人教A版数学选修2-1同步导练作业：综合测试2

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人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案

答案：一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明：充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ，则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立．而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围．解析：先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1

(人教A版)高中数学选修2-1(全册)同步练习汇总

（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步练习汇总课堂效果落实1.下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是平面图形吗解析：A、D是疑问句, 不是命题, C不能判断真假, 故B为正确答案．答案：B2．[2014·大连高二检测]若M、N是两个集合, 则下列命题中真命题是()A．如果M⊆N, 那么M∩N＝MB．如果M∩N＝N, 那么M⊆NC．如果M⊆N, 那么M∪N＝MD．如果M∪N＝N, 那么N⊆M解析：用集合的定义理解．答案：A3．在下列4个命题中, 是真命题的序号为()①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．①B．①②C．①②③D．①②④解析：对于③, 举一反例, 若A＝15°, B＝15°, 则C为150°, 三角形为钝角三角形．答案：D4．[2014·辽宁高二检测]下列命题：①若xy＝1, 则x、y互为倒数；②对角线垂直的平行四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2, 则a>b.其中真命题的序号是________．解析：①④是真命题, ②四条边相等的四边形也可以是菱形, ③平行四边形不是梯形．答案：①④5．[2014·武汉高二测试]判断下列语句是不是命题, 如果是命题, 指出是真命题还是假命题．(1)任何负数都大于零；(2)△ABC与△A1B1C1是全等三角形；(3)x2＋x>0；(4)∅A；(5)6是方程(x－5)(x－6)＝0的解；(6)方程x2－2x＋5＝0无解．解：(1)负数都是小于零的, 因此“任何负数都大于零”是不正确的；它能构成命题, 而且这个命题是个假命题．(2)两个三角形为全等三角形是有条件的, 本题无法判定△ABC 与△A1B1C1是否为全等三角形, 所以它不是命题．(3)因为x是未知数, 无法判断x2＋x是否大于零, 所以“x2＋x>0”这一语句不是命题．(4)空集是任何非空集合的真子集, 集合A是不是非空集合我们无法判断, 所以无法判断“∅A”是否成立, 因此, 它不是命题．(5)6确实是所给方程的解, 所以它是命题, 且是真命题．(6)由于给定方程x2－2x＋5＝0, 我们就可以用其判别式来判断它是否有解．由Δ＝4－4×5＝－16<0知, 方程x2－2x＋5＝0无解, 是命题, 且是真命题．04课后课时精练一、选择题1．“红豆生南国, 春来发几枝？愿君多采撷, 此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗, 在这4句诗中, 可作为命题的是()A. 红豆生南国B. 春来发几枝C. 愿君多采撷D. 此物最相思解析：“红豆生南国”是陈述句, 意思是“红豆生长在中国南方”, 这在唐代是事实, 故本语句是命题, 且是真命题；“春来发几枝”是疑问句, “愿君多采撷”是祈使句, “此物最相思”是感叹句, 都不是命题．答案：A2．[2013·安徽高考]在下列命题中, 不是．．公理的是()A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：本题考查了立体几何中的公理与定理, 意在要考生注意回归课本, 明白最基本的公理与定理．注意公理是不用证明的, 定理是要求证明的．选项A是面面平行的性质定理, 是由公理推证出来的, 而公理是不需要证明的．答案：A3．下列命题中()①a·b＝a·c且a≠0时, 必有b＝c②如a∥b时, 必存在唯一实数λ使a＝λb③a, b, c互不共线时, a－b必与c不共线④a与b共线且c与b也共线时, 则a与c必共线其中真命题的个数有()A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个解析：对于①, 由a·b＝a·c且a≠0, 得a·(b－c)＝0, 未必有b＝c；对于②, 若b＝0时, 不成立；对于③, 如图△ABC中, E, F分别为AB, AC的中点,AB →＝a , AC →＝b , 则CB →＝AB →－AC →.又因为EF →＝12BC →.即c ＝－12(a －b ), 故③不正确．④若b ＝0时, a 与c 不一定共线, 故选A.答案：A4．[2014·辽宁高考]已知m , n 表示两条不同直线, α表示平面．下列说法正确的是( )A. 若m ∥α, n ∥α, 则m ∥nB. 若m ⊥α, n ⊂α, 则m ⊥nC. 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ∥αD. 若m ∥α, m ⊥n , 则n ⊥α解析：本题主要考查空间线面位置关系的判断, 意在考查考生的逻辑推理能力．对于选项A, 若m ∥α, n ∥α, 则m 与n 可能相交、平行或异面, A 错误；显然选项B 正确；对于选项C, 若m ⊥α, m ⊥n , 则n ⊂α或n ∥α, C 错误；对于选项D, 若m ∥α, m ⊥n , 则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交, D 错误．故选B.答案：B5．[2014·海南高二检测]设U为全集, 下列命题是真命题的有()①若A∩B＝∅, 则(∁U A)∪(∁U B)＝U；②若A∪B＝U, 则(∁U A)∩(∁B)＝∅；③若A∪B＝∅, 则A＝B＝∅.UA．0个B．1个C．2个D．3个解析：由Venn图容易判断, ①②③均为真命题．答案：D6．设l1、l2表示两条直线, α表示平面．若有：①l1⊥l2；②l1⊥α；③l2⊂α, 则以其中两个为条件, 另一个为结论, 可以构造的所有命题中, 正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：由题意得三个命题, 即②③⇒①、①③⇒②和①②⇒③.由②③⇒①正确, ①③⇒②错误, ①②⇒③错误, 故选B.答案：B二、填空题7．下列语句是命题的有________．①地球是太阳的一个行星；②数列是函数吗？③x, y都是无理数, 则x＋y是无理数；④若直线l不在平面α内, 则直线l与平面α平行；⑤60x＋9>4；⑥求证3是无理数．解析：根据命题的定义进行判断．因为②是疑问句, 所以②不是命题；因为⑤中自变量x的值不确定, 所以无法判断其真假；因为⑥是祈使句, 所以不是命题．故填①③④.答案：①③④8．命题“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根”, 条件p：________________, 结论q：________________, 是________________(填“真”或“假”)命题．解析：根据命题的结构形式填空．答案：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是一元二次方程此方程有两个不相等的实数根假9．把下列不完整的命题补充完整, 并使之成为真命题：若函数f(x)＝log3x的图象与g(x)的图象关于原点对称, 则g(x)＝________.解析：设g(x)上任意一点坐标为P(x, y), 则点P关于原点的对称点坐标为P1(－x, －y), 点P1在函数f(x)＝log3x的图象上, 将对称点P1坐标直接代入f(x),即得：g(x)＝－log3(－x)．答案：－log3(－x)三、解答题10．判断下列语句是否为命题．(1)若a⊥b, 则a·b＝0；(2)2是无限循环小数；(3)三角形的三条中线交于一点；(4)x2－4x＋4≥0(x∈R)；(5)非典型肺炎是怎样传染的？(6)2014年北京的高考题真难！答案：(1)是(2)是(3)是(4)是(5)不是(6)不是11．把下列命题写成“若p, 则q”的形式, 并判断其真假：(1)等腰三角形的两个底角相等．(2)当x＝2或x＝4时, x2－6x＋8＝0；(3)正方形是矩形又是菱形；(4)方程x 2－x ＋1＝0有两个实数根．解：(1)若一个三角形是等腰三角形, 则两个底角相等, 真命题．(2)若x ＝2或x ＝4, 则x 2－6x ＋8＝0, 真命题．(3)若一个四边形是正方形, 则它既是矩形, 又是菱形, 为真命题．(4)若一个方程为x 2－x ＋1＝0, 则这个方程有两个实数根, 为假命题．12．[2014·南昌高二检测]已知命题p ：|x 2－x |≥6, q ：x ∈Z , 若p 假q 真, 求x 的值．解：因为p 假q 真, 所以可得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |<6，x ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x <6，x 2－x >－6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <3，x ∈R ，x ∈Z ，故x 的值为－1,0,1,2.03课堂效果落实1.下列命题：①今天有人请假；②中国所有的江河都流入太平洋；③中国公民都有受教育的权力；④每一个中学生都要接受爱国主义教育；⑤有人既能写小说, 也能搞发明创造⑥任何一个数除0都等于0.其中是全称命题的有( )A．1个B．2个C．3个D．不少于4个解析：②、③、④、⑥都含有全称量词．答案：D2．下列全称命题中真命题的个数为()①末位是0的整数, 可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等．A．1 B．2C．3 D．0解析：①②③均为全称命题且均为真命题, 故选C.答案：C3．[2014·温州高二检测]下列命题不是“存在x0∈R, x20>3”的表述方法的是()A．有一个x0∈R, 使得x20>3成立B．对有些x0∈R, 使得x20>3成立C．任选一个x∈R, 使得x2>3成立D．至少有一个x0∈R, 使得x20>3成立解析：C答案已经是全称命题了．答案：C4．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x2)>0”用“∃”写成特称命题为__________________．解析：“有些”即存在．答案：∃x0∈R, x0<0, (1＋x0)(1－9x20)>05．判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假．(1)存在一个实数, 使等式x2＋x＋8＝0成立；(2)每个二次函数的图象都与x 轴相交；(3)若对所有的正实数, 不等式m ≤x ＋1x 都成立, 则m ≤2； (4)如果对任意的正整数n , 数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a , b 为常数), 那么数列{a n }为等差数列．解：(1)特称命题．∵x 2＋x ＋8＝(x ＋12)2＋314>0,∴命题为假命题． (2)全称命题, 假命题．如存在y ＝x 2＋x ＋1与x 轴不相交． (3)全称命题． ∵x 是正实数, ∴x ＋1x ≥2x ·1x ＝2(当且仅当x ＝1时“＝”成立)．即x ＋1x 的最小值是2, 而m ≤x ＋1x , 从而m ≤2. 所以这个全称命题是真命题． (4)全称命题．∵S n ＝an 2＋bn , ∴a 1＝a ＋b .当n ≥2时, a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －a (n －1)2－b (n －1)＝2na ＋b －a ,又n ＝1时, a 1＝a ＋b 也满足上式, 所以a n ＝2an ＋b －a (n ∈N *)．从而数列{a n }是等差数列, 即这个全称命题也是真命题．04课后课时精练一、选择题1．给出下列命题：①存在实数x0>1, 使x20>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a, 使关于x的方程ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中特称命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：只有②是全称命题．答案：C2．“存在集合A, 使∅A”, 对这个命题, 下面说法中正确的是()A．全称命题、真命题B．全称命题、假命题C．特称命题、真命题D．特称命题、假命题解析：当A≠∅时, ∅A, 是特称命题, 且为真命题．答案：C3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A．每个二次函数的图象都开口向上B．对任意非正数c, 若a≤b＋c, 则a≤bC．存在一条直线与两个相交平面都垂直D．存在一个实数x0使不等式x20－3x0＋6<0成立解析：C、D是特称命题, A是假命题．答案：B4．特称命题“存在实数x0使x20＋1<0”可写成()A．若x∈R, 则x2＋1<0B．∀x∈R, x2＋1<0C．∃x0∈R, x20＋1<0D．以上都不正确解析：特称命题“存在一个x0∈R, 使p(x0)成立”简记为“∃x0∈R, 使p(x0)成立”．答案：C5．[2014·大连高二检测]下列命题中假命题的个数为()①∀x∈R,2x－1>0 ②∀x∈N*, (x－1)2>0③∃x0∈R, lg x0>1 ④∃x0∈R, tan x0＝2⑤∃x0∈R, sin2x0＋sin x0＋1＝0A．1 B．2C．3 D．4解析：本题考查全称命题和特称命题的真假判断．①中命题是全称命题, 易知2x－1>0恒成立, 故是真命题；②中命题是全称命题, 当x＝1时, (x－1)2＝0, 故是假命题；③中命题是特称命题, 当x＝100时, lg x＝2, 故是真命题；④中命题是特称命题, 依据正切函数定义, 可知是真命题．⑤(sin x0＋12)2＋34≥34>0成立, 可知为假命题．答案：B6．若对于∀x∈R, x2≥a＋2|x|恒成立, 则实数a的取值范围是()A．a<－1 B．a≤－1C．a>－1 D．a≥－1解析：对于∀x∈R, x2≥a＋2|x|恒成立,即a≤x2－2|x|恒成立．令f(x)＝x2－2|x|, x∈R,则f(－x)＝f(x)．当x ≥0时, f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1, 故a ≤－1. 答案：B 二、填空题7．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________________________．答案：∀x ≤0, x 3≤08．[2014·西安高二检测]若∃x ∈R , 使x ＋1x ＝m 成立, 则实数m 的取值范围是________．解析：依题意, 关于x 的方程x ＋1x ＝m 有实数解, 由基本不等式得x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2, ∴m ≥2或m ≤－2. 答案：(－∞, －2]∪[2, ＋∞)9．下列命题中, 是全称命题或特称命题的是________． ①正方形的四条边相等；②所有有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数；⑤所有正数都是实数吗？解析：④为特称命题, ①②③为全称命题, 而⑤不是命题．答案：①②③④ 三、解答题10．判断下列命题是否是全称命题或特称命题, 若是, 用符号表示, 并判断其真假．(1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)存在一条直线, 其斜率不存在；(3)对所有的实数a , b , 方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(4)存在实数x0, 使得1x20－x0＋1＝2.解：(1)是全称命题, 是真命题；(2)是特称命题, 用符号表示为“∃直线l, l的斜率不存在”, 是真命题；(3)是全称命题, 用符号表示为“∀a, b∈R, 方程ax＋b＝0都有唯一解”, 是假命题．(4)是特称命题, 用符号表示为“∃x0∈R,1x20－x0＋1＝2”, 是假命题．11. [2014·唐山高二检测]已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m, 使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；(2)若存在实数x, 使不等式m－f(x)>0成立, 求实数m的取值范围．解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x), 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立, 只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立, 此时m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．若存在实数x使不等式m>f(x)成立, 只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4, ∴f(x)min＝4,∴m>4.故所求实数m的取值范围是(4, ＋∞)．12．(1)若全称命题“任意x∈[－1, ＋∞), x2－2ax＋2≥0恒成立”为真命题, 求a的取值范围；(2)若特称命题“存在x 0∈R , 使log 2(ax 20＋x 0＋2)<0”为真命题, 求a 的取值范围．解：(1)当x ∈[－1, ＋∞)时, x 2－2ax ＋2≥0恒成立, 等价于二次函数y ＝x 2－2ax ＋2的图象在x 轴的上方, 只需满足Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，a ≤－1，f (－1)≥0，即4a 2－8<0或⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－8≥0，a ≤－1，2a ＋3≥0，所以－2<a <2或－32≤a ≤－2,所以a 的取值范围是[－32, 2)．(2)log 2(ax 20＋x 0＋2)<0⇔0<ax 20＋x 0＋2<1, 即存在x 0∈R , 使0<ax 2＋x 0＋2<1成立．当a ＝0时, －2<x 0<－1满足题意, 即存在实数x 0满足题意；当a ≠0时, ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，8a －1<0，即0<a <14或a <0. 综上所述, a <14, 即所求a 的取值范围是(－∞, 14)．03课堂效果落实1.命题“x ＝±1是方程|x |＝1的解”中, 使用逻辑联结词的情况是( )A ．没有使用逻辑联结词B ．使用了逻辑联结词“或”C ．使用了逻辑联结词“且”D ．使用了逻辑联结词“或”与“且” 答案：B2．以下判断正确的是()A．命题p是真命题时, 命题“p∧q”一定是真命题B．命题“p∧q”为真命题时, 命题p一定是真命题C．命题“p∧q”为假命题时, 命题p一定是假命题D．命题p是假命题时, 命题“p∧q”不一定是假命题解析：若“p∧q”为真, 则p、q二者皆真, 若“p∧q”为假, 则p、q中至少有一个为假, 故选B.答案：B3．已知命题p：∅⊆{0}, q：{1}∈{1,2}．由它们构成的“p或q”“p 且q”形式的命题中真命题有________个．解析：p为真命题, q为假命题, “p或q”为真命题, “p且q”为假命题．答案：14．分别用“p∧q”“p∨q”填空．(1)命题“6是自然数且是偶数”是________形式．(2)命题“5小于或等于7”是________形式．(3)命题“正数或0的平方根是实数”是________形式．答案：(1)p∧q(2)p∨q(3)p∨q5．已知命题p：0不是自然数, q：π是无理数, 写出命题“p∨q”, “p∧q”, 并判断其真假．解：p∧q：0不是自然数且π是无理数．假命题；p∨q：0不是自然数或π是无理数．真命题.04课后课时精练一、选择题1．“xy ≠0”是指( )A ．x ≠0且y ≠0B ．x ≠0或y ≠0C ．x , y 至少一个不为0D ．x , y 不都是0解析：xy ≠0当且仅当x ≠0且y ≠0. 答案：A2．已知命题p ：2＋2＝5, 命题q ：3>2, 则下列判断正确的是( ) A ．“p 或q ”为假 B ．“p 或q ”为真C ．“p 且q ”为真, “p 或q ”为假D ．以上均不对解析：显然p 假q 真, 故“p 或q ”为真, “p 且q ”为假, 故选B.答案：B3．p ：点P 在直线y ＝2x －3上, q ：点P 在抛物线y ＝－x 2上, 则使“P ∧q ”为真命题的一个点P (x , y )是( )A ．(0, －3)B ．(1,2)C ．(1, －1)D ．(－1,1)解析：点P (x , y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝－x 2.可验证各选项中, 只有C 正确．答案：C4．下列命题中既是p ∧q 形式的命题, 又是真命题的是( ) A ．10或15是5的倍数B ．方程x 2－3x －4＝0的两根是4和－1C ．集合A 是A ∩B 的子集或是A ∪B 的子集D ．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形解析：“有两个角是45°的三角形是等腰三角形, 而且是直角三角形”, 是“p且q”的形式且为真．答案：D5．若命题p：∃x∈R, x2＋2x＋5<0, 命题q；∀a, b∈R, a2＋b2≥2ab, 则下列结论正确的是()A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对解析：p是假命题, q是真命题, 故p∨q为真．答案：B6．[2014·南宁高二检测]下列命题, 其中假命题的个数为()①5＞4或4＞5；②9≥3；③命题“若a＞b, 则a＋c＞b＋c”；④命题“菱形的两条对角线互相垂直”A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①“5＞4”为真, 故“5＞4或4＞5”为真命题；②“9≥3”表示为“9＞3(真)或9＝3”, 故“9≥3”为真命题；③若“a ＞b, 则a＋c＞b＋c”也是真命题；④也是真命题．答案：A二、填空题7．若p：2是8的约数, q：2是12的约数．则“p∨q”为________；“p∧q”为________．(填具体的语句内容)．答案：2是8的约数, 或者是12的约数'2既是8的约数, 又是12的约数8．[2014·郑州高二检测]已知p(x)：x2＋2x－m>0, 如果p(1)是假命题, p (2)是真命题, 则实数m 的取值范围是________．解析：∵p (1)是假命题, p (2)是真命题,∴⎩⎪⎨⎪⎧3－m ≤0，8－m >0，解得3≤m <8. 答案：[3,8)9．对于函数①f (x )＝|x ＋2|；②f (x )＝(x －2)2；③f (x )＝cos(x －2)．有命题p ：f (x ＋2)是偶函数；命题q ：f (x )在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数, 能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是________．解析：对于①, f (x ＋2)＝|x ＋4|不是偶函数, 故p 为假命题．对于②, f (x ＋2)＝x 2是偶函数, 则p 为真命题：f (x )＝(x －2)2在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数, 则q 为真命题, 故“p ∧q ”为真命题．对于③, f (x )＝cos(x －2)显然不是(2, ＋∞)上的增函数, 故q 为假命题．故填②.答案：② 三、解答题10．分别指出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”形式的复合命题的真假．(1)P ：3>3 q ：3＝3； (2)p ：∅{0} q ：0∈∅；(3)p ：A ⊆A q ：A ∩A ＝A ；(4)p ：函数y ＝x 2＋3x ＋4的图象与x 轴有公共点； q ：方程x 2＋3x －4＝0没有实根．解：(1)∵p 假q 真, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为假； (2)∵p 真q 假, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为假； (3)∵p 真q 真, ∴“p ∨q ”为真, “p ∧q ”为真；(4)∵p 假q 假, ∴“p ∨q ”为假, “p ∧q ”为假．11．[2014·沈阳高二检测]对命题p ：“1是集合{x |x 2<a }中的元素”, q ：“2是集合{x |x 2<a }中的元素”, 则a 为何值时, “p 或q ”是真命题？a 为何值时, “p 且q ”是真命题？解：由1是集合{x |x 2<a }中的元素, 可得a >1, 由2是集合{x |x 2<a }中的元素, 可得a >4, 即使得p , q 为真命题的a 的取值集合分别为P ＝{a |a >1}, T ＝{a |a >4}．当p , q 至少一个为真命题时, “p 或q ”为真命题, 则使“p 或q ”为真命题的a 的取值范围是P ∪T ＝{a |a >1}；当p , q 都为真命题时, “p 且q ”才是真命题, 则使“p 且q ”为真命题的a 的取值范围是P ∩T ＝{a |a >4}．12．已知P ：函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, q ：函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1大于零恒成立．若p 或q 为真, p 且q 为假, 求m 的取值范围．解：若函数y ＝x 2＋mx ＋1在(－1, ＋∞)上单调递增, 则－m 2≤－1, ∴m ≥2, 即p ：m ≥2；若函数y ＝4x 2＋4(m －2)x ＋1恒大于零, 则Δ＝16(m －2)2－16<0, 解得1<m <3, 即q ：1<m <3.因为“p 或q ”为真, “p 且q ”为假, 所以p 、q 一真一假,当p 真q 假时, 由⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2m ≥3或m ≤1，得m ≥3,当p 假q 真时, 由⎩⎨⎧m <21<m <3，得1<m <2.综上, m的取值范围是{m|m≥3或1<m<2}．03课堂效果落实1. [2014·福建高考]命题“∀x∈[0, ＋∞), x3＋x≥0”的否定是()A. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x<0B. ∀x∈(－∞, 0), x3＋x≥0C. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0<0D. ∃x0∈[0, ＋∞), x30＋x0≥0解析：本题考查含有量词的命题的否定, 意在考查考生的逻辑推理能力．把全称量词“∀”改为存在量词“∃”, 并把结论加以否定, 故选C.答案：C2．全称命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是() A．所有能被5整除的整数都不是奇数B．所有奇数都不能被5整除C．存在一个能被5整除的整数不是奇数D．存在一个奇数, 不能被5整除解析：全称命题的否定是特称命题, 而A, B是全称命题, 所以A, B错．因为“所有能被5整除的整数”的否定是“存在一个能被5整除的整数”, 所以D错, C正确, 故选C.答案：C3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题, 那么() A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．p 与q 的真假相同解析：∵“非p ”为真命题, ∴p 为假命题．又∵p 或q 为真命题, ∴q 为真命题．故选B.答案：B4．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a }, 命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集为{x |a <x <b }, 则“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”形式的复合命题中的假命题的个数是________．解析：因命题p 、q 均为假命题, 所以“p ∨q ”“p ∧q ”为假命题, “綈p ”为真命题．答案：25．写出下列命题的否定, 并判断其真假：(1)三角形的内角和为180°；(2)∃x 0∈R , x 20＋1＝0；(3)∀x ∈R , x 2－3x ＋2＝0.(4)至少有两个实数x 0, 使x 30＋1＝0.(5)∃x 0, y 0∈N , 如果x 0＋|y 0|＝0, 则x 0＝0且y 0＝0.解：(1)此命题为全称命题, 其否定为：存在一个三角形, 它的内角和不等于180°, 是假命题．(2)此命题为特称命题, 其否定为：∀x ∈R , x 2＋1≠0, 是真命题．(3)此命题为全称命题, 其否定为：∃x 0∈R , x 20－3x 0＋2≠0, 是真命题．(4)此命题为特称命题, 其否定为：至多有一个实数x 0, 使x 30＋1≠0, 是假命题．(5)此命题为特称命题, 其否定为：∀x, y∈N, 如果x＋|y|＝0, 则x＝0或y＝0, 是假命题．04课后课时精练一、选择题1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个解析：“至多有三个”包括“0个、1个、2个、3个”四种情况, 其反面为“4个、5个……”即至少四个．答案：B2．[2014·湖北高考]命题“∀x∈R, x2≠x”的否定是()A. ∀x∉R, x2≠xB. ∀x∈R, x2＝xC. ∃x∉R, x2≠xD. ∃x∈R, x2＝x解析：本题考查全称命题的否定, 意在考查考生对基本概念的掌握情况．全称命题的否定是特称命题：∃x∈R, x2＝x, 选D.答案：D3．[2014·西安高二检测]如果命题“綈(p∨q)”为假命题, 则()A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题解析：因为命题“綈(p∨q)”为假命题, 所以p∨q为真命题, 所以p、q一真一假或都是真命题．答案：C4．[2014·天津高考]已知命题p：∀x>0, 总有(x＋1)e x>1, 则綈p 为()A. ∃x0≤0, 使得(x0＋1)e x0≤1B. ∃x0>0, 使得(x0＋1)e x0≤1C. ∀x>0, 总有(x＋1)e x≤1D. ∀x≤0, 总有(x＋1)e x≤1解析：命题p为全称命题, 所以綈p为∃x0>0, 使得(x0＋1)e x0≤1.故选B.答案：B5．[2014·重庆高考]已知命题p：对任意x∈R, 总有|x|≥0；q：x ＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A. p∧綈qB. 綈p∧qC. 綈p∧綈qD. p∧q解析：由题意知, 命题p为真命题, 命题q为假命题, 故綈q为真命题, 所以p∧綈q为真命题．答案：A6．已知全集S＝R, A⊆S, B⊆S, 若命题p：2∈(A∪B), 则命题“綈p”是()A. 2∉AB. 2∈∁S BC. 2∉A∩BD. 2∈(∁S A)∩(∁S B)解析：∵p＝2∈(A∪B), ∴2∈A或2∈B,∴綈p：2∉A且2∉B, 即2∈∁S A∩∁S B.答案：D二、填空题7. 已知命题p：“∀x∈[1,2], x2－a≥0”, 命题q：“∃x0∈R, x20＋2ax0＋2－a＝0”, 若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范围是________．解析：命题p：“∀x∈[1,2], x2－a≥0”为真, 则a≤x2, x∈[1,2]恒成立, ∴a≤1；命题q：“∃x0∈R, x20＋2ax0＋2－a＝0”为真, 则“4a2－4(2－a)≥0, 即a2＋a－2≥0”, 解得a≤－2或a≥1.若命题“p且q”是真命题, 则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．答案：{a|a≤－2或a＝1}8. 已知命题p：∃x∈R, 使sin x＝52；命题q：∀x∈R, 都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题, 其中正确的是________．解析：因为对任意实数x, |sin x|≤1, 而sin x＝52>1, 所以p为假；因为x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0, 所以q为真．因而②③正确．答案：②③9．[2014·青岛高二检测]若命题“∃x0∈R, x20＋(a－1)x0＋1<0”是假命题, 则实数a的取值范围为________．解析：依题意可得“∀x∈R, x2＋(a－1)x＋1≥0”为真命题, 所以Δ＝(a－1)2－4≤0, 所以－1≤a≤3.答案：[－1,3]三、解答题10．写出下列含有一个量词的命题p的否定綈p, 并判断它们的真假：(1)p：关于x的方程ax＝b都有实数根；(2)p：有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)对任意实数x1, x2, 若x1<x2, 则tan x1<tan x2；(4)∃T0∈R, 使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.解：(1)綈p：有些关于x的方程ax＝b无实数根, 如0x＝1, 所以p为假命题, 綈p为真命题．(2)綈p：任意正整数都有1和它本身以外的约数, 如2只有1和它本身这两个约数, 所以p为真命题, 綈p为假命题．(3)綈p：存在实数x1, x2, 若x1<x2, 则tan x1≥tan x2.原命题中若x1＝0, x2＝π, 有tan x1＝tan x2, 故为假命题, 所以綈p 为真命题．(4)綈p：∀T∈R, 有|sin(x＋T)|＝|sin x|.原命题为真命题, 如T0＝2kπ(k∈Z), 所以綈p为假命题．11．已知命题p：∀m∈[－1,1], 不等式a2－5a－3≥m2＋8；命题q：∃x, 使不等式x2＋ax＋2<0.若p或q是真命题, 綈q是真命题, 求a的取值范围．解：根据p或q是真命题, 綈q是真命题, 得p是真命题, q是假命题．∵m ∈[－1,1], ∴m 2＋8∈[22, 3]．因为∀m ∈[－1,1], 不等式a 2－5a －3≥m 2＋8,所以a 2－5a －3≥3, ∴a ≥6或a ≤－1.故命题p 为真命题时, a ≥6或a ≤－1.又命题q ：∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2<0,∴Δ＝a 2－8>0, ∴a >22或a <－22,从而命题q 为假命题时, －22≤a ≤22,所以命题p 为真命题, q 为假命题时, a 的取值范围为－22≤a ≤－1.12．[2014·衡水高二测试]已知命题p ：“∀x ∈R , ∃m 0∈R 使4x ＋2x ·m 0＋1＝0”, 若命题綈p 是假命题, 求实数m 0的取值范围．解：该题可利用綈p 假, 则p 为真, 求原命题为真时m 0的取值范围．令t ＝2x >0, 则方程4x ＋2x ·m 0＋1＝0变为t 2＋m 0·t ＋1＝0有正解, 假设方程有两个正根t 1, t 2.∵t 1·t 2＝1>0, t 1、t 2同号,∴t 1＋t 2>0, 故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 20－4≥0，－m 0>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 0≤－2或m 0≥2，m 0<0， ∴m 0≤－2, 即实数m 0的取值范围是(－∞, －2]．03课堂效果落实1.[2014·长春高二检测]x >3的一个充分不必要条件是( )A. x >0B. x <0C. x>5D. x<5解析：x>5⇒x>3,x>3D⇒/x>5.答案：C2．“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：x2＋(y－2)2＝0, 即x＝0且y＝2, ∴x(y－2)＝0.反之, x(y－2)＝0, 即x＝0或y＝2, x2＋(y－2)2＝0不一定成立．答案：B3．对任意实数a、b、c, 给出下列命题：①“x<－1”是“x2－1>0”的充分条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：①中, x<－1⇒x2－1>0；x2－1>0D⇒/x<－1, 故①为真命题．②中, a与a＋5同为无理数或同为有理数, 故②为真命题．③中, 显然a>bD⇒/a2>b2, 故③为假命题．④中, a<5D⇒/a<3, 而a<3⇒a<5, 故④为真命题．答案：C4．[2014·福州高二测试]若“x2－2x－8>0”是x<m的必要不充分条件, 则m的最大值为________．解析：不等式解集为(－∞, －2)∪(4, ＋∞), 题目等价于(－∞, m)是其真子集, 故有m≤－2, 即m的最大值为－2.答案：－25．设命题p：x>1或x<－3, q：5x－6>x2, 则綈p是綈q的什么条件？解：∵p：x>1或x<－3,∴綈p：－3≤x≤1.又∵q：5x－6>x2即2<x<3, ∴綈q：x≤2或x≥3,∴綈p⇒綈q, 但綈q⇒/綈p,∴綈p是綈q的充分不必要条件．04课后课时精练一、选择题1．[2013·福建高考]已知集合A＝{1, a}, B＝{1,2,3}, 则“a＝3”是“A⊆B”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当a＝3时, A＝{1,3}, A⊆B；反之, 当A⊆B时, a＝2或3, 所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件, 选A.答案：A2. [2014·湖北高考]设U为全集．A, B是集合, 则“存在集合C使得A⊆C, B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的()A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件解析：由韦恩图易知充分性成立．反之, A ∩B ＝∅时, 不妨取C ＝∁U B , 此时A ⊆C .必要性成立．故选C.答案：C3. [2013·浙江高考]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0, ω>0, φ∈R ), 则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：f (x )是奇函数时, φ＝π2＋k π(k ∈Z )；φ＝π2时, f (x )＝A cos(ωx ＋π2)＝－A sin ωx , 为奇函数．所以“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要不充分条件, 选B.答案：B4．已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12, 则实数m 的取值范围是( )A. [－43, 12] B. [－12, 43] C. (－∞, －12)D. [43, ＋∞)解析：由题易知不等式|x －m |<1的解集为{m |m －1<x <m ＋1}, 从而有{m |m －1<x <m ＋1}(13, 12),∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥12m －1<13或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>12m －1≤13解得－12≤m ≤43, 故选B. 答案：B5．[2014·广东高考]在△ABC 中, 角A , B , C 所对应的边分别为a , b , c , 则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件解析：设R 为△ABC 外接圆的半径．由正弦定理可知, 若a ≤b , 则2R sin A ≤2R sin B ⇒sin A ≤sin B , 故“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充分条件；若sin A ≤sin B , 则a 2R ≤b 2R ⇒a ≤b , 故“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的必要条件．综上所述, “a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充要条件．故答案为A.答案：A6. [2014·唐山模拟]已知命题p ：“a >b ”是“2a >2b ”的充要条件；q ：∃x ∈R , |x ＋1|≤x , 则( )A ．(綈p )∨q 为真命题B ．p ∧(綈q )为假命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∨q 为真命题解析：由于函数y ＝2x 是单调递增函数, ∴a >b 时, 2a >2b , 反之2a >2b 时, a >b , 故p 是真命题, 而不存在实数x , 使|x ＋1|≤x , 故q 是假命题．∴p ∨q 为真命题．答案：D 二、填空题7. 下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－2<x<1.其中, 可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1, ①显然不能使－1<x<1一定成立, ②③满足题意．④中当x＝－1.5时, x2显然大于1, ∴④不行．答案：②③8．设p、r都是q的充分条件, s是q的充分必要条件, t是s的必要条件, t是r的充分条件, 那么p是t的________条件, r是t的________条件．解析：由题意有：s⇔q⇐p⇓⇑t⇒r答案：充分不必要充要9．有以下四组命题：(1)p：(x－2)(x－3)＝0, q：x－2＝0；(2)p：同位角相等；q：两直线平行；(3)p：x<－3；q：x2>9；(4)p：0<a<1；q：y＝a x为减函数．其中p是q的充分不必要条件的是_______, p是q的必要不充分条件是________, p是q的充要条件的是________．解析：(1)x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0, 但(x－2)(x－3)＝0D⇒/x－2＝0, 所以p是q的必要不充分条件．(2)同位角相等⇔两直线平行, 所以p是q的充要条件,(3)x<－3⇒x2>9, 但x2>9D⇒/x<－3,所以p是q的充分不必要条件．(4)0<a<1⇔y＝a x是减函数, 所以p是q的充要条件．答案：(3) (1) (2)(4) 三、解答题10．下列各题中, p 是q 的什么条件？ (1)p ：lg x 2＝0, q ：x ＝1；(2)p ：b ＝c , q ：a ·b ＝a ·c (a , b , c ≠0)； (3)p ：x ≥1且y ≥1, q ：x ＋y ≥2； (4)p ：x , y 不全为0, q ：x ＋y ≠0.解：(1)当lg x 2＝0时, x 2＝1, 即x ＝±1, 则p ⇒/q , q ⇒p , 所以p 是q 的必要不充分条件．(2)易知p ⇒q .而a ·b ＝a ·c (a , b , c ≠0), 即a ·(b －c )＝0, 可得b ＝c 或a ⊥(b －c ), 即q ⇒/p , 所以p 是q 的充分不必要条件．(3)∵p ⇒q , 而q ⇒/ p , ∴p 是q 的充分不必要条件．(4)綈p ：x ＝0且y ＝0, 綈q ：x ＋y ＝0, ∵綈p ⇒綈q , 而綈q ⇒/ 綈p , ∴p ⇐q 且p ⇒/ q , ∴p 是q 的必要不充分条件．11．[2014·江苏高二检测]已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1, x ∈[34, 2]}, B ＝{x |x ＋m 2≥1}；命题p ：x ∈A , 命题q ：x ∈B , 并且命题p 是命题q 的充分条件, 求实数m 的取值范围．解：化简集合A ,由y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716,∵x ∈[34, 2], ∴y min ＝716, y max ＝2. ∴y ∈[716, 2], ∴A ＝{y |716≤y ≤2}．化简集合B , 由x ＋m 2≥1, ∴x ≥1－m 2, B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵命题p 是命题q 的充分条件, ∴A ⊆B . ∴1－m 2≤716, ∴m ≥34或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是(－∞, －34]∪[34, ＋∞)．12．证明：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a＝1.证明：先证充分性：若a ＝1, 则函数化为f (x )＝2x －12x ＋1.∵f (x )的定义域为R , 且f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝12x －112x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x＋1＝－f (x )．∴函数f (x )是奇函数．再证必要性：①若函数f (x )是奇函数, 则f (－x )＝－f (x )． ∴a ·2－x ＋a －22－x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1,∴a ＋(a －2)·2x 2x ＋1＝－a ·2x ＋a －22x ＋1,∴a ＋(a －2)·2x ＝－a ·2x －a ＋2, ∴2(a －1)(2x ＋1)＝0, ∴a ＝1.综上所述：函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1(x ∈R )是奇函数的充要条件是a＝1.03课堂效果落实。

