定积分的计算方法
定积分的计算方法总结
定积分的计算方法总结引言定积分是微积分中重要的概念之一，它可以用于求取曲线下的面积、求解物理问题中的积分以及解决各种与变化量有关的问题。
本文将总结定积分计算的常用方法，包括基本定积分公式、换元积分法和分部积分法。
基本定积分公式基本定积分公式是计算定积分时最基础也是最常用的方法之一。
以下为常见的基本定积分公式：1.$\\int x^m dx = \\frac{1}{m+1}x^{m+1}$，其中m为常数，m eq−1。
2.$\\int \\frac{1}{x} dx = \\ln|x|$，其中x为正实数。
3.$\\int e^x dx = e^x$。
4.$\\int \\sin x dx = -\\cos x$。
5.$\\int \\cos x dx = \\sin x$。
6.$\\int \\tan x dx = -\\ln|\\cos x|$。
换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，它通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式。
具体步骤如下：1.选择一个适当的变量代换，通常选择与题目给定的被积函数中具有根号、三角函数等特殊形式相关的变量。
2.根据选择的变量代换，将被积函数中的所有变量都用新的变量表示。
3.计算新的被积函数的导数，并将被积函数转换为对新变量的积分。
4.计算新的积分。
以下是换元积分法的一个例子：求解定积分$\\int 2x(x^2+1)^3 dx$。
解：设u=x2+1，则du=2xdx。
将被积函数中的所有x用u表示，则原积分变为$\\int u^3 du$。
计算新的积分得$\\frac{1}{4}u^4 + C$，其中C为常数。
最后，将u替换回x得到最终结果$\\frac{1}{4}(x^2+1)^4 + C$。
分部积分法分部积分法是解决定积分问题中的另一种常用方法，它是利用乘积的导数公式来简化积分计算的步骤。
具体步骤如下：1.选择一个适当的分部积分公式。
分部积分公式为$\\int u dv = uv -\\int v du$。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的重要概念之一，也是计算与物理、经济、工程等领域中的许多实际问题时常用到的方法。
本文将对定积分的计算方法进行总结，包括基本的方法、常用的变换、一些特殊的技巧等。
一、基本的定积分计算方法定积分的计算可以通过求解不定积分的方法进行。
不定积分是定积分的逆运算，即通过求解导数为被积函数的函数，然后在积分区间上进行计算。
在计算不定积分时，可以利用基本积分公式进行运算。
常见的基本积分公式包括：幂函数积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等。
熟练掌握这些基本的积分公式对于定积分的计算非常有帮助。
另外，还可以通过换元积分法、分部积分法等方法进行计算。
换元积分法是将被积函数中的自变量进行变换，以便简化积分的计算。
分部积分法则是通过对被积函数进行分解，将积分转化为两个函数之积的积分。
二、常用的定积分变换在定积分的计算中，常常需要进行变量替换或区间转化，以便于计算或简化问题。
一种常用的变换是变量替换法。
通过将积分中的自变量进行替换，可以将原本复杂的积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括：三角函数替换、指数函数替换、倒数替换等。
这些替换方法可以根据问题的需求，适时选择。
另外，还有区间转化的方法。
在求解定积分时，有时需要将原本的积分区间进行转化。
这种转化可以将积分的计算变得更加简便，也有助于利用基本积分公式进行计算。
常见的区间转化方法包括：对称性转化、变量代换转化等。
三、特殊的定积分计算技巧在定积分的计算中，还存在一些特殊的技巧可以加快计算的速度，提高效率。
一种常见的技巧是分割区间法。
当被积函数在积分区间上具有不同的特性时，可以将区间进行分割，对不同的子区间采取不同的计算方法。
这样可以减少对复杂函数进行计算的难度，提高计算的准确性。
另外，还有用和差化积、凑微分等技巧。
和差化积是通过将被积函数进行展开重新组合，以简化积分的计算。
凑微分则是通过对被积函数进行一些巧妙的变换，以便进行积分。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结
导语：学习需要总结，只有总结，才能真正学有所成。
以下是，供各位阅读和参考。
一、定积分的计算方法
1. 利用函数奇偶性
2. 利用函数周期性
3. 参考不定积分计算方法
二、定积分与极限
1. 积和式极限
2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3. 洛必达法则
4. 等价无穷小
三、定积分的估值及其不等式的应用
1. 不计算积分，比较积分值的大小
1 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
fx>=gx,则 >= dx
2 利用被积函数所满足的不等式比较之 a
b 当0<x<兀/2时，2/兀<<1
2. 估计具体函数定积分的.值
积分估值定理：设fx在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则
Mb-a<= <=Mb-a
3. 具体函数的定积分不等式证法
1 积分估值定理
2 放缩法
3 柯西积分不等式
≤ %
4. 抽象函数的定积分不等式的证法
1 拉格朗日中值定理和导数的有界性
2 积分中值定理
3 常数变易法
4 利用泰勒公式展开法
四、不定积分计算方法
1. 凑微分法
2. 裂项法
3. 变量代换法
1 三角代换
2 根幂代换
3 倒代换
4. 配方后积分
5. 有理化
6. 和差化积法
7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）
8. 降幂法
