对勾函数专题讲解
对勾函数的性质及应用
对勾函数的性质及运用一、对勾函数by ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形,且函数图像关于原点呈中间对称,即0)()(=-+x f x f4. 图像在一.三象限, 当0x >时,b y ax x =+≥ab 2（当且仅当bx a =取等号）,即)(x f 在x=ab时,取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时,)(x f 在x=ab -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（∞+,ab）,（ab -∞-,）,减区间是（0,ab ）,（ab -,0）二、对勾函数的变形情势类型一：函数by ax x =+)0,0(<<b a 的图像与性质1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数,函数图像整体呈两个“对勾”的外形.4.图像在二.四象限, 当x<0时,)(x f 在x=ab 时,取最小值ab 2;当0x >时,)(x f 在x=ab -时,取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0,ab ）,（ab -,0）减区间是（∞+,a b）,（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞,0）,（0,+∞）. ②0,0><b a 作图如下：1.界说域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二.四象限,无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞,0）,（0,+∞）. 类型三：函数)0()(2>++=ac x c bx ax x f .此类函数可变形为bx c ax x f ++=)(,可由对勾函数x c ax y +=高低平移得到演习1.函数x x x x f 1)(2++=的对称中间为类型四：函数)0,0()(≠>++=k a k x ax x f此类函数可变形为kk x ak x x f -+++=)()(,则)(x f 可由对勾函数x a x y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.作函数21)(-+=x x x f 与xx x x f +++=23)(的草图2.求函数421)(-+=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标3. 求函数1)(-+=x xx x f 的单调区间及对称中间类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a bx axx f .此类函数界说域为R ,且可变形为x b x axbx a x f +=+=2)( a.若0>a ,图像如下：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[b a ba ⋅⋅-3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最大值ba2,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最小值b a 2-5. 单调性：减区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;增区间是],[b b -演习1.函数1)(2+=x xx f 的在区间[)2,+∞上的值域为b. 若0<a ,作出函数图像：1．界说域：),(+∞-∞ 2. 值域：]21,21[ba ba ⋅⋅- 3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一.三象限.当0x >时,)(x f 在b x =时,取最小值ba 2-,当x<0时,)(x f 在x=b -时,取最大值b a 25. 单调性：增区间为（∞+,b ）,（b -∞-,）;减区间是],[b b -演习1.如2214xa x +=-+()1,2x ∈-,则的取值规模是类型六：函数)0()(2≠+++=a mx c bx ax x f .可变形为)0()()()()(2>++++=+++++=at s m x t m x a m x t m x s m x a x f ,则)(x f 可由对勾函数x tax y +=阁下平移,高低平移得到演习 1.函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1+=向（填“左”.“右”）平移单位,向（填“上”.“下”）平移单位. 2.已知1->x ,求函数1107)(2+++=x x x x f 的最小值;3.已知1<x ,求函数199)(2--+=x x x x f 的最大值 类型七：函数)0()(2≠+++=a c bx ax mx x f演习1.求函数21)(2++-=x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值;若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为 2.求函数232)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值类型八：函数ax b x x f ++=)(.此类函数可变形为尺度情势：)0()(>-+-++=+-++=a b ax a b a x ax ab a x x f演习1.求函数13)(-+=x x x f 的最小值;2．求函数15)(++=x x x f 的值域;3.求函数32)(++=x x x f 的值域 类型九：函数)0()(22>++=a ax b x x f .此类函数可变形为尺度情势：)()()(22222o a b ax a b a x ax ab a x x f >-+-++=+-++=演习 1.求函数45)(22++=x x x f 的最小值;2. 求函数171)(22++=x x x f 的值域。