高二数学人教版选修2-1习题本册综合素质检测2Word版含答案

D．若 x≥ 1 或 x≤－ 1，则 x2≥ 1
[答案 ] D
2．已知命题 p：? x∈ R，使 sinx＝ 25；命题 q： ? x∈R ，都有 x2＋ x＋ 1>0.给出下列结论： ①命题“ p∧ q”是真命题；②命题“ p∧ (? q)”是假命题；③命题“ (? p)∨ q”是真命题； ④命题“ (? p)∨(? q) ”是假命题．
本册综合素质检测 (二 )
一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一
个是符合题目要求的 )
1．命题“若 x2<1，则－ 1<x<1”的逆否命题是 (
)
A ．若 x2≥ 1，则 x≥ 1 若 x≤－ 1
B．若－ 1<x<1，则 x2<1
C．若 x>1 或 x<－ 1，则 x2>1
A 选项： ? x∈ R， sin2x2＋
cos22x＝ 1，故 A 为假命题；对于
B 选项：存在 x＝ π， sinx＝ 1， cosx＝ 3，sinx<cosx，故 B 为
6
2
2
假命题；
C
项，
x2－
x＋
1＝ 4
(x
－
1 2
)2，对，
x∈
(0
，＋
∞
)(x－
1 2
)2≥
0
恒成立，故
C 项正确；对于
D
|e|＝ 1，求得
(3102，
4 2， 10
－
2 2 )和
(
－3102，－
4 2， 10
2 2 )．
5．如图所示，在正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，以 D 为原点建立空间直角坐标系，中点， F 为 A1D1 的中点，则下列向量能作为平面 AEF 的一个法向量的是 ( )

