(2)群表示理论基础分析
群表示的理论基础和分子对称性
4.群表示的理论基础和分子对称性教学目标与学习指导1．本章第1节讨论分子对称性。
要求掌握五种对称元素和对称操作的乘积的概念。
2．本章第2节介绍群的基本知识。
要求对群的基本知识有一般的了解。
3．本章第3节讨论分子点群。
要求掌握分子点群的确定。
4．本章第4节讨论分子对称操作的矩阵表示。
要求掌握五种对称操作的矩阵表示法。
5．本章第5节讨论群表示的基及群的表示。
要求对群表示的一般性质有所了解。
要求掌握不可约表示和可约表示的概念以及可约表示的约化，了解特征标表。
4-1分子对称性4-2群的基本知识4-3分子对称操作群4-4分子对称操作的矩阵表示（选修）4-5群表示的基及群的表示（选修）RPbPbR的键合性质Y u Chen,Michael Hartmann,Michael Diedenhofen,and Gernot Frenking*Angew.Chem.Int.Ed.2001,40,No.11，2052群论是从实践中发展起来的一门比较抽象的数学。
但把它的基本理论与物质结构的具体对称性相结合之后，群论就成为研究物质微粒运动规律的一种有力工具。
在有关基本粒子、核结构、原子结构、分子结构以及晶体结构等问题的理论研究和计算中经常用到群论方法。
由于自然学科彼此间的交叉、渗透，在近代化学领域内，研究化学键理论和分子动力学，应用各种波谱技术等方面，群论已成为重要的工具。
4-1分子对称性对称性是物体所具有的,实施对称操作之前后不可分辨的性质。
通过研究分子的对称性，一方面可以把握分子结构的特点及说明分子的有关性质；另一方面，也可借助于分子对称性，使求解薛定谔方程的过程大为简化。
原子轨道、分子轨道及分子的几何构型的对称性，是电子运动状态及分子结构特点的内在反映。
4-1-1对称操作与对称元素4-1-2对称操作的乘积4-1-1对称操作与对称元素对称操作：每一次操作都能够产生一个与原来图形等价的图形。
也就是，当一个操作作用于一个分子上，所产生的新分子几何图形和作用前的图形如不借助于标号是无法区分的。
群表示理论
(4) 广义正交定理（关键定理，Great Orthogonality Theorem）：
对于群G的每个操作R，G和Gn是具有矩阵 D (R ) 和 Dv (R )
（维数分别为n和nn)的两个不可约表示，那么矩阵元素具有下列方程所表述的
一. 群的表示
1.群的各种表示
群的表示的定义：任意一组集合,如果它的乘法关系与群的相同,那么这组集合就是群 的一个表示。群的表示就是群的一个同构或同态的群 。
群的矩阵表示：通常总是选择一组矩阵(矩阵群)作为群的表示(这样,就将群的对称性 变换化为矩阵运算,便于解析),称为群的矩阵表示。
基的选择：可以是坐标、向量,也可以是一组线性独立的函数 。 因为基的选择是随意的,因而产生的表示也有无数多；但是对一个特定群,不等价不可 约表示是固定的有限个。
1
k (E ) 2 g 1(C i ) 1 (第1列和第1行)
1
ab
c
d
（2）不可约表示的数目r等于类的数目k
(3)各行必须满足 (4)各列必须满足
k
gi (C i )n (C i )* g n
i 1
k
n 1
n
(C i)nຫໍສະໝຸດ (Cj )*(
g
gi )ij
1 2a 3b 0
2
Oˆ R
A1
f
2
A1Oˆ R
f2
A1D
f
(R
)
f
2
A1D
f
(R
)
A
g2
g
n
f
n
第1部分第3章 特征标理论(2)
hi ( χi / χE ) ------------------------ (7) ---------------------- (1) --------------------- (8) --------------------- (4) [ 提问: I I = ? ] [ 提问: I I = I ] *
(5) 以 D3 群为例, 利用类和定理求不可约表示特征标 13 1, 求一维不可约表示特征标 χE = χ1 = 1 取 i = j = 3 ( 可取不同的 i, j 值 ) 因为 C3 C3 = 2 C1 + C3 ( 可利用群表验证 ) 所以 C331 = 2, C332 = 0, C333 = 1 由(2)式 hi ( χi / χE ) hj ( χj / χE ) = ∑k Cijk hk ( χk / χE ) ---- (2) 得 2 • χ3 • 2 • χ3 = 2 • 1 • χ1 + 0 • 3 • χ2 + 1 • 2 • χ3 ( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, χE = χ1 = 1 ) 4 χ3 2 = 2 + 2 χ3 2 χ3 2 - χ3 - 1 = 0 χ3 = - 1/2 或 + 1 [ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ] [ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ] *
(3) 类和定理的证明 1, 证明(1)式 第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 习题: 证明 Ci X = X Ci, 即
9
R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
X 为群元空间中一切矢量
[ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ] 第二步: 证明, 若群元空间中矢量 A 和一切群元矢量 R 对易 R-1 A R = A R为任一群元, 若(4)式左边A中含有某类的任一元 则(4)式右边A中必含有该类所有的元 又∵ ∴ (4)式左右两边A相同 A含完正的类 * ------------------------ (4) 则A 必由若干类和矢量 ( 完整的类 ) 构成 证: ∵ ∴
群论的基本理论及其应用
群论的基本理论及其应用群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象和思想对现代科学和技术的发展具有深远影响。
本文将简要介绍群论的基本理论，包括群的定义和基本性质、同构与同态、正则表示等，以及群论在物理、化学、密码学等领域的应用。
一、群的定义和基本性质群是指一个集合G，和一个二元运算“·”，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b∈G。
2. 结合律：对于任意的a，b，c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e=e·a=a。
