221a e e <<， 综上所述，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题关键就是将极值点转化为函数的零点来处理，在求解时可以利用分类讨论思想以及参变量分离法求解，考查化归与转化思想，属于中等题.20.数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．已知对任意的N n *∈，存在实数p 、q 满足2n n S pa qn =+．（1）若2n a n =，求p 、q 的值；（2）若1a 、2a 、3a 成等差数列，求证：数列{}n a 是等差数列． 【答案】（1）1,14p q ==.（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，然后由条件2n nS pa qn =+可求出p 、q 的值； （2）设数列1a 、2a 、3a 的公差为0d ≥，由21122233223S pa qS pa q S pa q⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩经过变形后得出0p =或1a d =，然后分0p =和1a d =两种情况讨论，结合等差数列的定义证明出数列{}n a 是等差数列. 【详解】（1）因为2n a n =，所以()2222n n n S n n +==+， 代入2n nS pa qn =+得，224n n pn qn +=+， 因为上式对N n *∈恒成立，所以411p q =⎧⎨=⎩，因此，14p =，1q =；（2）因为1a 、2a 、3a 成等差数列，设公差为0d ≥，则21122233223S pa qS pa q S pa q ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩，即 ()()()()()211211211223323a pa q i a d p a d q ii a d p a d q iii ⎧=+⎪⎪+=++⎨⎪+=++⎪⎩， ()()2ii i -⨯，()()3iii i -⨯得()()()()2211221123244d p a da d iv d p a da d v ⎧=-++⎪⎨=-++⎪⎩， ()()3v iv -⨯得，()221120p a a d d -+=，所以0p =或1a d =，1°当0p =时，n S qn =，所以n a q =，所以10n n a a +-=， 所以{}n a 是以q 为首项，0为公差的等差数列； 2°当1a d =时，则0d >，代入()iv ，()i 得，12p d =，2dq =， 所以2122n n d S a n d =+，()2111122n n d S a n d ++=++，两式相减得222112n n n da a a d ++=-+， ()2210n n a d a +∴--=，即()()110n n n n a a d a a d +++---=，所以1n n a a d ++=或1n n a a d +-=，因为10a d =>，1a 、2a 、3a 成等差数列，所以22a d =，33a d =，下面证明1n n a a d +-=对N n *∈恒成立， 假设1n n a a d ++=成立的最小n 值为k ，即1k k a a d ++=，显然3k ≥， 又1k k a a d --=，两式相减得，110k k a a +-+=，这与0n a >，N n *∈ 矛盾，因此，1n n a a d +-=，N n *∈，所以{}n a 是以d 为首项d 为公差的等差数列. 综合1°2°，数列{}n a 是等差数列．【点睛】本题考查等差数列前n 项和的求解，同时也考查了利用n S 与n a 的递推公式证明等差数列，在证明时应充分利用等差数列的定义来证明，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.附加题.21.在空间直角坐标系O xyz -中，()0,0,0O ，()1,0,0A ，()1,2,0B ，()0,1,2C ，点P 满足AP AC λ=u u u ru u u r．（1）求点P 的坐标（用λ表示）； （2）若OP BC ⊥，求λ的值． 【答案】（1）(1,,2)λλλ-．（2）14λ=． 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出AC 的坐标，结合等式AP AC λ=u u u r u u u r可得出AP 的坐标，再利用OP OA AP=+uu u r uu r uu u r 可求出点P 的坐标；（2）计算出BC 的坐标，由OP BC ⊥，得出0OP BC ⋅=uu u r uu u r，利用空间向量数量积的坐标运算可得出关于实数λ的等式，解出即可得出实数λ的值.【详解】（1）因为()1,0,0A ，()0,1,2C ， 所以()1,1,2AC =-uu u r， 因为(),,2AP AC λλλλ==-uu u r uu u r，所以()()()1,0,0,,21,,2OP OA AP λλλλλλ=+=+-=-uu u r uu r uu u r，所以点P 的坐标为()1,,2λλλ-；（2）因为()1,1,2BC =--uu u r ，OP BC ⊥，所以0OP BC ⋅=uu u r uu u r，即()11122410λλλλ-⨯--⨯+⨯=-=，解得14λ=． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了利用空间向量处理直线与直线的垂直关系，考查计算能力，属于基础题.22.确定函数()cos24cos f x x x =+，()0,2x π∈的单调区间．【答案】单调增区间为(),2ππ，单调减区间为()0,π． 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的导数()()4sin cos 1f x x x =-+'，在()0,2x π∈上分别解不等式()0f x '>和()0f x '<，可得出函数()y f x =在区间()0,2π上的单调递增区间和单调递减区间.【详解】()cos24cos f x x x =+，()()2sin 24sin 4sin cos 1f x x x x x ∴=--=-+'，()0,2x π∈，则1cos 1x -≤<，则0cos 12x ≤+<.令()0f x '>，则sin 0x <，又()0,2x π∈，所以2x ππ<<； 令()0f x '<，则sin 0x >，又()0,2x π∈，所以0πx <<．因此，函数()y f x =的单调增区间为(),2ππ，单调减区间为()0,π．【点睛】本题考查利用求导数函数的单调区间，同时也考查了简单复合函数的导数，解题时要熟悉导数符号与单调区间之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.23.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==（1）求二面角11D AC B --余弦值；（2）试问线段11A B 上是否存在点E ，使得直线//DE 平面1ACB ？若存在，求线段1A E 的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）10（2）线段11A B 上不存在点E ，使直线//DE 平面1ACB ，理由见解析 【解析】 【分析】（1）以A 为坐标原点，AC 、AB 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出二面角11D AC B --的余弦值；（2）设()101A E a a =≤≤，求出点E 的坐标，由//DE 平面1ACB ，可得出DE 与平面1ACB 的法向量垂直，转化为两向量数量积为零求出a 的值，即可判断出点E 是否存在.【详解】（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，因为AB AC ⊥，所以，以A 为坐标原点，AC 、AB 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.依题意可得()0,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,0C ，()1,2,0D -，()10,0,2A ，()10,1,2B ，()12,0,2C ，()11,2,2D -．设(),,m x y z =为平面1ACB 的法向量，则100m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩.因为()10,1,2AB =，()2,0,0AC =，所以2020y z x +=⎧⎨=⎩.不妨设1z =，可得()0,2,1m =-．设()111,,n x y z =为平面1ACD 的法向量，则100n AD n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩.因为()11,2,2AD =-，()2,0,0AC =，所以111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设11z =，可得()0,1,1n =．所以cos ,5m n m n m n ⋅===⋅⨯． 由图知，二面角11D AC B --为锐角，所以二面角11D AC B --； （2）假设线段11A B 上是否存在点E ，使得直线//DE 平面1ACB ，则0DE m ⋅=uuu r u r，设()101A E a a =≤≤，则()0,,2E a ，()1,2,2DE a =-+． 所以()2220DE m a ⋅=-++=，所以1a =-，不合题意，故舍去 所以，线段11A B 上不存在点E ，使直线//DE 平面1ACB .【点睛】本题考查利用空间向量法求二面角的余弦值，同时也考查了利用空间向量法处理线面平行的存在性问题，一般转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，考查计算能力，属于中等题.24.已知1x >，()111n n n x S x x +-=+，()()()112n n x T x +-=，N n *∈．（1）比较()2S x 与()2T x 的大小； （2）比较()n S x 与()()n T x n N*∈大小，并加以证明．【答案】（1）()()22S x T x <；（2）()()n n S x T x ≤，N n *∈，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用作差法可得出()2S x 与()2T x 的大小关系；（2）猜想()()n n S x T x ≤，N n *∈，利用分析法可得知要证()()11112n n n n x x x x -++++++≤L ，N n *∈，然后利用数学归纳法证明出即可，即可证明()()(),1n n S x T x n N x *≤∈>.【详解】（1）()()()()()()()3232222213113111221x x x x x S x T x x x ---+---=-=++()()()()()()()()()2232222121311*********x x x x x x x x x x x ⎡⎤-++-+--+--⎣⎦===-+++.因为1x >，所以()()321021x x --<+，所以()()220S x T x -<，所以()()22S x T x <；（2）结论：()()n n S x T x ≤，N n *∈，证明如下：要证()()n n S x T x ≤，N n *∈，只要证()()111112n n n x x x ++--≤+，N n *∈. 只要证()()()()1111112n n n x x x x n x x --+++++-≤+L，N n *∈.因为1x >，所以只要证()()11112n n n n x x x x -++++++≤L ，N n *∈（i ）.下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，（i ）式成立；②假设当n k =时，（i ）式成立，即有()()11112k k k k x x x x -++++++≤L ，则当1n k =+时，（i ）式左边()()111112k kk k k x x x xx ++++=++++≤+L ，而此时（i ）式右边()()1212k k x +++=，所以只要证()()()()11112122k k k k x k x x +++++++≤，只要证()1110k k kxk x +-++≥（ii ），令()()111k k f x kx k x +=-++，1x >，k *∈N ，因为()()()()()1111110kk k f x k k x k k x k k x x --'=+-+=+->，所以()y f x =在()1,+∞上单调递增，所以()()10f x f >=， 故（ii ）式成立.这就是说，当1n k =+时，（i ）式也成立，综合①②可知（i ）式成立，所以()()n n S x T x ≤，N n *∈成立，得证.【点睛】本题考查数列不等式的证明，一般利用数学归纳法来证明，在证明时也可以结合分析法与导数来证明，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.。

江苏省2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

江苏省2020届高三数学上学期期中试题(含解析)