新人教A版高中数学选修2-1全册课时同步分层练习

新人教A版高中数学选修2-1全册课时同步分层练习1、命题2、四种命题四种命题间的相互关系3、充分条件与必要条件4、简单的逻辑联结词5、全称量词与存在量词6、曲线与方程7、椭圆及其标准方程8、椭圆的简单几何性质9、椭圆的标准方程及性质的应用10、双曲线及其标准方程11、双曲线的简单几何性质12、抛物线及其标准方程13、抛物线的简单几何性质14、空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算15、空间向量的数量积运算16、空间向量的正交分解及其坐标表示17、空间向量运算的坐标表示18、空间向量与平行关系19、空间向量与垂直关系20、空间向量与空间角1、命题(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列语句中是命题的是( )A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．x2＋y2＝0B [对于A ，是疑问句，不是命题；对于C ，D ，不能判断真假，不是命题；对于B ，是陈述句且能判断真假，是命题．]2．下列命题中是假命题的是( ) A ．a·b ＝0(a ≠0，b ≠0)，则a ⊥b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若ac 2＞bc 2，则a ＞b D ．若α＝60°，则cos α＝12B [因为|a |＝|b |只能说明a 与b 的模相等，所以a ＝b 不一定成立，故选B.] 3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( ) A ．两条直线 B ．一个平面C ．垂直D ．两条直线垂直于同一个平面D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．] 4．下列四个命题中，真命题是( ) A ．a ＞b ，c ＞d ⇒ac ＞bd B ．a ＜b ⇒a 2＜b 2C ．1a ＜1b⇒a ＞bD ．a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －dD [可以通过举反例的方法说明A 、B 、C 为假命题．]5．给出命题“方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3C [由题意知，Δ＝a 2－4<0，故a ＝0符合题意．] 二、填空题6．命题“若a >0，则二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p ：________，结论q ：________．它是________命题(填“真”或“假”)．a >0 二元一次不等式x ＋ay －1≥0表示直线x ＋ay －1＝0的右上方区域(包含边界) 真[a >0时，设a ＝1，把(0，0)代入x ＋y －1≥0得－1≥0不成立，∴x ＋y －1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p ，则q ”的形式为________．若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称 [命题若p ，则q 的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．] 8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝a x＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．①③⑤③⑤[①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？(1)2＋22是有理数；(2)1＋1>2；(3)2100是个大数；(4)968能被11整除；(5)非典型性肺炎是怎样传播的？[解](1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)体对角线相等的四棱柱是长方体；(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；(3)正弦值相等的两个角的终边相同．[解](1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．[能力提升练]1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )A ．余弦值B ．第二象限C ．一个角是第二象限角D ．没有条件C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C.] 3．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．② [①若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0，因此b ＝c 不正确；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2，6)，a ∥b ，则－2k －6＝0，即k ＝－3，正确；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△AOB 为等边三角形，因此，a 与a ＋b 的夹角为30°，③不正确，故选②.]4．已知a ，b 为实数，且ab ≠0，则下列命题是真命题的是________(填序号)． ①若a ＞0，b ＞0，则a ＋b2≥ab ；②若a ＋b2≥ab ，则a ＞0，b ＞0；③若a ≠b ，则a ＋b2＞ab ；④若a ＋b2＞ab ，则a ≠b .①④ [①中，由基本不等式可得：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b2≥ab ，正确；②中，当a ＝b＝0时，满足a ＋b2≥ab ，但不满足a ＞0，b ＞0，错误；③中，若a ，b 都为正数时成立，否则不成立，错误；④中，由a ＋b2＞ab ，平方得(a －b )2＞0，虽然a ≠b ，正确，故填①④.]5．已知p ：5x －1＞a ，q ：x ＞1，请确定实数a 的取值范围，使得(1)“若p ，则q ”为真命题；(2)“若q ，则p ”为真命题．[解] (1)命题“若p ，则q ”即为“若x ＞1＋a 5，则x ＞1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4，故实数a 的取值范围为[4，＋∞)．(2)命题“若q ，则p ”即为“若x ＞1，则x ＞1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a5≤1，解得a ≤4，故实数a 的取值范围为(－∞，4]．2、四种命题四种命题间的相互关系(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数C [若命题为“若p ，则q ”，命题的逆否命题为“若¬q ，则¬p ”，所以原命题的逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数”．故选C.]2．命题“已知a ，b 都是实数，若a ＋b ＞0，则a ，b 不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [逆命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 不全为0，则a ＋b ＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a ，b 都是实数，若a ，b 全为0，则a ＋b ≤0”为真命题，故选C.]3．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( ) A ．原命题为真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” B ．原命题为真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0” C ．原命题为假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0” D ．原命题为假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”B [逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.]4．命题“若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是( )A ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数B ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内不是减函数C ．若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是增函数D ．若log a 2＜0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是增函数A [命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若¬q ，则¬p ”．“f (x )在其定义域内是减函数”的否定是“f (x )在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f (x )在其定义域内是增函数”．]5．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( ) A ．不拥有的人们会幸福 B ．幸福的人们不都拥有 C ．拥有的人们不幸福 D ．不拥有的人们不幸福D [“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，它的逆否命题为：如果这个人没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的，即“不拥有的人们就不幸福”，故选D.]二、填空题6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________．若x ≤－2或x ≥2，则x 2≥4 [命题“若x 2<4，则－2<x <2的逆否命题为“若x ≤－2，或x ≥2，则x 2≥4”．]7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．[1，2] [逆命题为“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”，则⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，解得1≤m ≤2.] 8．命题“若x ≠1，则x 2－1≠0”是________命题(填“真”“假”)．假 [命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x 2－1＝0，则x ＝1”，因为x 2－1＝0时，x ＝±1，所以该命题为假命题，从而原命题是假命题．]三、解答题9．写出命题“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解] ∵原命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2”， ∴它的逆命题是：若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0，是真命题；否命题是：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2，是真命题；逆否命题是：若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0，是真命题． 10．证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.[证明] 若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝(a －b )－1＝0成立，∴根据逆否命题的等价性可知：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1成立．[能力提升练]1．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是( ) A ．逆命题为“周期函数不是单调函数” B ．否命题为“单调函数是周期函数” C ．逆否命题为“周期函数是单调函数” D ．以上三者都不正确D [原命题的逆命题是“非周期函数是单调函数”，故A 不正确；原命题的否命题是“非单调函数是周期函数”，故B 不正确；原命题的逆否命题是“周期函数不是单调函数”，故C 不正确．]2．若命题“若x <m －1或x >m ＋1，则x 2－2x －3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，2)B ．(0，2]C ．[－1，1)D ．[0，2]D [由已知，易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}．又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.]3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为________．1 [易判断原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．逆命题：若一个四边形对角线互相垂直，则该四边形为菱形，为假命题．故原命题的否命题也是假命题．]4．下列命题中为假命题的是________(填序号)．①“若k >0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．① [对于①，“若k >0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题为“若k ≤0，则关于x 的方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根”，当k ≤0时，Δ＝4－4k >0.所以方程有实根，所以①为假命题．对于②，“若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆命题是“若a ＝0或b ＝0，则a ·b ＝0”，所以②是真命题．对于③，“梯形不是平行四边形”是真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③为真命题．]5．已知数列{a n}是等比数列，命题p：若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列，请写出命题p的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．[解]命题p的逆命题：已知数列{a n}是等比数列，若数列{a n}是递增数列，则a1<a2<a3；命题p的否命题：已知数列{a n}是等比数列，若a1≥a2或a2≥a3，则数列{a n}不是递增数列；命题p的逆否命题：已知数列{a n}是等比数列，若数列{a n}不是递增数列，则a1≥a2或a2≥a3.设数列{a n}的公比为q，若a1<a2<a3，则有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题与命题p是等价命题，命题p的否命题与命题p的逆命题也是等价命题，所以命题p的逆命题、否命题与逆否命题都是真命题．3、充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]2．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件C[|a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.]3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1D ．m ＝1A [由函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称可得－m2＝1，即m ＝－2，且当m＝－2时，函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，故选A.]4．设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件．s 是r 的充要条件，则s 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由题可知，p ⇒q ⇒r ⇔s ，则p ⇒s ，sp ，故s 是p 的必要不充分条件．]5．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1，1]D [由x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件得(－1，4)(2m 2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]二、填空题6．设集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．充分不必要 [A ＝{x |x (x －1)<0}＝{x |0<x <1}B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．]7．“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的________条件．充分不必要 [当a >0时，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2＋1－14a ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，此时y ＝x ＋1 在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．] 8．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． [3，＋∞) [由x (x －3)<0得0<x <3，由2x －3<m 得x <12(m ＋3)，由p 是q 的充分不必要条件知{x |0<x <3}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12（m ＋3），所以12(m ＋3)≥3，解得m ≥3.]三、解答题9．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围． [解] 设q 、p 表示的范围分别为集合A 、B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6 ，即a 的取值范围为[－1，6]．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究数列{a n }是等差数列的充要条件． [解] 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ， ∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1， ∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c .∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2， ∴c ＝－1.反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，∴{a n }为等差数列， ∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.[能力提升练]1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( ) A ．a ≥b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3A [由a ≥b ＋1>b ，从而a ≥b ＋1⇒a >b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a >b a ≥b ＋1，故A 正确．]2．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a <1C [一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a<0，即a <0，则充分不必要条件的范围应是集合{a |a <0}的真子集，故选C.]3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件．充分不必要 [∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．]4．已知f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )<2}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________．(3，＋∞) [因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4，f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，所以2－t <－1，即t >3.]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p ，即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p .因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p 2－p p ＋q＝p .所以－p ＝pq ，即q ＝－1.所以数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.4、简单的逻辑联结词(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x 2＝1的解是x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用了逻辑联结词，共有3个，故选C.]2．已知p ：x ∈A ∩B ，则¬p 是( ) A ．x ∈A 且x B B ．x A 或x B C ．x A 且x BD ．x ∈A ∪BB [x ∈A ∩B ，即x ∈A 且x ∈B ，故¬p 是x A 或x B .] 3．已知命题p ：3≥3，q ：3＞4，则下列判断正确的是( ) A ．p ∨q 为真，p ∧q 为真，¬p 为假 B ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为真C ．p ∨q 为假，p ∧q 为假，¬p 为假D ．p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为假D [∵p 为真命题，q 为假命题，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，¬p 为假，应选D.] 4．给出命题p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1.那么在下列四个命题中，真命题是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )D [对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p 为真．对于q ，当x <0时，不等式1x <1恒成立；当x >0时，不等式的解集为{x |x >1}．故不等式1x<1的解集为{x |x <0或x >1}．故命题q 为假命题．结合各选项知，只有(¬p )∨(¬q )为真．故选D.]5．已知p ：|x －1|≥2，q ：x ∈Z ，若p ∧q ，¬q 同时为假命题，则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3，x Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x Z }C ．{x |x ＜－1或x ∈Z }D ．{x |－1＜x ＜3，x ∈Z }D [p ：x ≥3或x ≤－1，q ：x ∈Z ，由p ∧q ，¬q 同时为假命题知，p 假q 真，∴x 满足－1＜x ＜3且x ∈Z ，故满足条件的集合为{x |－1＜x ＜3，x ∈Z }．]二、填空题6．已知命题s ：“函数y ＝sin x 是周期函数且是奇函数”，则 ①命题s 是“p ∧q ”形式的命题； ②命题s 是真命题；③命题¬s ：函数y ＝sin x 不是周期函数且不是奇函数； ④命题¬s 是假命题．其中，叙述正确的是________(填序号)①②④ [命题s 是“p ∧q ”形式的命题，①正确；命题s 是真命题，②正确；命题¬s ：函数y ＝sin x 不是周期函数或不是奇函数，③不正确；命题¬s 是假命题，④正确．]7．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p ：“甲的成绩超过9环”，命题q ：“乙的成绩超过8环”，则命题“p ∨(¬q )”表示________．甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环 [¬q 表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p ∨(¬q )”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．]8．已知命题p ：{2}∈{1，2，3}，q ：{2}⊆{1，2，3}．给出下列结论：①“p ∨q ”为真；②“p ∨q ”为假；③“p ∧q ”为真；④“p ∧q ”为假；⑤“¬p ”为真；⑥“¬q ”为假．其中正确结论的序号是________．①④⑤⑥ [由题意知，p 假q 真，故“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“¬p ”为真，“¬q ”为假，故①④⑤⑥正确．]三、解答题9．已知命题p ：1∈{x |x 2<a }，命题q ：2∈{x |x 2<a }．(1)若“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．[解]若p为真命题，则1∈{x|x2<a}，故12<a，即a>1；若q为真命题，则2∈{x|x2<a}，故22<a，即a>4.(1)若“p∨q”为真命题，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p∧q”为真命题，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，¬)表示下列命题：(1)命题s：两次都击中飞机；(2)命题r：两次都没击中飞机；(3)命题t：恰有一次击中了飞机；(4)命题u：至少有一次击中了飞机．[解](1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为¬p∧¬q.(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧¬q；②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为¬p∧q.所以命题t表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)．(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.法二：¬u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是¬r，从而命题u表示为¬(¬p∧¬q)．法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧¬q)∨(¬p∧q)∨(p∧q)．[能力提升练]1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)C．(¬p)∧(¬q) D．p∨qA[依题意，¬p：“甲没有降落在指定范围”，¬q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(¬p )∨(¬q )．]2．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．p ∨(¬q )A [对于命题p ：因为a ·b ＝0，b ·c ＝0，所以a ，b 与b ，c 的夹角都为90°，但a ，c 的夹角可以为0°或180°，故a ·c ≠0，所以命题p 是假命题；对于命题q ：a ∥b ，b ∥c ，说明a ，b 与b ，c 都共线，可以得到a ，c 的方向相同或相反，故a ∥c ，所以命题q 是真命题．选项A 中，p ∨q 是真命题，故A 正确；选项B 中，p ∧q 是假命题，故B 错误；选项C 中，¬p 是真命题，¬q 是假命题，所以(¬p )∧(¬q )是假命题，故C 错误；选项D 中，p ∨(¬q )是假命题，所以D 错误．]3．p ：1x －3<0，q ：x 2－4x －5<0，若p ∧q 为假命题，则x 的取值范围是________． (－∞，－1]∪[3，＋∞) [p 为真时，由1x －3<0得x <3，q 为真时，由x 2－4x －5<0得－1<x <5，若p ∧q 为假命题，则p 为假命题或q 为假命题，所以x ≥3或x ≤－1或x ≥5，即x ≤－1或x ≥3.]4．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数y ＝－(5－2a )x是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，－2] [p 为真时，Δ＝4a 2－16<0，即－2<a <2，q 为真时，5－2a >1，即a <2，由p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题知，p 和q 一真一假，即p 真q 假或p 假q 真，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <2，解得a ≤－2.] 5．已知命题p ：关于x 的方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，若p ∨q 与¬q 同时为真命题，求实数a 的取值范围．[解] 若命题p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，－a >－1，（－1）2－2a ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，a <1，2－2a >0，解得a ≤－1. 若命题q 为真，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0≤a <4.因为p ∨q 与¬q 同时为真命题，所以p 真且q 假．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．5、全称量词与存在量词(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列命题为特称命题的是( ) A ．奇函数的图象关于原点对称 B ．正四棱柱都是平行六面体 C ．棱锥仅有一个底面D ．存在大于等于3的实数x ，使x 2－2x －3≥0D [A ，B ，C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A ，B ，C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以D 是特称命题，故选D.]2．下列命题为真命题的是( ) A ．x ∈R ，cos x <2 B ．x ∈Z ，log 2(3x －1)<0 C ．x >0，3x>3D ．x ∈Q ，方程2x －2＝0有解A [A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；B 中，log 2(3x －1)<0⇔0<3x －1<1⇔13<x <23，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0⇔x ＝2Q ，所以D 是假命题．故选A.]3．命题“x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x <0 B ．x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0 D ．x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥0C [原命题的否定为“x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0<0”，故选C.]4．命题p ：x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若¬p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，4]B ．[0，4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [当a ＝0时，不等式恒成立；当a ≠0时，要使不等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4.综上，0≤a ≤4，则命题p ：0≤a ≤4，则¬p ：a <0或a >4.] 5．已知命题p ：x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧¬q C ．¬p ∧qD ．¬p ∧¬qB [∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴¬p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2<b 2，∴命题q 为假命题，∴¬q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧¬q 为真命题，¬p ∧q 为假命题，¬p ∧¬q 为假命题．故选B.] 二、填空题 6．下列命题：①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称命题的为________，是特称命题的为____________． (填序号)②④ ①③ [全称命题为②④，特称命题为①③.]7．命题“偶函数的图象关于y 轴对称”的否定是____________________．有些偶函数的图象关于y 轴不对称 [题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y 轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y 轴对称”改为“关于y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y 轴不对称”．]8．已知命题：“x 0∈[1，2]，使x 20＋2x 0＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是__________．[－8，＋∞) [当x ∈[1，2]时，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1是增函数，∴3≤x 2＋2x ≤8，由题意有a ＋8≥0，∴a ≥－8.] 三、解答题9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定： (1)α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)x 0，y 0∈Z ，3x 0－4y 0＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (4)正数的绝对值是它本身．[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：α0，β0∈R ，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.(2)真命题．命题的否定为：x ，y ∈Z ，3x －4y ≠20.(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．10．已知命题p ：“至少存在一个实数x 0∈[1，2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．[解] 法一：由题意知：x 2＋2ax ＋2－a >0在[1，2]上有解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则只需f (1)>0或f (2)>0，即1＋2a ＋2－a >0或4＋4a ＋2－a >0.整理得a >－3或a >－2.即a >－3.故参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：¬p ：x ∈[1，2]，x 2＋2ax ＋2－a >0无解，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0. 解得a ≤－3. 故命题p 中，a >－3.即参数a 的取值范围为(－3，＋∞)．[能力提升练]1．已知命题p ：对任意x ∈R ，都有cos x ≤1，则命题p 的否定为( ) A ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≤1 B ．对任意x ∈R ，都有cos x ＞1 C ．存在x 0∈R ，使得cos x 0＞1 D ．存在x 0∈R ，使得cos x 0≥1C [根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.]2．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C [f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a ，当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值， ∴x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，从而A ，B ，D 为真命题，C 为假命题．]3．命题“n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定为________．n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)>n 0 [全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定为“n 0∈N *，f (n 0)N *或f (n 0)>n 0”．]4．命题p ：x 0∈[0，π]，使sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π3<a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ [0≤x ≤π，则π3≤x ＋π3≤4π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1；而命题p ：x ∈[0，π]，使sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3<a ，因为p 为真命题，所以a >－32.] 5．已知命题p ：x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0，命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0，若p 假q 真，求实数a 的取值范围．[解] 因为命题p 是假命题，所以命题¬p ：x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0是真命题，则(a －1)2－4>0，解得a <－1或a >3.因为命题q ：x 0∈R ，ax 20－2ax 0－3>0是真命题．所以当a ＝0时，－3<0，不满足题意；当a <0时，(－2a )2＋12a >0，所以a <－3.当a >0时，函数y ＝ax 2－2ax －3的图象开口向上，一定存在满足条件的x 0，故a <－3或a >0.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．6、曲线与方程(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”包括“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”和“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”两个方面，所以“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的必要不充分条件，故选B.]2．方程y ＝－3－x 2表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．一条射线 C ．半个圆D ．一条直线C [方程y ＝－3－x 2可化为x 2＋y 2＝3(y ≤0)，故选C.]3．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13，则动点P 的轨迹方程为( )A ．x 2－3y 2＝4 B ．x 2＋3y 2＝4 C ．x 2－3y 2＝4(x ≠±1) D ．x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)D [由点B 与点A (－1，1)关于原点对称，得点B 的坐标为(1，－1)．设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得k AP ·k BP ＝y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13(x ≠±1)，化简得x 2＋3y 2＝4，且x ≠±1.故动点P的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．]4．已知点P 是直线x －2y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．x －2y －5＝0C ．x －2y －7＝0D ．x －2y ＋7＝0D [设P (x 0，y 0)，则x 0－2y 0＋3＝0 (*)．又设Q (x ，y )，由|PM |＝|MQ |，知点M 是线段PQ 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x 0＋x 2，2＝y 0＋y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2－x ，y 0＝4－y .(**)．将(**)代入(*)，得(－2－x )－2(4－y )＋3＝0，即x －2y ＋7＝0.故选D.]5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2D [如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)．连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1，又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2. 即|PM |2＝2， ∴(x －1)2＋y 2＝2.] 二、填空题6．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________．点(1，2) [由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以方程(x －1)2＋y －2＝0表示点(1，2)．]7．设命题甲：点P 的坐标适合方程f (x ，y )＝0，命题乙：点P 在曲线C 上，命题丙：点Q 坐标不适合f (x ，y )＝0，命题丁：点Q 不在曲线C 上，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么丙是丁的________条件．充分不必要 [由甲是乙的必要不充分条件知，曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线的一部分，则丙⇒丁，但丁丙，因此丙是丁的充分不必要条件．]8．已知定点F (1，0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．y 2＝4x [由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x ，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由。