4. 逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a^-1∈G，使得a·a^-1=a^-1·a=e。
以上四个条件被称作群的基本公理，满足这些公理的集合和运算就构成了一个群。
除了以上四个基本性质，群还具有一些重要的衍生性质，如：1. 唯一性：群的单位元和逆元是唯一的。
2. 闭合性：群的任意子集在运算下仍构成一个群。
3. 基本定理：任意群都同构于一个置换群。
二、同构与同态同构和同态是群论中最重要的概念之一。
同构指两个群之间存在一个双射函数，满足这个函数保持乘法运算，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)。
同构很像一种数学上的等价关系，它说明两个群结构上是相同的。
同态指两个群之间存在一个映射，满足这个映射保持群的乘法和单位元素，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)且f(e)=e'，其中e和e'分别是两个群的单位元素。
同态具有保持群结构的性质，它将一个群映射到另一个群上，并保留了群的结构特征。
三、正则表示群的正则表示是指把一个任意群转化成可逆矩阵群的一种数学方法。
这种转化方法常用于群论与物理学、化学等学科的交叉研究领域。
第二章_群表示理论
第二章 群表示理论基础§2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间）数域K （实数域R 或复数域C ）上的线性空间V 是一个向量集合，}{x V=；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V 在加法运算下构成交换群，满足：，唯一逆元）（）（唯一单位元，有o x x x x o x x o o x z y x z y x x y y x V z y x=+-=-+=+=+++=+++=+∈∀,)()(,, 数乘运算KV →V 满足：x x x b x a x b a ya x a y x a xb a x ab K b a=+=++=+=∈∀1)()()()(,,【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V 中，任意n 个向量n x x x,,,21，其线性组合02211=+++n n x a x a x a当且仅当021====n a a a 时成立，则称此n 个向量线性无关，否则它们线性相关。
线性空间中线性无关向量的最大个数m ，称为空间V 的维数，记为dim V = m 。
【定义2.3】 （基矢）设V 是n 维线性空间，则V 中任意一组n 个线性无关的向量，称为空间V 的基矢，记为),,,(21n e e e 。
空间中任意矢量均可表示为n 个基矢的线性组合，∑=n ii i e x x。
矩阵形式：n i i i e e e e e e 0000121+++++=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100][,0100),,(21i n i e e e e e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n n n i ni i x x x x x x x e e e e x x 2121211][,),,,(【定义2.4】 （线性变换）线性变换A 是将V 映入V 的线性映射，满足：)()()(,)(,:,,,y A x aA y x a A V x A V V A K a V y x+=+∈→∈∈∀线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=='====∑∑∑∑∑∑∑∑n n n nn n n n i j ij j i iiij jj jj j nj j j n ii ij j j jjj j j j y y e e e x x A A A A e e e x a e e a x e x A x A a a a e e e e a e e A e y y e x x y x A 12111111212121),,,(),,,())()(),,,()(,,)(故有矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n nn n n y y x x A A A A y x A 111111],[]][[ 若0]det[≠A ，则称线性变换A 非奇异，A 有逆变换A -1，[A -1]=[A ]-1。
第二章 群表示理论
群的封闭线性空间：只有当函数空间（线性空 间）在算符群中所有算符的作用下都不变时， 算符群才能给出群的表示。
11
问题：群的表示有多少种？ 设矩阵群D是G的表示， Dg 对应于群元g的矩 阵。有一个非奇异矩阵S，有 D g S 1D g S 。对 于所有 g G ， g 构成一个矩阵群，也是G的一 D 个表示。
定理1. 如果有限群G有一个非单位矩阵表示， 则必能通过相似变换将其变为幺正矩阵表示。 （对任一g∈G,有表示矩阵D(g),可找到一个矩 阵S，使 D g S 1D g S ，并且 D g D g 1 。）
13
D 证明：群G的一个矩阵表示， : A1 , A2 ,, Ai ,, Ag ， H A A ,H 对应于各个群元的表示矩阵。定义 G 是厄米阵（ H H ）。对于任一g∈G，一定存在 D g S 1D g S 成为D的等价表示。 非奇异矩阵S，使
对于厄米阵H ，存在一个幺正阵V使其对角化，即
V 1 HV H，H是对角化的。 V是H的特征矩阵排列构成的。 H A A V AVV AV
1 1
H
kk
A kj A
j
jk
Akj
j
2
,（k任意）
14
则H kk 0。若等于0，则A阵是奇异的，而群表示 H 矩阵是非奇异的。因此， kk 均是大于0的实数。
T 矩阵群 M A M g | g G ， A M A , M A ~ G ；
选取不同基矢组， TA有不同的矩阵群。
群表示的另一种定义：设G是群，M是一个n维方矩阵，如果 G 与M同态 ，则称M是G的一个n维表示。
群论基础-第2章 群表示论(3)
( U, V ) = R UR* VR
*
二, 表示矢量
12
由公式(8)的表示矩阵元的正交性定理知
R Dr i * ( R ) D j ( R ) = ij r f ------------- (8) 定义群元空间中的一组正交归一化矢量 { ( V ( i, , ) }
由群元作基矢, 按下述表式定义加, 数乘和内积, 得一矢量
空间, 为群元空间. 群元空间的维数为群的阶 h.
