高等数学预备知识
第一课同济大学高等数学上预备知识ppt课件
例 设 X 1 ,2 ,3 ,Y 2 ,4 ,6 ,8 ,
T
X Y,
x
2 x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1 ,1 ,Y , ,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
xx
域内是无界函数.
解 只要证明在 x 0 的任何空心邻域内，无论对怎样的
正数 M 0，总是存在该邻域内一点 x 0 ，使得
f x0 M.
1
现设
M
0，取
x0
2n
/
，
2
其中取
n
1
2
M
2
的正整数，
并且使得 x 0 在空心邻域内，
例：设 X R ,Y 1 ,1 ,Z 0 ,1 ,
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z, T x(sinx)2.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
高数-预备知识
绝对值有以下一些基本性质： 绝对值有以下一些基本性质：
为任意实数， 设 x，y 为任意实数，则
1. x ≥ 0; 2. − x = x ; 4. x± y ≤ x + y ;
3.− x ≤ x≤ x ;
5. x − y ≤ x− y ;
6 . xy = x y ;
x x 7. = y y
( y ≠ 0) .
−1
O
1
2
P
x
数轴上的点 P
实数 x
一一对应
的右侧时， 当点 P 在原点 O 的右侧时，点 P 对应的实数 x 是 线段 OP 的长度 OP ，
x
P
x P O 的左侧时， 当点 P 在原点 O 的左侧时，点 P 对应的实数 x 是
通常称数轴为 1 维坐标系 .
线段 OP 的长度的相反数 − OP .
性质4 证明： 性质 证明：只证 x + y ≤ x + y .
由性质 3 可得
− x ≤ x ≤ x， y ≤ y ≤ y −
因此
这等价于
−( x + y)≤ x + y ≤ x + y x+ y ≤ x + y
性质5 证明： 由性质4 性质 证明： 由性质 可得
x = x− y+ y ≤ x− y + y
a x O b 类似地还有半开半闭区 间 (a , b] 和 [a , b ) .
这里 a , b分别为区间的左右端点 ， b − a 称为区间的长度 .
端点为无限的区间表示及其含义： 端点为无限的区间表示及其含义：
[a , + ∞ ) = { x a ≤ x < +∞ } = { x x ≥ a } ;
高等数学预备知识二---高等数学
积分与求和： 积分与求和： [ ∑ un ( x , t )]dxdt = ∑ [ ∫∫ un ( x , t )dxdt ] 0预 ∫∫
D xt
d ∂ u( x , y, t ) 求导与积分： dxdt 求导与积分： ∫∫ u( x , y, t )dxdt = ∫∫ Dxt dy Dxt ∂y
0 预 备 知 识 高 数 f (x)dx 部 分
1 x y(x) = C1 coskx + C2 sinkx + ∫ f (τ)sin[k(x − τ)]dτ 西安交通大学理学院 k 0
4. y′′ + k y = f (x)的通 解
2
数 学 物 理 方 程
1)r ≠ r2 ⇒ y = c1e + c2e 1 rx 2)r = r2 ⇒ y = (c1 + c2 x)e 1 1 0 αx 3)r ,2 = α ±βi ⇒ y = e (c1 cosβx + c2 sinβx) 预备 1
数 学 物 理 方 程
常数变易法 y 记 ′′ + py′ + qy = 0 线 无 解1(x), y2 (x) 的 性 关 y 设 齐 程 为y(x) = c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) 非 方 解 ′ ′ 充 件 y1c1 + y2c2 = 0 − − − −补 条 解方程组 y′c′ + y′c′ = f ( x) − −代 方 入 程 2 2 1 1
0 预 备 知 识 高 数 部 分
三. 交换运算次序---各式成立的条件 交换运算次序 各式成立的条件: 各式成立的条件
∞ ∞
∞ ∂ ∞ ∂ 求导与求和： ∑ un ( x , t ) = ∑ 求导与求和： un ( x , t ) L L
高等数学预备知识
b
a
f ( x)dx F ( x)
b a
F (b) F (a)
(定积分与不定积分的内在联系 )
基本积分表
(1) (2)
(3) (4)
(5)
k dx k x C (k是常数)，
1 m1 x C ， x dx m 1 1 dx ln |x|C ， x 1 dx arctan x C ， 2 1 x 1 dx arcsin x C ， 2 1 x cos x dx sin x C ，
基本求导公式：
(1) (C)0， (2) (xm)m xm1，
(11)
(12)
(13) (14)
(3) (sin x)cos x，
(4) (cos x)sin x，
(5) (tan x)sec2x，
(6) (cot x)csc2x， (7) (sec x)sec x tan x， (8) (csc x)csc x cot x， (9) (ax)ax ln a ，
f ' ( x) tan
在物理上，动点的位置矢量对时间的一阶导数就是该动点的速度 矢量；位置矢量对时间的二阶导数（也是：速度矢量对时间的一阶导 数）是动点的加速度矢量，详见运动学部分——速度矢量与加速度矢 量。
注意：以下是易混淆的两个表示：
y
和
y'
前者：只要是在上面加一点的，都是对时间的一阶导数，即：
[f(x)g(x)]dx
f(x)dx g(x)dx．
性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来，即
kf(x)dxk
f(x)dx (k 是常数，k 0)．
高数考前必看知识点
高数考前必看知识点
高数是大学中一门重要的基础课程，涉及到极限、导数、积分、微分方程等多个知识点。
以下是高数考前必看的一些知识点：
1. 函数与极限：函数的定义、性质和分类，极限的概念、性质和计算方法，无穷小量和无穷大量的概念和性质。
2. 导数与微分：导数的概念、几何意义和计算方法，微分的概念和计算方法，导数的应用（如求曲线的切线方程、速度、加速度等）。
3. 积分：积分的概念、性质和计算方法，不定积分和定积分的概念和计算方法，换元积分法和分部积分法，积分的应用（如求平面图形的面积、体积等）。
4. 微分方程：微分方程的概念和分类，一阶微分方程的求解方法（如分离变量法、常数变易法等），二阶线性微分方程的求解方法。
5. 向量与空间解析几何：向量的概念、运算和坐标表示，平面向量的线性相关性和向量组的极大无关组，空间直角坐标系和向量的坐标表示，平面和空间曲线的方程。
6. 多元函数微分学：多元函数的概念、极限和连续性，偏导数和全微分的概念和计算方法，多元函数的极值和条件极值。
7. 重积分：二重积分和三重积分的概念和计算方法，重积分的应用（如求曲面的面积、体积等）。