高中数学人教A版选修2-1 章末综合测评2 Word版含答案.doc

章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线3x 2－y 2＝9的焦距为( ) A. 6 B ．26 C ．23D ．4 3【解析】方程化为标准方程为x 23－y 29＝1， ∴a 2＝3，b 2＝9.∴c 2＝a 2＋b 2＝12，∴c ＝23，∴2c ＝4 3. 【答案】 D2．对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是( ) A ．开口向上，焦点为(0，1) B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．开口向右，焦点为(1，0)D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 【解析】抛物线可化为x 2＝14y ，故开口向上，焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B3．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y23＝1的渐近线的距离是( ) 【导学号：18490079】A.12B.32 C ．1D. 3【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－1×0|（3）2＋12＝32，故选B. 【答案】 B4．已知抛物线C 1：y ＝2x 2的图象与抛物线C 2的图象关于直线y ＝－x 对称，则抛物线C 2的准线方程是( )A ．x ＝－18 B ．x ＝12 C ．x ＝18D ．x ＝－12【解析】抛物线C 1：y ＝2x 2关于直线y ＝－x 对称的C 2的表达式为－x ＝2(－y )2，即y 2＝－12x ，其准线方程为x ＝18.【答案】 C5．已知点F ，A 分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB→·AB →＝0，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.1＋32D.1＋52【解析】 ∵FB→·AB →＝0，∴FB ⊥AB ，∴b 2＝ac ，又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－1－e ＝0，∴e ＝1＋52.【答案】 D6．(2013·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12xD ．y ＝±x【解析】由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a .而x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ， ∴所求渐近线方程为y ＝±12x . 【答案】 C7.如图1，已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB (O 为原点)，则该椭圆的离心率是( )图1A.22B.24C.12D.32【解析】因为PF ⊥x 轴，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又OP ∥AB ，所以b a ＝b 2ac ，即b ＝c . 于是b 2＝c 2，即a 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 【答案】 A8．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP→的取值范围为( ) A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ 【解析】因为双曲线左焦点的坐标为F (－2，0)，所以c ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋1，即4＝a 2＋1，解得a ＝ 3.设P (x ，y )，则OP→·FP →＝x (x ＋2)＋y 2，因为点P 在双曲线x 23－y 2＝1上，所以OP →·FP →＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－34－1.又因为点P 在双曲线的右支上，所以x ≥ 3. 所以当x ＝3时，OP→·FP →最小，且为3＋23，即OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．【答案】 B9．已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( )A.12B.32C.72D ．5【解析】已知定点A ，B 满足|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则点P 的轨迹是以A ，B 为左、右焦点的双曲线的右支，且a ＝32，c ＝2.所以|P A |的最小值是点A 到右顶点的距离，即为a ＋c ＝2＋32＝72，选C.【答案】 C10．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2n ＝1的离心率为12，则n ＝( ) A. 3 B.32 C.23D.83【解析】依题意知，a ＝2，b ＝n ， ∴c 2＝a 2－b 2＝2－n ，又e ＝12，∴c 2a 2＝2－n 2＝14，∴n ＝32.【答案】 B11．已知直线y ＝k (x ＋2)与双曲线x 2m －y 28＝1，有如下信息：联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x 2m －y 28＝1，消去y 后得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，分类讨论：(1)当A ＝0时，该方程恒有一解；(2)当A ≠0时，Δ＝B 2－4AC ≥0恒成立．在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1, 3]B ．[3，＋∞)C ．(1，2]D ．[2，＋∞)【解析】依题意可知直线恒过定点(－2，0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲线恒有交点，故需要定点(－2，0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即－2≤－m ，即0<m ≤4，又e ＝1＋b 2a 2＝1＋8m ，所以e ≥ 3.【答案】 B12．已知点P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，直线l 过点P 且与x 轴平行，若同时与直线l 、直线PF 、x 轴相切且位于直线PF 左侧的圆与x 轴切于点Q ，则点Q ( )A ．位于原点的左侧B ．与原点重合C ．位于原点的右侧D ．以上均有可能【解析】设抛物线的准线与x 轴、直线l 分别交于点D ，C ，圆与直线l 、直线PF 分别切于点A ，B .如图，由抛物线的定义知|PC |＝|PF |，由切线性质知|P A |＝|PB |，于是|AC |＝|BF |.又|AC |＝|DO |，|BF |＝|FQ |，所以|DO |＝|FQ |，而|DO |＝|FO |，所以O ，Q 重合，故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2013·江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．【解析】由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x . 【答案】 y ＝±34x14．(2016·东城高二检测)已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．【解析】由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.【答案】 815.如图2所示，已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且在x 轴的上方，过点A 作AB ⊥l于B ，|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为________. 【导学号：18490080】图2【解析】由题意知抛物线的焦点为F (2，0)，准线l 为x ＝－2，∴K (－2，0)，设A (x 0，y 0)(y 0＞0)，∵过点A 作AB ⊥l 于B ，∴B (－2，y 0)，∴|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， |BK |2＝|AK |2－|AB |2，∴x 0＝2，∴y 0＝4，即A (2，4)，∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8. 【答案】 816．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若|PQ |＝2，则直线l 的斜率等于________．【解析】设直线l 的方程为 y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x ＋1），联立得k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0， ∴x 1＋x 2＝－2（k 2－2）k 2， ∴x 1＋x 22＝－k 2－2k 2＝－1＋2k 2， y 1＋y 22＝2k ，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2，2k .又|FQ |＝2，F (1，0)， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝4，解得k ＝±1. 【答案】 ±1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.求椭圆C 的方程．【解】设椭圆的半焦距为c ，依题意，得a ＝3且e ＝c a ＝63， ∴a ＝3，c ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝1，因此所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.18．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．【解】 (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)，∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433， ∴|PF 1|·|PF 2|＝2563， ①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， ∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2. ②由①②得c ＝6，∴b ＝8.19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在x 轴上，半径为4的圆C 位于y 轴右侧，且与y 轴相切．(1)求圆C 的方程；(2)若椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45，且左、右焦点为F 1，F 2.试探究在圆C 上是否存在点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由．【解】 (1)依题意，设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝16(a >0)． ∵圆与y 轴相切，∴a ＝4， ∴圆的方程为(x －4)2＋y 2＝16. (2)∵椭圆x 225＋y 2b 2＝1的离心率为45， ∴e ＝c a ＝25－b 25＝45，解得b 2＝9. ∴c ＝a 2－b 2＝4，∴F 1(－4，0)，F 2(4，0)， ∴F 2(4，0)恰为圆心C ，(ⅰ)过F 2作x 轴的垂线，交圆于点P 1，P 2，则∠P 1F 2F 1＝∠P 2F 2F 1＝90°，符合题意；(ⅱ)过F 1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P 3，P 4，连接CP 3，CP 4，则∠F 1P 3F 2＝∠F 1P 4F ＝90°，符合题意．综上，圆C 上存在4个点P ，使得△PF 1F 2为直角三角形． 20．(本小题满分12分)(2016·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．【解】 (1)∵e ＝2， ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)法一由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m 3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上， ∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2. ∴MF 1→·MF 2→＝0. 法二 ∵MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝6.21．(本小题满分12分)(2013·北京高考)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．【解】 (1)椭圆W ：x 24＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2，0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m ＝±32.所以菱形OABC 的面积是 12|OB |·|AC |＝12×2×2|m |＝ 3.(2)四边形OABC 不可能为菱形．理由如下：假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得 (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2.所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为－14k .因为k ·⎝⎛⎭⎪⎫－14k≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；【导学号：18490081】(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且k OA ·k OB＝－b 2a 2.求证：△AOB 的面积为定值．【解】 (1)由题意得，b ＝|0－0＋6|2＝3，c a ＝12，又a 2＋b 2＝c 2，联立解得a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标满足⎩⎨⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 化简得，(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，由Δ>0得4k 2－m 2＋3>0， y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 24m 2－123＋4k 2＋km ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 2＋m 2＝3m 2－12k 23＋4k 2. ∵k OA ·k OB ＝－34，y 1y 2x 1x 2＝－34，即y 1y 2＝－34x 1x 2，∴3m 2－12k 23＋4k2＝－34·4m 2－123＋4k 2，即2m 2－4k 2＝3， ∵|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝（1＋k 2）·48（4k 2－m 2＋3）（3＋4k 2）2＝48（1＋k 2）（3＋4k 2）2·3＋4k 22＝24（1＋k 2）3＋4k 2.又O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2. ∴S △AOB ＝12d |AB |＝12|m |1＋k 224（1＋k 2）3＋4k 2＝12m 21＋k 2·24（1＋k 2）3＋4k 2 ＝123＋4k 22·243＋4k 2＝3，为定值．。