(1) 加: R + S
(2) 数乘: R ( 可为复数 )
(3) 内积: ( R, S ) = RS 由此可得群元空间中任意二矢量的内积为
( U, V ) = ( S S US , R R VR ) = R S ( S, R ) US* VR )
-K
-K
-K
-K )
V (312) 3-1/2 ( 0
0
L -L
L
-L )
V (321) 3-1/2 ( 0
0
L -L
-L
L)
V (322) 3-1/2 ( 1 -1
K
K
-K
-K ) *
(十一) 表示矢量的完全性关系
15
一, 表示矢量的完全性定理
i r ( ni / h ) Dr i* ( R )Dr i ( S ) = RS ----------- (11) 二, 定理含义的说明
第一部分 群论基础
第二章 群表示论 (3)
(八) 不可约表示基矢的正交性定理
2
一, 定理的内容: 若有群 G 的两个不等价, 不可约的幺正表示
其表示矩阵 维数 基函数
Di ,
ni , i( r )
群论 第2章 群的线性表示理论
T ( g ) | g G， 相似变换矩阵 S 必然取决于 即由 T ( g ) 来构造； 但是又必须与 g 无关，
是一个常数矩阵，可以尝试令 S
2 gG
T
( g )T ( g ) 。
由重排定理，
T (h) S 2T (h) T ( gh)T ( gh) S 2 ，
gG
从而有， 如果矩阵 S 2 能够开方， 并且开方后所得矩阵 S 是非奇异的厄米矩阵， S S ，
det S 0 ，则可以取 U (h) ST (h)S 1 ， U (G ) 是群 G 的幺正表示，
U (h)U (h) S 1 T (h)SST (h)S 1 S 1S 2 S 1 1 。
d ：绕 z 轴逆时针转 1200。二维空间逆时针转 的转动矩阵为 cos sin sin cos ，
1/ 2 3/2 0 T (c) 3 / 2 1 / 2 0 。 0 0 1
4
二、 不可约表示
两个线性表示可以通过直和得到一个更高维数的表示 ������ (������) ������ ������(������) = ( 1 ) ������ ������2 (������) 我们认为这种表示不是“基本”的。
1． 可约表示
定义：表示空间中含有群的非平庸不变子空间（真不变子空间）W， ∀������ ∈ ������, ������ ∈ ������, 推论：∀������ ∈ ������, ������ ∈ ������, ������ ∈ ������ ⊥ , ( ������, ������(������)������) = 0 定义：表示矩阵������(������)等价于（把 W 中的分量排在前面） ∗ ∗ ∀������ ∈ ������, ������(������) ∼ ( ) ������ ∗ ������(������)������ ∈ ������
群论基础-第3章 特征标理论(2)
可知
Di Dj = k Cijk Dk --------------------- (8)
由(4)式
Di = i I
--------------------- (4)
得
i j I I = k Cijk k I
[ 提问: I I = ? ]
i j = k Cijk k
[ 提问: I I = I ]
由第二步的证明结果可知, Ci Cj 必然只包含完整的类
即
Ci Cj = k Cijk Ck
因此, (1)式得证
2, 证明 (2) 式: 令 Di p 为 Ci 中诸群元第 p 个不可约表示 Dp ( np 维)
矩阵的矩阵和 ( 不是直和 ), Di p 亦为 np 维.