高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．本试题由填空题和解答题两部分组成，满分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的校名、班级、姓名、学号填写在答题纸上规定的地方． 3．所有试题的答案均书写在答题纸指定的答题位置上，否则答题无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案写在答题卷对应栏目） 1.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，若A B A ⋃=，则m =________． 【答案】0或3 【解析】 【分析】由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，可得出m ＝3或m m =，即可求出m 的值．【详解】∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ， ∴m ＝3或m m =，解得：m ＝0或3或1（舍去）． 故答案为：0或3【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验2.已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________. 【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3.已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若()11f -=，则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．【答案】[2,4] 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1，解可得x 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，若f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝1，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f （x ﹣3）≤1，即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1），则有﹣1≤x ﹣3≤1， 解可得2≤x ≤4，即x 的取值范围是[2，4]； 故答案为：[2,4]．【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式．4.已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=________．【答案】35 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值，代入所求的式子化简求值即可． 【详解】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=7a 4＝35，故答案为：35．【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题． 5.设()f x 是周期为1的偶函数，当01x ≤≤时，()4(1)f x x x =-，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论．【详解】∵f （x ）是周期为1的偶函数， ∴f （92-）＝f （92-+4）＝f （12-）＝f （12）， ∵当0≤x ≤1时，f （x ）＝4x （1﹣x ），∴f （12）＝412⨯（112-）1=， 故f （92-）1=，故答案为：1【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．6.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于________． 【答案】8 【解析】 【分析】 函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【详解】f （x ）的周期T 2πω=，函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期， 所以4π=k •2πω，k ∈Z ．令k ＝1，可得ω＝8．故答案为：8．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型． 7.已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝3，则cos2α＝________． 【解析】2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23. ∵α为第二象限角且， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k∈Z)，∴2α为第三象限38.已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题： ①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1nn a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断． 【详解】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n nn n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列； 11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．9.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．【答案】(,2)(2,)-∞-+∞ 【解析】 【分析】求出f （x ）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c 的范围． 【详解】f ′（x ）＝3x 2﹣3 ＝3（x ﹣1）（x +1），f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减， ∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，， 函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0， 解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞【点睛】本题考查导数运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．10.已知在正四棱锥S ABCD -中，若SA =________． 【答案】【解析】 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．【详解】设底面边长为a ，则高h ==，所以体积V 13=a 2h = 设y ＝24a 412-a 6，则y ′＝96a 3﹣3a 5，当y 取最值时，y ′＝96a 3﹣3a 5＝0，解得a ＝0或a＝时，当a ''0;00y a y ><<<>,则a＝此时h ==故答案为：【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题．11.若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是_____. 【答案】4π 【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值．【详解】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x）4x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]， 由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴4a π≤．则a 的最大值是4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．12.已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________．【答案】3- 【解析】 【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可 【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为：3-【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13.已知圆O 的半径为2，若PA 、PB 为该圆的两条切线，其中A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值________． 【答案】12-+【解析】 【分析】结合切线长定理，设出PA ，PB 的长度和夹角，并将PA •PB 表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【详解】如图所示：设OP ＝x （x ＞0），则PA ＝PB ，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，sinα2x=，PA •PB=|PA |•|PB |cos2α24x =-•24x -（1﹣2sin 2α）＝（x 2﹣4）（128x -）＝x 2232x+-12≥82-12， ∴当且仅当x 242=时取“＝”，故PA •PB 的最小值为82-12 故答案为：1282-+．【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 14.设函数()2xxf x a ax -=--（a e >且a 为常数，其中e 为自然对数的底数），则不等式1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是________．【答案】10,[,)e a⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可 【详解】()()+2=xx f x a a x f x --=--，故函数为奇函数又()()()'ln 22ln 22ln 20x x xxfx a a a a a a a --=+-≥=->故函数()2xxf x a a x -=--为增函数，1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭等价为()1log 10a x e f x f ≥⎧⎪⎛⎫⎨-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 或()10log 10ax ef x f <<⎧⎪⎛⎫⎨-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1x e x a≥≤或0<，故不等式1()log 10a x e fx ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，且13AE EB =．（1）求证：DE 平面1A BC ； （2）求证：DE CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得1DE A B ∥即可证明（2）作CF ⊥AB ，F 为垂足，证明DE ⊥面FCD,能证明DE ⊥CD ． 【详解】（1）∵几何体111ABC A B C -为直三棱柱， ∴四边形11AA B B 为矩形．设11A B AB O ⋂=，则点O 为1AB 的中点， 又∵13AE EB =，∴1111142EB AB OB ==，即点E 为1OB 的中点， 又∵D 为1BB 中点，∴在1B OB ∆中，由三角形中位线定理得1DE A B ∥又∵1A B ⊂平面1A BC ，DE ⊄平面1A BC ， ∴DE 平面1A BC ．（2）作CF ⊥AB ，F 垂足，因为AC BC =，故F 为中点，则1DF A B ∥直三棱柱111ABC A B C -，故面ABC ⊥面ABB 1 A 1， 则CF ⊥面ABB 1 A 1，CF DE ⊥因为ABB 1 A 1为正方形，故A 1B ⊥1A B ，又1DF A B ∥，,DF DE CF FD F DE ∴⊥⋂=∴⊥，面FCD, 故DE CD ⊥【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．（1）求边AD 的长；（2）若ABC ∆的面积为480，求角C 的值． 【答案】（1）25AD =（2）90︒∠=C 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得4in 5s ADC ∠=，3os 1c 12B =进而求得33sin sin()65BAD ADC B ∠=∠-=，再利用正弦定理求解即可 （2）由正弦定理求52AB =，利用面积求得48BC =，再利用余弦定理和勾股定理求解即可 【详解】（1）由3cos 5ADC ∠=，得24sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角， 即角B 为锐角，由5sin 13B =，得212cos 1sin 13B B =-=则33sin sin()sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠= 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠， 即335331365AD =，解得25AD =， （2）在ADB ∆中，4sin sin()sin 5ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=， 由正弦定理得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB = 由ABC ∆的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =即15DC BC BD =-=由余弦定理得，20AC ==．在ADC ∆中，222625AD AC DC =+=， 则由勾股定理的逆定理可知，90︒∠=C【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题17.已知函数()()4232314f x ax a x x =-++．（1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围． 【答案】（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）当16a =时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，则()()()2413310f x x ax ax +'=--≥在(1,1)-上恒成立，从而23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即刻求解实数a 的取值范围． 试题解析：（1）()()()241331f x x ax ax '=-+-，当16a =时，()()()2221f x x x =+-'，()f x 在(),2-∞-内单调减，在()2,-+∞内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值． 所以()212f -=-是()f x 的极小值．（2）由（1）知，()()()241331f x x ax ax '=-+-，∵()f x 在()1,1-上是增函数，∴()0f x '≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立， ①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-，即()()10{10g g -≤≤，即10{610a -≤-≤，解得：16a ≤， 又0a >，∴106a <≤， ③当0a <时，即2133x x a+≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即()2min 133x xa +≥，()1,1x ∈-，而当12x =-时，()2min 3334x x +=-， ∴314a -≥，解得：403a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围是41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．18.已知{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-．（1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）设22n nnc a b =-，记1nn ni S c==∑，证明：26n n S c ≤+<．【答案】（1）证明见解析（2）1122nn a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-两式相加减即可证明 （2）由（1）解方程组得{}n a 和{}n b 的通项公式 （3）利用错位相减求得1nn ni S c==∑，结合数列单调性即可证明【详解】（1）1434n n n a a b +-=+（其中*n N ∈），①1434n n n b b a +-=-（其中*n N ∈），②由①与②相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，故{}n n a b +是以1为首项12为公比的等比数列由①与②相减得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即()()112n n n n a b a b ++---=（其中*n N ∈），又11101a b +=+=， 则数列{}n n a b -是以1为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，1112n n n a b -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），③1(1)221n n a b n n -=+-⨯=-（其中*n N ∈），④③+④得，11121112222n nn n a n -⎛⎫⨯+- ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⎪⎝⎭， 即1111222n nn n b a n -⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（*n N ∈）， （3）()()1221(21)2n n n n n n n n c a b a b a b n -⎛⎫=-=+-=-⋅ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），1221111111135(23)(21)22222n n nn n i S c n n --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1231111111135(23)(21)222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上下两式错位相减得123111111112222(21)222222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1221111111(21)22222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1111121(21)12212n nn S n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭-，也即31116(21)22n n n S n --⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又11(21)2n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即3162n n n S c -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），又因为函数31()62n n n f n S c -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈）为单调递增函数，则31(1)662n n n f S c -⎛⎫≤+=-< ⎪⎝⎭，即26n n S c ≤+<【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19.如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围．【答案】（1）乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）（2）3916,2⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可 （2）讨论乙运动到AB,BC,CD 时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 的表达式，求函数最值，列不等式求解即可【详解】（1）如图．过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．因为四边形ABCD 为直角梯形，所以四边形EBCD 为矩形，则16BC ED ==，6EB CD ==， 又在直角三角形ABE 中，228AE AB BE =-=，即24AD AE ED =+=则由题意得，甲从A 地出发匀速前往D 地所需时间为24212t ==甲（小时）， 乙从A 地出发匀速前往D 地所需时间为32t v=乙（小时）， 由题意可知14t t -≤甲乙，即32124v -≤，解得12812897v ≤≤， 所求乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）．（2）设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 千米，由于乙先于甲到达D 地，所以3224012v -<，解得16v >， ①当010vt <≤时，即100t v<≤时，222296()(12)()212cos 1445f t t vt t vt BAE v v t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯∠=-+ ⎪⎝⎭因为29614405v v -+>，所以当10t v =时，()f t 取得最大值，且22max109610()1445f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得222max9610()144105f t v v v ⎛⎫⎛⎫=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得152v ≥，②当1026vt <≤时，即1026t v v<≤时， 22222()(10812)6(12)3612f t vt t v t v ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪-⎝⎭，因为16v >，所以21012v v <-，则当26t v=时，()f t 取得最大值， 且222max26262()(12)361012f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫==--+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤ ③当2632vt <≤时，即2632t v v<≤时， ()2222222()(10166)(81612)(3232=1)(24441)22f t vt t vt v t t v t ⎛⎫-+- =++-+⎪⎝⎭+-=-+-，因为16v >，所以3232216t v =<=， 则函数()f t 在区间2632,v v ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即当26t v =时，()f t 取得最大值，且222max261226()(3226)2410f t f v v ⨯⎛⎫⎛⎫==-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤， 由①②③同时成立可得153922v ≤≤，又因为16v >，所以39162v <≤即所求乙的速度v 的取值范围为3916,2⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题 20.设函数1()1x f x e=-，函数()f x '为()f x 的导函数． （1）若x ∀∈R ，都有()()f x mf x n '=+成立（其中,m n ∈R ），求m n +的值； （2）证明：当1x >-时，1()11f x x +≥+； （3）设当0x ≥时，11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0m n +=（2）证明见解析（3）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求导()xf x e '-=，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明1()11f x x +≥+等价证明1x e x ≥+，构造函数求最值即可证明 （3）讨论110,0,0,22a a a a =><≤>，11()(1)f x a ax a +≤+恒成立，转化为证明(1)()x x f x ≤+，构造函数()()()h x axf x f x x =+-，求导求最值，证明当0a <时不成立，当102a <≤时，利用（2）放缩证明h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数即可求解，当12a >时，构造函数，证明不成立即可求解【详解】（1）()1xf x e -=-，则()xf x e'-=因为x R ∀∈，()()f x mf x n '=+即1x x e me n ---=+恒成立（其中,m n R ∈），则1m =-，1n =，即110m n +=-+=，且()()1f x f x '=-+ （2）当1x >-时，要证1()11f x x +≥+即证1x e x ≥+， 令()1xg x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x ≥时，()0g x '≥，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 当0x ≤时，()0g x '≤，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则当0x =时，min ()(0)0g x g ==，即当x ∈R 时，()(0)g x g ≥，也即1x e x ≥+， 所以当1x >-时，1()11f x x +≥+ （3）当0a =，本题无意义，11()(1)f x a ax a+≤+显然不成立，所以0a =不合题意， 当0a ≠时，11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，由题设0x ≥，此时有()0f x ≥， 当0a <时，若1x a >-，则有01x ax <+，此时()1x f x ax ≤+不成立，即11()(1)f x a ax a+≤+不成立，所以0a <不合题意，当0a >时，令()()()h x axf x f x x =+-， 则11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，即当且仅当()0≤h x ，()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，又由（1）得()()1f x f x '=-+，即()1()f x f x '=-，代入上式得：()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-，①当102a <≤时，由（2）知1()11f x x +≥+，即(1)()x x f x ≤+， 则()()()()()()(1)()()h x af x axf x ax f x af x axf x a x f x f x '=-+-≤-++-(21)()0a f x =-≤，此时函数h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则()(0)0h x h ≤=，即11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，此时符合题意，②当12a >时，令()()1x r x x f x x e -=-=-+，则1()1x xxe r x e e '--=-=，又0x ≥，则1()0x xe r x e'-=≥，即函数()r x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 即()(0)0r x r ≥=，也即()x f x ≥，则()()()()()()()()h x af x axf x ax f x af x axf x af x f x '=-+-≥-+-(21)()a ax f x =--当210a x a -<<时，有()0h x '>，即函数()h x 在区间210,a a -⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数，所以()(0)0h x h >=，即11()(1)f x a ax a +>+，所以12a >不合题意，综上可得，所求实数a 的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用导数证明不等式，考查分类讨论思想，考查放缩法的合理利用，考查转化化归能力，合理构造函数是关键，是难题1、在最软入的时候，你会想起谁。

2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题(解析版)
故答案为：4 【点睛】 本题考查集合的交集，是基础题.
2．若复数 z 满足 1 i z 2(i 为虚数单位)，则 z ________________.
【答案】 2
【解析】将
1
i
z
2
变形为
z
1
2
i
，再由商的模等于模的商求解即得.
【详解】
由题得， z 2 ，则有 1i
z
2 1i
2 1i
2 12 12
2.
故答案为： 2
【点睛】 本题考查复数的乘除运算和模的计算公式，是基础题.
3．命题“ x R ，使得 xsinx 1 0 ”的否定是________________. 【答案】 x R ,都有 xsinx 1 0
【解析】根据特称命题的否定是全称命题即得. 【详解】
由题得， “ x R ”的否定是“ x R ”，“使得 xsinx 1 0 ”的否定是“ xsinx 1 0 ”， 命题“ x R ，使得 xsinx 1 0 ”的否定是： x R ,都有 xsinx 1 0 . 故答案为： x R ,都有 xsinx 1 0
确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间 a,b 上是单调
的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式 f ' x 0
或 f ' x 0 恒成立问题求参数范围，
10．已知非零向量 a, b 的夹角为 3
，c
a kb
，则
a c
的最大值为________________.
1 ，故 C
2
.
故答案为：
2
【点睛】
本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.