8. 曲线积分和曲面积分：第一类曲线积分和第一类曲面积分的概念和计算方法，第二类曲线积分和第二类曲面积分的概念和计算方法，格林公式和高斯公式。
以上是高数考前必看的一些知识点，当然，高数的知识点还有很多，需要根据自己的学习情况进行有针对性的复习。
同时，要注重做题，通过做题来加深对知识点的理解和掌握。
高等数学第一章课件-预备知识
a12 ⋯ a1 n a22 ⋯ a2 n 求和 ? 求和? ∑ aij 1≤ i ≤ j ≤ n ⋱ ⋮ ann (2) a0bn+1 + a1bn + a2bn−1 + ⋯ + anb1
n
= ∑ ai bn+1− i
i=0
=
i + j = n+ 1 0≤ i ≤ n
∑
ai b j
∑∑ a = ∑∑ a
ij i =1 j =1 j =1 i =1 m m i =1 n j =1
n
( ∑ ai ) ⋅ ( ∑ b j ) = ∑∑ ai b j
i =1 j =1
上述连加号下标间没有关系，但现实中经常会 遇到下标间存在一定关系的情形 . 遇到下标间存在一定关系的情形. 例 (1) a11
i =1 n −1
n
a11 a12 ⋯ a1 n a21 a22 ⋯ a2 n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
∑a
j =1 n j =1
1j
≜ A1 ≜ A2
∑a
n
2j
⋯
am 1 am 2 ⋯ amn
∑a
j =1
mj
≜ Am
m n
m i i =1
∑ A = ∑∑ a
i =1 j =1 m i1 i =1 m i2 m
n
也可记为 ∑ ai
1≤ i ≤ n
. 等形式 等形式.
a1 + a2 + ⋯ + an = ∑ ai
i =1
a1a2 ⋯ an = ∏ ai
i =1
n
,“ ∑ ”称为连加号 ,“ ∏”称为连乘号 . 这里 这里, 称为连加号, 称为连乘号.
大学物理、高等数学的预备知识
引入分母行列式 D a 2 1 a 2 2 a 2 3
a31 a32 a33
8
引入分子行列式
b1 D1 b 2 b3
方程组的解能表述为
a1 2
a1 3
a 2 2 a 2 3 , D2 a3 2 a3 3
Di xi D
i 1,2,3
9
例1. 公比0≤q＜1的无穷等比级数求和
a1 3 a3 3
7
ka1 1 ka1 2 ka1 3 0
A.2 应用
线性代数方程组
a1 1x1 a1 2x 2 a1 3x 3 b1 a 2 1x1 a 2 2x 2 a 2 3x 3 b 2 a x a x a x b 33 3 3 31 1 32 2
相应的函数增量 y 0 , 称为函数微分,记成dy
dy与dx的关系 dy y ( x dx) y ( x)
微分 ——忽略高阶无穷小
y Ax B, dy Adx
y Ax , dy A(2 x dx)dx
2
y sin x, dy sin x(cos dx 1) cos x sin dx
数学预备知识
数学预备知识
A B C D 行列式 矢量的代数运算 一元函数微积分 多元函数微积分
1
A 行列式
A.1 行列式
2 1 -1 1 -2 -1 1 -1 2
i j k x y z Fx Fy Fz
2
a1 1 a1 2 a1 3
三阶行列式可以一般地表述成
a21 a22 a23 a3 1 a3 2 a3 3
A B
矢量之间的关系 矢量的叠加:矢量的和 标积和矢积：矢量的乘
学高数预备知识
学高数预备知识要想把高数学好，就必须把高中的一些知识再重温一遍，例如三角公式、重要的不等式、基本初等函数等，这些知识点，在高数老师看来，只要是到了大学的学生都是掌握了的，他不会再带你去回顾，直接就过了这个知识点。
以下就是高数中需要用到的高中的知识：一、集合论A∪B，称A并B，即子集A中的元素加上子集B的元素所得的元素。
A∩B，称A交B，即子集A与子集B中共同的元素。
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβcos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ4.倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2αtan2α=2tanα1−tan2α5.半角公式(sin α2)2=1−cosα2(cos α2)2=1+cosα26.诱导公式奇变偶不变（对于π2而言），符号看象限（对于整个括号而言）。
一全正，二正弦，三两切，四余弦。
（对于正号而言）sin(2kπ+α)=sinα sin(π+α)=−sinαcos(π2−α)=sinαtan(π2−α)=cotαcot(π2−α)=tanα7.三角形记忆法 8.万能替换公式sin α=2tan α21+tan 2αcos α=1−tan 2α21+tan 2α2 tan α=2tan α21−tan 2α2三、基本不等式⑴a 2+b 2≥2ab由此不等式得出其它不等式：(a +b)2≥4aba 2+b 2≥(a +b)22⑵a +b 2≥√ab 由此不等式得出其它不等式：ab ≤(a +b 2)2ab ≤a 2+b 22(a +b 2)2≤a 2+b 22 a b +b a≥2 (ab >0) √a 2+b 22≥a +b 2≥√ab ≥21a +1b sin αcos αtan αcot αsec αcsc α1 (1) 对角连接乘积为1，例:sin α∙csc α=1(2) 六边形每个端点都等于相邻两端点乘积，例：sin α=tan α∙cos α(3) 阴影三角形中，上两端点平方和等于下端点平方（包括中间的1点），例:sin 2α+cos 2α=12,tan 2α+12=sec 2α。
高等数学预备知识
高等数学预备知识(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高等数学 预备知识1．不同三角函数间的关系αααcos sin tan =αααsin cos cot = ααcos 1sec = ααsin 1csc = 1cos sin 22=+αα 1tan sec 22=-αα 1cot csc 22=-αα2．加法公式（注意“±”与“ ”） βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± αββαβαcot cot 1cot cot )cot(±=±3．和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- βαβαβαcos cos )sin(tan tan ±=±βαβαβαsin sin )sin(cot cot ±±=±βαβαβαsin cos )cos(cot tan ±=± （注意符号）4．积化和差)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=5．倍角公式ααααα2tan 1tan 2cos sin 22sin +== ααααααα222222tan 1tan 1sin 211cos 2sin cos 2cos +-=-=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -= αααcot 21cos 2cot 2-=6．