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（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步练习+章节检测卷汇总第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题A级基础巩固一、选择题1．下列语句是命题的是( )①三角形的内角和等于180°; ②2>3; ③偶数是自然数; ④x>2; ⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤解析: ①②③是命题, ④中x>2无法判断真假, ⑤是感叹句, 所以④⑤不是命题．答案: A2．下列命题中, 是真命题的是( )A．a>b, c>d⇒ac>bdB．a<b⇒a2<b2C.1a<1b⇒a>bD．a>b, c<d⇒a－c>b－d解析: 可以通过举反例的方法说明A, B, C为假命题．答案: D3．下列命题中真命题的个数为( )①若x2＝1, 则x＝1;②若x＝y, 则x＝y;③若a＞b, 则a＋c＞b＋c;④梯形的对角线一定不垂直．A．1 B．2 C．3 D．4解析: 只有③正确．答案: A4．给出下列命题:①四个非零实数a, b, c, d满足ad＝bc, 则a, b, c, d成等比数列;②若整数a能被2整除, 则a是偶数;③在△ABC中, 若A>30°, 则sin A>1 2 .其中为假命题的序号是( )A．② B．①② C．②③ D．①③解析: ①中, 若a＝－1, b＝52, c＝2, d＝－5满足ad＝bc, 但a, b, c, d不成等比数列, 故是假命题; ③中, 若150°<A<180°, 则sin A<12, 故是假命题．答案: D5．下列命题中, 是真命题的是( )A．若a3＋b3＝0, 则a2＋b2＝0B．若a＞b, 则ac＞bcC．若M∩N＝M, 则N⊆MD．若M⊆N, 则M∩N＝M解析: A.取a＝1, b＝－1, 推不出a2＋b2＝0, A不成立; B.c≤0时, 不成立; C.M∩N ＝M⇒M⊆N, C不成立; D成立．答案: D二、填空题6．命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”, 写成“若p, 则q”的形式为________．解析: 条件是整数的末位数字是4, 结论是它一定能被2整除．答案: 若一个整数的末位数字是4, 则它一定能被2整除7．已知下列命题:①面积相等的三角形是全等三角形;②若xy＝0, 则|x|＋|y|＝0;③若a＞b, 则ac2＞bc2;④矩形的对角线互相垂直．其中假命题的个数是________．解析: ①②③④全为假命题．答案: 48．给出下列三个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行．其中, 是真命题的是________(填序号)．答案: ②三、解答题9．判断下列命题的真假．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)有最大值;(2)正项等差数列的公差大于零;(3)函数y＝1x的图象关于原点对称．解: (1)假命题．当a＞0时, 抛物线开口向上, 有最小值．(2)假命题．反例: 若此数列为递减数列, 如数列20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, 它的公差是－3.(3)真命题．y＝1x是奇函数, 所以其图象关于(0, 0)对称．10．把下列命题改写成“若p, 则q”的形式, 并判断真假, 且指出p和q分别指什么．(1)乘积为1的两个实数互为倒数;(2)奇函数的图象关于原点对称;(3)与同一直线平行的两个平面平行．解: (1)“若两个实数乘积为1, 则这两个实数互为倒数”, 它是真命题．p: 两个实数乘积为1; q: 两个实数互为倒数．(2)“若一个函数为奇函数, 则它的图象关于原点对称”．它是真命题．p: 一个函数为奇函数; q: 函数的图象关于原点对称．(3)“若两个平面与同一条直线平行, 则这两个平面平行”．它是假命题, 这两个平面也可能相交．p: 两个平面与同一条直线平行; q: 两个平面平行．B级能力提升1．已知a、b为两条不同的直线, α、β为两个不同的平面, 且a⊥α, b⊥β, 则下列命题中的假命题是( )A．若a∥b, 则α∥βB．若α⊥β, 则a⊥bC．若a、b相交, 则α、β相交D．若α、β相交, 则a、b相交解析: 易知选项A、B、C都正确, 对于D, α、β相交时, a、b一定不平行, 但不一定相交, 有可能异面, 故D为假命题．答案: D2．给定下列命题:①若k＞0, 则方程x2＋2x－k＝0有实数根;②若a＞b＞0, c＞d＞0, 则ac＞bd;③对角线相等的四边形是矩形;④若xy＝0, 则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是________．解析: 易知①②④正确, 对于③, 对角线相等且平分时的四边形是矩形, 只满足相等不是矩形．故③错误．答案: ①②④3．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题, 是真命题还是假命题? 说明理由．解: 这是一个可以判断真假的陈述句, 所以是命题, 且是真命题．函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根, 也就是方程2x＝x2的实数根, 即函数y＝2x, y＝x2的图象的交点的横坐标, 易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点, 所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系A级基础巩固一、选择题1．已知命题p: “若ab＝1, 则a＋b≥2”, 则下列说法正确的是( )A．命题p的逆命题是“若ab≠1, 则a＋b<2”B．命题p的逆命题是“若a＋b<2, 则ab≠1”C．命题p的否命题是“若ab≠1, 则a＋b<2”D．命题p的否命题是“若a＋b≥2, 则ab＝1”解析: “若p, 则q”的逆命题是“若q, 则p”, 否命题是“若⌝p, 则⌝q”.答案: C2．设a, b是向量, 命题“若a＝－b, 则|a|＝| b|”的逆命题是( )A．若a≠－b, 则|a|≠| b |B．若a＝－b, 则|a|≠| b |C．若|a|≠| b |, 则a≠－bD．若|a|＝| b |, 则a＝－b解析: 原命题的条件是a＝－b, 作为逆命题的结论; 原命题的结论是|a|＝| b |, 作为逆命题的条件, 即得逆命题, “若|a|＝| b |, 则a＝－b.”答案: D3．设m∈R, 命题“若m>0, 则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根, 则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根, 则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根, 则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根, 则m≤0解析: “方程x2＋x－m＝0有实根”的否定是“方程x2＋x－m＝0没有实根”; “m>0”的否定即“m≤0”, 故命题“若m>0, 则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根, 则m≤0”．答案: D4．下列四个命题中, 真命题为( )①“若x＋y＝0, 则x, y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1, 则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题;④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．A．①②B．②③C．①③D．③④答案: C5．与命题“在等差数列{a n}中, 若m＋n＝p＋q, 则a m＋a n＝a p＋a q”为互逆命题的是( )A．在等差数列{a n}中, 若m＋n≠p＋q, 则a m＋a n≠a p＋a qB．在等差数列{a n}中, 若a m＋a n＝a p＋a q, 则m＋n＝p＋qC．在等差数列{a n}中, 若a m＋a n≠a p＋a q, 则m＋n≠p＋qD．在等差数列{a n}中, 若m＋n≠p＋q, 则a m＋a n＝a p＋a q答案: B二、填空题6．命题“若AB＝AC, 则△ABC是等腰三角形”的逆否命题为________(填“真命题”或“假命题”)．解析: 逆否命题: “若△ABC不是等腰三角形, 则AB≠AC”, 为真命题．答案: 真命题7．下列命题:①“若xy＝1, 则x、y互为倒数”的逆命题;②“四边相等的四边形是正方形”的否命题;③“梯形不是平行四边形”的逆否命题;④“若ac2＞bc2, 则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________(填序号)．解析: ①“若xy＝1, 则x, y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数, 则xy＝1”, 是真命题; ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”, 是真命题; ③“梯形不是平行四边形”本身是真命题, 所以其逆否命题也是真命题; ④“若ac2＞bc2, 则a＞b”的逆命题是“若a＞b, 则ac2＞bc2”, 是假命题．所以真命题是①②③.答案: ①②③8．有下列四个命题:①“若x＋y＝0, 则x、y互为相反数”的否命题;②“若x＞y, 则x2＞y2”的逆否命题;③“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．答案: 1三、解答题9．判断命题“若m>0, 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解: 因为m>0, 所以12m>0, 所以12m＋4>0.所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.所以原命题“若m>0, 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价, 所以“若m>0, 则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．10．已知函数f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数, a, b∈R, 对命题“若a＋b≥0, 则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题, 判断其真假, 并证明你的结论;(2)写出逆否命题, 判断其真假, 并证明你的结论．解: (1)逆命题: 若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b),则a＋b≥0, 真命题．假设a＋b<0, 则a<－b, b<－a.因为f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,所以f(a)<f(－b), f(b)<f(－a),所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与题设矛盾,所以逆命题为真命题．(2)逆否命题: 若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b), 则a＋b<0, 真命题．因为原命题与其逆否命题等价,所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0, 所以a≥－b, b≥－a.又因为f(x)在(－∞, ＋∞)上是增函数,所以f (a )≥f (－b ), f (b )≥f (－a )．所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ),即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．B 级能力提升1．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n , n ∈N ＋, 则{a n }为递减数列”, 关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性的判断依次如下, 正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假解析: a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题, 所以其否命题和逆否命题也都是真命题．答案: A2．设原命题: 若a ＋b ≥2, 则a , b 中至少有一个不小于1, 则原命题为________命题, 逆命题为________命题(填“真”或“假”)．解析: 逆否命题为: a , b 都小于1, 则a ＋b <2是真命题．所以原命题是真命题, 逆命题为: 若a , b 中至少有一个不小于1, 则a ＋b ≥2, 例如a ＝3, b ＝－3满足条件a , b 中至少有一个不小于1, 但此时a ＋b ＝0, 故逆命题是假命题．答案: 真假3．设0<a <1, 0<b <1, 0<c <1, 求证: (1－a )b , (1－b )c , (1－c )a 不同时大于14. 证明: 假设(1－a )b >14, 所以（1－a ）b >12, (1－b )c >14, 所以（1－b ）c >12, (1－c )a >14, 所以（1－c ）a >12. 相加得32<（1－a ）b ＋（1－b ）c ＋（1－c ）a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32左右矛盾, 故假设不成立．所以(1－a )b , (1－b )c , (1－c )a 不同时大于14.第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件A 级基础巩固一、选择题1．“x >0”是“3x 2>0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．既是充分条件又是必要条件解析: x >0显然能推出3x 2>0, 而3x 2>0, 不能推出x >0.答案: A2． “α＝π6＋2k π(k ∈Z)”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件解析: “α＝π6＋2k π(k ∈Z)”⇒“cos 2α＝12”, “cos 2α＝12”⇒/ “α＝π6＋2k π”(k ∈Z)．因为α还可以等于2k π－π6(k ∈Z), 所以选A. 答案: A3．“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析: 由ln(x ＋1)<0得－1<x <0, 故“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的必要不充分条件．答案: B4．已知集合M ＝{2, m }, N ＝{1, 2, 3}, 则“m ＝3”是“M ⊆N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 若m＝3, 则M＝{2, 3}, 显然M⊆N; 但当M⊆N时, m＝1或m＝3, 故“m＝3”是“M⊆N”的充分不必要条件．答案: A5．设x、y是两个实数, 命题: “x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A．x＋y＝2 B．x＋y＞2C．x2＋y2＞2 D．xy＞1答案: B二、填空题6．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分不必要条件是－2＜x＜－1, 则a的取值范围是________．解析: 由已知, 得{x|－2＜x＜－1}{x|(x＋a)(x＋1)＜0},所以－a＜－2⇒a＞2.答案: a＞27．设α、β、γ为平面, m、n、l为直线, 则对于下列条件:①α⊥β, α∩β＝l, m⊥l;②α∩γ＝m, α⊥β, γ⊥β;③α⊥γ, β⊥γ, m⊥α;④n⊥α, n⊥β, m⊥α.其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上)．答案: ②④8．“x＝1”是“方程x3－3x＋2＝0的根”的________条件(填“充分”“必要”)．答案: 充分三、解答题9．已知p, q都是r的必要条件, s是r的充分条件, q是s的充分条件．那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?解: (1)因为q⇒s, s⇒r⇒q, 所以s是q的充要条件．(2)因为r⇒q, q⇒s⇒r, 所以r是q的充要条件．(3)因为q⇒s⇒r⇒p, 所以p是q的必要条件．10．已知命题p: α＝β; 命题q: tan α＝tan β, 判断p是q的什么条件?解: 当α＝β＝π2时, 显然tan α与tan β无意义, 即p ⇒/ q , 故p 不是q 的充分条件; 又α＝π4, β＝5π4时, tan α＝tan β, 所以q ⇒/ p , 所以p 不是q 的必要条件,综上, p 既不是q 的充分条件, 也不是必要条件．B 级能力提升1．对任意实数a , b , c , 在下列命题中, 真命题是( ) A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件答案: B2． “函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________．答案: a ＝1(或a ＝－1)3．已知a 、b 为不等于0的实数, 判断“ab＞1”是“a ＞b ”的什么条件, 并证明你的结论．解: 由条件“a b ＞1”可得a －bb＞0, 若b ＞0, 则a ＞b ;若b ＜0, 则a ＜b , 所以“a b＞1”“a ＞b ”,“a b＞1”不是“a ＞b ”的充分条件．反过来, a ＞b ⇔a －b ＞0, 也不能推出a b ＞1⇔a －b b ＞0, “ab＞1”也不是“a ＞b ”的必要条件．所以“ab＞1”既不是“a ＞b ”的充分条件, 也不是“a ＞b ”的必要条件．第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件A级基础巩固一、选择题1．已知集合A为数集, 则“A∩{0, 1}＝{0}”是“A＝{0}的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 因为“A∩{0, 1}＝{0}”得不出“A＝{0}”, 而“A＝{0}” 能得出“A∩{0, 1}＝{0}”,所以“A∩{0, 1}＝{0}”是“A＝{0}”的必要不充分条件．答案: B2．“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 由于“x2＞2 013”时, 一定有“x2＞2 012”, 反之不成立,所以“x2＞2 013”是“x2＞2 012”的充分不必要条件．答案: A3．在等比数列{an}中, a1＝1, 则“a2＝4”是“a3＝16”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 数列{an}中, a1＝1, a2＝4, 则a3＝16成立, 反过来若a1＝1, a3＝16, 则a2＝±4, 故不成立, 所以“a2＝4”是“a3＝16”的充分不必要条件．答案: A4．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析: (m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0,即(m ＋2)(4m －2)＝0. 所以m ＝－2, 或m ＝12.故为充分不必要条件．答案: B5．已知条件p : x 2－3x －4≤0; 条件q : x 2－6x ＋9－m 2≤0, 若p 是q 的充分不必要条件, 则m 的取值范围是( )A ．[－1, 1]B ．[－4, 4]C ．(－∞, －4]∪[4, ＋∞)D ．(－∞, －1]∪[1, ＋∞)解析: p : －1≤x ≤4, q : 3－m ≤x ≤3＋m (m >0)或3＋m ≤x ≤3－m (m <0),依题意, ⎩⎪⎨⎪⎧m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，3＋m ≤－1，3－m ≥4，解得m ≤－4或m ≥4. 答案: C 二、填空题6．给定空间中直线l 及平面α, 条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的________条件．解析: “直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”．答案: 充要条件7．已知α, β角的终边均在第一象限, 则“α>β”是“sin α>sin β”的________(填“充分不必要条件”“必要不充分条件” “充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．解析: 若α＝370°>β＝30°, 而sin α<sin β, 所以“α>β”推不出“sinα>sin β”, 若sin 30°>sin 370°, 而30°<370°, 所以sin α>sin β推不出α>β.答案: 既不充分也不必要条件8．已知p : x 2－4x －5>0, q : x 2－2x ＋1－λ2>0, 若p 是q 的充分不必要条件, 则正实数λ的取值范围是________．解析: 命题p 成立, x 2－4x －5>0, 得x >5或x <－1; 命题q 成立, x 2－2x ＋1－λ2>0(λ>0)得x >1＋λ或x <1－λ, 由于p 是q 的充分不必要条件, 所以1＋λ≤5, 1－λ≥－1, 等号不能同时成立, 解得λ≤2, 由于λ>0, 因此0<λ≤2.答案: (0, 2] 三、解答题9．已知条件p : |x －1|＞a 和条件q : 2x 2－3x ＋1＞0, 求使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a .解: 依题意a ＞0.由条件p : |x －1|＞a 得x －1＜－a , 或x －1＞a , 所以x ＜1－a , 或x ＞1＋a , 由条件q : 2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12, 或x ＞1.要使p 是q 的充分不必要条件, 即“若p , 则q ”为真命题, 逆命题为假命题, 应有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ≥1，解得a ≥12. 令a ＝1, 则p : x ＜0, 或x ＞2, 此时必有x ＜12, 或x ＞1.即p ⇒q , 反之不成立．所以, 使p 是q 的充分不必要条件的最小正整数a ＝1.10．已知ab ≠0, 求证: a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明: (1)必要性．因为a ＋b ＝1, 所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝ (a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. (2)充分性．因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0, 即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0. 又ab ≠0, 所以a ≠0且b ≠0.因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2＞0.所以a ＋b －1＝0, 即a ＋b ＝1.综上可知, 当ab ≠0时, a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0B 级能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x ＞1，则“a ≤－2”是“f (x )在R 上单调递减”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案: C2．设集合A ＝{x |x (x －1)＜0}, B ＝{x |0＜x ＜3}, 那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)．解析: 由于A ＝{x |0＜x ＜1}, 则A ⊆B , 所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案: 充分不必要3．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}, S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m , 使x ∈P 是x ∈S 的充要条件? 若存在, 求出m 的范围． (2)是否存在实数m , 使x ∈P 是x ∈S 的必要条件? 若存在, 求出m 的范围．解: (1)由题意x ∈P 是x ∈S 的充要条件, 则P ＝S . 由x 2－8x －20≤0⇒－2≤x ≤10, 所以P ＝[－2, 10]．由|x －1|≤m ⇒1－m ≤x ≤1＋m , 所以S ＝[1－m , 1＋m ]．要使P ＝S , 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，所以这样的m 不存在．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件, 则S ⊆P . 由|x －1|≤m , 可得1－m ≤x ≤m ＋1,要使S ⊆P , 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3.故m ≤3时, x ∈P 是x ∈S 的必要条件．第一章常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词A 级基础巩固一、选择题1．已知命题p : 3≥3, q : 3>4, 则下列判断正确的是( ) A ． p ∨q 为真, p ∧q 为真, 綈p 为假 B ．p ∨q 为真, p ∧q 为假, 綈p 为真 C ．p ∨q 为假, p ∧q 为假假, 綈p 为假 D ．p ∨q 为真, p ∧q 为假, 綈p 为假解析: 因为p 为真命题, q 为假命题, 所以p ∨q 为真, p ∧q 为假, 綈p 为假, 应选D.答案: D2．已知p, q为两个命题, 则“p∨q是假命题”是“綈p为真命题”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析: “p∨q”为假, 则p与q均是假命题, 綈 p为真命题, 又因为綈p为真命题, 则p为假命题．但若q为真命题, 则推不出p∨q是假命题．答案: A3．已知p: ∅⊆{0}, q: {1}∈{1, 2}．由它们构成的新命题“p∧q”“p∨q”“綈p”中, 真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析: 容易判断命题p: ∅⊆{0}是真命题, 命题q: {1}∈{1, 2}是假命题, 所以p∧q 是假命题．p∨q是真命题, 綈p是假命题．答案: A4．已知命题p: a2＋b2<0(a, b∈R); 命题q: (a－2) 2＋|b－3|≥0(a, b∈R), 下列结论正确的是( )A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真解析: 显然p假q真, 故“p∨q”为真, “p∧q”为假, “綈p”为真, “綈q”为假．答案: A5．命题p: “方程x2＋2x＋a＝0有实数根”; 命题q: “函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”, 若“p∧q”为假命题, 且“p∨q”为真命题, 则实数a的取值范围是( ) A．a>0 B．a≥0C．a>1 D．a≥1解析: 命题p: “方程x2＋2x＋a＝0有实数根”的充要条件为Δ＝4－4a≥0, 即a≤1, 则綈p: a>1;命题q: “函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”的充要条件为a2－a>0, 即a<0或a>1, 则綈q: 0≤a≤1.由“p∧q”为假命题, “p∨q”为真命题, 得p, q一真一假;若p真q假, 则0≤a≤1; 若p假q真, 则a>1.所以实数a的取值范围是a≥0.答案: B二、填空题6．命题p : 方向相同的两个向量共线, q : 方向相反的两个向量共线, 则命题“p ∨q ”为________________．解析: 方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线, 即“方向相同或相反的两个向量共线”．答案: 方向相同或相反的两个向量共线7．命题“若a ＜b , 则2a ＜2b”的否命题为________________, 命题的否定为________________．解析: 命题“若a ＜b , 则2a ＜2b”的否命题为“若a ≥b , 则2a ≥2b ”, 命题的否定为“若a ＜b , 则2a ≥2b”．答案: 若a ≥b , 则2a ≥2b 若a ＜b , 则2a ≥2b8．对于函数: ①f (x )＝|x ＋2|; ②f (x )＝(x －2)2; ③f (x )＝cos(x －2)有命题p : f (x ＋2)是偶函数; 命题q : f (x )在(－∞, 2)上是减函数, 在(2, ＋∞)上是增函数．能使p ∧q 为真命题的所有函数的序号是________．答案: ② 三、解答题9．已知p : x 2－x ≥6, q : x ∈Z , 若p ∧q 和綈q 都是假命题, 求x 的取值集合．解: 因为綈q 是假命题, 所以q 为真命题．又p ∧q 为假命题, 所以p 为假命题．因此x 2－x <6且x ∈Z , 解之得－2<x <3且x ∈Z , 故x ＝－1, 0, 1, 2, 所以x 的取值集合是{－1, 0, 1, 2}． 10．设p : 实数x 满足x2－4ax ＋3a 2＜0, 其中a ＞0, 命题q : 实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.(1)若a ＝1, 且p ∧q 为真, 求实数x 的取值范围;(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件, 求实数a 的取值范围．解: (1)由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a )(x －a )＜0, 又a ＞0, 所以a ＜x ＜3a .当a ＝1时, 1＜x ＜3, 即p 为真时, 实数x 的取值范围是1＜x ＜3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0, 得2＜x ≤3, 则q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ≤3. 若p ∧q 为真, 则p 真且q 真, 所以实数x 的取值范围是2＜x ＜3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件, 即綈p ⇒綈q , 且綈q綈p .设A ＝{x |綈p }, B ＝{x |綈q }, 则A B ,又A ＝{x |綈p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a },B ＝{x |綈q }＝{x ≤2或x ＞3},则0＜a ≤2, 且3a ＞3,所以实数a 的取值范围是1＜a ≤2.B 级能力提升1．已知命题: p 1: 函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数;p 2: 函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数,则在命题q 1: p 1∨p 2, q 2: p 1∧p 2,q 3: (綈p 1)∨p 2和q 4: p 1∧(綈p 2)中, 真命题是( )A ．q 1, q 3B ．q 2, q 3C ．q 1, q 4D ．q 2, q 4答案: C2．已知命题p : x 2＋2x －3＞0; 命题q :13－x＞1, 若綈q 且p 为真, 则x 的取值范围是____________________________________．解析: 因为綈q 且p 为真, 即q 假p 真, 而q 为真命题时, x －2x －3＜0, 即2＜x ＜3, 所以q 假时有x ≥3或x ≤2.p 为真命题时, 由x 2＋2x －3＞0, 解得x ＞1或x ＜－3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 所以x 的取值范围是x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3. 答案: (－∞, －3)∪(1, 2]∪[3, ＋∞)3．已知命题p : 方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根, 命题q : 关于x 的不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R, 若“p 或q ”与“非q ”同时为真命题, 求实数a 的取值范围．解: 命题p : 方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根, 等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2＞－2，（x 1＋1）（x 2＋1）＞0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1≥0，－2a ＞－2，2－2a ＞0，解得a ≤－1. 命题q : 关于x 的不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R, 等价于a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0. 因为“p 或q ”与“非q ”同时为真命题, 即p 真且q 假,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＜0或a ≥4，解得a ≤－1.故实数a 的取值范围是(－∞, －1],由于⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4, 所以0≤a ＜4.第一章常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词A 级基础巩固一、选择题1．下列命题中, 不是全称命题的是( ) A ．任何一个实数乘以0都等于0 B ．自然数都是正整数 C ．每一个向量都有大小D ．一定存在没有最大值的二次函数解析: D 选项是特称命题．答案: D2．下列命题中特称命题的个数是( ) (1)至少有一个偶数是质数． (2)∃x 0∈R, log2x 0>0. (3)有的实数大于零．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析: (1)中含有存在量词“至少”, 所以是特称命题． (2)中含有存在量词符号“∃”, 所以是特称命题． (3)中含有存在量词“有的”, 所以是特称命题．答案: D3．下列命题不是“∃x 0∈R, x 20>3”的表述方法的是( ) A ．有一个x 0∈R, 使x 20>3 B ．对有些x 0∈R, 使x 20>3 C ．任选一个x 0∈R, 使x 20>3D ．至少有一个x 0∈R, 使x 20>3解析: 选项C 中“任选一个”是全称量词, 没有“∃”的含义．答案: C4．下列特称命题中, 假命题是( ) A ．∃x 0∈R, x 20－2x 0－3＝0B ．至少有一个x 0∈Z, x 0能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一直线D ．∃x 0∈{x |x 是无理数}, x 20是有理数解析: 垂直于同一直线的两个平面是平行的, 所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．答案: C5．若存在x 0∈R, 使ax 20＋2x 0＋a ＜0, 则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ≤1 C ．－1＜a ＜1 D ．－1＜a ≤1答案: A 二、填空题6．若命题p : “∀x ∈[0, 1], a ≥e x”为真命题, 则a 的取值范围是________．解析: 因为函数y ＝e x在[0, 1]上为增函数, 所以1≤y ≤e,若p 为真, 则a ≥(e x)max ＝e. 答案: [e, ＋∞)7．给出四个命题: ①末位数是偶数的整数能被2整除; ②有的菱形是正方形; ③存在实数x , x ＞0; ④对于任意实数x , 2x ＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．答案: ②③8．若∀x ∈R, f (x )＝(a 2－1)x是单调减函数, 则a 的取值范围是________．解析: 依题意有:0＜a 2－1＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＞0，a 2－1＜1，⇔⎩⎨⎧a ＜－1或a ＞1，－2＜a ＜2，⇔－2＜a ＜－1或1＜a ＜ 2. 答案: (－2, －1)∪(1, 2) 三、解答题9．首先判断下列命题是全称命题还是特称命题, 然后写出命题的否定, 并判断其真假．(1)有些素数是奇数;(2)所有的矩形都是平行四边形;(3)不论m 取何实数, 方程x 2＋2x －m ＝0都有实数根; (4)∃x 0∈R, x 20＋2x 0＋5>0.解: (1)是特称命题, 其否定为: 所有的素数都不是奇数, 假命题． (2)是全称命题, 其否定为: 存在一个矩形, 不是平行四边形, 假命题． (3)是全称命题, 其否定为: 存在实数m , 使得x 2＋2x －m ＝0没有实数根,因为Δ＝4＋4m <0, 即当m <－1时, 一元二次方程没有实根, 所以其否定是真命题． (4)是特称命题, 其否定为: ∀x ∈R, x 2＋2x ＋5≤0, 因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥4, 所以命题的否定是假命题．10．关于x 的函数y ＝x 2－(a ＋1)x ＋2a 对于任意a ∈[－1, 1]的值都有y >0, 求实数x 的取值范围．解: 设f (a )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a , 则有f (a )＝(2－x )a ＋x 2－x , a ∈[－1, 1], 因为a ∈[－1, 1]时, y ＝f (a )>0恒成立, 则(1)当x ＝2时, f (a )＝2>0显然成立;(2)当x ≠2时, 由f (a )>0在a ∈[－1, 1]上恒成立, 得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2>0，x 2－2x ＋2>0，解得x >2或x <－ 2. 综上可得: x >2或x <－ 2.B 级能力提升1．四个命题: ①∀x ∈R, x 2－3x ＋2＞0恒成立; ②∃x ∈Q, x 2＝2; ③∃x ∈R, x 2＋1＝0; ④∀x ∈R, 4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案: A2．若命题“∃x ∈R, 使得x 2＋(1－a )x ＋1＜0”是真命题, 则实数a 的取值范围为______________．解析: 由题意可知, Δ＝(1－a )2－4＞0, 解得a ＜－1或a ＞3.答案: (－∞, －1)∪(3, ＋∞)3．若∀x ∈R, 函数f (x )＝mx 2＋x －m －a 的图象和x 轴恒有公共点, 求实数a 的取值范围．解: (1)当m ＝0时, f (x )＝x －a 与x 轴恒相交, 所以a ∈R.(2)当m≠0时, 二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立, 即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式, 恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0, 解得－1≤a≤1.综上所述, 当m＝0时, a∈R;当m≠0, a∈[－1, 1]．第一章常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定A级基础巩固一、选择题1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为( )A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数解析: 全称命题的否定是特称命题, 所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”．答案: C2．已知命题p: 任意的x∈R, x＞sin x, 则p的否定形式为( )A．綈p: 存在x∈R, x＜sin xB．綈p: 任意x∈R, x≤sin xC．綈p: 存在x∈R, x≤sin xD．綈p: 任意x∈R, x＜sin x答案: C3．命题“∀x∈R, ∃x∈N*, 使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R, ∃x∈N*, 使得n<x2B．∀x∈R, ∀x∈N*, 使得n<x2C ．∃x ∈R, ∃x ∈N*, 使得n <x 2D ．∃x ∈R, ∀x ∈N*, 使得n <x 2解析: ∀的否定是∃, ∃的否定是∀, n ≥x 2的否定是n <x 2. 答案: D4．命题“∃x 0∈R, 使得f (x 0)＝x 0”的否定是( ) A ．∀x ∈R, 都有f (x )＝x B ．不存在x ∈R , 使得f (x )≠x C ．∀x ∈R, 都有f (x )≠x D ．∃x ∈R, 使得f (x 0)≠x 0解析: 命题的否定为∀x ∈R, 都有f (x )≠x . 答案: C5．已知命题p : ∀x ∈R, x 2－2x ＋1＞0; 命题q : ∃x ∈R, sin x ＝1.则下列判断正确的是( )A ．綈q 是假命题B ．q 假命题C ．綈p 是假命题D ．p 是真命题答案: A 二、填空题6．已知命题p : ∃x ∈R, x 2－3x ＋3 ≤0, 则綈p 为________．答案: ∀x ∈R, x 2－3x ＋3＞07．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________．解析: 由题意知, 原命题的否定是“过平面外一点与已知平行的直线中, 有些直线是不在同一平面内的”．答案: “过平面外一点与已知平面平行的直线中, 有些直线是不在同一平面内的” 8．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1, 若命题“∃x 0>0, f (x 0)<0”为真, 则m 的取值范围是________．解析: 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，所以m <－2.答案: (－∞, －2) 三、解答题9．已知命题p : “至少存在一个实数x 0∈[1, 2], 使不等式x 2＋2ax ＋2－a ＞0成立”为真, 试求参数a 的取值范围．解: 由已知得綈p : ∀x ∈[1, 2], x 2＋2ax ＋2－a ≤0成立．所以设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ,则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3,因为綈p 为假, 所以a ＞－3, 即a 的取值范围是(－3, ＋∞)．10．已知命题p : ∀m ∈[－1, 1], 不等式a 2－5a －3≥m 2＋8; 命题q: ∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2＜0.若p 或q 是真命题, 綈q 是真命题, 求a 的取值范围．解: 根据p 或q 是真命题, 綈q 是真命题, 得p 是真命题, q 是假命题．因为m ∈[－1, 1], 所以 m 2＋8∈[22, 3], 因为∀m ∈[－1, 1], 不等式a 2－5a －3≥ m 2＋8,所以a 2－5a －3≥3, 所以a ≥6或a ≤－1. 故命题p 为真命题时, a ≥6或a ≤－1. 又命题q : ∃x , 使不等式x 2＋ax ＋2＜0, 所以Δ＝a 2－8＞0, 所以a ＞22或a ＜－22,从而命题q 为假命题时, －22≤a ≤22, 所以命题p 为真命题, q 为假命题时,a 的取值范围为－22≤a ≤－1.B 级能力提升1．已知命题p : “a ＝1”是“∀x ＞0, x ＋ax≥2”的充要条件, 命题q : ∃x 0∈R, x 2＋x －1＞0.则下列结论中正确的是( )A ．命题“p ∧q ”是真命题;B ．命题“p ∧綈q ”是真命题;C ．命题“綈p ∧q ”是真命题;D ．命题“綈p ∨綈q ”是假命题．答案: C2．已知命题p : ∀x ＞0, 总有(x ＋1)e x＞1, 则綈p 为________．解析: 利用全称命题的否定是特称命题求解．“∀x ＞0, 总有(x ＋1)e x＞1”的否定是“∃x 0＞0, 使得(x 0＋1)e x 0≤1”．答案: ∃x 0＞0, 使得(x 0＋1)ex 0≤13．写出命题“已知a ＝(1, 2), 存在b ＝(x , 1), 使a ＋2b 与2a －b 平行”的否定, 判断其真假并给出证明．解: 命题的否定: 已知a ＝(1, 2), 则对任意的b ＝(x , 1), a ＋2b 与2a －b 都不平行, 是一个假命题．证明如下: 假设存在b ＝(x , 1)使a ＋2b 与2a －b 平行, 则a ＋2b ＝(1, 2)＋2(x , 1)＝(2x ＋1, 4)．2a －b ＝2(1, 2)－(x , 1)＝(2－x , 3)．因为a ＋2b 与2a －b 平行,所以存在λ∈R , 使得a ＋2b ＝λ(2a －b )．即(2x ＋1, 4)＝λ(2－x , 3)．所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，⇒2x ＋1＝43(2－x )．解得x ＝12.这就是说存在b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1使a ＋2b 与2a －b 平行, 故已知命题为真命题, 其否定为假命题．第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程A 级基础巩固一、选择题1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )解析: 对于A, x 2＋y 2＝1表示一个整圆; 对于B, x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝0, 表示两条相交直线; 对于D, 由lg x ＋lg y ＝0知x ＞0, y ＞0.答案: C2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( ) A ．两个点 B ．四个点 C ．两条直线D ．四条直线解析: 由已知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.答案: B3．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( ) A ．一个点 B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析: 由x 2＋xy ＝x , 得x (x ＋y －1)＝0, 即x ＝0或x ＋y －1＝0. 由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线．答案: C4．方程y ＝|x |x 2表示的曲线为图中的( )A B C D解析: y ＝|x |x 2, x ≠0, 为偶函数, 图象关于y 轴对称, 故排除A, B. 又因为当x >0时, y ＝1x>0;当x <0时, y ＝－1x>0, 所以排除D.答案: C5．若曲线C 上存在点M , 使M 到平面内两点A (－5, 0), B (5, 0)距离之差的绝对值为8, 则称曲线C 为“好曲线”, 以下不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析: 因为M 到平面内两点A (－5, 0), B (5, 0)距离之差为8,所以M 的轨迹是以A (－5, 0), B (5, 0)为焦点的双曲线的右支, 方程为x 216－y 24＝1(x ≥4)．A: 直线x ＋y ＝5过点(5, 0), 满足题意;B: x 2＋y 2＝9的圆心为(0, 0), 半径为3, 与M 的轨迹没有交点, 不满足题意;。