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法 例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222nnni i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑.（4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦L ＝224(21)lim n n n n →∞++=＝4．∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193．评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法 例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方．所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x xx +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x xdx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()aaf x dx -⎰＝20()af x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aaf x dx -⎰＝0． 小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++．所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
计算定积分的方法
计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。
计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。
一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。
常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。
二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。
常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。
3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。
三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。
常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。
2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。
四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。
常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。
2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。
以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结导读：导语：学习需要总结，只有总结，才能真正学有所成。
以下是定积分计算方法总结，供各位阅读和参考。
一、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法二、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小三、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0 2. 估计具体函数定积分的'值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法四、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法【定积分计算方法总结】1.定积分的计算方法总结2.不定积分知识点总结3.高中定积分的概念课件4.不定积分的方法总结5.定积分证明题方法总结六篇6.高中化学计算方法总结7.极限的计算方法总结8.数学计算方法课件上文是关于定积分计算方法总结，感谢您的阅读，希望对您有帮助，谢谢。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分11dx -⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：11dx -⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以11dx -⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分： ⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()a a f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分计算方法
例题与讲解
例：利用对称性，计算
sin xdx.
解：由于sinx在[-, ]上为 奇函数,故
y
sin xdx
0
O
x
12
例题与讲解
例：计算
x sin x x 1 3 1 2 x 2 x 4 dx
3 5 2 2
5 2
x sin x 解： 因为 f ( x) 2 4 为奇函数， 1 2x x 1 f ( x) 2 为偶函数， 1 x 5 2 2 3 x sin x x 1 因此：
a
y = f ( x)
A -a A O a x
10
偶函数在对称区间上的积分
若f(x)是对称区间[-a , a]上的偶函数(如右图) 由于偶函数关于y 轴对称,结合 y 定积分的几何意义，可以得出 y = f ( x)
a f ( x)dx 20 f ( x)dx
a
a
-a A
O A
ax
11
f [ ( t )] ( t )dt .
