微积分 高斯公式与散度
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散度定理与高斯公式
散度定理与高斯公式在研究电磁学、流体力学以及热传导等领域时，散度定理和高斯公式是非常重要的数学工具。
它们可以用于描述和解释物质和能量在空间中的流动和分布规律。
本文将深入探讨散度定理和高斯公式的概念、原理和应用，并通过实例展示其在实际问题中的作用。
一、散度定理散度定理又称为高斯散度定理，它是微积分中的一个基本定理。
简单来说，散度定理描述了一个有向闭曲面上向量场的通量与该向量场在该闭曲面所围成的体积之间的关系。
下面我们来详细介绍一下散度定理。
散度定理的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为闭曲面S。
那么散度定理可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV在这里，F·dS表示对于向量场F的通量积分，div(F)表示F的散度。
从散度定理中可以看出，一个向量场的通量积分等于该向量场在体积内的散度的体积分。
散度定理的应用非常广泛，包括但不限于以下几个方面：1. 流体力学中的应用：通过散度定理可以计算一个流体的流出流量或流入流量，从而在实际应用中可以用于计算管道中的流体流速、流量、压力等参数。
2. 电磁学中的应用：散度定理可以描述电场与磁场的分布规律，并用于计算电场或磁场的总通量。
3. 热传导中的应用：散度定理可以用于描述热流在空间中的传导规律，并用于计算热量的传递率等参数。
二、高斯公式高斯公式又称为高斯定理，它是微积分中的另一个基本定理。
高斯公式是对于散度定理在三维空间中的一种特殊情况，即当闭曲面是一个球面时，散度定理被称为高斯公式。
下面我们来详细介绍一下高斯公式。
高斯公式的数学表述如下：对于向量场F，其连续可微函数，它的定义域为包围体V内的有界区域D，其边界为球面S。
那么高斯公式可以表示为：∬S F·dS = ∭V div(F) dV由高斯公式的形式可知，在计算球面上的通量积分时，等于该向量场在球内的散度的体积分。
散度与高斯公式
D
CuvdxuvdyC ydx ydy(01)dxdy. D
错解：由题意得
F(
x,
y){
y,
1}
，
G(
x,
y){0,
1}
，
F ( x, y)G( x, y)1 ，故 F Gdxdydxdy 。
D
D
§10.5 高斯公式
10.5.1 高斯（Gauss）公式 一、高斯定理
设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成,
x
,
y){
u
u,
v
v
}
，又已知在圆周x
2
y
2
1
x y x y
上， u(x, y) 1 ，v( x, y) y ，求F Gdxdy 。
D
解：
F Gdxdy
v(
u x
u ) u( y
v x
v y
)dxdy
D
D
u v u v
[(v
x
u x
)(v
y
u y
)]dxdy [ 间的部分的下侧,
cos,cos,cos
是Σ在( x, y, z)处
o
y
的外法向量的方向余弦. x
解 曲面不是封闭曲面, 为利用
z
高斯公式
补充 1 : z h ( x2 y2 h2 ) 1 h
1取上侧， 1构成封闭曲面， 1围成空间区域 . 在上使用高斯公式 ,
o Dxy
y
x
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
C( AO)OA 才是正向封闭曲线。
P e x sinymy ，Qe x cos ym ， o
P e x cos ym ， Q e x cos y ，
微积分高斯公式与散度
第六节 高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0，z h (h 0)之间的部分的下侧，
3 :
取外侧。
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数；
②是否满足高斯公式的条件；
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点，为包围点 M的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量，即流量或通量。
其中：F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
一、高斯（Gauss）公式
定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
P Q R
( )dV Pdydz Qdzdx Rdxdy.
