高三复习导学案——推理、证明、数学归纳法(含详细答案)

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合情推理与演绎推理导学案

【学习要求】

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用. 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

【课前准备】

自主梳理

推理⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧

合情推理⎩⎪⎨⎪⎧

⎩⎨⎪

⎧

定义：由个别事实推演出 的结论.特点：是由 到整体、由 到一般的

推理. ⎩⎪⎨⎪⎧

定义：由两个(或两类)对象之间在某些方 面的相似或相同推演出它们在其他方

面也相似或相同.

演绎推理⎩⎪⎨⎪⎧

模式：三段论⎩⎪⎨⎪⎧ ①大前提——已知的 ；

②小前提——所研究的 ；③结论——根据一般原理，对

作出的判断.特点：演绎推理是由 到 的推理.

【自我检测】

1．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝________.

2．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：

①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；

②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；

③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”．其中类比结论正确的个数是________________________________________________________．

3．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．

5．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为____________________________________________________.

【活动探究】

探究点一 归纳推理

例1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n

2＋a n

，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理

由．

变式迁移1 观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝3

4

.

由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

探究点二 类比推理

例2 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：

从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p c

h c

＝1.

请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．

变式迁移2 在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 2

2

，将此结

论类比到空间有___________________________________________

探究点三 演绎推理

例3 在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足．求证：AB 的中点M 到D 、E 的距离相等．

变式迁移3 指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？

证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．

【课堂小结】

1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：

从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．

2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．

3．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．

【课后作业】

一、填空题(每小题6分，共48分)

1．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果分别为________________．