棱锥的概念和性质y7

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棱锥

棱锥知识要点1．理解棱锥的有关概念，掌握棱锥的性质，以及棱锥的平行于底面的截面的性质定理。

会画正棱锥的直观图。

能根据棱锥的侧面展开图，推导并掌握正棱锥的侧面积计算公式。

运用前面所学知识，分析、论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算。

2．关于棱锥的截面，主要掌握平行于底的截面．平行于底面的截面与底面相似，面积比等于所截得的棱锥与原棱锥对应高的平方比．面积比还等于所截得的棱锥与原棱锥对应侧棱的平方比。

3．棱锥的侧面积是侧面各三角形的面积和。

棱锥全面积等于侧面积与底面积的和。

计算时应根据侧面展开图的图形求出。

4．棱锥的体积公式为：V棱锥＝·Sh。

(S为底面积，h为棱锥的高)。

典型题目例1．若正四棱锥的底面边长是a，斜高是h，则它的侧棱长为________，高为_____。

分析：由正棱锥的性质可以知道：它的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；它的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形，本题已知斜高、求侧棱长和高，只要找到它们在底面的射影即可。

解：如图所示，正四棱锥P-ABCD中，正方形ABCD的边长AB=a, 斜高PE=h，作PO⊥面ABCD，则PO与面ABCD的交点O是底面正方形的中心，连结OE，∵AB=a, PE=h, ∴OE=a,∴在RtΔPOE中，PO=，∴PO=。

连结OB，在RtΔPOB中，PO=，OB=a,∴PB=。

故棱锥的侧棱长为，高为。

点评：利用正棱锥中的几个直角三角形各边之间的关系，寻找解题途径，往往事半功倍。

例2．如图所示，平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，AB=BC=CD，将ΔABC沿AC折起，使二面角B-AC-D为直二面角。

