二次函数的应用题

二次函数的应用

知识点：

二次函数图象的画法 （五点绘图法）：

利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对

称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点

()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则

取两组关于对称轴对称的点）．

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．

二次函数的图象及性质

1． 二次函数2y ax =0a ≠（）的性质：

⑴抛物线2y ax =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0x =（y 轴）． ⑵函数2y ax =的图像与a 的符号关系．

①当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点； ②当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点；

2．二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质

3． 二次函数2y ax bx c =++0a ≠（）或2()y a x h k =-+（0a ≠）的性质

⑴开口方向：00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上

向下

⑵对称轴：2b

x a

=-（或x h =）

⑶顶点坐标：2

4(,)24b ac b a a

--（或(,)h k ）

⑷最值：

0a >时有最小值

2

44ac b a -（或k ）（如图1）； 0a <时有最大值2

44ac b a

-（或k ）（如图2）； ⑸单调性：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的变化情况（增减性）

①如图1所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-，y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右侧2b

x a

<- ，

y 随x 的增大而增大；

②如图2所示，当0a >时，对称轴左侧2b x a <-， y 随着x 的增大而增大，在对称轴的右侧2b

x a

<-，

y 随x 的增大而减小； ⑹与坐标轴的交点：①与y 轴的交点：（0，C ）；②与x 轴的交点：使方程20ax bx c ++=（或2()0a x h k -+=） 成立的x 值．

一、图象信息题

【例1】 如图1，在矩形矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动

至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则ABC ∆的面积是 ( ) A ．10 B ．16 C ．18 D ．20

C D

B

A

P

【解析】由图象知矩形ABCD 中，5AB CD ==，宽4BC AD ==，所以ABC ∆的面积为1

45102

⨯⨯=．

【答案】A

2.如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a b ∥，Rt GEF ∆从如图所示 的

位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直到EG 与BC 重合．运动过程中GEF ∆与矩形ABCD 重合部分．．．．的面积()S 随时间()t 变化的图象大致是

F

E G

A B

C

D

A

B

C

D

【答案】B

3.正方形边长为3，若边长增加x ，则面积增加y ．求y 与x 之间的函数关系式．

【答案】26y x x =+

4.有一边长为5米的正方形场地，现在要在里面建一矩形游泳池，如图所示，要求一边距场地边缘为x

米，一边为2x 米，求矩形的面积y 与x 的关系表达式．

【答案】221525y x x =-+(0 2.5)x <<

二、 利润问题

1.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示．

（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．

（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果． （3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大。

kg ）

【答案】（1）图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高

于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2） 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩

≤≤（）

（＞），由图可知资金金额满足240

＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．（3）即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．

2.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成

本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；

（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元

时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

（3） 若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．

【答案】（1）120y x =-+；（2）W

2

(90)900x =--+，∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（3）销售单价x 的范围是7087x ≤≤．

3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国

家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．

（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）

（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？

（3） 每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】

（1）2

224320025

y x x =-++；（2）每台冰箱应降价200元．（3）每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．

三、 增长率问题

1某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间

满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两