换元法注意点
1：定理中要求函数在闭区间上连续，是保证 相应的定积分存在，而初等函数在其定义域是 连续的； 2：变换函数在变换后的区间内是单调的； 3：变换后，积分上限、下限要发生变化。
4
例题与讲解
例：计算 解：
2
0
5
2
口诀：“换元”同时要“换限”！(不换元就不要 换限)
2
换元法证明
证：设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
定积分的几种特殊计算方法
定积分的几种特殊计算方法定积分是数学中一项重要的运算，它可以用于解决很多实际问题。
在定积分的计算中，有一些特殊的方法，可以帮助我们更快更准确地得出答案。
本文将介绍几种常见的特殊计算方法。
方法一：分部积分法分部积分法是指，将被积函数分解成两个函数的乘积后，利用积分换元公式，逐步求解出定积分的值。
具体步骤如下：1. 将被积函数分解成 $u(x) v'(x)$ 的形式，其中 $u(x)$ 和$v(x)$ 是两个函数。
2. 计算 $u'(x)$ 和 $v(x)$ 的值。
3. 将 $u(x)$ 和 $v'(x)$ 分别代入积分公式，得到 $\int u(x)v'(x)dx=u(x) v(x)-\int v(x) u'(x)dx$。
4. 逐步求解出定积分的值。
例如，对于定积分 $\int x\sin x dx$，我们可以令 $u(x)=x$，$v'(x)=\sin x$，则 $u'(x)=1$，$v(x)=-\cos x$。
代入公式得：$\begin{aligned} \int x\sin x dx & =x(-\cos x)-\int (-\cos x)dx \\ &=x(-\cos x)+\sin x+C \end{aligned}$方法二：换元积分法换元积分法是指，将被积函数中的变量用一个新的变量替换掉，从而让积分变得更容易计算。
具体步骤如下：1. 选取一个新变量 $t$，并找到一个式子 $x=f(t)$，使得被积函数中的 $x$ 可以表示成 $t$ 的函数。
2. 计算出 $\frac{dx}{dt}$ 的值。
3. 将被积函数中的 $x$ 替换为 $t$，并将 $\frac{dx}{dt}$ 代入积分公式，得到 $\int f(t) g(f(t))\frac{dx}{dt}dt=\int g(u)du$。
4. 逐步求解出定积分的值。
定积分的性质与计算方法
定积分的性质与计算方法定积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算曲线所夹面积、计算物体的体积、求解解析几何中的定性表达式等问题。
在本文中，我们将介绍定积分的性质和计算方法。
一、定积分的性质：1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分存在。
也就是说，连续函数一定可积。
2.定积分具有线性性质，即对于任意实数a和b，以及两个连续函数f(x)和g(x)，有：∫[a,b](af(x)+bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx3.若函数f(x)在区间[a,b]上非负且可积，则定积分表示的是曲线f(x)与x轴之间的面积。
4. 定积分的取值与区间的选取无关。
即∫[a,b]f(x)dx =∫[c,d]f(x)dx，只要[a,b]和[c,d]的函数f(x)在二者都是可积函数。
5.若函数f(x)在[a,b]上连续，且在[a,b]内的每个子区间上f(x)的值都大于等于0，则在[a,b]上的定积分不小于0。
也就是说，不会出现整个区间上的定积分为负数的情况。
二、定积分的计算方法：1. 基本积分法：对于一些简单的函数，我们可以直接利用已知的基本积分公式进行计算。
比如∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C。
2. 反向运用微积分定理：利用微积分基本定理，我们可以求取函数的原函数（也称为不定积分），然后通过减去两个边界条件的原函数，即可求得定积分的结果。
比如∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
3.凑微分法：当函数难以直接积分时，我们可以通过凑微分来简化积分。
具体方法是，选取合适的函数和常数，使得被积函数可以表示为一个已知函数与该函数对应的导数的乘积。
然后利用换元法将积分转化为一个更容易求解的形式。
4. 分部积分法：分部积分法实质上是对乘积求导公式的反向运用。
对于乘积积分，我们可以利用分部积分法将其转化为两个函数分别求导和积分的问题。
求定积分的四种方法
求定积分的四种方法在微积分中，确定定积分的值是一个重要的问题。
定积分是一个实函数在给定区间上的积分，表示该函数在该区间上的总体积。
在本文中，我将介绍四种常见的方法来确定定积分的值。
这些方法分别是：几何解释法、Riemann和法、换元积分法和分部积分法。
一、几何解释法例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成无限个小矩形，并计算每个小矩形的面积。
