函数单调性

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函数单调性的性质

函数单调性的性质：（1）增函数：如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，0)()(2121>--x x x f x f（2）减函数：如果对于属于定义域I 内某个区间的任意两个自变量的值，当时，都有，0)()(2121<--x x x f x f（3）函数的单调性还有以下性质．1．函数y ＝－f （x ）与函数y ＝f （x ）的单调性相反．2．当f （x ）恒为正或恒为负时，函数y ＝)(1x f 与y ＝f （x ）的单调性相反．3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等． 4 .如果k>0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。

如果k<0 函数k ()f x 与函数()f x 具有相反的单调性。

5..若()f x ≠0，则函数()1f x 与()f x 具有相反的单调性,. 6. 若()f x >O ，函数()f x 与函数()f x 具有相同的单调性。

若 ()f x <0，函数()f x 与函数()f x 具有相反的单调性7。

.函数()f x 在R 上具有单调性，则()f x -在R 上具有相反的单调性。

复合函数的单调性。

如果函数 ()x g u = A x ∈ B u ∈ ()u f y = ()B C ⊆ D y ∈，则()[]x g f y =称为x 的复合函数。

解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u 的定义域与值域的作用。

复合函数的单调性的判断：同增异减。

函数单调状况内层函数()u g x = 增增减减外层函数()y f u = 增减增减复合函数增减减增题型一：求函数的单调区间及该区间上的单调性1.求下列函数的增区间与减区间(1) y ＝|x 2＋2x －3| 1122---=x xx y32y 2+--=x x2.判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？题型二：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性例1.若函数y ＝ax , y ＝bx-在（0，＋∞）上都是减函数，则函数y ＝ax 2＋bx 在（0,＋∞）上是 ________（填单调性）．例2.设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．答案：在(- 4，0)上单调递减。

确定函数的单调性方法

确定函数的单调性方法
确定函数的单调性有以下几种方法：
1. 使用导数：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的单调性。

如果导数大于零，则函数是递增的；如果导数小于零，则函数是递减的。

2. 使用二阶导数：对于二次可导函数，可以通过求二阶导数来确定函数的单调性。

如果二阶导数大于零，则函数是凹的，即在该区间上递增；如果二阶导数小于零，则函数是凸的，即在该区间上递减。

3. 使用基本不等式：对于一些特定的函数，可以使用基本不等式来确定函数的单调性。

例如，对于正数的平方根函数，可以使用平均值不等式来证明它的单调性。

4. 使用图像：对于一些简单的函数，可以通过绘制函数的图像来确定函数的单调性。

通过观察图像的上升或下降趋势，可以确定函数的单调性。

需要注意的是，以上方法只能确定函数在某个特定的区间上的单调性。

对于整个定义域上的单调性，可能需要结合多个区间的单调性来确定。

判断单调性的5种方法

判断单调性的5种方法要判断一个函数的单调性，我们需要先了解什么是单调函数。

单调函数是指在定义域上递增或递减的函数。

递增函数是指当自变量增大时，函数值也相应增大；递减函数则是指当自变量增大时，函数值相应减小。

判断函数的单调性通常有以下5种方法：导数法、变量替换法、数列判断法、二阶导数法和作图法。

下面我将分别进行详细介绍。

一、导数法导数法是一种常用的判断函数单调性的方法，通过计算函数的导数来分析函数的变化趋势。

如果导数在定义域上始终大于0，则函数递增；如果导数在定义域上始终小于0，则函数递减。

具体步骤如下：1. 计算函数的导数，得到导函数。

2. 判断导函数的正负性，如果导函数恒大于0，则函数递增；如果导函数恒小于0，则函数递减；如果导函数的正负性不一致，则函数既不递增也不递减。

如果导函数有零点，则需要进一步进行分析。

二、变量替换法变量替换法是一种通过变量替换来判断函数单调性的方法。

该方法适用于一些无法直接通过导数法判断的函数。

具体步骤如下：1. 根据函数的形式，进行合适的变量替换，将函数化简。

2. 判断新的函数形式是否递增或递减，如果是，则原函数在相应的定义域上是单调的。

三、数列判断法数列判断法是一种适用于连续函数的判断方法，通过构造数列来判断函数的单调性。

具体步骤如下：1. 选择定义域上的一组数列，如递增、递减或交替递增递减等。

2. 将数列代入函数中，观察函数值的变化。

3. 如果函数值是递增的，则函数在这个定义域上是递增的；如果函数值是递减的，则函数在这个定义域上是递减的；如果函数值在数列中无明显的变化趋势，则函数既不递增也不递减。