半角公式 2cos 12sinαα-±= 2cos 12cos αα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cot-=+=-+±= 7．降幂公式 )2cos 1(21sin 2αα-=)2cos 1(21cos 2αα+= 8．反三角函数（1）反三角函数的定义域与主值范围（2）图像（附加）三角函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx （3）反三角函数的相互关系21arctanarccos2)arcsin(arcsinxxxxx-=-=--=π21arctanarcsin2)arccos(arccosxxxxx-=-=--=ππ21arcsincot23)arctan(arctanxxxarcxx+=-=--=π21arccosarctan 2)cot(cot xx x x arc x arc +=-=--=ππ9．数列 （1）等差数列通项公式：d n a a n )1(1-+= 前n 项和：d n n na n a a S n n 2)1(2)(11-+=+= （2）等比数列通项公式：11-=n n q a a前n 项和：qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11 （3）某些数列的和)1(21321+=++++n n n )1(2642+=++++n n n2)12(531n n =-++++)12)(1(613212222++=++++n n n n 23333)321(321n n ++++=++++ 10．乘法与因式分解2222)(b ab a b a +±=± 3223333)(b ab b a a b a ++±=± ))((22b a b a b a +-=- ))((2233b ab a b a b a +±=±))((122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为正整数) ))((122321------+-+-+=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为偶数) ))((122321-----+--+-+=+n n n n n n n b ab b a b a a b a b a (n 为奇数) 11．不等式（1）有关绝对值的不等式||||||b a b a +≤± ||||||||||b a b a b a +≤-≤-||||||||k b a k b a +++≤±±± （（2）有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式)20(tan sin π<<<<x xx x )0(1sin cos π<<<<x xxx)0(1≠+>x x e x )0,1(11≠<-<x x xe x )0(1ln >-≤x x x )0,1(1)1ln(≠<-<--<x x xx x x)0,1(1)1(>>+>+x x x ααα（3）某些重要不等式 ① 222a b ab +≥，221()2ab a b ≤+；②1()2a b +≥12121()n n n a a a a a a n+++≥⋅⋅⋅；（0,0,0,1,2,,i a b a i n ≥≥≥=）③ ||||||||||a b a b a b -≤±≤+，11221122|()()()||||()||||()||||()|n n n n a f x a f x a f x a f x a f x a f x +++≤+++n a a a na a a n n2222121+++≤+++ na a a a a a nn n ++≤2121))(()(121221∑∑∑===≤ni i ni ini i i b a b a （柯西不等式）12．阶乘、排列、组合 （1）阶乘n n ⋅⋅⋅⋅= 321! )12(531!2)!12(!)!12(+⋅⋅⋅⋅=+=+n n n n n （规定）1!0= 0!!0= )2(42!2!)!2(n n n n ⋅⋅⋅== （2）排列)1()2)(1()!(!+---=-=k n n n n k n n A kn123)2)(1(!⋅⋅--=== n n n n A P nn n（3）组合!)!(!!k k n n k A C kn kn-== （kn C 也记作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n ） 13．二项式定理与多项式定理二项式定理：∑=-----=+++++=+nk kk n k n nnnn n nn nn nnnnb a C b C abCb aC b a C a C b a 011222110)( 多项式定理：s q p ns q p n k b a s q p n k b a ∑=++=+++!!!!)(14．指数运算nm nmaa a +=⋅ n m n ma aa -= mn n m a a =)( m m mb a ab =)( mm m b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛ m n n m n ma a a )(== m m a a 1=- )0(10≠=a a 15．对数运算01log =a 1log =a a y x xy a a a log log log +=y x yxa a alog log log -= x b x a b a log log = 对数恒等式：x a x a =log x a x a =log 换底公式：ayy b b a log log log =1log log =⋅a b b a 数学中常见基本初等函数和初等函数：①基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数称为基本初等函数。
高等数学预备知识-新生自学内容