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数，又称为Heaviside函数或者单位阶跃函数，是一种常见的数学函数。
它在控制系统、信号处理和电路分析等领域具有广泛的应用。
在数学上，对勾函数可以通过以下方式定义：H(x)=0,x<0H(x)=1/2,x=0H(x)=1,x>0其中，H(x)表示对勾函数，x为自变量。
从定义可以看出，对勾函数在x小于0时取0，在x等于0时取1/2，在x大于0时取1对勾函数在数学上的精确定义可以依赖于Laplace变换或者Fourier 变换等数学工具，用于解决微积分和微分方程等问题。
在实际应用中，对勾函数通常以数学形式存在，用于描述信号的开关行为。
在控制系统中，对勾函数可以表示系统的阶跃响应。
阶跃响应是指当输入信号为一个单位阶跃函数时，系统所产生的响应。
对勾函数可以帮助分析系统的稳定性、零极点和频率响应等性质。
在信号处理中，对勾函数可以用于描述数字信号的采样和量化过程。
当对一个连续信号进行采样时，可以将采样函数表示为对勾函数。
对勾函数在离散时间中具有单位阶跃响应的特性，可以用于分析信号的频谱和滤波等问题。
在电路分析中，对勾函数可以用于描述开关电路的动态响应。
开关电路通常包含开关元件和电容、电感等被控元件。
对勾函数可以帮助确定电路的稳态和暂态响应，并且可以用于分析电路中的信号传输、噪声和功耗等问题。
此外，对勾函数在概率论和统计学中也有应用。
例如，对勾函数可以用于计算累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）。
对勾函数可以将离散随机变量转化为连续随机变量，以进行概率计算和数值模拟等工作。
对勾函数具有一些重要的性质。
首先，它是一个连续函数，但不是光滑函数。
它在x=0处的导数不存在，即导数不连续。
其次，对勾函数是一个奇函数，即H(-x)=1-H(x)。
此外，对勾函数是一个分布函数，满足概率的基本性质，即0≤H(x)≤1总结起来，对勾函数是一个常用的数学函数，具有广泛的应用。
它可以表示系统的阶跃响应，在信号处理和电路分析等领域发挥重要作用。
对勾函数详细分析
对勾函数详细分析对勾函数是一种经典的激活函数，在人工神经网络中被广泛使用。
它的主要特点是非线性，能够接受任意实数作为输入，输出范围在0和1之间。
在本文中，我们会详细分析对勾函数的定义、数学性质、应用以及优缺点。
对勾函数的定义为 f(x) = 1 / (1 + exp(-x))，其中 exp(x) 表示自然指数函数。
这个函数的图像是在x轴上下限分别为负无穷大和正无穷大，y轴上下限分别为0和1的S形曲线。
当 x 趋近正无穷大时，f(x) 趋近于1；当 x 趋近负无穷大时，f(x) 趋近于0。
对勾函数的主要数学性质如下：1.非线性：对勾函数是一种非线性函数，这是它被广泛使用的主要原因之一、它可以通过增加网络的复杂度来学习复杂的非线性模式。
2.可微性：对勾函数是连续可导的函数，这使得它可以与其他函数进行组合，形成复杂的神经网络结构。
对勾函数的导数f'(x)可以通过对f(x)进行求导得到，其表达式为f'(x)=f(x)(1-f(x))。
3.单调性：对勾函数是单调递增的，这意味着当输入值增加时，输出值也会增加。
这种单调性有助于网络的学习过程。
对勾函数在人工神经网络中的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1.模式识别：对勾函数可以用于二分类问题的模式识别。
例如，在人脸识别中，可以使用对勾函数作为分类器来判断输入图像是人脸还是非人脸。
2.概率估计：对勾函数可以将实数映射到概率值的范围（0到1之间）。
这在机器学习中经常用于估计事件发生的概率。
3.深度学习：对勾函数是目前最流行的神经网络模型，深度神经网络中的常用激活函数。
它可以通过复杂的网络结构来学习高级的非线性模式。
虽然对勾函数有许多优点，但它也有一些缺点。
1.饱和性：当输入值较大或较小时，对勾函数的导数值会趋近于0，导致梯度消失的问题。
这会导致网络训练过程中的梯度更新过小，使得学习过程变得缓慢。
2.输出范围限制：对勾函数的输出范围为0和1之间，这意味着对勾函数不能表示负数的情况。
“对勾函数”的图像和性质全析
函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程。
对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，近几年高考试题中，对勾函数部分占有相当大比重。
本文通过对勾函数性质的整体分析，结合图像，运用数形结合来研究对勾函数的性质。
一、“对勾函数”的名称渊源
二、“对勾函数”的图像、性质和单调性
通过对对勾函数的图像、性质和单调性的研究，我们发现学习过的均值不等式实际就是对勾函数的参数a，b同号时的特例，等号成立时能取到最值。
当不能取到等号时就要用对勾函数的单调性来求函数的最值。
2.若a，b异号。
（1）a＞0，b＜0时，在定义域内是增函数，递增区间为（-∞，0）和（0，+∞）。
（2）a＜0，b＞0时，在定义域内是减函数，递减区间为（-∞，0）和（0，+∞）。
通过研究我们可以知道高中阶段的对勾函数的参数主要是a，b同号，求最值的应用，所以我们要熟悉对勾函数的图像、性质和单调性。