四、二阶导数法二阶导数法是一种通过计算函数的二阶导数来判断函数的单调性的方法。

该方法适用于一些无法直接通过导数法判断的函数。

具体步骤如下：1. 计算函数的二阶导数。

2. 判断二阶导数的正负性，如果二阶导数恒大于0，则函数在定义域上是凹函数，且递增；如果二阶导数恒小于0，则函数在定义域上是凸函数，且递减；如果二阶导数的正负性不一致，则函数在相应定义域上既不递增也不递减。

函数的单调性

4.1、函数的单调性函数的单调性就是函数的一种增减性，主要看y 随x 的变化而发生的一种变化情况，简单的说当y 随x 的增大而增大时，就说y 是在相应的x 的取值范围内是增函数，对应的区间为其增区间；而当y 随x 的增大而减小时，我们就说y 是在相应的x 的取值范围内是减函数，对应的区间为其减区间。

A 、定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I 。

如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。

如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。

如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间。

B 、函数单调性的证明对于某区间内的函数的单调性，一般利用定义来证明，其基本步骤如下：（1）取值：设21,x x 为该区间内的任意两个值，并且21x x <；（2）作差变形：作差)()(21x f x f -，并利用因式分解、配方、有理化等方法向有利于判断差值的符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；（4）下结论：根据函数的单调性的定义得出结论。

C 、函数单调性的判断判断函数单调性的常用方法有：（1）定义法：即“取值——变形——定号——下结论”；（2）图像法：先作出函数的图像，在利用图像的形象直观判断函数的单调性；（但应注意极值点及其拐点）（3）复合法：)(x f y =增增减减（4）导数法：求出函数导数后，在令其导数大于零的x 的连续区间为其单调递增区间，令其导数小于零的x 的连续区间为其单调递减区间；4.1.1、函数单调性的判断与证明A 、函数单调性的证明：1、证明函数12)(+-=x x f 在R 上是减函数。

函数的单调性和运算性质

函数的单调性和运算性质
函数的单调性也可以叫做函数的增减性。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。

定义
函数的单调性也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。

在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

运算性质
f(x)与f(x)+a具有相同单调性；
f(x)与g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时，增（减）函数的倒数为减（增）函数。

判断函数单调性的方法

判断函数单调性的方法判断函数的单调性是数学中常见的问题，对于函数的单调性，我们需要通过一定的方法进行判断，以便更好地理解和应用函数的性质。

下面，我们将介绍几种常用的方法来判断函数的单调性。

一、导数法。

判断函数的单调性最常用的方法之一就是利用导数。

对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不减的；如果在定义域内f'(x)≤0，那么函数f(x)在该区间上是单调不增的。

如果在定义域内f'(x)恒大于0（或恒小于0），那么函数f(x)在该区间上是严格单调不减的（或严格单调不增的）。

二、一阶导数和二阶导数法。

除了利用导数的正负来判断函数的单调性外，我们还可以通过一阶导数和二阶导数的关系来判断函数的单调性。

如果在定义域内f'(x)≥0且f''(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不减的；如果在定义域内f'(x)≤0且f''(x)≥0，那么函数f(x)在该区间上是单调不增的。

三、零点法。

利用函数的零点也可以帮助我们判断函数的单调性。

对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)在某一点x=a处为零，那么可以通过判断f'(x)在x=a点的左右性质来确定函数f(x)在该区间上的单调性。

四、拐点法。

函数的拐点也可以帮助我们判断函数的单调性。

如果在定义域内f''(x)在某一点x=a处为零，那么可以通过判断f''(x)在x=a点的左右性质来确定函数f(x)在该区间上的单调性。

五、特殊点法。

对于一些特殊的函数，我们也可以通过一些特殊点来判断函数的单调性。

比如对于一些周期函数，我们可以通过周期点来判断函数的单调性。

六、综合运用。

在实际应用中，我们往往需要综合运用以上方法来判断函数的单调性。

通过分析函数的导数、零点、拐点、特殊点等信息，结合函数图像，可以更准确地判断函数的单调性。

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出：一次函数y=kx+b 、反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）．（7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法（3导数法）二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

函数的单调性ppt课件

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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
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单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。