高等数学预备知识（新生自学内容）（一）数学归纳法1、适用范围：只适用于证明与正整数n 有关的命题.2、证明步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如01n =或2 等）时,命题成立.（2）假设当k n =（0k N k n +∈≥且）时结论正确,证明当1k n +=时结论也成立. 由这两个步骤,就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立. 3、注意：第一步是递推的基础,第二步是递推的根据,两步缺一不可.4、用途：（1）证明代数和或三角恒等式；（2）证明不等式；（3）证明整除性；（4）证几何命题等.数学归纳法的思想类似于多米诺骨牌玩法：第一,要求第一张骨牌被推倒；第二,假如某一张骨牌倒下,要求其后一张骨牌必须跟着倒下. 例1、用数学归纳法证明：)1n 2)(1n (n 61n 3212222++=++++ . 证明：（1）当1n =时,左边=112=,右边=132161=⋅⋅⋅,等式成立. （2）假设当k n =时,等式成立,即)1k 2)(1k (k 61k 3212222++=++++ ,那么222222)1k ()1k 2)(1k (k 61)1k (k 321++++=++++++)6k 7k 2)(1k (61)]1k (6)1k 2(k )[1k (612+++=++++=]1)1k (2][(1)1k )[(1k (61)3k 2)(2k )(1k (61+++++=+++=故当1k n +=时等式也成立.根据（1）、（2）可知等式对任何+∈N n 都成立.例2、设)1n (n 3221a n +++⨯+⨯= （+∈N n ）,求证：2)1n (a 2n +<.证明：（1）当1n =时,22)11(221a 21=+<=⨯=,不等式成立. (2 ) 假设当k n =时（1k ≥时）不等式成立,即有2)1k ()1k (k 3221a 2k +<+++⨯+⨯=那么,)2k )(1k (2)1k ()2k )(1k ()1k (k 3221a 21k ++++<++++++⨯+⨯=+2]1)1k [(2)2k (2)2k ()1k (2)1k (222++=+=+++++<, 即当1k n +=时不等式也成立.由（1）、（2）可知,不等式对任何+∈N n 都成立. 例3．设, ,11 ,11121 x x x x ++==) ,3 ,2(1111 =++=--n x x x n n n ,证明：{}n x 单调增加. 解：（1） ∵11=x ,且) ,3 ,2(1111=++=--n x x x n n n ,∴) ,3 ,2 ,1( 0 =>n x n .又∵0211111111112>=+=-++=-x x x x x x ,∴12x x >. （2）假设1->k k x x 成立,则)11()11( 111--+++-++=-k k k k k k x xx x x x 有 1111--+-+=k k k k x x x x 0)1)(1(11>++-=--k k k k x x x x ,由（1）、（2）可知, ) ,2 ,1( 1 =>+n x x n n ,从而{}n x 单调增加.（二） 三角函数A 三角函数的积化和差公式由正弦加法定理的两式相加减和余弦加法定理的两式相加减可得：三角函数的积化和差公式:1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--当αβ=时,即为倍角公式.例1、不查表,求sin512πcos π12的值. 解：sin512πcos π12＝12[sin (512π+π12)＋sin (512π-π12)]=12＋34. 或：sin512πcos π12＝sin (2π—12π)cos π12 ＝cos 2π12=12(1+cos 6π)=12＋34.练习: 2cos31︒sin 14︒; cos215πcos π5; sin 70︒cos20︒. 注：分析三角函数的积化和差公式的整体结构,记忆公式,从公式本身的结构特征上了解积化和差公式的作用.B 三角函数的和差化积在积化和差公式中,令α+β=θ,α—β=ϕ,则α=θϕ+2,β=θϕ-2所以有：sin θ+sin ϕ = 2sinθϕ+2cosθϕ-2sin θsin -ϕ = 2cosθϕ+2sinθϕ-2cos θ+cos ϕ = 2cosθϕ+2cosθϕ-2cos θ—cos ϕ = 2sin-θϕ+2sinθϕ-2叫做三角函数的和差化积公式1+cos α = 2cos 2α2,1－cos α = 2sin 2α2等都可看成和差化积的形式.例2、把sin 2α－sin 2β化成积的形式. 解：原式＝(sin α+sin β)(sin α－sin β) ＝2sinαβ+2cosαβ-2·2 cosαβ+2sinαβ-2＝sin (α+β)sin (α—β)例3、求.10cos 70cos 10sin 70sin+-解：s in s in cos cos cos s in cos cos 70107010240302403033-+==例4、化1+cot α+csc α 为积的形式.解：原式＝αααsin sin cos 1++= 222222cos sin 2cos sin 2cos 2ααααα+ =2222sin )cos(cos ααπα-+ = 44222cos cos()sin ππαα- =2cos(4π—2α) csc 2α练习： 化1+sin α和1+cos α+cos β+cos(α+β)为积的形式. ( 1+sin α=2sin (4π+2α)cos(4π—2α), 1+cos α+cos β+cos(α+β)= 4cos αβ+2cos 2αcos 2β)在三角函数的计算和化简中,常要把a sin α+bcos α化为A sin (α+ϕ)的形式.如：sin α+3cos α＝2(12sin α+32cos α)=2(sin αcos π3+sin π3cos α)=2sin (α+π3) 一般地,设a ＝Acos ϕ,b=A sin ϕ,则a sin α+bcos α=A(sin α cos ϕ+sin ϕcos α) =A sin (α+ϕ),其中：A ＝a b 22+,ϕ所在象限由a ,b 的符号决定,由tan ϕ=ba可求出ϕ的值. （ϕ在(—π,—2π),(—2π,2π),（0,2π），(2π,π)内的值）例5、将下列各式化为Asin(α+ϕ)的形式.(1) 3sin x -4cosx ； (2) 3cosx -4sin x ； 解：(1) A ＝5,tan ϕ＝b a =-43=-1 .3333 ,a >0,b <0,所以ϕ在第IV 象限,即ϕ=-53︒8'. 故3sin x -4cosx =5sin (x -53︒8'). (2) A ＝5,tan ϕ＝ba=-0 .75 ,a <0,b >0, 所以ϕ在第II 象限,即ϕ=180︒-36︒52'=143︒8',故3cosx -4sin x =5sin(x+143︒8').C 万能公式22222tan1tan 2tan222sin ;cos ;tan .1tan 1tan 1tan 222ααααααααα-===++-统称为万能公式它们的特点是统一用tan 2α来表示sin ,cos ,tan αααD 一个常用不等式当x 为锐角时，sin tan x x x <<即 sin tan x x x <<OACxB作单位圆，取圆心角x AOB =∠，∵AOB ∆的面积<扇形AOB 的面积AOC ∆<面积，∴x x x tan 2121sin 21<<，（三） 复数A 复数的概念一、复数的定义1、虚数单位 我们知道方程x 2＝－1在实数范围内无解,为了使它有解,我们引进一个新数i,规定i 2＝－1,且它能与实数一起进行四则运算.数i 叫做虚数单位.因为i 2＝－1,所以i 3＝—i,i 4＝1,i 5＝i,i 6＝－1,i 7＝—i,i 8＝1… 即i 4n ＝1,i 4n+1＝i,i 4n+2＝－1,i 4n+3＝－i （n ∈Z ）.