(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用一、对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1. 定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2. 值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x=+≥ab 2（当且仅当b x a ，即)(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5. 单调性：增区间为（∞+,ab ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0）二、对勾函数的变形形式 类型一：函数by ax x=+)0,0(<<b a 的图像与性质 1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞ 2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 2；当0x >时，)(x f 在x=ab -时，取最大值ab 2-5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,ab ），（a b -∞-,）,类型二：斜勾函数by ax x =+)0(<ab①0,0<>b a 作图如下1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-∞，0），（0，+∞）.②0,0><b a 作图如下：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-∞，0），（0，+∞）.类型三：函数)0()(2>++=ac xcbx ax x f 。
对勾函数专题讲解
对勾函数专题讲解专题：对勾函数及其应用1.对勾函数定义对勾函数是指形如 y = ax + (a>0.b>0) 的一类函数，因其图像形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的性质1) 定义域：(-∞。
0) ∪ (0.+∞)。
2) 值域：(-∞。
-2ab] ∪ [2ab。
+∞)。
3) 奇偶性：在定义域内为奇函数。
4) 单调性：(-∞。
-a/b)，(a/b。
+∞) 上是增函数；(-a/b。
0)，(0.a/b) 上是减函数。
3.对勾函数 y = ax + (a>0，b>0) 的单调区间的分界点：±a/b。
求分界点方法：令 ax = 0，即可得到 x = ±a/b。
特殊的，当 a>0 时，y = x + 的单调区间的分界点为 ±a。
4.对勾函数应用时主要是利用其单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解。
5.利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式：若 a>0，b>0，则 x>0 时，ax + b ≥ 2ab。
当且仅当 ax = b，x = a/b 时取等号。
例1：已知 f(x) = x + (x>0)，求 f(x) 在下列区间的最小值：(1) [1,2]。
(2) [3,4]。
(3) [-3,-1]。
变式训练：已知函数 f(x) = x^2 - 2x - 1，求其值域。
例2：求函数 f(x) = (x+2)/((1+x^2)(x^2+5)) 的最小值，并求此时 x 的值。
变式训练：求函数 f(x) = (x-1)/(x-1) 的值域。
强化训练：1.下列函数中最小值是 4 的是 ()。
A。
y = x^4 + x^2B。
y = x^4 + xC。
y = x^4 - xD。
y = x^2 + 42.函数 y = x/(x^2+1)。
x∈(1,3] 的值域为 ()。
对勾函数的性质及应用(史上上最完整版)
对勾函数的性质及应用一、概念：【题型1】函数()(0,0)af x x a k =+>≠【例1】函数1()f x x =+的值域为【例2】函数3()x f x x +=+的值域为【题型2】函数()(0)ax bx cf x ac ++=>。
【例3】函数1()x x f x ++=的值域为【题型3】函数2()(0,0)axf x a b =≠>。
【例4】函数2()1xf x x =+的在区间[)2,+∞上的值域为 【解析】2x ≥，∴，函数15222≥+=【例5】如2214xa x +=-+，(1,2)x ∈，则实数a 的取值范围是(1,2)x ∈4y x x =+1144x x <+，7352a <-<【题型4】函数2()(0)ax bx cf x a ++=≠.【例6】已知1x >-，求函数710()1x x f x x ++=+的最小值。
，1x >-，7101x ++的最小值【例7】已知1x <，求函数299()x x f x +-=的最大值。
，1x <，2991x x +--的最大【题型5】函数2()(0)x mf x a +=≠ 【例8】求函数21()2x f x x x -=++在区间(1,)+∞上的最大值。
【例9】求函数2223()x x f x ++=在区间[0,)+∞上的最大值。
【例10】求函数()f x =的最小值。
类型九：函数2()0)f x a>。
【例12】求函数2()f x=的最小值。
【解析】由题可知，函数22()f x===2t=，则1()()f xg t tt==+，显然在[)2,+∞上单调递增，故min15()(2)222g t g==+=，此时0x=，故函数2()f x=的最小值为52。
【例13】求函数()f x=的值域.。
对勾函数全面解析
对勾函数f(x)=ax+的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x“叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：a>0 b>0 a<0 b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四)对勾函数的单调性(五)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，X。