Di p = R Dp ( R )
( hi = hj = h3 = 2, h1 = 1, h2 = 3, E = 1 = 1 ) 4 3 2 = 2 + 2 3 2 3 2 - 3 - 1 = 0 3 = - 1/2 或 + 1
[ 提问: 哪个该舍去? 为什么? ]
[ 答案: - 1/2 该舍去, 因为模小于1 ]
*
为求2 , 再取
从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *
D3 E 3C2 2C3
3
D1 1 1
1
D2 1 a
b
D3 2 c
d
(3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数
正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i ( Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有
数学中的群表示和代数表示理论
数学中的群表示和代数表示理论在数学中，表示理论是一个重要的研究领域。
它涉及到许多不同的数学对象，如群、李群、 Lie 代数等等。
其中，群表示和代数表示理论是其中最为重要的两个分支。
群表示理论是研究群在线性变换空间上的表示的理论。
群表示可以用来描述群在不同对象上的对称性，比如在几何或物理学中描述对称性操作、化学中的对称性等。
群表示的关键是研究群元素作用于向量空间上的线性变换。
给定一个群$G$ 和一个域$k$，我们可以找到一个向量空间 $V$ 和群 $G$ 的一个表示 $\rho$，满足 $\rho(g)$ 对于任意 $g\in G$ 都是 $V$ 中的线性变换。
群表示是$G$ 的一个表示矩阵的集合，每个矩阵对应于群 $G$ 中的一个元素 $g$。
代数表示理论是研究代数对象在线性变换空间上的表示的理论。
代数表示和群表示的区别是，代数表示通常涉及到无限维向量空间，而群表示涉及到有限维向量空间。
代数表示理论主要研究 Lie 代数在向量空间上的表示。
Lie 代数是一种特殊的代数结构，它的元素是向量空间上的线性变换，满足某些限制条件。
代数表示能够描述 Lie 代数在不同向量空间上的对称性，这对于研究几何、物理学、量子场论等领域非常重要。
群表示和代数表示的理论基础是一个叫做Schur引理的定理。
Schur定理告诉我们，对于有限群和有限维表示，每个不等于恒等变换的群元 $g$ 在该表示下的矩阵都是不可约矩阵。
简单来说就是，不可约表示是群表示的最简单的形式之一。
这个定理对于代数表示也同样适用。
在表示理论中，不可约表示是非常重要的。
一个表示是可约的就表示它可以写成几个不可约表示的直和形式。
不可约表示是表示矩阵不可同时具有两个以上不变子空间的表示，这个定义等价于表示矩阵在某个极小不变子空间上的限制表示不可约。
通俗地说，正如素数是整数的最基本构造块，不可约表示是表示的最基本构造块。
可以发现，表示理论不仅在数学上非常重要，而且在物理和工程学科中也占有重要地位。
第二章 群表示理论5-7 彩色
59
第七节 直积群的表示
1 1 1
1
1
1 1
1 -1
60
； 如何构造直积群G的表示？
矩阵直积的定义： 矩阵直积
la维矩阵与lb维矩阵的直积是la×lb 维的。 m×n维矩阵与p×q维矩阵的直积是mp×nq 维的。
61
⑴ 直积群的表示就是直因子相应群元的表示的直积。 证明：只需证对于 定有：
即
※直因子群表示的直积构成直积群的表示。
22
23
根据不可约表示的判据：
所以此表示为可约表示。
24
1. 有限的Abel群，其所有不可约表示都是一 维的； 2. 除单位表示外，有限群的任一不可约表 示的特征标对所有群元求和等于零。 由 令 为单位表示，有
25
例3. 确定C4v群的所有不可约表示的特征标系。
σv 2
my
σu 1 mx
3
4
34
定理1. f1…fN是空间V 的基矢， N个 矢量中必有且仅有aj个线性独立的矢量，这aj个矢量 可作为E j子空间的基矢。 证明：欲证 中有aj个线性独立的矢量，只需 证：任意属于E j的矢量均可用N个矢量 线性 组合表示。
35
定理2. E j子空间中有一个归一化的矢量 ，必 可由该矢量生成lj个正交归一矢量，构成不可约表 示D j的基矢。
36
可作为第j个不可约表示的正交归 。 一基矢，生成不可约表示D j的一个不变子空间 证毕。 ※ 这组矢量就是不可约表示D j的约化基矢 约化基矢。 约化基矢
37
类似地，共可构造 个不同的基矢组： 类似地，共可构造aj个不同的基矢组 生成 aj个按D j变换的不变子空间 它们彼此正交。 ，
38
群论基础-第2章 群表示论(2)
(8)
3’() = 2-1/2 1() + 2-1/2 2() [= 2-1/2 (cos2 +sin2) = 2-1/2 ]
[ 答案: 1, 将原空间划分成一个一维和一个二维的不变子空间;
2, 其表示矩阵呈准对角形式 ]
*
(2) 新老基矢 (基函数) 之间的关系
15
( 1’, 2’, 3’ ) = ( 1, 2, 3 ) S
[ 提问: 上述D3 群的表示是否为 (准) 对角形式? 为什么? ]
[ 答案: 不是, 要所有群元的表示矩阵同样对角化 ]
[ 提问: 将上述函数空间三个基函数作如下重组, 结果将如何?]