x y z
Байду номын сангаас
其中 表示 的边界曲面的外侧。
3
其中 为柱面 x 2 y 2 1及
平面 z 0 z 3，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面
o1
y
1
的外侧。
x
例2、计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
z
其中 为锥面 x2 y2 z2介于平
h
面 z 0，z h (h 0)之间的部分的下侧，
3 :
取外侧。
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P,Q, R分别是对什么变量求偏导数；
②是否满足高斯公式的条件；
③ 取的是闭曲面的外侧。
二、高斯公式的应用
例1、计算曲面积分
z
( x y)dxdy ( y z)xdydz
x 2 yz 2dydz xy2 z 2dzdx z(1 xyz)dxdy V . S
div F dV F d S
设M 为场内一点，为包围点 M的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S
表示单位时间内通过 流向外部的流体
的总质量，即流量或通量。
其中：F ( x, y, z) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
高等数学 第六节 高斯公式 通量与散度
Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
n
Σ
当 > 0， 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0， 说明流入 的流体质量多于流出的,
表明 内有洞 ; 当 = 0， 说明流入与流出 的流体质量相等 。
根据高斯公式, 流量也可表为
P x
Q y
R z
dxdydz
2、是否满足高斯公式的条件；
3、Σ 是取闭曲面的外侧。
第2xzdydz yzdzdx z2dxdy ，
其中 是由曲面 z x2 y2 与
z 2 x2 y2 所围立体的表面外侧。
z
Dxy
2y
x
第十一章 第六节
7
例2 计算 ( x y)dxdy ( y z)xdydz ，其中 Σ 是
cos
n
0
r
0
n
0
r
0
则
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1
3dv V
3 第十一章 第六节
23
内容小结
1 高斯公式及其应用
公式
P Q R
Ω
(
x
y
z
)dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
应用 (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss
I 2 (x y z)dv
1 1
1
对称性
2 zdv h2dS
1方 程
1
1 2
h4
高斯公式通量与散度课件
通过高斯公式，可以对流体的能量进 行分析，了解流体在某一区域的能量 分布情况。
流速场分析
结合高斯公式和压力场，可以对流速 场进行分析，了解流体在某一区域的 流速大小和方向。
04
高斯公式通量与散度的推导
推导高斯公式通量部分
推导过程
利用微分几何中的高斯定理，将三维 空间中的通量转化为曲面上的积分， 再通过坐标变换和代数运算，得到通 量的高斯公式。
详细描述
高斯公式也称为高斯-奥斯特罗格 拉德斯基公式，它表示一个封闭 曲面内的体积等于该曲面所包围 的三维空间的体积的积分。
高斯公式的应用领域
总结词
高斯公式的应用领域包括物理学、工程学和统计学等。
详细描述
在物理学中，高斯公式被广泛应用于电磁学、流体动力学和量子力学等领域。在工程学中，高斯公式被用于解决 各种实际问题，如流体流动、热传导和结构分析等。在统计学中，高斯公式用于概率论和数理统计中的随机变量 和概率分布的计算。
实例三：流体流动的高斯公式应用
总结词
流体流动的特性
详细描述
流体流动具有连续性和不可压缩性，其流线 呈现出特定的规律。高斯公式在流体流动中 的应用，可以用来计算流速和流量。
06
高斯公式通量与散度的扩展思考
高斯公式的推广与应用
推广到多维空间
高斯公式在三维空间中得到了广泛应用，但其实它也可以推广到 更高维度的空间，为解决更复杂的问题提供工具。
总结词
散度是描述矢量场在某一点的发散程度。
详细描述
散度是矢量场的一个重要性质，它描述了矢量场在某一点的发散程度。对于标 量场，散度等于标量场在某一点的梯度的散度；对于矢量场，散度等于矢量场 在某一点的三个分量的散度的和。
通量与散度在物理中的意义
高斯公式 通量及散度
o 1 x
y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 ∑ 为锥面 x2 + y2 = z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧.
∑1 h h
∑
o y 解: 作辅助面 2 2 2 x ∑1: z = h, (x, y) ∈Dxy : x + y ≤ h , 取上侧
记∑,∑1所围区域为, 则
n n
当Φ = 0 时, 说明流入与流出∑ 的流体质量相等 .