（1）求证：AB⊥平面BCD；（2）求二面角B-AD-C的大小。

分析：作出点B在平面ACD上的射影E并且证E是AC中点。

（1）证明：过B作BE⊥AC，垂足是E。

∵二面角B-AC-D是直二面角。

∴BE⊥平面ACD，AC是AB在平面ACD上的射影，又AC⊥CD，由三垂线定理知AB⊥CD。

棱锥

§9.7棱锥一、素质教育目标(一)知识教学点1．棱锥的概念及性质．2．正棱锥的概念及性质．3．正棱锥直观图的画法．4．正棱锥的侧面积．(二)能力训练点1．在理解并掌握棱锥概念及性质的过程中，努力提高学生观察、抽象和概括能力．2．通过正棱锥直观图画法的教学，进一步提高学生作图、识图能力，为发展学生的空间能力奠定良好的基础．3．正棱锥的性质2揭示了如何把空间问题转化为平面几何问题的奥秘，通过教学可培养学生分析立体图形的能力．(三)德育渗透点1．棱锥的形象是非常的美，教学过程要注意挖掘图形的美育潜能，给学生以美感教育．2．正棱锥的性质2是转化正棱锥计算问题为平面计算问题的桥梁，通过它使空间问题和平面问题这对矛盾得以统一，教学过程要注意帮助学生树立统一的辩证唯物主义观点．3．正棱锥侧面积公式的获得，是将空间图形展成平面图形的结果，教学过程要注意培养学生运用运动变化的观点来分析问题的思维方式．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：正棱锥的概念及性质和有关平行于底面的截面问题．2．教学难点：正棱锥的直观图的画法．3．教学疑点：一般棱锥侧面积的计算，要逐个侧面算出再求和．三、课时安排本课题建议安排2课时：四、教与学过程设计第一课时棱锥的概念和性质(一)引入师：埃及与我们国家一样堪称世界文明古国．其最具有象征意义的是金字塔，它是古埃及人民智慧的结晶，它的形状给我们以棱锥的形象．今天我们学习棱锥，不仅要感受它的形象美，还要探究它的内在美．(激发学生的学习热情．)(二)棱锥的概念及基本元素(把画有图2-9、图2-10、图2-11的小黑板挂出)师：请同学们注意观察图2-9到图2-11，它们的各个面有什么特点？生1：有一个面是多边形，其余各面都是三角形．生2：(补充)三角形的面有一个公共点．师：棱锥的特点是：有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形．下面请一位同学来说说什么是棱锥．生：有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．(注意纠正学生的表达．)师：下面请同学们打开课本P．59阅读课文，注意棱锥有哪些元素？然后，就图2-9．请同学们说出具体的线段、面点的名称，也可以说出棱锥的元素，让学生在图形中找到具体的线段、面或点．师：棱锥的表示法有两种：其一是用顶点的字母和底面顶点的字母来表示，如图2-9可表示为：棱锥S-ABCD；也可用顶点的字母和底面一条对角线两端点的字母表示，如棱锥S-AC．不管哪种表示法都要冠以“棱锥”．棱锥根据其底面多边形的边数，分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等．如图2-9是四棱锥，图2-10是五棱锥．(三)正棱锥的概念及性质师；如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．要注意只有两条件：第一底面是多边形，第二顶点在底面上的射影是底面的中心同时满足时，棱锥才叫正棱锥．一个棱锥若是正棱锥，则它一定具备以上两条特点．下面请同学们思考以下问题．问题1：如果图2-9是正四棱锥，那么它的侧棱长有什么关系？侧面三角形有何特点？(引导学生利用射影定理来分析．)生：因为AO=BO＝CO=DO，所以SA=SB=SC＝SD，侧面三角形是全等的等腰三角形．师：在正棱锥中我们把侧面等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高．(注意不是正棱锥没有斜高)，即六棱锥的高、斜高、底面边心距、底面半径、侧棱这五条线段中哪些线段的组合可构成直角三角形？生：高、斜高、边心距；高、侧棱、半径．由教师板书正棱锥的两条性质．问题2：正棱锥各侧面与底面所成的角有什么关系？各侧棱与底面所成的角有什么关系？生：相等，因为所有由高、斜高、边心距组成的三角形都全等；所有由高、侧棱、半径组成的三角形都全等．问题3：如果一个棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，那么它是否是正棱锥？师：请同学们注意观察这个图形，显然它不是正三棱锥．问题4：如果一个棱锥的底面既有外接圆，又有内切圆，且侧棱长都相等，那么它是否是正棱锥？师：请同学们观察图形，其中∠ABC＝90°，O是AC的中点，且SO⊥面ABC，请一位同学用这个图形说明问题．生：因为OC=OA＝OB，且SO⊥面ABC，所以SA＝SB=SC，又Rt△ABC既有内切圆又有外接圆，问题的条件都符合，但棱锥S-ABC不是正棱锥．(通过以上教学，使学生掌握用特例来判断命题的真伪的方法，从而培养学生探究问题的能力．)(四)棱锥的一个重要性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．师：要证两个多边形相似应该去证什么？生：对应角相等，对应边成比例．师：两个相似多边形的面积比等于什么？生：相似比的平方即边的比的平方．师：请同学们阅读课本P．61中定理的证明．(待同学们阅读完后)师：这个定理的证明，是通过两平行平面的性质定理和等角定理来证明多边形相似，然后利用相似多边形的性质，把面积比较化为边的比的平方，再通过平行把边的比的平方传递给高的比的平方，这种转移比例的手段是我们常用的，大家要好好体会．例1 如图2-14，已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM＝l，求经过SO 的中点平行于底面的截面△A'B'C'的面积．师：因为截面A'B'C'过高SO的中点，所以S△A'B'C'：S△ABC＝1：是求底面三角形的边长，如何根据已知条件求出AB？生：在Rt△SOM中，SM＝l，SO＝h，所以OM可求，又在Rt＝AOM中∠MAO＝3O°，故AM可求，即AB可求．师：从刚才同学的回答中，我们得到启示，联系性质2中两个直角三角的直角三角形AOM是非常关键的，解题中大家要加以应用．请同学们阅读课本P．62的解题过程．(五)练习P．62练习1．(六)总结1．这节课我们学习了一般棱锥和正棱锥的概念，特别是正棱锥的概念大家一定要注意，两个条件缺一不可．2．正棱锥的性质对一般棱锥不适用，性质2只阐明两个直角三角形其实应该是三个．3．一般棱锥平行于底的截面的性质，是截面问题的重要解题依据．大家一定要注意的是截得的棱锥的高与原棱锥高的比的平方，不要记错为高被截成两段的比的平方．五、作业课本P．65中习题八1-6．六、板书设计图2-9～图2-11画在小黑板上棱锥的概念及性质1．棱锥的概念棱锥的定义：棱锥的表示法：棱锥的分类：2正棱锥的概念及性质性质1(略)性质2(略)3．一般棱锥的性质定理(略)例1(略)第二课时正棱锥的直观图画法及侧面积一、教与学过程设计(一)复习提问师：正棱锥有两个突出的特点，请一位同学说说．生：正棱锥的底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心．师：今天我们首先来学习正棱锥直观图的画法．(二)正五棱锥直观图的画法平放量的直观图．中心．)待同学们画好后．师：在同学们画的图形中，过O'作一条轴O'z'使∠z'O'x'＝90°，∠z'O'y'＝45°，并在其上的O'S'＝2.3(cm)，并连结S'与点A'、B'、C'、D'、E'，则棱锥S'-A'B'C'D'E，便是高为11.5(cm)．底面边长为5(cm)的正五棱锥(为什么高是11.5cm？)．生：因为2.3(cm)×5＝11.5(cm)师：我们总结正棱锥直观图的画法，请一位同学来说．生：先画底面的直观图，再画O'z'轴，使∠z'O'x'＝90°，∠z'O'y'＝45°，然后在O'z'上截取高，最后连结截点和底面上的顶点即是．(三)正棱锥的侧面积利用模型让学生观看，把正棱锥沿侧棱将侧面展成平面的演示．师：如果这个正棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为h'，问这个展开图的面积是多少？正棱椎的侧面积又是多少？(教师把定理板书出来．)定理：如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h'，那么它的侧(然后请同学们阅读课本P．64例3及解题过程，教师抄写补充例题．)补例1 棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高截成1∶2，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积比等于[ ]A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3师：我们可以从一个侧面来考虑被截成两部分面积的比，如图2-15设为一个侧面三角形，则有A'B'∥AB且A'B'：AB＝1∶3．由于△SA'B'～△SAB，所以S△A'B'∶S△SAB＝1∶9，所以S△SA'B'∶S四边形A'B'BA＝1∶8．根据等比性质得，两部分面积的比为1∶8，故应选B答案．补例2 正三棱锥底面边长为a，侧棱与底面成45°角，求此棱锥的侧面积．师：问题的关键在于求出斜高，所以在图中作出三个Rt△，在Rt小结：大家要善于应用正棱锥的性质2．补例3 底面为矩形的四棱锥P-ABCD，PA⊥底面，PA＝3cm，AB=4cm，BC＝3cm，求棱锥P-BCD的侧面积．师：由于棱锥P-BCD是斜棱锥，我们没有现成公式可用，所以只好分别计算S△PBC，S△PCD及S△PBD，因为PA⊥底面，且AB⊥BC．∴PB⊥BC，故△PBC是Rt△，同理△PDC也是Rt△，由于PB作AE⊥BD于E，并连结PE，则PE⊥BC(为什么？)即PE是△PBD的一条高，在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3∴BD＝5．又AB·AD小结：一般棱锥的侧面积采取逐个计算再求总和的方法．(四)练习课本P．64练习1、2．(五)总结1．正棱锥直观图作法2．正棱锥的侧面积公式3．一般棱锥侧面积的计算方法二、作业课本P．65中7-10．三、板书设计正棱锥直观图的画法1．正棱锥直观图的画法①画底面的直观图．②画O'z'轴使∠x'O'z'=90°③在0'z'上截取，O'S等于正棱锥的高．④连结S与底面直观图上各顶点．2．正棱锥的侧面积定理(略)补充例1、例2、例3．。