2018-2019学年人教A版数学选修2-1同步练习：模块综合测评 Word版含解析

姓名，年级：时间：模块综合测评(时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本大题共12小题,每小题4分，共48分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1。

下列结论正确的个数是（)①命题“所有的四边形都是矩形"是特称命题；②命题“∀x∈R，x2+1<0"是全称命题；③∃x∈R，x2+2x+1≤0是全称命题。

A。

0 B.1 C。

2 D。

3解析：①是全称命题;②是全称命题；③是特称命题。

答案：B2。

若抛物线的准线方程为x=1,焦点坐标为(-1，0）,则抛物线的方程是（)A.y2=2x B。

y2=—2xC。

y2=4x D.y2=-4x解析：∵抛物线的准线方程为x=1，焦点坐标为(—1，0）,∴抛物线的开口方向向左,且方程是标准的，其中p=2.∴抛物线的标准方程为y2=—4x.答案：D3.已知f(x）是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0，1］上的增函数"是“f（x）为［3，4］上的减函数”的( )A.既不充分也不必要的条件B。

充分不必要的条件C。

必要不充分的条件D。

充分必要条件解析：若f（x）为[0，1］上的增函数,则f(x）在[-1,0]上为减函数,根据f(x）的周期为2可推出f（x)为[3，4］上的减函数;若f（x）为[3,4]上的减函数，则f(x）在［-1，0]上也为减函数，所以f(x)在［0，1]上为增函数，故选D.答案：D4。

以双曲线=—1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为（)A。

=1 B。

=1C.=1D.=1解析：由=-1，得=1.∴双曲线的焦点为(0,4）,(0,-4）,顶点坐标为（0,2)，(0,—2）。

∴椭圆方程为=1.答案:D5。

如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，CC1的中点，P为AD上一动点，记θ为异面直线PM与D1N所成的角，则θ的集合是（）A。

B.C。

D.解析:取C1D1的中点E,PM必在平面ADEM内，易证D1N⊥平面ADEM.D1N总是垂直PM.答案:A6。

2019-2020学年人教A版高中数学选修1-2同步导练练习：选修1—2综合测试 Word版含解析

选修1—2综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分120分，考试时间100分钟．参考公式：线性回归方程y^＝b^x＋a^中，第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1．(2018年高考·课标全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i解析：(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i.答案：D2．以下哪种推理方法是类比推理()A．∵数列{a n}中，a1＝1，a2＝3，a3＝5，∴a n＝2n－1(n∈N*)B．∵x2＝3，∴x＝±3C．∵平面内平行于同一直线的两直线平行，∴空间平行于同一平面的两个平面平行D ．∵f (x )＝x ＋3，∴f (0)＝3 答案：C3．执行如图1所示的程序框图，输出的s 值为( )图1A ．2 B.32 C.53 D .85解析：运行该程序，k ＝0，s ＝1，k <3； k ＝0＋1＝1，s ＝1＋11＝2，k <3； k ＝1＋1＝2，s ＝2＋12＝32，k <3； k ＝1＋2＝3，s ＝32＋132＝53，k ＝3.输出的s 值为53.故选C.答案：C4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2i D ．－1＋2i 答案：B5．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面各正三角形的什么位置( )A ．各正三角形内的点B ．各正三角形内的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点答案：C6．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝42x ＋2B ．f (x )＝2x ＋1C ．f (x )＝1x ＋1D ．f (x )＝22x ＋1解析：由f (1)＝1, 排除C 、D ，再由f (2)＝2f (1)f (1)＋2＝23，f (3)＝2f (2)f (2)＋2＝12，排除A. 答案：B7．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…如果将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数为()A．12 B．13C．14 D．15解析：第k个黑球之前的白球数为S k′＝1＋2＋3＋…＋k＝k(k＋1)2，故k(k＋1)2＋k≤120，且(k＋1)[(k＋1)＋1]2＋(k＋1)>120且k∈N*解得k＝14，∴前120个圈中●的个数为14，选C.答案：C8．如图2的程序框图可用来估计圆周率π的值．设CONRND(－1,1)是产生随机数的函数，它能随机产生区间(－1,1)内的任何一个数，如果输入1200，输出的结果为943，则运用此方法，计算π的近似值为(保留四位有效数字)()图2A．3.143 B．3.142C．3.141 D．3.140解析：N 表示随机数对(A ，B )落在正方形⎩⎨⎧－1<x <1－1<y <1内的点，m表示随机数对(A ，B )落在单位圆内的点．由几何概型知m N ≈S 单位圆S 正方形，即π4≈9431 200，∴π≈3.143. 答案：A9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度．如果k >5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为( )C ．2.5%D ．97.5% 答案：D10．如图3，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示他们有网线相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )图3A ．8B ．9C ．18D ．17 答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共80分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．) 11．由数列的前四项：32，1，58，38，…，归纳出通项公式a n ＝________. 解析：该数列前四项可变为：32，44，58，616，…，由此猜想a n ＝n ＋22n . 答案：n ＋22n12．已知等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比上述性质，在等比数列{a n }中，则有____________答案：a m·a n＝a p·a q13．若某程序框图如图4所示，则该程序运行后输出的k的值是________．图4解析：按程序框图的运算次序一步步写出来，便知k＝5.答案：514．若不全为0的实数k1，k2，…，k n满足向量k1a1＋k2a2＋…＋k n a n＝0成立，则称向量a1，a2，…，a n为“线性相关”．依据此规定，能说明向量a1＝(1,0)，a2＝(1,1)，a3＝(2,2)线性相关的k1，k2，k3依次可以取________．(写出一组数值即可)答案：0,2，－1三、解答题(本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(8分)求证：a2＋b2＋3≥ab＋3(a＋b)．证明：∵a2＋b2≥2ab，a2＋3≥23ab 2＋3≥23b ，∴2(a 2＋b 2＋3)≥2(ab ＋3a ＋3b ) ∴a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．16．(8分)儿童乘火车时，若身高不超过1.1米，则无需购票，若身高超过1.1米但不超过1.4米，可买半票，若超过1.4米，应买全票．设计一个算法，并画框图．解：本问题中旅客的身高影响他的票价，属于分段函数问题．设身高为h 米，票价为a 元，旅客购票款为y ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，h ≤1.1，a2，1.1<h ≤1.4，a ，h >1.4设计算法如下：第一步：输入身高h ，第二步：若h ≤1.1，则不必购买车票，否则进行下一步；第三步：若h >1.4，则购买全票，否则买半票．框图表示如图5：图517．(10分)已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2 cos θ＋(λ＋3 sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，求λ的取值范围．解：依题意，有⎩⎨⎧m ＝2 cos θ4－m 2＝λ＋3 sin θ∴λ＝4－(2 cos θ)2－3 sin θ＝4(1－cos 2θ)－3 sin θ ＝4 sin 2θ－3 sin θ＝4(sin θ－38)2－916∵－1≤sin θ≤1∴0≤(sin θ－38)2≤12164 ∴－916≤λ≤7为所求的取值范围．18．(12分)正三角形内任意一点到三边距离之和为定值，在四面体中类比你会得到类似结论，并证明你的结论．解：结论：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．证明如下：在正四面体ABCD 中，O 是正四面体内任一点，连结OA 、OB 、OC 、OD ，设O 到面ABC 、面ACD 、面ABD 、面BCD 的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4，A 到面BCD 的距离为h ，正四面体的一个面的面积为S ，则V A —BCD ＝13S △BCD ·h ＝13ShV O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ＝13S ·h 1＋13Sh 2＋13Sh 3＋13Sh 4 ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4)∵V A —BCD ＝V O —ABC ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —BCD ∴13Sh ＝13S (h 1＋h 2＋h 3＋h 4) ∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝h (定值)故正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值．19．(12分)为考察高中生的数学成绩与语文成绩之间的关系，对高二(1)班的55名学生进行了一次摸底考试，按照考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表：解：假设“数学成绩与语文成绩没有关系”．而随机变量的观测值k＝110(21×42－34×13)2(21＋34)(13＋42)(21＋13)(34＋42)＝21 296 0007 816 600≈2.724>2.706.且P(K2≥2.706)≈0.10.这就意味着“数学成绩与语文成绩没有关系”这一结论是错误的可能性约为0.10，即有90%的把握认为“数学成绩与语文成绩有关系”．20．(14分)已知函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称，定义数列{a n}，使a1＝2a，a2＝f(a1)，…，a n＋1＝f(a n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：∑=+niiiaa11<8.解：(1)函数f(x)＝2xx＋a的图象关于直线x＋y＝0对称的解析式为－x ＝2(－y )－y ＋a即y ＝axx ＋2，∴a ＝2.∴a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝1a n ＋12∴{1a n}为等差数列∴1a n ＝14＋12·(n －1)，∴a n ＝42n －1. (2)由(1)可知a i a i ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12i －1－12i ＋1 ∴(2)求证：∑=+ni i i a a 11=8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ＋1<8.。

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一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2010·山东文，7)设{a n } 是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了等比数列性质及充要条件的判定，∵a 1>0，已知，a 2>a 1⇒q >1⇒{a n }递增，在a 1>0的条件下{a n }递增⇒q >1⇒a 2>a 1，故选C.2．如图所示，在空间直角坐标系中BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是(32，12，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，则向量OD →的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－32，－12，0 B.⎝⎛⎭⎫0，－12，32C.⎝⎛⎭⎫－12，－32，0D.⎝⎛⎭⎫0，12，－32[答案] B[解析] 如图所示，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BCD 中，由∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得BD ＝1，CD ＝ 3.∴DE ＝CD ·sin30°＝32，OE ＝OB －BD ·cos60°＝1－12＝12.∴D 点坐标为(0，－12，32)，即向量OD →的坐标为(0，－12，32)．3．(2010·辽宁理，7)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．43B ．8C ．83D ．16[答案] B[解析] 如图，k AF ＝－3， ∴∠AFO ＝60°，∵|BF |＝4，∴|AB |＝43，即P 点的纵坐标为43， ∴(43)2＝8x ，∴x ＝6，∴|P A |＝8＝|PF |，故选B.4．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a 、b 的夹角的余弦值为89，则λ的值为( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255[答案] C[解析] |a |＝λ2＋5，|b |＝3，a ·b ＝6－λ，由条件6－λλ2＋5×3＝89，∴λ＝－2或255. 5．若抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，准线是l ，点M (4，m )是抛物线上一点，则经过点F 、M 且与l 相切的圆一共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个[答案] D[解析] 因为点M (4，m )在抛物线y 2＝4x 上，所以可求得m ＝±4.由于圆经过焦点F 且与准线l 相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上．又因为圆经过抛物线上的点M ，所以圆心在线段FM 的垂直平分线上，即圆心是线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知对于点M (4,4)和(4，－4)，都各有两个交点．因此一共有4个满足条件的圆．6．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1 ,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0[答案] D[解析] 设Q (x ，y )，∵|PM |＝|MQ |∴M 为PQ 中点， ∴P 为(－2－x,4－y )．∵P 在直线2x －y ＋3＝0上，∴y ＝2x ＋5，∴选D.7．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值是( )A ．－1B ．2C ．－1或2D ．以上都不是[答案] B[解析] 联立直线方程与抛物线方程消去y 得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ＋8k 2. 又x 1＋x 2＝2×2＝4，所以4k ＋8k2＝4，解得k ＝－1或k ＝2.经验证，k ＝－1知，Δ＝0，直线与抛物线相切，不符合题意，所以，k ＝2. 8．如图双曲线的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点，则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上情况都有可能[答案] B[解析] 设右焦点为F 2，线段PF 1的中点为M ，则OM 为两圆的连心线，同时线段OM 又是△PF 1F 2的中位线，则|OM |＝12|PF 2|，当P 在双曲线的右支上时，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即12|PF 1|－12|PF 2|＝a ，即12|PF 1|－a ＝12|PF 2|＝|OM |，由此可见两圆内切；当P 在双曲线的左支上时，同理可知，此时两圆外切．9．(2010·全国卷Ⅰ文，8)已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] B[解析] 该题考查双曲线的定义和余弦定理，考查计算能力．在△F 1PF 2中，由余弦定理 cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1，即－2|PF 1||PF 2|＝－12，故|PF 1|·|PF 2|＝4.10．对于直线m ，n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α D ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β [答案] C11．(08·福建)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63B.255C.155D.105[答案] D[解析] 以B 为原点，直线BC 、BA 、BB 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (2,2,0)，B 1(0,0,1)，C 1(2,0,1)．设平面BB 1D 1D 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0n ·BB 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0z ＝0，取n ＝(1，－1,0)，直线BC 1的方向向量BC 1→＝(2,0,1)，∴直线BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，满足sin θ＝|BC 1→·n ||BC 1→|·|n |＝105.12．“－2≤a ≤2”是“实系数一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0无实根”的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝2时，方程x 2＋ax ＋1＝0化为x 2＋2x ＋1＝0无实根，∴－2≤a ≤2⇒/ 实系数一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0无实根；若实系数一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0无实根，则Δ＝a 2－4<0，∴－2<a <2，∴实系数一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0无实根⇒－2≤a ≤2，故应选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2010·天津文，13)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的方程为______．[答案] x 24－y 212＝1[解析] 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质．由抛物线y 2＝16x 的焦点坐标为(4,0)，得c ＝4.又∵双曲线的渐近线方程为y ＝±3x 得ba ＝3⇒b ＝3a ，又∵c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝2 3.14．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是______．[答案] －355<x <355[解析] 已知a 2＝9，b 2＝4，∴c ＝ 5. ∵|PF 1|＝a －ex ＝3－53x ，|PF 2|＝3＋53x ，由余弦定理，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝59x 2－1(9－59x 2)，∵∠F 1PF 2是钝角，∴－1<cos ∠F 1PF 2<0，即－1<59x 2－1(9－59x 2)<0，解得－355<x <355.15．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所成平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O .Q 是CD 的中点．(1)若OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →，则x ＝________，y ＝________；(2)若P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →，则x ＝________，y ＝________. [答案] (1)－12，－12；(2)2，－2[解析] (1)如图所示 ∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →.∴x ＝y ＝－12.(2)∵P A →＋PC →＝2PO →，∴P A →＝2PO →－PC →. 又∵PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →. 从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.16．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．[答案] 2[解析] 如图，由题设条件知|OA |＝a ，|OF |＝c ，∠AOF ＝60°，∴e ＝ca＝2.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)若m ≤0或n ≤0，则m ＋n ≤0，写出其逆命题、否命题、逆否命题，同时指出它们的真假．[解析] 逆命题：若m ＋n ≤0，则m ≤0或n ≤0，逆命题为真；否命题：若m >0且n >0，则m ＋n >0，否命题为真；逆否命题：若m ＋n >0，则m >0且n >0，逆否命题为假．18．(本小题满分12分)已知双曲线上两点P 1、P 2的坐标分别为(3，－42)，(94，5)，求双曲线的标准方程．[解析] 解法一：(1)若曲线的焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)依题意得⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝125a 2－8116b 2＝1令m ＝1a 2，n ＝1b 2，则方程组化为：⎩⎪⎨⎪⎧32m －9n ＝125m －8116n ＝1解这个方程组得⎩⎨⎧m ＝116n ＝19即a 2＝16，b 2＝9，所以所求双曲线的标准方程为：y 216－x 29＝1. (2)若焦点在x 轴上，设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，依题意得⎩⎨⎧9a 2－32b 2＝18116a 2－25b 2＝1，此时无解．综上所得，所求双曲线的标准方程为：y 216－x 29＝1.解法二：设所求曲线方程为Ax 2－By 2＝1(AB >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9A －32B ＝18116A －25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－19B ＝－116故所求双曲线方程为－x 29＋y 216＝1即y 216－x 29＝1.19．(本小题满分12分)过定点A (3,4)任作互相垂直的两条线l 1与l 2，且l 1与x 轴交于M 点，l 2与y 轴交于N 点，求线段MN 中点P 的轨迹方程．[解析] 当l 1不平行于坐标轴时，设l 1：y －4＝k (x －3)(1) 则k ≠0，∴l 2：y －4＝－1k(x －3)(2)在(1)中令y ＝0得，M ⎝⎛⎭⎫3－4k ，0，在(2)中令x ＝0得，N ⎝⎛⎭⎫0，4＋3k ，设MN 的中点P (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝32－2ky ＝2＋32k消去k 得，6x ＋8y －25＝0，当l 1平行于坐标轴时，MN 的中点为⎝⎛⎭⎫32，2也满足此方程．∴P 点的轨迹方程为6x ＋8y －25＝0.20．(本小题满分12分)已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为BC 中点，求证：AE ⊥PD .[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AP →＝c ， ∵P A ⊥平面ABCD ， ∴a ·c ＝0，b ·c ＝0，∵∠ABC ＝60°，四边形ABCD 为菱形， ∴a ·b ＝|a |·|b |·cos ∠BAD ＝|b |2·cos120° ＝－12|b |2.AE →＝AB →＋BE →＝a ＋12b ，PD →＝P A →＋AB →＋BC →＋CD →＝－c ＋a ＋b －a ＝b －c ， AE →·PD →＝(a ＋12b )·(b －c )＝a ·b ＋12|b |2－a ·c －12b ·c＝－12|b |2＋12|b |2＝0，∴AE →⊥PD →，∴AE ⊥PD .21．(本小题满分12分)如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 24＋y 2＝1，交于A 、B 两点，记ΔAOB 的面积为S .(1)求在k ＝0,0<b <1的条件下，S 的最大值． (2)当|AB |＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．[解析] (1)解：设点A 的坐标为(x 1，b )B 为(x 2，b )，由x 24＋b 2＝1，解得x 1,2＝±21－b 2，所以S ＝12b ·|x 1－x 2|＝2b ·1－b 2≤b 2＋1－b 2＝1当且仅当b ＝22时，S 取到最大值1. (2)解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 24＋y 2＝1得(k 2＋14)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0 Δ＝4k 2－b 2＋1①|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·4k 2－b 2＋114＋k 2＝2②设O 到AB 的距离为d ，则 d ＝2S|AB |＝1又因为d ＝|b |1＋k 2，所以b 2＝k 2＋1，代入②式整理得k 4－k 2＋14＝0，解得k 2＝12，b 2＝32，代入①式检验，Δ>0，故直线AB 的方程为y ＝22x ＋62，或y ＝22x －62，或y ＝－22x ＋62，或y ＝－22x －62.22．(本题满分14分)(2010·安徽·理，18)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B －DE －C 的大小．[解析] (综合法)(1)证明：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG ，GH ，又H 为BC 的中点，∴GH 綊12AB .又EF 綊12AB ，∴EF 綊GH .∴四边形EFGH 为平行四边形．∴EG ∥FH ，而EG ⊂平面EDB ，∴FH ∥平面EDB . (2)证明：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC . 又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC . 而EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC . ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC . ∴FH ⊥平面ABCD .∴FH ⊥AC . 又FH ∥EG ，∴AC ⊥EG .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . (3)解：EF 、FB ，∠BFC ＝90°，∴BF ⊥平面CDEF . 在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ，则∠FKB 为二面角B —DE —C 的一个平面角．设EF ＝1，则AB ＝2，FC ＝2，DE ＝ 3. 又EF ∥DC ，∴∠KEF ＝∠EDC . ∴sin ∠EDC ＝sin ∠KEF ＝23. ∴FK ＝EF sin ∠KEF ＝23，tan ∠FKB ＝BFFK ＝3，∴∠FKB ＝60°，∴二面角B —DE —C 为60°. (向量法)：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC . 又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC .又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC . ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH . 又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， ∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABC .以H 为坐标原点，HB →为x 轴正向，HF →为z 轴正向，建立如图所示坐标系．设BH ＝1，则A (1，－2,0)，B (1,0,0)，C (－1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1)． (1)证明：设AC 与BD 的交点为G ，连GE ，GH ，则G (0，－1,0)，∴GE →＝(0,0,1)，又HF →＝(0,0,1) ∴HF →∥GE →.GE ⊂平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，∴FH ∥平面EBD . (2)证明：AC →＝(－2,2,0)，GE →＝(0,0,1)，AC →·GE →＝0， ∴AC ⊥GE .又AC ⊥BD ，EG ∩BD ＝G ，∴AC ⊥平面EDB . (3)解：BE →＝(－1，－1,1)，BD →＝(－2，－2,0)．设平面BDE 的法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则BE →·n 1＝－1－y 1＋z 1＝0，BD →·n 1＝－2－2y 1＝0，马鸣风萧萧 ∴y 1＝－1，z 1＝0，即n 1＝(1，－1,0)．CD →＝(0，－2,0)，CE →＝(1，－1,1)．设平面CDE 的法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则n 2·CD →＝0，y 2＝0，n 2·CE →＝0,1－y 2＋z 2＝0，z 2＝－1，故n 2＝(1,0，－1)，cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝12·2＝12， ∴〈n 1，n 2〉＝60°，即二面角B —DE —C 为60°.[点评] 综合法更注重推理，方法巧妙，计算量不大，对空间想象能力以及逻辑推理能力要求较高，而向量法更多的是计算而且方法统一，具有格式化，易于掌握．从近几年高考尤其新课标地区的高考题来看主要以向量法的考察为主，较少使用综合法．。