高中数学函数的单调性

（一）知识内容1.函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内时减函数．②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数．2.单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈，那么()()()12120f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 是增函数；()()()12120f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3.复合函数单调性的判断：“同增异减”4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．即若()f x 在区间D 上递增（递减）且1212()()f x f x x x <⇔<（1x 2,x D ∈）；若()f x 在区间D 上递递减且1212()()f x f x x x <⇔>．（1x 2,x D ∈）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等（二）主要方法1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；函数的单调性⑷如果()f x 在区间D 上是增（减）函数，那么()f x 在D 的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法；⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ；复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()u f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．注意：只有当外层函数()f u 的定义域与内层函数()g x 的值域的交集非空时才能构成复合函数[()]f g x ． ⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． ⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．⑼在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数．⑽函数(0,0)by axa b x =+>>在,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭或上单调递增；在0⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝或上是单调递减．3．证明函数单调性的方法：⑴利用单调性定义①；⑵利用单调性定义②（三）典例分析【例1】如图是定义在区间[5,5]-上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例2】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间(0,1)上的单调性．【例3】根据函数单调性的定义，证明函数3()1f x x =-+在(,)-∞+∞上是减函数．【例4】证明函数()f x =【例5】证明函数3y x =在定义域上是增函数．【例6】求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例7】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【例8】作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例9】讨论函数2()1xf x x =-(11)x -<<的单调性．【例10】讨论函数2()23f x x ax =-+在(2,2)-内的单调性．拓展：若2()23f x x px =++在(,1]-∞是减函数，在[1,)+∞上是增函数，则(1)f =______【例11】讨论函数y 的单调性．【例12】求函数212y x x =++的单调区间．【例13】设1n >，()f x 是定义在有限集合{}1,2,3,,A n =上的单调递增函数，且对任何,x y A ∈，有()()()()f x f x f y f y =．那么，（） A ．2n = B ．3n = C ．4n = D ．5n ≥【例14】若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图象经过点(03)A ，和点(31)B -，，则不等式|(1)1|2f x +-<的解集为（）． A ．(3)-∞，B ．(2)-∞，C ．(03)，D ．(12)-，【例15】函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤x【例16】已知2()()2x x af x a a a -=⋅--（0a >且1a ≠）是R 上的增函数．则实数a 的取值范围是（）． A ．(01)， B ．()(01)2+∞，，C ．)+∞D ．)(01)2⎡+∞⎣，，【例17】已知()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且当*n ∈N 时，*()f n ∈N ，[()]3f f n n =，则(1)(2)f f += ．【例18】求函数1()f x x x=+，0x >的最小值．点评由对函数1(),0f x x x x=+>的分析，可以很快得到函数2(),0af x x a x=+>的性质：⑴函数()f x 为奇函数；⑵函数()f x 在x a <-上为增函数，在0a x -<<上为减函数，在0x a <<上为减函数，在x a >上为增函数；⑶函数()f x 在0x >上有最小值为2a ，在0x <上有最大值为2a -．【例19】求函数y =【例20】求函数y =【例21】已知()f x 是定义在+R 上的增函数，且()()()xf f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =，()()()f xy f x f y =+；⑵若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-．【例22】已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．【例23】已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．【例24】设a 是实数，2()()21xf x a x =-∈+R ， ⑴试证明对于任意a ，()f x 为增函数；⑵试确定a 值，使()f x 为奇函数．。

函数的单调性

函数的单调性，是指函数在其定义域内某一区间上的取值是递增或递减的性质。

不强调区间的情况下，所谓的单调函数是指，对于整个定义域而言，函数具有单调性。

单调性的判定方法主要有两种：定义法和导数法。

定义法利用的是函数的增减性，即如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，则称该函数在区间D上为增函数；如果对于定义域内的任意两个变量x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，则称该函数在区间D上为减函数。

导数法则是利用函数的导数来判断其单调性，如果函数在某区间内的导数大于0，那么这个函数在这个区间就是单调递增的；如果函数在某区间内的导数小于0，那么这个函数在这个区间就是单调递减的。

判断单调性的5种方法

判断单调性的5种方法单调性是数学中一个非常重要的概念，它描述了函数在定义域内的增减规律。

在学习数学的过程中，我们经常需要判断一个函数的单调性，因此掌握判断单调性的方法是十分必要的。

在本文中，我将介绍判断单调性的5种方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

方法一，利用导数。

判断函数的单调性最直接的方法之一就是利用导数。

对于函数f(x)，如果在定义域内f'(x)>0，那么函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)<0，那么函数f(x)在该区间上是单调递减的。