然后将所有小矩形的面积相加，即可得到定积分的值。
对于该例子，我们可以将区间[0,1]分成无限个宽度为dx的小矩形，其高度为f(x)=x^2、因此，定积分的值为∫[0,1]x^2dx=1/3二、Riemann和法Riemann和法是一种将定积分转化为求和的方法。
它使用一个区间分割，把整个区间分成无限个小区间。
然后，通过对每个小区间让其长度趋近于零，计算每个小区间的函数值和相加，从而求得定积分的近似值。
当小区间的数量无限增加时，所得的近似值将趋近于定积分的真正值。
例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以将该区间分成n个小区间，每个区间的宽度为Δx=(1-0)/n，其中n为正整数。
然后，我们可以计算每个小区间的函数值并相加，即可得到定积分的近似值。
当使用Riemann和法时，分割区间的选择对于确定近似值的精确性非常重要。
如果区间分割得足够细，近似值将趋近于定积分的真正值。
三、换元积分法换元积分法是一种通过进行变量替换来简化定积分的方法。
它利用函数的链式法则，将原函数中的自变量替换为新的变量，然后计算新函数的微分。
通过进行适当的变量替换，我们可以将原本复杂的定积分转化为更简单的形式，从而易于计算。
例如，如果要计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，我们可以进行变量替换，令u=x^2，则du=2xdx。
通过将原函数中的自变量替换为新变量，我们可以将原本的定积分转化为∫[0,1]u(1/2√u)du。
定积分的计算方法与应用
定积分的计算方法与应用定积分是微积分中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。
本文将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。
一、定积分的计算方法定积分是求解曲线下面的面积或者曲线上某一区间的长度的数学工具。
在计算定积分时，我们可以使用以下方法：1. 几何解法：当曲线形状较简单且易于几何分析时，可以采用几何解法。
例如，计算一个常数函数在给定区间上的定积分，可以直接计算该区间内的矩形面积。
2. 分割求和法：定积分可以通过将曲线分割为若干个小区间，在每个小区间内取样点，并计算每个小区间的面积或长度，再将这些结果求和得到近似解。
随着小区间的数量增加，这种方法的近似解将逐渐接近准确值。
3. 定积分的定义：根据数学定义，定积分可以通过极限求和的方式得到准确解。
该方法需要将曲线分割为无穷多个微小的小区间，并进行求和。
具体的计算步骤可以参照定积分的定义公式。
二、定积分在实际问题中的应用定积分作为一种数学工具，在许多实际问题的求解中起到了重要作用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何应用：定积分可以用于计算曲线下的面积，例如求解两条曲线之间的面积或计算曲线所围成的区域的面积。
这在建筑设计、地理测量等领域中有广泛应用。
2. 物理学应用：定积分可以用于计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量。
例如，在力学中，通过计算质点沿某一曲线的运动轨迹所做的功，可以使用定积分求得。
3. 统计学应用：定积分可以应用于计算概率密度函数下的概率。
在统计学中，通过计算概率密度曲线下的面积，可以得到某一区间内事件发生的概率。
4. 经济学应用：定积分可以用于计算经济学中的消费总额、产出总额等指标。
例如，计算某一产品的总销售额可以通过对销售函数进行定积分得到。
5. 工程学应用：定积分可以应用于计算工程中的功耗、能量损失等问题。
例如，计算电路中的功耗可以通过对电流和电压的乘积进行定积分来求解。
在实际问题中，我们可以根据具体情况将问题转化为曲线的面积或长度的计算，然后应用定积分的方法进行求解。
定积分的计算方法
则F[ (t )] 是 f [ (t )] (t )的一个原函数, 从而
f [ ( t )] ( t )dt F [ ( t )]
由此可得
F [ ( )] F [ ( )] F (b) F (a )
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
证
b
a
f ( x )dx f [ (t )] (t )dt
设F(x)是ƒ(x)的一个原函数, 则
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
因为当 x ( t ) 时, 有 F ( x) F (t ) , 则有复合函数求导法 则, 有
d F [ ( t )] F [ ( t )] ( t ) f [ ( t )] ( t ) dt
§ 定积分的计算方法
一. 换元积分法 二. 分部积分法
由牛顿—莱布尼茨公式知: 计算定积分
b
a
f ( x )dx 的关键在
于求出ƒ(x)在[a, b]上的一个原函数F(x); 从而不定积分的换元 积分法和分部积分法在求定积分时仍适用. 本节讨论在一定 条件下, 如何利用换元积分法和分部积分法计算定积分.