2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)综合测评

全书综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.命题“∃x0∈R,2x0-3>1”的否定是( )A.∃x0∈R,2x0-3≤1B.∀x∈R,2x-3>1C.∀x∈R,2x-3≤1D.∃x0∈R,2x0-3<12.已知直线l1的方向向量为a=(2,4,x),直线l2的方向向量为b=(2,y,2),若|a|=6,且a⊥b,则x+y的值是( )A.-3或1B.3或-1C.-3或3D.1或-13.命题p:若a·b>0,则a与b的夹角为锐角;命题q:若函数f(x)在(-∞,0]及(0,+∞)上都是减函数,则f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.下列说法中正确的是( )A.“p且q”是真命题B.“p或q”是假命题C.¬p为假命题D.¬q为假命题4.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为( )A.18 B.-18C.8D.-85.不等式x-1x>0成立的一个充分不必要条件是( ) A.-1<x<0或x>1 B.x<-1或0<x<1C.x>-1D.x>16.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为√2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A.x 24-y 24=1B.x 28-y 28=1 C.x 24-y 28=1 D.x 28-y 24=1 7.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E,F 分别是DD 1,BD 的中点,则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( ) A.12B.√32C.√63D.√628.在空间四边形ABCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,则下列结论不成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |B.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2C.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ 9.双曲线x 2m -y 2n=1(mn≠0)的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y 2=4x的焦点重合,则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.8310.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,中心为O, BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC⃗⃗⃗⃗⃗ , A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四面体OEBF 的体积为( )A.112B.124C.148D.19611.已知点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD上一点,则PA·PC1的取值范围是( )A.[-1,-14] B.[-12,-14]C.[-1,0]D.[-12,0]12.设O为坐标原点,F1,F2是双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠F1PF2=60°,|OP|=√7a,则该双曲线的渐近线方程为( )A.x±√3y=0B.√3x±y=0C.x±√2y=0D.√2x±y=0二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知“命题p:(x-m)2>3(x-m)”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.14.已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为.16.已知双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列,且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向,则双曲线的离心率e= .三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知命题p:方程x 22m +y 29-m=1表示焦点在y 轴上的椭圆,命题q:双曲线y 25-x 2m =1的离心率e∈(√62,√2),若命题p,q 中有且只有一个真命题,求实数m 的取值范围.18.(12分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为坐标原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.19.(12分)在如图所示的多面体中,四边形ABCD是平行四边形,四边,AB=2AD.形BDEF是矩形,ED⊥平面ABCD,∠ABD=π6(1)求证:平面BDEF⊥平面ADE;(2)若ED=BD,求直线AF与平面AEC所成角的正弦值.20.(12分)已知动圆P过点F(0,18),且与直线y=-18相切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)若A,B是曲线C上的两个点且直线AB过△OAB的外心,其中O为坐标原点,求证:直线AB过定点.21.(12分)如图,在直角梯形BDFE中,EF∥BD,BE⊥BD,EF=2√2,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AB=2CD=4,且平面BDFE⊥平面ABCD.(1)求证:AC⊥平面BDFE;,求二面角B-DF-C的余弦值. (2)若BF与平面ABCD所成的角为π422.(12分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且以两焦点为直径的圆的内接正方形的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,在y轴上是否存在点D,使直线AD与BD的斜率之和k AD+k BD为定值?若存在,求出点D的坐标及该定值;若不存在,试说明理由.答案全解全析全书综合测评一、选择题1.C 由特称命题的否定是全称命题,知命题“∃x 0∈R ,2x 0-3>1”的否定是“∀x∈R ,2x-3≤1”,故选C.2.A 由题意得{√4+16+x 2=6,4+4y +2x =0,解得{x =4,y =-3或{x =-4,y =1,∴x+y=1或x+y=-3.3.B ∵当a·b>0时,a 与b 的夹角为锐角或零角,∴命题p 是假命题; 命题q 是假命题,例如f(x)={-x +1,x ≤0,-x +2,x >0.综上可知,“p 或q”是假命题,故选B. 4.B 由y=ax 2得x 2=1a y,∴1a =-8,∴a=-18. 5.D 由x-1x >0,可知x 2-1x>0,即{x 2-1>0,x >0或{x 2-1<0,x <0,解不等式组可知x-1x>0的解集为{x|x>1或-1<x<0},故不等式x-1x >0成立的一个充分不必要条件是x>1,故选D.6.B 由离心率为√2可知a=b,c=√2a,所以F(-√2a,0),由题意可知k PF =0-(-√2a )=√2a=1,解得a=2√2,所以双曲线的方程为x 28-y 28=1,故选B.7.C 以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D 1(0,0,2),E(0,0,1),F(1,1,0),所以AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,-1), 故cos<AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2×√3=-√63, 所以直线AD 1与EF 所成角的余弦值是√63.故选C.8.C A 中,因为AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两两垂直,所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2, 故|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,因此A 正确;B 中,易得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以B 正确; C 中,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2, 当|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |时,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,否则不成立,因此C 不正确; D 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 同理可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此D 正确. 9.A 抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),故双曲线方程x 2m-y 2n=1中,m>0,n>0,且m+n=c 2=1. 又双曲线的离心率e=√m=√m+n m=2,∴m=14,n=34,mn=316.10.D 如图所示,以D 为坐标原点,分别以DA,DC,DD 1所在的直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则O (12,12,12),B(1,1,0),E (1,0,34),F (12,1,0),∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-12,14),OB⃗⃗⃗⃗⃗ =12,12,-12, 则|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√14+14+116=34,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√32, 所以cos∠BOE=14-14-18√32×34=-√39,所以sin∠BOE=√789, 所以S △OEB =12×34×√32×√789=√2616. 设平面OEB 的法向量为n=(x,y,z),则{n ·OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x -12y +14z =0,n ·OB⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +12y -12z =0,取z=1,得n=(14,34,1), 又BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,0), 所以F 到平面OEB 的距离h=|n ·BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=18√264=√2652,所以四面体OEBF 的体积V=13S △OEB ×h=13×√2616×√2652=196.11.D 以A 为坐标原点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C 1(1,1,1),不妨设P(x,y,0),0≤x≤1,0≤y≤1,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x,-y,0),PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,1-y,1),PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-(1-x)x-(1-y)y=x 2+y 2-x-y=(x -12)2+(y -12)2-12.当x=y=12时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值-12;当x=0或1,y=0或1时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值0.故选D.12.D 如图所示,∵O 为F 1F 2的中点,∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=(2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ )2,即|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 60°=4|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2.又∵|OP|=√7a,∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=28a 2.①由双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=2a,∴(|PF 1|-|PF 2|)2=4a 2.即|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=4a 2.②由①-②得|PF 1||PF 2|=8a 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=20a 2.在△F 1PF 2中,由余弦定理的推论得 cos 60°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|∴8a 2=20a 2-4c 2,即c 2=3a 2.又∵c 2=a 2+b 2,∴b 2=2a 2.即b 2a 2=2,ba =√2.∴双曲线的渐近线方程为√2x±y=0.二、填空题13.答案 (-∞,-7]∪[1,+∞)解析 p:{x|x>m+3或x<m},q:{x|-4<x<1},p 是q 成立的必要不充分条件, 则{x|-4<x<1}⫋{x|x>m+3或x<m},所以m+3≤-4或m≥1,即m≤-7或m≥1, 故m 的取值范围为(-∞,-7]∪[1,+∞). 14.答案 y=±x解析由题意知p2=√c 2-a 2=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为(c ,-p2),即(c,-b), 代入双曲线方程为c 2a2-b 2b2=1,得c 2a2=2,所以b a =√c 2a 2-1=1, 所以渐近线方程为y=±x. 15.答案 23解析如图,以D 为坐标原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A 1(1,0,1),E (1,1,12),∴DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,12).设平面A 1ED 的法向量为n=(x,y,z),则n·DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且n·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{x +z =0,x +y +12z =0,令x=1,得y=-12,z=-1.∴n=(1,-12,-1).又平面ABCD 的一个法向量为DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),∴cos<n,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=-132×1=-23.∴平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为23.16.答案√52解析因为|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列,所以可设|OA|=m-d,|AB|=m,|OB|=m+d,画出草图,如图,在Rt△OAB 中,由勾股定理可得(m-d)2+m 2=(m+d)2,得d=14m,设双曲线的方程为x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0),则tan∠AOF=ba,tan∠AOB=tan 2∠AOF=|AB ||OA |=mm -d =43,由二倍角公式,得2×b a 1-(b a)2=43,解得b a =12或ba =-2(舍去), 则离心率e=c a =√a 2+b 2a=√52.三、解答题17.解析若p 为真,则有9-m>2m>0, 即0<m<3.若q 为真,则有m>0,且e 2=1+b 2a 2=1+m 5∈(32,2), 即52<m<5.∵p,q 中有且只有一个真命题, ∴p,q 一真一假. ①若p 真,q 假,则0<m<3,且m≥5或m≤52, 即0<m≤52;②若p 假,q 真,则m≥3或m≤0,且52<m<5,即3≤m<5.故所求m 的取值范围为0<m≤52或3≤m<5.18.解析 (1)由题意得椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1, 所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2. 因此a=2,c=√2.故椭圆C 的离心率e=c a =√22.(2)设点A,B 的坐标分别为(t,2),(x 0,y 0),其中x 0≠0.因为OA⊥OB,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即tx 0+2y 0=0,解得t=-2y0x 0.又x 02+2y 02=4,所以|AB|2=(x 0-t)2+(y 0-2)2=(x 0+2y 0x 0)2+(y 0-2)2=x 02+y 02+4y 02x 02+4=x 02+4-x 022+2(4-x 02)x 02+4=x 022+8x 02+4(0<x 02≤4). 因为x 022+8x 02≥4(0<x 02≤4),当且仅当x 02=4时等号成立,所以|AB|2≥8.故线段AB 长度的最小值为2√2.19.解析 (1)证明:在△ABD 中,∠ABD=π6,AB=2AD, 所以△ABD 为直角三角形,且∠ADB=90°, 所以BD⊥AD,因为DE⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD, 所以DE⊥BD.又AD∩DE=D,所以BD⊥平面ADE.因为BD ⊂平面BDEF,所以平面BDEF⊥平面ADE.(2)由(1)可得,在Rt△ABD 中,∠BAD=π3,BD=√3AD,设AD=1,则BD=ED=√3.因为DE⊥平面ABCD,BD⊥AD,故以D 为坐标原点,DA,DB,DE 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.则A(1,0,0),C(-1,√3,0),E(0,0,√3),F(0,√3,√3),所以AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3,0). 设平面AEC 的法向量为n=(x,y,z),则{n ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +√3z =0,-2x +√3y =0,令z=1,得平面AEC 的一个法向量为n=(√3,2,1).因为AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,√3), 所以cos<n,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |n |·|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4214,所以直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为√4214.20.解析 (1)设点P(x,y),则√(x -0)2+(y -18)2=|y +18|,整理得x 2=12y,∴曲线C 的方程为x 2=12y.(2)证明:由题意可知直线AB 的斜率一定存在,否则其与曲线C 不能有两个交点.设直线AB 的方程为y=kx+m(m≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立方程{y =kx +m ,x 2=12y ,整理得2x 2-kx-m=0,则x 1+x 2=k 2,x 1x 2=-m2,Δ=k 2+8m>0.由x 2=12y,得y 1=2x 12,y 2=2x 22.∴y 1y 2=2x 12·2x 22=4(x 1x 2)2=4×(-m 2)2=m 2.∵直线AB 过△AOB 的外心,∴OA⊥OB.∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0, ∴-m2+m 2=0,m≠0,解得m=12.当m=12时,满足Δ>0.∴直线AB 过定点(0,12).21.解析 (1)证明:∵平面BDFE⊥平面ABCD,AC⊥BD,平面BDFE∩平面ABCD=BD,AC ⊂平面ABCD,∴AC⊥平面BDFE. (2)设AC∩BD=O.∵四边形ABCD 为等腰梯形,∠DOC=π2,AB=2CD=4, ∴OD=OC=√2,OB=OA=2√2. ∵EF∥OB,且EF=2√2,∴四边形BOFE 为平行四边形, ∴OF∥BE.又∵平面BDFE⊥平面ABCD,BE⊥BD,平面BDFE∩平面ABCD=BD,BE ⊂平面BDFE, ∴BE⊥平面ABCD,∴OF⊥平面ABCD,∴∠FBO 为BF 与平面ABCD 所成的角,∴∠FBO=π4,∴OF=OB=2√2.以O 为坐标原点,OA,OB,OF 所在直线分别为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,2√2,0),D(0,-√2,0),F(0,0,2√2),C(-√2,0,0),A(2√2,0,0),∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,2√2),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,-√2,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3√2,0,0). 由(1)知,AC⊥平面BDFE,∴平面BDF 的一个法向量为AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3√2,0,0), 设平面DFC 的一个法向量为n=(x,y,z), 由{DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0得{√2y +2√2z =0,√2x -√2y =0, 令x=2,得n=(2,2,-1). ∴cos<n,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√2×23√2×√22+22+(-1)=-23,由题图可知二面角B-DF-C 为锐角, ∴二面角B-DF-C 的余弦值为23.22.解析 (1)由已知可得{ c a =√22,2csin π4=√2,a 2=b 2+c 2,解得a 2=2,b 2=c 2=1,所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由{x 22+y 2=1,y =kx +2得(1+2k 2)x 2+8kx+6=0,由Δ=64k 2-24(1+2k 2)=16k 2-24>0, 解得k<-√62或k>√62. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=-8k1+2k 2,x 1x 2=61+2k 2, 设存在点D(0,m), 则k AD =y 1-m x 1,k BD =y 2-m x 2,所以k AD +k BD =y 1x 2+y 2x 1-m (x 1+x 2)x 1x 2=2kx 1x 2+(2-m )(x 1+x 2)x 1x 2=6k -4k (2-m )3.要使k AD +k BD 为定值,只需6k-4k(2-m)=6k-8k+4km=2(2m-1)k 的值与参数k 无关,故2m-1=0,解得m=12,当m=12时,k AD +k BD =0.综上所述,存在点D (0,12),使得k AD +k BD 为定值,且定值为0.。