例如: 1’() = 2-1 1() - 2-1 2() + 2-1/2 3()
2’() = -2-1 1() + 2-1 2() + 2-1/2 3()
则 PS PR ( r ) = ( r ) [ D ( S ) D ( R ) ]
又 PSR ( r ) = ( r ) D ( SR )
即 有对应关系:
PS PR
=
PSR
D ( S ) D ( R ) = D ( SR )
则 D(R)与PR同构, D(R) 可作为PR 的表示, 亦为R的表示. *
由(2)式知 Alm” = i j Uli + Aij’ Ujm
[ 提问: 为什么? ]
[ 答案: 1, U+ = U* ; 2, Aij’ = ( e i , A e j ) ]
即
A” = U-1A’ U
(5)
[ 提问: 为什么 U+ = U-1 ? ]
[ 答案: U为幺正矩阵 ]
配位化学讲义 第三章(2) 群表示理论基础
第三节群表示的基及群的表示一、基本概念1、基：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。
基可以有各种类型，如矢量（x，y，z），波函数（p x，p y，p z）2、群的表示：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。
* 群的表示不是唯一的。
二、群的表示（可约与不可约表示）1、可约表示1）定理：设一组矩阵（E，A，B，C…）构成一个群的表示。
若对每个矩阵进行同样的相似变换：E´=X-1EXA´=X-1AXB´=X-1BX…………..则（E´，A´，B´……）也是群的一个表示。
证明（封闭性）：若AB = CA´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX = X-1(AB)X = X-1CX = C´若每个矩阵A´，B´，C´, … 均按同样的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对应方块可以单独地相乘：A1´B1´=C1´A2´B2´=C2´A3´B3´=C3´………..因此各组矩阵E1´，A1´，B1´，C1´, …E2´，A2´，B2´，C2´, ……………………….本身都是一个群的表示。
因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一个新矩阵，所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。
因此我们称（E，A，B，C,…）为可约表示。
2、不可约表示若找不到矩阵X，按照上述方式约化给定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约表示。
不可约表示具有特殊的重要性。
三、广义正交定理1、向量的正交1）向量及其标积。
向量的定义：向量标积：AθBA·B = A·Bcosθ2）向量正交若A·B = 0，则称A与B正交。
群论
《群论》课程简介06191060 群论 3Theory of Group 3-0预修课程：高等代数, 数学分析, 解析几何,近世代数.面向对象:数学系三,四年级本科生内容简介：(1) 范畴理论. 主要介绍范畴,积, 余积,直和与直积,自由对象,自由群等基础知识.(2) 群的结构. 介绍Sylow定理,有限群的分类,幂零群,可解群等的概念及性质.(3) 域与伽罗华理论. 多项式的伽罗华理论,有限域,超越基等的基本理论及方法.(4) 群的表示理论：介绍群表示的定义，群的矩阵表示，与代数表示的关系，表示的完全可约性和不可约表示，特征标理论，表示的结构分解，Clifford定理。
推荐教材或主要参考书：教材：《Algebra》，Thomas W. Hungerford编著，New York: Springer-Verlag，1974.《Linear representations of finite groups》, J.P.Serre, GTM 42, 1977参考书：《近世代数》，熊全淹编著，武汉大学出版社;《近世代数基础》，刘绍学编著，高等教育出版社;Jocobson编著，《Basic Alegrba》，New York，1974．《Advanced Modern Algebra》, Joseph J Rotman, 高等教育出版社，2005《群论》教学大纲06191060 群论 3Theory of Group 3-0预修课程：高等代数, 数学分析, 解析几何,近世代数.面向对象:数学系三,四年级本科生教学大纲:－、教学目的和基本要求群论作为数学专业高年级学生的一门选修课,主要的教学目的是在已学近世代数的基础上,向学生介绍代数的相关概念,理论和方法.同时通过本课程的学习, 进一步提高学生的抽象思维能力,为后续课程的学习打下扎实的基础.二、主要内容及学时分配每周3学时,共16周.主要内容: 学时数(1)范畴理论1.范畴定义, 积, 余积自由对象 3学时2.范畴的直和与直积 2学时3.自由对象,自由群 3学时(2)群的结构1.群在集合上的作用 2学时2.Sylow定理、有限群的分类 3学时3.幂零群和可解群 2学时4.正规列和亚正规列 3学时(3)域与伽罗华理论1.基本定理 2学时2.分裂域，代数闭包和正规性 3学时3.多项式的伽罗华理论 3学时4.有限域和可分性 2学时5.循环扩张、分园扩张、根式扩张 3学时6.超越基、线性无缘与可分性 3学时（4）群的表示论1．定义、矩阵表示 2学时2．与代数表示的关系 3学时3．完全可约性和不可约表示 2学时4．结构分解和Clifford定理 3学时5．特征标理论4学时三、教学方式:课堂讲授四、相关教学环节安排:1. 每次课后都要布置作业,一般布置3-5个习题,使学生通过做习题进一步理解和掌握课堂讲授的内容．2.针对作业中发现的问题可在课堂上适当作讲课,以帮助学生解决普遍存在的疑难问题．3.期末考试要求每位学生作一个读书报告,或阅读3-5篇与环论内容相关的文章．五、考试方式和要求:开卷与闭卷结合,60%为及格:六、推荐教材或主要参考书教材：《Algebra》，Thomas W. Hungerford编著，New York: Springer-Verlag，1974.《Linear representations of finite groups》, J.P.Serre, GTM 42, 1977参考书：《近世代数》，熊全淹编著，武汉大学出版社;《近世代数基础》，刘绍学编著，高等教育出版社;Jocobson编著，《Basic Alegrba》，New York，1974．《Advanced Modern Algebra》, Joseph J Rotman, 高等教育出版社，2005 七、有关说明。