③
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为了揭示场内任意点M 处的特性, 设∑ 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记∑ 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 Φ lim →M V
r2 3x2 r 2 3y2 r 2 3z2 = q + + 5 5 5 r r r ( r ≠ 0) =0
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
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内容小结
1. 高斯公式及其应用 公式:
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y P Q R )d xd y d z = ∫∫∫ ( + + x y z
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2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 设P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在空间二 维 定理 间二 单连通域G内具有连续一阶偏导数, ∑为G内任一闭曲面, 则
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = 0
高斯公式通量与散度课件
测市场趋势等。
03
历史发展
高斯公式的起源可以追溯到19世纪初，经过多位数学家的努力，最终由
德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯完善并命名。
高斯公式的未来研究方向
多维高斯公式
目前对高斯公式的讨论主要集中在二 维和三维的情况，对于更高维度的推 广和应用仍需进一步研究。
数值计算方法
与其他数学定理的结合
探索高斯公式与其他数学定理（如格 林公式、斯托克斯公式等）的内在联 系，有助于更深入地理解数学的本质 。
金融预测
在金融领域，高斯公式可以用于预 测市场趋势和风险评估，为投资者 提供决策依据。
THANKS
感谢观看
高斯公式的应用场景
总结词
高斯公式的应用场景包括计算几何形状的体积、解决物理问题以及在科学和工程领域中 的应用。
详细描述
高斯公式在计算几何形状的体积方面有着广泛的应用，例如计算球体、圆柱体和圆锥体 的体积等。此外，高斯公式在解决物理问题中也有着重要的应用，例如计算电场和磁场 的分布以及解决流体动力学问题等。在科学和工程领域中，高斯公式也被广泛应用于各
04
实例分析
实例一：二维平面上的高斯公式应用
总结词
二维平面上的高斯公式应用
详细描述
在二维平面上，高斯公式可以用来计算通量或散度。例如，在电磁学中，高斯公式可以用来计算电场 或磁场通过某个区域的通量。在流体动力学中，高斯公式可以用来计算流体的散度。
实例二：三维空间中的高斯公式应用
总结词
三维空间中的高斯公式应用
判断流动方向
通过高斯公式计算出的散度，可以判 断矢量场的流动方向，对于流体动力 学和气象学等领域具有重要意义。
高斯公式在通量与散度中的综合应用
高斯公式散度
包围的区域为V ,记体积为V .若当V 收缩成点 M 时,
极限
lim
lim
A dS
存在,
V V M
V M
V
则称此极限值为 A在点 M 处的散度, 记为divA.
根据高斯公式, 流量可表为
lim VM V
17
lim VM V
积分中值定理,
P x
Q y
ndS AndS
其中是空间闭区域的边界曲面，
An是向量A在曲面的外侧法向量上的投影.
(
An
A
n
P
cos
Q cos
R cos
)
19
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
量的方向余弦.
2
证明:设闭区域在面 xoy上的投影区域为 Dxy.
由1 ,2 和3 三部分组成,
z
1 : z z1( x, y)
2
2 : z z2(x, y)
3
3 : 柱面
1
下面先证:
R z
d
v
R
d
x
d
y
o
Dxy
x
y
3
根据三重积分的计算法
R dv { z2(x,y) R dz}dxdy
x
12
解： 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy
z
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
大学经典课件之高等数学——10-6高斯公式与散度
Σ
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R
高斯公式、通量与散度
分析流体的流动特性。
电磁学
02
在电磁学中，散度用于描述电场和磁场的变化规律，进而分析
电磁波的传播特性。
热力学
03
在热力学中，散度用于描述温度场的变化规律，进而分析热量
的传递和分布。
PART 05
高斯公式、通量与散度的 关系
REPORTING
WENKU DESIGN
高斯公式与通量的关系
高斯公式
在三维空间中，如果一个矢量场在任意封闭曲面上的通量都等于 零，则该矢量场在封闭曲面内的散度也为零。
几何解释
高斯公式可以从几何上理解为，一个封 闭曲面内的体积等于其边界曲面的面积 乘以平均高度。例如，一个球体内部的 体积等于其表面积乘以球的半径。
实例
以一个半径为 (R) 的球为例，其内部 体积 (V) 和表面积 (S) 分别为 (V = frac{4}{3}pi R^{3}) 和 (S = 4pi R^{2})，则高斯公式为
定义：高斯公式是微积分中的一个基本定理， 它描述了在一个封闭曲面内的体积分与其边界 上的面积分之间的关系。
(intintint_{V} dV = intint_{S} dS)
定理与证明
定理：如果 (f(x, y, z)) 是定义在 闭球 (B) 内的连续函数，则有
(int_{B} f(x, y, z) dV = int_{S} left( int_{z_{1}(x, y)} ^{z_{2}(x,
高斯公式的应用
高斯公式在许多领域都有广泛的应用，如流体动力学、电磁学、量子力学等。未来可以进一步探索高斯公式在这些领 域中的应用，并尝试将其应用于解决实际问题。
通量和散度的研究
通量和散度是描述物理量流动和分布的重要概念，未来可以进一步研究通量和散度的性质和计算方法，以及它们在物 理和工程领域中的应用。
高等数学：高斯公式 通量与散度
P x
Q R y z
d x d ydz
P d yd z Qd zd x Rd xd y
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证:令
P
u
v , x
Q
u
v , y
R
u
v , z
由高斯公式得
2v x2
2v y2
2v z2
v
v v
x
y
z
u
v cos
x
v cos
y
v cos
z
dS
移项即得所证公式.(见 P171)
d
x
d
ydz
Dxdy x d
y
z2( x, y) R z1( x, y) z
d
z
Dx y R( x, y, z2( x, y))
R( x, y, z1( x, y)) d x d y
x
2
3
1
Dxy y
Rd x d y 2 1 3 Rd x d y
D
x
R(
y
x,
y, z2 (
x,
y))dxdy
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三、通量与散度
引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为 v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
不是二维单连通区 域.