棱柱、棱锥、棱台的概念和性质

2.棱锥的元素
A B
类比棱柱，给棱锥各元素命名顶点
C
S
底面
A
由棱柱的一个底面收缩而成底面CBFra bibliotekA B
C
侧面
侧面
侧棱相邻两侧面的公共边
侧棱相邻两侧面的公共边
3.棱锥的性质
观察下列棱锥，归纳它们的底面和侧面各有什么特征？
在同一个棱锥中的各个侧面三角形有什么共同特征?
棱锥的性质： ①底面是多边形(如三角形、四边形、五边形等）
E D A B C A1 C1 E1 D1
B1
5.右图中的几何体
是不是棱台？为什
么？
6.多面体至少有几个面？这个多面体是怎样
的几何体？
5 个. 7.棱柱的面至少有_____
回顾反思
线段平行四边形
平面多边形棱柱
三角形
棱锥
梯形
棱台
几何体
侧棱
图形
底面
两个底面是全等的多边形且对应边互相平行相等
1
1
1
}
}
所以△MNP≌△ABC (SSS)
过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
已知：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 求证：截面AA1 C1 C是平行四边形证明：四棱柱ABCD-A1 B1 C1 D1 D AA1∥ = C1 C A 截面AA1 C1 C 是平行四边形 D1
A1 B1
C
B
应用三垂线定理
教学参考 ——一题多解
M 是底例1 已知正三棱柱ABC A B C 的各棱长都为1，
1
面上 BC 边的中点，N 是侧棱 CC 上的点，且CN CC， 4 求证：AB MN 。 C 的中点G, 由解2：直角坐标法。取 Bⅱ ^ BC, 已知条件和正三棱柱的性质，得 AM Z A' 如图建立坐标系。则 1 1 3 1 ¢ B' C' M (0, 0, 0, ), N (0, , ), A(, 0, 0), B (0, - ,1), G 2 4 2 2

构成空间几何体的基本元素;棱柱、棱锥、和棱台;圆柱、圆锥、圆台和球

【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 构成空间几何体的基本元素2. 棱柱、棱锥和棱台的结构特征3. 圆柱、圆锥、圆台和球二. 教学目的1. 认识构成空间几何体的基本元素2. 掌握柱、锥、台和球的结构特征三. 教学重点、难点1. 柱、锥、台和球的结构特征2. 学生看图、识图的能力的培养和尝试模型制作四. 知识分析我们生活的世界有各种各样的物体，我们总是试着去观察它们，区分它们。

区分这些物体的方法很多，但最直接的方法是什么呢？对，是它们占有空间部分的形状和大小。

这也是我们研究几何体的方向和内容。

（一）构成空间几何体的基本元素但是什么是几何体呢？我们将要认识和研究几何体的哪些方面的问题？几何体指的是一个物体所占有的空间部分。

常见的有柱体、锥体、台体、球体等等。

（见上图）同学们应该明确一点就是几何体不仅仅包括它的外表面，还包括它内部的部分，或者说它是有皮有瓤的。

我们研究几何体，不用理睬它的物理性质和化学成分，不用关心它的历史，也不用研究它的经济价值，而只考虑它的形状和大小，研究一下它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等等就行了。

我们现在要学习的内容是立体几何初步，它包括两节内容：第一节是空间几何体，第二节是点、线、面之间的位置关系。

学习的重点是认识柱、锥、台、球的结构特征，会用平行投影法、中心投影法、三视图法、直观图法绘制空间图形，柱、锥、台、球等几何体的表面积和体积的求法，平面的基本性质，空间直线的位置关系，直线与平面之间及两平面之间平行和垂直关系，掌握好上述内容，就抓住了立体几何中最重要、最根本的内容，其他部分也就迎刃而解了。

现在，同学们先观察你的周围，发现了哪些几何体？你都认识它们吗？在我们认识的几何体中，最熟悉的莫过于长方体了，你能说出长方体的结构特征吗？观察长方体，会发现它的表面有六个矩形，我们把这六个矩形（含矩形内部）称为长方体的面，相邻两个面的公共边叫做长方体的棱，长方体的三条两两相交成直角的棱交会到一点，就是长方体的顶点。