群论 知识点
群论：知识点写一篇文章（step by step thinking）一、引言群论（Group theory）是数学中的一个重要分支领域，研究的是集合上的一种代数结构，即群。
群论是现代数学的基础之一，也是其他学科中的重要工具和方法。
本文将从基本概念、性质和应用三个方面来介绍群论的知识点。
二、基本概念1.群的定义：群是一个集合，其中包含一个二元运算（通常表示为乘法或加法），满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
2.子群：如果一个群的子集在相同的运算下也构成一个群，则该子集称为原群的子群。
3.同态：如果两个群之间存在一个保持运算的映射，则称这个映射为同态。
4.环和域：环是一个满足加法和乘法条件的集合，域是一个满足加法、乘法和逆元条件的集合。
三、性质1.单位元唯一性：每个群都有一个唯一的单位元，它与群中的任何元素相乘（或相加）都不改变该元素的值。
2.逆元唯一性：每个群中的元素都有一个唯一的逆元，它与该元素相乘（或相加）得到单位元。
3.结合律：群中的运算满足结合律，即无论元素的顺序如何，结果都是相同的。
四、应用1.几何学：群论在几何学中有广泛的应用，特别是对称性和对称群的研究。
通过对称性的分析，可以研究物体的旋转、平移和镜像等性质。
2.密码学：群论在密码学中有重要的应用，特别是在公钥密码系统中。
公钥密码系统利用群论中的离散对数问题来实现安全的加密和解密过程。
3.物理学：群论在物理学中有广泛的应用，特别是在量子力学和场论中。
通过对称群的研究，可以得到物理系统的对称性和守恒量。
五、总结群论作为数学的一个重要分支，不仅有着深厚的理论基础，还具有广泛的应用领域。
本文从基本概念、性质和应用三个方面对群论进行了简要介绍。
通过了解群论的基本概念和性质，我们可以更好地理解和应用群论在各个学科中的重要性。
同时，群论的应用也为我们提供了解决实际问题的工具和方法。
希望本文能够对读者对群论有一个初步的了解，并激发对数学的兴趣和探索欲望。
用su(2)李代数的
用SU(2)李代数引言李代数是数学中一个重要的概念，它描述了一个Lie群（连续对称性的群）的切空间上的代数结构。
SU(2)李代数是描述特殊酉群（Special Unitary Group）SU(2)的李代数。
在物理学中，SU(2)李代数常常用于描述自旋1/2粒子的对称性。
本文将详细介绍SU(2)李代数的定义、性质和应用。
SU(2)群在介绍SU(2)李代数之前，我们先来了解一下SU(2)群。
SU(2)群是所有行列式为1的复二阶酉矩阵构成的集合，即：SU(2) = { U ∈ C^(2x2) | U†U = I, det(U) = 1 }其中C^(2x2)表示复二阶矩阵，U†表示U的共轭转置，I表示单位矩阵。
SU(2)群具有以下性质： - 封闭性：任意两个属于SU(2)群的元素进行乘法运算后仍然属于SU(2)群。
- 单位元：单位矩阵I属于SU(2)群。
- 逆元：SU(2)群中的每个元素都存在逆元，即对于任意U ∈ SU(2)，存在U⁻¹ ∈ SU(2)，使得UU⁻¹ =U⁻¹U = I。
- 结合律：SU(2)群中的乘法运算满足结合律。
李代数李代数是一个向量空间上带有一个二元运算（称为李括号）的代数结构。
李代数的定义如下：定义1：设V是一个实或复向量空间，[ , ]是V上的一个二元运算。
如果对于任意x, y, z ∈ V，满足以下条件： 1. 双线性性：[x + y, z] = [x, z] + [y, z]，[z, x + y] = [z, x] + [z, y] 2. 雅可比恒等式：[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0则称(V,[ , ])为一个李代数。
SU(2)李代数SU(2)李代数描述了SU(2)群在单位元附近的切空间上的代数结构。
SU(2)李代数可以通过引入三个无穷小生成元来定义，记作{J₁,J₂,J₃}。
第三章 群论
D ( E ) = D’ ( E ) = ∣ 0 1 0 ∣ └001┘
(2) 绕 e3 轴转 角 (C ) 基矢的变换: e1’ = C e1 = cos e1 + sin e2 + 0 e3 e2’ = C e2 = -sin e1 + cos e2 + 0 e3 e3’ = C e1 = 0 e1 + 0 e2 + 1 e3 则 ┌ e1 ’ ┐ ┌ e1 ┐ ┌ cos sin 0 ┐┌ e1 ┐ ∣ e2’ ∣ = D’ ( C )∣ e2 ∣=∣ -sin cos 0 ∣∣ e2 ∣ └ e3 ’ ┘ 因此有 ┌ cos -sin 0 ┐ D ( C ) = D’ ( C ) = ∣ sin cos 0 ∣ └ 0 0 1 ┘ └ e3 ┘ └ 0 0 1 ┘└ e3 ┘
ˆ 当 g 为空间平移（ a ）时， g 便是平移算子，由算 子定义 1
ˆ g (r ) ( g r )
利用泰勒展开技术，可以证明平移算子的显式
ˆ g (a ) e
ˆ K
a
e
i ˆ aP
ˆ 其中 P 为动量算子，算子的指数函数定义为：
ˆ ˆ K2 Kn ˆ e 1 K ) D( v ) 0 1 0 0 0 1
1 0 0 D( v ) D( v ) 0 1 0 0 0 1
例：C3v的矩阵表示： {C3v : I , C3 , C3 , v , v , v }
qk’ = j rkj qj ( j , k = 1, 2, 3 ) ┌ r11, r12 , r13 ┐ D(R) = ∣ r21, r22 , r23 ∣ └ r31, r32 , r33 ┘ (9)
第1部分第3章 特征标理论(2)
*
.
