排列组合中分组(分堆)与分配问题

太奇MBA 数学助教

李瑞玲

一．分组（分堆）与分配问题

将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。

将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。对于后者必须先分组后排列。一．基本的分组问题

例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？

（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本

（部分平均分组问题）

分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。现把六本不同的书标上

6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：

（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）

（5,6）（3,4）（1,2）

由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种

情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组

的顺序，即除以3

3

P ,于是最后知分法为156

90

332

22426==P C C C .

(2)先分组，分组方法是603

32516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很

关键的问题）

由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即

共有60332516=C C C 。

（3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需

要好好考虑）

现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）5

6

（1,2,3,4）6

5

2）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下

5

（1,2,3，4）6

6（1,2,3,4）5

3）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下

5

6（1,2,3,4）

6

5（1,2,3,4）

由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为

152

30

2

21

11246==P C C C .通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n 个不同的元素分成p 组，各组内元素个数分别为

p m m m ,,,21⋯，其中k 组内元素个数相等，那么分组方法数为

()k

k m

m m m m m n m m n m n P C C C C p

p i i ⋯⋯⋯121211−+++−−，即选完元素后要除以元素相同

的总组数的全排列！

三．基本的分配问题1.定向分配问题

例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？

（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本

分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。由分步计数原理得（1）222426C C C =90(2)60

3

32516=C C C (3)30

1

11246=C C C 2.不定向分配问题

例3.六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）每人两本

（2）一人一本，一人两本，一人三本（3）一人四本，一人一本，一人一本

分析：此题属于分配中的不定向分配问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作是“六本不同的书分为三组，再将这三组分给甲乙丙三人”，因此只要将元素的分组的方法数再乘以所分配对象的全排列即可！

所以有（1）90333

3

2

2

2426=×P P C C C （2）360333

32516=×P C C C (3)90332

2

1

1

1246=×P P C C C 结论：一般地，如果把n 个不同的元素分配给k 个不同的对象，并且每个不同的对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，结果为分组方案数乘以不同对象数的全排列。解不定向分配题的一般原则是：先分组后排列！

数学讲义上第95页排列组合本章作业

第4题属于不定向分配问题（需要先分组，再分配，其中分组为不

平均分组）结果为36033332516=×P C C C ,故选B 。

第5题属于定向分配问题，所以为60332516=C C C ,故选D 。

第6题属于不定向分配问题（需要先分组，再分配，其中分组为平均

分组）结果为903

33

3

2

22426=×P P C C C ，故选C 。第28题也属于不定向分配问题，同第6题，结果为