9.9 棱柱与棱锥第三课时棱锥与它的性质、直棱柱和正棱锥的直观图的画法、正多面体

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5．正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底边上的高相等． (2)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形． 6．直棱柱和正棱锥的直观图的画法画直观图有四个步骤：①画轴(即建立三维空间直角坐标系)；②画底面；③画侧棱(正棱锥画高)；④成图． 7．正多面体的概念每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体，正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段．
解析：由于正棱锥的各侧棱长、斜高均相等，故对应的二面角、侧棱与底面所成的角也相等，故①②正确．根据正棱锥的定义知④正确，对于③，其中的对角面有多种情况，如五棱锥、六棱锥等，故③末页
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2．若正四棱锥的高为 6，侧棱长为 8，则棱锥的底面边长为( (A)2 7 (B)4 7 (C) 14 (D)2 14
2．棱锥的分类棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形„„我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥„„ 3．棱锥的性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 4．正棱锥的概念如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
本题以四棱锥为载体，考查立体几何中的线面关系及空间角的概念和计算．
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立体几何初步知识点全总结

立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。

1. 棱柱。

- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。

- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。

2. 棱锥。

- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。

- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。

- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

3. 棱台。

- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。

- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。

- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。

4. 圆柱。

- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。

- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。

5. 圆锥。

- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。

- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。

6. 圆台。

- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

棱柱与棱锥

作业：P62，习题9.9，2、3、5
9.9棱柱与棱锥
新课
练习：已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为 3 ，
底面边长为2，D是BC的中点，
（1）求证：A1B//平面AC1D；（（23））求求二异面面角直C线1A—1AB与D—ACC1的所大成小的；角。A1
C1 B1
600
arccos
1 7
3O
A
C
D 2B
9.9棱柱与棱锥
新课
练习：已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1中， AB=1 ，
AA1=2，点E、F分别为CC1、BD1的中点，
（1）求证：EF是BD1与CC1的公垂线；
（2）求D1到平面BDE的距离。
D1
z
C1
23 3
A1
B1
2
F
E
D
AБайду номын сангаас
1
x
C
y
B
9.9棱柱与棱锥
新课
练习：如图：M、N、P分别是
9.9棱柱与棱锥
新课
[定义]由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。一个多面体至少有四个面，多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等。
[定义]侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形…，这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
9.9棱柱与棱锥
新课
根据棱柱的定义，棱柱有以下性质：（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。（2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形；（3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

第七章空间图形第三节多面体

C
AB 2AM 2OM cot 30
2 3 l2 h2
B
图7-48 例4图形
由一般棱锥的性质, 有
S
ABC
12 2
3
l2 h2
3 l2 h2 3 3 l 2 h2
S A1B1C1 SO12 1 , 所以 S ABC SO2 4
3 3
S 4 A1B1C1
l2 h2
2.正棱锥的侧面积、全面积和一般棱锥的体积
按侧棱与底面是否垂直来分，又有斜平行六面体与直平行六面体的区别，其中底面为矩形的直平行六面体，就是我们通常所说的长方体，长方体的任意一条对角线的平方等于长、宽、高的平方和.
例1 如图7-42所示,底面是菱形的直棱柱,对角线B1D和A1C 的长分别是9cm和15cm, 侧棱AA1的长是5cm, 求它的底面边长.
1
1
1
S正棱锥侧面积 2 hP, S正棱锥全面积 S 2 hP, V棱锥体积 3 HS
以上公式中, h为斜高, P为底的周长, H为棱锥高, S为底面积.
例5
已知正三棱锥的斜高等于6
1 2
cm,高等于6cm,
求它的全
面积.
S
解如图7-49所示,S - ABC是一个满足题设的正三棱锥,SO 为高,连接AO并延长与BC交于点D,则AD BC,连接SD,SD BC,SD为斜高,在直角 SOD中
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形…,我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…
根据棱柱的定义，容易得到棱柱的以下性质.
(1) 侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
(2) 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；
(3) 对角截面是平行四边形.

用1.1.4 柱、锥、台、球的结构特征(棱台)

典型例题
例1.下面有四个命题： (1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； (2)三条侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥； (3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥； (4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心, 又是外心的棱锥必是正棱锥. 其中，正确命题的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
棱台的两个重要特征：（1）两底面互相平行；（2）各侧棱延长后相交于一点。
2.棱台的元素
上底面底面侧面
侧棱
底面下底面
3．棱台的分类：（1）按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等；
（2）正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
正棱锥
正四棱台
4．正棱台的性质：（1）各侧棱相等；（2）正棱台的各侧面都是全等的等腰梯形；（3）正棱台的斜高相等. （4）棱台的两底面及平行于底面的截面是相似的正多边形；
D
C
B
A
数学运用
(2)画一个三棱台
S
A B
A
①画一个三棱锥
C C
②在侧棱上任取一点,从这点开始, 顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段 ③将多余的线段擦去
B
数学运用
练一练：以三角形ABC为底面画一个三棱柱.
C
A B
C
C
C
A
A
B
A
B
B
题型一、对多面体概念的理解与应用 2.下列三种说法，其中正确的是( A ) ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：对于（1）、如图：三棱锥A-BCD中，AB=AC=b，AD=CD=BC=BD=a，其每个侧面是等腰三角形，但不是正三棱锥，故（1）错误；对于（2）、对于正三棱锥，底面必须是正三角形，故（2）错误；对于（3）、对于正三棱锥，三条侧棱长必须相等，故（3）错误；对于（4）、该棱锥的底面多边形的内心与外心重合，则其底面为正多边形，则其内心（外心）为底面多边形的中心，则顶点在底面上的射影是底面多边形的中心，符合棱锥的定义，故（4）正确．只有一个命题正确；故选A．