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2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 设 P( x, y, z),Q( x, y, z), R( x, y, z)在空间二维单
9.4 高斯公式 通量与散度
div A
散度为一数量，
∂P ∂Q ∂R + + G 内任意点处的散度为 div A = ∂x ∂ y ∂z
表示 场 中一 点 处通 量 对体 积 的 变化 率
r u divA
∂ P ∂Q ∂ R ⋅ ∫∫∫ d v ∂ x + ∂ y + ∂z Ω (ξ ,η ,ζ ) = lim 其中(ξ , η , ζ ) ∈ Ω Ω→ M V
2
4
取上侧, 例3 设Σ为曲面 z = 2 − x − y , 1≤ z ≤ 2取上侧, 求
2 2
I = ∫∫ (x z + x) d y d z − x yz d z d x − x z d x d y. Σ z 3 2 2 2 解 P = x z + x , Q = − x yz , R = − x z 2 ∂P ∂ Q ∂ R Σ + + = 1 作取下侧的辅助面 ∂x ∂y ∂z 1 Σ1 2 2 Σ1 : z =1 (x, y) ∈Dxy : x + y ≤1 o 1y I = ∫∫ − ∫∫ 用柱坐标 用极坐标 x
其中P, 具有连续一阶偏导数, 其中 Q, R 具有连续一阶偏导数 M(x, y, z)是场中任意一 是场中任意一 点，Σ是场内包含该点的一个分片光滑的封闭曲面, 它所围区域 Ω 的体积为V。如果当 Ω 以任意方式向点M 收缩 时，极限 都存在， 都存在，则称此极限为向量场A在点M的散度(divergence)。 ) 记作
2 2 2
则表面 x 2 + y 2 + z 2 = 4取外侧 x 2 + y 2 + z 2 = 1取 内 侧
光滑或分片光滑， （2）高斯公式成立的条件： Σ光滑或分片光滑， 高斯公式成立的条件： P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。 上一阶偏导连续。 不闭合时，采取“补面”的方法： （3）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1 封 闭，所围区域Ω。
第六节 高斯公式与散度解析
2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧.
4.若Σ不是闭曲面，可采用补上若干块曲面
后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面 构成外侧或内侧.
例4 计算 I x(8 y 1)dydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
其中
是由曲线
z
y1,1 y 3绕 y轴
x 0
z
设向量场 F(x, y,z)
P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
称数量 P Q R
x y z ( x, y,z)
为F在点( x, y, z)处的散度(divergence),记为divF ,
即
divF
P
Q
R
x y z
高斯公式可写成 divF dV F dS
其中 为 x2 y2 z2 1的内侧 .
解 记 所围立体区域为 , 则
原积分 [3( x2 y2 z2 ) 6]dxdydz
2
30
d
0
sind
1
0 r
4dr
6
4
3
13
3 2 2 1 8 52 .
5
5
使用Guass公式时应注意:
1. P,Q,R 是对什么变量求偏导数;
设 有向量场
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一定向曲面Σ的第二类曲面积分为
F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场F ( x, y, z)向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义:
则有公式
(
P x
Q y
R )dV z
4.若Σ不是闭曲面，可采用补上若干块曲面
后使之成为闭曲面，补上的曲面要与原曲面 构成外侧或内侧.
例4 计算 I x(8 y 1)dydz 2(1 y2 )dzdx 4 yzdxdy
其中
是由曲线
z
y1,1 y 3绕 y轴
x 0
z
设向量场 F(x, y,z)
P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
称数量 P Q R
x y z ( x, y,z)
为F在点( x, y, z)处的散度(divergence),记为divF ,
即
divF
P
Q
R
x y z
高斯公式可写成 divF dV F dS
其中 为 x2 y2 z2 1的内侧 .