2020-2021学年江苏省南通中学高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年江苏省南通中学高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（理科）试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= ．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是．3．（5分）函数y=的定义域为．4．（5分）若角α的终边经过点P（a，2a）（a＜0），则cosα= ．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是．6．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么= （用和表示）7．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是．8．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为．9．（5分）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．16．（14分）设公差不为零的等差数列{a n}的前5项的和为55，且a2，﹣9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设数列b n=，求证：数列{b n}的前n项和S n＜．17．（14分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）设矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求 A﹣1，B．22．（10分）设矩阵A=，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数，θ∈R），直线l：（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．2020-2021学年江苏省南通中学高三（上）期中考试数学（理科）试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则∁A B= {3} ．【分析】根据题意，由A∩B=B分析可得B⊆A，结合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由集合补集的定义，计算可得答案、【解答】解：根据题意，若A∩B=B，则必有B⊆A，而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，分析可得a=2，即B={2，4}，则∁A B={3}，故答案为：{3}．【点评】本题考查集合之间包含关系的运用，关键是由A∩B=B分析得到B是A的子集．2．（5分）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是∀x∈R，x2﹣x+1＞0 ．【分析】根据特称命题的否定规则：将量词改为任意，结论否定，即可得到其否定．【解答】解：将量词改为任意，结论否定，可得命题“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定是：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”故答案为：“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是掌握特称命题的否定规则，属基础题．3．（5分）函数y=的定义域为（0，1] ．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：log0.2x≥0，解得：0＜x≤1，故函数的定义域是（0，1]，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）若角α的终边经过点P（a，2a）（a＜0），则cosα= ．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，【解答】解：由于a＜0，角α的终边经过点P（a，2a），则x=a，y=2a，r=|OP|=﹣a，∴cosα==．故答案为：．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项的和，若a3+2a6=0，则的值是 2 ．【分析】由已知利用等比数列的通项公式可求q3，然后利用等比数列的求和公式化简==，代入即可求解．【解答】解：∵a3+2a6=0，∴=﹣，即q3=﹣，∴====2．故答案是：2．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．6．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么=（用和表示）【分析】根据条件即可得出，这样代入即可用表示出．【解答】解：根据条件：==．故答案为：．【点评】考查三等分点的概念，向量数乘的几何意义，相等向量和相反向量的概念，以及向量加法的几何意义．7．（5分）已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是[﹣2，5] ．【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据充分必要条件的定义，求出a的范围即可．【解答】解：由|x﹣a|＜4，解得：a﹣4＜x＜a+4，得p：a﹣4＜x＜a+4；由（x﹣1）（2﹣x）＞0，解得：1＜x＜2，故q：1＜x＜2，若p是q的必要不充分条件，即（1，2）⊆（a﹣4，a+4），故，解得：a∈[﹣2，5]，故答案为：[﹣2，5]．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．8．（5分）已知直线x﹣y+1=0与曲线y=lnx﹣a相切，则a的值为﹣2 ．【分析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，从而求出切点横坐标，再根据切点既在曲线y=lnx﹣a的图象上又在直线x﹣y+1=0上，即可求出a的值．【解答】解：设切点坐标为（m，n）y'|x=m==1解得，m=1切点（1，n）在直线x﹣y+1=0上∴n=2，而切点（1，2）又在曲线y=lnx﹣a上∴a=﹣2故答案为﹣2．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．9．（5分）在△ABC中，已知BC=1，B=，△ABC的面积为，则AC的长为．【分析】有三角形的面积公式先求|AB|，再由余弦定理求AC的长．【解答】解：因为S△ABC===，∴|AB|=4，由余弦定理得：|AC|===．故答案为：．【点评】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．10．（5分）已知函数是奇函数，若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则实数a的取值范围是（1，3] ．【分析】根据函数f（x）是奇函数，求出m，然后根据函数表达式，求出函数的单调递增区间，即可求a 的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴当x＞0时，﹣x＜0，满足f（﹣x）=﹣f（x），即x2﹣mx=﹣（﹣x2+2x）=﹣x2﹣2x，解得m=2．∴f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象可知函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增．若函数f（x）在区间[﹣1，a﹣2]上单调递增，则﹣1＜a﹣2≤1，即1＜a≤3．故答案为：（1，3]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数单调性的判断，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）函数y=2sin（2x﹣）与y轴最近的对称轴方程是x=﹣．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数y=2sin（2x﹣），令（k∈Z ）时，，因此，当k=﹣1 时，得到，故直线x=﹣是与y轴最近的对称轴，故答案为：x=﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．12．（5分）如图，点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB=4，则的值为32【分析】以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，设出C的坐标（x，y），由已知可得x2+y2=36，把用含有x的代数式表示，展开数量积得答案．【解答】解：如图，以AB的中点M为坐标原点，AB所在直线为x轴建系，则A（﹣2，0），B（2，0），设C（x，y），∵O为为△ABC的重心，∴O（），，，∵OA⊥OB，∴，化简得：x2+y2=36．∵，∴=x2+y2﹣4=32．故答案为：32．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，则正实数T的取值范围为[1，）．【分析】由2S n=（n+1）a n，n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，则2a n=2（S n﹣S n﹣1），整理得：=，则=═…===1，可得：a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，即可得出正实数t的取值范围．【解答】解：∵a1=1，2S n=（n+1）a n，∴n≥2时，2S n﹣1=na n﹣1，∴2a n=2（S n﹣S n﹣1）=（n+1）a n﹣na n﹣1，整理得：=，∴=═…===1，∴a n=n．不等式a n2﹣ta n≤2t2，化为：（n﹣2t）（n+t）≤0，t＞0，∴0＜n≤2t，关于正整数n的不等式a n2﹣ta n≤2t2的解集中的整数解有两个，可知n=1，2．∴1≤t＜，故答案为：[1，）．【点评】本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=函数g（x）=2﹣f（x），若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则实数a的取值范围是（2，3] ．【分析】根据函数g（x）和f（x）的关系，将y=f（x）﹣g（x）=0转化为f（x）=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意当y=f（x）﹣g（x）=2[f（x）﹣1]=0 时，即方程f（x）=1 有4个解．又由函数y=a﹣|x+1|与函数y=（x﹣a）2的大致形状可知，直线y=1 与函数f（x）=的左右两支曲线都有两个交点，当x≤1时，函数f（x）的最大值为a，则a＞1，同时在[﹣1，1]上f（x）=a﹣|x+1|的最小值为f（1）=a﹣2，当a＞1时，在（1，a]上f（1）=（1﹣a）2，要使y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则满足，即，解得2＜a≤3．故答案为：（2，3]【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为f（x）=1，利用数形结合以及绝对值函数以及一元二次函数的性质进行求解即可．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知向量=（sin（x+φ），1），=（1，cos（x+φ））（ω＞0，0＜φ＜），记函数f（x）=（+）•（﹣）．若函数y=f（x）的周期为4，且经过点M（1，）．（1）求ω的值；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数f（x）的最值．【分析】（1）由数量积的坐标运算化简得到函数解析式，结合周期公式求得ω的值；（2）由（1）及函数图象经过点M（1，）求得函数具体解析式，在由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）的最值可求．【解答】解：（1）f（x）=（+）•（﹣）===﹣cos（ωx+2φ）．由题意得：周期，故；（2）∵图象过点M（1，），∴﹣cos（2φ）=，即sin2φ=，而0＜φ＜，故2φ=，则f（x）=﹣cos（）．当﹣1≤x≤1时，，∴．∴当x=﹣时，f（x）min=﹣1，当x=1时，．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．16．（14分）设公差不为零的等差数列{a n}的前5项的和为55，且a2，﹣9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）设数列b n=，求证：数列{b n}的前n项和S n＜．【分析】（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n=（﹣），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意可得，即有或（舍去），故数列{a n}的通项公式为a n=7+2（n﹣1）即a n=2n+5；（2）证明：由（1）a n=2n+5，得，则=．故原不等式成立．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．（14分）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=b（sinC+cosC）．（Ⅰ）求∠ABC；（Ⅱ）若∠A=，D为△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得cosBsinC=sinBsinC，结合sinC≠0，可求tanB=1，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD，由已知及（Ⅰ）可知，利用三角形面积公式可求S△ABC，S△BDC，从而可求，根据正弦函数的性质即可得解四边形ABDC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a=b（sinC+cosC），∴sinA=sinB（sinC+cosC），…（1分）∴sin（π﹣B﹣C）=sinB（sinC+cosC），∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），…（2分）∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，…（3分）∴cosBsinC=sinBsinC，又∵C∈（0，π），故sinC≠0，…（4分）∴cosB=sinB，即tanB=1．…（5分）又∵B∈（0，π），∴．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22﹣2×1×2×cosD=5﹣4cosD．…（7分）又，由（Ⅰ）可知，∴△ABC为等腰直角三角形，…（8分）∴，…（9分）又∵，…（10分）∴．…（11分）∴当时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识的应用，考查了运算求解能力，考查了化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．18．（16分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现对其进行改建，在AB的延长线上取点D，OD=80m，在半圆上选定一点C，改建后绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Scm2．设∠AOC=xrad．（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．【分析】（1）求出扇形区域AOC、三角形区域COD的面积，即可求出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；（2）求导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，S=+=800x+1600sinx（0≤x≤π）；（2）S′=800+1600cosx，∴0≤x≤，S′＞0，x＞，S′＜0，∴x=，S取得最大值+800m2．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，属于中档题．19．（16分）已知函数（a＞0）．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性即可；（Ⅲ）问题等价于在[1，+∞）上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a=1时，，…（2分），…（3分）所以，函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为即：5x﹣4y﹣4=0…（4分）（Ⅱ）函数的定义域为：{x|x≠0}…（1分）…（2分）当0＜a≤2时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增当a＞2时，令f′（x）=0，即：ax2+2﹣a=0，，f′（x）＞0，x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，x1＜x＜0或0＜x＜x2，所以，f（x）单调递增区间为，单调减区间为．…（4分）（Ⅲ）因为f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，则．令g′（x）=0，则…（2分）若，即a=1时，g′（x）≥0，函数g（x）在[1，+∞）上单调递增，又g（1）=0，所以，f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立；…（3分）若，即a＜1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为，因为g（1）=0，所以不合题意．…（4分），即a＞1时，当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以，g（x）在[1，+∞）上的最小值为g（1）又因为g（1）=0，所以f（x）≥2lnx恒成立综上知，a的取值范围是[1，+∞）．…（5分）【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．20．（16分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．【分析】（1）利用“当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1”即可得出；（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C即可；（3）由于对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．两式相减可得可得b n+1=，即b n=，（n≥3）．n=1，2也成立，即可证明．【解答】解：（1）∵S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，∴a n+a n﹣a n﹣1=0，即a n=a n﹣1．当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n=2•（）n﹣1=22﹣n．（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．②．①﹣②可得b n+1a1=﹣=，∴b n+1=，∴b n=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，b n=，也适合．∴b n=，（n∈N*）是等差数列．【点评】本题考查a n=，将给的和项混合式转化为项与项之间或和与和之间的关系式，然后再求通项或和的公式是一种常考模式，注意灵活地运用“错位相减法”的解题策略．三、解答题（共4小题，满分40分）21．（10分）设矩阵A=的逆矩阵为A﹣1，矩阵B满足AB=，求 A﹣1，B．【分析】由逆矩阵的公式A﹣1=×A*，求得其伴随矩阵和|A|，即可求得 A﹣1，由AB=×=，列二元一次方程组，求得a和b的值，即可求得矩阵B．【解答】解：|A|=ad﹣bc=﹣7+6=﹣1，A﹣1=×A*=，∴A﹣1=，设B=AB=×=，，解得：，∴B=．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，矩阵与矩阵的乘法的意义，考查学生的计算能力，属于基础题．22．（10分）设矩阵A=，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．【分析】由矩阵A，求得丨A丨及A*，A﹣1=×A*，求得A﹣1，由特征多项式f（λ）=0，求得矩阵的特征值，代入求得特征向量．【解答】解：丨A丨==1﹣4=﹣3，A*=，A的逆矩阵为A﹣1=×A*=，则特征多项式为f（λ）=（λ+）2﹣=λ2+λ﹣，令f（λ）=0，解得：λ1=﹣1，λ2=，设特征向量为，则=﹣，可知特征值λ1=﹣1，对应的一个特征向量为，同理可得特征值λ2=，对应的一个特征向量为．…（10分）【点评】本题考查求矩阵特征值及特征向量，考查逆矩阵的求法，考查计算能力，属于中档题．23．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=m．若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数m的值．【分析】由曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，转化成化为直角坐标方程为x2+y2=2x，转化成标准方程，即可求得圆心与半径，将直线l的方程转化成标准方程：x+y﹣2m，由题意可知：=1，求得m=﹣或m=．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=2x．即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，1为半径的圆．…3分直线l的极坐标方程是ρ in（θ+）=m，即ρcosθ+ρsinθ=m，化为直角坐标方程为x+y﹣2m=0．…6分由直线l与曲线C有且只一个公共点，∴=1，解得m=﹣或m=．∴所求实数m的值为﹣或．…10分．【点评】本题考圆的参数方程转化成标准方程，直线的极坐标转化成直角坐标，直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（θ为参数，θ∈R），直线l：（t为参数，t∈R），求曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．【分析】根据已知中直线的参数方程，消参求出直线的一般式方程，代入点到直线距离公式，结合三角函数的图象和性质，可得曲线C上的动点P到直线l的距离的最小值．【解答】解：将直线l的参数方程（t为参数，t∈R），化为普通方程为x﹣y﹣6=0．因为点P在曲线C：（θ为参数）上，所以设P（4cosθ，3sinθ）．点P到直线l的距离d==，其中tanφ=，φ是锐角．所以当cos（θ+φ）=1时，d min=．所以点P到直线l的距离的最小值为．…10分．【点评】本题考查的知识点是直线与椭圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，三角函数的最值，难度中档．。

