北师大版七年级下全等三角形难题

1.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．

试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．

2．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点．

(1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等．

(2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度同时从点B 出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的一条边上相遇？

3.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．

（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF BE AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是 ；

（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明． A

B

C

D

E

A

B

C E F D

D

A

B

C

E F A

D

F

C E

B

图1

图2

图3

4. 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知，在ABC △中，AB AC =，

P 是ABC △内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使QAP BAC ∠=∠，连结BQ CP ，，则

BQ CP =．

” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了ABQ ACP △≌△，从而证得BQ CP =．之后，他将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中其它条件不变，发现“BQ CP =”仍然成立，请你就图②给出证明．

5. 如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ， 过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：AD ⊥CF ；

(2)连接AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．

6. 如图，在ABCD 中，32BAD ∠=°，分别以BC CD 、为边向外作BCE △和DCF △，使BE BC DF DC EBC CDF ==∠=∠，，．延长AB 交边EC 于点H ，点H 在E C 、两点之间，连结AE AF 、．

（1）求证：ABE FDA △≌△．

（2）当AE AF ⊥时，求EBH ∠的度数．

图①

Q

P

C

B

A

A

Q

B

P

C

图②

A F

C D B

H E

7. 已知：如图， AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， 垂足为E ，点D 与点A 关于点E 对称，PB 分别与线段CF ，

AF 相交于P ，M ．

（1）求证：AB =CD ；

（2）若∠BAC =2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．

8、如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，A ，C ，D 三点在同一直线上，连结BD ，AE ，

并延长AE 交BD 于F ．（1）求证：△ACE ≌△BCD ．（2）直线AE 与BD 互相垂直吗？证明你的

结

9、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 是∠ABC 的平分线，AF ∥DC ，连接AC 、CF ，

求证：CA 是∠DCF 的平分线。

F

D

A

C B

10. 如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ． 解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90º．

①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．

②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙， ①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90º，点D 在线段BC 上运动．

试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图

A B C D E F

第28题图

图甲

图乙

F

E D C B A

F E D C B A 图丙

F M P

E D C

B A

B A O D C

E 图8

11、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

8. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．

求∠AEB 的大小；

（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB

和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.

A

D

F

C G

E B

图1

A

D

F C G

E B 图2 A

D

F

G

E B

图3

C B O

D 图7 A E