对勾函数详细分析教学指导
对勾函数的性质及应用一.对勾函数的图像与性质：1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞）2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0）1、对勾函数的变形形式类型一：函数的图像与性质1.定义域：2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞)3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）,类型二：斜勾函数①作图如下1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.②作图如下：1.定义域：2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.类型三：函数。
此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到练习1.函数的对称中心为类型四：函数此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图2.求函数在上的最低点坐标3. 求函数的单调区间及对称中心类型五：函数。
此类函数定义域为，且可变形为a.若，图像如下：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是练习1.函数的在区间上的值域为b. 若，作出函数图像：1．定义域： 2. 值域：3. 奇偶性：奇函数.4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最小值，当x<0时，在x=时，取最大值5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是练习1.如，则的取值范围是类型六：函数.可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习1.函数由对勾函数向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.2.已知，求函数的最小值；3.已知，求函数的最大值类型七：函数练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为2.求函数在区间上的最大值类型八：函数.此类函数可变形为标准形式：练习1.求函数的最小值；2．求函数的值域；3.求函数的值域类型九：函数。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 错误!未找到引用源。
的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误!未找到引用源。
（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。
a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误!未找到引用源。
当x<0时，错误!未找到引用源。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它与了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点与渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
a>0 b>0对勾函数的图像（ab(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。
我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。
(完整版)对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用、 对勾函数 y ax b (a 0,b 0) 的图像与性 x质：1. 定义域： ( ,0) (0, )2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )原点呈中心对称，即 f(x) f( x) 0即 f (x) 在 x= b时，取最小值 2 ab a、 对勾函数的变形形式2. 值域： ( , 2 ab] [2 ab, )3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 对勾”的形状，且函数图像关于4.图像在一、三象限 , 当 x 0 时， y axb2 ab (当且仅当 x b取等号)， 由奇函数性质知：当x <0 时， f (x) 在 x= b时，取最大值 2 ab a 5.单调性：增区间为(,b) ,a, 减区间是( 0 ，类型一：函数 y ax b (a 0,b x 质1. 定义域： ( ,0) (0, )0)的图像与性3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状4. 图像在二、四象限, 当x<0时，f （x）在x= b时，取最小值 2ab；当x 0时，af（x）在x= b时，取最大值 2 aba5. 单调性：增区间为（0，b），（b,0 ）减区间是（b, a a a,b a)类型二：斜勾函数y ax b（ab 0）x① a 0,b 0 作图如下1. 