5
6
例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标表
D3 群
C2 群
E, D, F (不变子群 H ) E
A, B, C
C2
C2
E C2
D1 1 1
D3 E D F A B C
即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开
( 两完正类的乘积仍为完正类的和 )
2, 令 i, j, k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则
hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) ------------- (2)
(2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标,
习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可
约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系:
S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 )
S3 :
1C1,
hi , hj , hk 分别为 Ci. , Cj, Ck 类的阶
*8
(3) 类和定理的证明
9
1, 证明(1)式
第一步: 证明类和矢量 Ci 与一切群元矢量 R 对易 Ci R = R Ci, 即 R-1 Ci R = Ci ------------- (3)
习题: 证明 Ci X = X Ci, X 为群元空间中一切矢量 [ 若此题证明了, 则 (3) 式也就证明了 ]
群论第四章2
3、可约表示就类似假分数，可进一步约化，不可约是最简分数
4.5 群表示的重要定理
1、广义正交定理
i R mn R j R m'n '
R
h li lj
i j mm ' mn '
1
1、 i R mn 第i个不可约表示中，与操作R对应的矩阵第m行
和第n列的元素表为 i R mn 2、每逢包括虚数或复数时，等式左边的一个因子必须取复 共轭（用＊表示），包括复数时必须用1式
0 1
则其定义为：一个分子的全部对称操作形成一个群，若 将这些对称操作用变换矩阵表示，这些变换矩阵也形成
一个群，通常把这样的矩阵群叫作相应点群的表示
4.2 表示的基
点群的对称操作得有其作用的对象，代表变换的矩阵 得有其变换的对象。通常我们将选作群对称操作的作用
对象的基矢，称为形成该群的这一表示的基（basis），
1 3 0 2 2 3 1 0 2 2 001
v
100 010 00 1 100 010 00 1
v'
1 3 0 2 2 3 1 0 2 2 3 3 0 2 2 1 2
3、若方便起见，略去复共轭的部分，则可将1式写成：
R R R 0
i mn j mn R
i≠j 3
2
R R R 0
i mn i m 'n ' R
若m≠m’或n ≠n’；或同时m≠m’或n ≠n’
i R mn Ri R mn h
2
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第三节群表示的基及群的表示一、基本概念基（Base）：群元素作用的对象称为与它相应的群表示的基。
基可以有各种类型，如矢量（x，y，z），波函数（p x，p y，p z）群的表示（Representation）：选定群表示的基以后，则分子点群中的每一个元素都与一个矩阵相对应，这些矩阵构成的矩阵群可以看作是点群的一个表示。
* 群的表示不是唯一的，一个群原则上有无限多种表示。
二、群的表示（可约与不可约表示）1、可约表示（Reducible Representation）1）定理：设一组矩阵（E，A，B，C…）构成一个群的表示。
若对每个矩阵进行同样的相似变换：E´=X-1EXA´=X-1AXB´=X-1BX…………..则（E´，A´，B´……）也是群的一个表示。
证明（封闭性）：若AB = CA´B´ = (X-1AX)(X-1BX) = X-1A(XX-1)BX= X-1(AB)X = X-1CX = C´2）可约表示：若能找到矩阵X可把(A、B、C…)变换成(A´、B´、C´…), 而(A´、B´、C´…)分别为划分为方块因子的矩阵。
a13a23 a31a32a n1a1n a2na n2a3n a n3a11a12a21a22a33a nnb13b23b31b32b n1b1nb2nb n2b3nb n3b11b12b21b22b33b nnc13c23 c31c32c n1c1n c2nc n2c3n c n3c11c12c21c22c33c nn相似变换00若每个矩阵A´，B´，C ´, … 均按同样的方式划分成方块，则可证明，每个矩阵的对应方块可以单独地相乘：A 1´B 1´=C 1´ A 2´B 2´=C 2´ A 3´B 3´=C 3´………..a13a23 a31a32a n1a1n a2na n2a3n a n3a11a12a21a22a33a nnb13b23b31b32b n1b1nb2nb n2b3nb n3b11b12b21b22b33b nnc13c23 c31c32c n1c1n c2nc n2c3n c n3c11c12c21c22c33c nn0 00 0…………………. ………..因此各组矩阵E1´，A1´，B1´，C1´, …E2´，A2´，B2´，C2´, ……………………….本身都是一个群的表示。
因为用矩阵X可以把每个矩阵变换为一个新矩阵，所有新的矩阵按照同样的方式给出两个或多个低维表示。
因此我们称（E，A，B，C, …）为可约表示。
2、不可约表示（Irreducible Representation）若找不到矩阵X，按照上述方式约化给定表示的所有矩阵，这种表示称为不可约表示。
不可约表示具有特殊的重要性。
三、广义正交定理（great orthogonality theorem）1、向量的正交1）向量及其标积。
向量的定义：向量标积：ABA·B = A·Bcosθ2）向量正交若A·B = 0，则称A与B正交。
* p维空间中的一个向量可借助于它在该空间中的p个正交轴上的投影来定义。