(—i) 2＝－1,即i 和—i 是－1的两个平方根.我们规定：i 0=1,i－m＝mi1（m ∈Z ）.例如：i 2001＝i, i —5＝ii 115==—i. 2、纯虚数 我们再来看x 2＝－4的解,可以看出有两个解2i 和－2i.数bi 叫做纯虚数,其中b ∈R,且b ≠0.3、虚数 考察方程x 2+2x+10＝0的解,x 等于—1+3i 或—1—3i.数a+bi 叫做虚数,其中a 、b ∈R,且b ≠0.4、复数 数a+bi 叫做复数,其中a 、b ∈R,其中a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部.复数集通常用C 来表示.虚数集通常用I 来表示.C ＝R I.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒≠+⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+)0()0()0(a bi b bi a b a bi a 纯虚数虚数无理数分数整数有理数实数复数 例题：实数m 为何值时,复数(m 2—3m —4)+ (m 2—5m —6)i 是（1）实数；（2）纯虚数？解：（1）当b ＝0时,复数为实数.即m 2—5m —6=0解得m=—1或6.（2）当a=0,且b ≠0时复数为纯虚数.即m 2—3m —4=0且m 2—3m —4≠0解得m=4. 5、复数相等的条件 两个复数相等必须是它们的实部和虚部分别相等. 二、复数的几何表示法1、用复数直角平面内的点表示复数 复数a+bi 是由一对有顺序的实数a 、b 构成,这与直角坐标平面的构成一样.我们规定：直角坐标平面内的横轴为实轴,单位为1,纵轴（不包括原点）为虚轴,单位为i,那么,复数a+bi 就可用这样的平面内的点M(a,b)来表示,其中,复数的实部a 和虚部b 分别是点M 的横坐标和纵坐标.我们把表示复数的平面叫做复数直角坐标平面.简称复平面. 例题：（1）用复平面内的点表示复数：—3+2i,3i,—2,0,－i,2—3i.（2）复平面内的点M(2 ,3) ;N(—3 ,—4) ;P(—3 ,0) ;Q(0 ,—2)各表示什么复数？解：略. 2、用向量表示复数 如果复平面内的点M 表示复数a+bi,连结原点O 与M 点,并且把O看作线段OM 的起点,M 点作为终点,那么线段OM 就是一条有方向的线段,这样的一条线段叫做向量.记作OM .可以看出：复数a+bi ⇔点M(a,b) ⇔向量OM .向量OM 的长度叫做复数a+bi 的模,记作|a+bi |.显然|a+bi |=a b 22+.例如：|－1+3i | =2.由x 轴的正半轴到向量OM 的角θ叫做复数a+bi 的幅角.它指出了向量OM 的方向.一个不等于0的复数a+bi 的幅角有无穷多个,它们的弧度数彼此相差2π的整数倍,我们把幅角在[0 ,2π)内的值叫做幅角的主值，但在高等数学中，我们常用(,]ππ-范围内的角。
考研高等数学基础知识必背
考研高等数学基础知识必背高等数学在考研中占据着重要的地位，扎实的基础知识是取得高分的关键。
以下为大家梳理了考研高等数学中必背的基础知识。
一、函数与极限1、函数的概念函数是两个非空数集之间的一种对应关系。
设集合 D 是定义域，对于 D 中的每个 x，按照某种对应法则 f，都有唯一确定的实数 y 与之对应，记为 y ＝ f(x)。
2、函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和有界性。
单调性是指函数在某个区间上的增减情况；奇偶性指的是函数关于原点或 y 轴对称的性质；周期性是指函数在一定区间内重复出现的性质；有界性则表示函数的值域有上下界。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值或无穷大时，函数值趋近于一个确定的常数。
分为数列极限和函数极限。
4、极限的计算常用的方法有代入法、因式分解法、有理化法、等价无穷小替换、洛必达法则等。
等价无穷小替换在计算极限时经常能起到简化运算的作用，例如当x → 0 时，sin x ～ x，tan x ～ x 等。
5、两个重要极限lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1 和lim(x→∞）（1 ＋ 1/x)＾x ＝ e ，这两个重要极限在极限计算中应用广泛。
二、导数与微分1、导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率。
设函数 y ＝ f(x)，在点 x₀处的导数为 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
2、导数的几何意义函数在某点的导数就是该点切线的斜率。
3、基本初等函数的导数公式要牢记常见函数如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法的求导法则。
5、复合函数求导设 y ＝ f(u)，u ＝ g(x)，则复合函数 y ＝ fg(x) 的导数为 y' ＝ f'（u)g'（x) 。
6、隐函数求导对于由方程 F(x, y) ＝ 0 确定的隐函数 y ＝ y(x)，通过对方程两边同时求导来求解。
高数预备知识-2015-2016
x 2x 1 lim 3 x 1 3 x 2 x 2 x 1 2 lim x 2 x 1 4 x 1 . 3 2 lim 3x 2 x x 1 5
2 x 1
19 P.19
例3 解
x 1 . 求 lim 2 x 1 x 3 x 2
3 2
解
分子分母均除以x3, 得
1 1 1 23 2 2 3 3 2 2 x 3x 2 x 1 2 x x x lim 3 lim . 2 x 3 x x 2 x 3 x 1 1 1 3 3 2 3 3 x x x
22 P.22
例6 求极限
23 P.23
例7 求极限
x 3x 2 x 1 lim . x 3 x 3 2 x 2 4
4 2
x 3x 2 x 1 lim . x 3 x 3 2 x 2 4
4 2
24 P.24
两个重要极限 极限1
sin x 1 lim lim x sin 1. x 0 x x x
x x 1 lim 3 . 2 x x 2 x 2 x 1
2
解
分子分母均除以x3，得
1 1 1 2 3 2 x x 1 x x x lim 3 lim 0. 2 x x 2 x 2 x 1 x 1 1 1 1 2 2 2 3 x x x
1 1 lim 1 lim 1 x x e. x x 0 x x
极限2
sin x ~ x
等价无穷小
25 P.25
3. 导数、微分
3. 1 导数的定义
y f ( x) f ( x0 ) lim lim . x x0 x x x0 x x0
2022年自考00020高等数学(一)核心考点资料
2.函数的性质
（1）有界性
设函数 f(x)在 D 上有定义，如果存在两个实数 m 和 M 满足条件：对 D 中所有的 x 都有不等式
m≤f(x)≤M，则称 f(x)在 D 上是有界函数，m 叫做 f(x)的下界，M 叫做 f(x)的上界.
