(2)群表示理论基础分析

第三节群表示的基及群的表示

一、基本概念

基（Base）：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。

基可以有各种类型，如矢量（x，y，z），波函数（p x，p y，p z）

群的表示（Representation）：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。

* 群的表示不是唯一的，一个群原则上有

无限多种表示。

二、群的表示（可约与不可约表示）

1、可约表示（Reducible Representation）1）定理：设一组矩阵（E，A，B，C…）构成一个群的表示。若对每个矩阵进行同样的相似变换：

E´=X-1EX

A´=X-1AX

B´=X-1BX

…………..

则（E´，A´，B´……）也是群的一个表示。

证明（封闭性）：若AB = C

A´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX

= X-1(AB)X = X-1CX = C´

2）可约表示：若能找到矩阵X可把(A、B、C…)变换成(A´、B´、C´…), 而(A´、B´、C´…)

分别为划分为方块因子的矩阵。

a13

a23 a31a32

a n1a1n a2n

a n2

a3n a n3

a11a12

a21a22

a33

a nn

b13

b23

b31b32

b n1

b1n

b2n

b n2

b3n

b n3

b11b12

b21b22

b33

b nn

c13

c23 c31c32

c n1c1n c2n

c n2

c3n c n3

c11c12

c21c22

c33

c nn

相似变换

00

若每个矩阵A´，B´，C ´, … 均按同样的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对应方块可以单独地相乘：

A 1´

B 1´=

C 1´ A 2´B 2´=C 2´ A 3´B 3´=C 3´

………..

a13

a23 a31a32

a n1a1n a2n

a n2

a3n a n3

a11a12

a21a22

a33

a nn

b13

b23

b31b32

b n1

b1n

b2n

b n2

b3n

b n3

b11b12

b21b22

b33

b nn

c13

c23 c31c32

c n1c1n c2n

c n2

c3n c n3

c11c12

c21c22

c33

c nn

0 0

0 0

…………………. ………..

因此各组矩阵E1´，A1´，B1´，C1´, …

E2´，A2´，B2´，C2´, …

…………………….

本身都是一个群的表示。

因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一个新矩阵，所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。因此我们称（E，A，B，C, …）为可约表示。

2、不可约表示（Irreducible Representation）

若找不到矩阵X，按照上述方式约化给定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约表示。不可约表示具有特殊的重要性。

三、广义正交定理（great orthogonality theorem）

1、向量的正交

1）向量及其标积。

向量的定义：

向量标积：

A

B

A·B = A·Bcosθ

2）向量正交

若A·B = 0，则称A与B正交。

* p维空间中的一个向量可借助于它在该空间中的p个正交轴上的投影来定义。以三维空间为例：

x

y

z

A 1

A

A 3A 2

A 1A 2

A 3

A = A 1 + A 2 + A 3A = A 1i + A 2j + A 3k

A 3 = A 3k

A 1 = A 1i A 2 = A 2j j = 0i i = 1i j j = 1k k = 1

k = 0i k = 0j O

据此可提出向量标积的一个等价但更为有用的表示方法，在p 维正交空间中：

A ·

B =(A 1+A 2+…+Ap )·(B 1+B 2+…+Bp )

= A 1B 1+A 2B 2+ … +ApBp

∑==p

1

i i

i B A

因此在p 维空间中两个向量的正交可表示为：

∑==p

1

i i

i 0B A

A B = A Bcos θ = 0

推论：一个向量的长度平方可写成

A 2

= A ·Acos0 = A ·A

∑==p

1

i 2

i

A