当f'(x)=0时，需要额外考虑临界点处的单调性。

利用导数判断单调性是一种非常常用也非常有效的方法。

方法二，利用一阶导数的符号变化。

除了直接利用导数的大小来判断单调性外，我们还可以通过观察一阶导数的符号变化来判断函数的单调性。

具体来说，我们可以找到函数f(x)的一阶导数f'(x)，然后观察f'(x)在定义域内的符号变化。

如果f'(x)在某一区间内始终大于0，则说明函数f(x)在该区间上是单调递增的；如果f'(x)在某一区间内始终小于0，则说明函数f(x)在该区间上是单调递减的。

方法三，利用二阶导数。

除了一阶导数外，我们还可以通过观察函数的二阶导数来判断单调性。

对于函数f(x)，如果f''(x)>0，那么函数f(x)在该区间上是凹的，也就是说在该区间上是单调递增的；如果f''(x)<0，那么函数f(x)在该区间上是凹的，也就是说在该区间上是单调递减的。

利用二阶导数判断单调性在一些特定的函数中会更加方便和直观。

方法四，利用函数图像。

观察函数的图像也是判断单调性的一种方法。

通过观察函数的图像，我们可以直观地了解函数在定义域内的增减规律。

当然，这种方法对于一些复杂的函数可能并不太方便，但在一些简单的情况下，利用函数图像来判断单调性是非常直接和有效的。

函数的单调性知识点

函数的单调性知识点在数学的广阔领域中，函数的单调性是一个非常重要的概念。

它就像是函数世界里的指南针，帮助我们理解函数的行为和变化规律。

首先，咱们来聊聊什么是函数的单调性。

简单说，单调性指的是函数在某个区间内的变化趋势。

如果函数在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也一直增大，那这个函数在这个区间就是单调递增的；反过来，如果随着自变量的增大，函数值一直减小，那就是单调递减的。

比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1，当 x 越来越大时，y 也会越来越大，这就是单调递增。

再看反比例函数 y ＝ 1/x，在 x ＞ 0 这个区间，x 越大，y 越小，所以它在这个区间是单调递减的。

那怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要一些方法和技巧了。

一种常见的方法是利用定义。

假设函数 f(x) 在区间（a, b) 上有定义，如果对于任意的 x1、x2 属于（a, b)，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜f(x2)，那函数 f(x) 在区间（a, b) 上就是单调递增的；如果都有 f(x1) ＞f(x2)，那就是单调递减的。

举个例子，证明函数 f(x) ＝ x^2 在区间 0, ＋∞）上是单调递增的。

我们任取 x1、x2 属于 0, ＋∞），且 x1 ＜ x2。

那么 f(x1) ＝ x1^2 ，f(x2) ＝ x2^2 。

f(x2) f(x1) ＝ x2^2 x1^2 ＝（x2 x1)（x2 ＋ x1) 。

因为x1 ＜ x2 ，所以 x2 x1 ＞ 0 ，又因为 x1、x2 都大于等于 0 ，所以 x2 ＋x1 ＞ 0 。

所以 f(x2) f(x1) ＞ 0 ，即 f(x1) ＜ f(x2) ，所以函数 f(x) ＝x^2 在区间 0, ＋∞）上是单调递增的。

除了定义法，还有求导法。

如果函数 f(x) 在某个区间内的导数大于0 ，那么函数在这个区间单调递增；如果导数小于 0 ，则单调递减。

比如函数 f(x) ＝ 3x^3 4x ，对它求导得到 f'（x) ＝ 9x^2 4 。

函数的单调性

x y' y
(,1)
(1,2)
－
(2,)
+
+
例2.
y ( x 1) 2 ( x 2)3 .
y f ( x) ( x 1)( x 2) 2 (5 x 7).
解：定义域是 R. 由
令 f ( x) 0 解得 x 1,
7 和 2. 5
现列表讨论如下：
Th.3 （极值的必要条件）
若x0 是f ( x)的极值点则x0只可能是 ( x)的零点 , f
或f ( x)的不可导点 .
由此求出可能使 f (x) 取极值的点之后，如何判定它是取极大值还是极小值呢？
y
y
o
x0
x
o
x0
x
图示可见, 由导数符号可判定极大极小值点.
Th. 4 （极值判别法之一）
x O( x0 , ) 都有
f ( x) f ( x0 )
(或 f ( x) f ( x0 ))
则称f ( x)在x0取（局部）极大值（或极小值） x0 称为极大 , 点（或极小点）统称为极值、极值点若上述两不等式 , . 中等号不成立则称为严格意义下的极 . , 值
y
o a
有f ( x0 ) 0, 即x0 是方程f ( x) 0的解, 称为f ( x)的
稳定点或驻点.
(2) 若f ( x)在x0 不可导, 则x0也可能是极值点例如, .
f ( x) | x | 在x 0不可导, 但x 0是其极小值点 .
稳 f 结论 f ( x)的极值点只可能是它的定点（即 ( x)的零点) 和f ( x)不存在的点但f ( x)在其稳定点和不可导点 . 不一定就取局部极值例如： .