必修二第一章(柱锥台及三视图)

第一章立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点：空间直线,平面的位置关系。

柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。

平行、垂直的定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

文字语言,图形语言和符号语言的转化。

平行，垂直判定与性质定理证明与应用。

1.1棱柱、棱锥、棱台1知识网络学习要求1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。

掌握它们的形成特点。

2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。

3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．空间几何体简单的空间几何体基本元素(点、线、面)关系多面体(棱柱、棱锥、棱台) 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）直线与直线直线与平面平面与平面结构特征，图形表示，侧面积，体积平行、垂直、夹角、距离三视图，直观图，展开图判定、性质综合应用1.多面体：多面体是由若干个所围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的；相邻的两个面的公共边叫做多面体的；棱和棱的公共点叫做多面体的；连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的；2.凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面 ,则这样的多面体就叫做凸多面体。

3。

截面：一个几何体和相交所得到的平面图形（包含它的内部)，叫做这个几何体的截面。

4。

棱柱：从运动的观点看:棱柱可以看成一个多边形（包括图形围成的平面部分）上各点都沿着移动的距离所形成的几何体.5。

棱柱的主要特征性质:（1)有两个互相的面。

(2）夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相。

棱柱的两个互相平行的面叫棱柱的______，其余各面叫____________，两侧面的公共边叫___________；棱柱两底面之间的距离叫做棱柱的______。

棱柱用表示_______________________字母来表示。

6。

棱柱的分类：（1）按底面多边形的边数可以分为：棱柱、棱柱、棱柱……(2)按侧棱和底面是否垂直分为: 棱柱和棱柱。

棱柱和棱锥

{正方体}{长方体}{直平行六面体 }{平行六面体 }

定理长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和
D' C'
A'
B'
D
C
A
B
棱锥的定义：
有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥．
这个多边形叫做棱锥的底面．其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
⒉棱柱的表示法；
1 .用两底面各顶点的字母来表示,如：棱柱
ABCD- A1B1C1D1
2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，如：棱柱A C1
底面是平行四边形
四棱柱
侧棱垂直于底面
平行六面体侧棱垂直于底面
直四棱柱长方体正方体
底面是平行四边形底面是正方行
直平行六面体正四棱柱
底面是矩形棱长都相等
两个底面所在平面的公垂线段叫做棱柱的高。
⒊棱柱的分类
斜三棱柱
直四棱柱
正五棱柱
1、按侧棱与底面位置关系分类可分为斜棱柱、直棱柱（正棱柱） 2、按底面多边形的边数分类可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等。
学以致用
问题1、棱柱集合、斜棱柱集合、直棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样的包含关系？
问题2、斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、侧面各有什么特点？
1. 斜棱柱、直棱柱的底面为任意多边形。正棱柱的底面为正多边形。 2. 斜棱柱的侧面为平行四边形。直棱柱的侧面为矩形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。
棱柱的性质：
1、棱柱的侧棱有何关系？侧棱都相等，侧面是平行四边形

高一数学知识点

高一数学知识点高一数学知识点15篇高一数学知识点1立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

【创新设计】高三数学一轮复习 9

∵DE⊥平面PAE.∴平面PAE⊥平面PDE. ∴过F作FQ⊥PE于Q，则FQ⊥平面PDE. ∴FQ的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中，PA＝AE＝2a，F为AE中点，FQ⊥PE， ∴FQ＝ a.∴点C到平面PDE的距离为 a.
．
∵
＝(－4,0,0)·(0, ，－ )＝0，∴AC⊥SB.
(2)由(1)得
，设n＝(x，y，z)为平面CMN的
一个法向量，则
取z＝1，则
x＝，y＝－，∴n＝( ，－，1)．
又
为平面ABC的一个法向量，∴
.
∴二面角N－CM－B的大小为arccos .
(3)由(1)(2)得
为平面CMN的一个法向量，
∴∠PAB＝60°.而PB是四棱锥P－ABCD的高，PB＝AB·tan 60°＝ a，
∴V锥＝
；
(2)证明：不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD与面PCD恒为全等三角形．如图，作AE⊥DP，垂足为E，连结EC、AC，则△ADE≌△CDE.
∴AE＝CE，∠CED＝90°，故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角．
(2)设SC的中点为F，连结BF和DF，
∵△BCS和△DCS都是正三角形，∴DF⊥SC，BF⊥SC，
∴∠DFB为相邻两侧面所成二面角的平面角，即∠DFB＝β.由DF＝BF＝ a，BD＝
a，得cos β＝
.
(3)证明：∵cos 2α＝2cos2α－1＝，0°＜2α＜180°，0°＜β＜180°.
∴β＝2α.
当k＝时，
设平面PBC的法向量为n＝(1，y，z)，
由
得
解得
∴n＝(1,1， )．cos〈，n〉＝
，
∴〈，n〉＝arccos

立体几何知识点总结完整版讲解

立体几何知识点总结完整版讲解-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN立体几何知识点【考纲解读】1、平面的概念及平面的表示法，理解三个公理及三个推论的内容及作用，初步掌握性质与推论的简单应用。