如果对于任意 M＞0，在 D 中均存在 x，使得|f(x)|＞M,则称 f(x)在 D 上是无界函数.
限趋于”一个确定的数 A，则称函数 f(x)在 x→x0 时的极限是 A，记作
.
2.函数在一点的单侧极限
（1）函数在一点的左极限
设函数 f(x)在 x0 的左侧附近有定义，若当 x＜x0 且“无限趋于”x0 时，其对应的函数值 f(x)
“无限趋于”一个确定的常数 A，则称函数 f(x)在 x0 点的左极限是 A，记作
§1.4 函数运算
1.函数的四则运算 设函数 f(x)，g(x)都在 D 上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它 们的定义域不变（除法运算时除数为 0 的点除外），而函数值的对应定义如下： （1）加法运算(f+g)(x)=f(x)+g(x)，x∈D. （2）数乘运算(kf)(x)=kf(x)，x∈D. （3）乘法运算(fg)(x)=f(x)g(x)，x∈D.
f(x)=o(1)(x→x0).
2.无穷大量的概念
若函数
在 x→x0 时是一个无穷小量，则称函数 f(x)在 x→x0 时是一个无穷大量，记作 .
当 x 无限趋于 x0 时，若 量，记作
且无限趋于 0，则称函数 f(x)在 x→x0 时是一个正无穷大 .
当 x 无限趋于 x0 时，若
量，记作 3.无穷小量的比较
格函数.
平均收益函数为
高等数学预备知识
高等数学预备知识
嘿，朋友们！今天咱来聊聊高等数学预备知识，这可太重要啦！就好比盖房子得先有牢固的地基一样，高等数学也得有扎实的预备知识呀！
比如说函数，那可真是高等数学里的大明星啊！像你去超市买东西，你买的东西数量和总价之间不就是一种函数关系嘛！每个人都在不知不觉中接触着函数呢。
再说集合，听起来好像很抽象，但其实就在我们身边呀！你们想想，一个班级的同学不就可以看作是一个集合嘛。
还有数列，这就像我们跑步，一步一步有规律地前进。
比如我们每年长高的高度，可能就近似形成了一个数列呢！这些预备知识看似平常，实际上在高等数学里那可是起大作用的哟！
几何图形也是不能少的呀！圆、正方形、三角形，这些我们从小就认识的图形，在高等数学里也有它们独特的意义和用途呢！难道不是吗？
极限呢，就好像你努力朝一个目标奔跑，虽然可能永远达不到那个绝对的点，但你可以无限接近呀，这多神奇！
高等数学预备知识不是枯燥无味的，它们是有趣的、好玩的，等着我们去发现它们的奥秘！我们可不能小瞧了这些基础知识，它们可是打开高等数学大门的钥匙呢！我们要带着好奇和热情去探索、去学习，相信自己一定能掌握好这些预备知识，为以后学习高等数学打下坚实的基础呀！所以，大家赶紧行动起来，投入到高等数学预备知识的奇妙世界中去吧！。
高中数学预备知识
高中数学预备知识
1、数的基本概念：数的定义、正数、负数、整数、有理数、无理数、绝对值。
2、因式分解：分解因式、合并因式。
3、分数：定义、运算、约分、真分数、假分数、分数的乘法、分数的除法。
4、指数：定义、运算、科学计数法、幂的乘法、幂的除法。
5、根式：定义、运算、合并根式、分解根式。
6、平方根：定义、运算、合并平方根、分解平方根。
7、立方根：定义、运算、合并立方根、分解立方根。
8、比例：定义、比例的运算、比例的等价。
9、比例的应用：比例的判断、比例的解决。
10、方程：定义、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法。
11、不等式：定义、不等式的解法、不等式的应用。
12、函数：定义、函数的概念、函数的表示法、函数的性质、函数的图像。
13、直线：定义、直线的性质、直线的方程、直线的图像。
14、圆：定义、圆的性质、圆的方程、圆的图像。
15、概率：定义、概率的计算、概率的应用。
高等数学第一章预备知识
1.2 区间与邻域
(1) 实数集的构成
(2) 实数的点的表示
数轴：
b
a
X
O1
1.2 区间与邻域 (3) 区间 是指介于某两个实数之间的全体实数.