1 2
2
1
1 ln 2 2
注 如果不明确写出新的变量, 则定积分的上、下限就不需要 变更. 如
1 x 1 1 2 2 ln 1 x dx d( x 1) 2 0 1 x2 0 2 2 1 x
1
1
1
0
1 ln 2 2
例4
计算 I 0 sin3 x sin5 xdx
定积分常用的计算方法
定积分常用的计算方法一、牛顿莱布尼茨公式法。
1.1 这可是定积分计算的一个“王牌方法”呢。
如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。
就像是找到了一把万能钥匙，能直接打开定积分计算的大门。
比如说，计算∫_1^2x^2dx，我们都知道x^2的一个原函数是(1)/(3)x^3，那根据牛顿莱布尼茨公式，就直接是(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)，简单又直接，真的是“得来全不费工夫”。
1.2 不过呢，这个方法的难点就在于要先找到原函数。
有些函数的原函数可不是那么好找的，就像捉迷藏一样，得费一番功夫。
像∫(sin x)/(x)dx这种，它的原函数就不能用初等函数表示出来，这时候牛顿莱布尼茨公式就有点“英雄无用武之地”了。
二、换元积分法。
2.1 这是个很巧妙的方法。
当被积函数比较复杂的时候，我们就可以通过换元，把复杂的函数变得简单一些。
比如说∫_0^1√(1 x^2)dx，我们令x = sin t，那么dx=cos tdt。
当x = 0时，t = 0；当x = 1时，t=(π)/(2)。
这样原积分就变成了∫_0^(π)/(2)cos^2tdt，是不是一下子就感觉简单多了呢？这就像是给一个难题来了个“偷梁换柱”，把不好解决的问题转化成好解决的。
2.2 但是换元的时候可得小心了，要注意换元后的积分上下限也要跟着变，就像穿衣服要配套一样。
要是忽略了这一点，那可就“差之毫厘，谬以千里”了。
2.3 而且换元也不是随便换的，要根据函数的特点来选择合适的换元方式。
这就需要我们多做练习，积累经验，就像学骑自行车，骑得多了自然就熟练了。
三、分部积分法。
3.1 分部积分法也很有用。
公式是∫_a^bu(x)dv(x)=u(x)v(x)mid_a^b-∫_a^bv(x)du(x)。
定积分的定义与计算
定积分的定义与计算定积分是微积分中的一个重要概念，被广泛应用于各个领域的数学分析和工程实践中。
本文将简要介绍定积分的定义和计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、定积分的定义定积分是将一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)的值进行“求和”的操作。
具体来说，我们将区间[a, b]进行分割，将每个小区间的长度取得越来越小，然后在每个小区间上找出一个代表点，将函数在该点的值与小区间的长度相乘，再将这些乘积相加起来，即可得到函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
数学表示上，定积分可以用符号∫来表示，即∫[a,b]f(x)dx，意思是对函数f(x)在区间[a, b]上求积分。
其中，dx表示积分的变量，a和b表示积分的下限和上限。
二、定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是定积分计算中常用的一种方法。
根据函数f(x)的不同形式，我们可以采用不同的积分公式来计算定积分。
一些常见的函数形式如下：- 多项式函数：一般多项式函数的定积分就是多项式各项的积分之和。
例如，对于f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以利用基本积分公式∫x^n dx = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) 来计算定积分。
- 三角函数：三角函数的定积分可以利用一些特定的公式来计算。
例如，对于f(x) = sin(x)，我们可以利用基本积分公式∫sin(x) dx = -cos(x) + C 来计算定积分，其中C为常数。
- 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数的定积分也有一些特定的计算公式。
例如，对于f(x) = e^x，我们可以利用基本积分公式∫e^x dx = e^x + C 来计算定积分，其中C为常数。
2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是另一种常用的定积分计算方法。
该公式表明，如果一个函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)在区间[a, b]上的定积分可以通过计算原函数在区间端点的值之差得到，即∫[a,b]f(x)dx = F(b) -F(a)。
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证 因为
( uv ) uv uv.
两边分别求在区间[a，b]上的定积分，得
b
b
b
a (uv)d x a vud x a uvd x,
即
uvb
b
vud x
b
（2） 当 t 从 变化到 时，t单调地从 a变化到 b;
（3） t 在 , 上连续，
则有定积分的换元公式
b
a
f
xd
x
f
t t dt.
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证 设 Fx 是 f x 的一个原函数，则
b
a
f
xd
x
F
a
F
b.