江苏省南通中学高三数学上学期期中试题

江苏省南通中学高三数学上学期期中试题

数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B = ð ． 2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是 ．3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ． 4．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ．5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ． 7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 .8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________．9．已知向量,,a b c中任意两个都不共线,且a b + 与c 共线, b c + 与a 共线,则向量a b c ++= ．10．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ．11．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是 ．12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 的最小值是 ．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．14．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?.(1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围. 16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ． 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),,2cos )a x x b x x ==.（1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关ABC DEC 1A 1B 1F （第16题）系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）.19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 单调递增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ． （1）若k q =2(*k N ∈)，求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．数学Ⅱ（附加题）21（B ）（本题满分10分）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．21（C ）（本题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l 的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.22．（本题满分10分）如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.B 1123．（本题满分10分）已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->． （1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯ 与34520142342013⨯⨯⨯⨯ 的大小，并说明理由．参考答案1．已知全集{0,1,2,3}U =，集合{0,1},{1,2,3}A B ==则()U A B = ð ．2．命题：“2,20x R x x m ∃∈++≤”的否定是 ． 答案：2,20x R x x m ∀∈++>3．若复数z 1=a ﹣i ，z 2=1+i （i 为虚数单位），且z 1⋅z 2为纯虚数，则实数a 的值为 ． 答案：﹣14．已知角α终边经过点(2sin 2,2cos 2)P -，则sin α= ． 答案：cos 2-5．“1a >”是“(1)2a x +>对(1,)x ∈+∞恒成立”的 条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）． 答案：充分不必要6．已知{}n a 为等比数列，17562,8a a a a +==-，则110a a += ． 答案：7-7．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 . 答案：1-8．已知ABC ∆的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_________． 答案：3159．已知向量,,a b c中任意两个都不共线,且a b + 与c 共线, b c + 与a 共线,则向量a b c ++= ． 答案：010．设函数()cos f x x ω=（0ω>），将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 ． 答案：611．设f （x ）是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，若1()02f =，三角形的内角A 满足f （cos A ）＜0，则A 的取值范围是 ． 答案：2(,)(,)323ππππ12．如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,n m ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m的最小值是 ．13．等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ． 答案：1114．已知数列{}n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数），若3456,,,a a a a ∈{﹣18，﹣6，﹣2，6，30}，则1a = ． 答案：﹣2或3-或12615．（本题满分14分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<, 其中0a >；:q 实数x 满足23x <?. (1) 若1,a = 且p q ∧为真, 求实数x 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件, 求实数a 的取值范围.所以实数x 的取值范围是23x <<. ………………………7分 (2) p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ， 设A ={}()x p x , B={}()x q x , 则A ⊃≠B， ………………………10分 又(2,3]B =，A =(,3)a a ；所以有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩解得12;a <≤所以实数a 的取值范围是12a <≤. ………………………14分16．（本题满分14分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝2AC ，D ，E ，F 分别为线段AC ，A 1A ，C 1B 的中点． （1）证明：EF ∥平面ABC ； （2）证明：C 1E ⊥平面BDE ．证明（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG ．因为F 为C 1B 的中点，所以FG ＝∥12C 1C ． 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ＝∥C 1C ，且E 为A 1A 的中点， 所以FG ＝∥EA ． 所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ． ………………………… 4分 因为EF 平面ABC ，AG 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………………… 6分（2）因为在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，BD 平面ABC ，所以A 1A ⊥BD ．因为D 为AC 的中点，BA ＝BC ，所以BD ⊥AC ．因为A 1A ∩AC ＝A ，A 1A 平面A 1ACC 1，AC 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥平面A 1ACC 1．因为C 1E 平面A 1ACC 1，所以BD ⊥C 1E ． ………………………… 9分根据题意，可得EB ＝C 1E ＝62AB ，C 1B ＝3AB ， 所以EB 2＋C 1E 2＝C 1B 2．从而∠C 1EB ＝90°，即C 1E ⊥EB ．……………………… 12分ABCDEC 1A 1B 1F （第16题）因为BD ∩EB ＝B ，BD 平面BDE ， EB 平面BDE ，所以C 1E ⊥平面BDE ． ………………………… 14分 17．（本题满分15分）已知向量(2sin ,cos ),,2cos )a x x b x x ==.（1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且//a b，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(-⋅=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域.解：（1）因为//a b ，所以24sin cos 0x x x =，…………………2分因为,2x k k Z ππ≠+∈，所以cos 0x ≠，即tan x =所以22222tan 122sin cos tan 17x x x x --==+．……………………………………5分（2）2()1cos 2cos 12cos 2f x a b x x x x x =⋅-=+-=+2sin(2)6x π=+，………………………………………………………………8分令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数)(x f 的单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈．…………11分 因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-， 所以当[0,]2x π∈ 时，函数)(x f 的值域[1,2]-． ……………………15分18．（本题满分15分）经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），旅游人数()f t （万人．．）与时间t （天）的函数关系近似满足1()4f t t=+，人均消费()g t （元．）与时间t （天）的函数关系近似满足()115|15|g t t =--.（Ⅰ）求该城市的旅游日收益()w t （万元．．）与时间(130,)t t t N ≤≤∈的函数关系式； （Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元．．）. 解：（Ⅰ）由题意得，1()()()(4)(115|15|)w t f t g t t t=⋅=+--(130,)t t N ≤≤∈……………………5分（Ⅱ）因为**1(4)(100),(115,)()1(4)(130),(1530,)t t t N tw t t t t N t ⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪+-≤≤∈⎪⎩………………………………………7分①当115t ≤<时，125()(4)(100)4()401w t t t t t=++=++4401441≥⨯= 当且仅当25t t=，即5t =时等号………………………………………………………11分②当1530t ≤≤时，1130()(4)(130)519(4)w t t t t t=+-=+-，可证()w t 在[15,30]t ∈上单调递减，所以当30t =时，()w t 取最小值为14033…………………………14分由于14034413<，所以该城市旅游日收益的最小值为14033万元…………………15分19．（本题满分16分）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1） 求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； （2） 求函数)(x f 单调递增区间；（3） 若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围.⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分 又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++， 令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即l n e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a+-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)e a ∈∞+ ．………………………………16分20．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若k q =2(*k N ∈),求13521...k a a a a -++++；（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．解（1）因为2k q =，所以21214k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a - 是首项11a =，公比为4的等比数列，所以13521141(41)143n nk a a a a --++++==-- ．………………………4分 （2）因为k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，所以212+k a = k a 2+ 22+k a ， 而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅，所以112k kq q ++=， 所以111111kk k k k q b b q q ++===+--，即11k k b b +-=， 所以{}k b 成等差数列，其公差为1．………………………………………9分 （3）因为12d =，所以322a a =+，即221322a a a a ==+，所以22a =或21a =-．………………………………………………………10分 （ⅰ）当22a =时，2112a q a ==，所以1111k b q ==-，所以1(1)1k b k k =+-⨯=， 即11k k q =-，得1k k q k +=．所以2221211()k k k a k q a k+-+== ， 222221112()()()(1)11k k k a a k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+- ， 212(1)k k ka a k k q +==+， 所以2121k k k d a a k +=-=+，(21)(3)22k k k k k D +++==．………………………………………………………13分（ii ）当21a =-时，2111a q a ==-，所以11112k b q ==--，13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-．所以22212112()32k kk k a q a k +--==- ，22222111311222()()()(21)1222k k k a a k k k +---=⋅⋅⋅⋅=---- ， 212(21)(23)k k ka a k k q +==--， 所以21242k k k d a a k +=-=-，2(242)22k k k D k +-==．综合得(3)2k k k D +=，或22k D k =．……………………………………………16分21（B ）已知矩阵M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001，N =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021，试求曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式．解：MN = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡20021…………………………………………………4分 即在矩阵MN 变换下11122x x x y y y ⎡⎤⎡⎡⎤⎤⎢⎥→=⎢⎢⎥⎥⎢⎥⎦⎦⎣⎣⎢⎦⎣…………………………………………6分即曲线x y sin =在矩阵MN 变换下的函数解析式为x y 2sin 2=……………10分21（C ）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，并与极坐标系取相同的单位长度，直线l的参数方程为121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段长度.解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，…………………………4分直线方程的普通方程为1y =+， ………………………………6分圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，…………………………………………………8分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-． …………………10分22．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.解(1)以1,,AB AD AA为正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，设(0C P a a =≤≤，则CQ =(2,2,0),(2P a Q ∴-1(2,2)B Q =- ,1(2,,2)D P a =--,∵11B Q D P ⊥,∴110BQ D P ⋅= ，∴240a -+=，解得1a =…………………………………4分 ∴PC =1,CQ =1,即P Q 、分别为,BC CD 中点……………………………5分(2)设平面1C P Q 的法向量为(,,)n a b c =，∵1(1,1,0),(0,1,2)P Q P C =-= ,又10n PQ n PC ⋅=⋅=，∴020a b b c -+=⎧⎨+=⎩，令1c =-， 则2a b ==,(2,2,1)n =-………………………………………………8分∵(0,0,2)k =- 为面APQ 的一个法向量,∴1cos ,3n k <>= ,而二面角为钝角,故余弦值为13-………………………………………………………………10分23．已知函数2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->．（1）若函数()f x 在0x =处取极值，求a 的值；（2）如图，设直线1,2x y x =-=-将坐标平面分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域（不含边界），若函数()y f x =的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a 的取值范围；DCB 11第22题（3）比较23420133452014⨯⨯⨯⨯ 与34520142342013⨯⨯⨯⨯ 的大小，并说明理由．解：2()(21)ln(21)(21)(0)f x x x a x x a =++-+->，()2ln(21)4(21)1f x x a x '=+-++．∵()f x 在0x =处取极值，∴(0)410f a '=-+=．∴14a =（经检验14a =符合题意）．……………3分（2）因为函数的定义域为1(,)2-+∞，且当0x =时，(0)0f a =-<．又直线y x =-恰好通过原点，所以函数()y f x =的图象应位于区域Ⅳ内， 于是可得()f x x <-，即2(21)ln(21)(21)x x a x x x ++-+-<-．…………………………5分 ∵210x +>，∴ln(21)21x a x +>+．令ln(21)()21x h x x +=+，∴222ln(21)()(21)x h x x -+'=+． 令()0h x '=，得e 12x -=． ∵12x >-，∴1e 1(,)22x -∈-时，()0m x '>，()m x 单调递增，e 1(,)2x -∈+∞时，()0m x '<，()m x 单调递减． ∴max e 11()()2eh x h -==． ∴a 的取值范围是1ea >． ……………………………………………7分（3）：由（2）知，函数ln(21)e 1()(,212x m x x x +-=∈+∞+在）时单调递减，。

