微积分 高斯公式与散度
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1 V
Fd S
1 V
*
div F dV div F ( M )
源头强度：
M
lim
1 V
F d S
lim
1 V
M
div
*
F dV
lim div F ( M )
M
div F ( M )
div F ( M )
表示不可压缩流体的稳定流场 F 在点M 处
的体积为 V ， 证明：
S
x yz dydz xy z dzdx z ( 1 xyz ) dxdy V .
2 2 2 2
(1 ) A e
i cos( xy ) j cos( xz ) k ;
2 2 2 3
( 2 ) A ( xyz , x yz , xy z )在点( 1 ,1 ,1 ) 处。
例5、求向量场
2
2
A ( 2 x z ) i x y j xz
k 穿过
流向外侧的流量。其中
的源头强度。
div F ( M ) 0
称向量场在点 M 处有正源，即在点M 处 及其近旁有流体在涌出。
div F ( M ) 0
称向量场在点M 处有负源或漏，即在点
M
处及其近旁有流体在消失。
div F ( M ) 0
称向量场为无源场。
例4、求下列向量场的散度。
xy 2
z
2
3
o
D xy
如左图：
1
2
3
y
1
: z z1 ( x , y ) : z z2 ( x, y)
取下侧； 取上侧； 取外侧。
2
x
3
:
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分
与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P , Q , R 分别是对什么变量求偏导数； ②是否满足高斯公式的条件； ③ 取的是闭曲面的外侧。
2 2 2
Biblioteka Baidu
z
h
2 2 2 其中 为锥面 x y z 介于平
z 面 z 0 ，
h ( h 0 ) 之间的部分的下侧，
cos , cos , cos
是 在 ( x , y , z ) 处的
x
o
y
单位法向量的方向余弦。
若上述问题中的曲面改为取上侧，则如何计算？
例3、计算曲面积分
P ( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
在点 ( x , y , z ) 处的散度
div F
P x
Q y
R z
( x, y, z)
用散度来表示的高斯公式的另外一种形式：
div
F dV
F d S
: 立方体 0 x a , 0 y a , 0 z a
的整个表面。
四、小结 1、高斯公式
P Q y R z
( x
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
2、应注意的条件
（1）P , Q , R C ( 1 ) ( ) ；
第六节
高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式 定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
( x
P
Q y
R z
) dV
设M 为场内一点，为包围点 M 的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S 表示单位时间内通过 流向 外部的流体
的总质量，即流量或通量。
F 其中： ( x , y , z ) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
取外侧。
平均源强：单位时间从单位体积内流出的平均流量，即
I
z
,
xdydz ydzdx zdxdy (x
2
y
2
z )
2
3 2
为
o
y
椭球面
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
的外侧。
x
若上式中的 为球面
x
2
y z
2
2
1
的外侧时如何计算？
三、散度 （divergence） 定义： C
(1 )
向量场 F ( x , y , z )
二、高斯公式的应用 例1、计算曲面积分
z
3
( x
y ) dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面 x 2
y
2
1及
平面 z 0 z 3 ，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面 的外侧。
x
1
o
1
y
例2、计算曲面积分
( x cos y cos z cos ) dS
（2） 是有界闭区域 的边界曲面的外侧；
（3）P , Q , R对应的位置。 3、物理意义： div
F dV
F d S
作业
习题8-6：1（3）（4）（5）、3
思考题
2 2 2 由曲面 z a x y 与平面 z 0 设空间区域
围成，其中 a为正常数。记 表面的外侧为S ，
Pdydz
Qdzdx Rdxdy .
其中
表示 的边界曲面的外侧。
高斯公式：
( x
P
Q y
R z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
( P cos
Q cos R cos ) dS
Fd S
1 V
*
div F dV div F ( M )
源头强度：
M
lim
1 V
F d S
lim
1 V
M
div
*
F dV
lim div F ( M )
M
div F ( M )
div F ( M )
表示不可压缩流体的稳定流场 F 在点M 处
的体积为 V ， 证明：
S
x yz dydz xy z dzdx z ( 1 xyz ) dxdy V .
2 2 2 2
(1 ) A e
i cos( xy ) j cos( xz ) k ;
2 2 2 3
( 2 ) A ( xyz , x yz , xy z )在点( 1 ,1 ,1 ) 处。
例5、求向量场
2
2
A ( 2 x z ) i x y j xz
k 穿过
流向外侧的流量。其中
的源头强度。
div F ( M ) 0
称向量场在点 M 处有正源，即在点M 处 及其近旁有流体在涌出。
div F ( M ) 0
称向量场在点M 处有负源或漏，即在点
M
处及其近旁有流体在消失。
div F ( M ) 0
称向量场为无源场。
例4、求下列向量场的散度。
xy 2
z
2
3
o
D xy
如左图：
1
2
3
y
1
: z z1 ( x , y ) : z z2 ( x, y)
取下侧； 取上侧； 取外侧。
2
x
3
:
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分
与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P , Q , R 分别是对什么变量求偏导数； ②是否满足高斯公式的条件； ③ 取的是闭曲面的外侧。
2 2 2
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z
h
2 2 2 其中 为锥面 x y z 介于平
z 面 z 0 ，
h ( h 0 ) 之间的部分的下侧，
cos , cos , cos
是 在 ( x , y , z ) 处的
x
o
y
单位法向量的方向余弦。
若上述问题中的曲面改为取上侧，则如何计算？
例3、计算曲面积分
P ( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
在点 ( x , y , z ) 处的散度
div F
P x
Q y
R z
( x, y, z)
用散度来表示的高斯公式的另外一种形式：
div
F dV
F d S
: 立方体 0 x a , 0 y a , 0 z a
的整个表面。
四、小结 1、高斯公式
P Q y R z
( x
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
2、应注意的条件
（1）P , Q , R C ( 1 ) ( ) ；
第六节
高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式 定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
( x
P
Q y
R z
) dV
设M 为场内一点，为包围点 M 的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S 表示单位时间内通过 流向 外部的流体
的总质量，即流量或通量。
F 其中： ( x , y , z ) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
取外侧。
平均源强：单位时间从单位体积内流出的平均流量，即
I
z
,
xdydz ydzdx zdxdy (x
2
y
2
z )
2
3 2
为
o
y
椭球面
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
的外侧。
x
若上式中的 为球面
x
2
y z
2
2
1
的外侧时如何计算？
三、散度 （divergence） 定义： C
(1 )
向量场 F ( x , y , z )
二、高斯公式的应用 例1、计算曲面积分
z
3
( x
y ) dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面 x 2
y
2
1及
平面 z 0 z 3 ，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面 的外侧。
x
1
o
1
y
例2、计算曲面积分
( x cos y cos z cos ) dS
（2） 是有界闭区域 的边界曲面的外侧；
（3）P , Q , R对应的位置。 3、物理意义： div
F dV
F d S
作业
习题8-6：1（3）（4）（5）、3
思考题
2 2 2 由曲面 z a x y 与平面 z 0 设空间区域
围成，其中 a为正常数。记 表面的外侧为S ，
Pdydz
Qdzdx Rdxdy .
其中
表示 的边界曲面的外侧。
高斯公式：
( x
P
Q y
R z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
( P cos
Q cos R cos ) dS