定义域：（ ,0）（0, ）2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5. 单调性：增区间为（- ，0），（0，+ ）② a 0,b 0 作图如下：1. 定义域：( ,0) (0, )2. 值域：R3. 奇偶性：奇函数4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值5. 单调性：减区间为（- ，0），（0，+ ）2此类函数可变形为 f(x) ax cb ，可由对勾函数 y axc 上下平移得到 x x2练习 1.函数 f(x) x x 1 的对称中心为x类型四： 函数 f (x) x a (a 0,k 0)xk此类函数可变形为 f (x) (x k a ) k ，则 f ( x)可由对勾函数 y x a 左右平移， x k x 上下平移得到练习 1. 作函数 f(x) x 1 与 f(x) x 3 x 的草图x 2 x 22. 求函数 f (x) x 1 在 (2, )上的最低点坐标2x 4 3. 求函数 f(x) x x 的单调区间及对称中心x1a. 若 a 0 ，图像如下：1．定义域：( , ) 2. 值域：[ a 2 b ,a 2 b ]3. 奇偶性：奇函数 .4. 图像在一、三象限 . 当 x 0时， f (x) 在x b 时， 取最大值 a ，当 x<0 时， f(x)在 x= b 时，取最小值 a2 b 2 b5. 单调性：减区间为( b, )，( , b )；增区间是 [ b, b]类型三函数 f(x)ax 2 bx c(ac 0)x类 型 五 ： 函数 af(x) 2 xbx( )axf (x)2xa b xxb (a 0,b 0) 。
数学对勾函数(详细分析“函数”共8张)
性质一
➢ 函数y=ax+b/x的性质 ➢ Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： ➢ ⑴定义域：x≠0 ➢ ⑵值 域：〔-∞，-2 根号ab〕∪〔2根号ab ，
+∞〕 ⑶奇偶性：奇函数 ➢ ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，
y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函 数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y 为减函数 当x﹤根号b/a- 时，y为增函 数
第7页，共8页。
图像三
第8页，共8页。
数学对勾函数
第1页，共8页。
简介对Biblioteka 函数：图像，性质，单调性对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，
又被称为“双勾函数〞、"勾函数"等。也被形象称 为“耐克函数〞
所谓的对勾函数〔双曲线函数〕，是形如 f(x)=ax+b/x的函数。由图像得名。
当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值〔这里为了研究方 便，规定a>0，b>0〕，也就是当x=sqrt(b/a)的时候 〔sqrt表示求二次方根〕
第6页，共8页。
图象二
Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： 当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间局部，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数 当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数 对号函数是双曲线旋转得到的，所以也有渐近线、焦点、顶点等等 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示。 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数 当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数 Ⅰ当a、b均大于零时，性质 ： ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数 当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数 当a、b>0时，图像分布在第一、三象限两条渐近线的锐角之间局部，由于其对称性，只讨论第一象限中的情形。 ⑷单调性：当x﹥0时，当0﹤x﹤根号b/a 时，y为减函数 当x﹥根号b/a 时，y为增函数 当x﹤0时，当- 根号b/a﹤x﹤0时，y为减函数 当 x﹤根号b/a- 时，y为增函数 对号函数永远是奇函数，关于原点呈中心对称 ⑵值 域：〔-∞，-2 根号ab〕∪〔2根号ab ，+∞〕 ⑶奇偶性：奇函数 当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值〔这里为了研究方便，规定a>0，b>0〕，也就是当x=sqrt(b/a)的时候〔sqrt表示求二次方根〕 ⑹对称性：图像关于原点对称 利用平均值不等式〔a>0，b>0且ab的值为定值时，a+b≥2√ab〕可知最小值是2倍根号ab，在x=根号下b/a的时候取得，所以在〔0，负根号下b/a〕 上单调递减，在〔根号下b/a，正无穷〕上单调递增
对勾函数讲解与例题解析
对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。
如图一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。
它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。