解 记 所围立体区域为 , 则
原积分 [3( x2 y2 z2 ) 6]dxdydz
2
30
d
0
sind
1
0 r
4dr
6
4
3
13
3 2 2 1 8 52 .
5
5
使用Guass公式时应注意:
1. P,Q,R 是对什么变量求偏导数;
设 有向量场
F ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
沿场中某一定向曲面Σ的第二类曲面积分为
F dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
称为向量场F ( x, y, z)向正侧穿过曲面Σ的通量.
2. 散度的定义:
则有公式
(
P x
Q y
R )dV z
10、6高斯公式通量与散度
10、6高斯公式通量与散度§10.6 高斯公式通量与散度一、高斯公式格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Ω∑++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv Z R y Q x P )((1) 或Ω∑γ+β+α=??+??+??dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()((1') 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，}γ是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(１)或(1'证：由两类曲面积分的关系，公式(1)与(1')的右端是相等的，因此这里只要证明公式(1)就可以了。
设闭区域Ω在xoy 面上的投影区域为xy D ，假定穿过Ω内部且平行z 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好是两个。
这样，可设∑由1∑，2∑和3∑三部分组成，其中1∑和2∑分别由方程),(1y x z z =和),(2y x z z =给定，这里),(),(21y x z y x z ≤，1∑取下侧，2∑取上侧；3∑是以xy D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面上的一部分，取外侧。
根据三重积分的计算法，有[]Ω-=??=??y x y x D D y x z y x z y x z y x R y x z y x R dxdy dz zRdv z R )],(,,[)],(,,[12),(),(21 (2) ∑-=1)],(,,[),,(1xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R∑=2)],(,,[),,(2xyD dxdy y x zy x R dxdy z y x R因为3∑上任意一块曲面在xoy 面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知∑=30),,(dxdy z y x R把以上三式相加，得∑-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12(3)比较(2)、(3)两式，得Ω∑=??dxdy z y x R dv z R),,( 如果穿过Ω内部且平行于x 轴的直线以及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好有两点，那么类似地可得Ω∑=??dydz z y x P dv x P),,( Ω∑=??dzdx z y x Q dv y Q),,( 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(1)。
Gauss公式与散Stokes公式
有向封闭曲面
外侧的流量
v ndS
，其中n
为
外
侧的单位法向量 ， 所围成的区域为 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源”； （2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞”；
（3）0 ，流出等于流入。
比式
1 V
vndS
表示流速场中单位时间内从单位
体积内流出 的平均流量，称为流速场 v在内的
(1,1,0)
2
.
3.5 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯 (Stokes) 公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广，而格林 公式还可从另一方面推广，就是将曲面 的曲面积分 与该曲面 的边界闭曲线 C 的曲线积分 联系起来。
定理3.4（斯托克斯定理）
n
设分片光滑曲面 的边界是分段光滑闭曲线 C 。 空间
（2）若当积P分 x曲, 面Q y不, 封R 闭z，时则，添由加G辅au助ss 曲公面式使得之封闭；
当封闭xd曲y面dz取内yd侧z时dx，Gzdaxussd公y 式3中的dV符号3V应，为负号；
应用 Gauss 公式前首先要检验 P, Q,R, P , Q , R 的
x y z
故连续V条件。dV
Dxy
二、旋度
1、环量
定义设有向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，
称 A 沿有向闭曲线 C 的 曲线积分
C Ads C Pdx Qdy Rdz
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
环量表示了向量场 A 沿有向闭曲线 C 旋转的整体
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 记其所围成的空间区域为 ，
微积分II课件——11-6 高斯公式Gauss公式 通量与散度
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
)dv
=
∫∫
vndS
Ω
Σ
1 V
∫∫∫
Ω
(∂P ∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R )dv ∂z
=
1 V
∫∫
Σ
vndS
积分中值定理,
∫∫ (∂P
∂x
+
∂Q ∂y
+
∂R) ∂z
(ξ ,η ,ζ
)
=
1 V
Σ
vndS
两边取极限,
∫∫ ∂P + ∂Q + ∂R = lim 1
∂x ∂y ∂z Ω→M V
Σ
vndS
divA = ∂P + ∂Q + ∂R ∂x ∂y ∂z
高斯公式可写成 ∫∫∫ divAdv = ∫∫ AndS
Ω
Σ
其中Σ是空间闭区域 Ω的边界曲面，
An是向量A 在曲面Σ的外侧法向量上的投影 .