这两个实数叫做区间的端点. 设 a, b ∈R , 且 a ＜ b.
集合 {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
集合 {x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
函数，记作
y f (x), x X
数集X叫做这个函数的定义域，变量x称为自变量， 变量 y 称为因变量。
当 x取数值 x0 X 时，与 x0对应的 y 的数值
称为函数 f 在点处的函数值,记作 f (x0 ).
由函数 f 的定义可知,函数实际上即我们中学数
学中所介绍的实数集到实数集的映射.
必修科目,同时也是许多非理工科学生的必修科目。
文科生开设高等数学的目的:
一方面使学生获得相应数学基础知识—基本理论 和基本计算方法，提高学生的数学素质；
另一方面使学生学会一定的数学思维方法，提高学 生分析问题和解决问题的能力。 对文科生来说，后者显得更为重要。
二、文科生开设高等数学的内容
本书在取材时选择了高等数学中最基础的三个 部分内容：
（1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。
解 设产量为 x ，则
(1) C0 12000 ;
(2) C1 10 x;
(3) C 1200010x; (4) R 30x;
(5)L 30x (1200010x) 20x 12000.
解:∵ 一年的利息为p0r元, 则 x 年的单利为 p0rx元, ∴ 本利和为 P = p0 + p0rx = p0 (1+ rx) 元
高等数学预备知识
第一章 预备知识高等数学是研究变量的科学，恩格斯曾说过：“数学中转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学。
有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。
”变量与变量之间的联系就是函数关系。
本章从集合、映射的概念出发引出函数、反函数的概念，接着介绍三角函数、反三角函数等重要函数的概念与性质，最后简单介绍极坐标系、二阶及三阶行列式的有关内容。
第一节 函数世界是普遍联系的，数学则是揭示事物之间数量联系的工具。
例如：水的沸点随海拔的增高而变化，圆的面积与其半径有关等等。
这些现象、规律都是变量与变量之间函数关系的反映。
函数的概念是建立在集合、映射上的。
下面介绍集合、映射的概念。
一、函数的概念1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a ∈M .集合的表示可采用列举法或描述法。
所谓列举法是把把集合的全体元素一一列举出来. A ={a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n }；而描述法是指若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为M ={x | x 具有性质P }.例如圆心在原点的单位圆上的点构成的集合表示为：{(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 下面是高等数学中常用的几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. N +={1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={⋅ ⋅ ⋅, -n , ⋅ ⋅ ⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. 2. 映射的概念映射： 设,X Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则f , 使得对X 中每个元素x , 按法则f , 在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应, 则称f 为从X 到Y 的映射, 记作:f X Y →其中y 称为元素x (在映射f 下)的像, 并记作()f x , 即()y f x =, 而元素x 称为元素y (在映射f 下)的一个原像; 集合X 称为映射f 的定义域, 记作f D , 即f D X = X 中所有元素的像所组成的集合称为映射f 的值域, 记为f R , 或()f x , 即 (){()|}f R f X f x x X ==∈需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X , 即定义域f D X =; 集合Y , 即值域的范围: f R Y ⊂; 对应法则f , 使对每个x X ∈, 有唯一确定的()y f x =与之对应. (2)对每个x X ∈, 元素x 的像y 是唯一的; 而对每个f y R ∈, 元素y 的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域f R 是Y 的一个子集, 即Rf Y ⊂, 不一定f R Y = . 例1设:f R R →, 对每个x R ∈,()f x x =.显然, f 是一个映射f D R =, 值域{|0}f R y y =≥, 它是R 的一个真子集. 对于f R 中的元素y , 除0y =外, 它的原像不是唯一的. 如1y =的原像就有1x =和1x =-两个. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若f R Y =, 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素12x x ≠, 它们的像12()()f x f x ≠, 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).图1-1清楚地表明单射、满射、双射之间的关系.双射（单射与满射） 单射但非满射 满射但非单射 非满射非单射图1-1 逆映射与复合映射 设f为X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个f y R ∈ , 有唯一的x X ∈, 适合()f x y =,于是, 我们可定义一个从Rf 到X 的新映射g , 即:f g R X →对每个f y R ∈, 规定()g y x =, 这x 满足()f x y =. 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作1f-, 其定义域1g f D R -=, 值域1f R X -= .按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 设有两个映射 12:,:g X Y f Y Z →→，其中12Y Y ⊂.则由映射g 和f 可以定出一个从X 到Z 的对应法则，它将每个x X ∈映成[()]f g x Z ∈.显然，这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射，这个映射称为映射g 和f 构成的复合映射，记作f g ，即 :f g X Z → ，()()[()],f g x f g x x X =∈如图1-2所示。
(完整版)高等数学基本知识点大全大一复习,考研必备
大一期末复习和考研复习必备高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：笛卡尔直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
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2 5 3 2
4
x
y=cosx
y
-3
-4 -7 2
-5
2 -2
- -3 2
-2
1
o
-1
2
3 2
2
3 5 2
7
2 4
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3
x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
（3）反三角函数的相互关系
arcsin x arcsin(x) arccos x arctan x
其图形见图 1-3。
图 1-1
图 1-2 6
图 1-3
在 工 程 中 ， 常 以 无 理 数 e ＝ 2.718281828 … 作 为 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 底 ， 并 且 记
e x exp x，log e x ln x ，而后者称为自然对数函数。
对数运算： log a 1 0 ， log a a 1 ， log a xy log a x log a y ，
y
max{1,
x2
,
x3}
1
1 x 1；
x3
x 1
⑤狄利克雷函数：
y
D(x)
1 0
x为有理数
。狄利克雷函数无法描绘出图像。
x为无理数
9
Pn Ann n! n(n 1)(n 2)3 2 1
（3）组合
C
k n
Ank k!
n! (n k)!k!