2、空间两条直线的三种位置关系，并会判定。

3、平行公理、等角定理及其推论，了解它们的作用，会用它们来证明简单的几何问题，掌握证明空间两直线平行及角相等的方法。

4、异面直线所成角的定义，异面直线垂直的概念，会用图形来表示两条异面直线，掌握异面直线所成角的范围，会求异面直线的所成角。

5.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘;了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算;掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.6.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱,棱锥的性质,并会灵活应用,掌握球的表面积、体积公式;能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.7.空间平行与垂直关系的论证.8. 掌握直线与平面所成角、二面角的计算方法，掌握三垂线定理及其逆定理，并能熟练解决有关问题,进一步掌握异面直线所成角的求解方法，熟练解决有关问题.9.理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法）.对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算距离。

【知识络构建】【重点知识整合】1．空间几何体的三视图(1)正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；(2)侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；(3)俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．斜二测画水平放置的平面图形的基本步骤 (1)建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系；(2)画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的Ox ′，Oy ′，使∠x ′Oy ′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平平面；(3)画对应图形，在已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于x ′轴，且长度保持不变；在已知图形中平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于y ′轴，且长度变为原来的一半；(4)擦去辅助线，图画好后，要擦去x 轴、y 轴及为画图添加的辅助线(虚线)．3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:V =柱Sh ;锥体的体积公式: V =锥13Sh ; 台体的体积公式: V =棱台1()3h S SS S ''+;球的体积公式: V =球343r π. (2)球的表面积公式: 24S R π=球.【高频考点突破】考点一空间几何体与三视图1．一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．画直观图时，与坐标轴平行的线段仍平行，与x 轴、z 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度减半．例1、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 ( )【方法技巧】该类问题主要有两种类型：一是由几何体确定三视图；二是由三视图还原成几何体．解决该类问题的关键是找准投影面及三个视图之间的关系．抓住“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点作出判断.考点二空间几何体的表面积和体积常见的一些简单几何体的表面积和体积公式：圆柱的表面积公式：S ＝2πr 2＋2πrl ＝2πr (r ＋l )(其中r 为底面半径，l 为圆柱的高)；圆锥的表面积公式：S ＝πr 2＋πrl ＝πr (r ＋l )(其中r 为底面半径，l 为母线长)；圆台的表面积公式：S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )(其中r 和r ′分别为圆台的上、下底面半径，l 为母线长)；柱体的体积公式：V ＝Sh (S 为底面面积，h 为高)；锥体的体积公式：V ＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；台体的体积公式：V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h (S ′、S 分别为上、下底面面积，h 为高)；球的表面积和体积公式：S ＝4πR 2，V ＝43πR 3(R 为球的半径)．例 2、如图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ( )A．6 3B．9 3C．12 3 D．18 3【方法技巧】1．求三棱锥体积时，可多角度地选择方法．如体积分割、体积差、等积转化法是常用的方法．2．与三视图相结合考查面积或体积的计算时，解决时先还原几何体，计算时要结合平面图形，不要弄错相关数量．3．求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．4．对于组合体的表面积要注意其衔接部分的处理.考点三球与空间几何体的“切”“接”问题1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．2．正方体的内切球其棱长为球的直径．3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.例3、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为________．【方法技巧】1．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题．2．若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，则4R2＝a2＋b2＋c2(R为球半径)．可采用“补形”法，构造长方体或正方体的外接球去处理．考点四空间线线、线面位置关系(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(4)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.例4、如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG 为矩形；(3)是否存在点Q ，到四面体PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由．【方法技巧】1．证明线线平行常用的两种方法：(1)构造平行四边形；(2)构造三角形的中位线．2．证明线面平行常用的两种方法：(1)转化为线线平行；(2)转化为面面平行．3．证明直线与平面垂直往往转化为证明直线与直线垂直．而证明直线与直线垂直又需要转化为证明直线与平面垂直.考点五空间面面位置关系1．面面垂直的判定定理：a ?β，a ⊥α?α⊥β.2．面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ?α，a ⊥l ?a ⊥β.3．面面平行的判定定理：a ?β，b ?β，a ∩b ＝A ，a ∥α，b ∥α?α∥β.4．面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ?a ∥b .5．面面平行的证明还有其它方法：⎭⎪⎬⎪⎫?1?a 、b ?α且a ∩b ＝A c 、d ?β且c ∩d ＝B a ∥c ，b ∥d ?α∥β，(2)a ⊥α、a ⊥β ?α∥β.例5、如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.【方法技巧】1．垂直问题的转化方向面面垂直?线面垂直?线线垂直．主要依据有关定义及判定定理和性质定理证明．具体如下：(1)证明线线垂直：①线线垂直的定义；②线面垂直的定义；③勾股定理等平面几何中的有关定理．(2)证明线面垂直：①线面垂直的判定定理；②线面垂直的性质定理；③面面垂直的性质定理．(3)证明面面垂直：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理．2．证明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其关键是结合图形与条件在平面内寻找两相交直线分别平行于另一平面.例6、如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；(2)证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.【方法技巧】1．用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证而直接计算就行了．把几何问题代数化．尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷．但是向量法要求计算必须准确无误．2．利用向量法的关键是正确求平面的法向量．赋值时注意其灵活性．注意(0,0,0)不能作为法向量.考点七利用空间向量求角1．向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b||a||b|. 2．向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，a〉|＝|n·a| |n||a|.3．向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2| |n1||n2|；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cosθ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2||n1||n2|.例7、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．考点八利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．例8、如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2. (1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【难点探究】难点一空间几何体的表面积和体积例1、（1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．48B ．32＋817C ．48＋817D ．80(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．92π＋12B ．92π＋18C ．9π＋42D ．36π＋18难点二球与多面体例 2、已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1【解题规律与技巧】．【历届高考真题】【2012年高考试题】一、选择题1.【2012高考真题新课标理7】如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 182.【2012高考真题浙江理10】已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2。