( An = A ⋅ n0 = P cosα + Q cos β + Rcosγ )
四、小结
解 P = ( y − z)x, Q = 0, x R = x − y,
1
3
z
o1
y
∂P = y − z, ∂Q = 0, ∂R = 0,
∂x
∂y
∂z
z
原式 = ∫∫∫ ( y − z)dxdydz Ω (利用柱面坐标得)
= ∫∫∫ (r sinθ − z)rdrdθdz
Ω
x
= − 9π . 2
1
Σ
Σ
= ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
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第六节
高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式 定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
( x
P
Q y
R z
) dV
(1 ) A e
i cos( xy ) j cos( xz ) k ;
2 2 2 3
( 2 ) A ( xyz , x yz , xy z )在点( 1 ,1 ,1 ) 处。
例5、求向量场
2
2
A ( 2 x z ) i x y j xz
k 穿过
流向外侧的流量。其中
P ( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
在点 ( x , y , z ) 处的散度
div F
P x
Q y
R z
( x, y, z)
用散度来表示的高斯公式的另外一种形式：
div
F dV
F d S
设M 为场内一点，为包围点 M 的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S 表示单位时间内通过 流向 外部的流体
的总质量，即流量或通量。
F 其中： ( x , y , z ) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
取外侧。
平均源强：单位时间从单位体积内流出的平均流量，即
I
z
,
xdydz ydzdx zdxdy (x
2
y
2
z )
2
3 2
为
o
y
椭球面
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
的外侧。
x
若上式中的 为球面
x
2
y z
2
2
1
的外侧时如何计算？
三、散度 （divergence） 定义： C
(1 )
向量场 F ( x , y , z )
: 立方体 0 x a , 0 y a , 0 z a
的整个表面。
四、小结 1、高斯公式
P Q y R z
( x
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
2、应注意的条件
（1）P , Q , R C ( 1 ) ( ) ；
2 2 2
z
h
2 2 2 其中 为锥面 x y z 介于平
z 面 z 0 ，
h ( h 0 ) 之间的部分的下侧，
cos , cos , cos
是 在 ( x , y , z ) 处的
x
o
y
单位法向量的方向余弦。
若上述问题中的曲面改为取上侧，则如何计算？
例3、计算曲面积分
二、高斯公式的应用 例1、计算曲面积分
z
3
( x
y ) dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面 x 2
y
2
1及
平面 z 0 z 3 ，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面 的外侧。
x
1
o
1
y
例2、计算曲面积分
( x cos y cos z cos ) dS
z
2
3
o
D xy
如左图：
1
2
3
y
1
: z z1 ( x , y ) : z z2 ( x, y)
取下侧； 取上侧； 取外侧。
2
x
பைடு நூலகம்
3
:
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分
与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P , Q , R 分别是对什么变量求偏导数； ②是否满足高斯公式的条件； ③ 取的是闭曲面的外侧。
1 V
Fd S
1 V
*
div F dV div F ( M )
源头强度：
M
lim
1 V
F d S
lim
1 V
M
div
*
F dV
lim div F ( M )
M
div F ( M )
div F ( M )
表示不可压缩流体的稳定流场 F 在点M 处
（2） 是有界闭区域 的边界曲面的外侧；
（3）P , Q , R对应的位置。 3、物理意义： div
F dV
F d S
作业
习题8-6：1（3）（4）（5）、3
思考题
2 2 2 由曲面 z a x y 与平面 z 0 设空间区域
围成，其中 a为正常数。记 表面的外侧为S ，
Pdydz
Qdzdx Rdxdy .
其中
表示 的边界曲面的外侧。
高斯公式：
( x
P
Q y
R z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
( P cos
Q cos R cos ) dS
的源头强度。
div F ( M ) 0
称向量场在点 M 处有正源，即在点M 处 及其近旁有流体在涌出。
div F ( M ) 0
称向量场在点M 处有负源或漏，即在点
M
处及其近旁有流体在消失。
div F ( M ) 0
称向量场为无源场。
例4、求下列向量场的散度。
xy 2
的体积为 V ， 证明：
S
x yz dydz xy z dzdx z ( 1 xyz ) dxdy V .