江苏省南通市2020年高三上学期数学期中考试试卷(I)卷

江苏省南通市2020年高三上学期数学期中考试试卷(I)卷

江苏省南通市2020年高三上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2019高一上·宜昌期中) 已知集合，，若，则实数的值为________．2. （1分）(2018·凉山模拟) 是虚数单位，复数 ________．3. （1分） (2017高三上·武进期中) 函数的最小正周期为________．4. （1分） (2016高一下·汕头期末) 若数a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为________．5. （1分） (2017高二上·长春期中) 已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线截得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为________．6. （1分）(2017·大庆模拟) 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是________．7. （1分）(2017·山东模拟) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是________．8. （1分） (2019高一上·武威期末) 正方体的表面积是96，则该正方体的体积为________.9. （1分）设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1 ， a3 ， a6成等比数列，则{an}的前a项和sn=________．10. （1分） (2017高一下·淮北期末) 若扇形的面积是1cm2它的周长是4cm，则圆心角的弧度数是________．11. （1分）已知定义在R上的函数g（x）=2x+2﹣x+|x|，则满足g（2x﹣1）＜g（3）的x的取值范围是________ ．12. （1分） (2017高二下·广州期中) 已知x＞2，求f（x）=x+ 的最小值________．13. （1分） (2017高二上·晋中期末) 已知直线l：x+y﹣6=0和圆M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0，点A在直线l 上，若直线AC与圆M至少有一个公共点C，且∠MAC=30°，则点A的横坐标的取值范围为________．14. （1分） (2015高二下·上饶期中) 若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m﹣3≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________．二、解答题 (共12题；共105分)15. （10分） (2017高二上·西华期中) 在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足cos2A﹣3cos （B+C）=1．（1）求角A；（2）若△ABC的面积S=10 ，b=5，求边a．16. （5分）如图（1），△ABC中，∠ABC=90°，，M为AC中点，现将△ABM沿着BM边折起，如图（2）所示．（Ⅰ）求证：平面BCM⊥平面ACM．（Ⅱ）若平面ABM⊥平面BCM，求三棱锥B﹣ACM外接球的直径．17. （10分） (2016高一下·福建期中) 如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．18. （10分） (2016高二上·张家界期中) 已知椭圆C：的离心率，且过点Q（1）求椭圆C的方程．（2）椭圆C长轴两端点分别为A，B，点P为椭圆上异于A，B的动点，定直线x=4与直线PA，PB分别交于M，N两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2①证明；②若E（7，0），过E，M，N三点的圆是否过x轴上不同于点E的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．19. （10分） (2016高三上·黄冈期中) 如图所示，四边形OABP是平行四边形，过点P的直线与射线OA，OB 分别相交于点M，N，若，．（1）把y用x表示出来（即求y=f（x）的解析式）；（2）设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足Sn=f（Sn﹣1）（n≥2且n∈N*），求数列{an}的通项公式．20. （5分）(2016·安徽) 设函数f（x）=aex+ +b（a＞0）．（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y= ，求a，b的值．21. （10分）如图，点P是△ABC外接圆圆O在C处的切线与割线AB的交点．（1）若∠ACB=∠APC，求证：BC是圆O的直径；（2）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC= ，AB=2 ，PC=4，求CD的长．22. （5分） (2017高三上·徐州期中) 已知矩阵A= ，若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），求实数k的值．23. （10分） (2016高二上·苏州期中) 已知圆O：x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l： x+y ﹣a=0上，过点P作圆O的切线，切点为T．（1）若a=8，切点T（，﹣1），求直线AP的方程；（2）若PA=2PT，求实数a的取值范围．24. （10分）一张长方形纸片ABCD，AB=8cm，AD=6cm，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段MN）将纸片分成两部分，面积分别为S1 cm2 ， S2 cm2 ，（S1≤S2）其中点A在面积为S1的部分内．记折痕长为lcm．（1）若l=4，求S1的最大值；（2）若S1：S2=1：2，求l的取值范围．25. （10分）(2017·黑龙江模拟) 在如图所示的几何体中，平面AD NM⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ADNM 是矩形，，AB=2，AM=1，E是AB的中点．（1）求证：平面DEM⊥平面ABM；（2）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．26. （10分） (2016高二下·市北期中) 在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（1）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（2） X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共12题；共105分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、。

南通市通州区2022-2023学年高三上学期 期中质量监测数学试题(含答案)

南通市通州区2022-2023学年高三上学期 期中质量监测数学试题(含答案)

南通市通州区2022-2023学年高三上学期期中测试数学2022.11.14本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数2i2i-+对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}20M x x a =-≤，{}2log 1N x x =≤.若M N =∅，则实数a 的取值集合为（ ）A.(],0-∞B.(]0,4C.()0,+∞D.[)4,+∞3.已知0a >，0b >，则“1a b +≤≤ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式tS ab =，若经过5年，二氧化碳的排放量为45a（亿吨）.已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为4a（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年?（参考数据：lg20.3≈）（ ） A.28B.29C.30D.315.如图是函数()f x 的大致图象，则函数()f x 的解析式可以为()f x =（ ）A.21x x - B.2sin 1x x - C.21x x - D.||e 1x x- 6.已知112tan sin αα=-，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.7-B.17-C.19D.437.已知正六棱锥P ABCDEF -的底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°.圆柱1O O 的上底面圆1O 与正六棱锥P ABCDEF -的侧面均相切，下底面圆O 在该正六棱锥底面内，则圆柱1O O 体积的最大值为（ ）A.49π B.43π8.若1ln 22x x e y e ⎛⎫+=⋅⎪⎝⎭，其中0x >，2y >，则（ ）A.xe y >B.2xe y >C.24x e y <D.2xe y >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省南通市高三(上)期中数学试卷