高二数学棱锥、多面体及其欧拉公式人教版

高二数学棱锥、多面体及其欧拉公式人教版【教学内容】棱锥、多面体及其欧拉公式【教学目标】1、理解棱锥、正棱锥的概念，掌握一般棱锥的性质和正棱锥的性质，掌握正棱锥的直观图的画法，能分析、论证多面体内的线面关系，并用辅助直角三角形求得长度、角度，了解棱锥的侧面积与全面积概念及其计算，掌握棱锥的体积公式及应用。

2、理解凸多面体、正多面体及简单多面体的概念，掌握欧拉公式的证明和简单应用。

【知识讲解】一、棱锥1、棱锥的概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2、一般棱锥的性质①底面是多边形②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和顶点到底面距离的比。

截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方。

3、正棱锥的概念底面是正多边形、顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥在实际中应用较多，掌握正棱锥的定义必须把握上述两点，并且缺一不可。

另外还应加深对正多边形中心的理解。

对于正多边形，它的内心、外心、重心、垂心是重合的，重合后的点记为正多边形的中心。

外心是多边形各边上垂直平分线的交点，到多边形各个顶点的距离相等，即外接圆半径；内心是多边形各内角平分线的交点，到多边形各边的距离相等，即内切圆半径；重心是多边形各边上中线的交点，把中线分为长度比为2∶1的两段；垂心是多边形各边高线的交点。

只有正多边形才有中心。

4、正棱锥的性质（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

（2）棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形，这两个重要的三角形可解决棱锥的绝大多数求值问题。

5、正棱侧的侧面积公式正棱锥的底面周长是C ，斜高是h ＇，那么它的侧面积是h C '21，全面积等于侧面积与底面积之和。

棱锥及其画法PPT课件

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老大儿子古峥嵘直奔工地那儿理论/去咯好几天/回来时俩人被打得壹身伤/我那年轻の孙子の腿都打断咯/再后来/俩人跑去县里政府去说事/想着说那人民官能够管管给我们那小老百姓壹各公道/哪想根本连面儿都见别上……最后/等他们从县里回来/老二就跟变咯各人壹样/说他加入咯壹各神主教/他就要得到救赎咯/他把家里所有の积蓄全都拿走/说那是要供奉神主/让我们都要壹起跟着神主信仰神主/成天神神叨叨/跟左邻右舍四处宣传/镇上别少人被他说服/跟着他经常到常青山里の三古村去/老头子虽然上咯年纪也别是愚笨到全信老二の话/那天老二和他妹妹聊天/两人就约着去三古村/我也偷偷跟在后面/他们壹路有说有笑/走到壹片小树林里/别远处就是三古村/还能看到村里の人走动/我本以为没啥啊大事/看看没情况就回家去/我看见老二她带着自己の妹妹/走到壹处空地上/然后有三各壮汉从树林里出来/他们恶狠狠の/壹看就别是啥啊好人/我别晓得老二为啥啊会认识那些人/接着就看到/就看到……/古大爷忽然停住话/老泪纵横/苍老の眸子充满浓重の悲伤和绝望/攥紧の拳头狠狠の砸在椅边の桌面上/哽咽の说出接下来让左中又为之震惊の话语——/老二他……他将自己の妹妹推出去/任由那些畜生侵犯自己の妹妹/我至今都记得那些畜生の样子/他们脸上透着邪恶淫/荡の笑/将魔爪伸向我可怜の小女儿/我别顾壹切の冲上去要跟拼命/还没到那/老二发现咯将我壹把摁倒在地/而我/我亲眼看着自己の女儿被那帮禽兽/强/奸/我の女儿她挣扎她哭喊/壹声又壹声の喊着爸爸/看向我の眼神害从惊惧到无助到绝望/没什么人停止残忍の暴行/那样下去她会死の/我死命推搡着老二也无济于事/他只是疯魔壹样自言自语‘那是救赎那是救赎’……/话到那里/左中又万分震惊/她知晓世间丑恶の事物千千万/却别想听到壹各人真实描述出来时/那番感觉简直无比揪心/左中又哭得双眼通红/想安慰古大爷/又别晓得从何说起/只能攥紧手心里本来要给古大爷の纸巾/某各因别动声色站定在左中又の身旁/壹手揽住左中又の肩/往自己の怀里带咯带/左中又低着头省咯省鼻子/壹手抓紧某各因の衣角/晓得那是某各因给予她无声の抚慰//最后/她真の死咯//古大爷の声音别像刚才の愤恨控诉/空空得有些缥缈//那帮禽兽完事就走咯/她就躺在血泊里/眼睛呆呆の望着天空/她好像就要走咯/我挣开咯老二爬上前/我别敢碰她/我怕下壹秒她就会别见咯……五年咯/我无数次梦见她来我の梦里哭着喊着说‘爸爸救我/爸爸救我……’/言尽于此/空气仿佛凝固咯壹般/左中又大气都别敢喘壹口/假设那各女孩儿还在/还是跟她差别多の年纪 /她们说别定此刻还能说上话/左中又心中坚定の想着/她壹定要将那壹帮凶徒通通抓住/绳之以法/小房间里此时沉浸在浓浓の哀伤里面/古大爷微捶着自己胸口/佝偻の身躯里是自己深深の悔恨和痛心/沉默壹阵/某各因走到古大爷面前/ 右腿屈膝蹲下/壹手握住古大爷の胳膊/沉冷の声音格外有力量：/我们别会让穷凶极恶の罪犯逍遥法外/为咯逝者安息/也为咯生者安心//古大爷收敛自己の情绪/他能感受到从胳膊处の力量/眼前の年轻人面色清冷/可那双目光正直坚毅 /心中为之动容/那么多年/老二苦苦所求の救赎/从头到脚都是错の/他现在该为自己行为付出代价//古大爷/我们壹定会让那些坏人得到惩罚//左中又也擦干眼泪/走到古大爷跟前//我相信您们//世间众多罪恶/正义别能面面俱到/但壹定会来临/第017也没/就是她/到达小旅馆时大约是上午11点多/林壹和吕飞翔也都回来咯/某各因把所有人都召集到壹起//打起十二分の精神/今天/我们要剿咯那各窝点//铿锵有力の声音传到每各人の耳朵里/某各因浑身透着壹股强劲の凌厉气息/在场の几各人亦是万分认真/他们既然选择咯警察那壹行业/就是要秉承为人民服务の信念/身体力行/别管所面对の处境有多艰险/他们都会时刻冲在最前方//古力处理好咯没///换地方绑起来咯/跑别咯//乔远回答//中午我和左中又会进山里/您们几各人等会先去常青山进山口附近隐蔽起来/林壹您在镇上与昌平县局外警组壹起/乔远您随时注意情况/时机壹到就马上让林壹行动//某各因给每各人分配任务//收到//林壹乔远异口同声//行动吧//人都走得差别多/剩下某各因和左中又/还有壹各故意磨蹭最后走の乔远//北璟/您确定要带着那各菜鸟？/那会乔远也顾别上啥啊/毫别掩饰对左中又の质疑/某各因置若罔闻/甚至壹各眼神都没给他/然后拿出壹件运动外套换上//那可别是开玩笑/我当然相信有您没问题/但难免她万壹出咯差错坏咯事//左中又壹向别太在意外人对她の看法/只是那乔远确定要把话说得那么难听？她本人还在场呢/某各因好像都听别见乔远の话壹样/站在房间の镜子前随意地整咯整衣领/别得别说某各因天生の好皮相/壹件简单休闲の黑白色运动外套都被他穿出优雅慵懒の感觉/左中又看得眼神痴咯壹瞬/恰巧她站在某各因身后/整各人也出现在镜中/从镜中の角度看/两各人好像依偎在壹起/左中又猛地醒神/壹下就对上镜中某各因の眼神/见此/左中又连忙假装低头躲开那道视线//北璟……/乔远那情商为零完全没察觉到两人の眼神涌动/见某各因迟迟别回答他/再次开口道/某各因却是没耐心再跟乔远废话//我看上の人别会差/您可以走咯//听出某各因话里毋庸置疑の意味/乔远嘴唇动咯动也没说出来话/再次看咯壹眼左中又就离开房间咯/左中又冲乔远背后扮咯壹各鬼脸/叫您别相信我/今天就让您见识我の实力/虽然左中又那么想着/心里还是虚虚の/毕竟那是她第壹次实战/而且她也很意外/某各因居然那么看好她？心底莫名有股涌动/朝着某各因脱口而出：/我壹定别会丢您脸//声音里是按捺别住の激动/目光灼灼染上热烈/灿烂の眸里仿佛闪烁着星辰/光芒像要盛别住溢出来咯壹样//去准备吧/等会就走///OK/出发前/左中又也换咯套运动装/巧の是也是黑白色系/在快到常青山路�

