人教A版数学选修2-1同步导练作业：综合测试2

第二章综合测试

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100

分，考试时间100分钟 第Ⅰ卷(选择题，共32分)

一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分．)

1．经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且方向向量为a ＝(1，－2)的直线l 的方程是( )

A ．x －2y －1＝0

B ．2x ＋y －2＝0

C ．x ＋2y －1＝0

D ．2x －y －2＝0

解析：由题设知l 过点(1,0)，斜率为－2，∴l 的方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0，选B.

答案：B

2．方程x 22sin θ＋3＋y 2

sin θ－2＝1所表示的曲线是( )

A ．焦点在x 轴上的椭圆

B ．焦点在y 轴上的椭圆

C ．焦点在x 轴上的双曲线

D ．焦点在y 轴上的双曲线

解析：∵－1≤sin θ≤1，∴－3≤sin θ－2≤－1， －2≤2sin θ≤2，∴1≤2sin θ＋3≤5. 答案：C

3．设P 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1上一点，F 1、F 2为焦点，如果∠PF 1F 2

＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为( )

A.22

B.32

C.23

D.63

解析：由定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 即在Rt △中，2c sin15°＋2c cos15°＝2a ∴c 2a 2＝1(sin15°＋cos15°)2＝11＋sin30°＝23

∴e ＝63. 答案：D

4．已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )

A ．1 B.3

2 C ．2 D ．3

解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，抛物线y 2

＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，故不妨设点A (－p 2，pb 2a )，B (－p 2，－pb

2a )则△AOB

的面积为p 2×pb 2a ＝3①.又双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以e 2＝c

2

a 2＝

a 2＋

b 2

a 2＝4.从而可得

b ＝3a ，代入①中可以解得p ＝2.故选C.

答案：C

5．若双曲线x 23－16y 2

p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．4 2 解析：双曲线中，c ＝3＋p 2

16，∴左焦点(－

3＋p 2

16，0)，抛

物线准线方程x ＝－p

2.

由题意得－3＋p 216＝－p

2，由p ＞0，∴p ＝4.

答案：C

6．(2018年高考·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )

A.x 23－y 29＝1

B.x 29－y 2

3＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 2

4＝1

解析：由题意不妨设A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2

a )， 双曲线的一条渐近线方程为y ＝b

a x ，即bx －ay ＝0， 则d 1＝|bc －

b 2|a 2＋b 2，d 2＝|b

c ＋b 2|

a 2＋

b 2，

故d 1＋d 2＝|bc －b 2|a 2＋b 2＋|bc ＋b 2|

a 2＋

b 2

＝bc －b 2＋bc ＋b 2

c

＝2b ＝6，故b ＝3.

又c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2

a 2＝2，

所以b 2＝3a 2，得a 2＝3. 所以双曲线的方程为x 23－y 2

9＝1. 答案：A

7．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )

A ．y 2

＝254x B ．y 2

＝452x

C ．x 2＝－452y

D ．x 2＝－45

4y

解析：设y 2＝2px ，则抛物线必过(40,30)代入得 p ＝454，∴y 2＝452x . 答案：B

8．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x

2

n 2－y 2＝1(n >0)

的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )

A ．m >n 且e 1e 2>1

B ．m >n 且e 1e 2<1

C ．m 1

D ．m

解析：

图1

由焦点重合得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，故m >n .接下来，判断e 1e 2与1的大小，可取特殊值来快速判断．如取n ＝1，则m ＝3，e 1＝c a ＝3－13，e 2＝21，得e 1e 2＝2

3

×2>1.故选A.

答案：A

第Ⅱ卷(非选择题，共68分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分．) 9．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．

解析：解法1：不妨令a ＝1，则双曲线的渐近线方程是y ＝±bx .

解方程组⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝bx x －3y ＋m ＝0

，得A (m 3b －1，bm

3b －1)，将此坐标中的“b ”用

“－b ”代换，得B (－m 3b ＋1，bm 3b ＋1)，则线段AB 中点的坐标为M (m

9b 2－1

，