人教A版数学选修2-1同步导练作业：第2章圆锥曲线与方程作业8

课时作业8 曲线与方程基础巩固1．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0的曲线经过点A (0，－3)，B (0,4)，C (4,0)，D (53，－74)中的( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：将点的坐标分别代入方程，B (0,4)，C (4,0)满足方程，另外两点不满足．答案：C2．方程1－|x |＝1－y 表示的曲线为( ) A ．两条线段 B ．两条直线C ．两条射线D ．一条射线和一条线段解析：方程可变为y ＝|x |(|x |≤1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1－x ，－1≤x <0 答案：A3．“点M 在曲线y ＝|x |上”是“点M 到两坐标轴距离相等”的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：y ＝|x |⇒|y |＝|x |成立，但逆推不成立．答案：C4．若点M 到x 轴的距离和它到直线y ＝8的距离相等，则点M 的轨迹方程是( )A．x＝－4B．x＝4C．y＝－4 D．y＝4解析：画图判断．答案：D5．已知A(1,0)、B(－1,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M 的轨迹方程是()A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)解析：由|MA|－|MB|＝2＝|AB|知M在AB的延长线上．答案：C6．已知点A(0，－1)，点B是抛物线y＝2x2＋1上的一个动点，则线段AB的中点的轨迹是()A．y＝2x2B．y＝4x2C．y＝6x2D．y＝8x2解析：设AB中点的坐标为(x，y)，则点B的坐标为(2x,2y＋1)，所以2y＋1＝2·(2x)2＋1即y＝4x2.答案：B7．一条线段的长等于10，两端点A、B分别在x、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程是()A．x＋y＝10 B．x＋y＝25C．x2＋y2＝5 D．x2＋y2＝25解析：由平面几何知识知|OP|＝12|AB|.∴x2＋y2＝5即x2＋y2＝25.答案：D8．到A(2，－3)和B(4，－1)距离相等的点的轨迹方程是__________．解析：满足条件的点的轨迹是线段AB的中垂线，其方程为x＋y －1＝0.答案：x＋y－1＝09．到直线l∶3x＋4y－5＝0的距离等于1的点的轨迹方程是__________．解析：所求轨迹是l的两条平行线，设它们的方程为3x＋4y＋m＝0，则由它们到l的距离为1有|m＋5|32＋42＝1.解得m＝0或m＝－10.∴所求方程为3x＋4y＝0或3x＋4y－10＝0.答案：3x＋4y＝0或3x＋4y－10＝010．直角坐标平面内，到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是__________．解析：由题设得|||x|－|y|＝1.即|x|－|y|＝1，或|y|－|x|＝1.答案：|x|－|y|＝1，或|y|－|x|＝1能力提升1．方程x2＋xy＝x表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．两条直线D．一个点和一条直线解析：∵x2＋xy＝x，∴x2＋xy－x＝0即x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0表示两条直线．答案：C2．与A(－1,0)和B(1,0)两点连线的斜率的乘积等于－1的动点P 的轨迹方程是()A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1)C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0)D ．y ＝1－x 2解析：设P (x ，y )，则y x ＋1·yx －1＝－1，(x ≠±1)．即x 2＋y 2＝1(x ≠±1)．答案：B3．如下图所示，方程y ＝|x |x 2表示的曲线是( )解析：y ＝|x |x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >0－1x ，x <0.答案：B4．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP→＝0则动点P (x ，y )的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，∴|MN →|·|MP →|＋MN →·NP→＝4·(x ＋2)2＋y 2＋4(x －2)＝0，整理得y 2＝－8x . 答案：B5．与圆x 2＋y 2－4x ＝0外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝8x (x >0)或y ＝0(x <0)B ．y 2＝4x (x >0)或y ＝0(x <0)C ．y 2＝8x (x ≥0)D ．y 2＝4x (x ≥0)解析：设动圆圆心为P (x ，y )，则 (x －2)2＋y 2＝|x |＋2，讨论x >0和x <0. 答案：A6．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →，且OQ →·AB→＝1，则P 点的轨迹方程是( ) A ．3x 2＋32y 2＝1 (x >0，y >0)B ．3x 2－32y 2＝1 (x >0，y >0)C.32x 2－3y 2＝1 (x >0，y >0) D.32x 2＋3y 2＝1 (x >0，y >0)解析：由BP →＝2P A →知A (32x,0)，B (0,3y )，∴AB →＝(－32x,3y )．又∵OQ→＝(－x ，y ) ∴OQ →·AB →＝32x 2＋3y 2＝1，(x >0，y >0)．答案：D7．已知A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)分别是直线l 上和l 外的点，若直线l 的方程为f (x ，y )＝0，则方程f (x ，y )＝f (x 2，y 2)表示( )A ．直线lB ．过点A 、B 的直线C ．过点B 与l 垂直的直线D ．过点B 与l 平行的直线解析：由题意知f (x 1，y 1)＝0.f (x 2，y 2)≠0， ∴f (x 1，y 1)≠f (x 2，y 2)，∴方程f (x ，y )＝f (x 2，y 2)不表示直线l 也不过点A ， ∴直线f (x ，y )＝0与直线f (x ，y )＝f (x 2，y 2)平行．答案：D8．已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0.即(x －2)2＋y 2＝4.轨迹是半径为2的圆，其面积为4π.答案：B9．到两条坐标轴的距离之和等于2的点的轨迹方程是__________，它的轨迹是__________．解析：轨迹方程为|x |＋|y |＝2，分四种情况讨论x ，y 的符号知，其轨迹为一正方形．答案：|x |＋|y |＝2 (中心在原点，顶点在坐标轴上，对角线为22的)正方形10．若命题“曲线S 上的点的坐标满足方程F (x ，y )＝0”是正确的，则下列命题：①方程F (x ，y )＝0的曲线是S ； ②曲线S 是方程F (x ，y )＝0的轨迹； ③满足方程F (x ，y )＝0的点都在曲线S 上； ④曲线S 是方程F (x ，y )＝0的轨迹的子集；⑤以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点不一定在曲线S 上．其中错误的命题序号为__________．解析：由题设知，曲线S 上的点必定满足方程F (x ，y )＝0，但满足方程F (x ，y )＝0的点不一定在曲线S 上，∴①、②、③错误，④⑤正确．答案：①②③11．若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0，通过点(a ，－a )．(a ∈R )．则k 的取值范围是__________．解析：由题设有2a 2＋2a ＋k ＝0. ∴k ＝－2a 2－2a ＝12－2(a ＋12)2≤12.答案：(－∞，12]12．两条直线ax ＋y ＋1＝0和x －ay －1＝0(a 为参数，且a ≠±1)的交点的轨迹方程是__________．解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＋1＝0 ①x －ay －1＝0 ②由①有a ＝－y －1x ③将③代入②整理得x 2＋y 2－x ＋y ＝0，即为所求．答案：x 2＋y 2－x ＋y ＝013．方程4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0表示什么曲线？解：∵4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋4x ＋2y . ∴可设4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝(2x ＋y ＋m )(2x －y ＋n ) ＝4x 2－y 2＋2(m ＋n )x ＋(n －m )y∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(m ＋n )＝4n －m ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0n ＝2∴原方程可变为(2x ＋y )(2x －y ＋2)＝0. ∴2x ＋y ＝0或2x －y ＋2＝0.∴方程4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0表示两条相交直线．14．已知a 2sin θ＋a cos θ－1＝0，b 2sin θ＋b cos θ－1＝0(θ是变量，且a ≠b )．求：(1)点(a ，b )所在的曲线方程；(2)点(a ，a 2)、(b ，b 2)确定的直线方程．解：(1)sin θ≠0，否则将有a ＝b ，与题设不符．根据题意，a 、b 可以看做二次方程x 2sin θ＋x cos θ－1＝0的两根，从而a ＋b ＝－cot θ，ab ＝－csc θ，消去θ得(a ＋b )2＋1＝(ab )2，即(a ，b )所在曲线方程为x 2＋y 2－x 2y 2＋2xy ＋1＝0.(2)根据题意得点(a ，a 2)、(b ，b 2)都在直线y sin θ＋x cos θ－1＝0上，从而点(a ，a 2)、(b ，b 2)确定的直线方程是x cos θ＋y sin θ－1＝0.15．如图1，已知圆A 的半径是2，圆外一定点N 与圆A 上的点的最短距离为6，过动点P 作圆A 的切线PM (M 为切点)，连结PN 使得PM ∶PN ＝2，试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹．图1解：图2以AN所在直线为x轴，AN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系如图2所示，则A(－4,0)，N(4,0)，设P(x，y)由|PM|∶|PN|＝2，|PM|2＝|P A|2－|MA|2得：2|PN|2＝|P A|2－4代入坐标得：2[(x－4)2＋y2]＝(x＋4)2＋y2－4整理得：x2＋y2－24x＋20＝0即(x－12)2＋y2＝124所以动点P的轨迹是以点(12,0)为圆心，以231为半径的圆．16．(2015年高考·广东卷)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线l ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)圆C 1的方程可化为：(x －3)2＋y 2＝4，所以圆C 1的圆心坐标为(3,0)． (2)设M (x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 21＋y 21－6x 1＋5＝0 ① x 22＋y 22－6x 2＋5＝0 ②x ＝x 1＋x 22 ③ y ＝y 1＋y 22 ④ y 1－y 2x 1－x 2＝y －0x －0⑤ 由③得x 1＋x 2＝2x ⑥ 由④得y 1＋y 2＝2y ⑦①－②得x 21－x 22＋y 21－y 22－6x 1＋6x 2＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)－6(x 1－x 2)＝0 ⑧ 将⑥⑦代入⑧中，得2x (x 1－x 2)＋2y (y 1－y 2)－6(x 1－x 2)＝0，即 (x －3)(x 1－x 2)＋y (y 1－y 2)＝0，又因为x 1－x 2≠0，所以x －3＋y y 1－y 2x 1－x 2＝0 ⑨ 将⑤代入⑨得x －3＋y yx ＝0，即x 2＋y 2－3x ＝0，当直线l 与C 1相切时，切点的横坐标为x 0＝53， ∴M 的横坐标满足53<x ≤3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程是x 2＋y 2－3x ＝0⎝⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)由⎩⎨⎧ y ＝k (x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94消去y 得(1＋k 2)x 2－(8k 2＋3)x ＋16k 2＝0(*) 直线l ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点等价于方程(*)在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3内有唯一解． ①当方程(*)的判别式Δ＝(8k 2＋3)2－4(1＋k 2)·16k 2＝9－16k 2＝0时，k ＝±34.此时方程(*)的根为x ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3，故k ＝±34符合题意； ②当Δ>0时，令f (x )＝(1＋k 2)x 2－(8k 2＋3)x ＋16k 2.要使方程(*)在⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上有唯一解，必须满足⎩⎨⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53≤0f (3)≥0，解得－257≤k ≤257，故存在k ＝±34或－257≤k ≤257使得直线l ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点．创新拓展1．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R )的交点个数一定是( )A ．2个B ．4个C ．0个D ．与a 的取值有关解析：曲线y ＝－1－x 2是单位圆去掉x 轴上方的部分，曲线y ＋|ax |＝0表示一条直线(a ＝0时)或两条射线(a ≠0时)，画图知选A.答案：A2．过点(3，－2)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为T 1，T 2，则直线T 1T 2的方程为__________．解析：设T 1(x 1，y 1)，T 2(x 2，y 2)，则过T 1，T 2的圆x 2＋y 2＝4的切线方程分别为x 1x ＋y 1y ＝4，x 2x ＋y 2y ＝4.∵点(3，－2)在切线上 ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 1－2y 1＝43x 2－2y 2＝4∴点T 1，T 2在直线3x －2y ＝4上，而过T 1，T 2的直线有且只有一条，∴3x －2y ＝4即为所求．答案：3x －2y ＝4由Ruize收集整理。

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第二章综合测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟第Ⅰ卷(选择题，共32分)一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分．)1．经过抛物线y 2＝4x 的焦点，且方向向量为a ＝(1，－2)的直线l 的方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．2x ＋y －2＝0C ．x ＋2y －1＝0D ．2x －y －2＝0解析：由题设知l 过点(1,0)，斜率为－2，∴l 的方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0，选B.答案：B2．方程x 22sin θ＋3＋y 2sin θ－2＝1所表示的曲线是( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线解析：∵－1≤sin θ≤1，∴－3≤sin θ－2≤－1，－2≤2sin θ≤2，∴1≤2sin θ＋3≤5. 答案：C3．设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1、F 2为焦点，如果∠PF 1F 2＝75°，∠PF 2F 1＝15°，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.23D.63解析：由定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 即在Rt △中，2c sin15°＋2c cos15°＝2a ∴c 2a 2＝1(sin15°＋cos15°)2＝11＋sin30°＝23∴e ＝63. 答案：D4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32 C ．2 D ．3解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2，故不妨设点A (－p 2，pb 2a )，B (－p 2，－pb2a )则△AOB的面积为p 2×pb 2a ＝3①.又双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以e 2＝c2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4.从而可得b ＝3a ，代入①中可以解得p ＝2.故选C.答案：C5．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2 解析：双曲线中，c ＝3＋p 216，∴左焦点(－3＋p 216，0)，抛物线准线方程x ＝－p2.由题意得－3＋p 216＝－p2，由p ＞0，∴p ＝4.答案：C6．(2018年高考·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 23－y 29＝1B.x 29－y 23＝1 C.x 24－y 212＝1 D.x 212－y 24＝1解析：由题意不妨设A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a )，双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，则d 1＝|bc －b 2|a 2＋b 2，d 2＝|bc ＋b 2|a 2＋b 2，故d 1＋d 2＝|bc －b 2|a 2＋b 2＋|bc ＋b 2|a 2＋b 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2c＝2b ＝6，故b ＝3.又c a ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2，所以b 2＝3a 2，得a 2＝3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1. 答案：A7．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254x B ．y 2＝452xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：设y 2＝2px ，则抛物线必过(40,30)代入得 p ＝454，∴y 2＝452x . 答案：B8．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1解析：图1由焦点重合得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，故m >n .接下来，判断e 1e 2与1的大小，可取特殊值来快速判断．如取n ＝1，则m ＝3，e 1＝c a ＝3－13，e 2＝21，得e 1e 2＝23×2>1.故选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共68分)二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分．) 9．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．解析：解法1：不妨令a ＝1，则双曲线的渐近线方程是y ＝±bx .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bx x －3y ＋m ＝0，得A (m 3b －1，bm3b －1)，将此坐标中的“b ”用“－b ”代换，得B (－m 3b ＋1，bm 3b ＋1)，则线段AB 中点的坐标为M (m9b 2－1，3b 2m9b 2－1)，因为|P A |＝|PB |，所以，k PM ＝－3，即3b 2m9b 2－1－0m 9b 2－1－m ＝－3，化简得b 2＝14，则c 2＝54，故离心率为52.解法2：解方程组⎩⎨⎧y ＝b axx －3y ＋m ＝0及⎩⎨⎧y ＝－b a xx －3y ＋m ＝0，得A (am 3b －a ，bm 3b －a )，B (－am 3b ＋a ，bm3b ＋a)，则线段AB 中点的坐标为M (a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a 2)，因为|P A |＝|PB |，所以，k PM＝－3，即3b 2m9b 2－a 2－0a 2m 9b 2－a 2－m＝－3，化简得a 2＝4b 2，下略．答案：5210．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是__________．解析：x 22＋y 22k ＝1，由2k >2知0<k <1.答案：0<k <111．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为__________．解析：由题意得y 212－x 24＝1，a ＝23，c ＝4，椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝a 2－c 2＝4，∴y 216＋x24＝1.答案：y 216＋x 24＝112．椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1＝1的焦点在x 轴上，则它的离心率的取值范围是__________．解析：由题意知，5a >4a 2＋1，∴14<a <1，离心率e 2＝5a －4a 2－15a＝1－(4a 5＋15a )，∵a >0，4a 5＋15a ≥45(当且仅当a ＝12时取等号)，∴e 2≤15，∴0<e ≤55.答案：(0，55]13．(2018年高考·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题意知，a >0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，所以4a ＝4，所以a ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．答案：(1，0)14．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5，0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________．解析：由OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，且e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，设P(x ，y )．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋2b y ＝a －b，代入双曲线Γ方程中：x 24－y 2＝1，得：ab ＝14. 答案：ab ＝14三、解答题(本题共6小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(6分)已知圆方程x 2＋y 2＝4，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段PP ′，P ′为垂足，求线段PP ′中点M 的轨迹方程．图2解：如图2，设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，P ′(0，y 0)，则⎩⎨⎧x ＝x 02y ＝y 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝y .∵x 20＋y 20＝4，∴(2x )2＋y 2＝4，∴x 2＋y24＝1.∴动点M 的轨迹方程是y 24＋x 2＝1，图形是一个椭圆．16．(6分)已知双曲线与椭圆x 236＋y 249＝1有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为37，求双曲线的方程．解：椭圆x 236＋y 249＝1的焦点为(0，±13)，离心率为e 1＝137.由题意可知双曲线的两焦点为(0，±13)，离心率e 2＝133.∴双曲线c ＝13，a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝4 ∴双曲线方程为y 29－x 24＝1.17．(6分)已知双曲线E 的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率e ＝62，且双曲线过点P (2,32)，求双曲线E 的方程．解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题知，e ＝c a ＝62，故c 2＝32a 2，b 2＝12a 2. 故双曲线方程为x 2a 2－2y 2a 2＝1或y 2a 2－2x 2a 2＝1.又因为双曲线过点P (2,32)，所以4a 2－36a 2＝1或18a 2－8a 2＝1，显然前者无解，后者解得a 2＝10，则b 2＝5.故所求双曲线方程为y 210－x 25＝1.18．(8分)设抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，准线为l .A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．解：(1)由对称性知：△BFD 是等腰直角三角形，斜边 |BD |＝2p点A 到准线l 的距离d ＝|F A |＝|FB |＝2p S △ABD ＝42⇔12×|BD |×d ＝42⇔p ＝2 所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8 (2)由对称性设A (x 0，x 202p )(x 0>0)，则F (0，p 2)点A ，B 关于点F 对称得：B (－x 0，p －x 202p )⇒ p －x 202p ＝－p 2⇔x 20＝3p 2得：A (3p ，3p 2)，直线m ：y ＝3p 2－p 23px ＋p 2⇔x －3y ＋3p2＝0x 2＝2py ⇔y ＝x 22p ⇒y ′＝x p ＝33⇒x ＝33p ⇒切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 3，p 6 直线n ：y －p 6＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3p 3⇔x －3y －36p ＝0 坐标原点到m ，n 距离的比值为3p 2∶3p6＝3. 19．(8分)图3如图3，直角梯形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，AB＝2，AD＝32，BC＝12，椭圆F以A、B为焦点，且经过点D.(1)建立适当的直角坐标系，求椭圆F的方程；(2)是否存在直线l与椭圆F交于M、N两点，且线段MN的中点为点C，若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由．解：图4(1)以AB的中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图4，则A(－1,0)，B(1,0)，C(1，12)，D(－1，32)．设椭圆F 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得⎩⎨⎧(－1)2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，a 2＝b 2＋1得4a 4－17a 2＋4＝0，∵a 2>1，∴a 2＝4，b 2＝3，， ∴所求椭圆F 方程为x 24＋y 23＝1(2)存在这样的直线l ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1x 224＋y 223＝1两式相减得14(x 21－x 22)＋13(y 21－y 22)＝0，∵x 1≠x 2有y 1－y 2x 1－x 2＝－34×x 1＋x 2y 1＋y 2，∵C (1，12)是MN 中点，有x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，得y 1－y 2x 1－x 2＝－32，即l 斜率为－32，故所求直线l 方程y ＝－32x ＋2.20．(10分)(2016年高考·课标全国卷Ⅱ)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．解：(1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449. (2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得 (3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0. 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋ t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k的取值范围是(32，2)．由Ruize收集整理。

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