对勾函数专题讲解
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专题 对勾函数及其应用
1．对勾函数定义
对勾函数是指形如：y ＝ax ＋b
x (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2．对勾函数y ＝ax ＋b
x
(a >0，b >0)的性质
(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－
b a
)，(b
a
，＋∞)上是增函数；(－b
a
，0)，(0，b
a
)上是减函数． 3．y ＝ax ＋b
x (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±
b a
. 求分界点方法：令ax ＝b
x
⇒x ＝±
b a
. 特殊的，a >0时，y ＝x ＋a
x
的单调区间的分界点：±a .
4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式： 若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋b
x ≥2ab .
当且仅当ax ＝b
x
，x ＝
b
a
时取等号． 例1 已知f (x )＝x ＋5
x ，求f (x )在下列区间的最小值．
(1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．
变式训练 已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4
，求f (x )的最小值，并求此时x 的值．
例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1
x ＋2
(0≤x ≤3)的值域．
变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12
x －1，x ∈[]2，5的值域．
强化训练
1．下列函数中最小值是4的是( )
A ．y ＝x ＋4x
B ．y ＝x ＋2
x C ．y ＝4x x
-
D ．y ＝x 2＋
1
x 2＋1
＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4
x
，x ∈(1,3]的值域为( )
A ．[133，5)
B ．[4,5)
C ．[13
3
，4) D ．(4,5)
3．函数y ＝－x ＋41－x ＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________．
4．y ＝2x 2＋3
1＋x 2
的最小值是________．
5．已知x >0，则2＋x ＋4
x
的最小值是________．
6．函数y ＝x ＋3
x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________．
7．若函数y ＝x
a
x y 2+
=(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3
x (x ∈[2，＋∞))．
(1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>2
11
22
+-a a 恒成立，求a 的取值范围．
9．已知函数f (x )＝x ＋a
x
，x ∈[1，＋∞)，a >0.
(1) 当a ＝1
2时，求函数f (x )的最小值；(2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .
10求函数()f x x
=的最大值.（较难）
参考答案
1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ； B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ； C 选项，由于y ＝2·2x ＋22x ＝2(2x ＋1
2x )，
换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1
t )≥4，
当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，
D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1
x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1，
则y ＝t ＋1
t ＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项．
综上，答案为C.
2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4
x ，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上
单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝13
3，所以值域为[4,5)，答案为B.
3．[6,7)
解析 y ＝－x ＋41－x ＋3＝1－x ＋4
1－x ＋2，
换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]， y ＝t ＋4
t ＋2，函数在(1,2]上单调递减，
若t ＝1，则y ＝1＋4
1＋2＝7，
若t ＝2，则y ＝2＋4
2＋2＝6，
故函数值域为[6,7)． 4．26－2
解析 换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1， y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3
t －2，
函数在[1，3
2
]上单调递减，在[3
2
，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝
3
2
时，函数有最小值26－2.