2020年江苏省南通市高三(上)期中数学试卷

高三（上）期中数学试卷题号一 二 总分 得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x|f(x)=lnx}，B ={−1,2，3}，则A ∩B =______．2. 若z(1+3i)=10，则z 的实部为______．3. 已知a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3，则a ⃗ ⋅b⃗ =______． 4. 已知函数f(x)={4x ,x ≥1x +3,x <1，若f(f(a))=16，则实数a =______．5. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±2√65x ，且过点(5,3√2)，则其焦距为______．6. 已知(m,n)为直线x +y −12=0上一点，且mn >0，则1m +4n 的最小值为______． 7. 若函数f(x)=cos(2x +θ)(0<θ<π)的图象关于直线x = π 12对称，则θ=______．8. 在棱长为6的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，F 为棱AD 的中点，E 为线段CC 1上一点，则三棱锥E −FDD 1的体积为______．9. 已知A =[0,2]，B ={x|x 3−x 2−x −a ≥0}，若A ⊆B ，则实数a 的最大值为______． 10. 已知等差数列{a n }的公差为−2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，则该等比数列的公比为______．11. 如图，已知点O(0,0)，A(2,0)，P 是曲线y =√x(0≤x ≤1)上一个动点，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______．12. 已知cos(x −π6)=13,x ∈(0,π)，则sin(π3−2x)=______．13.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为α，β，则cos(α−β)cos(α+β)=______ ．14.已知函数f(x)=λlnx+4x−x,λ≥2，曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1)，N(x2,y2)使曲线y=f(x)上在M、N两点处的切线互相平行，则x1+x2的取值范围为______．二、解答题（本大题共10小题，共132.0分）15.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(b2+c2−a2)tanA=√3bc．(1)求角A；(2)若a=2，△ABC的面积S=√3，求1b +1c的值．16.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．(1)求证：AC1//平面PBD；(2)求证：BD⊥A1P.17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S8=22．(1)求a n；(2)若从{a n}中抽取一个公比为q的等比数列{a kn}，其中k1=1，且k1<k2<⋯< k n<⋯.当q取最小值时，求{k n}的通项公式．18.在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1倾斜角的余弦值为2√23，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称．(1)求椭圆E的离心率；(2)判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；(3)若圆C的面积为4π，求圆C的方程．19.如图，有一块半圆形空地，开发商计划建造一个矩形游泳池ABCD及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为O，半径为R，矩形BEFG的一边BG 在BC上，矩形AHIJ的一边AH在AD上，点C，D，F，I在圆周上，E，J在直径上，且∠EOF=π6，设∠BOC=θ，θ∈(π6,π2).若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为√3：2．(1)记游泳池及休息区的总造价为f(θ)，求f(θ)的表达式；(2)为进行投资预算，当θ为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．20.已知函数f(x)=lnx−1x,g(x)=ax+b．(1)若函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象的切线，求a+b的最小值；(3)当b=−3时，若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象有两个交点，求实数a的取值范围．21. 已知矩阵A =[1002]，B =[1202]． (1)求B 2； (2)求A −1B 2．22. 在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为C(2,π3)，半径为2.以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t (t为参数)．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设l 与圆C 的交点为A ，B ，l 与x 轴的交点为P ，求|PA|+|PB|．23. 已知f 0(x)=e x sin(x +π4)，记f n (x)=f n−1′(x)(n ∈N ∗)．(1)f 1(x)，f 2(x)，f 3(x)；(2)求S 4n =f 0(x)+f 1(x)+⋯…+f 4n−1(x)．24.已知S n=1+12+13+⋯+1n．(1)求S2，S4的值；(2)若T n=7n+1112，试比较S2n与T n的大小，并给出证明．答案和解析1.【答案】{2,3}【解析】解：A ={x|x >0}，B ={−1,2，3}， ∴A ∩B ={2,3}． 故答案为：{2,3}．可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】1【解析】解：由z(1+3i)=10，得z =101+3i =10(1−3i)(1+3i)(1−3i)=1−3i ， ∴z 的实部为1． 故答案为：1．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】4【解析】解：已知a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3， 所以|a ⃗ +b ⃗ |=5，则a⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b ⃗ )2]=(14(25−9)=14×16=4． 故答案为：4．利用a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b ⃗ )2]，代入即可求出答案． 考查平面向量积的运算，向量公式的变形用，基础题．4.【答案】−1【解析】解：∵函数f(x)={4x ,x ≥1x +3,x <1，f(f(a))=16，∴当a ≥1时，f(a)=4a ≥4，f(f(a))=f(4a )=44a=16，解得a =12，不合题意． 当a <1时，f(a)=a +3，当a +3≥1时，f(f(a))=f(a +3)=4a+3=16，解得a =−1，当a +3<1时，f(f(a))=f(a +3)=a +3+3=16，解得a =10，不合题意． 综上，实数a =−1． 故答案为：−1．当a ≥1时，f(a)=4a ≥4，f(f(a))=f(4a )=44a=16，当a <1时，f(a)=a +3，当a +3≥1时，f(f(a))=f(a +3)=4a+3=16，当a +3<1时，f(f(a))=f(a +3)=a +3+3=16，由此能求出实数a ．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】7【解析】解：双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±2√65x ， 可得：ba =2√65，双曲线过点(5,3√2)，可得25a 2−18b 2=1， 解得a =52，b =√6，所以双曲线方程为：x 2254−y 26=1，则其焦距为：2√254+6=7．故答案为：7．利用双曲线的渐近线方程求出a ，然后求解双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．6.【答案】34【解析】解：∵(m,n)为直线x +y −12=0上一点，且mn >0， ∴m +n =12，m ，n >0．则1m +4n =112(m +n)(1m +4n )=112(1+4+nm+4m n)≥112(5+2√n m ×4m n)=34，当且仅当n =2m ，m +n =12，即m =4，n =8时取等号． 故答案为：34．由(m,n)为直线x +y −12=0上一点，且mn >0，可得m +n =12，m ，n >0.于是1m +4n=112(m +n)(1m +4n )，展开利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】5π6【解析】解：∵函数f(x)=cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于直线x= π 12对称，∴2⋅π12+φ=kπ，k∈Z，∴φ=5π6，函数f(x)=cos(2x+5π6)，故答案为：5π6．由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得θ的值．本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.【答案】18【解析】解：在棱长为6的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F为棱AD的中点，E为线段CC1上一点，可得S△DFD1=12×6×3=9，棱锥的高为6，所以棱锥E−FDD1的体积为：13×9×6=18．故答案为：18．求出棱锥的底面面积与高，然后求解棱锥的体积．本题考查棱锥的体积的求法，是基本知识的考查，是基础题．9.【答案】−1【解析】解：∵A⊆B．∴对于任意的x∈[0,2]，x3−x2−x−a≥0恒成立，∴a≤x3−x2−x对任意x∈[0,2]恒成立，设f(x)=x3−x2−x，f′(x)=3x2−2x−1，且f′(0)=−1，f′(1)=0，∴0≤x<1时，f′(x)<0；1<x≤2时，f′(x)>0，∴f(x)在x=1取得极小值，即f(x)在x=1取得最小值，∴f(x)在[0,2]上的最小值为f(1)=−1，∴a≤−1，∴实数a的最大值为−1．根据A⊆B即可得出a≤x3−x2−x对任意x∈[0,2]恒成立，可设f(x)=x3−x2−x，f′(x)=3x2−2x−1，从而可根据导数符号判断出f(x)在[0,2]上的最小值为f(1)=−1，从而得出a≤−1，从而可得出a的最大值．本题考查了子集的定义，构造函数解决问题的方法，基本初等函数的求导公式，根据导数符号求函数极值和最值的方法，考查了计算能力，属于中档题．10.【答案】12【解析】解：等差数列{a n }的公差为−2，且a 2，a 4，a 5成等比数列，可得a 2a 5=a 42，即有(a 1−2)(a 1−8)=(a 1−6)2，解得a 1=10，可得该等比数列的公比为a 4a 2=10−610−2=12．故答案为：12．运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，再由等比数列的定义，计算可得所求公比．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．11.【答案】−14【解析】解：如图，已知点O(0,0)，A(2,0)，P 是曲线y =√x(0≤x ≤1)上一个动点， 设P(x,y)，y =√x ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)⋅(x −2,y)=x 2+y 2−2x =x 2+x −2x =x 2−x =(x −12)2−14(0≤x ≤1)当x =12时，函数的最小值是−14， 故答案为：−14．由A(2,0)，设P(x,y)，y =√x ，利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 建立关于x 的二次函数，求出最小值即可． 考查了平面向量积的运算，配方法求最值，属于中档题．12.【答案】−4√29【解析】解：由x∈(0,π)，得x−π6∈(−π6,5π6)，又cos(x−π6)=13，∴sin(x−π6)=√1−cos2(x−π6)=2√23，则sin(π6−x)=−2√23．∴sin(π3−2x)=sin2(π6−x)=2sin(π6−x)cos(π6−x)=2×13×(−2√23)=−4√29．故答案为：−4√29．由已知求得sin(π6−x)，再由二倍角的正弦求sin(π3−2x)的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．13.【答案】17【解析】解：由题意，A(−a,0)，B(a,0)，设P(x,y)，则tanα=yx+a ，tanβ=yx−a，∴tanαtanβ=yx+a⋅yx−a=y2x2−a2∵椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，∴a2−b2a2=14∴a2=43b2，∴x243b2+y2b2=1，∴y2=b2−3x24，y2 x2−a2=−34，tanαtanβ=−34，∴cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ−sinαsinβ=1+tanαtanβ1−tanαtanβ=1−3 41+34=17．故答案为：17利用斜率公式，表示出tanα=yx+a ，tanβ=yx−a，利用离心率化简椭圆方程，再根据和差的余弦公式，即可求得结论．本题考查斜率公式的运用，考查椭圆的几何性质，考查和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．14.【答案】(8,+∞)【解析】解：∵f(x)=λlnx +4x −x,λ≥2， ∴f′(x)=λx −4x 2−1．由题意可得f′(x 1)=f′(x 2)(x 1,x 2>0，且x 1≠x 2). 即有λx 1−4x 12−1=λx 2−4x 22−1，化为4(x 1+x 2)=λx 1x 2， 而x 1x 2<(x 1+x 22)2， ∴4(x 1+x 2)<λ(x 1+x 22)2， 化为x 1+x 2>16λ对λ∈[2,+∞)都成立，∵λ≥2，∴16λ∈(0,8]，∴x 1+x 2>8．则x 1+x 2的取值范围为(8,+∞)． 故答案为：(8,+∞)．求得f(x)的导数f′(x)，由题意可得f′(x 1)=f′(x 2)(x 1,x 2>0，且x 1≠x 2)，化为4(x 1+x 2)=λx 1x 2，因此x 1+x 2>16λ，λ∈[2,+∞)，求出16λ的范围得答案． 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】解：(1)由(b 2+c 2−a 2)tanA =√3bc ，及余弦定理b 2+c 2−a 2=2bccosA ， 得2bcsinA =√3bc ， 又bc >0， 得sinA =√32，因为△ABC 为锐角三角形， 所以0<A <π2， 故A =π3．