棱锥它的性质.

别为α、β、γ，求 cosα+cosβ+cosγ
的值.
A
B
D
C
略解如图所示，由已知所有侧面三角形
和底面三角形都是全等的三角形，记
其面积为S，侧面在底面的射影面积分
别为S1、S2、S3 ，则
cosα+cosβ+cosγ=
（S1+S2+S3）/S =1
S
A
s3
C
s1 s2
B
• 小结
• 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形围成的几何体叫棱锥.
∴CE⊥SB
∴∠AEC为侧面SAB与侧面SBC所成二面角的平面角.
∴∠AEC=120°，连结EO
∵AO=CO，AE=EC
∴∠AEO=60°
• 棱锥的斜高为 2 a,高为 a/2, • 侧棱长为 3 a. 2
2
• 例1 已知正六棱锥的侧面和底面所成的角为φ，底面边长为a，求这个正六棱锥的高、侧棱和斜高．
ABCD，且 AB⊥AD， ∴ AB⊥面 PAD，∴ AB⊥PA，AB⊥PD， ∴ l ⊥ PA，l ⊥ PD， ∴∠APD 为二面角 AB－l －CD 的平面角， ∵△PAD 为正三角形，∴∠APD=60° .
• 证明：如图，P—ABC是一个四面体. ∵ΔPAB，ΔPBC，ΔPCA都是直角三角形. ∴
D O
A
S
C
M
B
O
M
B
• 作业
1.教材P62 第7、8题
2. 思考：将正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正六棱锥中基本量l，h，h′，a，R，r，以及侧棱与底面所成角α，侧面与底面所成的角β，通过四个直角三角形将它们联系在一起，找出它们之间的关系。

高一数学知识点最新归纳9篇

高一数学知识点最新归纳9篇高一数学知识点最新归纳1两个平面的位置关系：(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行——没有公共点;两个平面相交——有一条公共直线。

a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。

b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。

(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)棱锥棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。

棱锥的性质：(1)侧棱交于一点。

侧面都是三角形(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。

且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方正棱锥正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。