根据复合函数的求导法则，有
d F[(t)] d F d x f (x)(t) f [(t)](t)
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2．定积分的分部积分法
定积分的分部积分法 设函数 u ux 与 v vx 在区间 a,b 上有连续的导数，则
b
u( x)v( x) d
a
x
u(x)v(x)
b a
b
v(x)u(x)d x.
a
或简写成
b
udv
a
uv
b a
b
v du.
a
上列公式称为定积分的分部积分公式.
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4
x2
dx
t2 1 2
32
tdt
0 1 2x
1t
= 1 2
3 1
t2 3
d
t
1 2
1 3
t3
3t
3 1
1 2
27 3
9
1 3
3
22 3
.
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例2 计算 a a2 x2 d x(a 0). 0
解 令 x a sint, 则 d x a cost d t, 且当 x 0
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（1）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？ （2）如果可接受的辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴 /h，那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总 量是多少？
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解 （1）设降低到辐射水平需要 t1 小时，此时辐
射水平为R0
的四分之一. 于是，得
1 4
R0
R0e0.004t1 .
解得
t1 500ln 2(h).
（2）因为可接受辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴/h，
所以在 t 0 时的辐射水平为2.4毫伦琴/h，即R0 2.4. 设泄露出去的放射物总量为W，则有
R(t)
R e0.004t 0
的速度衰减的，其中R是t时刻的辐射水平（单位：mR/h）， R0 是初始（t=0）时的辐射水平，t是时间（单位：h）.
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填空：
(1) 1 (x3 x)d x 1
0
64
(2) 2 (x2 4)d x 2
3
(3) 1 xex d x 0
1
综合实训
课 外（P）
第1（3）（5）题； 第2（1）（3）题； 第3题。
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§ 5·3 定积分的计算方法
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基础知识
1．定积分的换元积分法;
定积分的换元积分法 设函数 f x 在 a,b 上连
续，令 x t, 且满足： （1） a, b;
应用案例
某国地震引发核泄漏事件
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案例1（ 放射物的泄漏）环保局近日对一起放射性 碘物质泄漏事件进行调查，检测结果显示，当事当日， 大气中辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保 局下令当地居民立即撤离这一地区. 已知碘物质放射源 的辐射水平是按
dt
dx dt
因此，有
f
t t dt
F
t
F F F b F a .
所以
b
a
f
x
d
x
f
t
t d t.
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例1
4
计算 0
x 2 d x. 1 2x
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解
令
1 2x t,
则 x t2 1, 2
d x t dt,
且
当 x 0 时，t 1; 当 x 4 时，t 3. 于是
(t) u
b
f (u)d u.
a
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1 t2
例3 求定积分 te 2 dt. 0
解
1 t2 te 2 d t
1
t2
湖南
Hunan
对 外经 济
Foreign Economic
W 500ln 2 2.4e0.004t d t.
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2.4 500ln 2 e0.004t d(0.004t)
0.004 0
600e0.004t 500ln 2 0
uvd x.
a
a
a
移项，得
湖南
Hunan
b
uv d
x
uvb
b
vud x.
a
aa
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e1
例4 计算 0 ln(1 x) d x.
e1
解 0 ln(1 x) d x
x ln(1 x) e1
e1
x d[ln(1 x)]
0
0
[(e 1) ln e 0] e1 x d x
0 1 x
(e 1) [x ln(1 x)] e1 0
(e 1) (e 2) 1.
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时，t 0; x a 时，t . 于是 2
a
a2 x2 d x
2
a2 a2 sin2 t a cost d t
0
0
a2
2 cos2 t d t a2
2
1
cos
2t
d
t
0
0
2
a2 2
t
1 2
sin
2t
2 0
1 a2.
4
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f [(t)](t)d t f [(t)]d[(t)]
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小结：
1．换元积分法：
b
a
f
xd
x
f
t t dt
2．分部积分法：
b
udv
uv
b
b
vdu
a
aa
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1 t2 te 2 d t
1 t2
e2
d(
1
t2)
0
0
2
t2
e 2
1
e0
1
e2
1
1e 2.
0
讨论：为什么后面的解法不需要换限？
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e2
(
1
t
2
)
d
t
0
0
2
1 t2
e2
d(
1
t 2 ).
0
2
1 2
0
eu
du
eu
1 2
0
u
t2 2
e0
1
e 2
1
1e 2.
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