2 2 2 2
高斯公式与散度
一、高斯（Gauss）公式 定理：设空间闭区域 由分片光滑的曲面 围成，
函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z )在 上具有 一阶连续偏导数，则有公式：
( x
P
Q y
R z
) dV
(1 ) A e
i cos( xy ) j cos( xz ) k ;
2 2 2 3
( 2 ) A ( xyz , x yz , xy z )在点( 1 ,1 ,1 ) 处。
例5、求向量场
2
2
A ( 2 x z ) i x y j xz
k 穿过
流向外侧的流量。其中
P ( x, y, z) i Q( x, y, z) j R( x, y, z) k
在点 ( x , y , z ) 处的散度
div F
P x
Q y
R z
( x, y, z)
用散度来表示的高斯公式的另外一种形式：
div
F dV
F d S
设M 为场内一点，为包围点 M 的任一闭曲面，其
所围区域 位于场内。则
F d S 表示单位时间内通过 流向 外部的流体
的总质量，即流量或通量。
F 其中： ( x , y , z ) 为密度为1的不可压缩流体的稳定速度场；
取外侧。
平均源强：单位时间从单位体积内流出的平均流量，即
I
z
,
xdydz ydzdx zdxdy (x
2
y
2
z )
2
3 2
为
o
y
椭球面
x a
2 2
y b
2 2
z c
2 2
1
的外侧。
x
若上式中的 为球面
x
2
y z
2
2
1
的外侧时如何计算？
三、散度 （divergence） 定义： C
(1 )
向量场 F ( x , y , z )
: 立方体 0 x a , 0 y a , 0 z a
的整个表面。
四、小结 1、高斯公式
P Q y R z
( x
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
2、应注意的条件
（1）P , Q , R C ( 1 ) ( ) ；
2 2 2
z
h
2 2 2 其中 为锥面 x y z 介于平
z 面 z 0 ，
h ( h 0 ) 之间的部分的下侧，
cos , cos , cos
是 在 ( x , y , z ) 处的
x
o
y
单位法向量的方向余弦。
若上述问题中的曲面改为取上侧，则如何计算？
例3、计算曲面积分
二、高斯公式的应用 例1、计算曲面积分
z
3
( x
y ) dxdy ( y z ) xdydz
其中 为柱面 x 2
y
2
1及
平面 z 0 z 3 ，所围成的空
间闭区域 的整个边界曲面 的外侧。
x
1
o
1
y
例2、计算曲面积分
( x cos y cos z cos ) dS
z
2
3
o
D xy
如左图：
1
2
3
y
1
: z z1 ( x , y ) : z z2 ( x, y)
取下侧； 取上侧； 取外侧。
2
x
பைடு நூலகம்
3
:
（1）高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分
与其边界曲面上的曲面积分之间的关系；
（2）使用高斯公式时的注意事项：
① P , Q , R 分别是对什么变量求偏导数； ②是否满足高斯公式的条件； ③ 取的是闭曲面的外侧。
1 V
Fd S
1 V
*
div F dV div F ( M )
源头强度：
M
lim
1 V
F d S
lim
1 V
M
div
*
F dV
lim div F ( M )
M
div F ( M )
div F ( M )
表示不可压缩流体的稳定流场 F 在点M 处
（2） 是有界闭区域 的边界曲面的外侧；
（3）P , Q , R对应的位置。 3、物理意义： div
F dV
F d S
作业
习题8-6：1（3）（4）（5）、3
思考题
2 2 2 由曲面 z a x y 与平面 z 0 设空间区域
围成，其中 a为正常数。记 表面的外侧为S ，
Pdydz
Qdzdx Rdxdy .
其中
表示 的边界曲面的外侧。
高斯公式：
( x
P
Q y
R z
) dV
Pdydz
Qdzdx Rdxdy
( P cos
Q cos R cos ) dS
的源头强度。
div F ( M ) 0
称向量场在点 M 处有正源，即在点M 处 及其近旁有流体在涌出。
div F ( M ) 0
称向量场在点M 处有负源或漏，即在点
M
处及其近旁有流体在消失。
div F ( M ) 0
称向量场为无源场。
例4、求下列向量场的散度。
xy 2
的体积为 V ， 证明：
S
x yz dydz xy z dzdx z ( 1 xyz ) dxdy V .
2 2 2 2