以三维空间为例：xyzA 1AA 3A 2A 1A 2A 3A = A 1 + A 2 + A 3A = A 1i + A 2j + A 3kA 3 = A 3kA 1 = A 1i A 2 = A 2j j = 0i i = 1i j j = 1k k = 1k = 0i k = 0j O据此可提出向量标积的一个等价但更为有用的表示方法，在p 维正交空间中：A ·B =(A 1+A 2+…+Ap )·(B 1+B 2+…+Bp )= A 1B 1+A 2B 2+ … +ApBp∑==p1i ii B A因此在p 维空间中两个向量的正交可表示为：∑==p1i ii 0B AA B = A Bcos θ = 0推论：一个向量的长度平方可写成A 2= A ·Acos0 = A ·A∑==p1i 2iA2、广义正交定理（great orthogonality theorem有关构成群的不可约表示矩阵元的基本定理）1）广义正交定理：h ~ 群的阶；l i ~ 该群第i个不可约表示的维数，也是该表示中矩阵的阶；R ~ 群中的某个操作；Γi(R)mn ~ 在第i个不可约表示中，与操作R 对应的矩阵中第m 行和第n 列的元素。
最后，每逢包括虚数和复数时，等式左端的一个因子取复共轭。
nn'mm'ij Rj i *n'm'j mn i δδδl l h ](R)][Γ(R)[Γ∑=δ0（s ≠t ） = 1（s=t ）stG.......a11a12a13 a21a22a23 a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33x11x12 x21x22y11y12y21y22z11z12z21z22R1R2R3ΓiΓj向量1的分量：a11, b11, c11, ……向量2的分量：a22, b22, c22, ……向量3的分量：x11, y11, z11, ……向量4的分量：x21, y21, z21, ……在一组不可约表示矩阵中，若将任意一组来自每个矩阵的对应矩阵元，看作是h 维空间中的某一向量的分量，则所有这些向量都相互正交，且这些向量长度的平方为(h/l i )。
∑=Ri *mni mn i l h ](R)][Γ(R)[Γ2）广义正交定理的特殊形式广义正交定理可以简化为三个较简单的情况:A 、若i ≠j ，则∑=R*n'm'j mn i0](R)][Γ(R)[Γ表明，选自不同不可约表示的向量是正交的。
B 、若i=j ，且m ≠m´，或n ≠n´，或同时m ≠m´，n ≠n´∑=R*n'm'i mn i0](R)][Γ(R)[Γ表明，选自同一不可约表示的不同向量也是正交的。
C 、若i=j ，m=m´，n=n´，则∑=Ri *mni mn i l h](R)][Γ(R)[Γ表明，任意一个这种向量的长度平方等于h/l i 。
四、可约表示的约化及表示的直积1、不等价不可约表示1）等价表示（equivalent representation）：在点群的表示中，如果有两个表示，它们关于任何同一对称操作的两个表示矩阵A和B 是共轭的，即存在一个方阵X，使X-1AX = B 成立，则这两个表示是等价的。
Ga11a12a13 a21a22a23 a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R1R2R3x11x13 x31x33y11y13y31y33z11z13z31z33x12 x32y12y32y21y23y22x21x22x23z12z21z22z23z32共轭共轭共轭.......等价Γ1Γ2* 一个表示中各矩阵的迹称为该表示的特征标（character）。
R 1R 2R 3.......x11x12x21x22y11y12y21z11z12z21χ2iχ3i矩阵群特征标点群y22z22χ1i两个等价表示关于任何同一对称操作的两个表示矩阵A 和B 的特征标相同。
Ga11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R 1R 2R 3x11x13x31x33y11y13y31y33z11z13z31z33x12x32y12y32y21y23y22x21x22x23z12z21z22z23z32χ1χ2χ3等价........Γ1Γ22）不等价不可约表示：如果两个不可约表示，它们每个对称操作的两个特征标不完全相等时，则这两个不可约表示是不等价不可约表示。
Ga11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R 1R 2R 3χ1iχ2iχ3ix11x13x31x33y11y13y31y33z11z13z31z33χ2jχ1jχ3jx12x32y12y32y21y23y22x21x22x23z12z21z22z23z32.......不等价Γ1Γ2χ1i χ2iχ3i χ2jχ1jχ3j......至少有一对不相等2、群表示的几条重要性质1）群的不等价不可约表示的数目，等于群中类的数目。
2）群的不等价不可约表示维数的平方和等于群的阶。
∑=++=i22212i h ...l l l3）每个群均有一个特征标均为1的一维不可约表示，叫“完全对称表示”。
4) 任一不可约表示的特征标的平方和等于群的阶。
∑=R2ih (R)][χG.......a11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33R 1R 2R 3χ1χ2χ3Γ15）以两个不等价不可约表示的特征标作为分量的向量是正交的。
∑≠=Rji j)(i 0(R)(R)χχG.......a11a12a13a21a22a23a31a32a33b11b12b13b21b22b23b31b32b33c11c12c13c21c22c23c31c32c33x11x12x21x22y11y12y21y22z11z12z21z22R 1R 2R 3χ2jχ1jχ1iχ2iχ3iΓiΓjχ3j6）在一个给定表示中，所有属于同一类操作矩阵的特征标相等。
R1R2R3 Ga11a12a13 a21a22a23 a31a32a33b11b12b13 b21b22b23 b31b32b33χ1χ2c11c13c31c33d11d31χ3c12c32d21 c21c22c23Γ13、不可约表示特征标的求法。
例：C3V群{E，C3，C32，σv, σv´, σv´´}, 分为三类{E，2C3，3σv}由性质1）：有三个不等价不可约表示。