(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。
当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。
这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。
当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。
故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。
如下图所示：当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。
但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。
（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。
）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号）对勾函数的图像（ab 异号）渐进线的位置有所改变罢了。
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。
之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。
(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
利用均值不等式可以得到：当x>0时，。
当x<0时，。
即对勾函数的定点坐标：(三) 对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。
(四) 对勾函数的单调性(五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六)对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。
对勾函数绝对经典
对勾函数绝对经典
对勾函数是一种常见而特殊的函数。
虽然在高中教材上不出现，但是考试经常涉及，因此需要了解它。
一、对勾函数的图像
对勾函数形如f(x)=ax+b/x，是一种类似于反比例函数的一般函数。
当a≠0，b≠0时，它是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x的“叠加”而成。
当a，b同号时，对勾函数的图像由直线y=ax和双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾，因此称为“对勾函数”、“勾勾函数”或“海鸥函数”。
当a，b异号时，图像会发生质的变化，但仍可以看作是两个函数的“叠加”。
二、对勾函数的顶点
对勾函数的顶点坐标可以通过均值不等式求得，当x>0时，顶点坐标为(-b/a,a)，当x<0时，顶点坐标为(b/a,-a)。
三、对勾函数的定义域、值域
由顶点坐标可以确定对勾函数的定义域和值域。
当a>0，b>0时，定义域为(-∞,-b/a)∪(0,∞)，值域为(-∞,0)∪(b/a,∞)。
四、对勾函数的单调性
对勾函数在定义域内是单调递减的。
五、对勾函数的渐进线
对勾函数的渐进线为y=ax，即当x趋近于无穷大时，函数值趋近于y=ax。
六、对勾函数的奇偶性
对勾函数在定义域内是奇函数。
对勾函数的性质在解数学题时非常有用。
例如，可以通过求顶点坐标来求函数的最小值。
又如，可以利用单调性来确定函数的单调区间。
对勾函数的性质(经典实用)
对勾函数的性质(经典实用)一、定义与表达式对勾函数，也称为双曲正弦函数，其表达式为：$ f(x) =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $。
这个函数的名称来源于其图像形状类似于一个对勾，即勾号“√”。
二、性质分析1. 奇偶性：对勾函数是一个奇函数，即满足 $ f(x) = f(x) $。
这意味着函数图像关于原点对称。
2. 单调性：对勾函数在定义域内（$ x \in \mathbb{R} $）是单调递增的。
当 $ x $ 增大时，$ f(x) $ 也随之增大。
3. 极限性质：当 $ x $ 趋向于正无穷大或负无穷大时，$ f(x) $ 分别趋向于 1 和 1。
这可以通过计算极限 $ \lim_{x \to \infty} f(x) $ 和 $ \lim_{x \to \infty} f(x) $ 得到。
4. 导数与凹凸性：对勾函数的一阶导数为 $ f'(x) =\frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} $。
由于导数始终大于 0，函数在整个定义域内是凹的。
这意味着函数图像在任意点处的切线都在函数图像的下方。
5. 积分性质：对勾函数的积分形式为 $ \int f(x) dx = \ln|x+\sqrt{1+x^2}| + C $，其中 $ C $ 为积分常数。
这个积分形式在对勾函数的应用中非常有用，例如在解决某些物理问题时。
6. 应用领域：对勾函数在多个领域都有应用，如物理学、工程学、统计学等。
例如，在物理学中，对勾函数可以用来描述某些非线性系统的行为；在工程学中，它可以用来解决某些优化问题；在统计学中，它可以用来构建概率密度函数。
三、结论对勾函数作为一个经典的数学工具，其性质独特且应用广泛。
理解并掌握对勾函数的性质，有助于我们在解决实际问题中更加得心应手。
对勾函数的性质(经典实用)一、定义与表达式对勾函数，也称为双曲正弦函数，其表达式为：$ f(x) =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $。
对勾函数的性质及应用(史上上最完整版)