函数的单调性

函数的单调性[基本知识]1．单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．归纳小结1. .函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.在公共定义域内：(1)若函数f (x )是增函数，函数g (x )是增函数，则f (x )＋g (x )是增函数；(2)若函数f (x )是减函数，函数g (x )是减函数，则f (x )＋g (x )是减函数；(3)若函数f (x )是增函数，函数g (x )是减函数，则f (x )－g (x )是增函数；(4)若函数f (x )是减函数，函数g (x )是增函数，则f (x )－g (x )是减函数．双勾函数下图是函数y ＝x ＋2x(x ＞0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？[基本能力]1．判断题(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )一、求参数的取值范围[例1] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，＋∞ B.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－14，0 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14，0 类似题型：1.若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，8]B ．[40，＋∞)C ．(－∞，8]∪[40，＋∞)D ．[8,40]2.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]复合函数单调性【例1】函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【例2】已知函数在区间[2，+)上是增函数，则的取值范围是( )A.(],4-∞B. (],2-∞C. (]4,4-D. (]4,2-类型题型：)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)[大题综合练——迁移贯通] 1．(2018·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.【抽象函数单调性】 (1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．2.设函数y=)(x f 是定义在()0,+∞上的减函数，并且满足)(xy f =)(x f +)(y f ，1()13f = （1）求)1(f 的值；（2）若存在实数m ，使得()2f m =，求m 的值；（3）若(2)2f x ->，求x 的取值范围.3.(能力挑战题)已知f(x)=2x +4x+3,求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t).4.,)(2mx x x f +=当]3,1[∈x 时，存在值m ，使得)(x f 的最小值为0吗？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。

函数的单调性

函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． 3.4. 函数的奇偶性奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,关于y 轴对称奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数,关于原点对称 5..周期性(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 6. 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．7.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较8. 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －m n ＝1na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .指数函数的图象与性质9. 对数的概念如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④na M m log ＝n m log a M .(2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .对数函数的图象与性质反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 10. 图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． ⑤y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ⑥y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．(3)伸缩变换②y ＝f (x )――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变 y ＝af (x )．11. 函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个__c __也就是方程f (x )＝0的根．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系。

函数的单调性

函数的单调性一、知识梳理＆方法总结1. 单调性的定义和证明(1) 单调性：当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐减小；当x 逐渐增加时，函数值y 逐渐增加。

函数的这两种性质都叫做函数的单调性。

(2) 定义：一般地，对于给定区间I 上的函数()y f x =：① 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调增函数。

② 如果对于属于这个区间I 的自变量的任意两个值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()y f x =在这个区间上是单调减函数。

(3) 如果函数()y f x =在某个区间I 上是增（减）函数，那么就说函数()y f x =在区间I 上是单调函数。

区间I 叫做函数()y f x =的单调区间。

若()f x 在区间D 上是增（减）函数，则()f x 在D 的任一子区间上也是增（减）函数 (4) 函数单调性的证明（证明某函数在指定区间上增减性的步骤）① 在该区间上任取12x x <② 作差12()()f x f x -，通过因式分解等恒等变形方法将差式化为若干因式的积或商．③ 由判断各因式的符号来确定差式的符号，从而得到12()()f x f x >（或12()()f x f x <）即()f x 的增减性依定义证明完毕．任取、做差、变形、定号、下结论。

(5) 函数单调性的两种等价定义设12,[,]x x a b ∈则①1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在[,]a b 上是增函数1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在[,]a b 上是减函数② 1212()[()()]0()x x f x f x f x -->⇔在[,]a b 上是增函数1212()[()()]0()x x f x f x f x --<⇔在[,]a b 上是减函数2. 四则运算的单调性增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