(2)因为a=2，A=π3，根据余弦定理b2+c2−a2=2bccosA，得b2+c2−4=bc，又S=12bcsinA=√34bc=√3，解得bc=4，……①所以b2+c2−4=4，即b2+c2=(b+c)2−2bc=(b+c)2−8=8．又b+c>0，所以b+c=4，……②根据①②得，1b +1c=b+cbc=44=1，所以，1b +1c的值为1．【解析】(1)由余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得sinA=√32，结合范围0<A<π2，可求A的值；(2)由余弦定理得b2+c2−4=bc，利用三角形的面积公式可求bc=4，可求b+c=4，进而化简所求即可得解．本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】证明：(1)连结AC交BD于O点，连结OP，因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O，所以O点是AC的中点，所以AO=OC．又因为点P是侧棱C1C的中点，所以CP=PC1，在△ACC1中，AOOC =C1PPC=1，所以AC1//OP，又因为OP⊂面PBD，AC1⊄面PBD，所以AC1//平面PBD．(2)连结A1C1．因为ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，所以侧棱C1C垂直于底面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又AC∩CC1=C，AC⊂面AC1，CC1⊂面AC1，所以BD⊥面AC1，又因为P∈CC1，CC1⊂面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，因为A1∈面ACC1A1，所以A1P⊂面AC1，所以BD⊥A1P.【解析】(1)连结AC交BD于O点，连结OP，可证在△ACC1中，AOOC =C1PPC=1，可证AC1//OP，利用线面平行的判定定理即可证明AC1//平面PBD．(2)连结A1C1，利用直四棱柱的性质可证CC1⊥BD，由面ABCD是菱形，可证AC⊥BD，利用线面垂直的判定定理可证BD⊥面AC1，可证A1P⊂面AC1，即可证明BD⊥A1P.本题主要考查了线面平行的判定定理，直四棱柱的性质，线面垂直的判定定理的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)设等差数列的公差为d，a1=1，S8=22，则S8=8a1+12×8×7d=8+28d=22，解得d=12，所以a n=a1+(n−1)d=1+12(n−1)=n+12；(2)法一：因为{a kn }为公比q的等比数列，a k1=1，所以a kn=q n−1，又a kn =1+k n2，所以a k n+1+1a k n=k n+1+12k n+12=q，即k n+1=qk n+q−1，所以k n+1+1=q(k n+1)，又k1=1，k1+1=2≠0，所以{k n+1}是公比q的等比数列，所以k n=2×q n−1−1；因为k n≥2，k n∈N∗，所以2×q n−1−1≥2，且公比q为正整数，解得q≥2，所以最小的公比q=2．所以k n=2n−1．法二：因为数列{a n}是正项递增等差数列，所以数列{a kn}的公比q>1，若k2=2，则由a2=32，得q=a2a1=32，此时a k3=a2q=(32)2=94，由n+12=94，解得n=72∉N∗，所以k2>2，同理k2>3；若k2=3，则由a3=2，得q=2，此时a kn=2n−1，另一方面，a k n =k n +12，所以k n +12=2n−1，即k n =2n −1，所以对任何正整数n ，{a k n }是数列{a n }的第2n −1项．所以最小的公比q =2． 所以k n =2n −1．【解析】(1)设等差数列的公差为d ，运用等差数列的求和公式，解得d ，即可得到所求通项公式；(2)方法一、{a k n }为公比q 的等比数列，由等比数列的通项公式可得a k n ，再由等差数列的通项公式，可得k n+1=qk n +q −1，运用构造等比数列法，结合题意可得所求通项公式；方法二、因为数列{a n }是正项递增等差数列，所以数列{a k n }的公比q >1，讨论若k 2=2，若k 2=3，结合等差数列和等比数列的通项公式，可得q =2，进而得到所求通项公式． 本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查方程思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)设椭圆E 的焦距为2c(c >0)，因为直线A 1B 1的倾斜角的余弦值为2√23，所以√a 2+b2=2√23， 于是a 2=8b 2，即a 2=8(a 2−c 2)，所以椭圆E 的离心率e =√c 2a2=√78=√144．(2)由e =√144可设a =4k(k >0)，c =√14k ，则b =√2k ，于是A 1B 1的方程为：x −2√2y +4k =0， 故OA 2的中点(2k,0)到A 1B 1的距离d =|2k+4k|3=2k ，又以OA 2为直径的圆的半径r =2k ，即有d =r ，所以直线A 1B 1与以OA 2为直径的圆相切． 因为圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称， 所以直线A 1B 1与圆C 相切．(3)由圆C 的面积为4π知，圆半径为2，从而k =1，设OA 2的中点(2,0)关于直线A 1B 1：x −2√2y +4=0 的对称点为(m,n)，则{nm−2⋅√24=−1,m+22−2√2⋅n2+4=0.解得m =23,n =8√23．所以，圆C 的方程为(x −23)2+(y −8√23)2=4．【解析】(1)表示出余弦值√a 2+b 2=2√23，即可得a 2=8(a 2−c 2)，进而可求出e ；(2)根据离心率设a =4k ，则可表示出的A 1B 1方程，则可求出OA 2的中点到A 1B 1距离，又以OA 2为直径的圆的半径r =2k ，即有d =r ，所以直线A 1B 1与以OA 2为直径的圆相切．而因为圆C 与以线段OA 2为直径的圆关于直线A 1B 1对称，所以直线A 1B 1与圆C 相切．(3)由面积求出半径，则k =1，设OA 2的中点(2,0)关于直线A 1B 1：x −2√2y +4=0 的对称点为(m,n)，则可求出m ，n ，从而求出C 的方程．本题是直线与椭圆的综合，考查了椭圆方程的求法，与圆的结合，综合能力较强，属于中档题．19.【答案】解：(1)设游泳池每平方米的造价为√3t ，休息区每平方米造价为2t(t >0)，在矩形ABCD 中，BC =Rsinθ，OB =Rcosθ， 所以游泳池面积为：S 矩形ABCD =2OB ⋅BC =2R 2sinθcosθ=R 2sin2θ．在矩形BEFG 中，EF =Rsin π6=R2，BE =Rcos π6−Rcosθ=R(√32−cosθ)，所以休息区面积为：2S 矩形BEFG =2BE ⋅EF =R 2(√32−cosθ)． ∴f(θ)=√3t ⋅R 2sin2θ+2t ⋅R 2(√32−cosθ)=tR 2(√3sin2θ−2cosθ+√3)，(π6<θ<π2).(2)f′(θ)=tR 2(2√3cos2θ+2sinθ)=2tR 2(−2√3sin 2θ+sinθ+√3)=−2tR 2(2sinθ−√3)(√3sinθ+1)， 令f′(θ)=0，解得sinθ=√32或sinθ=−√33．又θ∈(π6,π2)，∴θ=π3．∴当π6<θ<π3时，f′(θ)>0，当π3<θ<π2时，f′(θ)<0， ∴f(θ)在(π6,π3)上单调递增，在(π3,π2)上单调递减， ∴当θ=π3时，f(θ)取得最大值f(π3)=(1+2√3)tR 2．【解析】(1)求出游泳区和休息区的面积，得出f(θ)的解析式； (2)利用导数判断f(θ)的单调性，再计算最大值和极大值点即可．本题考查了函数解析式的求解，函数单调性与函数最值的计算，属于中档题． 20.【答案】解：(1)由f(x)=lnx −1x ,g(x)=ax +b ，得ℎ(x)=f(x)−g(x)=lnx −1x −则ℎ′(x)=1x +1x2−a，因为ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以，∀x∈(0,+∞)，ℎ′(x)=1x +1x2−a≥0，即∀x∈(0,+∞)，a≤1x +1x2，令1x=t,H(t)=t+t2,t>0，H(t)=t+t2在(0,+∞)上单调递增，且H(t)能取到(0,+∞)上一切实数，所以a≤0，故实数a的取值范围为(−∞,0]．(2)设切点为(x0,lnx0−1x0)，则切线方程为y−(lnx0−1x0)=(1x0+1x02)(x−x0)，因为直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象的切线，所以a=1x0+1x02，ax0+b=lnx0−1x=−ln1x0−1x0，所以b=−ln1x0−2x0−1，令1x0=u(u>0)，a+b=φ(u)=−lnu+u2−u−1，则φ′(u)=−1u +2u−1=2u2−u−1u=(2u+1)(u−1)u当u∈(0,1)时，φ′(u)<0，φ(u)在(0,1)上单调递减；当u∈(1,+∞)时，φ′(u)>0，φ(u)在(1,+∞)上单调递增，所以a+b=φ(u)≥φ(1)=−1．所以a+b的最小值为−1，(3)当b=−3时，令F(x)=lnx−1x −ax+3，则F′(x)=1x+1x2−a=−ax2+x+1x2．当a≤0时，F′(x)>0，F(x)在(0,+∞)上单调递增，F(x)在(0,+∞)上至多一个零点，故a>0.令方程−ax2+x+1=0的大根为x0，则−ax02+x0+1=0．当x∈(0,x0)时，F′(x)>0，F(x)在(0,x0)上单调递增；当x∈(x0,+∞)时，F′(x)<0，F(x)在(x0,+∞)上单调递减．因为F(x)在(0,+∞)上有两个零点，所以F(x0)=lnx0−1x0−ax0+3=lnx0−2x0+2>0，构造函数G(x)=lnx−2x+2，则G′(x)=1x +2x2>0恒成立，即G(x)单调递增，又G(1)=0，所以a =1x 0+1x 02∈(0,2)．取x 1=e −x 0∈(0,x 0)，则F(e −x 0)=−x 0−e x 0−ae −x 0+3=(−x 0−e x 0+3)−ae −x 0<0，根据零点存在性定理，F(x)在(0,x 0)上至少有一个零点，又F(x)在(0,x 0)上单调递增， 所以F(x)在(0,x 0)上只有一个零点． 同理，F(x)在(x 0,+∞)上只有一个零点． 综上，实数a 的取值范围为(0,2)．【解析】(1)由导数与单调性关系可知，∀x ∈(0,+∞)，ℎ′(x)=1x +1x 2−a ≥0，分离系数后结合函数的性质可求，(2)结合导数的几何意义及导数与单调性关系可求；(3)结合导数与单调性的关系及函数的零点判定定理即可求解．本题综合考查了导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性及利用导数研究函数的零点，试题具有一定的综合性．21.【答案】解：(1)B 2=[1202][1202]=[1604]；(2)∵|A|=2≠0， ∴A−1=[10012]，∴A −1B 2=[10012][1604]=[1602]．【解析】第一问直接矩阵相乘，第二问先求矩阵的逆，然后相乘． 第一问考查矩阵乘法，第二问考查矩阵的逆的求解．22.【答案】解：(1)设P(ρ,θ)为圆C 上任意一点，则圆C 的圆心坐标为C(2,π3)，半径为2，得圆C 过极点， 所以，OP =OA ⋅cos(θ−π3)， ρ=4cos(θ−π3)．所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos(θ−π3)．(2)由(1)得ρ=4cos(θ−π3)=2cosθ+2√3sinθ，即ρ2=2ρcosθ+2√3ρsinθ，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，得x2+y2=2x+2√3y，即x2+y2−2x−2√3y=0.(∗)设A(1+√22t1,√22t1),B(1+√22t2,√22t2)，将直线l的参数方程代入(∗)，整理得t2−√6t−1=0，t1+t2=√6,t1t2=−1所以，|PA|+|PB|=|t1−t2|=√(t1−t2)2=√(t1+t2)2−4t1t2=√6+4=√10．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程的根和系数的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)由f0(x)=e x sin(x+π4)得f1(x)=f0′(x)=√22e x(2cosx)，同理，f2(x)=√22e x(2cosx−2sinx)，f3(x)=√22e x(−4sinx)；(2)由(1)得，当n=4k(k∈N)时，f4k(x)=(−4)k×√22e x(sinx+cosx)；当n=4k+1(k∈N)时，f4k+1(x)=(−4)k×√22e x(2cosx)；当n=4k+2(k∈N)时，f4k+2(x)=(−4)k×√22e x(2cosx−2sinx)；当n=4k+3(k∈N)时，f4k+3(x)=(−4)k e x(−4sinx)．所以，f4k(x)+f4k+1(x)+f4k+2(x)+f4k+3(x)=(−4)k×√22e x(5cosx−5sinx)=5(−4)k×e x cos(x+π4)，所以，S4n=f0(x)+f1(x)+⋯+f4n−1(x)=5×∑(n−1k=0−4)k×e x cos(x+π4)=[1−(−4)n]e x cos(x+π).【解析】(1)由f0(x)=e x sin(x+π4)求导得f1(x)=f0′(x)=√22e x(2cosx)，同理求出f2(x)，f3(x)；(2)由(1)对n分四类：4k，4k+1，4k+2，4k+3(k∈N)求出相应的f n(x)，找出规律，求出S4n=f0(x)+f1(x)+⋯…+f4n−1(x)．本题考查了数列与函数的综合问题，考查了求导的运算法则、分类原则，属于中档题．24.【答案】解：(1)由题意得，S n=1+12+13+⋯+1n，则S2=1+12=32，S4=1+12+13+14=2512，…(2分)(2)由T n=7n+1112得，当n=1，2时，T1=7+1112=32，T2=7×2+1112=2512，所以S2n=T n，当n=3时，T3=7×3+1112=83，S23=S8=1+12+13+14+15+16+17+18=761280>83=T3，于是猜想，当n≥3时，S2n>T n.…(4分)下面用数学归纳法证明：①当n≥3，显然成立；②假设n=k(k≥3)时，S2k>T k；那么当n=k+1时，S2k+1=S2k+12+1+12+2+⋯+12>7k+1112+(12k+1+12k+2+⋯+12k+2k−1)+(12k+2k−1+1+12k+2k−1+2+⋯+12k+1)>7k+1112+12k+2k−1×2k−1+12k+1×2k−1=7k+1112+13+14=7(k+1)+1112，这就是说，当n=k+1时，S2n>T n．根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有S2n>T n．综上得，当n=1，2时，S2n=T n；当n≥3时，S2n>T n.…(10分)【解析】(1)令n=1，4代入S n=1+12+13+⋯+1n，求出S2，S4的值；(2)令n=1，2，3代入S2n与T n，并比较大小关系，进行猜想：当n≥3时，S2n>T n，再用数学归纳法证明，再证明n=k+1成立时需用上假设，注意在证明过程的放缩目标，一定与结论有关系．本题考查数列求和问题，主要考查数列与不等式的综合问题，以及用数学归纳法证明与正整数有关的命题，还有放缩法的应用，难度很大．第1页，共21页。