对勾函数的性质及应用一、概念：【题型1】函数()(0,0)af x x a k =+>≠【例1】函数1()f x x =+的值域为【例2】函数3()x f x x +=+的值域为【题型2】函数()(0)ax bx cf x ac ++=>。
【例3】函数1()x x f x ++=的值域为【题型3】函数2()(0,0)axf x a b =≠>。
【例4】函数2()1xf x x =+的在区间[)2,+∞上的值域为 【解析】2x ≥，∴，函数15222≥+=【例5】如2214xa x +=-+，(1,2)x ∈，则实数a 的取值范围是(1,2)x ∈4y x x =+1144x x <+，7352a <-<【题型4】函数2()(0)ax bx cf x a ++=≠.【例6】已知1x >-，求函数710()1x x f x x ++=+的最小值。
，1x >-，7101x ++的最小值【例7】已知1x <，求函数299()x x f x +-=的最大值。
，1x <，2991x x +--的最大【题型5】函数2()(0)x mf x a +=≠ 【例8】求函数21()2x f x x x -=++在区间(1,)+∞上的最大值。
【例9】求函数2223()x x f x ++=在区间[0,)+∞上的最大值。
【例10】求函数()f x =的最小值。
类型九：函数2()0)f x a>。
【例12】求函数2()f x=的最小值。
【解析】由题可知，函数22()f x===2t=，则1()()f xg t tt==+，显然在[)2,+∞上单调递增，故min15()(2)222g t g==+=，此时0x=，故函数2()f x=的最小值为52。
【例13】求函数()f x=的值域.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题 对勾函数及其应用1．对勾函数定义对勾函数是指形如：y ＝ax ＋bx (a>0,b>0)的一类函数，因其图象形态极像对勾，因此被称为“对勾函数”。
2．对勾函数y ＝ax ＋bx(a >0，b >0)的性质(1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：(－∞，－2ab ]∪[2ab ，＋∞)． (3)奇偶性：在定义域内为奇函数． (4)单调性：(－∞，－b a)，(ba，＋∞)上是增函数；(－ba，0)，(0，ba)上是减函数． 3．y ＝ax ＋bx (a >0，b >0)的单调区间的分界点：±b a. 求分界点方法：令ax ＝bx⇒x ＝±b a. 特殊的，a >0时，y ＝x ＋ax的单调区间的分界点：±a .4．对勾函数应用时主要是利用对勾函数单调性求其最值，解题时要先找出对应的单调区间，然后求解． 5．利用对勾函数求最值，常常用到如下的重要不等式： 若a >0，b >0，则x >0时，ax ＋bx ≥2ab .当且仅当ax ＝bx，x ＝ba时取等号． 例1 已知f (x )＝x ＋5x ，求f (x )在下列区间的最小值．(1)[1,2]; (2)[3,4]; (3)[－3，－1]．变式训练 已知函数f (x )＝x 2＋5x 2＋4，求f (x )的最小值，并求此时x 的值．例2 求函数f (x )＝x 2－2x －1x ＋2(0≤x ≤3)的值域．变式训练 求函数f (x )＝x 2－4x ＋12x －1，x ∈[]2，5的值域．强化训练1．下列函数中最小值是4的是( )A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝x ＋2x C ．y ＝4x x-D ．y ＝x 2＋1x 2＋1＋3，(x ≠0) 2．函数y ＝x ＋4x，x ∈(1,3]的值域为( )A ．[133，5)B ．[4,5)C ．[133，4) D ．(4,5)3．函数y ＝－x ＋41－x ＋3，x ∈[)－1，0的值域为____________．4．y ＝2x 2＋31＋x 2的最小值是________．5．已知x >0，则2＋x ＋4x的最小值是________．6．函数y ＝x ＋3x 在区间[-2,-1]上的最大值为____________．7．若函数y ＝xax y 2+=(a ＞0)在区间(5，＋∞)上单调递增，则a ∈________________. 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3x (x ∈[2，＋∞))．(1)求f (x )的最小值；(2)若f (x )>21122+-a a 恒成立，求a 的取值范围．9．已知函数f (x )＝x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，a >0.(1) 当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2) 若函数f (x )的最小值为4，求实数a .10求函数()f x x=的最大值.（较难）参考答案1．C A 选项，由于x 可取负值，显然最小值不是4，排除A ； B 选项，由于x 可取负值，显然最小值也不是4，排除B ； C 选项，由于y ＝2·2x ＋22x ＝2(2x ＋12x )，换元，令t ＝2x ，t >0，则y ＝2(t ＋1t )≥4，当且仅当t ＝1即x ＝0时，函数有最小值4，D 选项，由于y ＝x 2＋1x 2＋1＋3＝x 2＋1＋1x 2＋1＋2，换元，令t ＝x 2＋1，t >1，则y ＝t ＋1t ＋2，函数在(1，＋∞)上单调递增，因此y >4，排除D 选项．综上，答案为C.2．B 由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值4，又函数在(1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增， f (1)＝5，f (3)＝3＋43＝133，所以值域为[4,5)，答案为B.3．