（
C
k n
也记作
n k
）
13．二项式定理与多项式定理 二项式定理：
n
(a b)n
Cn0 a nC1 na源自n1bC2 n
a
n2
b
2
C
n1 n
ab
n1
C
n n
b
n
C
k n
a
nk
b
k
k 0
y cot x 、正割函数 y secx 和余割函数 y cscx 。其中正弦、余弦、正切和余切函数
的图形见图 1-4。
图 1-4
（ⅴ）反三角函数
反三角函数主要包括反正弦函数 y arcsin x 、反余弦函数 y arccosx 、反正切函数 y arctanx 和反余切函数 y arc cot x 等．它们的图形如图 1-5 所示。
cos cos 1 [cos( ) cos( )] 2
sin cos 1 [sin( ) sin( )] 2
5．倍角公式
sin 2 2sin cos 2 tan 1 tan2
1
cos 2
cos2
sin 2
2 cos2
1
1
2sin 2
1 1
tan 2 tan 2
tan 2 2 tan 1 tan2
高等数学 预备知识
1．不同三角函数间的关系
tan sin cos
cot cos sin
sec 1 cos
csc 1 sin
sin 2 cos2 1
sec2 tan2 1
csc2 cot2 1
2．加法公式（注意“ ”与“ ”）
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tan(
)
tan tan 1 tan tan
cot( ) cot cot 1 cot cot
3．和差化积
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2cos sin
2
2
cos cos 2cos cos
(1 x) 1 x ( 1, x 0)
（3）某些重要不等式
① a2 b2 2ab ， ab 1 (a2 b2 ) ； 2
4
②
1 (a b) ab 2
，
1 n
(a1
a2
an ) n a1 a2
an
；
（ a 0,b 0, ai 0,i 1, 2, , n ）
③ | a | | b || a b || a | | b | ，
a n bn (a b)(a n1 a n2b a n3b2 abn2 bn1 ) ( n 为奇数)
11．不等式 （1）有关绝对值的不等式
| a b || a | | b | | a | | b || a b || a | | b |
| a b k || a | | b | | k | （
| a1 f1(x) a2 f2 (x) an fn (x) || a1 || f1(x) | | a2 || f2 (x) | | an || fn (x) |
a1 a2 an a12 a22 an2
n
n
n
a1a2 an
a1 a2 an n
n
n
n
( aibi )2 ( ai2 )( bi2 ) （柯西不等式）
y
2
2
0 y
反正切 若 x tan y ，则 y arctanx 反余切 若 x cot y ，则 y arc cot x
x x
y
2
2
0 y
（2）图像
（附加）三角函数的图像
2
y=sinx
y
-4 -7 -3 2
-5
2 -2 -3 - 2
-2 1 o
-1
2
3
7
2
2
6．半角公式
sin 1 cos
2
2
cot 2 cos2 1 2 cot
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 1 cos sin 2 1 cos sin 1 cos
cot 1 cos 1 cos sin 2 1 cos sin 1 cos
（2）有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式
sin x x tan x (0 x ) 2
cosx sin x 1 (0 x ) x
e x 1 x (x 0)
ex 1
(x 1, x 0)
1 x
ln x x 1 (x 0)
x ln(1 x) x (x 1, x 0) 1 x
a 2 b2 (a b)(a b)
a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
a n bn (a b)(a n1 a n2b a n3b2 abn2 bn1 ) ( n 为正整数)
a n bn (a b)(a n1 a n2b a n3b2 abn2 bn1 ) ( n 为偶数)
多项式定理： (a b k)n
pqsn
n! p!q!
a s!
p
b
q
k
s
14．指数运算
am an amn
am amn an
(a m )n a mn
(ab)m a mbm
5
a m b
am bm
15．对数运算
log a 1 0
m
a n n am (n a )m
am 1 am
函数表达式，则称此函数为分段函数。 常见函数大家庭中主要成员：（常见的几种分段函数）
x x0
①绝对值函数：
y
|
x
|
0
x0 ；
x x 0
1 x0
②符号函数：
y
sgn
x
0
x0 ；
1 x 0
③取整函数： y x n, n x n 1， n Z ；
x2 x 1
④最大（小）值函数：例如
7．降幂公式
sin 2 1 (1 cos2 ) 2
cos2 1 (1 cos2 ) 2
8．反三角函数
（1）反三角函数的定义域与主值范围
函数
主值记号
定义域
主值范围
反正弦 反余弦
若 x sin y ，则 y arcsin x 若 x cos y ，则 y arccosx
1 x 1 1 x 1
a0 1(a 0)
log a a 1
log a xy log a x log a y
log a
x y
log a
x log a
y
log a xb b log a x
对数恒等式： log a a x x
aloga x x
换底公式： log a
y
log b log b
y a
log a b log b a 1
2 4 6 2n n(n 1)
1 3 5 (2n 1) n2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
13 23 33 n3 (1 2 3 n)2
10．乘法与因式分解
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3
数学中常见基本初等函数和初等函数： ①基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这 6 类函数称为基本初等函数。
（ⅰ）幂函数： y xa a R
它的定义域和值域依 a 的取值不同而不同，但是无论 a 取何值，幂函数在 x 0,内
总有定义。当 a N 或 a 1 ，n N 时，定义域为 R 。 2n 1
7
图 1-5
（ⅵ）常量函数为常数 y c （ c 为常数）
定义域为 ， ，函数的图形是一条水平的直线，如图 1-6 所示。
图 1-6
②初等函数：通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成 的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。
例如， y lnsin x 4，y e2x sin3x 1，y 3 sin x ，…都是初等函数。初等函