江苏省南通市海安市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

江苏省南通市海安市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

江苏省南通市海安市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知复数23iim +∈-R ，则实数m =（）A ．32-B ．23-C ．23D ．322．已知集合{}{}0,1,2,3,6,1A B x x A ==-∈，则()A A B ⋂=ð（）A ．{}0,6B ．{}3,6C ．{}1,5-D ．{}0,1,23．在ABC V 中，tan 2A =，tan 3B =，则C =（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°4．函数()()23f x x x =-的极大值为（）A ．4-B ．0C ．1D ．45．在三棱锥P ABC -中，2PA PB AB AC BC =====，PC 与平面ABC 所成角的大小为60︒，则PC =（）A ．1B CD ．26．曲线2sin y x =与πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点中，与y 轴最近的点的横坐标为（）A ．5π6-B ．π6-C ．π6D ．5π67．在ABCD 中，AM MB = ，2BN NC = ，()1AP x AB x AD =+-，R x ∈.若AP MN ∥，则x =（）A ．17B ．27C ．37D ．478．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，13AA AB =，P 是线段1CC 上靠近C 的三等分点，过点C 与直线PA 垂直的平面将正四棱柱分成两部分，则较大部分与较小部分的体积比为（）A ．32B ．2C ．52D ．3二、多选题9．在空间中，设,,a b c 是三条直线，α，β，γ是三个平面，则下列能推出//a b 的是（）A ．a c ⊥，b c⊥B ．//a α，a β⊂，bαβ= C ．αγ⊥，βγ⊥，a αγ⋂=，b βγ= D ．a αβ⋂=，b αγ= ，c βγ= ，//a c 10．已知函数()cos cos 2f x x x =，则（）A ．()f x 的最大值为1B ．π,02⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心C ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 的最小正周期为2π11．设()f x 为R 上的增函数，满足：()()112f x f x ++-=，()()224f x f x ++-=，则（）A ．()33f =B ．()f x 为奇函数C ．0R x ∃∈，()001f x x =+D ．R x ∀∈，()()1e 2x f f x +-≥三、填空题12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,0ωϕπ><<的一个单调减区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω=，ϕ=.13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线ln y x =上的两点A ，B 满足OA OB ⊥，线段AB 的中点M 在x 轴上，则点M 的横坐标为.14．已知圆O 的半径为2，点A ，B 在圆O 上，点C 在圆O 内，且1AB OC ==，则AB AC ⋅的最小值为.四、解答题15．已知a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，且cos sin a C C b c +=+.(1)求A ；(2)若ABC V6，试判断ABC V 的形状.16．设抛物线2:4C x y =的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，记P 在l 上的射影为H .(1)PFH △能否为正三角形?若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由；(2)设C 在点P 处的切线与l 相交于点Q ，证明：90PFQ ∠=︒.17．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点，平面PBD ⊥平面PAC ，且2AB AC AP ===.(1)求点A 到平面PBD 的距离；(2)求平面PAC 与平面PBC 的夹角的正弦值.18．已知函数()2cos f x x a x =+，其中a ∈R .(1)若曲线()y f x =在点ππ,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线过原点，求a ；(2)当1a =时，证明：()1sin f x x x ≥+-；(3)若()f x 在[]0,π上单调递增，求a 的取值范围.19．如果数列1a ，2a ，3a ，…，m a （4≥m ）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列1a ，2a ，3a ，…，m a 是m P 数列.(1)写出所有满足47a =的4P 数列；(2)证明：存在4P 数列是等比数列，且有无穷个；(3)对任意给定的()55a a t ≥，都存在2a ，3a ，4a ，使得数列1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是5P 数列，求整数t 的最小值.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2020届江苏省南通中学高三上学期期中数学试题一、填空题1．已知{}{}1,21,2,,4A m B =-=-，且{}2,A B ⋂=则实数m 的值为________________. 【答案】4【解析】由{}2A B ⋂=可知2是集合A 中的元素，列出方程求解m 即得. 【详解】{}{}1,2,2A m A B =-⋂=Q ，22m ∴-=，解得4m =.故答案为：4 【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.2．若复数z 满足()1(2i z i -=为虚数单位)，则z =________________.【解析】将()12i z -=变形为21z i=-，再由商的模等于模的商求解即得. 【详解】由题得，21z i =-，则有2211z i i ====--.【点睛】本题考查复数的乘除运算和模的计算公式，是基础题.3．命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是________________. 【答案】x R ∀∈,都有10xsinx ->【解析】根据特称命题的否定是全称命题即得. 【详解】由题得，Q “x R ∃∈”的否定是“x R ∀∈”，“使得10xsinx -≤”的否定是“10xsinx ->”，∴命题“x R ∃∈，使得10xsinx -≤”的否定是：x R ∀∈,都有10xsinx ->.故答案为：x R ∀∈,都有10xsinx -> 【点睛】本题考查命题的否定，是基础题. 4．函数2cos 23y sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期是________________. 【答案】π【解析】先整理函数，再由2T πω=即得.【详解】由题得，2cos(2)23y x sin π=-+，则有222T πππω===. 故答案为：π 【点睛】本题考查函数cos()y A x b ωϕ=++的最小正周期，是基础题. 5．若12log 11aa <-，则a 的取值范围是 ． 【答案】()4+，∞ 【解析】试题分析：由题中隐含条件可得：1201a >-，可得1a >，则由12log log 1a a a a <-，根据对数函数的单调性可得121a a <-，可解得4a >.【考点】1.对数函数的性质;2.解不等式6．已知奇函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，则()9f -= ．【答案】2-【解析】试题分析：由题设可得)2()2()2(+-=--=+-x f x f x f ,即)2()2(--=+x f x f ,由此可得设)()4(x f x f -=+,所以)()8(x f x f =+,即函数是周期为8的周期函数,故(9)(9)(1)f f f -=-=-212=-⨯=-.【考点】函数的图象、周期性和对称性.7．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差为,d 若{}n a 和都是等差数列，则当11a =，d =________________.【答案】2【解析】根据已知用1a 和d 表示出1a ，2a ，3a ，可得1S ，2S ，3S ，由是等差数列可得关于d 的方程，解方程即得. 【详解】由题意知11a =，21a d =+，312a d =+，所以有11S =，22S d =+，333S d =+.又=2d =.故答案为：2 【点睛】本题考查利用等差数列的性质求公差，属于基础题.8．锐角三角形ABC 中，已知2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，那么角C =________________.【答案】2π 【解析】利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理可得c 边和三角形外接圆半径R 的关系，再去解C ∠即得. 【详解】由正弦定理sin 2a A R =，sin 2b B R=，且2221sin A sin B sinAsinBcosC +-=，可得2222221444a b ab cosC R R R +-=，即2222cos 4a b ab C R +-=，根据余弦定理有2222cos a b ab C c +-=，故2c R =，再由正弦定理得sin 12cC R ==，故2C π∠=. 故答案为：2π【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，属于中档题.9．已知函数()3221f x x ax a x =+-+在[]1,1-上单调递减，则a 的取值范围是__________．【答案】(][),33,-∞-+∞U【解析】求出函数()f x 的导函数，由函数()f x 在[]1,1-上单调递减，等价于()0f x '≤在[]1,1-上恒成立，根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】∵()3221f x x ax a x =+-+，∴()2232f x x ax a =+-'．又函数()f x 在[]1,1-上单调递减，∴()22320f x x ax a =-'+≤在[]1,1-上恒成立，∴()()221320{1320f a a f a a -=--≤=+-'≤'，即22230{230a a a a +-≥--≥， 解得3a ≤-或3a ≥．∴实数a 的取值范围是(][),33,-∞-⋃+∞． 故答案为 (][),33,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要利用导数研究函数的单调性及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围，10．已知非零向量,a b v v 的夹角为3π，c a kb =-v vv ，则a cvv 的最大值为________________.【答案】1【解析】根据已知先求22a cv v ，设a x =v ，b y =v，则()()22222222212cos 13a x x y y c x kx a kb a y k y k kb k x x π-===⎛⎫-+-+ ⎪-⎭⋅⎝v v v v v v ，当0k =时，显然1a c =vv ，当0k ≠时，将221y y k k x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭看成关于y k x 的二次函数，利用换元法求出该函数的最小值，可得22acv v 的最大值，即得.【详解】设a x =v ，b y =v ，可得()()222222222222212cos 13a x x x x kxy k y y y c x k a kb a kb xy k y k k x x π====-+⎛⎫-+-⎝-+⎪⋅- ⎭v v v v v v .（1）当0k =时，则1a c=v v ；（2）当0k ≠时，又,a b v v 是非零向量，则0,0x y >>故设y k q x =于是有2222111113124q q y y k k q x x ==-+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当12q =时，22a c v v 有最大值43，即a c v v 最大值为23.综上，a c v v 的最大值为1或23. 故答案为：1或23【点睛】本题考查向量数量积以及利用二次函数求最大值，注意0k =的情况容易被忽略. 11．如图，ABC V 中，CO 为边AB 上的中线，2CG GO =u u u v u u u v .若//BD AG u u u v u u u v，且(27)AD AB AC R λλ=+∈u u u v u u u v u u u v，则λ的值为________________.【答案】97【解析】根据已知，可由向量,AB AC u u u v u u u v分别表示出,BD AG u u u v u u u v，再由//BD AG u u u v u u u v可得含有λ的等式，又,AB AC u u u v u u u v不共线，可得方程组，计算即得。

【详解】由题得，2211133233AG AC CG AC CO AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，而//BD AG u u u v u u u v ，则有常数k ，使得BD k AG =u u u v u u u v，而()217BD AD AB AB AC λ=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故()2111733AB AC k AB AC λ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u uv u u u v 即21337k k AB AC λ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ，又,AB AC u u u v u u u v 不共线，可得1032037k k λ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：9767k λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故97λ=. 故答案为：97【点睛】本题考查向量几何运算和向量共线，属于中档题。

12．设函数()21,212x x f x =-+数列{}n a 是公差为2的等差数列，且满足()()()122019 ...0,f a f a f a +++=则10091011a a =________________.【答案】4-【解析】已知()f x 是单调递增函数，那么()f x C +也是单调递增函数，构造函数()()()()()210092()221009g x f x f x f x f x f x =-⨯++-++++++⨯L L ，()g x 也是单调递增函数，由{}n a 是公差为2的等差数列，可计算得()10100g a =，那么1010a 是函数()0g x =的唯一零点，再由()()0f x f x +-=，可得1010a 的值，又10101001009011112,2a a a a -=+=，即得.【详解】由题得，()2111212221x x xf x =-=-++是单调递增函数，则复合函数()f x C +（其中为任意常数）也单调递增.设()()()()()210092()221009g x f x f x f x f x f x =-⨯++-++++++⨯L L ，则()g x 为单调递增函数.又{}n a 是公差为2的等差数列，则()()()()()101010101010101010101010210092()221009g a f a f a f a f a f a =-⨯++-++++++⨯L L ，整理得()()()()1010122019...0g a f a f a f a =+++=，那么1010a 是函数()0g x =的唯一零点.而()()()()()210092100922()g x f x f x f x f x f x =-⨯++⨯++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L ， 又()()212121102122122121x x x x x x x f x f x --=+--+-=-+=++++，则()()()()()0210092100922(0)0g f f f f f =-⨯+⨯++-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 由1010a 是()0g x =的唯一零点，可知10100a =，可得()1009101122 4.a a =-⨯=- 故答案为：4- 【点睛】本题是一道考查函数和数列的综合题，有一定难度. 13．设G 为ABC ∆的重心，若,BG CG BC ⊥=+AB AC 的最大值为______.【答案】【解析】【详解】设BC 的中点为D ，因为BG CG ⊥，故BCG ∆是直角三角形，所以122GD BC ==. 又因为G 为ABC ∆的重心，所以32AD GD ==. 由三角形的中线长公式可得()22221224AD AB AC BC =+-，所以22222211221022AB AC AD BC +=+=⋅+⋅=⎝⎭.所以AB AC +≤=AB AC =时等号成立.故AB AC +的最大值为14．数列{}n a 满足113a =，且对于任意的*21,,n n n n N a a a +∈=+则2019111n na =+∑的整数部分是________________. 【答案】2【解析】根据21n n n a a a +=+可将11n a +化为111n n a a +-，再由裂项相消法对2019111n na =+∑进行化简，结合数列{}n a 的单调性，可得.【详解】()()211211111111n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++--====-+++⎡⎤⎣⎦，故2019201911112020202011111131n n n nn a a a a a a ==+⎛⎫=-=-=- ⎪+⎝⎭∑∑，210n n n a a a +-=>Q ，{}n a ∴单调递增，又113a =，21n n n a a a +=+则2222222271123456111166133a a a a a a a a a a ⎛⎫=++++++>+=+= ⎪⎝⎭，那么202071a a >>，20201233a ∴<-<，从而2019111n n a =+∑的整数部分是2. 故答案为：2 【点睛】本题考查数列的递推公式以及裂项相消法，有一定难度.二、解答题15．在ABC V 中，设角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .且满足cos 3sinA sinC C sinB =+ （1）求角B 的大小；（2）若,,a b a c +成等比数列，求sin sin AC的值. 【答案】（1）3π（2）12【解析】（1）根据()sin sin B C A +=对cos 3sinA sinC C sinB =+进行化简整理，即得；（2）由已知可得()2b a ac =+，再由余弦定理可得关于,a c 的等式，计算即得. 【详解】（1）由题得，()sin sin sin cos 3B C A B sinC C ⎛⎫+==+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得sin cos cos sin sin cos sin 3B C B C C B C B +=+，则有cos sin sin B C C B =，cos B B ∴=，即tan B =3B π=.（2）若,,a b a c +成等比数列，则有()2b a ac =+，又222b a c ac =+-，故()22a a c a c ac +=+-，化简得22c ac =，则sin 1.sin 2A a C c == 【点睛】本题考查余弦定理和等比中项，是常考题型.16．在平面直角坐标系xOy 中，点(),0,2A cos sin A πθθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭点关于原点O 对称的点为,B 二次函数2y x ax b =++的图像经过点A 和点,B 回答以下问题： （1）用θ表示,a b 和2y x ax b =++的图像的顶点的纵坐标；（2）证明：若二次函数2y x ax b =++的图像上的点(),P x y 满足x cos θ>，则向量OP uuu v 与OA u u u v的数量积大于1.（3）当变θ化时，求()1中二次函数顶点纵坐标y 的最大值，并求出此时θ的值.【答案】（1）22tan cos 4θθ--（2）见详解（3）34-，4π【解析】（1）根据A 点坐标得出B 点坐标，将A,B 坐标代入2y x ax b =++，解得,a b代入2y x ax b =++，配方即得；（2）用坐标表示出OP OA ⋅u u u v u u u v ，根据cos (0)2x πθθ><<和函数单调性，即得；（3）由cos 0θ>和基本不等式可得。

相关文档
最新文档