[6,7)解析 y ＝－x ＋41－x ＋3＝1－x ＋41－x ＋2，换元，令t ＝1－x ，则x ∈[)－1，0时t ∈(1,2]， y ＝t ＋4t ＋2，函数在(1,2]上单调递减，若t ＝1，则y ＝1＋41＋2＝7，若t ＝2，则y ＝2＋42＋2＝6，故函数值域为[6,7)． 4．26－2解析 换元，令t ＝1＋x 2，则t ≥1，x 2＝t －1， y ＝2(t －1)＋3t ＝2t ＋3t －2，函数在[1，32]上单调递减，在[32，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝32时，函数有最小值26－2.5．6解析 由对勾函数性质可知，当x ＝4x ，即x ＝2时，表达式有最小值6.6．23解析 因为y ＝x ＋3x 在区间[1, 3 ]上单调递减，在[3，2]上单调递增，所以当x ＝3时函数有最小值2 3.7．(0,5] 8．1 760解析 池底面积为82＝4 cm 2，设池底宽为x cm ，则长为4x cm ，则水池的造价为4×120＋2(4x ×2＋x ×2)×80＝480＋1 280x＋320x ≥480＋2 1 280x×320x ＝1 760. 9．解析 (1)设休闲区的宽为a 米，则其长为ax 米． 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x，则S ＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160 ＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010(2x ＋5x)＋4 160， 即S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160. (2)S ＝8010(2x ＋5x)＋4 160≥16010·10＋4 160＝5 760， 当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时取等号，此时a ＝40， ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米． 10．解析 (1)设AD ＝t 米，则由题意得xt ＝600，且t >x ， 故t ＝600x >x ，可得0<x <106，则y ＝800(3x ＋2t )＝800(3x ＋2×600x )＝2 400(x ＋400x)，所以y 关于x 的函数解析式为y ＝2 400(x ＋400x )(0<x <106)．(2)y ＝2400(x ＋400x)≥2 400×2x ·400x＝96 000， 当且仅当x ＝400x，即x ＝20时等号成立．故当x 为20米时，y 最小．y 的最小值为96 000元． 11．解析 (1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)， 且x 1<x 2，f (x )＝x ＋3x ＋2.则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2) (1－3x 1x 2)， ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0， 又∵x 1≥2，x 2>2， ∴x 1x 2>4,1－3x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 故f (x )在[2，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝2时，f (x )有最小值f (2)＝112.(2)∵f (x )>a 恒成立，∴只需f (x )min >a . 又∵f (x )min ＝112，∴a <112.12．解析 (1) a ＝12时， f (x )＝x ＋12x ， x ∈[1，＋∞)．令x ＝12x (x >0)，得x ＝22∉[1，＋∞)，∴不能用不等式求最值． 设1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2) ＝(x 1－x 2)＋(12x 1－12x 2)＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)<0， ∴函数 f (x ) 在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝32.(2)当0<a <1时，令x ＝ax ，得x ＝a <1,∵a ∉[1，＋∞) ，∴类似于(1)可知函数f (x )在[1，＋∞)上是单调递增函数， ∴f min (x )＝f (1)＝1＋a ＝4， 得a ＝3，与0<a <1不符(舍)；当a ≥1时，a ≥1，∴由不等式知x ＋ax ≥2a ，当x ＝ax ，即x ＝a 时， f min (x )＝2a ＝4，解得a ＝4.综上所述，函数f (x )的最小值为4时，a ＝4.13．解析 (1)依题意，当x ＝0 时，C ＝8，∴k ＝40 ， ∴C (x )＝403x ＋5，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10，设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]， ∴y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t－10＝70，当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立．这时x ＝5 ，因此f (x )的最小值为70.即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．。