函数的基本性质之单调性

函数的基本性质之单调性1、函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的单调性与单调区间函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性区间D 叫做=y )(x f 的单调区间3.对函数单调性的理解（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.题型一求函数的单调区间例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1,3)(2x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.题型二函数单调性的判定与证明利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子；第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论；第四步：定论，即根据定义得出结论.例2 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.变式练习1.求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)2.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．3.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．题型三函数单调性的简单应用例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)<f(2－3a)，则a的取值范围是________.课后作业1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1xD.y ＝－x 2＋42.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <123.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)()(1212<--x x x f x f ，则( )A.f (3)<f (2)<f (1)B.f (1)<f (2)<f (3)C.f (2)<f (1)<f (3)D.f (3)<f (1)<f (2)4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3D.a <－35.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，13)B.(17，＋∞) C.[17，13) D.(－∞，－17]∪(13，＋∞)6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是_____.8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．9.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.10.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是_____.11.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________；(3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________.12.已知函数f (x )＝a －2x.(1)若2f (1)＝f (2)，求a 的值；(2)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.13.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.。

函数单调性判断方法

函数单调性判断方法要判断一个函数的单调性，我们需要先了解什么是单调函数。

在数学中，如果函数的定义域为一个实数集，函数的值随着自变量的增大而增大，或随着自变量的减小而减小，那么这个函数就是单调函数。

简单来说，单调函数要么是递增的，要么是递减的。

接下来，我们将介绍三种常见的方法来判断函数的单调性。

第一种方法是使用导数的概念。

如果函数在定义域上连续，并且在每个点处的导数大于零，那么函数是递增的；如果函数在定义域上连续，并且在每个点处的导数小于零，那么函数是递减的。

要判断函数的导数符号，可以先求出函数的导数表达式，然后找出导数表达式的零点。

在零点的左侧，导数为负，函数递减；在零点的右侧，导数为正，函数递增。

如果函数的导数在某个区间上恒为正（或恒为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。

第二种方法是使用二阶导数的概念。

如果一个函数的二阶导数大于零，那么函数是凹的，也就是递增的；如果一个函数的二阶导数小于零，那么函数是凸的，也就是递减的。

要判断函数的二阶导数的符号，可以先求出函数的二阶导数表达式，然后找出二阶导数表达式的零点。

在零点的左侧，二阶导数为负，函数凸；在零点的右侧，二阶导数为正，函数凹。

如果函数的二阶导数在某个区间上恒为正（或恒为负），则函数在该区间上凹（或凸），即单调递增（或单调递减）。

第三种方法是使用区间端点的值来判断单调性。

对于函数f(x)，如果在一个区间(a, b)上，当x逐渐从a增加到b时，有f(a) < f(b)，那么函数在该区间上单调递增；如果在一个区间(a, b)上，当x逐渐从a增加到b时，有f(a) > f(b)，那么函数在该区间上单调递减。

这种方法主要适用于一些简单的函数，例如多项式函数、指数函数、对数函数等。

需要注意的是，这三种方法都是相对简化的判断方法，适用于一些简单的函数。

对于复杂的函数，我们可能需要综合运用多种方法来判断函数的单调性。

举个例子，我们来判断函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的单调性。

函数的单调性

数f(x)为单调增函数；如果f′(x)＜0，则函数f(x)为单调减函数；
⑤性质法： 6奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性；
偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性。
5．函数单调性的判定方法 (1)定义法：利用定义 (2)图象法：作出函数图象 (3)复合法：对于复合函数 y＝f[g(x)]，如果内、外层函数单调性相同，那么 y＝f[g(x)]为 ________，如果内、外层函数单调性相反，那么 y＝ f[g(x)]为 __________． (4) 导数法：设 y ＝ f(x) 在定义域的给定区间上可导，如果 ________，那么 f(x)为增函数；如果________，那么 f(x)为减函数． (5)性质法： ①若 f(x)、 g(x)都是增 (减 )函数，则 f(x)＋g(x)为 ______ 函数；若 f(x)为增函数， g(x)为减函数，则 f(x)－ g(x)为 ________；若 f(x)为减函数， g(x)为增函数，则 f(x)－g(x)为 ________函数． ②奇函数在两个对称的区间上具有 ________的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有 ________的单调性． ③互为反函数的两个函数具有 ________的单调性．
题型一：利用函数图像求函数单调性
1．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是 A．y＝－ x＋1 B．y＝ x 2 2 C．y＝x －4x＋5 D．y＝ x 解析：∵函数y＝ x的单调增区间为[0，＋∞)， ∴函数y＝ x在(0,2)上为增函数．答案：B 2．函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则 1 1 A．k ＞ B．k ＜ 2 2 1 1 C．k ＞－ D．k ＜－ 2 2 解析：∵函数y＝(2k ＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数， 1 ∴2k ＋1＜0，∴k ＜－ . 2 答案：D ( ) ( )